15/07/25 21:58:38.45 tAJoLOyr.net
さわりをご紹介
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いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
抜粋
ガロア拡大（正規・分離拡大）である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。
「方程式の解の背後にある群を調べよ」という思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。
のときやはり被覆変換群という「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。
つまりここでは「ガロア群＝基本群」。
このように体の拡大に対し群ができるように、空間の「拡大」に対し群を作ることを意識します。
ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の２つをミックスさせたような形になっています。
体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kはエタールとよばれる、上での局所同相に当たるものになります。
体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。
体ばかりではなく、一般のスキームにおいては局所同型性はエタール（不分岐性と平坦性）をもって定義します。
体ばかりでなく、こういった様々な数学の圏にガロア理論が構成できます。それらをまとめてガロア圏と言います。
また、基本群と同様にコホモロジーも重要です。ガロア群に対して定義される体k のガロアコホモロジーと、Spec k 上（エタールな位相に対し定義される）エタールコホモロジーは一致します。
これもガロア理論とエタール（局所同相）位相のつながりを示すものになっていて、ガロアコホモロジーという代数的なコホモロジーをGrothendieckが幾何学的に見直したとも言えるかもしれません。
Zariski位相をエタールという局所同相にまで引き延ばし拡大して位相を拡張すると、（上でも言ったように）ガロア群が付随するような情報をもった空間となります。
いずれにしろ、こうしてガロア理論はスキーム理論を裏方で支えているのです。