15/08/15 21:42:48.21 BibK/cXU.net
旧スレ551よりつづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Edward Frenkel
>Jointly with Boris Feigin, Frenkel constructed the free field realizations of affine Kac?Moody algebras (these are also known as Wakimoto modules),
Wakimotoって、脇本実氏だとP215
3:１３２人目の素数さん
15/08/15 22:00:26.72 BibK/cXU.net
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
脇本 実 - 研究者 - researchmap:
研究者氏名 脇本 実 ワキモト ミノル
所属 旧所属 九州大学 大学院数理学研究院 数学部門
職名 教授
学位 理学博士(広島大学)
経歴
1970年 - 1971年大阪大学 助手
1971年 - 1973年広島大学 助手
1973年 - 1988年広島大学 助教授
1988年 - 1995年三重大学 教授
学歴
- 1969年大阪大学 理学研究科 数学
- 1967年大阪大学 理学部 数学
- 1965年大阪大学 理学部 物理学
4:１３２人目の素数さん
15/08/15 22:04:06.07 BibK/cXU.net
Wakimoto modules 約 33,200 件 （1.12 秒） か・・、おい
5:１３２人目の素数さん
15/08/15 22:12:11.17 BibK/cXU.net
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on Wakimoto modules, opers and the center at the critical level
Edward Frenkel
(Submitted on 2 Oct 2002 (v1), last revised 6 Nov 2002 (this version, v2))
Wakimoto modules are representations of affine Kac-Moody algebras in Fock modules over infinite-dimensional Heisenberg algebras.
In these lectures we present the construction of the Wakimoto modules from the point of view of the vertex algebra theory.
We then use Wakimoto modules to identify the center of the completed universal enveloping algebra of an affine Kac-Moody algebra
at the critical level with the algebra of functions on the space of opers for the Langlands dual group on the punctured disc.
These results were originally obtained by B. Feigin and the author.
Introduction
Wakimoto modules are representations of affine Kac-Moody algebras in Fock modules
over infinite-dimensional Heisenberg algebras. They were introduced in 1986 by M.
Wakimoto [W] in the case of bsl2 and in 1988 by B. Feigin and the author [FF1] in the
general case. Wakimoto modules have useful applications in representation theory and
conformal field theory.
[W] M. Wakimoto, Fock representations of affine Lie algebra A(1)1 , Comm. Math. Phys. 104 (1986)605?609.
6:１３２人目の素数さん
15/08/15 22:23:59.01 BibK/cXU.net
[W] M. Wakimoto, Fock representations of affine Lie algebra A(1)1 , Comm. Math. Phys. 104 (1986)605?609.
は >>3
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
脇本 実 - 研究者 - researchmap:
Misc テキストで表示 3にあるね
Fock representations of the affine Lie algebra Tex
Commun. Math. Phys. Vol. 104 pp.605-609 1986年
7:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/15 23:05:24.63 BibK/cXU.net
新スレで、コテが抜けて、sageになってました
8:１３２人目の素数さん
15/08/15 23:22:04.15 CRUPVEKQ.net
ユークリッド環の載ってない代数入門の本は見つかったのかなおバカちゃん
9:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/15 23:33:42.53 BibK/cXU.net
旧スレ558つづき
定義から間違えているのか・・
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
corollaryの数学日記
<[代数学] ユークリッド整域の例 | [代数学] ユークリッド整域 ⇒ ...>
12-04-2012 ユークリッド整域
■[代数学] ユークリッド整域 (ユークリッド環)
環Rを整域とする。
R ＼ {0}から{N}への写像φが存在して次を満たすときRはユークリッド整域であるという。
・任意のa ∈ R ＼ {0}に対してφ(a) ≧ 0
・任意のRの元a, b (≠ 0)に対し、次を満たすq,r ∈ Rが存在
○ a = b q + r
○ r ≠ 0またはφ(r) ＜ φ(b)
代数学〈1〉群と環 (大学数学の入門)
作者: 桂利行
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 2004/03
10:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/15 23:38:16.99 BibK/cXU.net
>>8
どうも。スレ主です。
じゃ、ここらどうよ？ だれか手元にある人 ユークリッド環の載ってるか確認頼む
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
＜書籍紹介＞ 代数入門（堀田良之 著）: 裳華房
代数入門
―群と加群―
Introduction to Algebra
東北大学名誉教授 理博 堀田良之 著
Ａ５判／226頁／定価3348円（本体3100円＋税8％）／1987年9月
1 代数系の基礎
1.1 演算
1.2 群
1.3 部分群と準同型
1.4 剰余類と剰余群
1.5 準同型定理
1.6 環と体
1.7 環準同型とイデアル
1.8 剰余類と環準同型定理
1.9 可換環のイデアル
11:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/15 23:50:37.80 BibK/cXU.net
Aozora Gakuen 分かり易いよね
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)さくら.ne.jp/suuron/node50.html （さくらがＮＧなので検索たのむ）
Aozora Gakuen ユークリッド整域
抜粋
(2) {Z}には元a$について大きさ| a | が定義されていて，任意のa(≠0), bについて
b=qa+r 0≦ r<| a |
となる元q, rが一意に存在する．
環Rには，その要素aに対して大きさといわれる0以上の実数が定まり， (1)と(2)の両方が成り立つなら， その環Rをユークリッド整域，あるいはユークリッド環という．
大きさを絶対値とすることで，整数環はユークリッド整域である． 整数環は除法のできる整域である．
12:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/15 23:55:11.69 BibK/cXU.net
旧スレ534つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ユークリッド環
動機付け
整数全体の成す集合 Z に自然な演算として加法 + と乗法 ? を考える。よく知られた整数に対する長除法は、Z における次の事実に強く依拠したものである：
除法の原理
「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q?b + r を満たす整数の対 q および r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」
a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。
各元に加法単位元 0 からの「距離」を導く（「次数」や「賦値」などとも呼ばれる）ある種のノルム[1] d を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。
そうして、制約条件「r = 0 または r < b」を「r = 0 または d(r) < d(b)」で置き換わる。
13:１３２人目の素数さん
15/08/15 23:57:03.44 l5BiiSrC.net
>>9
＞R ＼ {0}から{N}への写像φ
なんだから、φ(r) < φ(a) という記述は、r≠0、a≠0 を暗に含んでいる。よって
＞r≠ 0かつφ(r) < φ(a)
などという記述は冗長なだけ。
あと
＞R ＼ {0}から{N}への写像φ
{N} の元は n∈N ではなく N だからこの記述もおかしい。
14:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/15 23:57:30.91 BibK/cXU.net
>>12 つづき
積の記号が文字化けして、？になったｍ（＿＿）ｍ
15:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 00:06:25.60 QEliMhpD.net
>>13
どうもです
同意です
>>12を見ると、r≠ 0かつφ(r) < φ(a)→r＝ 0またはφ(r) < φ(a) かな
16:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 00:17:26.46 QEliMhpD.net
>>12 つづき
ここらも、引用しておこう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ユークリッド環
ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 a と任意の非零元 b に対して、b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。
もちろん、その環が可除環（あるいは体）であったならば、a?b?1 を倍率として左から b に掛ければ a が得られる。つまり、体や可除環については a に「ちょうど」一致するような b の倍元が存在する。
もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない（例えば整数環 Z では成り立たない）から、制約条件は「b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。
自然な問いとして「距離（次数）はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で（特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で）、自然数全体の成す集合 N に値をとるものと定めるのが普通である。
自然数全体の成す集合 N の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。
定義に関する注意
ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある[7]。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。
17:１３２人目の素数さん
15/08/16 00:32:37.56 j7h80a4B.net
>>10
正誤表にユークリッド整域って書いてあるじゃないか
あほらし
18:１３２人目の素数さん
15/08/16 00:38:34.55 ibQGXr3J.net
ユークリッド環がどんな入門書にも載ってるような
基本的な概念であることを受け入れられないスレ主ｗｗ
19:１３２人目の素数さん
15/08/16 00:38:55.54 8XneK4RI.net
そのオチな気がしてたが、やっぱり
20:１３２人目の素数さん
15/08/16 00:43:47.03 rK2ucRKG.net
>>17
笑
>>16
任意の順序集合ってことは、整列定理があるから、任意の空でない集合でいいんだね、本当か？
順序集合を {0} としたとき、常に φ(r)=φ(b)=0 となって破綻してるように見えるが
21:１３２人目の素数さん
15/08/16 00:45:46.20 rK2ucRKG.net
ああ、間違えた、訂正
>>16
任意の整列集合ってことは、整列定理があるから、任意の空でない集合でいいんだね、本当か？
整列集合を {0} としたとき、常に φ(r)=φ(b)=0 となって破綻してるように見えるが
22:１３２人目の素数さん
15/08/16 01:31:46.45 +QPM3wJI.net
少なくとも一つのユークリッド函数を備えた整域をユークリッド環と呼ぶ。
ここで、ユークリッド環の構造が「特定」のユークリッド函数を持つことを要求していないことに注意すべきである。
一般に一つのユークリッド環が複数のユークリッド函数を持ちうるが、そのようなものはどれでも一つあればよいのである。
23:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 05:48:55.58 QEliMhpD.net
どうも。スレ主です。
>>17-20
代数入門予想：ユークリッド環 ∈ ∀「代数入門」
ある人の証明：正誤表にユークリッド整域って書いてあるじゃないか
たまたま検索でヒットした本を反例ではと言っただけだよ。反例じゃないことの主張にはなっても、それは証明になっていない
24:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 05:56:19.29 QEliMhpD.net
>>23 補足
記憶では、ユークリッド環が載っていない代数入門があったように思うのだが・・
まあ、大きな書店に行く機会があったら、見てみよう
おっと、代数学入門も代数入門に含めて良いよね（排除する理由がないから）
なんか反例がありそうに思うんだ
が、それと２０１５年の現在において、「ユークリッド環が基本的な概念であること」とは区別しようね。そこは別に否定していない
この二つの区別がついていない人がいるみたいだな
25:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 06:13:02.00 QEliMhpD.net
>>20-21
>任意の整列集合ってことは、整列定理があるから、任意の空でない集合でいいんだね、本当か？
>整列集合を {0} としたとき、常に φ(r)=φ(b)=0 となって破綻してるように見えるが
その指摘は鋭いと思うが
しかし、あくまで抜粋なんだから、もとＵＲＬ見ろってことだな
そもそも、”ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある[7]。”ってあるだろ。最後の[7]は引用文献だ
[7]^ 例えば (森田 1987, p. 87)だ。おれも読んでないけど、整列集合を {0} とすることはないだろうよ、普通
ここは、上のwikipedia内で記述された定義に対する補足として読むべきなんだ
定義では、”R を整域とする。R 上のユークリッド函数 f: R ? {0} → N ”とあることの補足だよ
26:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 06:26:46.25 QEliMhpD.net
旧スレより引用
538 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/13(木) 11:02:53.88 ID:HolOcI9x
>>536(>>531)
Rをユークリッド整域とする。Rの零元を0で表わす。RのI≠(0)なるイデアルIを任意に取る。
Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
b∈Iを任意に固定する。Rはユークリッド整域であり、Nは自然数全体だから、
ユークリッド整域の定義から、両方共に或るq,r∈Rが存在してb＝qa+r、r≠0またはδ(r)＜δ(a)。
しかし、r≠0とするとδ(r)＜δ(a)となり、r＝b-qa∈Iだから、δ(a),a∈I＼{0}が最小と仮定したことに反する。
従って、r＝0であって、δ(r)は定義されず、b＝qa+r＝qa+0＝qaを得る。
aが生成する単項イデアル(a)は両側イデアルで、qa∈(a)だから、b∈(a)。
Iの元bは任意だったから、I⊂(a)。ここで、仮定から、I⊃(a)。従って、I＝(a)。
RのI≠(0)なるイデアルIは任意に取っていたから、Rの任意のイデアルは単項イデアルである。
従って、定義から、ユークリッド整域は単項イデアル整域である。
539 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/13(木) 11:46:18.61 ID:YNbcLEHA [4/5]
＞Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
これは、こう仮定しても一般性は失われないってことですよね？
なんでこんなふうに写像をとるのか意味がわからなかったんですが。
自分の本もここまで丁寧に解説してくれると助かるんですけどねぇ・・・
でも、ありがとうございました。なんとなくわかったかもです＾＾
（引用おわり）
イデアル初心者同士としてアドバイスすると、
１．抽象←→良く知っている具体例の行ったり来たり（分からなくなったとき）
２．簡単な場合を考える（この例では可換環を）
だろうね
あと、アドバイスをもとに自分で調べる（例 旧スレの557）
かな
27:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 06:57:22.16 QEliMhpD.net
>>26 つづき
「抽象←→良く知っている具体例の行ったり来たり」で言えば、まずR＝”整数全体の成す集合 Z”で考えてみる
そうすると、引用した旧スレの538の意味がよく分かる
δ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)の部分は、普通に自然数を考えれば良い
で、ユークリッドの除法の原理
” 「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q?b + r を満たす整数の対 q および r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」
a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。”
イデアルとは？ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) （簡単な場合を考える（この例では可換環を））
定義：可換環 R の部分集合 I が、加法群としての部分群であり、R のどの元をかけても、また I に含まれるとき、I をイデアル (ideal) という。
で、>>26の証明を見ると、イデアルIの絶対値最小のaを取って、（wikipediaとは記号の取り方（特にa）が違うことに注意）
b＝qa+r、r＝0またはr＜a とできると。
r＝b-qa∈Iだから、r＝0でなければならない。これは、具体例Zで考えれば当たり前
そして、一般の環Rの抽象論に戻る
上記を頭に入れていると、>>26に引用した538の証明で、「b＝qa+r、r≠0またはδ(r)＜δ(a)」がなんか変ってことに気付く
あと、旧スレの>>557なんか見ると、証明はここまでで終わっているんじゃないかな
>>26の「aが生成する単項イデアル(a)は両側イデアルで・・」以下は蛇足のように思う（まだ、はっきり理解していないが）
28:１３２人目の素数さん
15/08/16 07:03:06.35 vdtpr1kr.net
>>26
随分と盛り上がっているようで、スレ主に告げる。
悪いが前スレの>>538の証明を書いたのおっちゃんだったんだよw
名乗らずピンチヒッターで書いた。ユークリッド整域はかなり基本的な概念だろうな。
例の証明には、代数幾何のための可換環論とかの高級な知識はいらない。
r≠0としたときは、最小な自然数の存在性を暗に仮定して矛盾に導いたのだが、
1(或いは0)が最小な自然数であることは、小学生でも分かるだろうな。
余談だが、前スレ>>493で「海老原円ちゃんが書いてくれると良いのだが」の部分から
海老原円氏を女性と思っている節がある(私は「円」という名前から女性だと思った)が、
海老原円氏は男のようだ。以下のサイトの2ページのところの写真を見ると本人が写っている。
URLﾘﾝｸ(www.city-saitama.ed.jp)
あと、層の一般論は空虚で中身がないと思っておけばいい。
29:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 10:30:49.15 QEliMhpD.net
>>28
おっちゃんだったのか！ ありがとう
おかげで、ユークリッド整域はしっかり理解できたよ！
ユークリッド整域というネーミングは、ユークリッドの互除法（≒除法原理）から来ていると見た
自分が良く知っている整数に範を取れば良い
それをモデルにして、一般の環論で考える
その抽象から良く知っている具体例の行ったり来たり
それが自由自在に出来るようになるってことが、分かるってことなんだよね
しかし、おっちゃんも物知りだね～！（＾＾；
30:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 10:41:17.04 QEliMhpD.net
あと蛇足だけど
>>26
>＞Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
>これは、こう仮定しても一般性は失われないってことですよね？
>なんでこんなふうに写像をとるのか意味がわからなかったんですが。
Aozora Gakuen ユークリッド整域>>11などにあるように、一般の環Rでは整数における大小関係が決まっていない
そこで、大小関係をδ(a)(RのR∖{0}への制限δ）で決めようと
それで一般性を失わないかってことは、wikipedia URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) の定義のところに書いてあるよ
>自分の本もここまで丁寧に解説してくれると助かるんですけどねぇ・・・
まあ、wikipedia読めってことだわ（＾＾：
31:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 10:51:01.01 QEliMhpD.net
さらに蛇足
イデアルとは？ >>27
分からなくなったら、整数環Zに戻るとか
あるいは旧スレ理想数>>526-527に戻るべし
イデアルとは？ 一つに見方は、整数環Zの素因数分解をモデルとして、代数的整数でも成り立つようにした数学的概念だと
32:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 10:52:17.79 QEliMhpD.net
>>31 訂正
一つに見方は、
↓
一つの見方は、
33:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 10:58:47.58 QEliMhpD.net
>>28 戻る
>海老原円氏は男のようだ。以下のサイトの2ページのところの写真を見ると本人が写っている。
ああ、そうなんや～
あるんだよね～、昔は生まれるまで性別不明でね。それで、女を期待して名前を考えていたら、男が生まれて・・・、面倒だから名前そのままでいけ！とか
あるいは、男でも女でも通用する名前を容易しておくとか
千春なんてのは、その類いなんかねー
34:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 10:59:52.83 QEliMhpD.net
>>33 訂正
容易しておくとか
↓
用意しておくとか
35:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 11:16:44.14 QEliMhpD.net
>>28 戻る
>あと、層の一般論は空虚で中身がないと思っておけばいい。
例のエドワード・フレンケル（旧549） がいうんだよ
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学の大統一に挑む 単行本 ? 2015/7/13 エドワード・フレンケル (著), 青木 薫 (翻訳)
「実は、関数より層の方が数学的には正統な存在なんだ」と
あたかも、現代数学において、因数よりイデアルが正統な存在であるがごとしと
ハーツホーン(旧>>529)なんかもそういうんだよね
もっとも、リーマンゼータにはまだかなわないかも知れないが
もっとも、例のエドワード・フレンケル（上記）によれば、ラングランズ対応からの何か進展があるかも知れないね
リーマンゼータと量子物理とはなにか関連があるというからね
36:１３２人目の素数さん
15/08/16 11:31:43.59 j7h80a4B.net
>>23-24
妄想乙
37:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 12:14:44.85 QEliMhpD.net
>>36
ID:j7h80a4Bくんか。粘着質ですね～（＾＾；
では、「代数学入門, 石田信, 実教出版」はどうですか？
URLﾘﾝｸ(www.jikkyo.co.jp)
目次
第2章 環、体
2-3 整数環
2-4 整数の剰余類の環
2-5 部分環、部分体
2-6 イデアル
2-7 剰余環
2-14 一意分解整域
2-15 一意分解整域上の多項式環
4-7 ガロア拡大体
4-8 円文体
4-9 有限体
4-10 ガロアの理論
4-11 げき根による拡大体
4-12 方程式のべき根による可解性
4-13 アーベルの定理；ガウスの定理；作図の可能性
（可能性は半々かな）
あと、信州大テキスト「代数入門」では、ユークリッド環あるいはそれに相当する説明はない！
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀
講義テキスト
2015 年度 2014 年度 2013 年度 2012 年度 2011 年度
38:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 12:19:58.95 QEliMhpD.net
>>37 蛇足
4-8 円文体
↓
4-8 円分体
やね
39:１３２人目の素数さん
15/08/16 12:20:43.62 hVPLvAJF.net
げき根による拡大体は気になってた
40:１３２人目の素数さん
15/08/16 13:11:14.35 rK2ucRKG.net
>>29
＞しかし、おっちゃんも物知りだね～！（＾＾；
知らないのはスレ主さんだけだよ
41:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/16 13:42:24.73 QEliMhpD.net
どうも。スレ主です。
>>39 ああ、げき根ね
>>40 ユークリッド環か・・。正直、環論とイデアルは初心者です、はい
42:１３２人目の素数さん
15/08/16 23:05:15.52 j7h80a4B.net
たったあれだけの書き込みで粘着質扱いかよｗ
43:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/21 21:32:32.18 1/kj8bYJ.net
どうも。スレ主です。
>>42 >たったあれだけの書き込みで粘着質扱いかよｗ
いやいや、旧スレからの継続（下記引用）だろうよ、きみ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:542番)
542 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/13(木) 14:59:55.95 ID:xBgmYnaS
>>532
代数入門の必須内容を難しいと思うということは、代数入門をすっ飛ばしていきなりガロア理論やったの？
（引用おわり）
で、これを「ユークリッド環 ⊂ 代数入門 必須予想」と呼ぼう
が、
１）”人生いろいろ、代数入門いろいろ”という予想が成り立つし、
２）代数ってなに？ 入門ってなに？ とも、また
３）著者によっては「ユークリッド環はページの関係で入れないよ」など・・
常識人なら、その予想は反例がありそうと思うはずだろ？
なのに">>8 ユークリッド環の載ってない代数入門の本は見つかったのかなおバカちゃん"という、関西でいうところの「どあ○」がいる
それが、>>42さまではないかというのが、スレ主の言い分さ
で、>>37 「代数学入門, 石田信, 実教出版」の検証はどうなのさ？
44:１３２人目の素数さん
15/08/21 21:44:34.55 JU0mMLFZ.net
土日が始まった
45:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/21 22:33:31.14 1/kj8bYJ.net
>>41 関連
これ良いわ。面白い
URLﾘﾝｸ(waheyhey.com)
6 月総会 代数幾何学ガイダンス 早稲田大学基幹理工学部数学科3 年 @waheyhey 2014 年6 月15 日
代数幾何学を専攻していない人に代数幾何学というと，なんだかよく分からないが難しい分野だと言われることが多い．
またスキーム論やそこから派生した圏論の問題が目くらましになって，座標幾何の一般化として研究されていた伝統的な代数幾何学の姿が初学者の目に映りにくくなっている．
何を隠そう筆者もその目くらましにあった一人で，初学の頃と比べてだいぶ代数幾何学への印象が変わったと思う*1．
*1 始めはなんだかとても抽象的な学問だと思い込んでいた．
H26 年度の都内数学科学生集合6 月総会の発表のレジュメに手直しを加えたものである本稿は，代数幾何学を学んだことがない人に向けて出来るだけ多くの古典代数幾何学のtopic を易しく解説しようという目的で書かれた．
張りすぎかもしれないが，初学者が代数幾何を勉強する際のブックガイドも兼ねるようにした．
本稿を読んだ方がいずれ代数幾何学を学ばれる際，抽象的かつ一般的に展開され（ているように一見するとみえ）る理論を実感あるものとして理解するための一助となれば幸いです．
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 06:19:03.27 Bz9HH34r.net
>>45 つづき
このイデアルの説明が分かり易いんだな
定義7（イデアル） 環R の部分集合a ⊂ R がイデアル(ideal) であるとは，次の条件を満たすことである．
(i) 任意のa, b ∈ a に対し，a ? b ∈ a が成り立つ．
(ii) 任意のa ∈ a とr ∈ R に対し，ra ∈ a が成り立つ．
例10
(a) 有理整数環Z に対し，(n) はイデアルになる．逆に，簡単な計算によりZ のイデアルはこの形のものに限られることを確かめることができる．
このように任意のイデアルが単項イデアルである環を単項イデアル環という．
(b) 複素数体C のイデアルは，(0) およびC の2 つのみである．
(c) 一般に環R に対して(0) とR 自身はイデアルになる．これを指して自明なイデアルという．
体は自明なイデアルしか持たない．
逆に，自明なイデアル以外持たない環は体であることも分かる．
(d) 環準同型f : R → R′ に対して，その核(kernel)，
Ker f := {a ∈ R | f(a) = 0}
はイデアルである．
イデアルの中で重要なものは次の２つである．
定義12（素イデアル） p ⊂ R を，R でないイデアルとする．p は，ab ∈ p ならばa ∈ p またはb ∈ p が成り立つとき，素イデアル(prime ideal) という．
定義13（極大イデアル） イデアルm ⊂ R は，R 自身でないイデアルの中で包含関係について極大であるとき，極大イデアル(maximal ideal) であるという．
注意14 R 自身は素イデアルに含めない．また，Zorn の補題を用いれば任意の環に対し極大イデアルは常に存在することが分かる．
Zorn の補題についての解説は集合位相の教科書に，実際に極大イデアルが存在することの証明は基本的な代数学の教科書に譲ることにする．
例15 (a) 素数p ∈ Z に関して，(p) ⊂ Z は素イデアルになる．また，これは同時に極大イデアルにもなる．
(b) ab = 0 ∈ R ならばa = 0 またはb = 0 が成り立つとき，環R は整域(integral domain) であるという．
定義から，環R が整域であることと(0) が素イデアルであることは同値である．
(c) 既約多項式f ∈ C[X1, . . . ,Xn] から生成される単項イデアル(f) は素イデアルである．
(d) 一般に環が与えられたとき，その素イデアルや極大イデアルを決定することは難しい問題である．
47:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 06:22:39.17 Bz9HH34r.net
>>46
>体は自明なイデアルしか持たない．
>逆に，自明なイデアル以外持たない環は体であることも分かる．
腐ってもタイ
環と体とは、イデアルという切り口で見ると、全く違うんだね
48:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 06:30:43.09 Bz9HH34r.net
>>46 つづき
イデアルが与えられたとき，その剰余環というものを以下のように考えることができる．二項関係および同値関係とそれによる商集合については集合位相の教科書を参照されたい．
定義16（剰余環） R を環，a ⊂ R をイデアルとする．a, b ∈ R が同値a ? b であることを，a ? b ∈ a であることとして定める．
この二項関係? はR 上の同値関係になる．この同値関係による商集合をR/a で表す．
a ∈ R がR/a において属する同値類を[a] で表す．R/a の中に和と積を[a] + [b] := [a + b]，[a][b] := [ab] で自然に定めることができる．
これは各類の代表元の取り方によらない．剰余環にはもとの環から標準的な全射環準同型R R/a が存在する．この準同型の核はもちろんa である．
例17 n を正の整数とする．有理整数環Z のイデアルnZ による剰余環Z/nZ を考える．このとき，Z/nZの各代表元を0, . . . , n ? 1 で取ることができ，
このようにZ/nZ の元を表しておけば，標準的な全射は各整数に対しn で割ったときの剰余をとる写像と考えることができる．
これがイデアルによる商を考えたものが剰余環と呼ばれる所以である．
演習18 環R のイデアルp が素イデアルであるための必要十分条件は，剰余環R/p が整域であることである．
また，イデアルm ⊂ R が極大イデアルであるための必要十分条件は，剰余環R/m が体であることである．特に，極大イデアルは素イデアルである．
49:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 06:44:06.19 Bz9HH34r.net
>>48 つづき
証明はしないが，次の定理たちは重要である．難しくないので本を読めばすぐに証明付きで理解できるだろう．
定理19（準同型定理） 環準同型f : R → R′ に対し，Im f := {a′ ∈ R′ | あるa ∈ R が存在してa′ = f(a) となる}と定めると，これは自然に環になる．
このとき，f は環同型R/Ker f ? Im fを誘導する．
定理20 剰余環R/a のイデアルは，環R のイデアルでa を含むものと1 対1 に対応する．「イデアル」の部分を「素イデアル」や「極大イデアル」に変えても同じことが成り立つ．
最後に，代数幾何学で重要になる被約イデアル(reduced ideal) について補足しておく．
定義21（根基イデアル） 環R のイデアルa に対して，a の根基イデアル(radical ideal)
√a を√a := {f ∈ R | あるn ∈ Z>0 が存在してf^n ∈ a となる.}で定める．
演習22 根基イデアル√a は実際にR のイデアルになることを示せ．また，a ⊂√a が成り立つことを確認せよ．
定義23（被約イデアル） 環R のイデアルa は，√a = a となるとき被約イデアル(reduced ideal) であるという．
演習24 素イデアル（および極大イデアル）は被約イデアルである．これを確かめよ．
演習25
1 変数多項式環C[X] のイデアル(X^2 ? 1) は被約イデアルであることを確かめよ．また，(X^2) は被約イデアルではないことを確かめよ．
2 変数多項式環C[X, Y] の場合には，被約イデアル，被約でないイデアルにはそれぞれどのようなものがあるか．
以上で環論の本当に基本的な部分の説明を終わりにする．紙数の関係で省略した話題も多いので，より詳しい説明は代数学の初歩的な教科書を参照されたい．
50:１３２人目の素数さん
15/08/22 06:45:02.12 ytJQqycX.net
>>45
おっちゃんです。
代数幾何の案内ということで書いたみたいだけど、参考になるかどうか分かんないですな。
同じ代数幾何といっても、可換環論やガロア理論に基づく代数幾何と
複素多様体や微分幾何に基づく複素幾何の要素を帯びた代数幾何に分かれるんですわ。
参考文献に複素代数幾何の決定版のGriffiths, Harrisを何故挙げてないのかが不思議ですわ。
これ、複素幾何的な要素がある代数幾何の参考書で第一に挙げられるんですわ。その中身は知らないけど。
日本ではハーツホーン・ハーツホーンと叫ぶ人が本当に多いみたいですわな。
>>45で挙げたサイトでは、可換環論やガロア理論に基づく代数幾何の案内を書いたみたいですな。
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 06:50:24.55 Bz9HH34r.net
>>49 補足
分かり易いね
かつ、環とイデアルってすごく重要だということがよくわかるよ
”f は環同型R/Ker f ? Im fを誘導する”は、文字化けしてんだよね
文字化けしない適当な記号が分からない
f は環同型R/Ker f→Im fを誘導する
くらいでお茶を濁しますか
52:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 06:54:17.77 Bz9HH34r.net
>>50
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
>同じ代数幾何といっても、可換環論やガロア理論に基づく代数幾何と
>複素多様体や微分幾何に基づく複素幾何の要素を帯びた代数幾何に分かれるんですわ。
>参考文献に複素代数幾何の決定版のGriffiths, Harrisを何故挙げてないのかが不思議ですわ。
おっちゃん、博学やね～（＾＾；
みなおしたわ
53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 07:37:22.45 Bz9HH34r.net
>>52 つづき
>日本ではハーツホーン・ハーツホーンと叫ぶ人が本当に多いみたいですわな。
うん、確かに、内容は理解できないが、眺めた感じでは、コンパクトにまとまっている
日本語（訳のぞく）で、あのクラスのテキストがないのかも
富士登山でいえば、７合目くらいまでバスで連れて行ってくれる感じかな
あとは、論文読んで山頂へと
論文を読むためのテキスト
そんな感じなんでしょうかね？
54:１３２人目の素数さん
15/08/22 08:05:10.01 ytJQqycX.net
>>53
>論文を読むためのテキスト
>そんな感じなんでしょうかね？
そんな感じだと思う。
ハーツホーンは可換環論などに基づく代数幾何のテキストの定番
ということになってはいるが、ハーツホーンだけを参考に
代数幾何の新しい結果を出すことは難しい。論文読まないと
上の類の代数幾何の新しい結果は出すことは非常に難しい。
コンパクトにその種の代数幾何の基本がまとまっているテキストとなると、
知る限りではグレブナ基底と代数多様体入門みたいなのはあるわ。
ハーツホーンよりは読むのが簡単。まあ、こっちはアルゴリズムが
出て来る代数幾何みたいなテキストにはなるけど。
ハーツホーン読むなら岩波の現代数学の基礎を代数幾何でも読んだ方がいい。
ハーツホーンをより簡単に読むためのテキストのようだ。
55:１３２人目の素数さん
15/08/22 08:08:23.31 ytJQqycX.net
>>53
>>54の「岩波の現代数学の基礎を代数幾何」の部分の「を」は「の」の間違い。
56:１３２人目の素数さん
15/08/22 08:15:19.68 ytJQqycX.net
>>54で書いた岩波の本は、>>45で挙がった参考文献でいうと[21]にあたる。
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 09:37:17.23 Bz9HH34r.net
>>54-56
どうも。スレ主です。
おっちゃん！ 意外に博学やね～
旧スレ下記、信頼度５％くらいに思えてきたよ～（＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:453番)
453 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/08(土) 11:10:48.14 ID:Hzl+AlI6
おっちゃんです。お久しぶりです。いや～、暑いですね～。ばててます、ばててます。
参ってます、参ってまっす。何かヤバいことが分かりました。
どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。
58:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 09:50:53.98 Bz9HH34r.net
>>57 つづき
ハーツホーン訳本 代数幾何学３の訳者あとがきでは
岩波 向井茂があがっているね
あと、上野は岩波モジュライ理論３がハーツホーンを終えた後の本として上がっている
また、「最後に、本書に引き続いて是非読んでいただきたい本を二つ・・」とあって
ハーツホーン時代には「ほとんど計算不可能」とされていたことが
計算できるようになったみたいなことが
ハーツホーン導入本→ハーツホーン本（「ほとんど計算不可能」のレベルだが古典）→現代本（計算できる）
ここらを早く回すのが良いのかも（＾＾；
59:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 10:00:13.60 Bz9HH34r.net
>>54 つづき URLﾘﾝｸ(takurobo.at.webry.info)
つれづれなるままに数学する タクミのロボットブログ 代数幾何memo! 2014/01/16 現在、俺が理解した事をまとめとくYO 注意：乱文なので、読みにくいとです。
仮定:kは代数的閉体(つまり、必ず方程式が解けるっ)
代数幾何とは何？ 直感的イメージ：x^2+y^2-1=0 は 単位円になるYO
多変数の代数方程式の解の作る図形を考察する幾何学！ ※多変数がキーワード！
k[x1,...,xn]∋f1,f2,...fn くどいけど、多変数の多項式 V(f1,f2,...,fn)・・・f1,f2,...,fnの根の集合
Vを代数集合という
ここで、k[x1,...,xn]のイデアルIを考える I＝(f1,f2,...,fn)とする(f1,f2,...,fnによって生成されたイデアル)
なんと、V(f1,f2,...,fn)=V(I)
そこで、多項式環のイデアルを、連立方程式のかわりに使う。・・・(★)
(★)をやって良いことを保障するのが、Hilbertの基底定理 k[x1,...,xn]の全てのイデアルJは、J=(g1,g2,...gn)となる。
ちょっと整理
・連立方程式 ⇔ 多項式f1,f2,..fnを考える ⇔ 実はV(f1,f2,...,fn)=V(I)
結論：イデアルで考えても、幾何学ができる
Hilbertの零点定理 どんなイデアルを考えても、対応する図形が存在する！
ちょっと整理
仮定:kは代数的閉体(つまり、必ず方程式が解けるっ)
①Hilbertの基底定理から、方程式のかわりにイデアルを使って良い
②Hilbertの零点定理から、いつでもイデアルは図形を表現する
まとめ
・Hilbertの基底定理の主張
V(方程式の系)=V(方程式から生成されるイデアル)
・Hilbertの零点定理の主張
V(方程式から生成されるイデアル)はいつも図形(代数多様体？)を表現する！
参考文献 岩波講座 現代数学の基礎 代数幾何1 代数多様体からスキームへ 上野 健爾
60:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 10:35:02.24 Bz9HH34r.net
>>59 補足
タクミのロボットブログいいね
上野 健爾先生、こんなことを書いてあるのか・・
61:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 10:56:21.57 Bz9HH34r.net
>>45 補足
早稲田大学基幹理工学部数学科3 年 @waheyhey 2014 年6 月15 日
URLﾘﾝｸ(waheyhey.com)
ワヘイヘイ概型
URLﾘﾝｸ(waheyhey.com)
自己紹介
しがない早稲田大学数学科4年です．略して「わせだヨネン」です．
数学科ですが，数学分かりません．この前，女子高生に数学で殴られました．かなしみ?
代数幾何を専門にしたいなと思いながら，代数幾何を勉強しています．
URLﾘﾝｸ(waheyhey.com)
Link集
メモ的ななにか ... 院試お疲れ様です． URLﾘﾝｸ(maleic1618.hatenablog.jp)
62:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 11:03:06.16 Bz9HH34r.net
>>61 つづき
"単体複体のホモロジーを用いた正多面体の分類"PDF、面白いね
URLﾘﾝｸ(maleic1618.hatenablog.jp)
メモ的ななにか
@Maleic1618
2013-12-01
Mathematics Advent Calender1日目！
さてさて．私の記事は"単体複体のホモロジーを用いた正多面体の分類"です．pdfをこちらに置いておきました，URLﾘﾝｸ(drive.google.com)
参考文献[1]に上げた，田村一郎さんの『トポロジー』は前提知識が全くなくても読める面白い本なので是非読んでみて下さい．(今回の内容はこれに書いてあります)
最初はPuppe列を用いてCW複体のホモロジーを求める的なことをしようと思っていたのですが，私がちゃんと求められなかったので結局このテーマになりました．つらい．あとTeX書くのもめっちゃつらかった．つらい．
63:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 11:17:34.66 Bz9HH34r.net
>>61
URLﾘﾝｸ(waheyhey.com)
Link集
都内数学科学生集合2013 … サークルのページです． URLﾘﾝｸ(tosuu.web.fc2.com)
ようこそ！
都内数学科学生集合の 2015 年度ウェブページにようこそ！
数学が好きなあなた、私達と一緒に数学しませんか？
都数とは？
数学が好きで好きで仕方がない。三度の飯より数学が好き。そんな都内の大学生達が集うインターカレッジサークルです。ゼミ活動、会員に向けての数学の発表会等を主な活動としています。
さらに詳しく知りたい方は「都数とは？」をご覧下さい。
入会希望の方や都数に興味がある方は画面下部記載のメールアドレスまでお気軽にお問い合わせください。
8月総会
日時：8月30日 (日曜日) 14時から
場所：早稲田大学 西早稲田キャンパス
発表者： K さん (東京大学大学院 修士2年)
Title：「無限次元と有限次元の幾何学」
Abstract：有限次元の空間の上で, その空間の幾何学的なデータに関する非線形な微分方程式を考えます.
その解が存在するか否か, 存在するならどのくらいあるのかという情報は, 舞台となっている有限次元空間の幾何やトポロジーを深く反映しています.
それでは,「非線形な微分方程式の解を数える」ということを, どうすれば定式化できるでしょうか？
上の問いへの考察のポイントは，
・微分方程式の無限次元空間の間の写像としての理解
・無限次元の枠組みから有限次元的な量を抽出する「指数」という概念
・指数を空間で束ねた「族の指数」の非線形化
を考えることです. この道筋を説明することを目標に, 大域解析学と呼ばれる分野の道具立てや考え方についてお話ししようと思います．
64:１３２人目の素数さん
15/08/22 14:17:18.57 ytJQqycX.net
>>57
>旧スレ下記、信頼度５％くらいに思えてきたよ～（＾＾；
そのことは確かに書いたが、まあ、余り期待するな。確率論的な話になるが、
任意に実数を1つ選んだとき、それが超越数なのか代数的数かというと、
超越数になる確率は1で代数的数になる確率は0になる。それを基にして予想しただけ。
任意の正の自然数nに対してζ(2n)は超越数になり、πを用いて表されるので、
数学的には任意の正の奇数nに対してζ(n)も超越数になるのが「美しい」とされる。
ζ関数の無限級数はs＞1なる実数sについて単調減少な正項級数なので、
具体的な証明となると、面倒な解析をバンバンすれば無理数は出来る気がしない訳ではない。
数論関係の基準では、下品な解析というヤツだろうな。
65:１３２人目の素数さん
15/08/22 14:20:26.45 ytJQqycX.net
>>57
>>64の訂正：「無理数」→「無理性」
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 14:26:49.29 Bz9HH34r.net
>>64
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。謙虚やね。信頼度７％に上げとくよ（＾＾：
67:１３２人目の素数さん
15/08/22 14:35:36.25 ytJQqycX.net
>>57
ちなみに、層を使わない多変数複素解析は参考になるでしょうな。
リンデマンの定理の一般化になるジーゲル・シドロフスキーの理論を展開したジーゲルは、
層を使わないで凄まじい解析をして2つのクザンの問題とかを解いた岡潔に抱き付いたようだ。
層を使わない多変数複素解析は、ジーゲルが絶賛した位凄まじい解析なんですわ。
68:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 14:36:23.87 Bz9HH34r.net
>>66 補足
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2014-11-07 数学の「超越数論」を独学するための教科書PDF。
「代数的数論」の発展分野で，未解決問題多し
超越数論を勉強するためのテキストPDF
しっかりした教科書を無料で読める。
日本語のPDF：
日大の平田さんのレポート
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
?40ページ，日大(公開は理科大)。報告の形式を取っているが，日本語で読める超越数論の教科書PDFとして最良か。
英語で読める教科書PDF：
TRANSCENDENTAL NUMBER THEORY
URLﾘﾝｸ(www.plouffe.fr)
?１５５ページ，ケンブリッジ大，1975年。
超越数論入門
URLﾘﾝｸ(www5.pf-x.net)
?８ページの個人的なノート。 Liouvilleの超越数の存在証明 πとeの超越性 Gelfond-Schneiderの定理 無理数と超越数 ? リューヴィル数の値の超越性 ?
URLﾘﾝｸ(www.seto.nanzan-u.ac.jp)
?２ページ，南山大のメモ。 超越数の有理数近似 連分数展開による最良近似 リュービル数の超越性
リンデマンの定理 - Wikipedia URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然対数の底e（ネイピア数）の，無理数や超越数・極限収束の証明などの公式
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
?超越数である事の証明は，有理数係数の代数方程式を仮定して，その解がeだとして矛盾を導く。
69:１３２人目の素数さん
15/08/22 14:37:43.91 ytJQqycX.net
>>66
期待されない方が私も精神的負担が軽くて済む。
70:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 14:39:54.07 Bz9HH34r.net
>>67
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。博識やね～。信頼度８％に上げとくよ（＾＾：
>層を使わないで凄まじい解析をして2つのクザンの問題とかを解いた岡潔に抱き付いたようだ。
>層を使わない多変数複素解析は、ジーゲルが絶賛した位凄まじい解析なんですわ。
伝説の不定域イデアルですな
不定域イデアルが、層理論の深化に役立ったと言われる
71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 14:42:25.52 Bz9HH34r.net
>>69
はい。では、信頼度は１０％に達しない漸近級数とします、はい
72:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 14:51:09.55 Bz9HH34r.net
>>70 参考
ご存知高瀬先生の登場です
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
[PDF]不定域イデアルの理論と多変数代数関数論への道
評伝「岡潔j のための数学ノートI (未定稿) 高瀬正仁
[平成10年(1998年) 8月12日]
本稿は平成9年(1997年)10月26日、津田塾大学で開催された第8回数学
史シンポジウム(10月25～26日)における講演
「岡潔の第7論文に加えられたH.カルタンによる改訂の様式に関する一考察」の記録である。
73:１３２人目の素数さん
15/08/22 14:53:27.08 ytJQqycX.net
>>71
変に期待されると、逆にプレッシャーがかかる。
具体的な解析(こと数値関係)は紙に書いて計算しなきゃ出来んのだ。
代数的独立性にはGAGAの手法が応用出来る気がしない訳ではないが。
スレ主も以前GAGAのこと書いていたろ。
74:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 15:01:27.33 Bz9HH34r.net
>>68 つづき
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2014-05-29 現代数学の最重要な関数，「リーマン・ゼータ関数」の教科書PDF。
素数定理・リーマン予想を勉強するノート
代数学特論-リーマンのゼータ関数と素数分布について URLﾘﾝｸ(www.juen.ac.jp) ?44ページ，上越教育大。
平成17年度後期代数学D・代数学基礎講義BURLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp) ?２２ページ，広島大。1. Riemannゼータ関数とDirichlet L関数
Lectures on zeta functions, L-functions and modular forms with some physical applications（ゼータ関数とL関数およびモジュラ形式とその物理学での応用に関する講義）URLﾘﾝｸ(library.msri.org)
?94ページの良質な教科書。バークレイの数理科学研究所。
Lectures on the Riemann Zeta-Function URLﾘﾝｸ(www.math.tifr.res.in) ?154ページ。インドのボンベイにあるタタ基礎研究所のチャンドラセカラン氏による。
ゼータ関数について，短くまとまったノート：「無限和１＋２＋３＋…の値とその先に見えるもの」URLﾘﾝｸ(www.jst.go.jp))Nakasuji.pdf
?上智大，5ページのスライド資料。内容は非常に初歩的で，素数の役割からリーマン予想の紹介まで。
整数と素数のなぞURLﾘﾝｸ(www.math.kobe-u.ac.jp) ?神戸大，12ページ。内容はやさしい。
数の体系の広がり,周期積分,そして整数論－代数と幾何と解析の交わる世界URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp) ?大阪大，21ページ。
ゼータ関数URLﾘﾝｸ(www1.ocn.ne.jp) ?９ページ
量子統計力学で用いるζ(2)とζ(4)の導出URLﾘﾝｸ(www.gsim.aoyama.ac.jp) ?５ページ。
ζ関数の特殊値についてURLﾘﾝｸ(www1.tst.ne.jp) ?７ページ。読みやすい。
（２）素数定理とリーマン予想
以下略
75:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 15:04:47.15 Bz9HH34r.net
>>73
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。博識やね～。信頼度８．５％に上げとくよ（＾＾：
>スレ主も以前GAGAのこと書いていたろ。
はい、どこかで書きました。ネーミングが強烈やなーと。GAGAって芸人を連想します（＾＾：
76:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 15:06:38.02 Bz9HH34r.net
>>75 補足
そうそう
プレッシャーは適度なのは、有効なんです
ストレスマネージメント的には
あとは、内在的動機付け理論ですね
77:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 18:16:55.28 Bz9HH34r.net
>>72
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
[PDF]不定域イデアルの理論と多変数代数関数論への道
抜粋
岡潔の言葉(1 )不定域イデアル
不定域イデアルと層の理論の関係の考察は岡潔の理論を理解するうえで重要なテーマである。
「多変数解析関数について」という標題の講演(この講演が行なわれた日時と場所は不明だが、昭和38～40年ころ、京都大学での講演と推定される。講演記録が残されている)を見ると、同潔自身によるいっそう立ち入った言及がなされている。
しばらく岡潔の言葉を観察したいと思う。
初めに語られるのは、解析関数論にイデアルの理論が導入されるまでの歴史的経緯である。
イデアルといいますとクンマー1)に始まります。それからそれをデデキント2)がアクシオマチック3) にいいなおしました。
それのエレメント4)を数からポリノーム5)に拡げたのがヒルベルト6) 、さらにポリノームをアナリチック・ファンクション7)に変えようと最初にしたのは、後で知ったのですが、リュッケルト4)です。
そしてこの後、これをさらに詳しく見ょうとして、1940年にアンリ・カルタンがマトリス・ホロモルフ9) という論文10)を書いています。
これは前の正則凸状の論文11)とともに非常に重要な論文です。
これだけで後は戦争になって、知らなかったのです。
ところでエレメントをアナリチック・ファンクションにしますと、どうなるかといいますと、ポリノームの場合は数の代わりに個々のエレメントをfと書けばよいのですが、
アナリチック・ファンクシヨンですと、リーマン12)がしました通り、このfがどこで正則かという領域δを添えて、(f，δ)としなければならない。
そのようにペアにして初めて意味をもつんです。
だから私は、領域が変わりますから、不定域イデアルとしたんです。
(下線による強調はぼくが行なった。)
3 )公理的に(英語)。
5 )多項式(仏語)。
9) 仏語。多複素変数の正則関数を要素とする正方行列のこと。
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 18:19:47.69 Bz9HH34r.net
>>77 つづき
イデアルの理論は数のイデアル(クンマ一、デデキント)に始まり、多項式のイデアル(ヒルベルト)へと移り、さらに解析関数のイデアル(リユツケルト、カルタン)へと変遷した。
解析関数のイデアルの場合には、漠然と解析関数の集まりを考えるのは無意味であり、間潔が言うように(岡潔はそれをリーマンにならったと言っている)、解析関数を考えることのできる場所をつねに念頭に置かなければならない。
それが、数のイデアルや多項式のイデアルの場合との本質的な相違点である。
引用おわり
歴史が分かって面白いね
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:01:10.55 Bz9HH34r.net
>>78 訂正
間潔が言うように(
↓
岡潔が言うように(
80:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:08:43.39 Bz9HH34r.net
>>78 つづき
さらに抜粋
P101
岡潔が大きな不満を感じたことに疑いをはさむ余地はない。解明すべき論点は不満の理由である。
岡潔の第7報はフランス数学会雑誌78の冒頭に掲載されたが、この巻頭論
文にすぐ続いて、一頁の白紙(28頁目)をはさんで、カルタン自身の論文
「複素変数の解析関数のイデアルとモジューノレJ
(フランス数学会雑誌78、29'"'-'64頁)
が掲載されている。末尾に「このマニユスクリプトは1949年9月15日に受理
されたJという記載が見られるが、岡潔の第7報が受理された日付はi1948
年10月15日」であるから、きっかり11箇月後の出来事である。この問、カル
タンは岡潔の第7報を研究し、適宜書き直しを行ない、しかも同時に一篇の
論文を執筆して、二つの論文を同時に公表したのである。
カルタンの論文のテーマは、岡潔の第7報を層の理論の視点から見て解明
することで、第7報の書き換えも同じ視点から行なわれている。このような
形で紹介された結果、第7報のテーマである不定域イデアルの理論は層の理
論の萌芽として理解されるようになり、有限擬基底をもっ不定域イデアノレは、
解析的連接層として諒解されるようになった。すなわち、不定域イデアルの
理論は、「三十年来の同僚である」カルタンによって高い評価を受け、現代
数学の流れに受容されたとき、まさしくその瞬間にすでに歴史的遺産へと変
容しなければならない運命に置かれたのである。上記の梶原壌二の証言には、
このような趨勢を甘受しようとする岡潔の感慨がよく表われていると思う。
81:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:12:10.14 Bz9HH34r.net
>>80 つづき
さらに抜粋
P107
カルタンは論文「複素変数の解析関数のイデアルとモ
ジュールJの第II節「モジュールの層」の冒頭(第4小節から始まる)で、
層の概念を導入する理由を語っている。
岡潔とともに、モジュールの層の概念を導入しよう。我々は代数的位相
幾何学での「層Jという言葉を借用したいと思う。それは、代数的位相幾
何学で、J.ルレイJ)によってホモロジー論において導入されたものである。
我々がここで同じ言葉を使用するのは、ある類似の概念を記述するためで
ある。また、ここでは代数的位相幾何学におけるのと同様に、f局所的にj
与えられたものから出発して、「大域的なj 諸性質の研究へと移行するこ
とが問題になる。層の概念が導入されるのは、そのような理由があるから
である。
(フランス数学会雑誌7& 33頁参照。ゴシック体の一語fモジュールの層J
は、原文ではイタリック体で書かれて強調されている。)
1)ジャン・ルレイ。フランスの数学者。19偽年。ルレイに関しては、文献とし
て数学週報222、1946年、1366"'1368頁が指示されている。1946年という年数は注目
に値すると思う。なぜならこれによって、代数的位相幾何学でのルレイによる層の
理論の研究は、多変数解析関数論での岡潔による不定域イデ、アルの研究とほぼ同時
期に進行したことが諒解されるからである。
書き出しの一文には脚註が附されていて、層の概念と不定域イデ、アルの概
念は根本的に同一であると明記されている。
82:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:31:29.25 Bz9HH34r.net
>>81 つづき
おっちゃんのいう「2つのクザンの問題とかを解いた岡潔」>>67
についても記載があるね
P117の上空移行の原理かな
ところで、これらの問題の困難は、身を置いている空間を適切な次元に
高めることにより、しばしば緩和される?)様子が私の目には映じている。
この論文では、この一般理念をある特別の場合に対して実現に移すことに
より、私は(この論文の)標題の領域を、言わばいっそう高い次元の柱状
領域に帰着させる原理を示したいと思う。(具体的な形については、第1
節参照。)
このような次第であるから、私はこの論文では、有理関数に関して凸状
な領域9)の内側に身を置く。それは同時に、私にとって不可欠な補助的諸
命題の研究を、課される制限がよりいっそう少なくてすむ状態で実らせる
ためでもある。
(広島大学理科紀要6、245--246頁参照。)
83:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:33:39.13 Bz9HH34r.net
疲れたので、高瀬節の引用もこの程度で
しかし、高瀬先生は、よく調べているね～（＾＾；
84:１３２人目の素数さん
15/08/22 19:39:45.96 2gKhrdce.net
>>63
指数定理大好きなんだよな俺。
85:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:01:16.44 Bz9HH34r.net
>>84
どうも。スレ主です。
指数定理か～（＾＾；
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:06:36.04 Bz9HH34r.net
指数定理と言われても、ひらめくものがない～（＾＾；
むかし、リアプノフ指数とか聞いた記憶があるが
あれ、なんか指数定理と呼ばれるものがあるのでしょうかね？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リアプノフ指数
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:24:58.78 Bz9HH34r.net
>>82 補足
そういえば、@Maleic1618さん>>62 Cousin I問題って、フラ語でクザンの問題か～！（＾＾；
手書き原稿だが、味があるね～！（＾＾；
URLﾘﾝｸ(maleic1618.hatenablog.jp)
メモ的ななにか @Maleic1618
2014-03-28 S2Sで発表しました
S2Sで「複素関数論とCousin I問題」と題して発表をしてきました．
発表用に作ったノートをこちらURLﾘﾝｸ(drive.google.com) に置いておきます．(Google Driveに飛びます)
参考になれば幸いです
参考にした本は次の4冊です．
神保 道夫著『複素関数入門』
野口 潤次郎著『複素解析概論』
若林 功著『数学のかんどころ21 多変数関数論』
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
ノートの7ページに"極が孤立するとは限らない"と書いていますが，実際には孤立しないことが分かります．(孤立した点があれば，Hartogs現象と同じように領域を取ってして拡張できるため)
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:38:37.28 Bz9HH34r.net
>>87 つづき
ついでに
URLﾘﾝｸ(maleic1618.hatenablog.jp)
2014-01-12 Sheafification
野口さんの本で層のテンソル積の例を計算していて，前層を層にするのは関数を局所的にみられるようにすることなんだと確信を持った．
計算していたのは次の例．
Rを実数体とし，定数層Z_R*1，イデアル層I<0,1>*2を考える．
S=Z_R/I<0,1>とするとS(R)はZ \oplus Zと同型．
※層S,Tに対して商層S/Tは{S(U)/T(U)}_{U⊂R:open}を層化して得られる層として定義される
実際に計算すると，
stalkについてはS_x = {Z_R}_x/I<0,1>_xだから，
S_xはx=0,1でZ，それ以外で0となってる．
で，f:R→Sとして，f(0)=a, f(1)=b, f(x)=0 (x≠0,1)という関数が連続かどうかを確かめるわけなのだけど，
これは0の近傍では「常にaを取る定数関数」と局所的に一致してるから0で連続
1の近傍でも「常にbを取る定数関数」と局所的に一致してるから1で連続
他の点では「常に0を取る定数関数」と局所的に一致してるから連続
となって，連続関数となっていることが分かります．よってS(R)がZ \oplus Zとなっているというわけです．
定数関数から定義した層なんだから，定数関数だけしか連続にならないんじゃないの？と最初勘違いしてたのですが，層化してるから局所的にみれるので大丈夫なんですね(多分)．
*1:Z上に値を取る定数関数のなす層
*2:x=0およびx=1で0を取る定数関数からなる，Z_Rの部分層
89:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:40:17.09 Bz9HH34r.net
>>88 つづき
野口さんの本って、野口 潤次郎著『複素解析概論』>>87でしょうか？
90:１３２人目の素数さん
15/08/22 20:45:25.91 2gKhrdce.net
>>86
リャプーノフ指数は力学系の概念でそれらの指数とは違う。
91:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:01:02.44 Bz9HH34r.net
今週は、おっちゃんのおかげで、なかなか楽しい週末です
92:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:18:55.44 Bz9HH34r.net
>>90
どうも。スレ主です。
サーセンｗｗ（＾＾：
指数定理わかりません・・
検索しても、いろいろありすぎ。これでお茶を濁しますか
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
蟹江幸博
シャファレヴィッチ著の『代数学とは何か』シュプリンガー・フェアラーク東京(2001.7)に関するページです。
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
『代数学とは何か』目次
§22 K理論
A. 位相的K理論
ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．
93:１３２人目の素数さん
15/08/22 21:27:40.90 CD4JzK8F.net
ガウス・ボンネの定理と関係あるらしい
94:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:31:19.73 Bz9HH34r.net
>>92 ついで
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
TOSM三重の広場
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
TOSMグループ 文献
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:35:10.96 Bz9HH34r.net
>>94 つづき
ところで、蟹江先生の下記、笑えるね～（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
リーマン面(数学セミナー1993年1月号26-27ページ)
これでもまだ少し紙数を超えている。一段落位のことだった。なんとかこのまま載せてほしかったが、許して貰えず泣く泣くあっちこっちを削った。気に入っていた締めのフレーズも短くした。校正も編集に任せてしまった。何せ、書き直しで締め切りを過ぎていたのだ。
刷り上がりを見て、さすがにきちんと校正してあると思いながら、最後まで読んできて、愕然とした。
リーマン面で代表されるリーマンの業績には、才能や力強さという彼の魂が篭められているように感じられる。
違いが分かるだろうか。原稿はこのページも挙げてあるように、
リーマン面で代表されるリーマンの業績には、才能や力強さというより彼の魂が篭められているように感じられる。
だったのだ。２文字落ちている。「より」という２文字。
たった２文字で、壊れ物のように繊細なとリーマンの魂を形容した文章が、びくともしない強靱な精神の持ち主としてリーマンを讃えたことになっている。
自分で校正がしたかった。と、痛切に思った。しかし、依頼原稿を書くときは、プロとして振る舞うべきだったのだ。締切りを守れば良かったのだ。 ２度と締切りを押すことはするまいと思った。
それから今日まで、原稿の依頼はない。
上のコメントを書いてから2年半以上のときが流れ，略 数度数学セミナーにも原稿を依頼された．
略
僕としては，上のページをアップしたことで，一応のけじめがついていたのでさっぱりしたものであったが，担当者の方はひどく気にしておられるということを別の編集者から聞いた．
それで，この箇所を削除しようと思って，ファイルを見たのだが，消してしまうのは惜しい気がする． 非常に気の優しい方で，数学の世界のこともよくわかっておられ，個人的には，好意以外のものを持ってはいない．
実は今最終原稿読み直しても，誤植が見つかったので直したのだが，それほどに，原稿には意図せぬ誤りが入り込むものである．
編集者への悪意のために消さないのではなく，自戒をこめて，置くのである．心優しいYさんには，もう少し逞しくなってもらうことにして，容赦していただきたいと思う．
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:41:43.44 Bz9HH34r.net
>>93
どうも。スレ主です。
情報ありがとう
ガウス・ボンネね～。知っているといいた。が、聞いたこと、読んだことはあるが、詳しいことは思い出せない・・
で、検索・・・、ふんふん、思い出してきたよ～
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガウス・ボネの定理
（曲率の意味で）曲面の幾何学と（オイラー標数の意味での）曲面のトポロジーと結びつける重要な定理である。
命名はこの定理に最初に気づいたが出版しなかったカール・フリードリッヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)と、1848年に特殊な場合について出版したピエール・オシアン・ボネ（英語版）(Pierre Ossian Bonnet)にちなんでいる。
解釈と重要さ
閉曲面の全ガウス曲率は曲面のオイラー標数の 2π 倍に等しいことを意味している。
境界を持たない向き付け可能なコンパクト曲面に対し、g を曲面の種数とするとオイラー標数は 2-2g であることに注意する。境界をもたない向き付け可能なコンパクトな曲面は、トポロジー的には g 個のハンドル体をつけた球面に同相となる。
曲面 M を折り曲げたり変形させたりしても、オイラー標数はトポロジー的には不変なので変わらないが、曲率はある点では変わる。
いくらか驚くかもしれないが、本定理のは、たとえ、どのように変形されようとも、すべての曲率の全積分は変化しないことを言っている。
従って、例えば、球にくぼみを作っても、くぼみの大きさや深さには関係なく、球の全曲率は 4π である（オイラー標数が 2 であるので）。
97:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:44:45.78 Bz9HH34r.net
>>96 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般化
ガウス・ボネの定理の n-次元リーマン多様体への一般化は、1940年代にカール・アレンドエルファー（英語版）(Carl Allendoerfer)とアンドレ・ヴェイユ(Andre Weil)とチャーン(Shiing-Shen Chern)により発見された。
一般化されたガウス・ボネの定理やチャーン・ヴェイユ準同型を参照。リーマン・ロッホの定理はガウス・ボネの定理の一般化とみなすことができる。
上記の定理の非常に深い一般化はアティヤ・シンガーの指数定理である。
98:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:48:26.40 Bz9HH34r.net
>>97 つづき
アティヤ＝シンガーの指数定理か。名前だけは聞いていたね～（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アティヤ＝シンガーの指数定理(Atiyah?Singer index theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。
解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。
従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。
本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表[1]され、1968年に証明[2] [3]が刊行された。
指数定理の特別な場合として、以前から知られていたガウス・ボンネの定理やヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（ヒルツェブルフ（英語版）のリーマン・ロッホの定理）などが含まれていると理解できる。
さらに、1950年代の終わりに得られていたグロタンディ－ク・リーマン・ロッホの定理（英語版）（グロタンディークのリーマン・ロッホの定理）はこの定理の定式化に大きな影響を与えたとされ、
グロタンディークが代数多様体に対して用いたK理論の構成を微分多様体に対して実行することが指数定理の定式化・証明における重要なステップをなしている。
またアティヤ-シンガーによる枠組みの一般化として群が作用している場合や、楕円型微分作用素を持つ多様体が、ある多様体によってパラメーター付けされた族として与えられている場合、
葉層構造によってパラメーター付けが与えられている場合などに指数定理が一般化されている。
この定理の研究から、アティヤとシンガーは2004年にアーベル賞を受賞した。
99:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 22:23:44.16 Bz9HH34r.net
>>98 つづき
K-理論も有名で、名前だけは知っているんだが（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における K-理論（Kりろん、英: K-theory）は、大まかには、大きな行列の不変量を研究することのひとつであり[1]、位相空間やスキーム上で定義されたベクトル束で生成される環の研究に端を発する。
代数トポロジーにおける K-理論は、位相的 K-理論と呼ばれる一種の超常コホモロジー論（英語版）である。代数学や代数幾何学における K-理論は代数的 K-理論と呼ばれる。また、K-理論は作用素環論においてもいくつかの応用を持つ。
K-理論は、位相空間やスキームから付帯する環への写像である K-函手の族を構成することを意味する。これらの環は、元の空間やスキームの構造のいくつかの側面を反映している。
代数トポロジーにおける群への函手のように、この函手的な写像の利点は、元の空間やスキームからよりも写像された環からのほうが位相的な性質を容易に計算することができることが多いことである。
K-理論のアプローチから得られる結果の例としては、ボットの周期性（英語版）(Bott periodicity)やアティヤ＝シンガーの指数定理やアダムズ作用素（英語版）(Adams operation)がある。
高エネルギー物理学では、K-理論、特にツイストした K-理論（英語版）(twisted K-theory)は、II-型弦理論に現れる。
そこでは、K-理論が、Dブレーンやラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field)の強さ、一般化された複素多様体上のスピノルを分類すると予想されている。
物性物理学では、K-理論は、トポロジカル絶縁体、超伝導や安定フェルミ面を分類することに使われる。詳細はK-理論 (物理学)（英語版）(K-theory (physics))の項を参照。
100:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 22:28:46.24 Bz9HH34r.net
>>99 つづき
”名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]”か・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
黎明期
この主要な問題は、アレクサンドル・グロタンディークがグロタンディーク-リーマンロッホの定理（英語版）(Grothendieck?Riemann?Roch theorem)を定式化することに、K-理論を用いた Grothendieck (1957) に始まる。
名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]。
グロタンディークは、代数多様体 X 上の連接層をうまく扱う必要とし、層自体を直接扱うのではなく、層の同型類（英語版）(isomorphism class)を群の生成系として、それらの和を備える二つの層の拡大を同一視することによる基本関係で一つの群を定義した。
局所自由層のみを用いて考えると、こうして得られた群は K(X) と書かれ、任意の連接層を用いるときは G(X) と書かれるのだが、いづれもグロタンディーク群と呼ばれる。K(X) はコホモロジー的であり、G(X) はホモロジー的に振る舞う。
X が滑らかな代数多様体のとき、この二つのグロタンディーク群は一致する。X が滑らかなアフィン代数多様体ならば、局所自由層の任意の拡大は分裂するので、別な方法でグロタンディーク群を定義することもできる。
トポロジーでは、ベクトル束に同じ構成を適用することにより、Atiyah & Hirzebruch (1959) は 位相空間 X に対する K(X) を定義し、
ボット周期性定理（英語版）(Bott periodicity theorem)用いてある超常コホモロジー論（英語版）(extraordinary cohomology theory)の基底を与えた。
これは指数定理の別証明 (circa 1962) において重要な役割を果たす。さらにこのアプローチはC*-環に対する非可換 K-理論を導く。
1955年にはすでにジャン＝ピエール・セールは、ベクトル束のアナロジーとして射影加群を用いて「多項式環上の任意の有限生成射影加群が自由加群である」ことを言うセール予想（英語版）(Serre's conjecture)を定式化していたが、
これが肯定的に解かれたのは20年を経た後のことであった（スワンの定理(Swan's theorem)はこのアナロジーのもうひとつの側面である）。
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 22:58:34.87 Bz9HH34r.net
>>100 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
理論の展開
代数的 K-理論のもうひとつの歴史的な起源は、ホワイトヘッドらによる業績で、後にホワイトヘッドねじれ（英語版）(Whitehead torsion)として知られていることに関することである。
その後「高次 K-理論函手」の部分的な定義がさまざまに提唱され、最終的にダニエル・キレンによって1969年と1972年にホモトピー論を用いた互いに同値な二つの有力な定義が与えられた。
また、擬イソトピー(pseudo-isotopy)の研究と関連する「空間の代数的 K-理論」を調べるため、K-理論の一変形がフリードヘルム・ヴァルトハウゼンによっても与えられた。より現代的な高次 K-理論の研究は、代数幾何学およびモチーフコホモロジー（英語版）と関連する。
付帯二次形式をもつ対応する構成は、一般にL-理論（英語版）と名付けられ、手術（英語版）(surgery)の主な道具立てとなっている。
弦理論において、ラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field)の強さや安定 Dブレーンのチャージの K-理論分類が、初めて提唱されたのは1997年のことであった[3]。
[3]^ by Ruben Minasian (URLﾘﾝｸ(string.lpthe.jussieu.fr)), and Gregory Moore (URLﾘﾝｸ(www.physics.rutgers.edu)) in K-theory and Ramond?Ramond Charge. URLﾘﾝｸ(xxx.lanl.gov)
^ Atiyah, Michael (2000), K-Theory Past and Present, v1, arXiv:math/0012213 URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Max Karoubi (2006), "K-theory. An elementary introduction", arXiv:math/0602082 URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
102:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 23:11:38.01 Bz9HH34r.net
>>88 補足
そうそう、ソウの説明、下記が分かり易いかも
URLﾘﾝｸ(www.encyclopediaofmath.org)
Sheaf theory - Encyclopedia of Mathematics:
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103:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 23:29:52.83 Bz9HH34r.net
>>102 ついで
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_T%C3%B4hoku_paper
The article Sur quelques points d'algebre homologique by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal.
It has revolutionised the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
Contents
1 Background
2 Later developments
3 Notes
4 External links
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it.
His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7]
David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept
(needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8]
The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9]
In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
104:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 23:47:27.84 Bz9HH34r.net
>>103 つづき
英訳があるんだ・・（下記）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_T%C3%B4hoku_paper
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12]
In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13]
The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
Notes
Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d’algebre homologique", Tohoku Mathematical Journal, (2) 9: 119?221, doi:10.2748/tmj/1178244839, MR 0102537. English translation. URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)
105:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 00:00:38.21 1K90ZkZY.net
>>104 つづき
なんでトウホク？
グロタン先生は、仏国籍がないので、仏の大学で就職できないので、世界を転々としていた
つぎは、日本と思って、日本の大学トウホクに投稿したと読んだことがある
でも、IHESが出来て、仏へもどったという
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
IHES
1958年にレオン・モチャーンにより設立された。同年にグロタンディークとデュドネが教授として選任された。
106:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:04:45.10 1K90ZkZY.net
突然ですが
affineの語原
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In geometry, an affine transformation, affine map[1] or an affinity (from the Latin, affinis, "connected with") is a function between affine spaces which preserves points, straight lines and planes.
107:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:13:55.43 1K90ZkZY.net
>>100 戻る
英文読む方が、K-theory German Klasse, meaning "class"が見えるね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
K-theory
Early history
The subject can be said to begin with Alexander Grothendieck (1957), who used it to formulate his Grothendieck?Riemann?Roch theorem.
It takes its name from the German Klasse, meaning "class".[2]
Grothendieck needed to work with coherent sheaves on an algebraic variety X.
Rather than working directly with the sheaves, he defined a group using isomorphism classes of sheaves as generators of the group, subject to a relation that identifies any extension of two sheaves with their sum.
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:27:09.69 1K90ZkZY.net
>>92 戻る
シャファレヴィッチ著の『代数学とは何か』>>92は、読んでないが、
"§22 K理論 A. 位相的K理論
ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．"（特に指数定理）
は、思うに
アティヤ＝シンガーの指数定理>>99、あるいはグロタンディーク-リーマンロッホの定理>>100のどちらか（両方）に関係しているんだろうね
そういう意味では、まったく外れではないか・・
109:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:39:56.27 1K90ZkZY.net
ついで
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
K-theory (physics)
In string theory, the K-theory classification refers to a conjectured application of K-theory (in abstract algebra and algebraic topology) to superstrings, to classify the allowed Ramond?Ramond field strengths as well as the charges of stable D-branes.
In condensed matter physics K-theory has also found important applications, specially in the topological classification of topological insulators, superconductors and stable Fermi surfaces (Kitaev (2009), Horava (2005)).
History
This conjecture, applied to D-brane charges, was first proposed by Minasian & Moore (1997).
It was popularized by Witten (1998) who demonstrated that in type IIB string theory arises naturally from Ashoke Sen's realization of arbitrary D-brane configurations as stacks of D9 and anti-D9-branes after tachyon condensation.
Such stacks of branes are inconsistent in a non-torsion Neveu?Schwarz (NS) 3-form background, which, as was highlighted by Kapustin (2000), complicates the extension of the K-theory classification to such cases.
Bouwknegt & Varghese (2000) suggested a solution to this problem: D-branes are in general classified by a twisted K-theory, that had earlier been defined by Rosenberg (1989).
Applications
The K-theory classification of D-branes has had numerous applications.
For example, Hanany & Kol (2000) used it to argue that there are eight species of orientifold one-plane. Uranga (2001) applied the K-theory classification to derive new consistency conditions for flux compactifications.
K-theory has also been used to conjecture a formula for the topologies of T-dual manifolds by Bouwknegt, Evslin & Varghese (2004). Recently K-theory has been conjectured to classify the spinors in compactifications on generalized complex manifolds.
つづく
110:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 08:14:53.65 1K90ZkZY.net
>>109 つづき
Open problems
Despite these successes, RR fluxes are not quite classified by K-theory.
Diaconescu, Moore & Witten (2003) argued that the K-theory classification is incompatible with S-duality in IIB string theory.
In addition, if one attempts to classify fluxes on a compact ten-dimensional spacetime, then a complication arises due to the self-duality of the RR fluxes.
The duality uses the Hodge star, which depends on the metric and so is continuously valued and in particular is generically irrational.
Thus not all of the RR fluxes, which are interpreted as the Chern characters in K-theory, can be rational.
However Chern characters are always rational, and so the K-theory classification must be replaced.
One needs to choose a half of the fluxes to quantize, or a polarization in the geometric quantization-inspired language of Diaconescu, Moore, and Witten and later of Varghese & Sati (2004).
Alternately one may use the K-theory of a 9-dimensional time slice as has been done by Maldacena, Moore & Seiberg (2001).
つづく
111:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:09:15.34 1K90ZkZY.net
>>110 つづき
K-theory classification of RR fluxes
In the classical limit of type II string theory, which is type II supergravity, the Ramond?Ramond field strengths are differential forms.
In the quantum theory the well-definedness of the partition functions of D-branes implies that the RR field strengths obey Dirac quantization conditions when spacetime is compact,
or when a spatial slice is compact and one considers only the (magnetic) components of the field strength which lie along the spatial directions.
This led twentieth century physicists to classify RR field strengths using cohomology with integral coefficients.
However some authors have argued that the cohomology of spacetime with integral coefficients is too big. For example, in the presence of Neveu?Schwarz H-flux or non-spin cycles some RR fluxes dictate the presence of D-branes.
In the former case this is a consequence of the supergravity equation of motion which states that the product of a RR flux with the NS 3-form is a D-brane charge density.
Thus the set of topologically distinct RR field strengths that can exist in brane-free configurations is only a subset of the cohomology with integral coefficients.
略
The Atiyah?Hirzebruch spectral sequence constructs twisted K-theory, with a twist given by the NS 3-form field strength, as a quotient of a subset of the cohomology with integral coefficients.
In the classical limit, which corresponds to working with rational coefficients, this is precisely the quotient of a subset described above in supergravity.
The quantum corrections come from torsion classes and contain mod 2 torsion corrections due to the Freed-Witten anomaly.
Thus twisted K-theory classifies the subset of RR field strengths that can exist in the absence of D-branes quotiented by large gauge transformations.
Daniel Freed has attempted to extend this classification to include also the RR potentials using differential K-theory.
つづく
112:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:16:18.83 1K90ZkZY.net
>>111 つづき
K-theory classification of D-branes
K-theory classifies D-branes in noncompact spacetimes, intuitively in spacetimes in which we are not concerned about the flux sourced by the brane having nowhere to go.
While the K-theory of a 10d spacetime classifies D-branes as subsets of that spacetime, if the spacetime is the product of time and a fixed 9-manifold then K-theory also classifies the conserved D-brane charges on each 9-dimensional spatial slice.
While we were required to forget about RR potentials to obtain the K-theory classification of RR field strengths, we are required to forget about RR field strengths to obtain the K-theory classification of D-branes.
K-theory charge versus BPS charge
略
K-theory from tachyon condensation
略
Twisted K-theory from MMS instantons
略
MMS[1] refer to this process as an instanton, although really it need not be instantonic.
The conserved charges are thus the nonanomolous subset quotiented by the unstable insertions. This is precisely the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence construction of twisted K-theory as a set.
引用おわり
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:27:24.73 1K90ZkZY.net
>>109 補足
Neveu－Schwarz (NS) 3-form
下記リンクなんだけど・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Kalb?Ramond field
In theoretical physics in general and string theory in particular, the Kalb?Ramond field, also known as the NS-NS B-field, is a quantum field that transforms as a two-form i.e. an antisymmetric tensor field with two indices.[1][2]
引用おわり
URLﾘﾝｸ(www.aei.mpg.de)
String Theory: An Overview Lect. Notes Phys. 721, 289?323 (2007)
P295
The fermions ψμ± on the world-sheet of the closed string can be periodic (Ramond) or anti-periodic (Neveu?Schwarz),
where the periodicity condition can be chosen independently for each chirality.
This leads to four different sectors of the closed string theory.3
Excitations in the (NS,NS) and the (R,R) sectors are space-time bosons while excitations in the two mixed sectors, (R,NS) and (NS,R), are space-time fermions.
引用おわり
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:43:26.59 1K90ZkZY.net
>>113 つづき
NS：Neveu－Schwarz, anti-periodic
3-form：３次元-（外）微分形式。 正式には、下記
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
For instance, the expression f(x) dx from one-variable calculus is called a 1-form
and similarly the expression: f(x,y,z) dx∧dy + g(x,y,z) dx∧dz + h(x,y,z) dy∧dz is a 2-form that has a surface integral over an oriented surface S:
Likewise, a 3-form f(x, y, z) dx∧dy∧dz represents a volume element that can be integrated over a region of space.
引用おわり
R：periodic (Ramond)
(R,R) ：ラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field) URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
115:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:48:25.98 1K90ZkZY.net
K-theory (physics)も、なかなかすごいことになってますな～（＾＾；
理論物理屋さんも、K-theory くらいやってないと、常識が無いと言われそうな時代かよ、おい（＾＾；
116:１３２人目の素数さん
15/08/23 09:59:57.98 nupX4GQB.net
ブルーバックスから出てる群論入門読みましたか？
117:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 10:02:19.35 1K90ZkZY.net
>>116
どうも。スレ主です。
多分読んでない
書店で見かけた
が、興味が湧かなかったので、手に取ってない
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 10:11:46.70 1K90ZkZY.net
環論（含むイデアル）の本は、ほとんど持ってない
が、群論はあるよ。大体ガロア理論の本には、導入部分に有限群論が付属しているし（付録にまわっている本も多い）
>>77-78の岡潔の講演を読むと
数のイデアルと
多項式環のイデアルと
解析関数のイデアルと
質が違うんだね。歴史的にも違うんだね
なるほど～（＾＾；
119:１３２人目の素数さん
15/08/23 11:02:22.21 nupX4GQB.net
シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？
120:１３２人目の素数さん
15/08/23 18:04:51.97 rhinu+IC.net
NGワード：岸部、伊東、マギー、つぶやき
121:１３２人目の素数さん
15/08/23 19:01:23.17 pFXtvWCJ.net
とりあえずググったら
大平というのが一番上に出たぞ
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:06:42.68 1K90ZkZY.net
>>119
どうも。スレ主です。
良い質問だと思うのだが・・
君のレベルが分からないんだよね
123:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:08:37.53 1K90ZkZY.net
>>122
シローの定理ね
自分でも少しは調べているんだろ？ いまの時代、検索かければヒットする情報はあるから
だが、自分の求める情報をヒットさせるのはなかなか難しいのも事実だ
124:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:11:53.76 1K90ZkZY.net
>>123
シローの定理ね
なにが分からないのか分からないが
まあ、有限群論の基本定理だと。これが一つの切り口だ
こういう大きな定理は、いろんな切り口で考えるのが良いんだよ
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:18:16.53 1K90ZkZY.net
>>124
シローの定理ね
実は、こういう本がある。結構新しいし、コンパクトで分かり易いよ
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ) 単行本 ? 2015/4/10
佐藤 隆夫
単行本: 155ページ
出版社: 近代科学社 (2015/4/10)
商品の説明
内容紹介
群論の古典!
本シリーズは,大学教育において扱われる数学の中から特に重要で興味深いと思われるテーマを抽出し,その基礎概念ならびに応用の点について様々な観点から掘り下げた解説を行う。A5判でありながら側注をもうけ、立体的に理解できる。
第1巻は、群論の古典ともいうべき「シローの定理」を取り上げる。群論は、抽象的概念の強い分野だが、その利用例は幅広く、情報科学はもとより、物理、化学などに幅広い分野に応用されている。
本書は、「シローの定理」にスポットをあて、より深い理解を目指して学ぶことができる。章末には、演習問題の詳細な解答をのせ、より具体的に理解出来るよう工夫してある。
授業で学んだが、今ひとつ理解出来かねている読者やより深く理解して研究に使えるようにしたい読者には最適の書である。
著者について
東京理科大学講師
126:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:21:15.17 1K90ZkZY.net
>>125
一度、書店か図書館で手に取ってみては？
実は、これ手元にある
アマゾンなどで買うのもありだろう。分かり易いよ
127:１３２人目の素数さん
15/08/23 19:31:23.44 ubTUdCwU.net
切り口というか、有限群で万能な定理ってこれくらいしかないんだよね
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:36:02.19 1K90ZkZY.net
>>126
この本にも書いてあるし、有限群論やった人なら常識なんだが
１．ラグランジュの定理というのがある。（下記）部分群の位数が、元の群の位数の約数だと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。
G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。
２．では、この逆問題はどうなるか？ つまり、群Gの位数が分かったときに、その部分群はどこまで決まるのか？ 別の言い方をすれば、群Gの位数が分かったときに、その群の構造はどこまで決まるのか？
３．簡単な場合がある。群Gの位数が、素数pに等しい場合は、位数pの巡回群になるとか
４．一般の場合を考えたのが、シロー先生ってわけ。これが結構早かったんだ。だから、名前が残っている。いずれは、だれかが考えたと思うんだよね、個人的には。何年後な何十年後か分からないが・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Peter Ludwig Mejdell Sylow (IPA: [ ?sy?l?v]) (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian mathematician who proved foundational results in group theory. He was born and died in Christiania (now Oslo).
Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898, and a substitute lecturer at Christiania University in 1862, covering Galois theory.
It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups.
Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel.
He was appointed professor of Christiania University in 1898.
129:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:38:17.05 1K90ZkZY.net
>>128
あとは、上記の本を読むか、自分で調べてみて
それで、分からなければ、質問してくれ
なお、どこが分からないか具体的にね。それと、君のレベルが分かるように頼むよ
130:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:48:38.20 1K90ZkZY.net
>>127
どうも。スレ主です。
同意です。そうらしい。（専門的には、深くは知らないので）
あとは、大定理ですよね。トンプソンのodd order theorem
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
A new look at the Feit-Thompson odd order theorem
George Glauberman
Matematica Contemporanea 01/1999; 16.
あと、有限群の分類定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている(任意の有限群は組成列を持つ)。
あと、有限群に限らないが、表現論か
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群の表現（ぐんのひょうげん、英: group representation）とは、抽象的な群 G の元に対して具体的な線形空間 V の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 G → GL(V) のことである。
実際には正則な線形変換としてではなく、より具体的な正則行列による実現を与える準同型写像を指すことも多い。
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 22:17:28.74 1K90ZkZY.net
高木 近世数学史談に出てくるアーベルのパリ論文について調べた
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
書評 高木貞治著「近世数学史談・数学雑談」（復刻版・合本）共立出版，1996年
500年分はおおげさすぎと思う
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アーベル
1826年 パリ科学アカデミーへ提出した「超越関数の中の非常に拡張されたものの一般的な性質に関する論文」こそ､のちに“青銅よりも永続する記念碑”と謳われ､後代の数学者に500年分の仕事を残してくれたとまで言われた不滅の大論文だった。
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
2012-04-08-Sun 回想のアーベル 6 加法定理と「パリの論文」 （高瀬）
アーベルの生前には日の目をみなかった「パリの論文」という大論文があります。
驚嘆に値するのはそのテーマなのですが、アーベルが取り上げたのは完全に一般的な代数関数の積分、すなわち今日のアーベル積分であり、「パリの論文」ではアーベル積分の加法定理が既述されました。
楕円関数の等分理論に先立って、アーベルはいきなりアーベル積分の高みに飛翔したことになります。地上から一歩ずつ階段をのぼっていくのではなく、まずはじめに頂上に身を移して世界全体を展望するという離れ業ですが、どうしてそんなことができたのでしょうか。
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録2006 数論と関数論- オイラーからヒルベルトヘー 高瀬正仁
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
「ヤコヒの逆 問題 」小史 - 津田塾大学 高瀬正仁 平成12年(2000年)10月21日(土)
.この「パリの論文Jは公表されないまま行方不明になったが，後に発見され， 1841年，パリの学術誌「いろいろな学者によって学士院に提出された諸論文」第7巻， 176"'"'264頁に掲載された.
この論文において完全に一般的なアーベル積分を対象にして「アーベルの定理」と加法定理が表明され，アーベルの定理から加法定理が導かれた.アーベルの定理は加法定理の根底にある定理であり，それ自身もまた加法定理という名に相応しい性格を備えている.
132:１３２人目の素数さん
15/08/24 06:00:30.61 0sHbSGFU.net
>>87
おっちゃんです。昨日は書かなかったが、>>88の内容からして、
>野口 潤次郎著『複素解析概論』
ではなく
>野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
を指している。