15/07/26 14:31:08.32 yHhmJJ+L.net
>>364 補足
>２が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第
そこで
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イデアルは部分環の一種ですが，とても重要な概念ですので，わざわざ記事を一つ設けました．
[*]イデアルとはなんとも奇妙な名前です．英語では ideal と書きますので，英語式に発音すれば"アイディール"となります．
日本語の用語はドイツ語の Ideal から入って来ていますので，「イデアル」と読むのです．ドイツ語の発音には旧制高校風の趣があり，私はなかなか好きです．
イデアルの定義
環 R の部分環 I が次の性質を満たすとき， I を イデアル と呼びます．
I ⊂ R
環 R の任意の元 x と， I の任意の元 a に対し xa ∈ I がなりたちます．
イデアルは既に部分環なので，加法に関しては環 R の部分群になっています．乗法の条件が，すこぶる変わっています．『環 R に属するどんな元を取って来ても，イデアルの元との積はイデアルに含まれてします』というのですね．
[†]積を取れば何でも自分の元になってしまう，という代数的性質を吸収律と呼びます．そのままの命名ですね．
例２
整数環 Z で，偶数全体からなる集合はイデアルです．偶数同士の和，偶数同士の積は偶数になり，偶数だけで部分環になります．さらに，偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています．
一般に，整数環 Z で整数 m の倍数の全体 [m] はイデアルになります．
例３
Ｒ上の多項式環 R[x] で， x=1 を代入すると 0 になる多項式の全体 I={ f(x)|f(1)=0 \in R[x]} は，イデアルになります．確認してみて下さい．
数の概念を拡張して行けば，素数に相当する『これ以因数上分解できない数』に行き当たるだろうと考えたのです．クンマーはこれを理想数( ideal number )と名づけました．
クンマーの研究自体は当時の数論の延長といったものでしたが，デデキントがクンマーの理想数を抽象的概念にまで拡張しました．その時にイデアルという名前をそのまま継承したのが，この奇妙な名前の由来です．
この脚注で理想数の話題に深入りすることはできませんが，単項イデアルは整数に，単項イデアル以外のイデアルは理想数に対応し，整数の素因数分解の概念はイデアルを素イデアルに分解することに対応した抽象概念です．