15/07/25 20:38:27.87 tAJoLOyr.net
こんなのがありました
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代数幾何学入門講座～スキーム理論入門～ ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2015/1/7）投稿日：2012/6/28
難しい代数幾何が、私のような平凡な頭の者にも少しでも身近なものにならないだろうかと何度も思ったことです。
代数方程式は素朴な対象であるがゆえに、昔から多くの数学者たちの研究の的になってきました。
そもそも一般に幾何学をやるといっても、どこ上で幾何をやるのかというのは問題になります。（C上かR上か。Qやp進体Qpか、はたまたZか。体Fpか。体上か環上か。などなど。）
たとえば代数閉体であるC上なら点もいっぱいつまっているし、どんな代数方程式をもってきても解が中に詰まってるし十分に安心して幾何学の議論として扱えそうです。
しかしZなどの（不毛な）世界に降りてくると、もはや点がただポツポツ並んでるだけといった世界になり、十分満足できるような幾何学と呼べるものにするのが難くなってきます。
しかし数論においても面白いのは何と言ってもZの世界であり、何とか扱えるようにしたいというのがみんなの願いではあります。
つづく
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 20:41:27.17 tAJoLOyr.net
>>317 つづき
そこでちゃんとした幾何学として扱うには（例えばですが）ある程度位相を拡張したり、絶対値や距離をつけたり点を詰めたりするなど今後いろんなアイディアが必要になってきそうです。(○)
GrothendieckはZや体ばかりでなく、一般の環に対しても幾何学を構築することを考えました。それをスキームという視点で書き直そうとしたのです。
スキームは可換環を幾何学的にとらえようという考え方です。そしてそれら異世界を自由に横断できる仕組みがあれば、それをまさに枠組み（スキーム）と呼ぶことにします。
まず代数方程式があれば、局所的にはアフィン空間、大域的には射影空間（アフィン空間を包むような空間）に置くのが普通です。
射影空間の中でコンパクト化が可能で、代数方程式を局所的には可換環論、大域的には後でいうようにコホモロジーに帰着させます。
代数方程式があればそれに伴う座標環が定義できます。これは可換環であって、代数方程式の情報を含んでいます。
それではこの座標環を調べよう。いやそればかりでなく、一般に可換環を調べることができれば、このような代数方程式ばかりではなく、いろんな環を一括して扱うことができます。
可換環を見るという視点によって統一的に見ることが可能ではないか。
そして可換環は幾何学的に見ることでより深く知ることができるのです。このことが代数幾何と可換環論が両足となって一歩一歩進化してきた歴史でもあります。
たとえば代数体の整数環・代数曲線・コンパクトリーマン面はどれも1次元正則スキームというものの例になります。（ここで「次元」は幾何学から来た単語。）
これは幾何学的に見た例です。スキームという見方によって、これら違うものが一つに統一されたのです。歴史的には代数体と関数体との類似をたどって生まれてきたので、必ず代数体を見ながらそれが関数体側ではどう対応しているかを念頭に置いて学んでいくとよいと思います。
(『数論Ⅰ』Fermatの夢と類体論・「局所と大域」。 たとえばイデアル類群とヤコビ多様体。)
以下省略。（本文を読んでください）
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 20:
371:52:42.05 ID:tAJoLOyr.net
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:45:01.30 tAJoLOyr.net
ライター：sedrft1さん、こんなのもある。いいね
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ホモロジー？ コホモロジー？ （空間と関数との関連性）
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2014/9/24）投稿日：2012/1/21
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いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2013/7/20）投稿日：2012/1/17
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:48:50.24 tAJoLOyr.net
さわりをご紹介
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ホモロジー？ コホモロジー？ （空間と関数との関連性）
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2014/9/24）投稿日：2012/1/21
私が大学の数学科に入って面食らったのが、このホモロジー、コホモロジーというものです。
なにしろ抽象的で難しい…。何を言っているのかさっぱり分からない…。
とにかく、平凡な頭の私にはさっぱりの内容でした。
私は代数的位相幾何を専門的に勉強してきたわけではないし、もちろん今でもよく分からないのですが、とりあえず出来る範囲で説明したいと思います。
（参考文献：『コホモロジー』安藤・他（著）、日本評論社）
よくホモロジーの習い始めで最初に出てくるのは単体分割のホモロジーです。
直観的にはこれがもっとも分かりやすい、教育的なものではないかと思います。
すなわち、与えられた空間を単体分割（線分や三角形など）という、もっともわかりやすい基本的な要素に分解し、そこに加群をうまく入れて代数的に計算できるようにして、ホモロジーという空間の位相的性質をもつ群を定義するというものです。
特異ホモロジーでは特異単体というものを使って、CW複体においては開球体を使ってホモロジーを構成します。
大雑把にいえばホモロジーとは、空間の中にあるサイクルという各次元の「穴」たちの数を代数的に調べようということです。（森田茂之・著『微分形式の幾何学』岩波書店 p. 101）
つづく
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:50:10.33 tAJoLOyr.net
>>321 つづき
では次にコホモロジーとは何か。
線形代数でもやりましたが、ベクトル空間があれば双対空間というのがあります。
双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。
さて、幾何学においては与えられた空間に対し関数を考えることでその空間について調べようという考え方があります。
もし関数を調べることで空間の全体の情報を読み取ることができるなら双対性と呼ばれ（＊）、空間を「鏡」に映して関数という形にすれば、空間についてわかるということになります。
逆にいうと空間が姿を変えたものが関数であり、あるいは空間の各点に数を与えて空間を「数化」したものが関数とも言えます（◇）。実際今の幾何学の多くは与えられた空間の上に適切な関数を作ってそれを調べることに力を注いでいます（◆）。
（どのような関数が適当といえるかについて 『シンプレクティック幾何』 深谷、p .15。空間の情報を反映するような関数が、適切な関数であると考えます。）
このように、空間や何らかの数学的な対象があれば、必ずその関数をセットで考えることで数学は発展してきたのです。
そして適当な関数全体（層）で可換化され代数となり、空間が代数によって計算可能となるのです。（多様体の線形化・可換化。これが後にモチーフという思想の原点になる。 『コホモロジー』p.140）
以下省略。（本文を読んでください）
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:58:38.45 tAJoLOyr.net
さわりをご紹介
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いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
抜粋
ガロア拡大（正規・分離拡大）である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。
「方程式の解の背後にある群を調べよ」という思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。
のときやはり被覆変換群という「被覆空間のガロア群」が定義されます。位相空間によい連結性があれば、これは基本群と同型になります。
つまりここでは「ガロア群＝基本群」。
このように体の拡大に対し群ができるように、空間の「拡大」に対し群を作ることを意識します。
ではこれらを参考にして体上のスキームを考えてみましょう。ちょうど上の２つをミックスさせたような形になっています。
体k’をkの有限次分離拡大とすると、Spec k’→Spec kはエタールとよばれる、上での局所同相に当たるものになります。
体の拡大k’/kを被覆空間的に見るとこういった感じになります。ここでも同じように基本群にあたるものが定義できます。
ガロアが考えた代数の理論をGrothendieckが幾何学的に見直したんですね。
体ばかりではなく、一般のスキームにおいては局所同型性はエタール（不分岐性と平坦性）をもって定義します。
体ばかりでなく、こういった様々な数学の圏にガロア理論が構成できます。それらをまとめてガロア圏と言います。
また、基本群と同様にコホモロジーも重要です。ガロア群に対して定義される体k のガロアコホモロジーと、Spec k 上（エタールな位相に対し定義される）エタールコホモロジーは一致します。
これもガロア理論とエタール（局所同相）位相のつながりを示すものになっていて、ガロアコホモロジーという代数的なコホモロジーをGrothendieckが幾何学的に見直したとも言えるかもしれません。
Zariski位相をエタールという局所同相にまで引き延ばし拡大して位相を拡張すると、（上でも言ったように）ガロア群が付随するような情報をもった空間となります。
いずれにしろ、こうしてガロア理論はスキーム理論を裏方で支えているのです。
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 22:05:14.63 tAJoLOyr.net
>>322 追加
（＊）不分岐についてちょっと説明してみたいと思います。
O_KというDedekind環があって、その分数体がK 、Kの有限次分離拡大をL、
O_Kの整閉包がO_Lとなっているとします。(このときO_LもDedekind環になる)
O_Kの素イデアルpが上のO_Lに行ったとき、素イデアル分解されるわけですが、pが不分岐であるとは各イデアルの指数が全部1であることです。
これをもしスキーム論的に見るなら、pが不分岐かどうかということは、O_Kをスキーム
Spec O_Kとみれば、O_K→O_Lに対する射Spec O_L→Spec O_Kがあって、p?Spec O_KはO_Lの中でどうなるかを観察する必要があるということです。
(スキームにおいては素イデアル p が点。このように数論も代数幾何も素数や素イデアルが常に中心的役割を担い大事なわけですが、代数幾何のスキーム理論は素イデアルを空間とした幾何学を直接作ろうというものです。)
pを分解して、全部指数１ならpは不分岐です。
これも代数的整数論を幾何学的・スキーム論的に見直した形になっています。
より一般の場合も同じです。リーマン面や被覆空間の不分岐性も並べて考えてみると幾何学的イメージがつくかもしれません。不分岐であるところでは普通の被覆になっています。
Dedekind環�
377:ﾌスペクトルは滑らかな曲線としてイメージでき、直感的なイメージが可能です。（ノイキルヒ著、『代数的整数論』シュプリンガー p.96） このとき分岐とはちょうど枝分かれする点になっているわけです。 （あるいは点が重なっているとか、つぶれちゃってると言ってもいいかも知れないけど。） これがそもそも本来の分岐の定義です。スキームにおいて分岐する点を調べることは比較的最近始まったことですが、重要なテーマとなっています。 (分岐・不分岐性はそのままガロア表現にも応用されるが、フェルマーの最終定理の証明に現れる保型性持ち上げの証明においても、ガロア表現がある素数pで分岐するかどうかはいつも非常にデリケートにチェックされている。)
378:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 22:24:39.88 tAJoLOyr.net
スキーム
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
概型
数学における概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。
二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。
さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。
スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。
このためヴェイユ・ザリスキ流の代数幾何学（これ自体大幅な形式化によって前の世代の牧歌的なイタリア流代数幾何に引導を渡すものだったのだが）を習得して研究していた同時代の学者たちからは戸惑いのこもった反発を受けた。
目次
1 定義
1.1 環のスペクトル
1.2 アフィンスキーム
1.3 スキーム
2 スキームについての諸概念
3 古典的な代数幾何学との対応
4 歴史と動機
5 代数幾何学の対象の現代的定義
6 スキームのカテゴリ
7 OX 加群
8 一般化
9 関連項目
10 参考文献
379:１３２人目の素数さん
15/07/25 22:34:43.96 eepLoFKB.net
エタールとの用語が指し示す意味内容・対象・事物・概念に対して、
他の用語ではなくて特にエタールの用語と指定・対応・選択された
理由・経緯は存在しますか、仮に、その理由・経緯が存在する場合、
その理由・経緯をわたしに教えてください。
エタールとの用語について既に書いた質問を例えばスキーム、トポス
及びモチーフの各用語についても質問した場合、その質問には一定の
解答があるのでしょうか。
380:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 23:27:16.85 tAJoLOyr.net
>>326
どうも。スレ主です。
質問の意味が正確に取れない。というか、日本語が奇妙に見える。なにか、翻訳調というか。そもそも、自分で調べろよと。自分で調べて、ここまで分かったがさらにここが疑問とか。でないと、君のレベルがわからん
が、そう切ってしまうのは簡単だ
知っている範囲で堪えてみよう
１．エタール：
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
エタール・コホモロジー（etale cohomology）
etaleは、仏語だからエタールだ。広げるという意味がある URLﾘﾝｸ(ja.glosbe.com)
グロタン先生が、「広げる」ということを意識して名付けたと思う
２．スキーム：これは>>325にあるように日本語で概型と訳されている通りの意味。英語ではschemeで、仏語とほぼ同じだろう（Schema (geometrie algebrique)）
３．トポス：元来は，場所を意味するギリシア語。
単に物理学的な空間を意味するだけでなく，アリストテレス以来，修辞論上の場所，すなわち何かを論じる際の基本的論述形式，あるいは論題を蓄えている場所をもいう。 URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
wikipedia もほぼ同じ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
トポス (数学)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。
アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。
その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
つづく
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 23:36:46.70 tAJoLOyr.net
>>327 つづき 訂正 堪えてみよう→答えてみよう
４．モチーフ：これも日本語化している外国語だろう
芸術用語。芸術作品を構成するうえでの基本的な単位ないし作因をさす。
主題 subject，テーマとあまり区別なく用いられることもあるが，
主題が作品全体を貫き，統一する多かれ少なかれ文学的，物語的性格をもち，またテーマがこうした主題をどのように扱い，表現するかという作者の態度，方法とかかわり合っているのに対し，
モチーフは作品を形成する個々の単位をさすことが多い。ブリタニカ国際大百科事典 URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
wikipedia URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) motif - 動機、理由、主題という意味のフランス語の単語。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数幾何学では、モチーフ(motive、ときにはフランス語の使いかたに従い motif とすることもある)は、「代数多様体の本質的な部分を表す。今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。
ピュアモチーフは、三つ組 (X, p, m) で、この X は滑らかな射影多様体、p : X ? X はべき等な(idempotent)対応、m は整数である。(X, p, m) から (Y, q, n) への射(morphism)は、次数 n - m の対応により与えられる。
アレクサンドル・グロタンディークに従い、混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす適切な定義を求めている。
圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏でべき等分解（英語版）(splitting idempotents)を通した定義を意図していた。しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、これを定義することができなかった。
現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を持つことができない。
一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、この期待は完全に証明されてはいない。
他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー（英語版）(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。
以上
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 23:43:51.20 tAJoLOyr.net
>>328
>圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏で
「代数的代数的」はおかしいね
383:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 23:50:02.38 tAJoLOyr.net
>>329
>他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー（英語版）(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。
ここは、訳がこなれていないね
原文
On the other ha
384:nd, by a quite different route, motivic cohomology now has a technically adequate definition. https://en.wikipedia.org/wiki/Motive_%28algebraic_geometry%29 a technically adequate definition を誤訳しているね
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 00:01:39.54 yHhmJJ+L.net
>>325 ここに戻る
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史と動機 抜粋
1920年代のエミー・ネーターは最初にこの概念を評価する方法を示唆した。
多様体の座標環から始めて（多様体上に定義された全ての多項式函数の環）、座標環の極大イデアルが、（適当な条件下で）多様体の点の座標に対応することとなり、非極大な素イデアルは様々な部分多様体の生成点に対応することとなることになる。
従って、全ての素イデアルを取ることにより、通常の点と生成点の全体を得る。ネターはこのアプローチをこれ以上追及しなかった。
1930年代、ヴォルフガング・クルルは見方を変えるような根底的な考え方を提出した。
任意の可換環から始め、素イデアルの集合を考え、ザリスキー位相導入することで素イデアルの集合を位相空間とし、これらの一般的な対象の代数幾何学を研究した。この一般性を持つ点が見いせないとして、クルルは研究を打ち切ってしまった。
アンドレ・ヴェイユは、有限体上やそのほかの環上の代数幾何学に特に興味を持った。1940年代に彼は素イデアルによるアプローチへ戻り、基礎的な理由により彼の必要としたものは（射影空間以外の）抽象多様体であり、特にヤコビ多様体の代数的設定での存在であった。
ヴェイユの主要な基本的な書籍(1946)では、生成点は普遍領域(universal domain)と呼ばれる非常に大きな代数的閉体の中に点を取ることで構成された。
1944年、オスカー・ザリスキーは、双有理幾何学の必要のために、抽象的ザリスキー・リーマン空間（英語版）(Zariski?Riemann space)を代数多様体の函数体から定義した。
この定義は、（ブローアップの下での）通常の多様体の帰納極限のように、構成はロケール理論（英語版）(locale theory)の類似で、点としては付値環を使った。
1950年代に、ジャン＝ピエール・セール、クロード・シュヴァレーや永田雅宜は、数論と代数幾何学に関連するヴェイユ予想に大きく動機付けられ、同じように点としての素イデアルをいうアプローチを追及した。
ピエール・カルティエに従うと、用語であるスキーム(scheme)は、シュヴァレーの1958年のセミナーで最初に使われ、そこでシュヴァレーはザリスキーのアイデアを追及し、アンドレ・マルチヌー（英語版）がセールに当時の環のスペクトルへ移行しようと示唆した。
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 00:06:18.55 yHhmJJ+L.net
>>331 つづき
代数幾何学の対象の現代的定義
「環のスペクトル」も参照
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、決定的な定義を提唱し、実験的示唆と部分的な発展の出発点をもたらした。
彼は可換環のスペクトルをザキルキー位相での素イデアルの空間として定義したが、スペクトルを環の層とともに議論している。全てのザリスキー開集合へ可換環を対応させ、その集合の上に定義された「多項式函数」の環を考えた。
これらの対象は「アフィンスキーム」であり、次に一般的なスキームはいくつかのアフィンスキームを互いに「はり合わせる」ことにより得られる。一般的な多様体はアフィン多様体を貼り合わせることにより得られるという事実の類似である。
スキームの概念の一般性は、最初は批判された。幾何学的な解釈を直接持たないので除かれたスキームもあり、これらがスキームの概念の把握を困難にしていた。
しかしながら、任意のスキームを持つことはスキームの圏全体をより良い振る舞いをもつようになる。さらに、例えばモジュライ空間のように、自然な見方、考え方が「非古典的」なスキームへと導いていった。
多様体ではないこれらスキーム（単純に多様体から構成することができないスキーム）の出現は、古典的なことばで提出可能であった問題に対しても、この問題の新しい基礎付けが緩やかに受け入れられていった。
�
387:sエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)やデヴィッド・マンフォード(David Mumford)やミハイル・アルティン（英語版）(Michael Artin)による、 本来はモジュライ問題である代数的空間（英語版）(algebraic space)や代数的スタック（英語版）(algebraic stack)でのその後の仕事により、 さらに現代代数幾何学の幾何学的柔軟性を拡大していった。 グロタンディークは、スキームの一般化として、環付きトポスのあるタイプを提唱し、環付きトポスの次に彼が提唱した相対スキーム（英語版）(relative scheme)は、M.ハキム(M. Hakim)により開発された。 最近の高次代数スタック（英語版）(higher algebraic stack)やホモトピックな導来代数幾何学（英語版）(derived algebraic geometry)は、さらに幾何学的直感の到達範囲を拡大する必要があり、 ホモトピー理論に近い精神を代数幾何学へもたらす。
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 07:17:18.26 yHhmJJ+L.net
>>322 補足
>双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。
下記が分かり易い。（双対については、>>110微分 >>117-120 >>123テンソル などにもある）
URLﾘﾝｸ(www.f-denshi.com)
ときわ台学/線形代数/双対空間（双対ベクトル空間）: ２ 線形写像と双対空間 f-denshi.com 最終更新日： 0７/10/09 （少しだけ説明を追加しました。）
抜粋
ベクトル空間V上の線形写像全体の集合はベクトル空間であり，これをVの双対ベクトル空間(または双対空間)V*といいます。
やや抽象的な概念ですが基礎物理学（量子力学，素粒子論）から工学的な応用（散乱現象，線形応答）まで線形代数の関わるあらゆる分野に登場する重要な概念です。
［５］ これまででてきたことを一覧表にして比べます。（一覧表略。本文を見て下さい）
［６］ この表からは注目に値する対称性が見てとれますね。この表を基にしてもう一度，写像：
φ(x )＝｛χ1e^1＋χ2e^2＋･･･＋χne^n ｝( x^1e1＋x^2e2＋･･･＋x^nen )
＝ x^1χ1＋x^2χ2＋･･･＋x^nχn
を， ”左側の｛ ｝は関数，右側( )は変数” に由来するという先入観を捨て去って見てみると，
φ(x ) という関数記号の”読み方”として，
(A) χj を固定して，x^k を変数と見れば，
⇒ 写像φ，変数 x [φ： V→R］
(B) x^k を固定して，χj を変数と見れば，
⇒ 写像 x ，変数 φ [x ： V*→R］
の２とおりに同等の権利を持たせてもかまわないように見えるでしょう。特に，(B)の見方をすれば，演算＋，･のもとで，
「”写像 x ” は V*上の線形関数」
とみなすと主張することも可能です。
このような対称性を視覚的に強調するために，ベクトルの成分の添え字を x^n と上に書いたり，関数を展開するときの基底を e^j と書くような工夫が凝らされているのです。
なぜ，ベクトルやベクトル成分の添数字を上付きにするような記法が存在するのか分かっていただけたでしょうか？
おわり
389:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 07:30:27.32 yHhmJJ+L.net
>>333 補足
URLﾘﾝｸ(www.f-denshi.com)
ときわ台学/線形代数/双対空間（双対ベクトル空間）: ２ 線形写像と双対空間 f-denshi.com 最終更新日： 0７/10/09 （少しだけ説明を追加しました。）
抜粋
(3) φj(x )＝φj(x^1e1＋x^2e2＋･･･＋x^ nen )
＝ x^1φj(e1 )＋･･･＋x^nφj(en )
＝ x ^j
等のように変更されます。特に，３番目の射影 φj の定義式はデルタ関数[#]を用いて，
φj(ek )＝x ^jδj k
すなわち，
e ^j(ek )＝δj k
とスマートに表現することができます。
(抜粋引用おわり)
δj k は、デルタ関数とは言わない。クロネッカーのδです。リンクの[#]にはきちんと書いてある。ときわ台学さんも分かっているんだが。初心者が恥じかかないようご注意まで
390:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 07:40:52.99 yHhmJJ+L.net
>>333
ときわ台学さん、いいね。感動ものです
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:01:26.20 yHhmJJ+L.net
>>332 モジュライ空間
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数幾何学では、モジュライ空間(moduli space）とは（普通、スキーム、もしくは代数的スタック（英語版）(algebraic stack)）空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、
もしくは、そのような対象と同型類（英語版）(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。
そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり（例えば、決められた種数を持つ滑らかな代数曲線のような）へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化することができる。
この脈絡では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同じような意味に使われる。モジュライ空間は、初期には、対象の空間というよりはパラメータの空間として理解されていた。
目次
1 動機
2 基本的な例
2.1 射影空間とグラスマン多様体
2.2 周多様体
2.3 ヒルベルトスキーム
3 定義
3.1 詳細モジュライ空間
3.2 荒いモジュライ空間
3.3 モジュライスタック
4 さらなる例
4.1 曲線のモジュライ
4.2 多様体のモジュライ
4.3 ベクトルバンドルのモジュライ
5 モジュライ空間を構成する方法
6 物理学では
7 脚注
8 参考文献
9 外部リンク
つづく
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:03:55.29 yHhmJJ+L.net
>>336 つづき
動機
モジュライ空間は、幾何学的分類の結果を対象とする。つまり、モジュライ空間の点は、幾何学問題の解に対応する。
ここで別な解もあった場合は、この解が同型であるならば（幾何学的に同一ならば）、モジュライ空間の点としては同一の点となる。
モジュライ空間は問題のパラメータの普遍空間を与えるものと考えられる。
たとえば、合同を同一視してユークリッド平面のすべての円を求める問題を考えると、任意の円は一意に 3つの点を与えると一意に決定することができるので、対応は、3 対 1 である。
しかし、円は中心と半径で一意にパラメトライズできるので、2つの実パラメータと1つの正の実数のパラメータである。
ここでは「合同での同一視」にのみ注目しているので、同じ半径を持つ異なる中心をもつ円は同一視するので、半径だけで興味の対象をパラメトライズするに充分である。
従って、モジュライ空間は、正の実数の集合である。
モジュライ空間は、自然な幾何学的トポロジー的性質を持つ場合が多い。
円の例では、モジュライ空間は抽象的な集合ではないが、異なる半径の絶対値が、2つの円が「近さ」を決める計量となる。
モジュライ空間の幾何学的構造は、2つの幾何学的分類問題の解が近いか否かという局所的な構造を持っている一方で、込み入った大域的な構造も持っている。
（動機以下略）
つづく
393:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:06:11.70 yHhmJJ+L.net
>>337 つづき
物理学では
詳細は「モジュライ (物理学)（英語版）」を参照
モジュライ空間という用語は、時々物理学でも使われ、スカラー場の真空期待値のモジュライ空間を特別に意味したり、可能な弦の背景（英語版）(string background)のモジュライ空間を意味したりする。
モジュライ空間は、物理ではコホモロジカルな場の理論の中にも現れ、そこではファインマン経路積分を使い様々な代数的なモジュライ空間の交点数を計算する。
引用おわり
394:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:10:33.39 yHhmJJ+L.net
>>338
モジュライ (物理学)（英語版）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
395:%29 Moduli (physics) From Wikipedia, the free encyclopedia In quantum field theory, the term moduli (or more properly moduli fields) is sometimes used to refer to scalar fields whose potential energy function has continuous families of global minima. Such potential functions frequently occur in supersymmetric systems. The term "modulus" is borrowed from mathematics, where it is used synonymously with "parameter". The word moduli (moduln in German) first appeared in 1857 in Bernhard Riemann's celebrated paper "Theorie der Abel'schen Functionen"[1] Contents 1 Moduli spaces in quantum field theories 2 Moduli spaces of supersymmetric gauge theories 2.1 Allowed moduli spaces of 4-dimensional theories 3 References
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:14:34.72 yHhmJJ+L.net
>>339 補足
The term "modulus" is borrowed from mathematics, where it is used synonymously with "parameter".
意訳
用語"modulus"は、数学から借りたもので、「パラメータ」と同義的に使用される。
リーマンの論文が初出とありますね
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:23:14.90 yHhmJJ+L.net
>>339 補足
minimaは、minimumの複数形だね
この形で良く知られているのが、、data datumの複数形だね
なお、maxima maximum の複数形
398:１３２人目の素数さん
15/07/26 08:28:29.69 zK+eOO2b.net
どうしてもイデアルとか余剰環とかがわからないです
わかりやすく教えてください
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:31:42.12 yHhmJJ+L.net
>>336 戻る
モジュライ空間を構成する方法URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モジュライ函手（あるいは、もっと一般的にはグルーポイド（英語版）(groupoid)の中のファイバー化されたカテゴリ（英語版）(fibred category)）のことばで、
モジュライ問題の現代的な定式化とモジュライ空間の定義を行うことは、グロタンディェック(Grothendieck)(1960/61)にまで遡る。
その中で彼は、例として複素解析幾何学の中でタイヒミューラー空間（英語版）(Teichmuller space)を使い、一般的なフレームワークやアプローチや主要な問題を記述した。
特に、話の中では、まず第一にモジュライ問題を剛性化することで、モジュライ空間を構成する一般的方法を述べた。
さらに詳しくは、モジュライ空間を分類する非自明な対象の自己同型の存在が、詳細モジュライ空間を持つことを不可能とする。
しかし、もともとのデータに情報を付加し、付加した情報を髪して自己同型のみで同一視する方法をとって分類するという変形されたモジュライ問題を考えることがよくある。
剛性化された情報をうまく選択すると、変形したモジュライ問題は、（詳細）モジュライ空間 T をもつことがあり、適当なヒルベルトスキーム(Hilbert scheme)やクオットスキーム（英語版）(Quot scheme)の部分スキームとして記述されることがよくある。
剛性化している情報をさらに選ぶと、代数的構造群 G を持つ主バンドルと対応する。
このように、剛性化された問題から元来の問題へ、G の作用による商をとることにより戻ることができ、モジュライ空間を構成する問題が （ある強い条件を課した上で）G の作用での T の商 T/G であるようなスキーム（もしくはより一般的には空間）を見つける問題となる。
一般に最後の問題は解をもたないが、しかし、1965年にダヴィッド・マンフォード(David Mumford)により1965年に開発された画期的な幾何学的不変式論で指摘され、適当な条件の下で、実際、そのような商が存在することが示された。
続く
400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:34:07.51 yHhmJJ+L.net
>>342
どうも。スレ主です。
良い質問ですね
実は、私も分かっていない
なので、どこまで分かったのか、今の理解状況を書いてくれ。
401:一緒に勉強しよう！（＾＾
402:１３２人目の素数さん
15/07/26 08:39:13.03 zK+eOO2b.net
>>344
いや、煽りじゃなくて本気でわからないんです
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:41:51.03 yHhmJJ+L.net
>>343
>しかし、もともとのデータに情報を付加し、付加した情報を髪して
ここは誤変換だ。神だな（＾＾
つづき
これがどのようにして達成されたかを見るため、種数が g > 2 の滑らかな曲線をパラメトライズする問題を考える。
次数 d > 2g である完備一次系（英語版）(complete linear system)[1]は、射影空間 Pd?g の 1次元部分スキームに同値である。
結局、（ある条件を満たす）滑らかな曲線と一次系は、十分に高い次元の射影空間のヒルベルトスキームに埋め込めるであろうから、このヒルベルトスキームの中の軌跡 H は一次系の要素を変換する PGL(n) の作用をもつ。
滑らかな曲線のモジュライ空間は、従って、射影空間の一次系の群による H の商として再現される。
つづく
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:43:44.13 yHhmJJ+L.net
>>345
だから、どこまで分かったのかと
たしか、イデアルは環の概念だったはず。環論はどこまでやった？
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 08:46:18.42 yHhmJJ+L.net
>>343 つづき
別の一般的なアプローチとしては、最初に、ミカエル・アルティン（英語版）(Michael Artin)によるものがある。彼のアイデアは、分類された種類の対象から始め、それの変形理論（英語版）(deformation theory)を研究する。
このことは、最初無限小(infinitesimal)を構成し、それから予備表現可能定理(prorepresentability theorem)を示し、これらを形式スキーム（英語版）(formal scheme)の基底の上の対象へ写像する。
次にアレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)のグロタンディークの存在定理（英語版）が完備局所環である基底の上の求めていた対象をもたらす。
この対象は、アルティンの近似定理（英語版）(Artin's approximation theorem)を通し、有限生成環上の対象により近似できる。この後者の環のスペクトルは、求めているモジュライ空間のある種の座標チャートとみなすことができる。
これらのチャートを互いに貼り合わせて、空間を覆うことができるが、スペクトルの合併からモジュライ空間への写像は、一般には、多 対 1 の写像となる。従って、前者の上に同値関係を定義する。本質的にはもし両者が互いに同型な対象であれば 2点は同値である。
これがスキームと同値関係をもたらし、いつもスキームとなるとは限らないが、代数的空間（英語版）（実際は、注意深くすると、代数的スタック（英語版））を与える。
モジュライ空間を構成する方法おわり
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 10:02:39.98 yHhmJJ+L.net
>>347 環論をやってないんじゃ、イデアルの抽象的な定義を読んでもわからんぞ
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 10:10:09.16 yHhmJJ+L.net
忙しいので、書くよ
イデアルは、重要な概念らしい。抽象代数学（古いね言い方が・・）の代表格だ
数学で、わからんときの定石
１．具体例を考えてみる（これができる人はレベルが高い。おそらくすぐ分かる場合が多い）
２．ネット検索してみる（概念的な説明をさがす。あるいは、自分のレベルにあった説明をさがす）
３．歴史を知る。なぜそういう概念が必要になったのかなどを知る（これは結構「納得性」に有効。記憶にも残る）
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 10:16:12.37 yHhmJJ+L.net
ID:zK+eOO2b くんは、おそらく書く気が無いか、書けないか
１は無理なんだろう。で２へ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2010/4/417:43:43 イデアルとはなんですか？
wikiがややこしすぎるので感覚だけつかめるような説明をお願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答 sedrft1さん 2010/4/418:21:43
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
群で正規部分群って習いませんでした？
正規部分群があれば、もとの群をその正規部分群で割ることができ、剰余群を作ることができました。
これと同じように、環にイデアルが存在すれば、それで割って剰余環を作ることができます。環の割り算ですね。
ベストアンサー以外の回答 javac_a_javaさん 2010/4/418:12:59
いろいろな見方があります。
たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
体上のベクトル空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
環上のベクトル空間のことを加群といいますが、環自信を加群と見ることができます。
このときの部分加群のことをイデアルというわけです。
（引用おわり）
409:１３２人目の素数さん
15/07/26 10:20:59.56 sT4rNuo9.net
__ i`:. __ ウィエッホッホッホッホｗｗｗｗｗｗ
(__.`ー-::... ,rt': : :＼ ,::-'",...) ッホッホッホッホッホホーホｗｗｗｗ
,..::ア - ::::::）-:'':':'(|i(ﾟ):(ﾟ）ﾃ):-:-:-::､イ::: `┬-っ オホーホｗｗｗ
(,.::'",::' / ,....: : : : r'" ・・' く/i!: : : : :!､,:::::,<` `ニつ オーホホホホホーｗｗｗｗｗ
`-(_λ_/: : : : : ( ﾄｪｪｪｲ )/: : : : : : : : : ;,.,`::`つ イェッホーｗｗｗｗｗ
`-;;;;;;;:/i＼二二_／" : /＼;,;,;,;,;/ `'" ウッホホｗｗｗｗ
＼:.:.:.:/ `i , :く. アオーｗｗｗｗｗｗｗ
`i: :i : : !": : : ） ウッヒャッホーオｗｗｗｗｗｗｗ
r: :i DK:!-┬" ウッホッホッホッホｗｗｗ
r--`:､ ／000 ウッホッホｗｗｗ
000Ｏ" ウーホホホホホーｗｗｗｗｗｗ
410:１３２人目の素数さん
15/07/26 11:17:54.30 tiFlv/En.net
>>327-328
わたしの質問に対して丁寧な返答をわたしに与えたあなたにわたしの感謝をわたしはここに示します。
411:１３２人目の素数さん
15/07/26 11:20:15.42 bS1DnfWo.net
どこかで見たような芸風
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 11:50:55.01 yHhmJJ+L.net
>>353
どうも。スレ主です。
ID:zK+eOO2b くんじゃないね？ あるいはIDが変わったが同一人物？ どうも前者だと
まだ、回答は終わっていない
というか、これで分かるレベルじゃないと思ったが・・
>>351 つづき
ひどい回答だね。まあ、２件しかないから、どちらかをベストアンサーにしのかね？
まあ、２を続けよう
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2013-02-17 整数からイデアルへ
今年関わる予定の純粋数学の本(単著も共著もある）の何冊かでは、基本的に「数学をその思想面から見る」というテーマがある。
19世紀頃を境に数学は大きく変容したと考えられる。それは単純に「抽象化」と呼んでもいいけど、もっと真相を込めていうなら「その数学的素材に内在している本性をより引き出しやすい表現形式が掘り出されるようになった」ということなんだと思う。
数学的素材、例えば、数とか図形とかは、当初は人間の生活面から表出してくる。数は、モノを分けたり記録したりすることから、図形は土地や建物の計量から生じたと考えられる。
でも、それらを純粋に研究の対象としてみると、それらの出自とは遠く離れ、出自とは似ても似つかないある種の「本性」を備えていることが見えてくる。それは「何かが宿っている」と言っていいような本性なのである。
数学者たちは、そのような数学的素材に「宿る」本性を素直に引き出し、その本性が「こう操作してほしい」とささやく形式を生み出すようになった、と考えられるのだ。
「イデアル」が、そのような「本性」の１つだと言っていい。
つづく
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:16:15.36 yHhmJJ+L.net
>>355 訂正 どちらかをベストアンサーにしのかね？→どちらかをベストアンサーにしたのかね？ つづき イデアルは、19世紀の数学者クンマーがフェルマーの最終定理を証明しようとする試みの中で考え出した素材だが、最初は形式的でわけのわからない存在だったようだ。それに具体的な(とは言っても抽象的ではあるが）目鼻を与えたのが、やはり19世紀のデデキントだった。 イデアルは、簡単にいうと「倍数」という概念を抽象化した素材のことだ。例えば、整数の集合Zにおいて、「Zの部分集合Iがイデアルであること」は次のように定義される。 (イデアルの定義）：(i)xとyがIに属するなら、x+yもx－yもIに属する。(ii)xがIに属するなら、Zに属する任意のmに対してmxはIに属する。 要するに、「和と差と倍数に閉じている集合」がイデアル、ということである。 整数の集合Zにおいては、イデアルというのは、単に「何かの倍数の全体」と一致してしまう。つまり、任意の整数mに対して「mの倍数の集合」がイデアルとなり、他にはないのだ。このとき「mの倍数の集合」は(m)とカッコをつけた記号で記されるのが一般的である。 2の倍数から成るイデアルは(2)、3の倍数から成るイデアルは(3)、4の倍数から成るイデアルは(4)、と言った具合である。特に、イデアル(0)は0だけから成る集合{0}で、イデアル(1)は整数全体Zで、これらは特別なイデアルである。 なぜ、(n)というタイプのイデアルしかないか、というと理由は簡単。例えば、(0)でないイデアルIがあったとして、それが含んでいる最小の正の整数をnとすると、(ii)からIはnの倍数をすべて含んでいる。nの倍数以外の整数xを含むなら矛盾が起きることを説明しよう。 いま、xを越えない最大のnの倍数yもIに含まれ、(i)からx－yもIに含まれなければならない。しかし、x－yはnより小さい正の整数(具体的にはxをnで割った余り)となってしまうのでnの最小性に反してしまうのである。 イデアルの中で、とりわけ重要になるのは、「素数の倍数から成るイデアル」だ。素数をpとし、その倍数から成るイデアルI=(p)は、次の性質を備えている。 (性質1) 整数の積xyがイデアルIに含まれるなら、xかyの少なくとも一方はIに含まれる。 (性質2）イデアルIを包含するI以外のイデアルJ(I⊆JかつI≠Jということ)は整数全体Z(=(1))のみである。 つづく
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:19:49.20 yHhmJJ+L.net
>>350 つづき
(性質1)は素因数分解が一通りしかないから、xyが素数pの倍数ならxかyはpの倍数であることからわかる。(性質2)は、素数pの約数が±1か±pしかないことから、Iを包含するJはpを何かの倍数として含んでいるはずなので、(p)か(1)(=Z)しかないことからわかる。
(性質1）を持つイデアルは、「素イデアル」と呼ばれる。他方、(性質2)を持つイデアルは「極大イデアル」と呼ばれる。
整数の集合においてイデアルを考える場合は、素イデアルも極大イデアルも違いがない((0)という特別な素イデアルを除くなら、どちらも素数の倍数の集合)。
しかし、イデアルは、「足し算、引き算、掛け算という演算を持つ一般的な集合」、これは「環」と呼ばれるのだけれど、環一般で定義できるもので、他の環でイデアルを考えると「素イデアル」と「極大イデアル」には違いが出てくることになるのだ(後述)。
クンマーがイデアルを導入したのは、整数を複素数に拡張してフェルマー方程式(xのn乗＋yのn乗=zのn乗)を通常よりも細かく因数分解したい、という動機からだった。
例えば、ガウスは(整数)+(整数)i(iは虚数単位√(－1)のこと） というタイプの数を「虚数世界の整数」と定義した(ガウス整数と呼ばれる)。
このようなガウス整数の世界では、整数と同じように約数倍数が定義でき、素数も定義できる。しかも、素因数分解が一通り、ということまで成り立ってしまうのだ。
うまいことにこのとき、4次のフェルマー方程式(xの4乗＋yの4乗=zの4乗)は、(xの4乗)=(z－y)(z+y)(z-yi)(z+yi)とこなごなに因数分解され、これはガウス整数での掛け算の分解を意味している。
だから、ガウス整数における素因数分解の一意性を使うとxかyかは0でなければいけないことがそれほど大変じゃなく証明でき、フェルマーの最終定理の指数4の場合があっさり解決してしまうのであった。
つづく
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:25:20.81 yHhmJJ+L.net
>>357 訂正 350→356
つづき
当初は、この方法でフェルマーの最終定理のすべてのケースが解決すると思われてたんだけど、残念ながら、指数nによっては簡単にはいかないことが判明した。
それは、こういう「虚数世界に拡張した整数(1のべき乗根と有理数からなる体の整数環)」では、素因数分解の一意性が成り立たない場合がある、という恐ろしく直観に反するケースが出てきたからだったのだ。
そこで、クンマーは素因数分解の一意性を回復するために、もっと深い分解である「素イデアル分解」というのを編み出したのである。クンマーが導入した「形式的な数」にすぎないイデアルを、集合を使って具体物として成立させたのがデデキントの偉大なる貢献なのであった。
物語的に言うと、我々の日常の中に息吹く「整数」は、「虚数世界の中にもいるんだよ～」とささやきかけてくる。そのような整数の本性を捉えるには、素数ではなく「素イデアル」というものを考えるのが「自然な道筋」ということになるのだ。
つまり、素数という素材の本性はむしろイデアルという形式の中にある、ということだ。
このようにイデアルが数論の中で発展する一方で、代数幾何の中でもイデアルが重要な概念となることがみつかることとなった。これに気がついたのは、19世紀から20世紀にかけての数学者ヒルベルトだった。
当時、多変数の代数方程式たち(例えば、直線の方程式ax+by+c=0とか円の方程式(xの2乗)+(yの2乗)－c=0とか)の共通解の点集合の研究が進められていた。
つまり、高次の連立方程式の解集合が、空間の点集合としてどんな性質を持っているかを探し求めていたのである。例えば、n次方程式とm次方程式の共通解は一般にはmn個になる(ベズーの定理)など。
そこで、「連立方程式を考えるよりイデアルを考えたほうがより適切である」ということにヒルベルトが気付いたのだ。
つづく
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:27:31.29 yHhmJJ+L.net
>>358
つづき
例えば、f(x, y)=ax+by+cという多項式とg(x, y)=(xの2乗)+(yの2乗)－cという多項式を考えると、f(x, y)=0とg(x, y)=0という連立方程式の解は、(直線と円との交点だから)、
一般には2点{P, Q}となる。でも、f(x, y)とg(x, y)という二つの多項式のそれぞれの倍数の和で作られる多項式のイデアルI(つまり、fとgを含み、上記の(i)(ii)を満たす多項式の集合で最小のもの)を考えると、Iに含まれる多項式の共通の解も同じ{P, Q}となる。
なぜなら、多項式たちの共通の解というのは、和や差や倍数ではそのまま解であり続けるからだ。
ちなみに、高次多項式のイデアルは、整数のときとは異なり、「何かの倍数」だけには限られない。
例えば、1次式f(x, y)=x-1と1次式g(x, y)=y-2を含む最小のイデアルを考えると、それは(fの倍数)+(gの倍数)の集合となるのだけど、これはある多項式hの倍数の集合(h)という形式では書けないから。(だって、hは(x-1)と(y-2)の両方を割り切れなきゃならなくて、それは無理)。
実は、多項式たちのイデアルを考える利点はいくつもあるのだ。例えば、最初の利点として、次のことが挙げられる。
まず、高次の多項式の連立方程式の解の集合(何かのイデアルから定まる零点集合)をWとしよう。そして、逆に「Wの点すべてで零となる多項式の集合」を考える。
実は、この集合は上記の(i)(ii)を満たすから、イデアルを成す。このイデアルをI(W)と書くことにする。するとこのイデアルI(W)の共通の零点集合をとると、それはWに戻るのである。
つまり、零点の集合(空間内の図形)Wを定義する最も大きな連立方程式がイデアルI(W)なのである。これは、「飽和方程式系」と呼ばれるとのことである。
イデアルを考える次の利点は、上記で解説した「素イデアル」と「極大イデアル」がものをいうことにある。
つづく
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:29:31.54 yHhmJJ+L.net
>>359
つづき
まず、極大イデアルのほうの意味。これは、「Wが1点から成る集合であることと、I(W)が極大イデアルであることとが同値」ということに現れる。
つまり、1点を共通の解として持つイデアルのみが極大イデアルだ、いうことなのだ。これはあたりまえ
419:で、WがPとQという2点以上を含むとすれば、 Pだけを共通解とする多項式の集合としてのイデアルJは、明らかにWを共通解とする多項式の集合としてのイデアルI(W)を含んでいるから、I(W)は極大にはなれないからだ。 次に、素イデアルのほう。これは、「Wが図形として既約であることと、I(W)が素イデアルであることが同値」というふうに現れる。Wが既約というのは、Wがイデアルの共通解として定義される図形2つに分解されない、ということをいう。 別の言い方をすれば、WがW1とW2の合併で表されるならW1とW2は一方が他方を含む、ということ。既約じゃないものを可約と言って、可約な例を見るほうが話が早いかもしれない。 例えば、h(x, y)=xyという多項式とすると、h(x, y)=0の解は、xy=0だから、直線x=0と直線y=0を合併したものとなる。これは、多項式h1(x, y)=xの解と、多項式h2(x, y)=yの解をそれぞれ意味するから、h(x, y)=xyの解集合は2つの図形(直線x=0と直線y=0)に分解してしまう。 こういうのは可約であって、既約ではない、ということ。そして、「これ以上、図形が分解しない」ような解集合Wと「素イデアル」が対応する、ということになるのである。これは、まさに整数における素数に対応する性質と考えられるだろう。 ここまでくると、極大イデアルと素イデアルの違い(それは、整数のイデアルでは違いがなかった）がはっきりしてくる。極大イデアルは空間の1点1点に対応するもので、素イデアルは「これ以上、分解しない図形」に対応するもの、ということなのだ。 (1点も「これ以上分解しない図形」なので、当然、極大イデアルは素イデアルの一種となることもわかる)。 つづく
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:32:01.78 yHhmJJ+L.net
>>360
つづき
このように、高次多項式の連立方程式の解集合を空間内の図形として分析したい、という気持ちがある場合、それは連立方程式としてよりもイデアルとして扱うほうが自然で、「数学様が、そういうふうにイジッて欲しいようとほのめかしている」みたいだ、ということなのである。
こんなふうに言い表すと、「大げさだなあ」と言われてしまうかもしれないが、そうじゃない。グロタンディークという数学者は、この「数学様の欲求」に耳を貸してとんでもない着想を得たのだ。
それは、「極大イデアルが空間の1点と対応しているなら、逆に、極大イデアルの集まりが空間だと見なしてしまえる。だとしたら、一歩進めて、素イデアルの集まりを空間だと見なすこともできるのでないか」と。
そうして、素イデアルの集まりを「空間化」する方法に気がついた。これが、いわゆる「スキーム」というものなのだ。
スキームでは、例えば、素数の集合(=素イデアルの集合)を空間化してしまい、それはあたかも遠近感のある一本の曲線のようになっている、というわけなのだ。(というか、やっとそこまで勉強したところ。笑い。続きを勉強したらまた書くね）。
ブログにこんなに書いてしまって、本にしたとき買ってくれるのか、という心配もあるが、まあ、本にするときはもっと丁寧にわかりやすく説明する(式や図も入れる）から大丈夫だろう、と信じる。(書いてみたらめっちゃ長かった・・・ちかれた）。
まあ、こういう数学の解説が面白いと思うんだったら、以下の新書を読んでみてつかあさい。
数学入門 (ちくま新書)
作者: 小島寛之
出版社/メーカー: 筑摩書房
発売日: 2012/07
メディア: 新書
おわり
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:39:45.21 yHhmJJ+L.net
>>355-361
さすがの小島節だね
分かり易いし、訴えるものがある
ID:zK+eOO2b くんも、小島の数学入門 (ちくま新書)を買って読んでみなさい
大学の図書館にあれば、見てみなさい
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 12:50:57.22 yHhmJJ+L.net
>>362 追加
正確には、クンマーは理想数を考えたと言われる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史
クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。
そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl )
423: あるいは理想因子 (ideal Primfactor ) と名付けて、理想数の理論を築いた。 クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。 歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。 理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p ?進体の理論にも継承されている。
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 14:12:40.67 yHhmJJ+L.net
>>362 補足
さすがの小島節、””２．ネット検索してみる（概念的な説明をさがす。あるいは、自分のレベルにあった説明をさがす）”と”３．歴史を知る。なぜそういう概念が必要になったのかなどを知る（これは結構「納得性」に有効。記憶にも残る）”を兼ねた形になっている
ただ、２が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第
>>351は、あまり分かっていない人が書いたのだろう。理解が浅い
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 14:31:08.32 yHhmJJ+L.net
>>364 補足
>２が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第
そこで
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
イデアルは部分環の一種ですが，とても重要な概念ですので，わざわざ記事を一つ設けました．
[*]イデアルとはなんとも奇妙な名前です．英語では ideal と書きますので，英語式に発音すれば"アイディール"となります．
日本語の用語はドイツ語の Ideal から入って来ていますので，「イデアル」と読むのです．ドイツ語の発音には旧制高校風の趣があり，私はなかなか好きです．
イデアルの定義
環 R の部分環 I が次の性質を満たすとき， I を イデアル と呼びます．
I ⊂ R
環 R の任意の元 x と， I の任意の元 a に対し xa ∈ I がなりたちます．
イデアルは既に部分環なので，加法に関しては環 R の部分群になっています．乗法の条件が，すこぶる変わっています．『環 R に属するどんな元を取って来ても，イデアルの元との積はイデアルに含まれてします』というのですね．
[†]積を取れば何でも自分の元になってしまう，という代数的性質を吸収律と呼びます．そのままの命名ですね．
例２
整数環 Z で，偶数全体からなる集合はイデアルです．偶数同士の和，偶数同士の積は偶数になり，偶数だけで部分環になります．さらに，偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています．
一般に，整数環 Z で整数 m の倍数の全体 [m] はイデアルになります．
例３
Ｒ上の多項式環 R[x] で， x=1 を代入すると 0 になる多項式の全体 I={ f(x)|f(1)=0 \in R[x]} は，イデアルになります．確認してみて下さい．
数の概念を拡張して行けば，素数に相当する『これ以因数上分解できない数』に行き当たるだろうと考えたのです．クンマーはこれを理想数( ideal number )と名づけました．
クンマーの研究自体は当時の数論の延長といったものでしたが，デデキントがクンマーの理想数を抽象的概念にまで拡張しました．その時にイデアルという名前をそのまま継承したのが，この奇妙な名前の由来です．
この脚注で理想数の話題に深入りすることはできませんが，単項イデアルは整数に，単項イデアル以外のイデアルは理想数に対応し，整数の素因数分解の概念はイデアルを素イデアルに分解することに対応した抽象概念です．
426:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 15:54:38.34 yHhmJJ+L.net
>>365 つづき
体のイデアル
体のイデアルは自明なイデアル，つまり { 0} と体自身のみです．
逆に，環が { 0 } と環自身以外にイデアルを持たないとき，この環は体になります．この定理は環が体になる条件として重要です．
（抜粋引用おわり）
補足
>>365は、”数学で、わからんときの定石 １．具体例を考えてみる（これができる人はレベルが高い。おそらくすぐ分かる場合が多い）”>>350にもなっている優れものだ
おそらく、ID:zK+eOO2b くんは、おそらく書く気が無いか、書けないか
まあ、イデアルは大学で忙しく、大上段に定義から入って行くと、わからんだろう
上記を読んで、>>363で引用したwikipediaを読めば、かなり理解が進
427:むと思われる
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 16:10:36.67 yHhmJJ+L.net
>>355 補足
By hiroyukikojima
"19世紀頃を境に数学は大きく変容したと考えられる。それは単純に「抽象化」と呼んでもいいけど、もっと真相を込めていうなら「その数学的素材に内在している本性をより引き出しやすい表現形式が掘り出されるようになった」ということなんだと思う。"
"数学者たちは、そのような数学的素材に「宿る」本性を素直に引き出し、その本性が「こう操作してほしい」とささやく形式を生み出すようになった、と考えられるのだ。
「イデアル」が、そのような「本性」の１つだと言っていい。"
現代数学の定石がいくつかある
１．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える
（「きちんと対応がつく」ということの数学的定義が必要。”Well-defined”URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) かが問題）
２．商集合（例えば商群）を考える。ある部分集合を考えて、類別する。代数では演算が保存されることを要請する場合が多い。代表元の取り方に寄らないという要請も。
日常の例では、例えば高校の学年のクラス分けで、代表者に連絡すれば良いとかの類推でも考えて下さい。これも”Well-defined”確認要
３．１や２と関連するけれども、上記に適合する新しい概念を提出する。これも”Well-defined”確認要
「イデアル」は、上記の１～３が凝集された例なんだ
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 16:27:35.66 yHhmJJ+L.net
>>367 補足
「イデアル」：フェルマー予想 x^n+y^n=z^n で nが３以上の整数のとき、整数解は存在しない
これを、複素数まで範囲を広げて、因数分解を使って解くことを考えたクンマー先生>>365
理想数を導入した。これ、定石３>>367。が、”Well-defined”になるように、改良したのがデデキント先生
これは、定石１>>367の「きちんと対応がつく」だ。例えば、素数p vs "整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] ">>365だな
素数pに、"整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] "という集合が対応する。その類推で、理想数に対応して、イデアルという集合を考えればよかんべよ！と
これが、”Well-defined”かどうか、それは皆さんの宿題だ
そして、「イデアル」さまは、定石２でもあったのだ
>>355で、ひどい回答だねと言ったのはそういうこと。定石２しか言及してないじゃんか！と
430:１３２人目の素数さん
15/07/26 17:10:11.26 8eHnD6lX.net
はい、次は「イデアルを用いたフェルマー予想の特別な場合の証明」のpdfを
検索して貼ろう
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 17:36:07.91 yHhmJJ+L.net
それは趣味じゃないんでね
どうぞ、お願いします
432:１３２人目の素数さん
15/07/26 17:46:33.61 8eHnD6lX.net
正直すまんかった
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/26 17:52:36.71 yHhmJJ+L.net
どうも。スレ主です。
クンマー先生の因数分解アプローチがなぜうまくいかなかったのか？
ｎが正則な場合と、非正則な場合とで、分かれたと記憶しているけれども
フライ先生の楕円曲線アプローチは、奇想天外というかひらめきだよね
因数分解アプローチは、ｎが無限大の場合までの射程を持ち得なかった。そういうことなだろうと思うけれども、それがなぜなのか？ そこの理由がいまいち理解できないんだ
だれか知っている人います？
434:１３２人目の素数さん
15/07/27 08:29:13.61 7OKG+jU9.net
>>355
>2010/4/417:43:43 イデアルとはなんですか？
>wikiがややこしすぎるので感覚だけつかめるような説明をお願いします。
という>>351の問いに対しての回答は、分かった人間が書いてる。引用した
>いろいろな見方があります。
>たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
>体上のベクトル空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
>環上のベクトル空間のことを加群といいますが、環自信を加群と見ることができます。
>このときの部分加群のことをイデアルというわけです。
の回答は不正確ではあるが、簡単にするため標数0の条件を加えて
>いろいろな見方があります。
>たとえば環を体の一般化と捉えたときがもっとも簡単でしょう。
>(標数0の)体上の線型空間を考えるとき、その部分空間はとても大切な概念でした。
>単位元を持つ(標数0の)環R上の線型空間Vは、左(右)R加群でVは加群の例になり、
>Vは加群といえますが、更に環R自信を加群と見ることができます。
>このときのRの部分加群Vのことをイデアルというわけです。
とエスパーして読むと、回答として適切になる。
普通は標数が0でない体Kや単位元を持つ環R上の線型空間Vを考えるときは
Vのベクトルの成分が属する環或いは体は、Rの部分環かR自身を部分環に持つ環、
或いはKの部分体か拡大体として、これらの標数は0でないとする。
KやRがVに左(右)から作用したとき、左(右)K(R)加群Vのベクトルは
再びVのベクトルになるから、そうしないとベクトルの計算が出来ない。
435:１３２人目の素数さん
15/07/27 08:46:58.12 7OKG+jU9.net
>>355
訂正：>>37
436:3の(>>351に書いた)回答やエスパーした部分の「自信」は「自身」の間違い。 何か>>351を書いた人間は漢字間違いしてるみたいだ。漢字間違いまでは確認しなかったわ。 私が書いたときは「じしん」を漢字変換すると「自身」になったんだが。
437:１３２人目の素数さん
15/07/27 09:16:46.00 Ci6CVm4I.net
エスパーしすぎで何言ってんのか全然わかんないわ
「環自信を加群と見ることができます」って
環R自身を左（あるいは右）R加群と見るってことだろ
そのときの部分R加群がちょうどRの左（あるいは右）イデアルになるってことでしょうに
「環上のベクトル空間のことを加群といいますが」は
環上の加群は体上のベクトル空間の一般化だって言いたかったんじゃないの
直すなら「環上のベクトル空間”のようなもの”のことを加群といいますが」かな
438:１３２人目の素数さん
15/07/27 09:18:52.56 7OKG+jU9.net
>>355
まあ、>>373の下の「普通は…」以降の部分も
>普通は「標数p＞0」の体Kや単位元を持つ環R上の線型空間Vを考えるときは
>Vのベクトルの成分が属する環或いは体は、Rの部分環かR自身を部分環に持つ環、
>或いはKの部分体か拡大体として、これらの「標数もp」とする。
>KやRがVに左(右)から作用したとき、左(右)K(R)加群Vのベクトルは
>再びVのベクトルになるから、そうしないとベクトルの計算が出来ない。
と手直しした方がいいわな。「標数が0でない」だと何か不正確だ。
439:１３２人目の素数さん
15/07/27 10:03:42.07 7OKG+jU9.net
>>375
そうだね。>>373は
>このときのRの部分R加群Vのことをイデアルというわけです
と訂正して読んでも、dimV＝1を仮定して読んでもいいけど。
イデアルの定義上、後者の読み方の方が適切だろうね。
440:１３２人目の素数さん
15/07/27 13:22:54.64 7OKG+jU9.net
>>372
クンマーの手法というか、フェルマー予想の証明の詳細は知らんが、
フェルマー予想は或るn≧3なる自然数nに対して(x/z)^n＋(y/z)^n＝1
なる自然数x,y,zの組(x,y,z)∈N^3は存在するか？
と定式化出来て、そうして考えると、>>365のサイトの
>当初は、この方法でフェルマーの最終定理のすべてのケースが解決する
>と思われてたんだけど、残念ながら、指数nによっては簡単にはいかない
>ことが判明した。それは、こういう「虚数世界に拡張した整数(1のべき乗根
>と有理数からなる体の整数環)」では、素因数分解の一意性が成り立たない
>場合がある、という恐ろしく直観に反するケースが出てきたからだったのだ。
という部分を読む限りでは、文脈上は、クンマーの手法に従うと、有理整数環Zに虚数単位iを添加した
ガウス整数全体からなる環Z[i]上で指数が何れもnの3つの有理整数x^n、y^n、z^nの何れかを一意に
素因数分解する手法を取るのだから、Z[i]の商体、つまり有理数体Qにiを添加した体Q(i)上で1を一意に
素因数分解して考えることが出来るようになるが、この手法で1を体Q(i)上で一意に素因数分解しようとしても、
1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)－(4/5)i)＝((5/13)＋(11/13)i)((5/13)－(11/13)i)
の例からも分かるように、1は体Q(i)上で一意に素因数分解出来ないから、
体Q(i)上で1を一意に素因数分解する手法は通用しないことになる。
なので、元の、環Z[i]上でx^n、y^n、z^nの何れかを一意に素因数分解するという手法も通用しないことになる。
441:１３２人目の素数さん
15/07/27 13:27:17.81 7OKG+jU9.net
>>372
悪い悪い。>>378の
>1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)－(4/5)i)＝((5/13)＋(11/13)i)((5/13)－(11/13)i)
は
>1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)－(4/5)i)＝((5/13)＋(「12」/13)i)((5/13)－(「12」/13)i)
の間違いね。
442:１３２人目の素数さん
15/07/27 13:41:11.29 7OKG+jU9.net
>>372
あと、>>378の「素因数分解」は「既約元分解」とか「素元分解」の間違いね。
単純に「因数分解」と訂正した方が簡単だけど。素因数分解は素数のときにいうことを忘れてた。
443:１３２人目の素数さん
15/07/27 14:39:29.59 Ci6CVm4I.net
>>377
いや意味が分からない……
dimV=1ってどういう意味？
っていうかイデアルの定義分かってる？
444:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:00:12.26 7OKG+jU9.net
>>381
>dimV=1ってどういう意味？
そのまんま。イデアルの定義？
環Rの部分集合S≠φがRの加群の意味での部分群で、
両方共に任意のλ∈R、a∈Sに対してλa∈S
となるとき、SをRの左イデアルという。右イデアルも同様に定義する。
SがRの左イデアルかつ右イデアルなるとき、SをRの両側イデアル或いは簡単にイデアルという。
あくまでも元の質問者は「感覚だけつかめるような説明をお願いします。」と書いていることをお忘れなく。
445:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:35:54.59 7OKG+jU9.net
>>381
単位元1を持つ可換環Rの元を成分に持つ
n≧2次の行列の全体M(n;R)のようなモノでも考え出したか？
まあ、そういうことを考えれば、dimV＝1を仮定することは
不適切になるけどな。dimV＝1を仮定した方が簡単だろう。
446:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:44:20.55 Ci6CVm4I.net
>>382
え？VってR加群だと思ってたんだけど
＞あくまでも元の質問者は「感覚だけつかめるような説明をお願いします。」と書いていることをお忘れなく。
うん，もとのままでいいのにどんどんわかりにくくなってるね
環上の線型空間という独自用語をどういう意味で使ってる？
447:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:45:50.35 Ci6CVm4I.net
もう1回聞いた方がいいかな？dimV って何？
448:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:50:40.19 7OKG+jU9.net
>>384
>環上の線型空間という独自用語をどういう意味で使ってる？
そういうことは、回答者に聞かなきゃ分からんよ。
エスパーする限りでは単位元を持つ環R上の両側加群だな。
449:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:54:22.50 7OKG+jU9.net
>>384
訂正：>>386の「環R上の両側加群」は「環R上の両側R加群」な。
450:１３２人目の素数さん
15/07/27 15:56:56.99 7OKG+jU9.net
>>385
そのまんま。
451:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:14:19.68 7OKG+jU9.net
>>384-385
>え？VってR加群だと思ってたんだけど
単位元を持つ環R上の両側R加群Vでも、R＝V＝Z(Zは有理整数環)としたときとか、
dimV＝1になる例はちゃ～んとあるぞ。このときのVつまりZの基底は{1}な。
452:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:17:40.56 Ci6CVm4I.net
だから，dimV って何？ちゃんと定義してみ
できないからって具体例でごまかそうとするなよ
453:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:24:19.15 7OKG+jU9.net
>>390
環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表すだよ。
元の質問者は感覚的な説明を求めていたというのに、何そんなにムキになってんだよw
454:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:29:32.41 7OKG+jU9.net
>>390
>単位元1を持つ環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表す
だな。
455:１３２人目の素数さん
15/07/27 16:30:19.71 oBDrMeTf.net
お前らスレ主に無断で話を進めるな
456:１３２人目の素数さん
15/07/27 17:14:31.95 Ci6CVm4I.net
>>393
サーセンｗｗｗ
>>391
存在すら言えないからwell-definedでない
感覚的な説明なら階数なんて必要ないだろ何言ってんの？
R自身を左／右／両側R加群と見たときの部分加群がちょうど左／右／両側イデアルになるんだから。
一体どこから dimV=1 が出てきたのかさっぱり分からんわ
457:１３２人目の素数さん
15/07/27 20:06:33.57 R0dt0iix.net
エスパーすると dimV=1 って単項イデアルじゃないの？
一般にはイデアルは単項生成とは限らないんだけど
458:１３２人目の素数さん
15/07/27 22:25:24.94 tIT3iorb.net
>>1-1000
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459:１３２人目の素数さん
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460:１３２人目の素数さん
15/07/28 05:41:50.40 WIyR/jG2.net
>>394
>存在すら言えない
あ～、単位元1を持つ環が非可換環のとき不適切な定義になるか。じゃ～、>>392の定義は
>単位元1を持つ「可換」環R上の両側R加群Vの基底の濃度をVの次元といい、dimVで表す
と再度訂正な。これなら問題ないだろ。まあ、>>373では「標数0の条件を加えて 」エスパーしている訳で、
完備なアルキメデス付値体は実数体Rか複素数体Cに同型で、「単位元1を持つ(標数0の)環R」は、
アルキメデス付値体C(或いは実数体R)の単位元1を持つ部分環R'と同型になるから、
文脈上、>>392でも分かると思ったけどな。
461:１３２人目の素数さん
15/07/28 13:11:37.01 TG1SjIeU.net
エスパーすると両側は自由のつもりなんだろうな
462:１３２人目の素数さん
15/07/30 13:53:44.50 v8Ed3tsX.net
いくら低レベルにしても
名無しは釣れな～いｗ
463:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 22:56:27.22 qMTIsPL/.net
どうも。スレ主です。
いや～、難しい議論していますね
正直難しすぎで、つ�
464:｢ていけません
465:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 22:57:41.34 qMTIsPL/.net
エスパー元祖は、おっちゃんやね
おっちゃんの添削は、例のメンターさんかな？（＾＾
466:１３２人目の素数さん
15/07/31 22:59:47.60 EBMyh9qA.net
コピペの始まりは、土日の始まりです
467:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 23:07:23.11 qMTIsPL/.net
>>367 By hiroyukikojima
これ買った
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 ? 2014/5/16 小島 寛之 (著)
3 人中、3人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
可換環とホモロジー論の最高におすすめの名著です。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/6/16
たいがいの代数学の参考書は抽象的な定義・定理の羅列で無味乾燥で読んでもわかった気がしませんが
本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
高校生の時に円が方程式で表わされることを学んだように、
図形という幾何学的な「対象」を考察するのに代数学的な方法で方程式を調べる。
幾何学的な図形を方程式を使って調べるのが、環というものです。
方程式の「変数」は環の生成元に化け、「方程式」は生成元の交換関係に化けたと解釈する。
モノの対称性をあらわす（適切な）変換全体が群をつくるように、図形上の（適切な）関数の全体が可換な環をつくる。
単に集合の1対1かつ上への（対称）変換なら置換群で十分だが、ユークリッド幾何学の図形としての対称性では、ずらし（移動）や回転という変換群を考察することになる。
代数幾何学では幾何と代数で同じ対象を双対的にとらえて考察する。ここでは幾何（図形、つまり代数曲線）＝代数数方程式の解集合としてみる。代数曲線（2次元）、代数曲面（3次元かそれ以上）という幾何的な対象の研究が可換環という代数的対象の研究に帰着される。
平面の2次曲線、空間の球面、超平面などは代数的集合とよぶと
代数曲線や代数曲面をも含んだのがアフィン空間の代数的集合である。
『代数的集合とは有限個の多項式の共通零点の集合である』代数幾何学とはこのような集合の性質を研究することです。
なお可換環の中心概念はイデアルという倍数概念です。「21世紀の新しい数学」黒川と共著も解かりやすい。
可換環の二つ具体的対象物は代数幾何（多項式環）と整数論（代数体の整数環⇒Dedekind環）がある。
ネットで明治大「後藤研究室」の教科書ＰＤＦは必読です。
うれしいことに最近はyou tube動画で 整数・群論・方程式のやさしい解説が沢山あります。
他にも「なっとくする群・環・体」野崎、「ガロア理論の頂を踏む」石井 俊全、「線形代数のコツ」梶原 健が非常にわかりやすいので併読をおすすめします。
468:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 23:09:12.27 qMTIsPL/.net
>>404 補足
>本書はイデアルを一番わかりやすくかかれています。
さすがの小島節です。良いですよ
469:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/31 23:22:54.61 qMTIsPL/.net
>>404 >ネットで明治大「後藤研究室」の教科書ＰＤＦは必読です。
これか （PDFへのリンクあり）
URLﾘﾝｸ(www.commalg.jp)
教科書 | 後藤研究室（明治大学理工学部数学科）:
学部向け
ガロア理論
可換環論
代数学I(群論)
代数学3 2007年度明治大学代数学3講義用テキスト
入門代数学 2004年度北海道教育大学集中講義
代数概論 2005年度北海道教育大学集中講義
線形代数の手引き
2004年度卒業研究
大学院向け
正準加群
ホモロジー代数
その他
書評(Algebra, I. M. Gelfand and A. Shen著)
Knowledge Station 掲載
簡易辞書
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 07:38:57.95 tftR4opy.net
検索でヒットしたので、アップしておきます
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
川内 毅 東京工大
2005代数学演習Ａ第二
よく使われる記号 (pdf 33KB) URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
２年次代数の内容を解説した文書を作成しました． とりあえず環論の部分（増える可能性あり．形式的ベキ級数環とか，その他応用とか）で， いきなり第２章となっていますが，第１章は群論の予定です． 第３章の「加群」がようやく出来上がりました．
環論 (preview3, DVIPDFMx, 351KB, 2006/12/14)URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
加群 (preview1, DVIPDFMx, 605KB, 2007/1/31)URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
471:１３２人目の素数さん
15/08/01 11:59:31.65 f7CtCI4L.net
極大イデアルについて解説お願いします
472:１３２人目の素数さん
15/08/01 12:31:44.14 /40VUnYS.net
それで割ったら体、以上の解説は要らないだろ
473:１３２人目の素数さん
15/08/01 12:41:58.14 91w/ecbh.net
その証明がわからないんですよ
474:１３２人目の素数さん
15/08/01 13:50:31.60 b6y7ka94.net
代数の入門書嫁
475:１３２人目の素数さん
15/08/01 14:06:09.86 f7CtCI4L.net
読んでますよ
でもわかんない
そもそもイデアルってのがわからない
476:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 18:57:38.79 tftR4opy.net
>>412
どうも。スレ主です。
悪いことはいわんから、ともかく、数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)>>404を手にとってみな
買えと言いたいが、まあ、図書館なり書店でも。あるいは友人に借りる
それが、一番の近道だと
477:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 18:59:34.67 tftR4opy.net
>>413 つづき
それが結論だ
が、まあ、こんな不便な場所だし、どこまで語れるか分からないし、どこまであなたの理解が進むのかも分からないが、少し語ってみようか
478:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 19:14:24.98 tftR4opy.net
>>367で書いたが”現代数学の定石がいくつかある １．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”だ
昔、クンマー先生が、x^n+y^n=z^nの因数分解を考えて、理想数を導入したと>>368
それを見た、デデキント先生は、因数←→イデアル（因数の倍数*の集合)）という対応を考えれば、理想数を理解するのに良いんだと発想した
注*)”イデアル＝因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚で大体良いんだ。細かい点では、少し異なるが
だから、イデアルが分からなくなったら、”イデアル＝因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚に戻ること
Aを考える代わりにBで考える→因数を考える代わりにイデアル（因数の倍数*の集合)）で考えるのが良い
が、イデアルが分からなくなったら、逆の対応を考えるんだ
479:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 19:26:43.97 tftR4opy.net
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)（P25あたり）に書いてあることだが、少しかみ砕いて書く
６は、２ｘ３と因数分解される。だから、６という数には、因数２と因数３が含まれていると考えることができる
しかし、イデアルで考えると、包含関係は逆転するんだ
イデアル６は、イデアル２とイデアル３の両方に包含されている
まあ、イデアル２とイデアル３の重なり部分が、イデアル６だという見方もできる
ここで気がつくことだが、ある数の因数が多いと集合としてのイデアルは小さいってことだな
そこで、少し賢い人は気付く。自然数の世界では素因数に対応するイデアル（例えば上記のイデアル２やイデアル３）は、自然数以外の他のイデアルには含まれないってことを
つまり、これが極大イデアルの一番素朴な例だ。まずここを理解して、極大イデアル→その世界での素因数を考えること
そういうイメージを持ってみな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
例
整数環 Z の極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 19:27:11.59 tftR4opy.net
これで分からなければ、小島本よめ
481:１３２人目の素数さん
15/08/01 19:58:39.77 b6y7ka94.net
素因数の対応物は素イデアルだろ
単項イデアル整域では極大イデアルとの区別は無くなるが
482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 21:28:22.76 tftR4opy.net
>>418
どうも。スレ主です。良い質問ですね。それ本質的ですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された[1]。
このときすべてのゼロでない（整）イデアルは素イデアルの有限個の積として一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。
概型（スキーム）の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。
可換環に対して
局所化
A を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=A＼ P は積閉集合となる。S による A の局所化 S^{-1}A を A_P と書く。
これは PA_P を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 A_P/PA_P を k(P) などと書くこともある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単項イデアル整域
代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、仏: anneau principal）とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような（可換）整域のことである。
より一般に、任意のイデアルが単項イデアルであるような（零環でない）可換環を単項イデアル環と呼ぶ
（この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない）が、文献によっては（例えばブルバキなどでは）「主（イデアル）環」という呼称によって、ここでいう「単項イデアル整域」のことを指している場合があるので注意が必要である。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体
例
単項イデアル整域の例を挙げる。以下では可換環 R の元 a1, … an の生成するイデアルを (a1, …, an) = { r1a1 + … + rnan | ri ∈ R } と表す。
Z: 整数環[1]。
単項イデアル整域とならない整域の例を挙げる。
Z[X]: 整数係数の一変数多項式環。たとえばイデアル (2, X) は単項イデアルでない。
483:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/01 21:42:07.24 tftR4opy.net
>>419 つづき
”現代数学の定石がいくつかある １．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”>>415と書いた
Aを考える代わりにBで考える利点があるんだよ、実は・・
整数環 Z がわれわれが一番なじみのある世界だ。だから、ここに戻ってくるのが良いんだ。この世界は、単項イデアル整域>>419で、
”極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。”>>416
つまり、素数Pから生成されるイデアルは、素イデアルでもあり、極大イデアルでもある。言い換えると、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とは分離されていない世界なのだ
だからこそ、というか逆に、素数（あるいは素因子）の概念を、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とに分離して考えることができる。それこそが、イデアルを考える利点なんだ
詳しくは小島本を読んでください
484:１３２人目の素数さん
15/08/02 06:53:51.45 RAFKMDP7.net
コピペが少ない週末だな
485:１３２人目の素数さん
15/08/02 11:12:28.25 DqCbe0dU.net
熱暴走
486:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:32:27.12 RNEBrpg2.net
どうも。スレ主です。
小島本を読んで貰えれば、ここで書く必要もないのでね・・
小島本の良いところは、コンセプト（概念や思想）を書いてあるところだ
その対極が、ブルバキや和歌山大学教育学部 佐藤英雄か
例えば、「直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。それが本稿の立場である。」ｽﾚﾘﾝｸ(math板:124番)
あるいは、論理の厳密性命（下記）
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
ブルバキと「数学原論」 pdf 斎藤毅 (数学セミナー2002年4月号)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
「数学原論」のページを開いてみることにしましょう. まず本文をみてみると,
そこにあるのは, 定義, 定理, 命題とその証明の羅列です. いくらページをめくっても,
それが延々と続き, 目を休ませてくれるような図や表といったものもほとんどありませ
ん. 何故そういう定義をおくのかとか, どうしてこの定理は大事なのかとか, この命題
はどんな使い道があるのかといった説明もありません. 数学の厳密で正確な記述だけ
が, 淡々と続きます.
なぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし
た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうもので
あるかは, 各分冊の最初のページにある, 「この本の使い方」に書かれています. いく
つか抜粋します.
「この原論は数学をその第一歩から取扱い, 完全な証明をつける」
「叙述の仕方は公理的, 抽象的であり, 原則として, 一般から特殊へと進む」
「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」
「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も
含まれている」
完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:34:42.36 RNEBrpg2.net
>>423
いま、ブルバキ命という人は減った
が、まだ数学は厳密性命と思っている人もいる
それは半分正しい
が、ブルバキ（厳密性命）の限界も見えてきたのが２１世紀だ
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:39:02.24 RNEBrpg2.net
>>424
これが正しいかどうかは別として引用する
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。その理由の一つは、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用でなかったためである。
またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。
ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 16:52:23.36 RNEBrpg2.net
>>425
"ブルバキ（厳密性命）の限界も見えてきたのが２１世紀"の例として、やはり大きなものは物理からの影響だ
いろいろありすぎで、いちいち例示するのも大変
まあ、要するに、ブルバキ（厳密性命）の発想を超えた世界があるということを示す人たちが現れたってことかな
その代表者がWittenだろう URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
1990年 ICM-90--数学 第43巻第1号(1991)から
フィールズ賞受賞者紹介 E. Witten 氏の業績I 江口 徹 URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
E. Witten 氏の業績II 深谷賢治 URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:23:59.46 RNEBrpg2.net
>>426 つづき
乏しい見聞の記憶を辿れば
・リーマン予想のゼロ点の分布がガウス型ユニタリ・アンサンブル（GUE）にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ドナルドソンのYang-Millsゲージ理論を用いた理論 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ミラー対称性 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・AdS/CFT対応（これはまだ数学になってないかも） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・ソリトンも物理から URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
英語版が詳しい URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
・作用素環論（数理物理（特に量子力学）の定式化に使われる） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
その他、佐藤超関数も物理の影響大。そういえば、元のデルタ関数も物理からの輸入だし
これらは、ブルバキ（厳密性命）流では、到達はずっと後だったろう
山登りで言えば、山の頂が先に見えて、そこを目指して登っていった
ブルバキ（厳密性命）のやり方は、一歩ずつ歩けば、いずれ頂きには到達するんだと
確かに、ギリシャの原論（ユークリッド）の時代は正しいよ。低い山に登るならね
が、２１世紀に登る山は、富士山以上。場合によれば、アルプスやエベレスト級。無防備にふもとから徒歩で登る人はいない。そんなことをしたら人生を棒に振る
地図を見て、シェルパが居て、酸素ボンベや登山用具準備してという時代だと思うんだよね
繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論（ユークリッド）モデルは、低い山には通用する
491:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:26:52.61 RNEBrpg2.net
>>427 つづき
その点、小島本>>423や、ガロア本のCox>>272は、ブルバキの対極ではないかと
492:１３２人目の素数さん
15/08/02 17:33:38.51 pqOpLLOt.net
スレ主さんってオナニーするの？
493:１３２人目の素数さん
15/08/02 17:41:47.76 BI6sMQ4i.net
なんかブルバキを勘違いしてないか？
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:42:37.67 RNEBrpg2.net
>>428 つづき
あと、２０世紀に発展した脳科学（下記）。「90%以上の人では言語野は左半球にある」という
まあ、ブルバキ（厳密性命）流は、言語野だけで数学をやろうということだ
が、もっとイメージや概念（コンセプト）を大事にというのが、脳科学からのメッセージではないだろうか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
脳機能局在論
90%以上の人では言語野は左半球にある。
右脳・左脳論
脳機能局在論に関して、一般に広く知られる右脳・左脳論があり、これは左半球が言語や論理的思考の中枢であり、右半球が映像・音声的イメージや芸術的創造性を担う、という観念である。
発達心理学者のサイモン・バロン＝コーエンは、著書『共感する女脳、システム化する男脳』の中で、
男性は平均的に分析能力が高く、女性は平均的に共感能力が高いとしたうえで、
男性は大脳の右半球が早い時期から急速に発達するため空間把握・分析能力が高くなること、
一方、女性は幼児期の早い段階から言語認知に関して左脳の優位を示すため、コミュニケーションに長けて共感能力が高くなることを示した。
右半球と左半球をつなぐ脳梁を切断した分離脳の状態では、右半球を使う左目に絵を見せられても、見えるだけでそれが何かという論理的な認識ができない。
脳の右半球と左半球は脳梁に結合されて協調して認識を行う。
495:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:43:32.58 RNEBrpg2.net
では
496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 17:48:18.53 RNEBrpg2.net
そうそう、補足
>>427
>繰り返すが、ブルバキの目指したギリシャの原論（ユークリッド）モデルは、低い山には通用する
数学の厳密性を否定するつもりはないんだよ
ギャップがあれば、証明は完成していない
だから、厳密性は数学の基礎体力であることは確かだ
が、何人かの共同研究とか、佐藤幹夫みたく優秀な弟子を獲得して、共同でやるとかもありだろうね
497:１３２人目の素数さん
15/08/02 17:53:33.86 BI6sMQ4i.net
山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない
498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 18:12:18.31 RNEBrpg2.net
おっと、これも、検索でヒットしたので、備忘録にメモしておきます。なのかのご参考まで
ソリトンと逆散乱法のRobert M. Miura （Robert Mitsuru Miura）（日系人か）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 日URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
In 1967, Gardner, Greene, Kruskal and Miura discovered an inverse scattering transform enabling analytical solution of the KdV equation.[6]
6. Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967).
"Method for Solving the Korteweg?deVries Equation". Physical Review Letters 19 (19): 1095?1097. Bibcode:1967PhRvL..19.1095G. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Dr. Miura's research has spanned many subjects in the mathematical sciences.
His earliest contributions were on the topic of conservation laws for nonlinear wave equations.
Dr. Miura discovered an inverse scattering transformation known as the Miura Transformation for analytically solving the modified Korteweg?de Vries equation. This work helped establish the theory of solitons.
URLﾘﾝｸ(genealogy.math.ndsu.nodak.edu)
Mathematics Genealogy Project - Robert Mitsuru Miura
参考
The Korteweg-de Vries Equation: History, exact Solutions, and graphical Representation 2000 URLﾘﾝｸ(people.seas.harvard.edu)
Korteweg-de Vries Equation - The World of Mathematical 2004 URLﾘﾝｸ(eqworld.ipmnet.ru)
499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 20:05:12.57 RNEBrpg2.net
>>434
どうも。スレ主です。
”山登りでいえば、山の頂もそこまでの道のりも先に見えていて、
その道のりを淡々と書くのがブルバキの原論だ
新しい山を見つけるわけではない”
これは、当たっていると思う。が、ブルバキに対する批判にもなっていると思う
その当時では最新の（しかし過去の）数学を、過去の言葉で語ったものだと
でも、おそらくは、彼らの意図はそうではなくて、「現代的な教科書」の決定版のつもりだったろう
そうでなければ、「定年」は重視されなかったはず。単に過去を書くだけならね
しかし、私もブルバキの和訳を手に取ったことがあるが、「読めん」というか「合わない」と感じ
500:た ”厳密かつ公理的”というキーワード。これが、未来の数学でも最重要。彼らはそう思って、「現代的な教科書」の決定版を書こうとしたのだろうと思うのだ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Elements de mathematique) の執筆である。 元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。 最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。 定年 一説には、年齢を重ねたメンバーに対するテストとして、論理的には正しいが数学的には何の面白みもない「新理論」の話をもちかけ、「面白くない」と判断できないようであれば定年とする、という了解があった、という。
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/02 20:15:03.17 RNEBrpg2.net
>>436 つづき
一方で、２０世紀後半から２１世紀にはっきりしてきたこと
例えば、ゲーデルの不完全性定理＝集合論と厳密性と公理だけでは到達できない世界があるよと（下記）
人を取り巻く物理的な世界（素粒子論、超弦理論、ブラックホール理論など）と、人の思考（それは素朴な集合論を超えている・・）など、これらはブルバキの想定範囲を超えているということがはっきりしてきた２１世紀だと思うよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲーデルの不完全性定理
ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。
連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。
また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。
これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。
1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。
502:１３２人目の素数さん
15/08/02 20:54:05.82 BI6sMQ4i.net
>>436
結果は“過去の”ものかもしれないが言葉は新しいのを作ってるよ
例えば全単射とかフィルターとかはブルバキによるもの
過去の数学を現代的に書きなおすと言えばいいのかな
ただ原論のスタイルはそれを学ぶ動機付けに欠くものだから
そこを補わずに読むのはつらいだろうね
ブルバキについては高橋先生の訳した
シュプリンガー数学クラブのやつを読んでみるといいかも？
503:１３２人目の素数さん
15/08/02 21:34:34.15 oNpiAI89.net
小島本よめｗｗｗｗｗｗｗｗｗ