15/07/25 08:16:38.27 tAJoLOyr.net
>>310 局所環つづき
諸事実と諸定義
可換の場合
(R, m) で極大イデアル m をもつ可換局所環をあらわすことにする。可換局所環 (R, m) は m の冪全体を 0 近傍系の基とする位相（これを m-進位相と呼ぶ）により自然な方法で位相環となる。
二つの局所環 (R, m), (S, n) に対して、R から S への局所環準同型とは、環準同型 f : R → S であって、f(m) ⊆ n を満たすもののことを言う。(R, m), (S, n) を m-進位相, n-進位相でそれぞれ位相環と見れば、この位相に関して連続な環準同型が、局所環の準同型である。
位相環として見た場合に、 (R, m) は完備であるかという問いを与えることができるが、これは一般には正しくない。しかしその完備化はやはり局所環となる。
もし、 (R, m) が可換ネーター的局所環であるならば、
∩_{i=1}^∞ m^i = ｛0｝
が成り立つ（クルルの交叉定理）。したがって、R は m-進位相に関してハウスドルフ空間になる。
一般の場合
局所環 R のジャコブソン根基 m（これは R の唯一の極大左イデアルであり、また唯一の極大右イデアルである）は、ちょうど環 R の非可逆元の全体のなす R の唯一の極大両側イデアルである
（非可換環の場合、環が極大両側イデアルを唯一つしかもたないとしても、それはその環が局所環であるという意味にはならないということには注意が必要である）。
局所環 R の元 x について、以下のことはみな同値である：
x が左逆元を持つこと。
x が右逆元を持つこと。
x が単元であること。
x が R の唯一の極大イデアル m に属さないこと。
(R, m) を局所環とすると、商環 R/m は体である。 J が R に一致しない両側イデアルであるなら、商環 R/J は再び局所環で、その唯一の極大イデアルは m/J で与えられる。
アーヴィング・カプランスキー（英語版） の深度定理 (deep theorem) によれば、局所環上の射影加群は自由加群である。