現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14

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350:１３２人目の素数さん
 15/07/24 23:37:15.88 qVmPVR72.net
集合なき時代の数学

351:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
 15/07/25 05:45:01.15 tAJoLOyr.net
>>137 
>可換環論や代数幾何で現れる Spec(R) 
ここをちょっと補足 
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0 
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 
いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。 
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体 
目次 
1 導入 
1.1 定義 
1.2 簡単な例 
2 諸概念 
2.1 イデアルと剰余環 
2.2 局所化環 
2.3 素イデアルと素スペクトル 
3 環の準同型 
4 加群 
5 ネーター環 
6 環の次元 
7 可換環の構成 
7.1 完備化 
8 性質 
9 関連項目 
10 注釈 
10.1 出典 
11 参考文献

352:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
 15/07/25 05:54:38.57 tAJoLOyr.net
>>304 つづき 
> 2.3 素イデアルと素スペクトル 
素イデアルと素スペクトル 
詳細は「素イデアル」および「環のスペクトル」を参照 
特に重要な種類のイデアルとして、素イデアルがある（しばしば p あるいは p(ヒゲ文字)などで表す）。 
この概念が生じたのは、19世紀の代数学者が（'Z と異なり）素因数分解の一意性の成り立たない環をたくさん発見したことによる（素因数分解が一意な環は一意分解環と呼ばれる）。 
定義により、素イデアルは真のイデアルであって、環の二元 a, b の積 ab が p に属するならば必ず a か b のうちの少なくとも一方が p に属するという性質を持つものである（逆はイデアルの定義から任意のイデアルにおいて成り立つ）。 
このことは、剰余環 R/p が整域となることといっても同じである。 
また、p の補集合 R ? p が積閉集合になることと言い換えることもできる。このとき、局所化 (R ? p)?1R は独自の記法 Rp を持つ程に重要なもので、この環はただ一つの極大イデアル pRp を持つ。 
このように極大イデアルが唯一であるような環は局所環と呼ばれる。 
体は整域ゆえ、すでに述べたように極大イデアルは素イデアルである。 
イデアルが素であること、あるいは剰余環を考えれば同じことだが環が零因子を持たないことを示すことは、一般に非常に難しい問題である。 
つづく

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