15/07/26 12:27:31.29 yHhmJJ+L.net
>>358
つづき
例えば、f(x, y)=ax+by+cという多項式とg(x, y)=(xの2乗)+(yの2乗)－cという多項式を考えると、f(x, y)=0とg(x, y)=0という連立方程式の解は、(直線と円との交点だから)、
一般には2点{P, Q}となる。でも、f(x, y)とg(x, y)という二つの多項式のそれぞれの倍数の和で作られる多項式のイデアルI(つまり、fとgを含み、上記の(i)(ii)を満たす多項式の集合で最小のもの)を考えると、Iに含まれる多項式の共通の解も同じ{P, Q}となる。
なぜなら、多項式たちの共通の解というのは、和や差や倍数ではそのまま解であり続けるからだ。
ちなみに、高次多項式のイデアルは、整数のときとは異なり、「何かの倍数」だけには限られない。
例えば、1次式f(x, y)=x-1と1次式g(x, y)=y-2を含む最小のイデアルを考えると、それは(fの倍数)+(gの倍数)の集合となるのだけど、これはある多項式hの倍数の集合(h)という形式では書けないから。(だって、hは(x-1)と(y-2)の両方を割り切れなきゃならなくて、それは無理)。
実は、多項式たちのイデアルを考える利点はいくつもあるのだ。例えば、最初の利点として、次のことが挙げられる。
まず、高次の多項式の連立方程式の解の集合(何かのイデアルから定まる零点集合)をWとしよう。そして、逆に「Wの点すべてで零となる多項式の集合」を考える。
実は、この集合は上記の(i)(ii)を満たすから、イデアルを成す。このイデアルをI(W)と書くことにする。するとこのイデアルI(W)の共通の零点集合をとると、それはWに戻るのである。
つまり、零点の集合(空間内の図形)Wを定義する最も大きな連立方程式がイデアルI(W)なのである。これは、「飽和方程式系」と呼ばれるとのことである。
イデアルを考える次の利点は、上記で解説した「素イデアル」と「極大イデアル」がものをいうことにある。
つづく
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:29:31.54 yHhmJJ+L.net
>>359
つづき
まず、極大イデアルのほうの意味。これは、「Wが1点から成る集合であることと、I(W)が極大イデアルであることとが同値」ということに現れる。
つまり、1点を共通の解として持つイデアルのみが極大イデアルだ、いうことなのだ。これはあたりまえ
419:で、WがPとQという2点以上を含むとすれば、 Pだけを共通解とする多項式の集合としてのイデアルJは、明らかにWを共通解とする多項式の集合としてのイデアルI(W)を含んでいるから、I(W)は極大にはなれないからだ。 次に、素イデアルのほう。これは、「Wが図形として既約であることと、I(W)が素イデアルであることが同値」というふうに現れる。Wが既約というのは、Wがイデアルの共通解として定義される図形2つに分解されない、ということをいう。 別の言い方をすれば、WがW1とW2の合併で表されるならW1とW2は一方が他方を含む、ということ。既約じゃないものを可約と言って、可約な例を見るほうが話が早いかもしれない。 例えば、h(x, y)=xyという多項式とすると、h(x, y)=0の解は、xy=0だから、直線x=0と直線y=0を合併したものとなる。これは、多項式h1(x, y)=xの解と、多項式h2(x, y)=yの解をそれぞれ意味するから、h(x, y)=xyの解集合は2つの図形(直線x=0と直線y=0)に分解してしまう。 こういうのは可約であって、既約ではない、ということ。そして、「これ以上、図形が分解しない」ような解集合Wと「素イデアル」が対応する、ということになるのである。これは、まさに整数における素数に対応する性質と考えられるだろう。 ここまでくると、極大イデアルと素イデアルの違い(それは、整数のイデアルでは違いがなかった）がはっきりしてくる。極大イデアルは空間の1点1点に対応するもので、素イデアルは「これ以上、分解しない図形」に対応するもの、ということなのだ。 (1点も「これ以上分解しない図形」なので、当然、極大イデアルは素イデアルの一種となることもわかる)。 つづく
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:32:01.78 yHhmJJ+L.net
>>360
つづき
このように、高次多項式の連立方程式の解集合を空間内の図形として分析したい、という気持ちがある場合、それは連立方程式としてよりもイデアルとして扱うほうが自然で、「数学様が、そういうふうにイジッて欲しいようとほのめかしている」みたいだ、ということなのである。
こんなふうに言い表すと、「大げさだなあ」と言われてしまうかもしれないが、そうじゃない。グロタンディークという数学者は、この「数学様の欲求」に耳を貸してとんでもない着想を得たのだ。
それは、「極大イデアルが空間の1点と対応しているなら、逆に、極大イデアルの集まりが空間だと見なしてしまえる。だとしたら、一歩進めて、素イデアルの集まりを空間だと見なすこともできるのでないか」と。
そうして、素イデアルの集まりを「空間化」する方法に気がついた。これが、いわゆる「スキーム」というものなのだ。
スキームでは、例えば、素数の集合(=素イデアルの集合)を空間化してしまい、それはあたかも遠近感のある一本の曲線のようになっている、というわけなのだ。(というか、やっとそこまで勉強したところ。笑い。続きを勉強したらまた書くね）。
ブログにこんなに書いてしまって、本にしたとき買ってくれるのか、という心配もあるが、まあ、本にするときはもっと丁寧にわかりやすく説明する(式や図も入れる）から大丈夫だろう、と信じる。(書いてみたらめっちゃ長かった・・・ちかれた）。
まあ、こういう数学の解説が面白いと思うんだったら、以下の新書を読んでみてつかあさい。
数学入門 (ちくま新書)
作者: 小島寛之
出版社/メーカー: 筑摩書房
発売日: 2012/07
メディア: 新書
おわり
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:39:45.21 yHhmJJ+L.net
>>355-361
さすがの小島節だね
分かり易いし、訴えるものがある
ID:zK+eOO2b くんも、小島の数学入門 (ちくま新書)を買って読んでみなさい
大学の図書館にあれば、見てみなさい
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:50:57.22 yHhmJJ+L.net
>>362 追加
正確には、クンマーは理想数を考えたと言われる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史
クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。
そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl )
423: あるいは理想因子 (ideal Primfactor ) と名付けて、理想数の理論を築いた。 クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。 歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。 理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p ?進体の理論にも継承されている。
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 14:12:40.67 yHhmJJ+L.net
>>362 補足
さすがの小島節、””２．ネット検索してみる（概念的な説明をさがす。あるいは、自分のレベルにあった説明をさがす）”と”３．歴史を知る。なぜそういう概念が必要になったのかなどを知る（これは結構「納得性」に有効。記憶にも残る）”を兼ねた形になっている
ただ、２が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第
>>351は、あまり分かっていない人が書いたのだろう。理解が浅い
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 14:31:08.32 yHhmJJ+L.net
>>364 補足
>２が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第
そこで
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
イデアルは部分環の一種ですが，とても重要な概念ですので，わざわざ記事を一つ設けました．
[*]イデアルとはなんとも奇妙な名前です．英語では ideal と書きますので，英語式に発音すれば"アイディール"となります．
日本語の用語はドイツ語の Ideal から入って来ていますので，「イデアル」と読むのです．ドイツ語の発音には旧制高校風の趣があり，私はなかなか好きです．
イデアルの定義
環 R の部分環 I が次の性質を満たすとき， I を イデアル と呼びます．
I ⊂ R
環 R の任意の元 x と， I の任意の元 a に対し xa ∈ I がなりたちます．
イデアルは既に部分環なので，加法に関しては環 R の部分群になっています．乗法の条件が，すこぶる変わっています．『環 R に属するどんな元を取って来ても，イデアルの元との積はイデアルに含まれてします』というのですね．
[†]積を取れば何でも自分の元になってしまう，という代数的性質を吸収律と呼びます．そのままの命名ですね．
例２
整数環 Z で，偶数全体からなる集合はイデアルです．偶数同士の和，偶数同士の積は偶数になり，偶数だけで部分環になります．さらに，偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています．
一般に，整数環 Z で整数 m の倍数の全体 [m] はイデアルになります．
例３
Ｒ上の多項式環 R[x] で， x=1 を代入すると 0 になる多項式の全体 I={ f(x)|f(1)=0 \in R[x]} は，イデアルになります．確認してみて下さい．
数の概念を拡張して行けば，素数に相当する『これ以因数上分解できない数』に行き当たるだろうと考えたのです．クンマーはこれを理想数( ideal number )と名づけました．
クンマーの研究自体は当時の数論の延長といったものでしたが，デデキントがクンマーの理想数を抽象的概念にまで拡張しました．その時にイデアルという名前をそのまま継承したのが，この奇妙な名前の由来です．
この脚注で理想数の話題に深入りすることはできませんが，単項イデアルは整数に，単項イデアル以外のイデアルは理想数に対応し，整数の素因数分解の概念はイデアルを素イデアルに分解することに対応した抽象概念です．
426:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 15:54:38.34 yHhmJJ+L.net
>>365 つづき
体のイデアル
体のイデアルは自明なイデアル，つまり { 0} と体自身のみです．
逆に，環が { 0 } と環自身以外にイデアルを持たないとき，この環は体になります．この定理は環が体になる条件として重要です．
（抜粋引用おわり）
補足
>>365は、”数学で、わからんときの定石 １．具体例を考えてみる（これができる人はレベルが高い。おそらくすぐ分かる場合が多い）”>>350にもなっている優れものだ
おそらく、ID:zK+eOO2b くんは、おそらく書く気が無いか、書けないか
まあ、イデアルは大学で忙しく、大上段に定義から入って行くと、わからんだろう
上記を読んで、>>363で引用したwikipediaを読めば、かなり理解が進
427:むと思われる
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 16:10:36.67 yHhmJJ+L.net
>>355 補足
By hiroyukikojima
"19世紀頃を境に数学は大きく変容したと考えられる。それは単純に「抽象化」と呼んでもいいけど、もっと真相を込めていうなら「その数学的素材に内在している本性をより引き出しやすい表現形式が掘り出されるようになった」ということなんだと思う。"
"数学者たちは、そのような数学的素材に「宿る」本性を素直に引き出し、その本性が「こう操作してほしい」とささやく形式を生み出すようになった、と考えられるのだ。
「イデアル」が、そのような「本性」の１つだと言っていい。"
現代数学の定石がいくつかある
１．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える
（「きちんと対応がつく」ということの数学的定義が必要。”Well-defined”URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) かが問題）
２．商集合（例えば商群）を考える。ある部分集合を考えて、類別する。代数では演算が保存されることを要請する場合が多い。代表元の取り方に寄らないという要請も。
日常の例では、例えば高校の学年のクラス分けで、代表者に連絡すれば良いとかの類推でも考えて下さい。これも”Well-defined”確認要
３．１や２と関連するけれども、上記に適合する新しい概念を提出する。これも”Well-defined”確認要
「イデアル」は、上記の１～３が凝集された例なんだ
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 16:27:35.66 yHhmJJ+L.net
>>367 補足
「イデアル」：フェルマー予想 x^n+y^n=z^n で nが３以上の整数のとき、整数解は存在しない
これを、複素数まで範囲を広げて、因数分解を使って解くことを考えたクンマー先生>>365
理想数を導入した。これ、定石３>>367。が、”Well-defined”になるように、改良したのがデデキント先生
これは、定石１>>367の「きちんと対応がつく」だ。例えば、素数p vs "整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] ">>365だな
素数pに、"整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] "という集合が対応する。その類推で、理想数に対応して、イデアルという集合を考えればよかんべよ！と
これが、”Well-defined”かどうか、それは皆さんの宿題だ
そして、「イデアル」さまは、定石２でもあったのだ
>>355で、ひどい回答だねと言ったのはそういうこと。定石２しか言及してないじゃんか！と
430:１３２人目の素数さん
15/07/26 17:10:11.26 8eHnD6lX.net
はい、次は「イデアルを用いたフェルマー予想の特別な場合の証明」のpdfを
検索して貼ろう
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 17:36:07.91 yHhmJJ+L.net
それは趣味じゃないんでね
どうぞ、お願いします
432:１３２人目の素数さん
15/07/26 17:46:33.61 8eHnD6lX.net
正直すまんかった
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 17:52:36.71 yHhmJJ+L.net
どうも。スレ主です。
クンマー先生の因数分解アプローチがなぜうまくいかなかったのか？
ｎが正則な場合と、非正則な場合とで、分かれたと記憶しているけれども
フライ先生の楕円曲線アプローチは、奇想天外というかひらめきだよね
因数分解アプローチは、ｎが無限大の場合までの射程を持ち得なかった。そういうことなだろうと思うけれども、それがなぜなのか？ そこの理由がいまいち理解できないんだ
だれか知っている人います？
434:１３２人目の素数さん
15/07/27 08:29:13.61 7OKG+jU9.net
>>355
>2010/4/417:43:43 イデアルとはなんですか？
>wikiがややこしすぎるので感覚だけつかめるような説明をお願いします。
という>>351の問いに対しての回答は、分かった人間が書いてる。引用した
>いろいろな見方があります。
>たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
>体上のベクトル空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
>環上のベクトル空間のことを加群といいますが、環自信を加群と見ることができます。
>このときの部分加群のことをイデアルというわけです。
の回答は不正確ではあるが、簡単にするため標数0の条件を加えて
>いろいろな見方があります。
>たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
>(標数0の)体上の線型空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
>単位元を持つ(標数0の)環R上の線型空間Vは、左(右)R加群でVは加群の例になり、
>Vは加群といえますが、更に環R自信を加群と見ることができます。
>このときのRの部分加群Vのことをイデアルというわけです。
とエスパーして読むと、回答として適切になる。
普通は標数が0でない体Kや単位元を持つ環R上の線型空間Vを考えるときは
Vのベクトルの成分が属する環或いは体は、Rの部分環かR自身を部分環に持つ環、
或いはKの部分体か拡大体として、これらの標数は0でないとする。
KやRがVに左(右)から作用したとき、左(右)K(R)加群Vのベクトルは
再びVのベクトルになるから、そうしないとベクトルの計算が出来ない。
435:１３２人目の素数さん
15/07/27 08:46:58.12 7OKG+jU9.net
>>355
訂正：>>37
436:3の(>>351に書いた)回答やエスパーした部分の「自信」は「自身」の間違い。 何か>>351を書いた人間は漢字間違いしてるみたいだ。漢字間違いまでは確認しなかったわ。 私が書いたときは「じしん」を漢字変換すると「自身」になったんだが。
437:１３２人目の素数さん
15/07/27 09:16:46.00 Ci6CVm4I.net
エスパーしすぎで何言ってんのか全然わかんないわ
「環自信を加群と見ることができます」って
環R自身を左（あるいは右）R加群と見るってことだろ
そのときの部分R加群がちょうどRの左（あるいは右）イデアルになるってことでしょうに
「環上のベクトル空間のことを加群といいますが」は
環上の加群は体上のベクトル空間の一般化だって言いたかったんじゃないの
直すなら「環上のベクトル空間”のようなもの”のことを加群といいますが」かな
438:１３２人目の素数さん
15/07/27 09:18:52.56 7OKG+jU9.net
>>355
まあ、>>373の下の「普通は…」以降の部分も
>普通は「標数p＞0」の体Kや単位元を持つ環R上の線型空間Vを考えるときは
>Vのベクトルの成分が属する環或いは体は、Rの部分環かR自身を部分環に持つ環、
>或いはKの部分体か拡大体として、これらの「標数もp」とする。
>KやRがVに左(右)から作用したとき、左(右)K(R)加群Vのベクトルは
>再びVのベクトルになるから、そうしないとベクトルの計算が出来ない。
と手直しした方がいいわな。「標数が0でない」だと何か不正確だ。
439:１３２人目の素数さん
15/07/27 10:03:42.07 7OKG+jU9.net
>>375
そうだね。>>373は
>このときのRの部分R加群Vのことをイデアルというわけです
と訂正して読んでも、dimV＝1を仮定して読んでもいいけど。
イデアルの定義上、後者の読み方の方が適切だろうね。
440:１３２人目の素数さん
15/07/27 13:22:54.64 7OKG+jU9.net
>>372
クンマーの手法というか、フェルマー予想の証明の詳細は知らんが、
フェルマー予想は或るn≧3なる自然数nに対して(x/z)^n＋(y/z)^n＝1
なる自然数x,y,zの組(x,y,z)∈N^3は存在するか？
と定式化出来て、そうして考えると、>>365のサイトの
>当初は、この方法でフェルマーの最終定理のすべてのケースが解決する
>と思われてたんだけど、残念ながら、指数nによっては簡単にはいかない
>ことが判明した。それは、こういう「虚数世界に拡張した整数(1のべき乗根
>と有理数からなる体の整数環)」では、素因数分解の一意性が成り立たない
>場合がある、という恐ろしく直観に反するケースが出てきたからだったのだ。
という部分を読む限りでは、文脈上は、クンマーの手法に従うと、有理整数環Zに虚数単位iを添加した
ガウス整数全体からなる環Z[i]上で指数が何れもnの3つの有理整数x^n、y^n、z^nの何れかを一意に
素因数分解する手法を取るのだから、Z[i]の商体、つまり有理数体Qにiを添加した体Q(i)上で1を一意に
素因数分解して考えることが出来るようになるが、この手法で1を体Q(i)上で一意に素因数分解しようとしても、
1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)－(4/5)i)＝((5/13)＋(11/13)i)((5/13)－(11/13)i)
の例からも分かるように、1は体Q(i)上で一意に素因数分解出来ないから、
体Q(i)上で1を一意に素因数分解する手法は通用しないことになる。
なので、元の、環Z[i]上でx^n、y^n、z^nの何れかを一意に素因数分解するという手法も通用しないことになる。
441:１３２人目の素数さん
15/07/27 13:27:17.81 7OKG+jU9.net
>>372
悪い悪い。>>378の
>1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)－(4/5)i)＝((5/13)＋(11/13)i)((5/13)－(11/13)i)
は
>1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)－(4/5)i)＝((5/13)＋(「12」/13)i)((5/13)－(「12」/13)i)
の間違いね。
442:１３２人目の素数さん
15/07/27 13:41:11.29 7OKG+jU9.net
>>372
あと、>>378の「素因数分解」は「既約元分解」とか「素元分解」の間違いね。
単純に「因数分解」と訂正した方が簡単だけど。素因数分解は素数のときにいうことを忘れてた。
443:１３２人目の素数さん
15/07/27 14:39:29.59 Ci6CVm4I.net
>>377
いや意味が分からない……
dimV=1ってどういう意味？
っていうかイデアルの定義分かってる？
444:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:00:12.26 7OKG+jU9.net
>>381
>dimV=1ってどういう意味？
そのまんま。イデアルの定義？
環Rの部分集合S≠φがRの加群の意味での部分群で、
両方共に任意のλ∈R、a∈Sに対してλa∈S
となるとき、SをRの左イデアルという。右イデアルも同様に定義する。
SがRの左イデアルかつ右イデアルなるとき、SをRの両側イデアル或いは簡単にイデアルという。
あくまでも元の質問者は「感覚だけつかめるような説明をお願いします。」と書いていることをお忘れなく。
445:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:35:54.59 7OKG+jU9.net
>>381
単位元1を持つ可換環Rの元を成分に持つ
n≧2次の行列の全体M(n;R)のようなモノでも考え出したか？
まあ、そういうことを考えれば、dimV＝1を仮定することは
不適切になるけどな。dimV＝1を仮定した方が簡単だろう。
446:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:44:20.55 Ci6CVm4I.net
>>382
え？VってR加群だと思ってたんだけど
＞あくまでも元の質問者は「感覚だけつかめるような説明をお願いします。」と書いていることをお忘れなく。
うん，もとのままでいいのにどんどんわかりにくくなってるね
環上の線型空間という独自用語をどういう意味で使ってる？
447:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:45:50.35 Ci6CVm4I.net
もう1回聞いた方がいいかな？dimV って何？
448:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:50:40.19 7OKG+jU9.net
>>384
>環上の線型空間という独自用語をどういう意味で使ってる？
そういうことは、回答者に聞かなきゃ分からんよ。
エスパーする限りでは単位元を持つ環R上の両側加群だな。
449:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:54:22.50 7OKG+jU9.net
>>384
訂正：>>386の「環R上の両側加群」は「環R上の両側R加群」な。
450:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:56:56.99 7OKG+jU9.net
>>385
そのまんま。
451:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:14:19.68 7OKG+jU9.net
>>384-385
>え？VってR加群だと思ってたんだけど
単位元を持つ環R上の両側R加群Vでも、R＝V＝Z(Zは有理整数環)としたときとか、
dimV＝1になる例はちゃ～んとあるぞ。このときのVつまりZの基底は{1}な。
452:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:17:40.56 Ci6CVm4I.net
だから，dimV って何？ちゃんと定義してみ
できないからって具体例でごまかそうとするなよ
453:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:24:19.15 7OKG+jU9.net
>>390
環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表すだよ。
元の質問者は感覚的な説明を求めていたというのに、何そんなにムキになってんだよw
454:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:29:32.41 7OKG+jU9.net
>>390
>単位元1を持つ環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表す
だな。
455:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:30:19.71 oBDrMeTf.net
お前らスレ主に無断で話を進めるな
456:１３２人目の素数さん
15/07/27 17:14:31.95 Ci6CVm4I.net
>>393
サーセンｗｗｗ
>>391
存在すら言えないからwell-definedでない
感覚的な説明なら階数なんて必要ないだろ何言ってんの？
R自身を左／右／両側R加群と見たときの部分加群がちょうど左／右／両側イデアルになるんだから。
一体どこから dimV=1 が出てきたのかさっぱり分からんわ
457:１３２人目の素数さん
15/07/27 20:06:33.57 R0dt0iix.net
エスパーすると dimV=1 って単項イデアルじゃないの？
一般にはイデアルは単項生成とは限らないんだけど
458:１３２人目の素数さん
15/07/27 22:25:24.94 tIT3iorb.net
>>1-1000
運営乙
459:１３２人目の素数さん
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460:１３２人目の素数さん
15/07/28 05:41:50.40 WIyR/jG2.net
>>394
>存在すら言えない
あ～、単位元1を持つ環が非可換環のとき不適切な定義になるか。じゃ～、>>392の定義は
>単位元1を持つ「可換」環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表す
と再度訂正な。これなら問題ないだろ。まあ、>>373では「標数0の条件を加えて 」エスパーしている訳で、
完備なアルキメデス付値体は実数体Rか複素数体Cに同型で、「単位元1を持つ(標数0の)環R」は、
アルキメデス付値体C(或いは実数体R)の単位元1を持つ部分環R'と同型になるから、
文脈上、>>392でも分かると思ったけどな。
461:１３２人目の素数さん
15/07/28 13:11:37.01 TG1SjIeU.net
エスパーすると両側は自由のつもりなんだろうな
462:１３２人目の素数さん
15/07/30 13:53:44.50 v8Ed3tsX.net
いくら低レベルにしても
名無しは釣れな～いｗ
463:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 22:56:27.22 qMTIsPL/.net
どうも。スレ主です。
いや～、難しい議論していますね
正直難しすぎで、つ�
464:｢ていけません
465:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 22:57:41.34 qMTIsPL/.net
エスパー元祖は、おっちゃんやね
おっちゃんの添削は、例のメンターさんかな？（＾＾
466:１３２人目の素数さん
15/07/31 22:59:47.60 EBMyh9qA.net
コピペの始まりは、土日の始まりです
467:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 23:07:23.11 qMTIsPL/.net
>>367 By hiroyukikojima
これ買った
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 ? 2014/5/16 小島 寛之 (著)
3 人中、3人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
可換環とホモロジー論の最高におすすめの名著です。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/6/16
たいがいの代数学の参考書は抽象的な定義・定理の羅列で無味乾燥で読んでもわかった気がしませんが
本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
高校生の時に円が方程式で表わされることを学んだように、
図形という幾何学的な「対象」を考察するのに代数学的な方法で方程式を調べる。
幾何学的な図形を方程式を使って調べるのが、環というものです。
方程式の「変数」は環の生成元に化け、「方程式」は生成元の交換関係に化けたと解釈する。
モノの対称性をあらわす（適切な）変換全体が群をつくるように、図形上の（適切な）関数の全体が可換な環をつくる。
単に集合の1対1かつ上への（対称）変換なら置換群で十分だが、ユークリッド幾何学の図形としての対称性では、ずらし（移動）や回転という変換群を考察することになる。
代数幾何学では幾何と代数で同じ対象を双対的にとらえて考察する。ここでは幾何（図形、つまり代数曲線）＝代数数方程式の解集合としてみる。代数曲線（2次元）、代数曲面（3次元かそれ以上）という幾何的な対象の研究が可換環という代数的対象の研究に帰着される。
平面の2次曲線、空間の球面、超平面などは代数的集合とよぶと
代数曲線や代数曲面をも含んだのがアフィン空間の代数的集合である。
『代数的集合とは有限個の多項式の共通零点の集合である』代数幾何学とはこのような集合の性質を研究することです。
なお可換環の中心概念はイデアルという倍数概念です。「21世紀の新しい数学」黒川と共著も解かりやすい。
可換環の二つ具体的対象物は代数幾何（多項式環）と整数論（代数体の整数環⇒Dedekind環）がある。
ネットで明治大「後藤研究室」の教科書ＰＤＦは必読です。
うれしいことに最近はyou tube動画で 整数・群論・方程式のやさしい解説が沢山あります。
他にも「なっとくする群・環・体」野崎、「ガロア理論の頂を踏む」石井 俊全、「線形代数のコツ」梶原 健が非常にわかりやすいので併読をおすすめします。
468:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 23:09:12.27 qMTIsPL/.net
>>404 補足
>本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
さすがの小島節です。良いですよ
469:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 23:22:54.61 qMTIsPL/.net
>>404 >ネットで明治大「後藤研究室」の教科書ＰＤＦは必読です。
これか （PDFへのリンクあり）
URLﾘﾝｸ(www.commalg.jp)
教科書 | 後藤研究室（明治大学理工学部数学科）:
学部向け
ガロア理論
可換環論
代数学I(群論)
代数学3 2007年度明治大学代数学3講義用テキスト
入門代数学 2004年度北海道教育大学集中講義
代数概論 2005年度北海道教育大学集中講義
線形代数の手引き
2004年度卒業研究
大学院向け
正準加群
ホモロジー代数
その他
書評(Algebra, I. M. Gelfand and A. Shen著)
Knowledge Station 掲載
簡易辞書
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 07:38:57.95 tftR4opy.net
検索でヒットしたので、アップしておきます
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
川内 毅 東京工大
2005代数学演習Ａ第二
よく使われる記号 (pdf 33KB) URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
２年次代数の内容を解説した文書を作成しました． とりあえず環論の部分（増える可能性あり．形式的ベキ級数環とか，その他応用とか）で， いきなり第２章となっていますが，第１章は群論の予定です． 第３章の「加群」がようやく出来上がりました．
環論 (preview3, DVIPDFMx, 351KB, 2006/12/14)URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
加群 (preview1, DVIPDFMx, 605KB, 2007/1/31)URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
471:１３２人目の素数さん
15/08/01 11:59:31.65 f7CtCI4L.net
極大イデアルについて解説お願いします
472:１３２人目の素数さん
15/08/01 12:31:44.14 /40VUnYS.net
それで割ったら体、以上の解説は要らないだろ
473:１３２人目の素数さん
15/08/01 12:41:58.14 91w/ecbh.net
その証明がわからないんですよ
474:１３２人目の素数さん
15/08/01 13:50:31.60 b6y7ka94.net
代数の入門書嫁
475:１３２人目の素数さん
15/08/01 14:06:09.86 f7CtCI4L.net
読んでますよ
でもわかんない
そもそもイデアルってのがわからない
476:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 18:57:38.79 tftR4opy.net
>>412
どうも。スレ主です。
悪いことはいわんから、ともかく、数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)>>404を手にとってみな
買えと言いたいが、まあ、図書館なり書店でも。あるいは友人に借りる
それが、一番の近道だと
477:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 18:59:34.67 tftR4opy.net
>>413 つづき
それが結論だ
が、まあ、こんな不便な場所だし、どこまで語れるか分からないし、どこまであなたの理解が進むのかも分からないが、少し語ってみようか
478:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 19:14:24.98 tftR4opy.net
>>367で書いたが”現代数学の定石がいくつかある １．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”だ
昔、クンマー先生が、x^n+y^n=z^nの因数分解を考えて、理想数を導入したと>>368
それを見た、デデキント先生は、因数←→イデアル（因数の倍数*の集合)）という対応を考えれば、理想数を理解するのに良いんだと発想した
注*)”イデアル＝因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚で大体良いんだ。細かい点では、少し異なるが
だから、イデアルが分からなくなったら、”イデアル＝因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚に戻ること
Aを考える代わりにBで考える→因数を考える代わりにイデアル（因数の倍数*の集合)）で考えるのが良い
が、イデアルが分からなくなったら、逆の対応を考えるんだ
479:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 19:26:43.97 tftR4opy.net
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)（P25あたり）に書いてあることだが、少しかみ砕いて書く
６は、２ｘ３と因数分解される。だから、６という数には、因数２と因数３が含まれていると考えることができる
しかし、イデアルで考えると、包含関係は逆転するんだ
イデアル６は、イデアル２とイデアル３の両方に包含されている
まあ、イデアル２とイデアル３の重なり部分が、イデアル６だという見方もできる
ここで気がつくことだが、ある数の因数が多いと集合としてのイデアルは小さいってことだな
そこで、少し賢い人は気付く。自然数の世界では素因数に対応するイデアル（例えば上記のイデアル２やイデアル３）は、自然数以外の他のイデアルには含まれないってことを
つまり、これが極大イデアルの一番素朴な例だ。まずここを理解して、極大イデアル→その世界での素因数を考えること
そういうイメージを持ってみな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
例
整数環 Z の極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 19:27:11.59 tftR4opy.net
これで分からなければ、小島本よめ
481:１３２人目の素数さん
15/08/01 19:58:39.77 b6y7ka94.net
素因数の対応物は素イデアルだろ
単項イデアル整域では極大イデアルとの区別は無くなるが
482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 21:28:22.76 tftR4opy.net
>>418
どうも。スレ主です。良い質問ですね。それ本質的ですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された[1]。
このときすべてのゼロでない（整）イデアルは素イデアルの有限個の積として一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。
概型（スキーム）の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。
可換環に対して
局所化
A を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=A＼ P は積閉集合となる。S による A の局所化 S^{-1}A を A_P と書く。
これは PA_P を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 A_P/PA_P を k(P) などと書くこともある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単項イデアル整域
代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、仏: anneau principal）とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような（可換）整域のことである。
より一般に、任意のイデアルが単項イデアルであるような（零環でない）可換環を単項イデアル環と呼ぶ
（この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない）が、文献によっては（例えばブルバキなどでは）「主（イデアル）環」という呼称によって、ここでいう「単項イデアル整域」のことを指している場合があるので注意が必要である。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体
例
単項イデアル整域の例を挙げる。以下では可換環 R の元 a1, … an の生成するイデアルを (a1, …, an) = { r1a1 + … + rnan | ri ∈ R } と表す。
Z: 整数環[1]。
単項イデアル整域とならない整域の例を挙げる。
Z[X]: 整数係数の一変数多項式環。たとえばイデアル (2, X) は単項イデアルでない。
483:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 21:42:07.24 tftR4opy.net
>>419 つづき
”現代数学の定石がいくつかある １．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”>>415と書いた
Aを考える代わりにBで考える利点があるんだよ、実は・・
整数環 Z がわれわれが一番なじみのある世界だ。だから、ここに戻ってくるのが良いんだ。この世界は、単項イデアル整域>>419で、
”極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。”>>416
つまり、素数Pから生成されるイデアルは、素イデアルでもあり、極大イデアルでもある。言い換えると、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とは分離されていない世界なのだ
だからこそ、というか逆に、素数（あるいは素因子）の概念を、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とに分離して考えることができる。それこそが、イデアルを考える利点なんだ
詳しくは小島本を読んでください
484:１３２人目の素数さん
15/08/02 06:53:51.45 RAFKMDP7.net
コピペが少ない週末だな
485:１３２人目の素数さん
15/08/02 11:12:28.25 DqCbe0dU.net
熱暴走
486:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:32:27.12 RNEBrpg2.net
どうも。スレ主です。
小島本を読んで貰えれば、ここで書く必要もないのでね・・
小島本の良いところは、コンセプト（概念や思想）を書いてあるところだ
その対極が、ブルバキや和歌山大学教育学部 佐藤英雄か
例えば、「直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。それが本稿の立場である。」ｽﾚﾘﾝｸ(math板:124番)
あるいは、論理の厳密性命（下記）
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
ブルバキと「数学原論」 pdf 斎藤毅 (数学セミナー2002年4月号)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
「数学原論」のページを開いてみることにしましょう. まず本文をみてみると,
そこにあるのは, 定義, 定理, 命題とその証明の羅列です. いくらページをめくっても,
それが延々と続き, 目を休ませてくれるような図や表といったものもほとんどありませ
ん. 何故そういう定義をおくのかとか, どうしてこの定理は大事なのかとか, この命題
はどんな使い道があるのかといった説明もありません. 数学の厳密で正確な記述だけ
が, 淡々と続きます.
なぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし
た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうもので
あるかは, 各分冊の最初のページにある, 「この本の使い方」に書かれています. いく
つか抜粋します.
「この原論は数学をその第一歩から取扱い, 完全な証明をつける」
「叙述の仕方は公理的, 抽象的であり, 原則として, 一般から特殊へと進む」
「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」
「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も
含まれている」
完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:34:42.36 RNEBrpg2.net
>>423
いま、ブルバキ命という人は減った
が、まだ数学は厳密性命と思っている人もいる
それは半分正しい
が、ブルバキ（厳密性命）の限界も見えてきたのが２１世紀だ
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:39:02.24 RNEBrpg2.net
>>424
これが正しいかどうかは別として引用する
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。その理由の一つは、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用でなかったためである。
またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。
ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:52:23.36 RNEBrpg2.net
>>425
"ブルバキ（厳密性命）の限界も見えてきたのが２１世紀"の例として、やはり大きなものは物理からの影響だ
いろいろありすぎで、いちいち例示するのも大変
まあ、要するに、ブルバキ（厳密性命）の発想を超えた世界があるということを示す人たちが現れたってことかな
その代表者がWittenだろう URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
1990年 ICM-90--数学 第43巻第1号(1991)から
フィールズ賞受賞者紹介 E. Witten 氏の業績I 江口 徹 URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
E. Witten 氏の業績II 深谷賢治 URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:23:59.46 RNEBrpg2.net
>>426 つづき
乏しい見聞の記憶を辿れば
・リーマン予想のゼロ点の分布がガウス型ユニタリ・アンサンブル（GUE）にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ドナルドソンのYang-Millsゲージ理論を用いた理論 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ミラー対称性 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・AdS/CFT対応（これはまだ数学になってないかも） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ソリトンも物理から URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
英語版が詳しい URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
・作用素環論（数理物理（特に量子力学）の定式化に使われる） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
その他、佐藤超関数も物理の影響大。そういえば、元のデルタ関数も物理からの輸入だし
これらは、ブルバキ（厳密性命）流では、到達はずっと後だったろう
山登りで言えば、山の頂が先に見えて、そこを目指して登っていった
ブルバキ（厳密性命）のやり方は、一歩ずつ歩けば、いずれ頂きには到達するんだと
確かに、ギリシャの原論（ユークリッド）の時代は正しいよ。低い山に登るならね
が、２１世紀に登る山は、富士山以上。場合によれば、アルプスやエベレスト級。無防備にふもとから徒歩で登る人はいない。そんなことをしたら人生を棒に振る
地図を見て、シェルパが居て、酸素ボンベや登山用具準備してという時代だと思うんだよね
繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論（ユークリッド）モデルは、低い山には通用する
491:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:26:52.61 RNEBrpg2.net
>>427 つづき
その点、小島本>>423や、ガロア本のCox>>272は、ブルバキの対極ではないかと
492:１３２人目の素数さん
15/08/02 17:33:38.51 pqOpLLOt.net
スレ主さんってオナニーするの？
493:１３２人目の素数さん
15/08/02 17:41:47.76 BI6sMQ4i.net
なんかブルバキを勘違いしてないか？
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:42:37.67 RNEBrpg2.net
>>428 つづき
あと、２０世紀に発展した脳科学（下記）。「90%以上の人では言語野は左半球にある」という
まあ、ブルバキ（厳密性命）流は、言語野だけで数学をやろうということだ
が、もっとイメージや概念（コンセプト）を大事にというのが、脳科学からのメッセージではないだろうか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
脳機能局在論
90%以上の人では言語野は左半球にある。
右脳・左脳論
脳機能局在論に関して、一般に広く知られる右脳・左脳論があり、これは左半球が言語や論理的思考の中枢であり、右半球が映像・音声的イメージや芸術的創造性を担う、という観念である。
発達心理学者のサイモン・バロン＝コーエンは、著書『共感する女脳、システム化する男脳』の中で、
男性は平均的に分析能力が高く、女性は平均的に共感能力が高いとしたうえで、
男性は大脳の右半球が早い時期から急速に発達するため空間把握・分析能力が高くなること、
一方、女性は幼児期の早い段階から言語認知に関して左脳の優位を示すため、コミュニケーションに長けて共感能力が高くなることを示した。
右半球と左半球をつなぐ脳梁を切断した分離脳の状態では、右半球を使う左目に絵を見せられても、見えるだけでそれが何かという論理的な認識ができない。
脳の右半球と左半球は脳梁に結合されて協調して認識を行う。
495:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:43:32.58 RNEBrpg2.net
では
496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:48:18.53 RNEBrpg2.net
そうそう、補足
>>427
>繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論（ユークリッド）モデルは、低い山には通用する
数学の厳密性を否定するつもりはないんだよ
ギャップがあれば、証明は完成していない
だから、厳密性は数学の基礎体力であることは確かだ
が、何人かの共同研究とか、佐藤幹夫みたく優秀な弟子を獲得して、共同でやるとかもありだろうね
497:１３２人目の素数さん
15/08/02 17:53:33.86 BI6sMQ4i.net
山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない
498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 18:12:18.31 RNEBrpg2.net
おっと、これも、検索でヒットしたので、備忘録にメモしておきます。なのかのご参考まで
ソリトンと逆散乱法のRobert M. Miura （Robert Mitsuru Miura）（日系人か）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 日URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
In 1967, Gardner, Greene, Kruskal and Miura discovered an inverse scattering transform enabling analytical solution of the KdV equation.[6]
6. Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967).
"Method for Solving the Korteweg?deVries Equation". Physical Review Letters 19 (19): 1095?1097. Bibcode:1967PhRvL..19.1095G. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Dr. Miura's research has spanned many subjects in the mathematical sciences.
His earliest contributions were on the topic of conservation laws for nonlinear wave equations.
Dr. Miura discovered an inverse scattering transformation known as the Miura Transformation for analytically solving the modified Korteweg?de Vries equation. This work helped establish the theory of solitons.
URLﾘﾝｸ(genealogy.math.ndsu.nodak.edu)
Mathematics Genealogy Project - Robert Mitsuru Miura
参考
The Korteweg-de Vries Equation: History, exact Solutions, and graphical Representation 2000 URLﾘﾝｸ(people.seas.harvard.edu)
Korteweg-de Vries Equation - The World of Mathematical 2004 URLﾘﾝｸ(eqworld.ipmnet.ru)
499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 20:05:12.57 RNEBrpg2.net
>>434
どうも。スレ主です。
”山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない”
これは、当たっていると思う。が、ブルバキに対する批判にもなっていると思う
その当時では最新の（しかし過去の）数学を、過去の言葉で語ったものだと
でも、おそらくは、彼らの意図はそうではなくて、「現代的な教科書」の決定版のつもりだったろう
そうでなければ、「定年」は重視されなかったはず。単に過去を書くだけならね
しかし、私もブルバキの和訳を手に取ったことがあるが、「読めん」というか「合わない」と感じ
500:た ”厳密かつ公理的”というキーワード。これが、未来の数学でも最重要。彼らはそう思って、「現代的な教科書」の決定版を書こうとしたのだろうと思うのだ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Elements de mathematique) の執筆である。 元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。 最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。 定年 一説には、年齢を重ねたメンバーに対するテストとして、論理的には正しいが数学的には何の面白みもない「新理論」の話をもちかけ、「面白くない」と判断できないようであれば定年とする、という了解があった、という。
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 20:15:03.17 RNEBrpg2.net
>>436 つづき
一方で、２０世紀後半から２１世紀にはっきりしてきたこと
例えば、ゲーデルの不完全性定理＝集合論と厳密性と公理だけでは到達できない世界があるよと（下記）
人を取り巻く物理的な世界（素粒子論、超弦理論、ブラックホール理論など）と、人の思考（それは素朴な集合論を超えている・・）など、これらはブルバキの想定範囲を超えているということがはっきりしてきた２１世紀だと思うよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲーデルの不完全性定理
ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。
連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。
また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。
これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。
1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。
502:１３２人目の素数さん
15/08/02 20:54:05.82 BI6sMQ4i.net
>>436
結果は“過去の”ものかもしれないが言葉は新しいのを作ってるよ
例えば全単射とかフィルターとかはブルバキによるもの
過去の数学を現代的に書きなおすと言えばいいのかな
ただ原論のスタイルはそれを学ぶ動機付けに欠くものだから
そこを補わずに読むのはつらいだろうね
ブルバキについては高橋先生の訳した
シュプリンガー数学クラブのやつを読んでみるといいかも？
503:１３２人目の素数さん
15/08/02 21:34:34.15 oNpiAI89.net
小島本よめｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
504:１３２人目の素数さん
15/08/02 21:39:35.67 oNpiAI89.net
小島本最近読んだ程度が人に教えたがるのって病的だよなｗ
一生教わる側確定のゆとり力を感じるww
505:１３２人目の素数さん
15/08/03 12:56:17.97 tDmzUm8X.net
スレ主さんは
新しい何かを発見する過程と
その何かを
506:論理的に説明することとを 混同しているように見える
507:１３２人目の素数さん
15/08/04 19:35:28.30 u7OQO+2c.net
コピペはどちらでもない
508:１３２人目の素数さん
15/08/04 23:09:49.79 PsAOX+j6.net
ガロア理論のpdf読んだけど、訳が分からない表現が出てきた…
Gal_M (f) ってどんな意味なの？解説が全く書かれていないんだけど…
_M は添え字みたいに右下に小さく書くヤツね
509:１３２人目の素数さん
15/08/05 11:15:30.89 dg2UNPjG.net
見たところ「Gal_M (f) 」は見当たらんが、>>406のpdfのことか？
もしそうなら、悪いこといわないから、講義用のpdfなんか読まないで
そのサイトに挙げった自習用テキストでも読んだ方がいい。
おススメは「環と加群」と「体とGalois理論」コースね。かなり丁寧。
2つを全部読みこなすのは大変で、環と加群だけでも十分お釣りが来る位。
それ位代数の基礎は身に付く。あれら2つの演習の多さだけでも
呆れる程凄まじい。全部解いてたら時間がなくなるわ。
副有限群や無限次拡大のガロア理論について余り載ってないのが唯一難点なのだが。
510:１３２人目の素数さん
15/08/05 11:22:46.74 dg2UNPjG.net
>>444の訂正：「そのサイトに挙げった」→「そのサイトに挙がった」
511:１３２人目の素数さん
15/08/07 17:13:06.34 rOkYf8b3.net
そう。ネットに落ちていた講義用の pdf ファイルを自分で暇なときにポチポチ読んでいたｗ
でも、誤字はもの凄くあるし、意味不明な証明は多々あるし、他のもっと明確な証明はネットに落ちているしで
ホント心が折れそう。でも、ガロアの定理２まで延々プリントアウト＆書き込みして最後まであと少しなんだよなあ…
ちなみに、Gal_M (f)って、本文に全く解説かいていないし、ネット探しても同様な表現は無いのだが、多分
多項式 fのM上のガロア群だろう。そう考えないと意味が合わない。
自学でこんな思考延々やっていると、ちっとも読み進むことできんよｗ
512:１３２人目の素数さん
15/08/08 00:17:29.07 KGyL8E6M.net
コピペの始まりは、土日の始まり
513:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 10:42:51.57 JPtSuWhm.net
>>440-441
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
難解といわれる代数幾何学って何かを概観するための本です
投稿者 雑学家 投稿日 2012/9/19
形式: 単行本（ソフトカバー）
この本を読む前にまず
代数的集合、飽和方程式、開集合、剰余環、同値類、イデアルやザリスキー位相などを超わかりやすく具体例で書かれた「数学は世界をこう見る」小島寛之を読むのが一番のお薦めです。
代数幾何の根底の環論に可換環＝イデアル論と非可換環＝線形代数がある。
514:１３２人目の素数さん
15/08/08 10:49:28.80 QF+gjJ4a.net
スレ主さんは盆休みないわけ？
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 10:51:05.08 JPtSuWhm.net
>>440-441
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ユニークな好著 馬頭観音 投稿日 2013/1/3
私は多変数複素解析を研究しているが、１変数の代数幾何（コンパクトリーマン面の理論）は大体であるが知っているし、大いに使っている。
だからこの本を読んで事始めをしたのではなく、独学でやった。
代数幾何といえば、まず物は（多変数）多項式で（簡単のためと私はそれ以外考えないということで、係数は複素数体、変数は複素変数にしておく）、
その共通ゼロ点で表される代数的集合（Ａ）、その上の（多項式または有理関数）環（Ｂ）、（Ａ）と（Ａ’）の間の多項式（準）同型写像（Ｃ）などを考え、（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）の関係を述べる�
516:ｱとが大体のこの本でいう事始めになっている。 私は射影空間を使えるようになるには大分年数がかかった。アホだからですが。 この本で主として使う道具は私などの学生時代（４５年前）は３回生で習う抽象代数学の環、イデアル、剰余環、体、（準）同型写像などである。 特にイデアルが重要な役割を果たす。私は講義は初めの数回しか出ていないが、やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった。 （それはアホだからしょうがないかも。昔はそういうのは自分で考えろ、ということで教えない先生も多かったように思う。） 要するに１個の素数で生成される（単項）イデアルであり、代数的集合でゼロになる多項式はイデアルを成すが、それが素イデアルということは、代数的集合が既約（幾つかの成分に分解しない。 素数も幾つかの素因数に分解しないように）ということである。この本のようにそう言われれば良く分かるが、講義でもちょっとぐらいは触れてしかるべきと今は思うが、私が講義に出なくなってから教えていたのかも。 しかし代数学とは本当に抽象的なもんだなぁ?、イメージがわかない、わからん！！と間違った固定観念を持ってしまった。 ということで私は研究の息抜きに６日でさっと読んだが、この本が読者として想定している、抽象代数学を勉強したがイマイチピンと来ない、代数幾何を知りたいがどうも取っつきにくい学生さんにはユニークな好著と思うので、一読をおすすめする。
517:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 10:52:01.29 JPtSuWhm.net
>>448-450
これらは抜粋なので、全文読みたい人はURLを辿って下さい
518:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 11:02:52.21 JPtSuWhm.net
>>440-441
最近また、天狗さまが、出没するようになった・・
天狗さま、このガロアスレで以前から問題になっている下記があります
どうか、一言ご教示ください（笑い）HaHaHa
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:532番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
532 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/05/29(金) 23:30:47.86 ID:Cd6YJUHF [3/4]
えらそうにのたまう雑魚つぶし
おっちゃんの出題を少しひねった問題を私スレ主が考えたんだ
それが>>33だ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
複素数の成す乗法群なんて、なんの予備知識もいらない
数学的思考力のみで問題が解けるだろうさ
上から目線で物をいうあなた>>522 >>524 >>527
ど う ぞ（笑い）HaHaHa
519:１３２人目の素数さん
15/08/08 11:10:48.14 Hzl+AlI6.net
おっちゃんです。お久しぶりです。いや～、暑いですね～。ばててます、ばててます。
参ってます、参ってまっす。何かヤバいことが分かりました。
どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。
最初証明をここに晒そうかと思いましたが、晒すとフルボッコにされそうで
よろしくないことになりそうですから、やめることにしました。
以前書いたζ(3)の無理数度は未だ何かは分かりません。それについては悪しからず。
520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 11:19:19.18 JPtSuWhm.net
検索でヒットしたので
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学の大統一に挑む 単行本 ? 2015/7/13 エドワード・フレンケル (著), 青木 薫 (翻訳)
商品の説明
xのn乗 + y
521:のn乗 = zのn乗 上の方程式でnが3以上の自然数の場合、これを満たす解はない。 私はこれについての真に驚くべき証明を知っているが、ここには余白が少なすぎて記せない。 17世紀の学者フェルマーが書き残したこの一見簡単そうな「フェルマーの予想」を証明するために360年にわたって様々な数学者が苦悩した。 360年後にイギリスのワイルズがこれを証明するが、その証明の方法は、谷村・志村予想というまったく別の数学の予想を証明すれば、フェルマーの最終定理を証明することになるというものだった。 私たちのなじみの深いいわゆる方程式や幾何学とはまったく別の数学が数学の世界にはあり、それは、「ブレード群」「調和解析」「ガロア群」「リーマン面」「量子物理学」などそれぞれ別の体系を樹立している。 しかし、「モジュラー」という奇妙な数学の一予想を証明することが、「フェルマーの予想」を証明することになるように、異なる数学の間の架け橋を見つけようとする一群の数学者がいた。 それがフランスの数学者によって始められたラングランス・プログラムである。 この本は、80年代から今日まで、このラングランス・プログラムをひっぱってきたロシア生まれの数学者が、その美しい数学の架け橋を、とびきり魅力的な語り口で自分の人生の物語と重ね合わせながら、書いたノンフィクションである。 内容（「BOOK」データベースより） 憧れのモスクワ大学の力学数学部の試験に全問正解したにもかかわらず父親がユダヤ人であるために不合格。 それでも少年は諦めず、数学を学び続けた。「ブレイド群」「リーマン面」「ガロア群」「カッツ・ムーディー代数」「層」「圏」…、まったく違ってみえる様々な数学の領域。 しかし、そこには不思議なつながりがあった。やがて少年は数学者として、異なる数学の領域に架け橋をかける「ラングランズ・プログラム」に参加。それを量子物理学にまで拡張することに挑戦する。 ソ連に生まれた数学者の自伝がそのまま、数学の壮大なプロジェクトを叙述する。
522:１３２人目の素数さん
15/08/08 11:22:54.63 QF+gjJ4a.net
>>454
この本は俺も気になってた
523:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 11:24:23.41 JPtSuWhm.net
>>453
おっちゃん、どうも。スレ主です。
お元気そうでなによりです
>どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。
そうなんですか！
>最初証明をここに晒そうかと思いましたが、晒すとフルボッコにされそうで
>よろしくないことになりそうですから、やめることにしました。
こんなところに書くともったいない
年齢的にF賞はだめでも、金額の高いA賞は狙えるかもね（＾＾；
524:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 11:25:49.27 JPtSuWhm.net
>>455
どもです
525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 11:41:58.44 JPtSuWhm.net
>>438 >>441
ブルバキが念頭に置いていたのは、ユークリッド原論だと思う
理論体系が少数の公理系から構築されている
基本はロジックのみ。概念的な説明はほとんど無かったと記憶している
その対極が、小島本
そして、ブルバキ流スタイルに同意しないのがCoxのガロア本と思うのだが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
英語: Euclid ユークリッド
数学史上最も重要な著作の1つ『原論』（ユークリッド原論）の著者
線の定義について、「線は幅のない長さである」、「線の端は点である」など述べられている。
基本的にその中で今日ユークリッド幾何学と呼ばれている体系が少数の公理系から構築されている。
原論では平面・立体幾何学、整数論、無理数論などの当時の数学が公理的方法によって組み立てられているが、これは古代ギリシア数学の一つの成果として受け止められている。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ユークリッド原論
526:１３２人目の素数さん
15/08/08 12:02:46.46 sEWb1pmo.net
＞「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
もう少しきちんと定式化して書かないと何通りにも解釈できてしまう。
君のレベルがわかるよ。
527:１３２人目の素数さん
15/08/08 14:26:06.16 Hzl+AlI6.net
>>456
理論物理のパウリは手紙で結果のやり取りを好み、誰の結果かはど～でもいいみたいだったから、
結果をノートに鉛筆で書いて誰かに見せるという方法はありみたいですね。
まあ、送った人が読んでくれるか単なるゴミになるかは知りませんけど。
パウリに倣えば2チャンへの晒しという手法もありな気がしないではないが、
おっちゃんは、ここしばらく雲隠れします。ドロ～ンします。
528:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 14:50:23.52 JPtSuWhm.net
>>459
どうも。スレ主です。
>もう少しきちんと定式化して書かないと何通りにも解釈できてしまう。
どうぞ、あなたの解釈で結構だ
書いてみたらどうですか？
君のレベルがわかる
529:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 14:59:53.97 JPtSuWhm.net
>>460
おっちゃん、英文にしてarXiv投稿という手があるよ。英訳は google翻訳が使えるよ→ URLﾘﾝｸ(translate.google.co.jp)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
arXiv
arXiv（アーカイヴ、archiveと同じ発音）は、主に物理学、他に数学、計算機科学、量的生物学などの、プレプリントを含む様々な論文が保存・公開されているウェブサイト。
論文のアップロード（投稿）、ダウンロード（閲覧）ともに無料。論文はPDF形式。1991年にスタートして、プレプリント・サーバーの先駆けとなったウェブサイトである。大文字のXをギリシャ文字のカイにかけてarchiveと読ませている。
査読
arXivは時間のかかる査読プロセス（平均して数ヶ月、長いと一年以上かかる）を避けて、素早い情報交換を行なうことを目的として設置されている。そのため、基本的に登録された論文の内容を精査してから公開・非公開を決める、という作業はしていない。
とはいえ完全にフリーパスだという事ではない。あまりにひどい論文は削除されたり、登録分野から移動させられたりする。
例えば2001年にアメリカのテネシー州在住の創造論者が、神による宇宙の創造を説く十篇の論文をarXivに登録した事がある。
この論文はarXivのスタッフによって全てサーバから削除され、登録者のアカウントは停止された。ただ論文の登録者はこれを不服としてarXivの管理者を相手取って訴訟を起こした[4]。
530:１３２人目の素数さん
15/08/08 15:22:12.34 KGyL8E6M.net
現代の異端審問ｗｗｗ
531:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 18:33:40.84 JPtSuWhm.net
>>444-446
津山高専 松田 修先生のガロア理論入門ノート（詳細）だね
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
ガロア理論入門ノート（詳細）Osamu MATSUDA
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
津山高専
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
松田 修 ： e-mail : matsuda 略
URLﾘﾝｸ(www.tsuyama-ct.ac.jp)
教員基本データ
（フリガナ）マツダ オサム
氏名： 松田 修
生年： 1963
学歴： 1994. 3 学習院大学理学部数学科卒業
1996. 3 学習院大学大学院自然科学研究科博士前期課程修了
1999. 3 学習院大学大学院自然科学研究科博士後期課程修了
学位： 1999. 3 博士（理学）（学習院大学）
所属学会： 日本数学会
532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 18:58:37.93 JPtSuWhm.net
>>464 適当に抜粋
2.8 ガロアの定理２
533:（方程式の可解性） 定義 K を体, f(X) = a0X^n + a1X^n?1 + ・ ・ ・ + an (a0 ≠ 0) をK 係数の多項式とし, Q(a1/a0, ・ ・ ・ , an/a0) 上のf(X) の最小分解体をL とする. L がQ(a1/a0, ・ ・ ・ , an/a0) 上べき根によって構成されるとき, 方程式f(X) = 0はべき根によって解ける, または代数的に解ける, という. 定義 f(X) = a0X^n + a1X^n?1 + ・ ・ ・ + an をK = Q(a1, ・ ・ ・ , an) 係数の多項式とし, L をK 上のf(X) の最小分解体とする. このとき, Gal(L/K) を方程式f(X) = 0 のガロア群, または, 多項式f(X) のガロア群という. 補題35 K を体, f(X) ∈ K[X] とする. M をK の拡大体とするとき, GalM(f)はGalK(f) の部分群に同型である. 証明 L をf のK 上の最小分解体とする. L の分解をf(X) = a(X ?α1) ・ ・ ・ (X ? αn) とすると, L = K(α1, ・ ・ ・ , αn) である. したがってLM =M(α1, ・ ・ ・ , αn) である. これはLM がf(X) のM 上の最小分解体であることを示す. すなわちLM はM のガロア拡大である. よって, Gal(LM/M) = GalM(f). ガロア群G = Gal(LM/K) = GalM(f) の元のL への制限を考えることにより, これはもちろんK の元を固定するので, 準同型写像φ : G → Gal(LM/M) ∋σ → σ|L ∈ Gal(L/K) が得られる. GalM(f) = Gal(LM/K) ≡ H = Gal(L/L ∩M) ⊂ GalK(f) となる. （証明終） 補題36 K を体, L をK の拡大体, L1, L2 をL とK の中間体とする. L1, L2がK の有限次アーベル拡大であれば, L1L2 もK の有限次アーベル拡大である. 証明 L1L2 がK のガロア拡大であることは, 補題35 の証明の中で述べた. 定理37 （ガロアの定理２） K を体とし, f(X) ∈ K[X] とする. 方程式f(X) = 0 が代数的に解ける. ⇔ f(X) のガロア群が可解群である. 証明 f(X) = X^n + c1X^n?1 + ・ ・ ・ + cn = (X ? α1) ・ ・ ・ (X ? αn) とし, Q(c1, ・ ・ ・ , cn) を改めてK とおき, L = K(α1, ・ ・ ・ , αn) とおくと, f(X) = 0 が代数的に解けるとは, L がK 上べき根によって構成されることで, このとき方程式f(X) のガロア群Gal(L/K) について, ’L がK 上べき根によって構成される. ⇔Gal(L/K) が可解群である.’
534:群馬大学病院腹腔鏡手術後8人死亡事故
15/08/08 20:14:51.35 NXjIA6vZ6
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【芸能】真夏の最強おっぱい決定戦「P―1グランプリ」開幕！あの人気アイドルグループからも続々参戦【グラビア】
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
535:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 19:19:10.38 JPtSuWhm.net
>>465 つづき
あまりにも記号が混乱し、記載が錯綜しているので、意味が判然としないが・・
１．まず、問題の「Gal_M (f) 」は、”補題35 K を体, f(X) ∈ K[X] とする. M をK の拡大体とするとき, GalM(f)はGalK(f) の部分群に同型である.”と出てくる
２．その証明からすると、まずGalK(f)＝Gal(L/K) （すぐ上の定義の「方程式f(X) = 0 のガロア群, または, 多項式f(X) のガロア群」）のことでしょうね
３．で、K ⊂ M ⊂ L （Lはすぐ上の定義で「L をK 上のf(X) の最小分解体」）で、Mは中間拡大の意味だろう
４．だから、Gal_M (f) は、中間拡大体のガロア群と解釈できる（というかそれしかない）。それで補題36につながる。
５．で、定理37 （ガロアの定理２）の証明になるけれども、ここではGal_M (f) は使わずに、ガロア群Gal(M/K)を使っているみたい。補題36ではL1,L2を使っているんだが
ということで、この部分は別のテキストをお勧めします。
536:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 19:53:12.03 JPtSuWhm.net
>>467 つづき
おちているPDFは良く知らないが
まあ、前にも紹介したが、自称東大数学科落ちこぼれのhiroyukikojima氏お薦め、草場公邦先生の「ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)」
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば hiroyukikojimaの日記
最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07
他略
どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
537:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 19:57:40.27 JPtSuWhm.net
>>468 つづき
個人的にはCoxおすすめだが、草場公邦先生も手元にある
6.2 固定体と固定群だな
「定理6.7 ガロワの対応」とかが、該当箇所だよ
足立本でも、ガロワの対応の話はある（当然だが）
538:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 20:21:48.44 JPtSuWhm.net
>>450
>この本で主として使う道具は私などの学生時代（４５年前）は３回生で習う抽象代数学の環、イデアル、剰余環、体、（準）同型写像などである。
>特にイデアルが重要な役割を果たす。私は講義は初めの数回しか出ていないが、やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった。
>（それはアホだからしょうがないかも。昔はそういうのは自分で考えろ、ということで教えない先生も多かったように思う。）
馬頭観音=足立幸信氏。４５年前＝1968かな。京都大学理学部数学科。「やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった」という
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
馬頭観音の気まぐれ何でも館
（足立幸信のホームページ = Home Page of Y.Adachi）
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
著者について
1947年、兵庫県の生まれ。
1969年、京都大学理学部数学科卒業。
1974年、京都大学理学研究科修士課程数学専攻修了。
同年、ユニチカ入社(システム部在籍)。
1982年、依願退社。
1983年より3年間、九州大学工学部研究生。
1986年、専門学校甲山国際文化学館講師。
1988年、姫路学院女子短期大学児童教育科専任講師。
現在、神戸大学、兵庫県立大学、各非常勤講師。
数学者。多変数複素解析学専攻。博士(理学)。
539:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 20:35:26.09 JPtSuWhm.net
>>439-440
小島本をばかにする ID:oNpiAI89 くんか・・
こいつどこまで分かっているのねー？
東大数学科 hiroyukikojima氏や、京都大学理学部数学科 馬頭観音=足立幸信氏が
「やたらと抽象的で、具体例でいうと整数環の素イデアルが何者かすら分からなかった」と独白しているのに・・
hiroyukikojima氏や足立幸信氏より良く分かっているといいたいのかねー？
私は、hiroyukikojima氏や足立幸信氏よりも分かってなかった
だから、小島本は良かったよ
東大数学科や京都大学理学部数学科でも、イデアルの定義を読んですらすら分かるトップクラスは別として
それ以外で悩んでいる人なら、小島本は一度は手にとって見ることをお薦めするよ。
読む読まないはそれから決めれば良い
540:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 20:57:14.58 JPtSuWhm.net
>>454 関連
URLﾘﾝｸ(toyokeizai.net)
｢フェルマーの最終定理｣は､序章にすぎない
青木薫が｢数学の大統一に挑む｣を読む
青木 薫 ：翻訳家 2015年07月11日
（抜粋）
数学には、数論、幾何学、解析学などさまざまな分野があり、長い歴史のなかで徐々に細分化が進んで、異なる領域で研究する数学者たちのあいだでは、使う言葉までも通じないような状況になっていた。
たとえて言えば、異なる「星系」に属する惑
541:星上で、それぞれ別の生き物が独自の暮らしを営んでいるようなものだ。ところが、一見何の関係もなさそうに思える領域のあいだに、不思議なつながりがあることがわかってきたのである。 いったいなぜそんなことが？?フレンケルは、もしかすると数学のすべての領域をつなぐ、何か普遍的な構造があるのかもしれないと言う。その数学の大統一を目指す試みが、拡張されたバージョンのラングランズ・プログラムである。 しかし現代数学のそんな最先端の話を、はたして一般向けの読み物にできるものだろうか？?数学の異なる領域間のつながりを語る以上、当然ながら、多彩な概念が出てくる。 ガロア群、多様体、カッツ・ムーディー代数、ヒッチン・モジュライ空間、Dブレーン、層、圏、等々。どれひとつをとっても、相当にハードルが高い。全部となれば、数学者を相手にしてさえ、かなり骨のある話題になってしまうだろう。 しかし、フレンケルは諦めない。彼は、きっと伝えられると信じている。 しかし、具体的にはどうすれば？?フレンケルはそのための方法を懸命に考えたことだろう。そして彼が持ち出したのが、ヴェイユのロゼッタストーンだった。それを選んだことが、本書の成功の鍵だったと私は思う。 本書の翻訳に取り組んでいた時期、私は本当に楽しく幸せだった。
542:１３２人目の素数さん
15/08/08 20:57:53.53 sJlPbQYh.net
読めてない本をあとがきとか読んで読めてた気分に浸る低能読者にはなりたくないものだ
読めてない本を批評するのはジャンク情報が増えるからやめていただきたいものだな
543:１３２人目の素数さん
15/08/08 21:00:49.70 sJlPbQYh.net
イデアルわかるぐらいが辛うじて可じゃないかな？
それ以下は受験対策が数学だと死んだ後も幸せに思い込んでる方が良かろう
544:１３２人目の素数さん
15/08/08 21:06:28.96 sJlPbQYh.net
読めてない本にはこう感想文を書くべきだろう「読んでも僕には分かりませんでした一生バカのままです死んでもわかるようになりませんずっと永遠に救われないままです…」とね。
545:１３２人目の素数さん
15/08/08 21:08:33.28 sJlPbQYh.net
他人にどんだけ分かってるふりをしようが所詮読めてないものは読めてないのだ！。
分からないのは一生だけではないぞ永遠に所詮バカにはわからないのだ！。
546:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 21:46:00.80 JPtSuWhm.net
>>473-476
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
面白いよ
ああ、勘違い
ここをどこだと？
日本のMathOverflowかStack Exchangeだと？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
たんなる２ちゃんねる！
それ以上でもそれ以下でもない！
いやさ、おいらのメモ帳だよ
何を求めて、この板に・・・。あれしてくれこれしてくれの、「くれくれ」くんかい？
落ちこぼれた数学の救いを求めてか？ なら来ることろを間違えているよ。英語の板へ行くんだな
547:１３２人目の素数さん
15/08/08 21:56:34.03 sJlPbQYh.net
一生コピー機でコピー取りの派遣のおねーちゃんのお仕事してても読めないお経をあほだらきょうに劣化コピーし続けても
読めてないのは永遠に読めてないままだぞ
548:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 22:32:56.53 JPtSuWhm.net
分かってないね
ブレストを知っているか？（下記） 君がしているのは、他人への批判だ
それは、２ちゃんねる数学板の風土とは合わない
というか、「自らはなんら積極的貢献をせずに、批判だけか？」ということさ
URLﾘﾝｸ(www.d1.dion.ne.jp)
１,メンバーの発言への批判禁止
２,自由奔放な発言
３,質より量
549:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 22:50:01.06 JPtSuWhm.net
「批判は簡単、実践は難しい」
自分ではなんら有益
550:なカキコをせず、批判だけ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1329444298 2009/8/1507:28:15 「批判は簡単、実践は難しい」。最近、この言葉の意味を痛く痛感しています。そもそも、何故、批判は簡単で実践は難しいのでしょうか？説明できる方いらっしゃいますか？ ベストアンサーに選ばれた回答 kabukiage001さん 2009/8/15 もう一つの理由として、「出来る」とは、「知っている」より上位段階・上位能力であるからでしょう。 「知っている」だけではできないことって沢山あります。映画の良し悪しはわかっても自分で作れない、野球の名プレーはわかっても名プレーはできない等々。 批判は知っていればできますが、批判者が実践できるとは限りません。 一方、実践として「出来る」人は、何が良いかを大概知っています。当然批判しようと思えば批判もできます。 つまり「出来る」とは「知っている」よりも上位段階・上位能力なのです。 よって、実践の方が批判より難しい、ということになります。
551:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/08 22:59:43.58 JPtSuWhm.net
>>464-469を書いた。津山高専 松田 修先生のガロア理論入門ノート（詳細）が分からんと>>444-446があったから
これが、wikipediaやどこかのサイトからのコピペでないことは明らか
これが合っているか間違っているか、見る人が見れば分かるだろう
私スレ主がガロア理論を分かっているかって？ まあ、この程度を書けるくらいには、分かっているってこと
イデアルはまだこれからだが、この程度にはいけるんじゃないですかね（＾＾；
552:１３２人目の素数さん
15/08/08 23:10:49.59 sJlPbQYh.net
>>イデアルはまだこれからだが、この程度にはいけるんじゃないですかね（＾＾；
だめです。
553:１３２人目の素数さん
15/08/08 23:17:44.97 nRjrxFGx.net
中間体と部分群が対応するだけの話で実に当たり前でくだらないと思った。
554:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 05:56:01.40 +PUkznvl.net
>>482
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
君には、次の言葉を贈ろう
URLﾘﾝｸ(eow.alc.co.jp)
英辞郎 on the WEB：アルク:
自分の尺度で他人を測る measure others by one's own standard
URLﾘﾝｸ(structure.cande.iwate-u.ac.jp)
自分の尺度でしか見ようとしない人間 国立科学博物館・地学研究部主任研究官 真鍋 真
恐竜の化石は、発見され岩石の中から削り出された瞬間、初めて人間と出会う。
化石が自己紹介をしてくれたり、分類ラベルが付いてくるわけではないので、古生物学者は、
化石を目で見、ときには複雑な形を手で触り理解し、まずは、その骨が体のどの部分の骨
なのかを知ろうとする。それが太股の骨（大腿骨）であるならば、それがどんな恐竜の大腿骨
なのかを知ろうとする。分からなければ分からないほど、恐竜に自分の古生物学者としての
能力が試されているような気になる。博物館に収蔵されている標本と比較したり、文献を
調べたり、自分のノートや写真といった記録や記憶を総動員して、来る日も来る日も標本と
向かい合うことも少なくない。ずっと分からないこともあれば、何年もして忘れた頃にひょん
なことから分かることもある。
私の大学院時代の指導教官のジョン・オストロム教授（米・イェール大学）は、苦しみに
苦しみ抜いた後に、急に霧が晴れるように理解できる瞬間の快感こそが研究者の喜�
555:ﾑだと常々 語っている。オストロム教授は、始祖鳥という最古の鳥類の標本を見続けたある日、突然、 「始祖鳥は羽毛さえなかったら、骨格は恐竜じゃないか」と気がつき、一九七〇年代に鳥類の 恐竜起源説を提唱した。その後、この説を裏付ける証拠が次々と発見され、今では大多数の 古生物学者に受け入れられている。今から六、五〇〇万年前の中生代末に、環境変化に適応 できずに絶滅したと思われていた恐竜は、鳥に姿を変えて現在も繁栄し続けているのだ。 以下略
556:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:02:37.82 +PUkznvl.net
>>484
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
自分の尺度で他人を測る measure others by one's own standard
思うに、君はイデアルで苦労したか、あるいはひょっとしてまだ苦労中かと見たね。で、おそらくいまなにか苦労していることがあるんだろう。だから、ここに来て同類を探していたのか・・
ジョン・オストロム教授（米・イェール大学）
苦しみに苦しみ抜いた後に、急に霧が晴れるように理解できる瞬間の快感こそが研究者の喜びだと常々
語っている。
君にはこの言葉を贈ろう。勉強頑張って下さい
557:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:10:35.76 +PUkznvl.net
>>483
「実に当たり前でくだらないと思った」と言えるレベルに君が達していることは認めよう
が、大口たたくのは、私よりさきにカキコをしてからにしてほしいね
コロンブスの卵、手品の種明かし
分かってしまえばな～んだということは、世間では多い
ガロア理論を理解していれば、別になんということもない
正解のお墨付きを貰ったということで良いかな・・
558:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:22:38.69 +PUkznvl.net
>>448-450 補足
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
14日間でわかる代数幾何学事始 単行本（ソフトカバー） ? 2011/9/16 海老原 円 (著) 日本評論社
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2012-12-27 数学って「思想」なんだよな hiroyukikojimaの日記
最近、代数幾何を勉強し始めた。来年出す新書の準備の一環としての勉強だ。
代数幾何というのは、多変数の多項式の解(零点)の点集合(放物線とか、円とか、球などの空間図形はその一種)の性質を分析する分野のことだ。高校で教わる「代数・幾何」を化け物のようにしたような分野だと思えばいい。(間に「・」があるかないかで雲泥の差なのだ)。
実は、ぼくは昔、数学科に在籍したときは、代数幾何が専攻だった。数論を専攻したかったのだけど、成績が悪くて希望のゼミに入れなくて、同級生の「数論をやるなら代数幾何は勉強しておいたほうがいいよ」という一言で、代数幾何のゼミに入れてもらうことにしたのだ。
でも、そのゼミでは、代数幾何をほとんど勉強しないまま終わった。ゼミのときは毎週、準備してきたことが10分で先生に撃墜されて、残りの時間はずっとお説教をされていたからだ。(読者に優しい数学書を書く技術 - hiroyukikojimaの日記参照)。
最近になって、代数幾何に生まれて初めてすごく興味が出てきた。それはグロタンディークが生み出した「スキーム」と呼ばれる分野だ。なぜ、スキームに興味があるか、といえば、それが一種「思想的なもの」だと思えるからなのだ。
そんなこんなで、ほんとに初歩から代数幾何の勉強を開始した。まず、読んでみたのが、海老原円『14日間でわかる代数幾何学事始』日本評論社だ。はっきり言って、これは掘り出し物と言っていい本だった。
つづく
559:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:25:25.80 +PUkznvl.net
>>487つづき
この本の何がいい、って、それは「思想臭むき出し」で書いている、ってことだ。なんでだかわからないが、数学者の書いた数学書は無味無臭なものがほとんどだ。
まあ、そもそも数学に思想的なナニカを感じていないのか、感じていても�
560:uそんなことは自分で掘り出せ」とばかり無視してるのかもしれない。 かに、プロの数学者になって一生数学で飯を食っていく気なら、数学が内包しているナニカは自分で苦労して理解すべきなのかもしれない。 でも、数学って、数学者(及び、それを目指す人)だけのものだろうか。彼らの独占物なのだろうか。ぼくはそうじゃないと思う。 数学は、人類全体の成果であり、文化であり、宝なんじゃないか、と思う。ならば、数学者(及び、それを目指す人)以外のたくさんの一般人にもその意義が伝えられることが望ましい。 そのためにてっとりばやいのは、数学の持つ「思想」を伝えることである。「思想」というと大仰だというなら、「いったいそれは何をやっているのか」ということを伝えること、と言い換えてもいいだろう。 そういう意味で言えば、海老原円『14日間でわかる代数幾何学事始』日本評論社は、徹頭徹尾、「それはなにをやってるのか」ということを訴え続けるスタイルで書かれている。それはそれはみごとと言っていい。 登場する多くの定理に対して、「それはこういう意味を持っている」という「解釈」を補足してくれている。また、それが何処を目指しているのか、という「少し先の風景」を常に与えながら書いてくれるのだ。 本書は、まず、多変数の多項式の解(零点)の集合である「代数的集合」が、多項式たちの方程式たちよりも「イデアル」と呼ばれる集合で捉えるのが本質的であることを述べている。 「イデアル」とは、「和に閉じていて、倍数に閉じている」ような集合のことで、もとはと言えば整数の集合を扱う中で発見された概念だ。イデアルには、極大イデアルと素イデアルというのがあるのだが、その双方が代数的集合を表現する上で非常に本質的であることがわかる。 これらのことを本書では、次のように説明している。 以下略 引用おわり
561:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:30:33.94 +PUkznvl.net
>>488 補足
>この本の何がいい、って、それは「思想臭むき出し」で書いている、ってことだ。なんでだかわからないが、数学者の書いた数学書は無味無臭なものがほとんどだ。
・数学者の書いた数学書は無味無臭の典型例が、ブルバキでありアルティンのガロア本だろう
・その対極が、小島であり海老原円
・ブルバキやアルティン本に批判的なのがCoxのガロア本だと>>458
562:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:36:51.70 +PUkznvl.net
>>487 補足
URLﾘﾝｸ(s-read.saitama-u.ac.jp)
海老原 円 エビハラ まどか
理工学研究科 数理電子情報部門 ｜ 埼玉大学研究者総覧
プロフィール
兼担研究科・学部 理学部 数学科
研究分野 代数幾何学
現在の研究課題
代数多様体の研究
代数多様体，特に小平次元が負のものの構造について研究している。
学位論文（J. Fac. of. Scf, Univ, Tokyo, SecIA, 39, 1992）では，トーリック曲面を豊富に含む3次元代数多様体が単有理的であることを証明し，その後，さらに一般次元へ拡張した（J. Math. Soc. Japan, 46（1994）），
現在は，単有理性の問題に視点を置きつつ，有理曲面上の二次曲線束の変形理論を，特にその判別因子の変位との関連づけにおいて構築しつつある（Saitama Math. J. 18（2000））。
学歴
出身大学院・研究科等
1989 , 東京大学 , 博士 , 理学系研究科 , 数学専攻 , 中退
1987 , 東京大学 , 修士 , 理学系研究科 , 数学専攻 , 修了
出身学校・専攻等(大学院を除く)
1985 , 東京大学 , 理学部 , 数学科 , 卒業
取得学位
博士（理学） , 東京大学 , On Unirationality of threefolds which contain toric surfaces with ample normal bundles（J. Fac. Sci Univ Tokyo Sec. IA, 39（1992）, PP87―139）
563:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 06:52:43.88 +PUkznvl.net
>>487 補足
>>448-450にもあるように、私は「数学は世界をこう見る」小島寛之を先週一週間かけて
564:読んだ だから、14日間でわかる代数幾何学事始 海老原円 が今週来て、昨日から今日にかけて読んだが、小島本のおかげで結構読めるんだよね、これ スレ主レベルの能力でも分かるから、小島本→海老原円本という流れがお薦めです
565:１３２人目の素数さん
15/08/09 08:03:16.59 jTESFcpf.net
>>491から先に書けっつーの。無駄に知ったかが長すぎる。
566:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 08:31:27.22 +PUkznvl.net
>>492
どうも。スレ主です。
すんません
実は、海老原円が来たのが、昨晩なのよ。アマゾンで、小島本の参考文献１０に海老原円があったので、昨日の午前中に注文したら、晩に届いた
それで、昨晩から今日にかけて読んだわけ
これが不思議に読めるんだわ。小島本のお陰で
というか、小島本が海老原円からぱくってんだ。それで、それをかみ砕いて、小島節をまぶして、私スレ主にも分かるレベルに落としてくれているわけですよ
だから、海老原円を読むと、「ああ、これ、小島本あったやつだー」と進む訳です、はい。それで、最後まで行きました
567:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 09:00:01.13 +PUkznvl.net
>>492 補足
ザリスキー位相がちょっと分からなかった
海老原円では、P73ザリスキー位相の導入辺りから
小島本では、「位相は開集合で定義するのだ！」と。しかし、海老原円では、ザリスキー位相は閉集合で定義するという
あれれと思っていると、海老原円の後の方で、ザリスキー開集合が大事だというので、やっぱ話があってきたなと
で、海老原円P130辺りに良いこと書いてあるんだなー。「層の理論では開集合が主役となる」って・・、やっぱりそう（層）なんだ・・
で、位相空間の定義で
「歴史的にみると、以前は近傍の公理のほうが良く使われていたようである。」
「現在・・、開集合の公理が多く採用されている。このことは層の理論の成功と無関係ではなく、どうやら、位相空間の定義も、数学の発展に伴って変化してきた・・」
と
なるほどねー、目からうろこです。”なんで開集合だけがそんなに偉いのか！”と思ったら、裏にもっと偉い僧（ソウ）がついていたんだ！
層がわからんと、開集合の偉さがわからんのか・・。が、層理論がまた抽象的なんだよね・・
「14日間でわかる層・Spec・スキーム」を、海老原円ちゃんが書いてくれると良いのだが
568:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 09:32:19.39 +PUkznvl.net
>>494 補足
ザリスキー位相でちょっと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ザリスキー位相
目次
1 古典的定義
1.1 アフィン多様体
1.2 射影多様体
1.3 性質
2 現代の定義
2.1 性質
2.2 例
3 参照項目
4 参考文献
5 関連書籍
（引用おわり）
以前読んだときはさっぱり分からなかったが、小島本－海老原円本を読んだのでちょっと分かる
古典的定義：トポロジーは開集合というより、閉集合を特定することにより定義され、{A}^n の中の全ての代数的集合を単純に閉集合とすると定義する。
海老原円本は、この古典的定義で書いているんだ！
現代の定義：現代の代数幾何学は、出発点として環のスペクトル(素イデアルの集合)を取った。(性質)トポロジーの古典的描像と新しい描像の最も劇的な変化は、点がもはや閉じている必要はないということである。
小島本は、スペクトル（Spec）でザリスキー位相を説明している。だけど、小島本ではこれを開集合としている＊）
が、wikipediaの説明は閉集合だと。でも後で、(性質)点がもはや閉じている必要はないなどとあるね
で、スペクトル（Spec）→層理論へ移るときに、どこかで位相を開集合で定義しなおすのでしょうね＊）
＊）開集合の補集合が、閉集合だ。海老原円本のP74-75に詳しい定義と説明とがある。開集合←→閉集合で、位相の定義の変更ができるんだろうね
おそらく、位相に習熟している人は、開集合で考える方が慣れているような気がする
569:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 09:38:36.1
570:8 ID:+PUkznvl.net
571:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 09:54:27.89 +PUkznvl.net
>>495 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ザリスキー位相
これ、英文版の訳だが、熟れていないし、変なところが多い
例えば、下記
性質 抜粋
閉点は A の素であるに対応する。
Properties
The closed points correspond to maximal ideals of A.
＜コメント＞
素である→素イデアルと書こうしたんだろうが、誤変換。さらに、英ではmaximal idealsだから、極大イデアルが正解なんだよね・・
572:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 10:43:16.67 +PUkznvl.net
>>497 さらに補足
以前にも書いたが、日wikipediaで、左のEnglishのリンクをクリックすると、対応するその言語の記事に飛べる
だから、できるだけ英文記事をチェックするようにした方が良い。で、Zariski_topologyは下記URLなんだ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
で、対訳検討を続ける
英
Just as in classical algebraic geometry, any spectrum or projective spectrum is compact, and if the ring in question is Noetherian then the space is a Noetherian space.
However, these facts are counterintuitive: we do not normally expect open sets, other than connected components, to be compact,
and for affine varieties (for example, Euclidean space) we do not even expect the space itself to be compact.
日
まさに古典代数幾何学のように、任意のスペクトルや射影スペクトルはコンパクトであり、問題にしている環がネーター的であれば、空間はネーター的な空間である。
しかし、これらの事実は、直感とは食い違い、連結空間であること以外に、開いた集合をコンパクトとすることを期待することはできなく、アフィン多様体（例えば、ユークリッド空間）に対しては、空間自体がコンパクトであることすら期待できない。
＜コメント＞
１．前半の文は、”to be compact”が、classical algebraic geometryの場合と違って、期待できないという。これは、ザリスキー位相では良く語られることではある。
日文では、ここ、いまいち訳がこなれていない。開いた集合→開集合だし
つづく
573:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 10:45:10.25 +PUkznvl.net
つづき
英
This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.
Grothendieck solved this problem by defining the notion of properness of a scheme (actually, of a morphism of schemes),
which recovers the intuitive idea of compactness: Proj is proper, but Spec is not.
日
これは、ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。
グロタンディエクは、この問題をスキームの固有性（英語版）(properness)という考え方（実際、スキームの射）を定義することにより解決した。
この考え方は直感的なコンパクト性という考え方を再現する。
しかし、Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。
＜コメント＞
１．”ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。”は、もとの英文も悪い
”This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.”で、the geometric unsuitabilityは、in classical algebraic geometryを補わないとすんなり読めない
２．”Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。”は、proper＝固有としているが、誤訳だろう。proper＝適切じゃないかな
で、Projは、英版では上の方でProjective varietiesという項目があるから、これ�
574:ｾろうと。が、日版だと、射影多様体とあるから、分かるうやつしか分からん Proj（Projective varieties（射影多様体））くらい補ってやると、サル（おいら）でも分かるとなるだろうさ （recover→再現という訳も微妙（別の適切な表現がありそう）という気がする） 対訳検討おわり
575:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 10:52:18.77 +PUkznvl.net
>>497-499
申し遅れたが、ザリスキー位相の最初の和訳起こしをした人に敬意と感謝の意を表したい
最初に訳起こしをする人は大変なんだ
が、それをみんなが読んで、「おかしいね、こうした方が良い」という意見をみなが出すことも大事なんだ
それで、wikipediaの質が上がる
以前読んだときはさっぱり分からなかったが、小島本－海老原円本を読んだのでちょっと分かるようになった
そしたら、日版のザリスキー位相wikipediaの意味が通らないよーってところが指摘できるようになったんだ
576:１３２人目の素数さん
15/08/09 10:57:37.16 XfHjAtzY.net
普通はハーツホーンとか読む
ウィキなんか知るかって態度が正解
577:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 10:59:11.89 +PUkznvl.net
>>498 訂正
前半の文は、→削除
（ここ、文字数オーバーで前半と後半とを別投稿にしたんだ。だから、削除すべきところが残ってしまったのだ）
578:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/09 11:30:48.34 +PUkznvl.net
>>501
どうも。スレ主です。
記念すべき５００番目、祝！
>普通はハーツホーンとか読む
>ウィキなんか知るかって態度が正解
東大京大上位で、代数幾何志望ですか？ ハーツホーンくらいすらすら読める、なら、正解でしょう
では、みなさんに聞きます。「ハーツホーンくらいすらすら読めるという人手を上げて～」・・・、ほら、殆ど居ないでしょ