562:１３２人目の素数さん
15/09/25 21:38:54.67 Y0AVB9wz.net
>>494
>>433の
> １．ゼロを除く複素数の集合から、任意の複素数の組みを選ぶ
> ２．上記により、乗法群Gを構成する
> ３．このようにして構成されたGの集合を考える。それをUとする
> ４．集合Uは、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
> 任意の組み合わせで可だよ
乗法群Gに関して>>490の書き方をそのまま使う
組み合わせと選び方は任意で制限が無いからG(2)のみとかG(n)(nは素数)とかでも
上記の操作で構成されたGの集合として数学的に問題ないわけでその場合は集合Uの濃度は
スレ主の希望するものとは異なることになる
濃度が実数Rと等しい集合の部分集合全てを選ぶように集合Uを構成させたかったら
文章を変えて「任意に構成されたある特定のGの集合」という意味を排除したほうが良い
たとえば「このようにして構成されるG全体の集合」など
> 数学的でない記述
”べきの濃度”はスレ主が勝手に作った用語だけど他人が同じような用語の使い方をしていたら
スレ主は>>437のような書き込みをするのでしょうね
563:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 09:11:50.12 bCOBeChq.net
>>495-498
どうも。スレ主です。
１．まず
”これは「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」
という意味でいいの？”>>431
について
もし、最初から「C＾*を、ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群とするとき、C＾*の部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」と書かれていたら、これほど揉めなかったろう
２．問題は、”ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*”の意味が、多義になっていること
つまり、上記書き換えのようになっていれば、C＾*の定義であることは明白だ。
が、最初の表現では、「記号C＾*が、数学的に何か特別の意味を付与されているかどうか？」の判定が必要な、書き方になっていた。（実際C*は、数学では多義だ）
そして、私スレ主は、最初これを定義と解釈せずに、そのように受け取った。
だから、そこの問題点を指摘しつつ、「英語に翻訳して、関係代名詞を使って係を明確にしてくれ。そうすれば正確に意味が取れるだろう」>>437と言った
３．そうすると、英文は>>445「The cardinality of the set of all subgroups of the multiplicative group of
all non-zero complex numbers is equal to the cardinality of
the power set of the real number field.」だと。記号C＾*は、居なくなった
４．だったら、日本文でも最初から
「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」としておけば、すっきりしていたろう
564:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 09:26:38.86 bCOBeChq.net
>>498
次に
> 数学的でない記述
>”べきの濃度”はスレ主が勝手に作った用語だけど他人が同じような用語の使い方をしていたら
>スレ主は>>437のような書き込みをするのでしょうね
君は食言をしている
君は、>>431"これは「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」
という意味でいいの？"と書いたろ？
”連続濃度の”べきの濃度”を持つ”が、数学的ない記述としても、君は質問の中で、”実数体のベキ集合の濃度を持つ”という、やや長めのしかし自分なりの正確な理解を書いた
それで良いんじゃないかい？
アレフ２とか、この板で正確な数学記号が文字化けせずに使えれば、そうしていたろう。お互いね
だが、”べきの濃度”は数学的でないかも知れないが、簡素なんだよ。シンプルイズベスト。分からなければ聞けば良い
それで良いんじゃ無いのか？
そして、この板で正確な数学的表現を要求するのがおかしいだろ？
C＾*を自分の定義した記号として使うことは、なんの問題もない
繰り返すが、最初から「C＾*を、ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群とするとき・・・とするか、最初からC＾*を使わないかだと>>499
565:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 09:50:19.26 bCOBeChq.net
>>495
おっちゃん、どうも。スレ主です。
フーリエ級数、フーリエ変換の話は重要だよね
ただ、フーリエ級数にしろフーリエ変換にしろ、歴史の中の時間軸という視点は欠かせない
現代数学における、フーリエ変換の重要性はますます、大きくなっている�
566:ﾆいう印象がある 一方で、微積から意識されだした無限大無限小をどう理解すれば良いのか？ この問題意識も、近代現代数学の重要なテーマだった 「C^*」の話は、私の意見は>>499-500に書いた通りだ
567:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 10:02:32.90 bCOBeChq.net
>>496
おっちゃん、どうも。スレ主です。
数学の記号の多くは、手書きの時代に作られた
だから、現在のワープロでは表現が難しい場合も多い
ニュートンやオイラーの時代にTeX（下記URL）が使えたら、数学記号もきっとタイピングのしやすいように発展したような気がする
ところで、だから、正統な数学記号が載らない２ちゃんねる板での表現は、それなりに気をつかわないと、わけわからんことになりやすい
>>407で「証明は求めていない」としているのは、そういうこころだ
２ちゃんねる板で、こてこて正統な証明を書かれても、読む方も大変だし、また、書く方も大変だろうから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
TeX は、クヌースが自身の著書 The Art of Computer Programming を書いたときに、組版の汚なさに憤慨し、自分自身で心行くまで組版を制御するために作成したとされている。
開発にあたって、伝統的な組版およびその関連技術に対する広範囲にわたる調査を行った。その調査結果を取り入れることで、TeX は商業品質の組版ができる柔軟で強力な組版システムになった。
TeX はフリーソフトウェアであり、ソースコードも公開されていて、誰でも改良を加えることができる。
（引用おわり）
568:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 10:10:14.18 bCOBeChq.net
>>498
問題文に対するご批判は、承った
かつ、>>445での言い換え「The cardinality of the set of all subgroups of the multiplicative group of
all non-zero complex numbers is equal to the cardinality of
the power set of the real number field.」
について、Yesと回答した>>463
ごたくは良いから、上記英文の言い換え問題への解答を書いてくれよ（＾＾
569:１３２人目の素数さん
15/09/26 10:39:42.01 lLiT8vrO.net
スレ主は数学に向いていない
570:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 11:36:05.47 bCOBeChq.net
>>504
どうも。スレ主です。
まあ、そうかな。その批判は甘んじて受けよう
で？
どうか、君の実力を見せてくれよ>>503、数学の（＾＾
571:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 11:41:17.77 bCOBeChq.net
>>497
おっちゃん、どうも。スレ主です。
そうそう
”杉浦「解析入門」では最初の四則演算の所で「0でない実数全体の集合R^*」と言う表現があり
対数関数の所で「C^*」が使われている
また齋藤「線型代数入門」では体の説明の所で「K^*」が使われている”
ね
おっちゃん、勉強家やね～（＾＾；
一杯本もってんだ
が、日本ではそうポピュラーな表現ではないってことで委員会？
572:１３２人目の素数さん
15/09/26 14:03:40.31 /lCs7+db.net
>>500
実数体のべき集合の濃度はアレフ2であるとは言えないでしょ
573:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 15:53:37.54 bCOBeChq.net
>>507
確かに。連続体仮説が必要ですかね？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アレフ数
連続体仮説（選択公理）
574:１３２人目の素数さん
15/09/26 16:27:53.69 dtZ+MayQ.net
スレ主さんは東大受験レベルの数学ならスラスラとけるレベルですか？
575:１３２人目の素数さん
15/09/26 18:42:04.75 NpA6PxnJ.net
>>499-500
> 君は、>>431(略)と書いたろ？
>>497に「>>431, >>445を書いた本人でない」と書いた
記号C^*に対して>>443でちゃんとした説明をしてくれている人がいるのにスレ主は>>464で
トンチンカンな思い込みを押し付けようとしていたから>>467を書き込んだのが最初
>>503
>>431, >>445でないが>>498には「濃度が(略)集合Uを構成させたかったら」と一応書いておいた
からスレ主が用意している解答を理解しているかは勝手に判断してくれ
>>506
> 日本ではそうポピュラーな表現ではないって
(大学数学の入門レベルの勉強をある程度して記号に慣れている人にとってという意味で)
日本に限ったことではないがR, Z, Q, Cに添字で何か記号がついていたら何か条件
576:がついている と最初に考えるのは自然なこと 記号のつけかたは人によって異なるが記号は*, ×, +, -, #などが条件は「0を除く」「正の」 「負の」「非負の」などがよくある だから杉浦「解析入門」の「0でない実数全体の集合R^*」を見たら条件を探せば*が「0でない」 の意味であると判断できるし永尾「代数学」なら#が「0でない」の意味であると判断できる >>431の場合でも同様に「ゼロを除く」とあるから*の意味は判断できる
577:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 18:49:23.05 bCOBeChq.net
>>509
どうも。スレ主です。
>スレ主さんは東大受験レベルの数学ならスラスラとけるレベルですか？
いや、そうは行かないだろうね
１．昔、数学だけなら全国模試で偏差値７０くらい行くときもあったけど、平均ではもう少し下がるだろう
２．東大の問題は、基本は新作問題が出る（因みに、昔東工大は過去問で手抜きしていると言われた。新作問題を出すのは、京大や阪大もかな）
３．東大の数学問題でよく言われたのは、ひねりがあって、力業（計算力）で解こうとすると、計算が大変になるが、ちょっとあることに気付いて工夫すると、すっと解ける。それを、限られた時間で見つけられるかどうかだと
４．なので、繰り返しになるが、知識だけでは解けない、ひねりがある出題だと
５．その点、代数方程式のガロア理論の方は、分かればすっきりですよ（＾＾；
578:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 19:13:10.82 bCOBeChq.net
>>510
どうも。スレ主です。
ご忠告ありがとう
いやー、まず警戒したんだよね。罠じゃないかと（＾＾；
なんか、訳分からん記号を使って・・・
もちろん、定義だと読めなくも無い
が、うかつに乗れない（下手なコメントを付けない方が良い）よねと
また、意図が読めなかった
問題自身は、かなり明白だから、わざわざ言い換える意図が
それで、探るために、観測気球を投げたんだ（＾＾；
しかし、>>407程度の問題は、どっかでだれか解いた文献とかないのかね～？
アレフ２なんて、だれもあまり考えないだろうとは思ったが・・・
追伸
今考えると、「ゼロを除く」とする必要もないかも
ゼロを含むと、ゼロの逆数がとれなから、群にならないだけ
「任意の複素数より成る乗法群の全てから成る集合をUとする。Uは、連続濃度の”べきの濃度”を持つ。ここに、ZFC公理系（下記URL）を仮定し、連続濃度の”べきの濃度”は、アレフ２に等しい。」とでも表現しますかね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
上記の ZF に次に述べる選択公理（axiom of choice）を加えた公理系を ZFC という（C は "choice" の頭文字）。選択公理を仮定しない体系も盛んに研究されている。
579:１３２人目の素数さん
15/09/26 19:54:53.47 NpA6PxnJ.net
>>512
証明のステップは増えるが
集合Uは連続体濃度の連続体濃度べきの濃度をもつ
集合Rの濃度をそのままRで書くことにすれば
集合Uの濃度はR^Rである
とか
580:１３２人目の素数さん
15/09/26 20:44:53.69 0jJw3FLY.net
>>508
＞>>507
＞連続体仮説（選択公理）
連続体仮説と選択公理は別物ですよ。
それに今の場合だと単なる連続体仮説でなく
一般化された連続体仮説を仮定するべきです。
そもそも、アレフ2などと言わずに実数体のベキ集合の濃度と言えばいいだけの話です。
それなら連続体仮説などは不要です。
581:１３２人目の素数さん
15/09/26 20:48:27.37 CdnFxCyH.net
サイエンス社の代数学演習とかやりました？
582:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:13:37.10 bCOBeChq.net
>>513-514
みんな、ごたくはいいから、答えを書けよ！（＾＾
583:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:15:49.25 bCOBeChq.net
>>515
サイエンス社の代数学演習？？ しらねー
が、代数の演習問題は、適当に解いたよ。自分の理解�
584:ﾉ必要な分くらいはー
585:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:20:32.44 bCOBeChq.net
こんなのがあった
URLﾘﾝｸ(www.nikkei-science.com)
日経サイエンス 2015年11月号
巨大分類定理を継承 数学者たちの挑戦
S. オーンズ（サイエンスライター）Stephen Ornes テネシー州ナッシュビルを拠点とするサイエンスライターで，数学からがん研究まで幅広いテーマについて執筆している。フランスの女性数学者ソフィ・ジェルマン（Sophie Germain）の伝記を2008年に出版した。
数学に「群論」と呼ばれる一大分野がある。対称性（何かが一連の変換を経た後にもとと同じに見えること）を数学的に探究する学問で，素粒子物理学はじめ多くの科学分野の基礎となっている。
この宇宙に見られる対称性が4つのカテゴリーに分類されるとする「有限単純群の分類定理」は20世紀数学の金字塔で，その証明は数学史上で最も長大だ。
100人以上の著者が数百の論文誌に部分部分を記述した多数の論文からなり，全体で1万5000ページにもなる。だが，このままでは専門家も全体を通読できない。
そこで，証明をすっきりとまとめる作業が半ばまで進んできた。知の集積を次代に継承するための挑戦だ。
原題名
The Whole Universe Catalog（SCIENTIFIC AMERICAN July 2015）
586:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:22:30.92 bCOBeChq.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of finite simple groups
Contents
1 Statement of the classification theorem
2 Overview of the proof of the classification theorem
2.1 Groups of small 2-rank
2.2 Groups of component type
2.3 Groups of characteristic 2 type
2.4 Existence and uniqueness of the simple groups
3 History of the proof
3.1 Gorenstein's program
3.2 Timeline of the proof
4 Second-generation classification
4.1 Why is the proof so long?
5 Consequences of the classification
587:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:33:03.53 bCOBeChq.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of finite simple groups
History of the proof
Gorenstein's program
In 1972 Gorenstein (1979, Appendix) announced a program for completing the classification of finite simple groups, consisting of the following 16 steps:
1.Groups of low 2-rank. This was essentially done by Gorenstein and Harada, who classified the groups with sectional 2-rank at most 4.
Most of the cases of 2-rank at most 2 had been done by the time Gorenstein announced his program.
2.The semisimplicity of 2-layers. The problem is to prove that the 2-layer of the centralizer of an involution in a simple group is semisimple.
3.Standard form in odd characteristic. If a group has an involution with a 2-component that is a group of Lie type of odd characteristic,
the goal is to show that it has a centralizer of involution in "standard form" meaning that a centralizer of involution has a component that is of Lie type in odd characteristic and also has a centralizer of 2-rank 1.
4.Classification of groups of odd type. The problem is to show that if a group has a centralizer of involution in "standard form" then it is a group of Lie type of odd characteristic.
This was solved by Aschbacher's classical involution theorem.
5.Quasi-standard form
6.Central involutions
7.Classification of alternating groups.
8.Some sporad
588:ic groups つづく
589:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:34:54.17 bCOBeChq.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of finite simple groups
History of the proof
Gorenstein's program
In 1972 Gorenstein (1979, Appendix) announced a program for completing the classification of finite simple groups, consisting of the following 16 steps:
つづき
9.Thin groups. The simple thin finite groups, those with 2-local p-rank at most 1 for odd primes p, were classified by Aschbacher in 1978
10.Groups with a strongly p-embedded subgroup for p odd
11.The signalizer functor method for odd primes. The main problem is to prove a signalizer functor theorem for nonsolvable signalizer functors. This was solved by McBride in 1982.
12.Groups of characteristic p type. This is the problem of groups with a strongly p-embedded 2-local subgroup with p odd, which was handled by Aschbacher.
13.Quasithin groups. A quasithin group is one whose 2-local subgroups have p-rank at most 2 for all odd primes p, and the problem is to classify the simple ones of characteristic 2 type. This was completed by Aschbacher and Smith in 2004.
14.Groups of low 2-local 3-rank. This was essentially solved by Aschbacher's trichotomy theorem for groups with e(G)=3. The main change is that 2-local 3-rank is replaced by 2-local p-rank for odd primes.
15.Centralizers of 3-elements in standard form. This was essentially done by the Trichotomy theorem.
16.Classification of simple groups of characteristic 2 type. This was handled by the Gilman-Griess theorem, with 3-elements replaced by p-elements for odd primes.
引用おわり
590:１３２人目の素数さん
15/09/26 21:38:32.50 NpA6PxnJ.net
>>516
>>513と>>510は同一人物ね
答えは別に書かなくてよいから
集合Uは連続体濃度の連続体濃度べきの濃度をもつ
を一度証明してみろよ
591:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:42:04.33 bCOBeChq.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of finite simple groups
In 1973, Aschbacher became a leading figure in the classification of finite simple groups. Interestingly,
Aschbacher considered himself somewhat of an outsider in the world of conventional group theory, claiming that he was not "plugged into the system at that point in time." [6]
Although he had access to several preprints that were shared among the practitioners of the field, he reproduced many proofs that had already been discovered by other researchers and published them in his early papers.
Aschbacher only became interested in finite simple groups as a postdoctorate.
He wrote his dissertation in combinatorics and was able to utilize many techniques developed in this area to make early contributions to the study of finite simple groups which surprised the community of researchers.
In particular, Daniel Gorenstein, another leader of the classification of finite simple groups, said that Aschabacher's entrance was "dramatic." [7]
つづく
592:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:46:34.67 bCOBeChq.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of finite simple groups
つづき
In fact, the rate of Aschbacher's results proved so astounding that many other mathematicians decided to leave the field to pursue other problems.
Aschbacher was proving one major result after another and when he announced his progress at the Duluth conference, mathematicians were convinced that the problem was almost solved.
This conference represented a turning point for the problem as many mathematicians (in particular those relatively new to the field) decided to leave the field to pursue other problems.[8]
つづく
593:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:49:31.90 bCOBeChq.net
>>522
同一人物だとか、だれだとか、無問題
証明？ いやだね
２ちゃんねるで証明は書くべきでは無いというのが、スレ主の主張だからだ！（＾＾
594:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/26 21:52:43.33 bCOBeChq.net
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Classification of finite simple groups
つづき
However, Aschbacher's entrance into the field did not come without difficulties.
Aschbacher's papers, beginning with the first he wrote in the field for publication, were very difficult to read.
Some commented that his proofs lacked explanations of very sophisticated counting arguments.
As Aschbacher's proofs became longer, it became even mor
595:e difficult for others to understand his proofs. Even some of his own coauthors had trouble reading their own papers. From that point on, researchers no longer read papers as independent documents, but rather ones that required the context of its author. As a result, responsibility of finding errors in the classification problem was up to the entire community of researchers rather than just peer-reviewers alone. That Aschbacher's proofs were hard to read was not due to a lack of ability, but rather to the astounding complexity of the ideas he was able to produce.[9] Education and career He was awarded the Rolf Schock Prize for Mathematics by the Royal Swedish Academy of Sciences in 2011.[4] In 2012 he received the Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition and the Wolf Prize in Mathematics, and became a fellow of the American Mathematical Society.[5]
596:１３２人目の素数さん
15/09/26 21:53:43.28 NpA6PxnJ.net
>>525
> ２ちゃんねるで証明は書くべきでは無いというのが、スレ主の主張だからだ
だから「答えは別に書かなくてよいから」と前もって書いてあるではないか
597:１３２人目の素数さん
15/09/26 22:12:57.57 lLiT8vrO.net
>>525
逃亡乙
598:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 17:21:18.18 gUDLBQ6y.net
どうも。スレ主です。
マジレスすれば、対角線論法ね。過去スレにあるよ。例えば
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:599番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
599 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:23:50.58 ID:ooXUMShZ
>>596
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。
対角線論法
集合による表現
対角線論法とは、陰に陽に以下の補題を使って定理を証明する背理法の事である。
Xを集合とし、2XをXのべき集合とする。さらにψをXから2Xへの写像とする。Xの部分集合YをY=\{x\in X: x\notin\psi(x)\}により定義すると、ψ(x)=Yとなるx∈Xは存在しない。
上の補題は以下のように示せる。ψ(x)=Yとなるx∈Xが存在すると仮定したうえでxがYの元であるか否かを考える。
もしxがYの元であればx∈Y=ψ(x)である。しかしYの定義より、Yはx\notin\psi(x)を満たすxの集合であるので、x\notin\psi(x)でなければならず、矛盾する。
反対にもしxがYの元でなければx\notin Y=\psi(x)であるが、Yの定義により、x\notin\psi(x)であるxはYの元でなければならず、やはり矛盾する。
599:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 17:25:39.53 gUDLBQ6y.net
>>529 つづき
これも。（私だが、コテになっていない。このときは専用ブラウザの調子が悪かったためと思う）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:219番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
219 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 06:09:22.66 ID:NplpTsbd
どうも。スレ主です。
長谷川真人がなかなか良い
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/
600:~cs/cs2011_hasegawa.pdf 自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座（2002 年8 月5～8 日）の予稿を改訂（2006 年5 月 ／ 2007 年8 月／ 2011 年6 月） 目次 I 自己言及と対角線論法2 1 ラッセルの逆理2 2 カントールの対角線論法2 3 自己適用3 4 停止性問題5 5 対角線論法から不動点へ7 6 不動点定理から具体例を見直す8 II 矛盾したものを構成する11 1 完備半順序集合と連続関数11 2 最小不動点の発想12 3 最初の試み13 4 埋め込みと射影14 5 なぜ失敗したか15 6 正しい解の構成| 逆極限法16
601:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 17:40:51.09 gUDLBQ6y.net
希代の天才カントール。かれが、１８７３年から１８９１年にかけて心血を注いだという対角線論法
それを、私ごときが、数日、数週間、いや同じ年月をかけたところで、スクラッチ（下記ご参照）で証明を書けるはずもない
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
天才数学者のエピソードで綴るデンジャラス・ストーリー（２）
２．デンジャラスな無限というものに魅入られた天才たち
この章は「数学者列伝II」ジェイムス著、蟹江幸博訳、シュプリンガー・ジャパン、と『「無限」に魅入られた天才数学者たち』アミール・Ｄ・アクゼル著、青木薫訳、早川書房を骨子としている。
＝＝＝＝＝＝＝
カントール
＝＝＝＝＝＝＝
１８７３年にはデデキントに、実数の集合は可算でないことを手紙で書き送っている。
おなじみのカントールの対角線論法による証明は１８７４年に初めて行っているが、彼自身はその段階では理解が不十分であり、１８９１年になって改良を加えた強力なものにしている。
URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
スクラッチ開発 【 development from scratch 】
スクラッチ開発とは、既存の製品や雛形などを流用せずに、まったく新規にゼロから開発すること。
システム開発で、特定のパッケージ製品のカスタマイズや機能追加などによらず、すべての要素を個別に最初から開発することをスクラッチ開発という。
ソフトウェア開発の場合は、元になるソースコードや雛形などを使用せず、何も無い状態からコードを記述していくことをスクラッチ開発という。
他から流用する要素が一切無い場合を特に「フルスクラッチ」（full scratch）ということがある。
602:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 17:43:26.15 gUDLBQ6y.net
ところで、>>530 に紹介した長谷川真人先生の「自己言及の論理と計算」は、実に面白かった
これは面白かったが、これだけでは当然理解できないので、他にも参照しました
それが>>529とかいろいろね
603:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 17:54:57.36 gUDLBQ6y.net
長谷川先生のPDFから、カントールの対角線論法の部分を引用しよう。下記だ
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
2 カントールの対角線論法
やはり良く知られているカントール（Cantor, G., 1845-1918）の対角線論法は，
はじめに述べたラッセルのパラドックスと大変良く似た構造を持っている．
定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意
の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．
証明はラッセルのパラドックスに用いられたのとほとんど同じ論法による．X を
集合とし，m : 2^X → X を単射としよう．
604:ここで，X の部分集合R を， R = {m(A) | A ⊆ X, m(A)? A} と定義しよう．問題は，m(R) がR に属するかどうかである． まず，m(R) ∈ R と仮定しよう．R の定義により，m(A) ?∈ A なるA ⊆ X が存在してm(R) = m(A)となるはずである． m は単射だから，R = A．したがってm(R) ?∈ R となり，矛盾する． しかし，m(R) ?∈ R と仮定すると，R の定義によりm(R) ∈ R となり，やはり矛盾する． 問題1 定理1 の証明と，通常の(自然数と実数の濃度に関する) カントールの対角線論法とを比較してみよ．
605:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 18:01:43.42 gUDLBQ6y.net
>>533
ああー、文字化けしたね
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A)? A}→R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not ∈ A} とでも書きますか。∈の否定記号が入らないんだ
ところで、長谷川先生のPDFから、ラッセルのパラドックスも引用しておこう
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
Part I
自己言及と対角線論法
1 ラッセルの逆理
ラッセル（Russell, B.A.W., 1872-1970）は，有名なパラドックスを指摘すること
により，安易な集合論の定式化が矛盾をひきおこすことを示した．ラッセルのパ
ラドックス(のよく引用されるヴァージョン) とは以下のようなものである．
ラッセル集合とは，それ自身を要素として含むような集合のことであるとする．
すなわち，X ∈ X であるような集合X のことをラッセル集合とよぶことにする．
さて，M を，ラッセル集合でないような集合の集合であるとしよう．
このとき，M自身はラッセル集合だろうか？もしMがラッセル集合だとすると，ラッセル集合の定義よりM ∈ Mである．
しかし，これはMの元はラッセル集合ではないことと矛盾している．
ところが，Mをラッセル集合ではないと仮定してみても，Mはラッセル集合でないような集合の集合だったから，M∈Mであり，したがってMはラッセル集合となる．
以下では，導入として，この良く知られたパラドックスと，数学基礎論や計算の
理論などにおける関連した話題について解説する．その後，それらに共通する数
学的構造を，一種の不動点定理として定式化し，一般的な視点から考察する．と
ころどころで数学基礎論，直観主義論理，圏論，プログラミング言語などの知識
を要するところも出てくるが，馴染みのない事柄については，とりあえずとばし
て頂いてかまわない．
606:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 18:04:31.62 gUDLBQ6y.net
>>533
もう一つ訂正
その巾集合2X →その巾集合2^X
(PDFからのコピーだと、右肩の添え字が、普通の文字になるんだ)
607:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 18:13:48.62 gUDLBQ6y.net
不肖スレ主が、少し解説すれば
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not ∈ A} が、自己言及になっている
もっと言えば、否定を使った自己言及になっている
（このカッコの中の文はウソです）という、うそつきパラドックスに類似と思って貰えれば良いだろう。それ（うそつきパラドックス）を、数学的に厳密に記述したのが、カントールの対角線論法だと、長谷川先生はいう
まあ、対角線論法のネーミングの由来は、「実数を無限小数展開して並べたものと、整数との対応」を図式したものから来ていることは、みなさんご存知の通りだ
608:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 18:17:45.15 gUDLBQ6y.net
>>522 ID:NpA6PxnJくんは、長谷川真人先生の「自己言及の論理と計算」はどうだい？
君なら理解できるだろう（＾＾
609:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 18:30:32.70 gUDLBQ6y.net
>>514
どうも。スレ主です。
ご指摘の通りです
（>>508の引用先にも書かれていますが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アレフ数
連続体仮説 （内容省略）
選択公理の役割 （内容省略）
610:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 18:45:53.04 gUDLBQ6y.net
これだけ問題ほじくって頂いたんだから、だれかなんらかの解答を書くんだろうな（＾＾
１．まあ、複素平面から、原点のゼロを抜いた集合をC^*(下記より借用)とすると、C^*の濃度は、もちろん連続濃度だ
２．そして、C^*の部分集合の集合（つまりべき集合）の濃度は、実数体のベキ集合の濃度だ>>514
３．任意のC^*の部分集合で通常の積を考えて、逆元や単位元を追加すれば、群を�
611:ｬす ４．問題は、群が一致する場合が生じるときをどう処理するか。（例えば、一つの数２から生成される群と二つの数２と４から生成される群は一致する） >>488 ”The notation C^* is also used to denote the punctured plane C-{0}. ” 問題を理解して頂いているとは思うが、一言
612:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 19:36:40.57 gUDLBQ6y.net
ところで、ふと今思ったが
>>514 ID:0jJw3FLYさんのご指摘は、ほぼ正しいと思ったが
一点、”アレフ2などと言わずに実数体のベキ集合の濃度と言えばいいだけの話です”という陳述がね
選択公理も連続体仮説も仮定しないとすると
基礎論的には、不成立かなと（せめて選択公理は必要だろう）
だから、>>539は、選択公理は前提ということでお願いします（＾＾
613:１３２人目の素数さん
15/09/27 19:45:02.55 puwZjbQp.net
>>539
> なんらかの解答
最短は「3<4」の3文字かな
614:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/09/27 22:15:01.45 gUDLBQ6y.net
解答ありがとう
それが、ID:puwZjbQpくんの数学の実力かい？ いい友！（＾＾
615:１３２人目の素数さん
15/09/27 23:13:33.28 puwZjbQp.net
>>542
「4<9」でも良いよ
616:１３２人目の素数さん
15/09/28 01:05:58.51 fF84s00a.net
>>537
自己言及といえば個人的にはホフスタッターの本を思い出す
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
GEBの方が有名だと思うが
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
「この文章には動詞がな」
があったことをなぜか思い出した
感心したのは
URLﾘﾝｸ(www.public.coe.edu) より孫引き
Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed
of ten a's, three b's, four c's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's,
thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty-five n's, twenty-four
o's, five p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's,
eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes,
seven hyphens, and, last but not least, a single !
ID:NpA6PxnJ=ID:puwZjbQpによって書かれたこの文には「ぬるぽ」という単語ガッ含まれている
617:１３２人目の素数さん
15/09/28 01:08:41.28 YvdaQEC1.net
>>544
チャイティン・オメガのスレにも書き込んでくれくれ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
スレ主はいいや・・・
618:１３２人目の素数さん
15/09/28 02:48:24.39 Dd+dZ/mj.net
現代数学概説って微積分と線形代数くらいの知識の人が読めるの？
619:１３２人目の素数さん
15/09/28 10:48:27.93 by0B8T2Y.net
>>546
おっちゃんです。>>338-340について聞いている工学部君？
「今の」微分積分や線型代数の内容なら、論理性が不足したり内容の数学的背景を知らないと読むのはムリ。
基本的に、現代数学概説Ⅰ、Ⅱの書き方はブルバキ流で、はじめから読むようになっている。
そのブルバキが書かれた目的が、微分積分などの解析学を厳密に展開することだった。
私自身が、岩波講座基礎数学 解析入門や線型代数 を読むのに必要に迫られて現代数学概説Ⅰ、Ⅱ
を少し読んだことがある。現代数学概説Ⅰでは、集合から始まり群、環、体へと進み、
最後は線型代数(ホモロジー代数)の内容で閉じている。そして、現代数学概説Ⅰの付録では、
杉浦解析入門Ⅰの最初やポントリャーギン連続群論に書かれている、
任意の完備な順序体は実数体R
620:に同型であることの証明も丁寧に書かれている。 今の線型代数では、群、環、体は導入せず、現代数学概説Ⅰの最後の方の解説をしている(と思う)。 同時に発行されている和書の数からしたら、今の方が多い筈。 そういう訳で、「昔の数学科のレベルの」微分積分や線型代数の知識があれば、読めると思う。
621:１３２人目の素数さん
15/09/28 20:44:51.84 EnwaIxfn.net
>>547
その説明だと、解析・線型代数と現代数学概説のどちらがどちらの基礎知識なのかさっぱりだぞ。
多分解析・線型代数が基礎だと言いたいのだと思うが、
＞解析入門や線型代数 を読むのに必要に迫られて現代数学概説Ⅰ、Ⅱを少し読んだ
と言ってるし、
＞任意の完備な順序体は実数体Rに同型であることの証明
については、現代数学概説では丁寧に書かれてるのでより初心者向きであるとも取れる。
622:１３２人目の素数さん
15/09/30 23:41:28.52 DjLsV/EM.net
体K、原始ｎ乗根をζ、f(x)=x^n-aとして、零点の一つをn√a とする。
このとき、K(ζ,n√a )がK(ζ)の巡回拡大である。
これってどう証明すれば…？？
623:１３２人目の素数さん
15/10/01 00:37:11.13 OrTFDs5M.net
f(x)がK(ζ)上既約であることが必要
624:１３２人目の素数さん
15/10/01 00:45:45.09 ICFD2tiY.net
おっと、その条件あった！すまんです
625:１３２人目の素数さん
15/10/01 01:27:44.93 OrTFDs5M.net
ζnが生成する乗法群をΜnとすれば、Μnは巡回群Cnと同型。
よって、Gal(K(ζ,n√a )/K(ζ))からΜnへの群同型写像を構成してやればよい。
626:１３２人目の素数さん
15/10/01 14:57:55.12 PNpv1+ee.net
>>546
おっちゃんです。何か>>547だとよく分からないみたいなので、
個人の学習法を晒すことになって、そんなことしても意味がないと思うんだけど、書き直します。
「今の」微分積分や線型代数の内容なら、論理性が不足したり内容の数学的背景を知らないと読むのはムリ。
基本的に、現代数学概説Ⅰ、Ⅱの書き方はブルバキ流で、はじめから読むようになっている。が、現代数学概説Ⅰは、
必ずしもはじめから1ページずつページを辿って読む必要はない。同様に、現代数学概説Ⅱも、位相の部分は、
はじめから読む必要はない。そのブルバキが書かれた目的が、微分積分などの解析学を厳密に展開することだった。
私自身が、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 を読むのに必要に迫られて
現代数学概説Ⅰの主に集合の部分、Ⅱの位相の部分を少し読んだことがある。現代数学概説Ⅰ(1960年初版)では、
集合から始まり群、環、体へと進み、最後は線型代数(ホモロジー代数)の内容で閉じている。そして、その付録では、
杉浦解析入門Ⅰの最初やポントリャーギン連続群論に書かれている、任意の完備な順序体は実数体Rに同型であること
の証明も丁寧に書かれている。しかし、この丁寧というのは、微分積分を学ぶ人にとっての丁寧ではなく、
この部分を理解するには群、環、体の知識が少しは必要で、その上位相も必要になる。
岩波講座基礎数学 線型空間、Jordan標準形と単因子論(両方線型代数)では、群、環、体、一変数複素解析は或る程度している。
現代数学概説Ⅰの付録では、位相も少し載っている。同時に発行されている和書の数からしたら、今の方が多い筈。
そういう訳で、「1970年代の数学科のレベルの」微分積分や線型代数の知識があれば、読めると思う。
627:１３２人目の素数さん
15/10/01 15:15:05.19 PNpv1+ee.net
>>546
ちなみに、「1970年代の数学科のレベルの」微分積分や線型代数 の本で、
>>553で挙げたのに近い今売られているモノだと、杉浦解析入門、齊藤線型代数入門(東大出版)かな。
どっちも持っていないので詳細は分からんが、一番近いモノは多分これだろうな。
それか、線型代数は裳華房の佐武か。佐武は内容を見たことがないので、よく分からない。
628:１３２人目の素数さん
15/10/01 19:48:59.18 ICFD2tiY.net
>>552
おおっ！ありがとう。それ読んで参考書見たら理解できた。
そういう意味だったのか。
この手の証明ってどこが本質なのかつかむのが難しい。
629:１３２人目の素数さん
15/10/01 20:15:07.07 +XOWdeo3.net
>>539
一応スレ主さんに聞いておきたいんですが、スレ主さんは
この問題を解けているんですか？
630:１３２人目の素数さん
15/10/01 22:33:11.77 HhSAXaUl.net
>>553
ありがとうございます。いま現代数学概説を注�
631:ｶしました。 私も線形代数は佐武の本で勉強しましま
632:１３２人目の素数さん
15/10/02 00:42:22.15 EgGrspfD.net
797 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/09/30(水) 23:03:20.60 ID:uPVcxvdI
区間[0,1]の実数集合の濃度と実数全体集合の濃度は等しい。
このことは、「選択公理が正しい」というのと等価なのか？
バナッハ＝タルスキーのパラドックス
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
というパラドックスと同じ話か？
798 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/30(水) 23:30:27.18 ID:vgvFGA4E
>>797
月とすっぽん
799 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/30(水) 23:33:40.12 ID:iWUT1FfZ
どっかのアホのスレ主と同じ勘違いしてる…
800 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/10/01(木) 00:20:54.55 ID:OrTFDs5M
どっかのアホのスレ主だから 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:405b7f1af0f5a85b432d79fa769e9aeb)
633:１３２人目の素数さん
15/10/02 19:29:42.93 pSG9KaNK.net
定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。
とのことですが…。わからない…
634:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/02 21:58:16.44 NcyDDzi0.net
>>556
どうも。スレ主です。
>一応スレ主さんに聞いておきたいんですが、スレ主さんは
>この問題を解けているんですか？
ああ、一応自分なりにはね。が、自分が先に解答を書くつもりはないよ
だれか、ほぼ正解に近いことを書いたあとでないと、解答は書かない
そうしないと面白くないだろ？（＾＾
なお、自分の解答をあらためて思い出すと、選択公理と（一般）連続体仮説を使っているね（この二つを仮定しないと、えらくややこしいことになりそう・・）
なので、選択公理と（一般）連続体仮説の二つを前提でどうぞ
強制ではないので、不要という解き方も可です
635:１３２人目の素数さん
15/10/02 22:07:22.24 MlbHRD0C.net
>>560
この問題に連続体仮説は無関係でしょ。選択公理は必要かと思いますが。
636:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 06:56:43.85 /7z3oMVs.net
>>561
どうも。スレ主です。
>この問題に連続体仮説は無関係でしょ。選択公理は必要かと思いますが。
詳しく書くと、解答のねたばらしになるので、書きたくないが
おそらく本質は、ご指摘の通りかも知れない
しかし、（一般）連続体仮説を置く方が、問題は簡単になると思う
それで解答を考えたから
637:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 07:04:39.15 /7z3oMVs.net
>>559
どうも。スレ主です。
人に教えるレベルではないのですが
まあ、せっかくこのスレに迷い込んできたので
Q：定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。
A：正直、初見です。LMという書き方も昔どこかで見たような。テキストだと、きちんと定義が書いてあるのでしょうが
定理→問題の流れからいうと、「K(a,b)がLM」を示せって誘導だと思う。が、LMの正確な定義も不明だし、まあ分かっても、まともにここで証明を書く気もないし
そこで、旧スレで紹介した雪本義人の講義ノートをカンニング
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:52番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
52 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2014/09/27(土) 21:15:34.50
大阪教育大学 数学教育講座
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
雪本義人の講義ノート
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
ガロア理論入門ノート（詳細） 体論(ガロア理論) 雪本義人
638:１３２人目の素数さん
15/10/03 07:34:36.14 ikZEN+WS.net
>>562
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。
639:C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。 証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の 集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。 よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。 このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
640:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 07:50:56.47 /7z3oMVs.net
>>563 つづき
雪本義人
「1.3. 拡大次数.」”L がK ベクトル空間として有限次元であるときL はK の有限次拡大であるという．”
”定理1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする．
(1) {α1, α2, . . . , αm} がM のK 基底，{β1, β2, . . . , βn} がL のM 基底ならば，
{αiβj j 1 ・ i ・ m, 1 ・ j ・ n}はL のK 基底である．
(2) (連鎖律) L/M とM/K が有限次拡大ならL/K も有限次拡大であって[L : K] = [L : M][M : K]”
あたりがご参考になるだろう
以下は、いわずもがな
「1.4. 代数的元，代数的拡大体.」”Iα を生成する多項式で最高次の係数が1 のものをα のK 上の最小多項式といいIrr(α,K,X)で表す．”
「1.5. 体の同型写像，自己同型写像.」
「6. ガロア拡大」
”定義6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡
大であるときG(L/K) をL/K のガロア群という．”
”問6.1. 拡大L ⊇ M ⊇ K においてL/K がガロア拡大ならばL/M はガロア拡大であることを示せ．”
”定理6.1. L/K を有限次ガロア拡大，G をそのガロア群とするとき次がなりたつ：
(1) L はある既約な分離的多項式の最小分解体である．
(2) [L : K] = |G|
(3) F(G) = K”
あと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。
ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。
ガロア拡大が可解 (solvable) とは、ガロア群が可解群、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
つづく
641:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 08:24:00.92 /7z3oMVs.net
>>565 つづき
>>563の問題に戻ると”有限次アーベル拡大”という記述から
”L がK ベクトル空間として有限次元であるときL はK の有限次拡大であるという．”
””定理1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする．
(1) {α1, α2, . . . , αm} がM のK 基底，{β1, β2, . . . , βn} がL のM 基底ならば，
{αiβj j 1 ・ i ・ m, 1 ・ j ・ n}はL のK 基底である．”
”α のK 上の最小多項式といいIrr(α,K,X)”
”定義6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡
大であるときG(L/K) をL/K のガロア群という．”
”ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。”
このあたり
ちらちらと浮かんでこないかな？（ここらの問題文にはない基礎的事項が浮かぶことが、解答への手がかりだと）
”Q：定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。”だった
で、アーベル拡大→ガロア群がアーベル群＆分離的かつ正規な代数的拡大
最小多項式といいIrr(a,K,X)の次数m, Irr(b,K,X)の次数nとして
ベクトル空間をイメージする
そのイメージをベースに、K→K(a,b)の拡大を考える
有限次アーベル拡大：有限次＋アーベル拡大と分解する（ここは数学の常套手段。問題文の分解）
「有限次」は、すぐできそうだろ？
あとは
アーベル拡大：ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大＝ガロア群＋アーベル群＋ガロア拡大と分解する
多分、ガロア拡大＝分離的＋正規な代数的拡大と分解して、ここから証明していくんだろう
途中、「自明」とか「明らか」とか許される範囲で記述を短くする（減点されないかの判断要。但し、減点覚悟で走る選択肢もありだろう）
もし試験なら、ポイントは「こいつは分かっている」と採点者に理解されるように、かなり基礎まで戻って記述�
642:ｷることかな （どこまで戻るか、試験のレベル、中間、期末、院試など、与えられている時間とコンテキストに依存）
643:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 08:31:54.11 /7z3oMVs.net
>>564
どうも。スレ主です。
おそらく正解と思う
私の解答よりレベル高いね（筋は同じだが）
但し、どこかで（一般）連続体仮説を使っているように思うが、いかが
644:１３２人目の素数さん
15/10/03 08:48:35.66 ikZEN+WS.net
>>567
連続体仮説は使っていません。そうおっしゃるなら具体的に私の証明の
どこで連続体仮説を使ったのか指摘するか、もしくは連続体仮説を使った
スレ主さんの解答を出してもらえませんか？
645:１３２人目の素数さん
15/10/03 09:26:44.47 8Qqw52e3.net
>>566
>途中、「自明」とか「明らか」とか許される範囲で記述を短くする
>（減点されないかの判断要。但し、減点覚悟で走る選択肢もありだろう）
通常、その手法は通用しない。「自明」とか「明らか」という言葉は、
書いた側にとっての「自明」であったり「明らか」ということで、
書いた側から見たときの表現になる。一般には、伝えんとすることが
伝える相手にとってそうかどうかは試してみるまで分からないので、
そういう書き方をすると、×をくらう。本に書いてある「自明」や「明らか」な
ことの証明を書き下すと、場合によっては、長くなることもある。
試験内容の用意段階でこういう状態なのだから、な、分かるだろ？、ってことだ。
646:１３２人目の素数さん
15/10/03 09:42:05.56 aVddQCNg.net
>>566
長々と講釈たれながら、結局何一答えてないレス乙
647:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 09:54:24.55 /7z3oMVs.net
>>544
どうも。スレ主です。あまり理解できなかったが、乙です！（＾＾
>>547-548＆>>553-554
おっちゃん、どうも。ID:EnwaIxfnさんどうも。コメントありがとう
648:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 10:03:24.29 /7z3oMVs.net
>>568
どうも。スレ主です。
「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
>>569
まあ、ご指摘の通りだろう
が、試験対策として、途中でつまって、あと白紙が良いのか、あるいは、つまったがその後は書けるので書くのがいいのかという選択
部分点がどこまでもらえるか
スルーして他の問題に時間を使うのが良いかの選択と思う
もちろん、自習の問題解きの場合はきっちりしておくべき
>>570
どうも。スレ主です。ご指摘の通りです（＾＾；
649:１３２人目の素数さん
15/10/03 10:40:59.66 ikZEN+WS.net
>>572
>「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
>Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
>の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
不要です。
理由:CはQ(S)の代数拡大となるのでCの濃度とQ(S)の濃度は等しい。それとQが可算であることからSの濃度は
Cの濃度に等しくなる。よってSは実数体の濃度を持つ。
私のほうは解答を提示したわけですが、スレ主さんのほうも解答を出していただけませんか？
お待ちしています。
650:１３２人目の素数さん
15/10/03 11:28:33.79 8Qqw52e3.net
>>572
>>569では毎度のように「おっちゃんです。」とか断っていないが、その>>569がおっちゃんだよw
>>569で書いたことは、試験に関わらず、本を読んで学習するときの基本姿勢だよ。
通常は、マトモな本なら、その本に書いてある演習の方が試験問題より難しいと思う。
定理の証明が「明らか。」の一言で終わっていることが少なくない位だしな。
そのマトモな本には、180分そこそこで解答を書ける問題ではないような類の問題が、
少なからずあると思う。180分で5、6題を解くとなると、合格点を取るには1題あたり4、50分位で
要領よく4題位？の解答を書く必要があるが、この対策をすることは、むしろ受験勉強の考え方に近いだろうな。
ちなみに、受験対策についてはよく分からんが、ペーパーテストでの
>選択 部分点がどこまでもらえるか
は余り期待しない方がいいと思うぞ。
651:１３２人目の素数さん
15/10/03 11:34:26.66 QaghnfbP.net
どうも、おっちゃんです
652:１３２人目の素数さん
15/10/03 19:16:20.68 KmzJUgXa.net
おっちゃんが例に挙げた本をやれば数学科でも胸を張ってやっていけますよね？
653:１３２人目の素数さん
15/10/03 20:14:52.45 1STOGKW3.net
>>571
自分の書き込みに対して補足しておくと
>>539
> ４．問題は、群が一致する場合が生じるときをどう処理するか。
> （例えば、一つの数２から生成される群と二つの数２と４から生成される群は一致する）
に対して
> 最短は「3<4」の3文字かな
3<4 = 2^2なので非可算無限集合である区間(2, 3)から数の組を選ぶようにすればよい
654:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 09:53:33.96 MnTM7Vmd.net
>>573
どうも。スレ主です。
一晩考えたが、見事な解答ですね>>564（＾＾；
ハメル基はそうやって使うのか・・
連続体仮説不要も納得です
655:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 10:14:36.50 MnTM7Vmd.net
>>578 つづき
即私の解答と行きたいが、その前に少し経緯を
１．問題は、このスレの>>407にあるが、”「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
だから証明は求めていない”
だった
２．起源は、おっちゃんの出題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
498 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
次の問題はどう？ スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。
３．で私の解答は
508 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/02/01(日) 20:32:19.43 ID:3tUKswY5
>>503 補正
超越数に限定しても、”c0≠c1ならG0≠G1”の証明には、あまり関係ない（ここを証明しておかないと単射性がゆらぐ）
証明には、c0とc1が、代数的に無関係である（もっと言えばべき乗での関係が付かない）という二つの数の間の関係がポイントだから
１．なので、こうしよう。一般性を失わずc0≠c1かつ1＜|c0|＜|c1|とする（|c0|、|c1|などは複素数の絶対値を表す記号）
２．c1から生成される任意の元 （c1）^n (c1のn乗でnは任意の整数) に対し、容易に分かるように|(c1）^n|≦１（nが負または0のとき）または|c0|＜|(c1）^n|（nが正のとき）
３．従って、c0 ∉ G1 が言えるので、c0≠c1 かつ 1＜|c0|＜|c1| のとき G0≠G1 が言える
４．よって、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを考えると、複素数C→部分群Bの単射が定義できる。
５．つまり、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを要素とする集合をB’とすると、B’は複素平面1＜|c|の部分と同じく非可算無限集合である
６．そこで複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群の集合をUとすると、明らかにB’⊂Uであるから、Uは非可算無限集合である
７．なお、乗法は可換でアーベルだから、部分群が即正規部分群であることは先に述べた通り
８．また、複素平面 1＜|c| の部分が非可算無限集合であることを証明していないが、それは集合論にゆずる
（c0から構成される乗法群の詳細は>>501に記した通り）
656:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:34:51.11 uCW4EUSk.net
>>556
おっちゃんです。「例に挙げた本」が少し多くて具体的にどういう本を指しているのか分かりかねるが、
「数学科でも胸を張ってやっていけますよね？」の部分から察するに、それこそ、>>374や>>387の工学部君だろう。
勝手ながら、一応そう仮定する。最初に、>>194や>>338-339、>>442で挙げた本には一長一短があり、必ずしも
私がそれらのレスで挙げた本が絶対的で完全に学習に相応しい本とはいい切れないことは断っておく。人によっては、
それらのレスで挙げた本が向かないということもある。そして、挙げた本の内容だけで十分とはいえないと思う。
>>374の内容からしてないとは思うが、もし、工学部君が線型代数や微分積分、集合・位相の本について聞いているとき。
そちらを聞いているなら、>>553-554の方の、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 については、
線形代数や微分積分「だけ」を学習するなら、間違いなくいいとは思う。
ついでに、線形代数や微分積分の他
657:の分野も或る程度学習することになって、力が付くんで。 集合・位相の現代数学概説Ⅰ、Ⅱの方は、何といえませんな。現代数学概説Ⅰの 群・環・体の代数系の部分や、Ⅱの測度論の部分については、現代数学概説Ⅰ、Ⅱより 内容的にもっと詳しくていい本があるんで。 何れにしても、肝心なのは読み方でどれだけ丁寧に深く(場合によっては広く)読んだか ということでしょうな。まあ、参考にでもして下さいな。
658:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:37:59.56 uCW4EUSk.net
あ、レス番号間違えた。>>580は>>576へのレス。
659:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:39:49.25 uCW4EUSk.net
>>576
おっちゃんです。「例に挙げた本」が少し多くて具体的にどういう本を指しているのか分かりかねるが、
「数学科でも胸を張ってやっていけますよね？」の部分から察するに、それこそ、>>374や>>387の工学部君だろう。
勝手ながら、一応そう仮定する。最初に、>>194や>>338-339、>>442で挙げた本には一長一短があり、必ずしも
私がそれらのレスで挙げた本が絶対的で完全に学習に相応しい本とはいい切れないことは断っておく。人によっては、
それらのレスで挙げた本が向かないということもある。そして、挙げた本の内容だけで十分とはいえないと思う。
>>374の内容からしてないとは思うが、もし、工学部君が線型代数や微分積分、集合・位相の本について聞いているとき。
そちらを聞いているなら、>>553-554の方の、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 については、
線形代数や微分積分「だけ」を学習するなら、間違いなくいいとは思う。
ついでに、線形代数や微分積分の他の分野も或る程度学習することになって、力が付くんで。
集合・位相の現代数学概説Ⅰ、Ⅱの方は、何といえませんな。現代数学概説Ⅰの
群・環・体の代数系の部分や、Ⅱの測度論の部分については、現代数学概説Ⅰ、Ⅱより
内容的にもっと詳しくていい本があるんで。
何れにしても、肝心なのは読み方でどれだけ丁寧に深く(場合によっては広く)読んだか
ということでしょうな。まあ、参考にでもして下さいな。
>>580でレス相手間違えたから、書き直した。
660:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:48:21.30 uCW4EUSk.net
>>576
あと、>>582には書かなかったが、>>340で書いたポントリャーギン上下は、
今は和書としては売っていないが、これは読み易くていいでしょうね。
661:１３２人目の素数さん
15/10/04 11:13:26.54 uCW4EUSk.net
>>578
>ハメル基はそうやって使うのか・・
>>564では
>複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。
と書いてあるから、ハメル基底は使っていない。超越基底の定義から、
Sは、1)：Sに属する点の代数的独立性、2)：複素数体Cが体Q(S)の代数拡大体である
ことを両方満たす必要があるが、ハメル基底をHとすると、その定義からは、
H≠Φは実数体Rの部分集合で、Hは複素数体Cが体Q(H)の代数拡大体であることを
満たす必要はない。Hが満たす条件は、Hに属する点がQ上線型独立で、
任意の実数が、Hに属する有限個の点を使って、有理数係数の一次結合として表されていればよい。
662:１３２人目の素数さん
15/10/04 11:22:58.71 uCW4EUSk.net
>>584
例えば、超越数eについて、eと√eは有理数体Q上線型独立だから、
ハメル基底の定義から、e,√e∈H だが、eと√eはQ上代数的従属だから、
超越基底の定義から、e,√e∈S は満たさない。そのあたりが違うんですな。
663:１３２人目の素数さん
15/10/04 11:27:46.99 uCW4EUSk.net
また>>585ではレス相手間違えた(相手はスレ主だった)から、以下のように書き直し。
>>578
例えば、超越数eについて、eと√eは有理数体Q上線型独立だから、
ハメル基底の定義から、e,√e∈H だが、eと√eはQ上代数的従属だから、
超越基底の定義から、e,√e∈S は満たさない。そのあたりが違うんですな。
664:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 13:36:32.65 MnTM7Vmd.net
>>579 つづき
１．で３の解答は、一つの複素数から成る群Gを考察して、それが1＜|c0|＜|c1|の場合に、G0≠G1 を示した。そして、それだけで、非可算無限が言えた
２．そこで、二つ以上の複素数から成る群Gを考えれば、連続濃度の”べきの濃度”を持つが言えるんじゃないかと、考えた
３．私の解答は、この問題を作る過程そのものだよ
４．二つ以上の複素数から成る群Gを考えると、群Gが一致する場合が出てくる。特に、連続する区間を含む場合が、大きな問題になる
５．>>597で示した解答は、実は実数Rで考えて、それを複素数1＜|c0|＜|c1|したんだ。そこで、任意の実数の組みで、群Gを考えた。しかし、連続する区間を含む場合、すぐ分かるが実数R全体に広がるんだ
６．そこで、実数x∈Rを偏角πθ（θは超越数）に写せば、x→xe^iπθみたいな形で、複素数の群G’は異なるんじゃないかと。しかし、偏角πθが一定だとうまく行かない＊）。x毎に変えた方が良いと
＊）偏角πθが一定だと、逆数との組み合わせで、実軸上の１の近くに連続する区間が演算の結果生じる。そうなると、群が肥大して一致する
７．そこで、θ＝tan^-1(x)（アークタンジェント）みたいなことを考えた
８．なお、後の視覚的説明のために、x→xe^iπθ|θ＝(1/(2π))tan^-1(x)とする。xが大きくなると、tan^-1(x) は1/2πに近づく。θは1/4に近づく。xe^iπθは、xe^iπ1/4（即ち複素平面上の実数軸に対し45度の直線）に漸近する。
逆数1/( xe^iπθ)は当然ながら、偏角はマイナスになる。
９．そこで、例えば、xを連続区間[2,3]で考えると、θ＝(1/(2π))tan^-1(2)～ (1/(2π))tan^-1(3)の区間になる。この区間に存在する数は、超越数が殆どであるとかんがえることができる。言い換えると、θはほぼ超越数と考えて良い＊）。
（注＊）議論を単純化するために、連続区間から有理数を除いて、全て無理数から成ると考えても良い）。
１０．そうすると、任意の実数の連続区間を上記のように、複素平面の曲線に移して、複素数からなる数で構成される群Gを考えると、群Gは連続区間を含む任意の実数の部分集合に対して、部分集合が異なれば、Gは異なることが期待できる。
（少数の例外がありそうだが、おそらく可算か連続非加算レベルに留まるので、連続のべき集合の濃度には影響しない。）
１１．私の考察は、ここまでだった。
665:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 13:59:50.04 MnTM7Vmd.net
>>587 つづき
１．>>587の過程で、選択公理と連続体仮説を置いた方が、議論がすっきりしてくるだろう
２．いま、>>564を読むと、超越基底を使って、上記の考察を整理できるように思えるね（まだうまく整理できないが）
３．なお、一度:実数R^*を0でない実数全体として、そこで実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sをとって、そこで同じようにして、その後結果をC^*に拡張するのがきれいかも知れないね
４．半年以上解答者が現れなかったが、すっきり解決で良かったよ（＾＾
666:564
15/10/04 14:32:24.15 H61OoTNS.net
>>587
>１０．そうすると、任意の実数の連続区間を上記のように、複素平面の曲線に移して、複素数からなる数で構成される群Gを考えると、群Gは連続区間を含む任意の実数の部分集合に対して、部分集合が異なれば、Gは異なることが期待できる。
> （少数の例外がありそうだが、おそらく可算か連続非加算レベルに留まるので、連続のべき集合の濃度には影響しない。）
この問題の難しい部分は相異なる生成系から同じ部分群が生成されてしまう可能性を考慮しないといけない点です。
なのでそこがクリアできていないスレ主さんの考察は解答には遠いものであると思います。
というか、そもそも実数の区間全体のなす集合は実数体の濃度を超えないものなのでこの路線では証明になりません。
>>588
>２．いま、>>564を読むと、超越基底を使って、上記の考察を整理できるように思えるね（まだうまく整理できないが）
>３．なお、一度:実数R^*を0でない実数全体として、そこで実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sをとって、そこで同じようにして、その後結果をC^*に拡張するのがきれいかも知れないね
この問題を解くには超越基底のようなものを選択公理を使って作り出すことが不可欠であると思います。
スレ主さんのように素朴に部分集合をとってきてそれが生成する部分群を考えるというやり方では証明はできないのではないでしょうか。
667:１３２人目の素数さん
15/10/04 14:49:02.86 Fwg656DQ.net
＞４．半年以上解答者が現れなかったが、すっきり解決で良かったよ（＾＾
その大部分は問題自体が不明確で誰も見向きもしなかっただけなんだが
668:１３２人目の素数さん
15/10/04 14:58:40.67 Fwg656DQ.net
スレ主がわからなくて誰かに教えてもらおうとしていたのかとも思ってたが
どうやらしょーもない自分の答えが正しいと本気で信じ込んでいたようだ
669:１３２人目の素数さん
15/10/04 14:59:37.51 +NFJdZgv.net
あれだけ大声で
「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」
と言っていたスレ主が、まさかそのスレ主自身が、
「実は解けてなかった」
という大失態ｗｗｗｗｗｗ
670:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:17:49.78 MnTM7Vmd.net
>>584-586
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ハメル基底と超越基底のフォローありがとう
ハメル基底と超越基底とは、違うが、数体を線形空間と考えたときの基底であることは同じなんだね
ところで、おっちゃんの問題は解かれてしまったので、またなにか考えてよ
雑魚つぶしの問題を（＾＾
671:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:21:14.73 MnTM7Vmd.net
>>590-592
人が解いたあとに、おれもか
まあ、だれでも言えるよ
悔し紛れは（＾＾
もともと問題設定で、理由を付して述べよ
だから証明は求めていない”
だった（＾＾
672:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:24:49.65 Fwg656DQ.net
何の言い訳にもなってないｗ
673:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:26:19.97 +NFJdZgv.net
>>594
苦し紛れは解けてなかったお前の方であるｗｗ
お前の論法を認めてしまうと、自分が解けてなくても「解けたフリ」をして
何でもかんでも他人に押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と
威張り腐ることが出来てしまう。お前がやってるのはそういうこと。
詭弁もいいところだなクソッタレｗ
674:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:48:04.67 MnTM7Vmd.net
>>589
どうも。スレ主です。
564さんか。レベル高いね
>この問題の難しい部分は相異なる生成系から同じ部分群が生成されてしまう可能性を考慮しないといけない点です。
そうそう。だから、半年以上だれも、実質的な質
675:問もコメントも無かった。難しいことが分かったからだろう >というか、そもそも実数の区間全体のなす集合は実数体の濃度を超えないものなのでこの路線では証明になりません。 いや、任意の実数の部分集合を考えたときに、その集合の中に連続区間を含む場合の処理が一番難しい そこをどう処理するかだ >この問題を解くには超越基底のようなものを選択公理を使って作り出すことが不可欠であると思います。 >スレ主さんのように素朴に部分集合をとってきてそれが生成する部分群を考えるというやり方では証明はできないのではないでしょうか。 そうかも知れない。超越基底は全く浮かばなかった というか、旧スレでおっちゃんが、証明しようとしたのが、それだったような気がする・・（下記） 当時、なにをしているのか読む気がしなかったがね。 話は戻るが、「連続濃度の”べきの濃度”」はそうそう実現できるものではない。いろんな例外事象が、連続濃度以下に留まるという評価ができれば、最初の線でも可能だと今でも思っているけどね。但し、場合分けが煩わしいことは確かだし、,議論が複雑になる なお、大体どの時代でも、最初の証明は苦心惨憺してできて、その後他人がもっと簡単にできると別証明を出すパターンが多いよ 記 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/ 571 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/04(水) 08:35:35.49 ID:hajkjFF/ [第3段]：任意の1＜a＜bなるa、b∈Aに対してH(a)≠H(b)なることを示す。 は、通常の加減乗除が定義される位相についてのQ上の線型位相空間R の基底が非可算無限個存在することを示せば終了している。 ・・・ 以下略
676:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:50:17.03 MnTM7Vmd.net
>>596
笑える（＾＾
おまえが、この問題が解かれる以前に、この問題に関してこのスレに書いたことを提示してみろよ、おい
677:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:51:11.99 MnTM7Vmd.net
なんにもなし
それで大口を叩く暇人
数学レベルが分かるね（低）
678:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:51:24.27 +NFJdZgv.net
ちなみに、せっかく「連続体仮説」「ハメル基底」というキーワードが出てるのに、
なおも正解に辿り着かないスレ主はいよいよ おバカであるｗｗ
超越基底を使わずとも、連続体仮説とハメル基底があればこの問題は簡単に解ける。
超越基底を使った証明は既にやられてしまっているので、
今度は連続体仮説とハメル基底を使った証明を「スレ主が」やるべきであるｗｗ
でなければ格好がつかないｗｗｗ
今のままでは、自分が解けてなかった問題を他人に押し付けて
威張り腐っていたことになってしまうからなｗｗ
679:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:54:31.26 +NFJdZgv.net
>>598
その言い分は、「お前が解けていた問題」でなければ通用しないｗｗ
お前自身が全く解けてなかった問題に対して、
他人がその問題にどのような興味を示そうが何の関係もないのであるｗｗｗ
重要なことはただ1つ。お前は、自分が解けてなかった問題を
他人に押し付けて威張り腐っていたということであるｗｗｗ
お前の論法を認めてしまうと、自分が解けてなくても「解けたフリ」をして
何でもかんでも他人に押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と
威張り腐ることが出来てしまう。お前がやってるのはそういうこと。
詭弁もいいところだなクソッタレｗ
680:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 16:03:53.84 MnTM7Vmd.net
昔、数学の黎明期にフェルマーという人がいた
かれは、結構問題や定理を証明なしに手紙に書いたという
亡くなってから、遺稿の中に見つかったのが、フェルマーの最終定理とよばれるものだった
ところで、問題であれ、予想であれ、それを表明することはなんの問題もないはずだ
>>579の冒頭に記した問題は、>>596のような雑魚を蹴散らし、悔しがらせる便利な道具として、存分に使わせもらった。その意味で、私にとって非常に有益だった（答えを書かないことがキモだよ（＾＾；）
この問題がかなり難しいとは感じていた。何か書かせりゃ、そいつのレベルが分かる。だから、解答が得られるまで、だれも何も書けなかったんだろう・・
さらには、>>564のようなすばらしい解答が得られて、非常に勉強になりました。ありがとうございました（超越基底Sやハメル基底の使い方よくわかりました）m（＿ ＿）m
681:１３２人目の素数さん
15/10/04 16:13:24.96 +NFJdZgv.net
>>602
＞ところで、問題であれ、予想であれ、それを表明することはなんの問題もないはずだ
詭弁であるｗｗ
お前は問題を表明したのではない。お前は、さも自分がその問題を「解決済み」であるかのように扱い、
さらには他人にその問題を押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と威張り腐ったのであるｗｗ
自分が解けてなかった問題を他人に押し付けて「この問題が解けるか！」と
威張り腐る行為は、「
682:問題を表明した」とは言わないｗｗ ところで、スレ主は意図的に>>600を避けてこの話題を終わらせようとしているように見えるが、 ここまで来てそのような態度は許されないｗｗｗ 以下、スレ主には>>600に答えてもらう。そう、スレ主が他人に対して 「オマエラにこの問題が解けるか！」と言っていたの同じ構図であるｗｗｗ 今度はスレ主の番というわけだｗｗｗ まあ、>>600くらいヒントがあれば、さすがにスレ主にも解けるだろうｗ
683:１３２人目の素数さん
15/10/04 16:21:44.72 Fwg656DQ.net
＞答えを書かないことがキモだよ（＾＾；）
書かないも何も、スレ主の答えは大間違い
684:１３２人目の素数さん
15/10/04 16:22:21.17 +NFJdZgv.net
一応、おバカのスレ主に、何が詭弁なのかを詳しく説明しておくとしようｗｗｗｗ
ただ単に「問題を表明した」だけであれば、その問題に対して他人が
どのように反応しようが、何の問題もないはずである。たとえ他人が
その問題に対して無反応であろうが、何の問題もないはずである。
なぜなら、問題を表明するとは、そういうことだからだｗｗｗ
一方で、>>598を見れば一目瞭然だが、スレ主はこの問題に対して明らかに
「何らかの反応」を求めており、反応が無い人間に対しては、
なぜか批判的な態度に出ている(威張り腐っている)。
したがって、スレ主は、口では「問題を表明しただけ」と言っておきながら、
実際にはそれ以上のものをこの問題に込めているのであり、そこが詭弁なのであるｗｗｗ
そして、スレ主がこの問題に何を込めているのかは明らかである。
一言で言えば「バカ避け」である。すなわち、
「オマエラにこの問題が解けるか？解けないならバカと見なすぞ」
というわけである。
ならば、少なくともスレ主はこの問題が解けていなければならぬｗｗｗｗ
さあスレ主よ、>>600のヒントに基づいて、この問題をキチンと解きなさいｗｗｗｗｗ
685:１３２人目の素数さん
15/10/04 17:22:33.35 m1C1Yr3b.net
>>593
とりあえず、超越基底は線形空間としての基底ではない
686:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/08 21:23:28.62 bfTtX3it.net
どうも。スレ主です。
今日は変則です
ところで、皆さんは、ポーカーというゲームを、ご存知だろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ポーカーの特徴
ポーカーは、ハンドの強さを競うゲームである。相手をフォールドさせれば（ゲームから降りさせれば）、ハンドの強さに関わらず勝つことが出来る
687:１３２人目の素数さん
15/10/08 21:28:32.39 aJ3QIvey.net
土日はまだだよ
688:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/08 21:31:30.92 bfTtX3it.net
普通は、自分の手の内隠して、ゲームは進む
みんなべた下りしてたんだ
下りたやつは負けたんだよ、何をいっても負け犬
689:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/08 21:43:06.85 bfTtX3it.net
ところで、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」>>380
は、新作問題かなと予想しているんだ
理由は、群という抽象代数を対象に、連続濃度の”べきの濃度”を扱うことは、あまりないと思うから
まあ、和書では見たこと無いから
もし、ここに出ているということがあれば教えて下さい。それまでは、新作予想を信じているよ
ともかく、>>564 ID:ikZEN+WSの解答は見事だね
690:１３２人目の素数さん
15/10/08 21:48:03.04 Ty6UpwaX.net
>>609
お前が言うなよ不正解君ｗ
そもそもこっちは問題にすらなってない代物端から眼中にねーし
降りたとか勝手に言われてもなあ
691:１３２人目の素数さん
15/10/08 23:12:47.78 hfwG7BP+.net
>>609
ただ単に「問題を表明した」だけであれば、
その問題に乗っただの下りただのといった、余計なイチャモンが発生する余地はない。
となれば、お前はこの問題に「表明した」ということ以上のものを求めていることになる。
端的に言って、お前はバカ避けとしてこの問題を使っていたのである。
「オマエラにこの問題が解けるか？解けないならバカと見なすぞ」
というわけである。
ならば、少なくともお前はこの問題が解けていなければならぬｗｗｗｗ
さあスレ主よ、>>600のヒントに基づいて、この問題をキチンと解きなさいｗｗｗｗｗ
692:１３２人目の素数さん
15/10/08 23:27:13.73 hfwG7BP+.net
スレ主が未だに強気なのは、
「オレの方針だって、頑張って場合分けすれば解答に辿り着くさ」
という希望的観測があってのものである。
しかし、スレ主の方針では根本的に「高々連続濃度」までしか到達できない�
693:ﾆいうことに、 スレ主は全く気づいていないｗｗｗｗｗ スレ主の希望的観測は、ここに打ち砕かれるのであるｗｗｗｗ まず、C内の連続曲線は、全て集めても連続濃度にしかならないという事実に気づこう。 「そんなバカな、連続濃度のべき濃度まであるだろ！」と思うかもしれないが、 そんなことはなく、連続濃度にしかならないｗｗｗｗ 連続曲線は非常に少ないのであるｗｗｗ もうこの時点で、スレ主が作ろうとしているGの個数(というか濃度)は高々連続濃度にしかならんのだが、 スレ主の方針はさらに致命的な欠陥を抱えているのであるｗｗｗ
694:１３２人目の素数さん
15/10/08 23:35:51.26 hfwG7BP+.net
定義
あるr＞0とθ∈Rに対して { r^te^{iθt}｜t∈R } と表される集合のことを「渦巻き」と呼ぶことにする。
定理1
C^*の部分群Gが、C内のある連続曲線γに対してγ⊂Gを満たすならば、
G＝C^*であるか、もしくはある渦巻きΓが存在してγ⊂Γ⊂G が成り立つ。
定理2
C^*の部分群Gが、2つの異なる渦巻きΓ,Γ'をともに包含するならば、G＝C^*である。
定理1により、異なるGを作るために使える連続曲線は「渦巻きの一部分」しか無いことが分かるｗｗｗ
もうこの時点で、スレ主の方針では「高々連続濃度」までしか到達できないことが完全に確定するｗｗｗｗｗｗ
余談だが、定理1と定理2により、「ある渦巻きの一部分」「別の渦巻きの一部分」をともに含むGは
G＝C^*になってしまうことが分かり、いよいよスレ主の方針はナンセンスだということが分かるｗｗｗｗ
こうなったら、「不連続な曲線」まで考慮に入れるしかないわけだが、その不連続な曲線のごく一部分でも
連続だったら定理1に帰着されてしまうｗ
よって、考えるべき「不連続な曲線」は「いたるところ不連続」でなければならず、極めて病的ｗｗ
もはや「曲線」ではなく、単なる「写像」ｗｗ
いよいよ選択公理のニオイがするｗｗ
こうして、スレ主がこの問題が解ける余地など、最初から微塵もなかったということが確定するのだったｗｗｗｗ
695:１３２人目の素数さん
15/10/09 00:27:28.37 phvvXNko.net
希望的観測じゃなくてキチンと解けよ
↓
２ちゃんで証明は書きたくない
で逃げまくるんだろうなあ（遠い目）
696:１３２人目の素数さん
15/10/09 00:44:55.82 vh5z+a2B.net
スレ主が数学徒としてやるべきこと：
・ 解答にカスリもしてなかったのに解けたと勘違いしていた無能な自分を責め、厳密に問題を解きなおす
スレ主が人間としてやるべきこと：
・ 解答にカスリもしてなかったのに「バカ避け」に使って威張り腐ってしまった愚かな自分を責め、周囲に謝罪する
1つ目は数学徒として必須事項。くだらない言い逃れに時間を使ってるヒマがあったら
きちんと解けやクソッタレ。それでも数学徒かテメーは。
既に書いたとおり、お前のクソみてーな方針じゃ解答にカスリもしねえから>>600を使え。
2つ目は人間として必須事項。もはや数学以前に道徳・倫理の問題。
ここまでやっておいてポーカーなんぞを引き合いに出して
幼稚な言い逃れをするなど言語道断。ハッキリ言うが、お前は人間ではない。
周囲に謝罪するか、もしくはこれ以上の言い逃れをせずに完全に口を閉じろ。
697:564
15/10/09 09:57:44.27 h0FUr9tN.net
>>597
じゃあ類題を出します。
問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
これは元の問題の理解度を示す良い試金石だと思います。
これを解いてくれませんか？
698:１３２人目の素数さん
15/10/09 16:38:27.73 lxU3tk2H.net
>>616
人を人とも思わないような奴に道徳を語る資格は無い。
人格に優劣を見出し、それを語るのに能力の優劣を持ち出すというのはまさに誤謬を招くための手段でしかない。
699:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:34:32.49 dUxA1EKK.net
どうも。スレ主です。
いやー盛り上がっていますね
雑魚は無�
700:汲ｵて >>617の”564”さん、どうも。面白い問題ありがとう 秒殺とは行かないが、面白そうだよね ちょっと、考えると、”実数体のべき集合の濃度”かな いくつか、解答への筋は浮かぶが、まあ、私がすぐ答えを書ける訳も無く また、すぐ書くと、皆様の問題を解く楽しみを奪うので、しばし問題を晒すことにしましょう（おそらく１ヶ月くらいは） 皆さん、一緒に考えましょう！（＾＾
701:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:45:36.25 dUxA1EKK.net
せっかくなので、>>564の復習から
>>606
どうも。スレ主です。
するどいご指摘ありがとう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
超越次数（ちょうえつじすう、英: transcendence degree）は抽象代数学において、体の拡大 L /K の「大きさ」のある種のかなり粗いはかり方である。きちんと言えば、K 上代数的に独立な L の部分集合の最も大きい濃度として定義される。
L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。
代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
このアナロジーは次のことを観察することによってより形式的にできる。
ベクトル空間における一次独立と体の拡大における代数的独立はともにマトロイドの例であり、それぞれ線型マトロイドと代数的マトロイドと呼ばれる。
したがって、超越次数は代数的マトロイドのランク関数（英語版）である。すべての線型マトロイドは代数的マトロイドに同型であるが、逆は成り立たない[2]。
事実
M/L が体の拡大で L /K がもう1つの体の拡大であれば、M/K の超越次数は M/L と L/K の超越次数の和に等しい。
これは次のことを示すことによって証明される。M/K の超越基底は M/L の超越基底と L /K の超越基底の和集合をとることによって得られる。
702:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:47:50.16 dUxA1EKK.net
>>620 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。
代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
証明のために、まず L/K の超越基底 S をとる。K(S) の元は K に係数をもつ S の元の多項式の商である。
したがって自己同型 f は S のすべての元をそれ自身に送ることによって K(S) の自己同型に拡張できる。
体 L は K(S) の代数的閉包であり、代数的閉包は同型を除いて一意的である。このことは自己同型がさらに K(S) から L に拡張できることを意味している。
別の応用として、複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。
S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。
そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
超越次数によって体の大きさを直�
703:ｴ的に理解することができる。 例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
704:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:53:05.32 dUxA1EKK.net
>>620 つづき
ベクトル空間の基底のアナロジーとして、理解すれば良いと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マトロイド
マトロイド(matroid)はある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。
歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。
特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。
ベクトルマトロイド (vector matroid)
Eは体上の行列Cの列集合で、Fの元に含まれる列集合はその体上で線形独立である。
体を理解しなくても、その部分を実数と読み替えれば線形代数でよく知られた事実よりマトロイドであることが分かる。
本項ではベクトルマトロイドと捉えて解説することはないが、マトロイドという名前が行列(matrix)によるという事実を見ても分かるとおり、歴史上は行列の線形独立性から発展した概念である。
705:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:13:06.41 dUxA1EKK.net
>>622 つづき
「双対」へのリンクがあった。関連抜粋
アーベル群の双対の記事が、今回の問題の関連かな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双対
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で "元に戻る"）。
また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。
アーベル群の双対
アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。
アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。
アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。
さらに、有限アーベル群 G の部分群 H に対し、G^ の部分群 H* を、
H* := {χ ∈ G~ | χ(h)=1 for all h ∈ H} : 全ての H の元を 1 に写す指標全体
で定義し、G^ の部分群 Φ に対して G の部分群 Φ* を
Φ* := { g∈ G | Φ(g)=1 for all Φ ∈ Φ } : Φ の任意の指標によって 1 に移されるような G の元全体
と定義すると、自然な同型
H* ≒ (G / H)^, Φ* ≒ (G~ / Φ)^
が成立する。さらにまた H を H* に対応させるような G の部分群全体から G^ の部分群全体への写像は全単射で、(H*)* = H が成り立つ（Φ* に関しても同様）。
そして有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。
706:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:16:27.82 dUxA1EKK.net
>>623
蛇足だが、ここでは、「0 を除く複素数全体のなす乗法群 C×」としているね
*を、H*などで使いたかったんだろう
707:
708:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:24:19.10 dUxA1EKK.net
>>621 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
の外部リンクで
1^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp. 100-101.
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
これ、いま v4.51 (August 31, 2015). Minor corrections; 138 pages. に成長してP109～になっている
709:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:52:11.84 dUxA1EKK.net
>>625 つづき
リューローの定理を念のため。Milneにある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リューローの定理
数学において、リューローの定理 (Luroth's theorem) は、Jacob Luroth にちなんで名づけられているが、体論の結果であって、有理多様体と関係がある。定理が述べているのは、K(X) の部分体でもある体 K のすべての体拡大は単拡大であるというものである。
定理のステートメント
K を体とし M を K と不定元 X に対して K(X) の間の中間体とする。するとある有理関数 f(X)∈ K(X) が存在して M=K(f(X)) である。換言すれば、K と K(X) の間のすべての中間拡大は単拡大である。
リューローの定理の証明は有理曲線の理論から容易に種数の幾何学的概念を用いて得られる。
リューローの定理は一般に初等的でないと考えられているにも関わらず、体論の基本だけを使ったいくつかの短い証明が長い間見つかってきた。
実質的にはすべてのこれらの単純な証明は原始多項式に関するガウスの補題を主要なステップとして使う（例えば [1] を見よ）。
710:１３２人目の素数さん
15/10/09 18:56:18.92 vh5z+a2B.net
>>618
バカかてめーは。
まさに能力の優劣を持ち出して威張り腐ってたのがクソッタレのスレ主だろうが。
実際には解答にカスリもしてなかったくせになｗｗ
＞人格に優劣を見出し、
バカかてめーは。
人格の優劣を語らずに道徳・倫理を語ることはできないだろｗｗ
「こういう人格の人間になると周囲の迷惑だから、こういう人格はダメなんだよ」
と人格に優劣をつけるのが道徳であり、倫理だろｗｗｗ
人格に優劣が無いなら、道徳も倫理も必要ないだろｗｗｗ
711:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 19:03:50.91 dUxA1EKK.net
>>626
Milneより、下記も関連だな
Separating transcendence bases
THEOREM 9.27 If F is perfect, then every finitely generated extension E of F admits a separating transcendence basis over F .
Transcendental Galois theory
THEOREM 9.29 Let Ω be an algebraically closed field and let F be a perfect subfield of Ω
.
If α ∈ Ω
is fixed by all F -automorphisms of Ω
, then α ∈ F, i.e., Ω^(Aut(Ω/F)
=F.
712:１３２人目の素数さん
15/10/09 19:26:32.94 vh5z+a2B.net
564よ、どうやらスレ主は、あんたが出した類題すら「悪用」しようとしているようだ。
あんたの口から、スレ主にハッキリ言ってやれ。
「この類題はスレ主専用の問題であって、他人は全く関係がない。むしろ他人は口出しするな」
と、スレ主にハッキリ言ってやれ。スレ主が書いた
＞また、すぐ書くと、皆様の問題を解く楽しみを奪うので、しばし問題を晒すことにしましょう（おそらく１ヶ月くらいは）
＞皆さん、一緒に考えましょう！（＾＾
この言葉から察するに、スレ主はこの類題を「スレ全体に向かって提示された、共有された問題」
という位置づけにすり替えようとしている。それは564の本意ではないだろう？
この程度の類題に即答できない時点で問題外なのだが、それをスレ主は1ヶ月も晒し続けると言っている。
スレ主は、それで一体なにをするつもりなのか？―明らかである。どうせまた「バカ避け」に使うつもりなのだ。
一ヵ月後、スレ主は次のような発言をするのである。
「オマエラはこの類題に対してどんな意見
713:を書き込んだのだ？ノータッチだっただろ？そういう雑魚は引っ込んでろ」 と、このような態度に出るつもりなのであるｗｗｗ スレ主は>>593で「雑魚つぶしの問題」とやらを欲しがっていた。 そこへ564の類題が登場した。これを悪用するつもりでいるのだ。 564はスレ主の理解度を測るために類題を出してるんだから、スレ主が解かなくちゃ意味がない。 この類題は「スレ主のためだけの問題」であり、他人が口出しする問題ではない。 にも関わらず、スレ主はこの問題を悪用しようとしている。それは564の本意では無いだろう。 だから、あんたの口からスレ主に向かってハッキリと言ってやれ。「お前が解け」とな。
714:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 19:28:26.11 dUxA1EKK.net
>>628
Transcendental Galois theory
落合 理先生のＰＤＦがあるね（ひょっとすると、過去ログでも紹介しているかも・・）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
落合 理 の ホームページ
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
2005年度整数論概論/代数学5 (数学4年/大学院共通) 講義録pdf
(局所体, 基本群とガロア群の類似などの基本的な考え方)
・・・と、読んだが、無限次ガロア拡大を扱っているが、超越拡大はほとんど記述がないね～（＾＾
まあ、結構内容は面白いけど
715:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:05:27.07 dUxA1EKK.net
>>629
ざこが・・
頭の弱い犬ほどよく吠えるという典型か・・
差しで勝負する勇気はあるのか？
ではこうしよう
１．いまから、２週間10/23（金）以降10/30（金）で、おまえの解答を書いて見ろ（２週間は皆様のお楽しみ期間とする）
２．それが一発正解なら、無条件でおまえの勝ち
３．おれは、ほぼ解けたが、先には書かない。
４．おまえが解答するか、あるいは10/30（金）以降気が向いたときに解答しよう
５．もし、おれの正解が早ければ、おれの勝ちだ
どうだい
716:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:19:05.39 dUxA1EKK.net
>>630
そうか、下記のように永田雅宜『可換体論』が、超越拡大を扱っているという話（えらく難しい）を聞いたことがあったね・・（＾＾；
まあ、いまさら永田を買う気もしない。無しでも解けるんだろう。まあ、龍孫江の数学日誌くらい読みますか・・
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
龍孫江の数学日誌 現在はぼやいたりため息をついたりしながら 永田雅宜先生の名著『可換体論』を読んでいます.
純超越拡大 2015年04月01日 §3.1 超越基 (その１)
第３章以降は, 有限次とは限らない体拡大にガロアの理論を拡張することを目標としています.
とはいえ, 有限という仮定をひとたび外したならばそれは未開の荒野を行くようなものでありまして, 体拡大にも, 群にも, それぞれに有限の場合とは段違いの知見を必要とします.
一口に無限次拡大といっても, 有限次拡大の延長に過ぎない場合と, そもそも本質的に有限にはなりえない場合とがあります.
第２章で定義したように, 体 K 上代数的でない元を超越元といい, 超越元を含む体拡大を超越拡大と言うのでした.
体 L が体 K の純超越拡大体であるとは, L が K の上に代数的に独立な集合 S で生成されるときにいう.
またこのとき, L は (K の上の) S の有理関数体であるともいう. L は, S の元についての K の上の多項式環 (無限変数かも知れない) の商体である.
すべての体は整域の商体として表されます. L/K �