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>>175 つづき
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
2003年度整数論サマースクール 「岩澤理論」
函数体と代数体の類似（60分）八森祥隆（学習院大学）
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函数体と代数体の類似、八森祥隆（学習院大学）
代数体と一変数代数函数体, 特に有限体上の函数体とは多くの類似点がある. 特に, イデアル類群の函数体における類似物は, 次数 0 の因子類群である. しかしながら, 函数体の理論にあって代数体にないものは次の事実であった:
(完全)体 $k$ 上の函数体は, $k$ 上射影非特異な代数曲線の函数体であり, そのヤコビ多様体の$k$-有理点が次数 0 の因子類群と同型になる.
この事実により, 代数幾何的手法によって因子類群の性質を明らかにすることが出来る.
岩澤は, 代数体の $Zp$-拡大体とその上のイデアル類群の構造の理論を建設していく中で, それが, 函数体において, ヤコビ多様体の類似物を考えていることに当たるということに気付いていったようである.
ヤコビ多様体の理論によって因子類群の構造が簡単になるのが,代数閉体上の函数体の場合であることから, 代数体の $Zp$-拡大と函数体の代数閉体への係数拡大が類似していると考えたのである.
さて, 函数体における著しい結果は Weil による次の結果であり, これには (代数体にない) 曲線とヤコビ多様体の理論が必要であった:
"函数体の合同ゼータ関数(の主要部)は行列式表示をもつ"
これの代数体における類似物は何であろうか. 実はそれが岩澤主予想なのである.
本講演では Weilの結果を説明しながら, 岩澤主予想がどのようにその類似と考えられるかを説明する. また, 他の類似についても触れたい.