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>>367 By hiroyukikojima
これ買った
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数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 ? 2014/5/16 小島 寛之 (著)
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可換環とホモロジー論の最高におすすめの名著です。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/6/16
たいがいの代数学の参考書は抽象的な定義・定理の羅列で無味乾燥で読んでもわかった気がしませんが
本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
高校生の時に円が方程式で表わされることを学んだように、
図形という幾何学的な「対象」を考察するのに代数学的な方法で方程式を調べる。
幾何学的な図形を方程式を使って調べるのが、環というものです。
方程式の「変数」は環の生成元に化け、「方程式」は生成元の交換関係に化けたと解釈する。
モノの対称性をあらわす（適切な）変換全体が群をつくるように、図形上の（適切な）関数の全体が可換な環をつくる。
単に集合の1対1かつ上への（対称）変換なら置換群で十分だが、ユークリッド幾何学の図形としての対称性では、ずらし（移動）や回転という変換群を考察することになる。
代数幾何学では幾何と代数で同じ対象を双対的にとらえて考察する。ここでは幾何（図形、つまり代数曲線）＝代数数方程式の解集合としてみる。代数曲線（2次元）、代数曲面（3次元かそれ以上）という幾何的な対象の研究が可換環という代数的対象の研究に帰着される。
平面の2次曲線、空間の球面、超平面などは代数的集合とよぶと
代数曲線や代数曲面をも含んだのがアフィン空間の代数的集合である。
『代数的集合とは有限個の多項式の共通零点の集合である』代数幾何学とはこのような集合の性質を研究することです。
なお可換環の中心概念はイデアルという倍数概念です。「21世紀の新しい数学」黒川と共著も解かりやすい。
可換環の二つ具体的対象物は代数幾何（多項式環）と整数論（代数体の整数環⇒Dedekind環）がある。
ネットで明治大「後藤研究室」の教科書ＰＤＦは必読です。
うれしいことに最近はyou tube動画で 整数・群論・方程式のやさしい解説が沢山あります。
他にも「なっとくする群・環・体」野崎、「ガロア理論の頂を踏む」石井 俊全、「線形代数のコツ」梶原 健が非常にわかりやすいので併読をおすすめします。