15/06/26 14:31:23.83 QFXv9aba.net
>>26の訂正：確かにアレは超越数だった。→確かにアレは無理数だった。
やはり、理屈では超越数になるが、不可解な部分があるから、まだ超越性の真偽は未定にしておく。
スレ主は偏微分方程式がお好きなようだから、代数解析を挙げたなら、
普通の解析的な線形偏微分方程式のアプローチも挙げた方がいい。
基本的には、偏微分方程式の扱い方は同じ。代数的に扱うのが代数解析、
解析的に扱うのがフーリエ変換やシュワルツの超関数などを駆使した手法。
解析的手法の発展には、擬微分作用素を開発したヘルマンダーや
マスロフ理論のマスロフという人とかが関わっている。
まあ、代数解析とか詳細は知らんけど、或る意味ガロアの夢の実現なんでしょうね。
発展させた方の多くが丁度ガロアの夢の世代とかぶっている。
31:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/26 22:38:15.58 HmCIG+I3.net
どうも。スレ主です。
>>24 レスありがとう
>>26>>28 おっちゃん、どうも。お元気でなによりです
レスありがとうございます！
32:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 05:08:09.76 OGuofPc2.net
>>28
>マスロフ理論のマスロフという人とかが関わっている。
マスロフ理論は、初耳です
おっちゃん、ありがとう
検索したが、日本語ではあまり情報がヒットしないね
取りあえず下記
URLﾘﾝｸ(www.st.sophia.ac.jp)
理工学振興会会報 ソフィア サイテック No.9
1998年4月発行
ただいま研究中
TADAIMAKENKYUCHU 数学科
微分方程式の漸近解析
教授 内山 康一
(抜粋)
実多変数の漸近解析
実数の世界の線形偏微分方程式の接続の問題に関してはロシ アの数理物理学者のマスロフ氏が多変数のフーリエ変換と幾何 学を組み合わせた画期的な方法を量子力学の方程式をモデルと して1960年代に提案しました。
数学にも広い影響を与え、現在 では基本的な考え方の一つとして定着しています。私の偏微分 方程式の研究もマスロフ理論の応用の一例といえます。
マスロフ先生には数年前、上智大学数学科で講演された折り にお会いしましたが、96年に私がイギリスのブリストルで在外 研究していたとき図らずも再会できて研究交流をすることがで きました。
夢
いままで述べてきた実多変数と複素1変数の二つの理論の先 にマスロフ理論の複素解析版があるはずです。この解決は21世 紀への夢です。
最後に上のような研究に属さない「研究」に付いて一言。数 学を学生に伝えるとき、正確に分かりやすくなるように、さら に、学生自身もそのような伝え手になれるように普段の講義や セミナーで工夫をしてきました。
主観的にはこれも「ただいま 研究中」です。内容・形式ともに会心の講義をすることが私の もう一つの夢です。
33:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:13:13.47 OGuofPc2.net
>>28
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラース・ヘルマンダー（Lars Hormander, 1931年1月24日 - 2012年11月25日）はスウェーデンの数学者。
現代的な意味合いでの線型微分方程式の最大の貢献者。初期の業績である方程式の定数係数の理論によって1962年にフィールズ賞を受賞した。
フィールズ賞受賞後、現代解析学における主要な道具の創始者として中心的役割を果たし、特に擬微分作用素とフーリエ積分作用素において大きく貢献し、その応用に関して決定的な業績を上げた。
その他にも多変数複素解析学、調和解析、ナッシュ・モーザーの陰関数定理（英語版）、散乱理論、非線型双曲型方程式、準楕円型偏微分方程式の解析などにおいて大きく貢献している。
ヘルマンダー学派なるものも存在し佐藤学派と鎬を削ったこともあった（結果的には、超局所解析学では佐藤学派に後塵を拝した）。
34:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:15:22.35 OGuofPc2.net
>>28 英語版がかなり章立てが違う。文献が充実している
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分方程式
線型微分方程式の研究は歴史が長くヘルマンダー等がそのひとつの頂点であろう[要追加記述]。
それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。
例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Differential equation
Contents
1 History
2 Example
3 Main topics
3.1 Ordinary differential equations
3.2 Partial differential equations
4 Linear and non-linear
4.1 Examples
5 Existence of solutions
6 Related concepts
7 Connection to difference equations
8 Applications and connections to other areas
8.1 In general
8.2 In physics
8.3 In biology
8.4 In chemistry
8.5 In economics 以下略
35:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:23:01.09 OGuofPc2.net
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
解析学における擬微分作用素（ぎびぶんさようそ、英: pseudo-differential operator）は、微分作用素の一般化するものである。
1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程・ディリクレ形式（英語版）・ポテンシャル理論との関わりも深い。
物理学では量子力学や量子統計力学と関係がある。
目次
1 導入
2 定義
3 例
3.1 微分作用素
3.2 熱作用素
3.3 分数的ラプラシアン
3.4 （1?ラプラシアン）の平方根
4 性質
5 擬微分作用素の積分核
6 参考文献
7 関連項目
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematical analysis a pseudo-differential operator is an extension of the concept of differential operator.
Pseudo-differential operators are used extensively in the theory of partial differential equations and quantum field theory.
Contents
1 History
2 Motivation
2.1 Linear differential operators with constant coefficients
2.2 Representation of solutions to partial differential equations
3 Definition of pseudo-differential operators
4 Properties
5 Kernel of pseudo-differential operator
6 See also
7 Further reading
8 References
9 External links
36:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:40:02.23 OGuofPc2.net
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
性質
滑らかな有界函数係数の m-階線型微分作用素は m-階の擬微分作用素である。
二つの擬微分作用素 P, Q の合成 PQ はふたたび擬微分作用素であり、PQ の表象は P および Q の表象を用いて計算することができる。
擬微分作用素の随伴および転置はまた擬微分作用素である。
m-階微分作用素が楕円型かつ可逆ならば、逆作用素もまた ?m-階の擬微分作用素で、表象はもとの微分作用素の表象から計算できる。
これはつまり、楕円型線形微分方程式は擬微分作用素論を用いて陰に陽に解くことができるということである。
微分作用素が（その振舞いを知るのにある点の近傍での函数の値しか必要としないという意味で）「局所的」であるのに対し、擬微分作用素は「擬局所的」である。
これは厳密さをさておけ�
37:ﾎ、シュヴァルツ超函数が滑らかな点においてそれに擬微分作用素を作用させたものは特異点を生まないという意味である。 微分作用素が D = ?i(d/dx) を用いて p(x, D) なる形の D を変数とする多項式 p（つまり表象）で表されるのと同様に、擬微分作用素はより一般の函数のクラスに表象を持つ。 しばしば擬微分作用素に関する解析学を、その表象を含む代数的な問題の列に帰着することができる。 このことは超局所解析の本質である。
38:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:42:21.78 OGuofPc2.net
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超局所解析
数学の解析学の分野における超局所解析（ちょうきょくしょかいせき、英: microlocal analysis）とは、変数係数の線型および非線型偏微分方程式の研究に関するフーリエ変換に基づく、1950年代以後に発展した技術を伴う解析のことを言う。
超函数や、擬微分作用素、波面集合（英語版）、フーリエ積分作用素、振動積分作用素、パラ微分作用素の研究などが含まれる。
「超局所」（microlocal）という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。
このことは、次元が 1 よりも大きい多様体に対して、重要な意味を持つ。
外部リンク
lecture notes by Richard Melrose
newer lecture notes by Richard Melrose
39:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:44:15.19 OGuofPc2.net
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
余接空間
微分幾何学において、滑らかな（あるいは可微分）多様体の各点 x に x における余接空間 (cotangent space) と呼ばれるベクトル空間を取り付けることができる。
余接空間は、より直接的な定義があるが（下記参照）、典型的には、x における接空間の双対空間として定義される。
余接空間の元は余接ベクトル (cotangent vector) あるいは接余ベクトル (tangent covector) と呼ばれる。
目次
1 性質
2 正式な定義
2.1 線型汎関数としての定義
2.2 代替的定義
3 関数の微分
4 滑らかな関数の引き戻し
5 外冪
6 参考文献
40:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:46:45.79 OGuofPc2.net
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cotangent space
From Wikipedia, the free encyclopedia
In differential geometry, one can attach to every point x of a smooth (or differentiable) manifold a vector space called the cotangent space at x.
Typically, the cotangent space is defined as the dual space of the tangent space at x, although there are more direct definitions (see below).
The elements of the cotangent space are called cotangent vectors or tangent covectors.
Contents
1 Properties
2 Formal definitions
2.1 Definition as linear functionals
2.2 Alternative definition
3 The differential of a function
4 The pullback of a smooth map
5 Exterior powers
6 References
41:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:50:00.02 OGuofPc2.net
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外冪
余接空間の k 次外冪 (exterior power)、Λk(Tx*M) と表記される、は微分幾何学の別の重要な対象である。k 次外冪のベクトル、あるいはより正確には余接束の k 次外冪の断面は微分 k-形式と呼ばれる。
それらは k 個の接ベクトル上の alternating 多重線型写像（英語版）と考えることができる。
この理由のため、接余ベクトルはしばしば1-形式 と呼ばれる。
42:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 06:59:39.14 OGuofPc2.net
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1-形式
線型代数学において、ベクトル空間上の 1-形式 (one-form) はその空間上の線型汎関数と同じである。この文脈における 1-形式の使用は通常その空間上の高次の多重線型関数から 1-形式を区別する。詳細は線型汎関数 (linear functional) を参照。
微分幾何学において、可微分多様体 (differentiable manifold) 上の 1-形式 (one-form) は余接束の滑らかな断面である。同値だが、多様体 M 上の 1-形式は M の接束の全空間のR への、各ファイバーへの制限が接空間上の線型汎関数であるような滑らかな写像である。
しばしば 1-形式は特に局所座標（英語版）において局所的に（英語版）記述される。局所座標系において、1-形式は座標の微分の線型結合である：
α_x = f_1(x) dx_1 + f_2(x) dx_2+ ・・・ +f_n(x) dx_n
ただし fi は滑らかな関数である。この観点から、1-形式は 1 つの座標系から別の座標系へとうつるときに共変変換法則をもつ。
目次
1 例
1.1 線型
1.2 微分
2 関数の微分
3 関連項目
4 参考文献
線型
多くの実世界の概念は 1-形式として記述できる：
関数の微分
ド・ラーム（英語版）複体の言葉で言えば、0-形式（スカラー関数）から 1-形式への割り当て、すなわち f→df をもっている。
43:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 08:05:37.58 OGuofPc2.net
>>24
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学では、モノドロミー (monodromy) は、解析学、代数トポロジー、代数幾何学や微分幾何学の観点から特異点の周りで対象がどのように振舞うかを研究する。
名前が意味しているように、モノドロミーの基本的な意味は、「ひとりで回る」という意味である。
被覆写像と被覆写像の分岐点への退化とは密接に関係している。
モノドロミー現象が生ずることは、定義したある函数が一価性に失敗することを意味し、特異点の周りを回る経路を動くことである。
このモノドロミーの失敗は、モノドロミー群を定義することによりうまく測ることができる。
モノドロミー群は、「回る」ことに伴い起きることをエンコードするデータに作用する群である。
目次
1 定義
2 例
3 複素領域での微分方程式
4 位相的側面と幾何学的側面
4.1 モノドロミー亜群と葉層
5 ガロア理論を経由した定義
6 関連項目
7 脚注
8 参考文献
ガロア理論を経由した定義
F(x) で体 F 上の変数 x の有理函数の体を表す。これは多項式環 F[x] の分数体である。F(x) の元 y = f(x) は、有限次拡大 [F(x) : F(y)] を決定する。
拡大は一般的にはガロア拡大ではないが、ガロア閉包 L(f) を持っている。体の拡大 [L(f) : F(y)] に付帯するガロア群を f のモノドロミー群と呼ぶ。
の場合には、リーマン面の理論は、上記に述べた幾何学的解釈が成り立つ。体の拡大 [C(x) : C(y)] が既にガロア的であれば、付帯するモノドロミー群は、デック変換群と呼ばれることもある。
このことは、被覆空間のガロア理論に関連していて、リーマンの存在定理を導く。
44:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 08:08:26.58 OGuofPc2.net
関連抜粋
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology and algebraic and differential geometry behave as they 'run round' a singularity.
As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from 'running round singly'.
It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification;
the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we 'run round' a path encircling a singularity.
The failure of monodromy is best measured by defining a monodromy group: a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we 'run round'.
Contents
1 Definition
2 Example
3 Differential equations in the complex domain
4 Topological and geometric aspects
4.1 Monodromy groupoid and foliations
5 Definition via Galois theory
6 See also
7 Notes
8 References
Definition via Galois theory
Let F(x) denote the field of the rational functions in the variable x over the field F, which is the field of fractions of the polynomial ring F[x]. An element y = f(x) of F(x) determines a finite field extension
45: [F(x) : F(y)]. This extension is generally not Galois but has Galois closure L(f). The associated Galois group of the extension [L(f) : F(y)] is called the monodromy group of f. In the case of F = C Riemann surface theory enters and allows for the geometric interpretation given above. In the case that the extension [C(x) : C(y)] is already Galois, the associated monodromy group is sometimes called a group of deck transformations. This has connections with the Galois theory of covering spaces leading to the Riemann existence theorem.
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 08:15:01.51 OGuofPc2.net
似たようなことを以前も書いたね（下記）。では
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:191番)
191 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/01/12(月) 20:39:38.05 ID:AWavoP3p [14/16]
>>190 関連
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編
2011-06-10(金) モノドロミーグラフとか
抜粋（モノドロミー（monodromy）の語源）
モノドロミー（monodromy）の語源は、run round なので、グルッと一周したときの量に形容詞として「モノドロミー」を付けるのは許されるでしょ。
似た(?)用語でホロノミー（holonomy）もあるけど、モノドロミーが先に思いついたのでモノドロミーを使う。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Monodromy
抜粋
In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology and algebraic and differential geometry behave as they 'run round' a singularity.
As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from 'running round singly'.
It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification;
the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we 'run round' a path encircling a singularity.
The failure of monodromy is best measured by defining a monodromy group: a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we 'run round'.
47:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 18:25:02.27 OGuofPc2.net
>>24 関連
リーマン・ヒルベルト対応
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
第21問題／ヒルベルトの23の問題
与えられたモノドロミー群をもつ線型微分方程式の存在証明
リーマン・ヒルベルト問題とも呼ばれる。フレドホルムの積分方程式に関するヒルベルトの研究を応用して、1908年にプレメルヒが積分方程式の問題に再定式化して、肯定的に解決。
1913年にバーコフがリーマン･ヒルベルト問題とは気づかずに別証明を与えた。
だが、1989年にアノゾフとボリブルヒが正則であるがフックス型でない微分方程式系があることを示して、プレメルヒとバーコフの証明の誤りを明らかにし、リーマン・ヒルベルト問題が否定的に解決されることを証明した。
モノドロミー表現が既約である場合にだけ、リーマン･ヒルベルト問題は肯定的に解決される。
48:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 18:30:17.21 OGuofPc2.net
へへ、英文だと違うね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
For Riemann?Hilbert factorization problems on the complex plane see Riemann?Hilbert.
The twenty-first problem of the 23 Hilbert problems, from the celebrated list put forth in 1900 by David Hilbert, concerns the existence of a certain class of linear differential equations with specified singular points and monodromic group.
History
This problem is more commonly called the Riemann?Hilbert problem.
There is now a modern (D-module and derived category) version, the 'Riemann?Hilbert correspondence' in all dimensions.
The history of proofs involving a single complex variable is complicated. Josip Plemelj published a solution in 1908.
This work was for a long time accepted as a definitive solution; there was work of G. D. Birkhoff in 1913 also,
but the whole area, including work of Ludwig Schlesinger on isomonodromic deformations that would much later be revived in connection with soliton theory, went out of fashion.
Plemelj (1964) wrote a monograph summing up his work.
A few years later the Soviet mathematician Yuliy S. Il'yashenko and other
49:s started raising doubts about Plemelj's work. In fact, Plemelj correctly proves that any monodromy group can be realised by a regular linear system which is Fuchsian at all but one of the singular points. Plemelj's claim that the system can be made Fuchsian at the last point as well is wrong. (Il'yashenko has shown that if one of the monodromy operators is diagonalizable, then Plemelj's claim is true.) つづく
50:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 18:31:35.85 OGuofPc2.net
つづき
Indeed Andrey A. Bolibrukh (1990) found a counterexample to Plemelj's statement.
This is commonly viewed as providing a counterexample to the precise question Hilbert had in mind;
Bolibrukh showed that for a given pole configuration certain monodromy groups can be realised by regular, but not by Fuchsian systems.
(In 1990 he published the thorough study of the case of regular systems of size 3 exhibiting all situations when such counterexamples exists.
In 1978 Dekkers had shown that for systems of size 2 Plemelj's claim is true.
Andrey A. Bolibrukh (1992) and independently Vladimir Kostov (1992) showed that for any size, an irreducible monodromy group can be realised by a Fuchsian system.
The codimension of the variety of monodromy groups of regular systems of size n with p+1 poles which cannot be realised by Fuchsian systems equals 2(n-1)p (Vladimir Kostov (1992)).)
Parallel to this the Grothendieck school of algebraic geometry had become interested in questions of 'integrable connections on algebraic varieties', generalising the theory of linear differential equations on Riemann surfaces.
Pierre Deligne proved a precise Riemann?Hilbert correspondence in this general context (a major point being to say what 'Fuchsian' means).
With work by Helmut Rohrl, the case in one complex dimension was again covered.
（引用おわり）
要するに、日本語の記事の結論間違っているみたい
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 19:28:18.16 OGuofPc2.net
>>24
層
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における層（そう、英: sheaf, 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの張り合わせ可能性によって定式化される。
より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層（ぜんそう、presheaf）とよばれる。
目次
1 定義
1.1 前層
1.2 層
1.3 射
2 例
2.1 多様体上の層
2.2 層ではない前層
3 前層の層化
4 層の順像函手、逆像函手
5 層の茎
6 環付き空間と局所環付き空間
7 加群の層
7.1 加群の層の有限性条件
8 層のエタール空間
9 大域切断
9.1 例
9.2 大域切断函手
10 層コホモロジー
11 サイトとトポス
12 歴史
13 関連項目
14 参考文献
15 外部リンク
52:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 19:35:36.04 OGuofPc2.net
歴史
層の理論の起源をたどるのは容易ではない。はっきりと認識できる独立した層の理論がコホモロジーの基礎的な研究から生じるまでには約15年を要した。
層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中のジャン・ルレーによる偏微分方程式の研究だと言われている。
その後、アンリ・カルタンのセミナーで形式的な整備が進められた。さらに任意の係数体 (coefficient field) 上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、1955年にジャン＝ピエール・セールによって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。
ほかに層が決定的に用いられる理論と�
53:ｵて佐藤幹夫らに端を発する偏微分方程式系の解析（D-加群の理論）があげられる。 1936年 - エドゥアルド・チェック（英語版）(Eduard ?ech)は開被覆と単体と結びつけて、脈体構成を導入した。 1938年 - ハスラー・ホイットニー（英語版）(Hassler Whitney)はジェームズ・アレクサンダー（英語版）(James Waddell Alexander II)、アンドレイ・コルモゴロフが初めてコチェイン(cochain)を定義して以来の研究を要約してコホモロジーの'現代的な'定義を与えた。 1943年 - ノーマン・スティーンロッド（英語版）(Norman Steenrod)による局所係数（英語版）(local coefficients)を持つホモロジーに関する発表。 1945年 - ジャン・ルレイ（英語版）(Jean Leray)は偏微分方程式論への応用で不動点定理を証明するために戦争の捕虜時代に行った研究成果を発表した。これは層理論とスペクトル系列（英語版）(spectral sequence)の出発点となった。 1947年 - アンリ・カルタンは、アンドレ・ヴェイユと連絡を取りながら、層の方法によってド・ラームの定理を改めて証明した（ド・ラーム＝ヴェイユの定理（英語版）(De Rham-Weil theorem)参照）。ルレイは彼の講義において閉集合を通じて層の定義を与えた。 1948年 - カルタンのセミナーで層の理論が初めて記述された。 1950年 - "第二版"の層理論がカルタンのセミナーで作られた。茎のような (stalkwise) 構造を持つ層空間 (en, espace etale) の定義が使われ、台と台を持つコホモロジーが導入された。 また、連続写像はスペクトル系列を生じた。同時期に岡潔は多変数複素函数論においてイデアルの層のアイデア（に近いアイデア）を導入した。 つづく
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 19:37:27.07 OGuofPc2.net
つづき
1951年 - カルタンのセミナーでカルタンの定理 A, Bが岡潔の研究に基づいて証明された。
1953年 - 解析理論における連接層についての有限性定理がセールの双対定理と同様にカルタンおよびジャン＝ピエール・セールによって証明された。
1954年 - セールの論文Faisceaux algebriques coherents（1955年掲載）は層を代数幾何学に導入した。
これらのアイデアは直ちにフリードリヒ・ヒルツェブルッフ（英語版）(Friedrich Hirzebruch)によって使われた。彼は1956年に位相幾何学の手法についての有名な本を記した。
1955年 - アレクサンドル・グロタンディークはカンサスのレクチャーにおいてアーベル圏および前層 (presheaf)を定義し、単射分解（英語版）(injective resolution) を用いることで層コホモロジーを導来関手としてすべての位相空間に直接用いることを可能にした。
1956年 - オスカー・ザリスキがレポートAlgebraic sheaf theoryを発表。
1957年 - グロタンディークのTohoku論文はホモロジー代数を書き直した。彼はグロタンディーク双対 (en, 例えば場合によっては特異点代数多様体についてのセール双対）を証明した。
1957年 - 前進：グロタンディークは層理論を代数幾何学の必要性に応じて拡張した。これにはスキームとそれらの上の一般的な層、局所コホモロジー (en)、導来圏 (J.L. Verdierと共同研究)、およびグロタンディーク位相が含まれる。
ホモロジー代数におけるグロタンディークによる影響力の大きい'six operations'も芽生えた。
1958年 - ロジェ・ゴドマン (en) の層理論に関する本が出版された。この頃、佐藤幹夫は佐藤の超函数を提唱した。これは層理論的な性質を持つことがわかった。
この時点で、層は代数的位相幾何学に制限されずに使われるようになり、数学の主流の分野となった。
後に、層の圏における論理は直観論理であることが発見された（この観測は現在はクリプキ＝ジョイアル意味論 (en)としてよく言及されるが、おそらくは多くの著者の貢献による
55:）。 このことは、層理論の様相のいくつかはゴットフリート・ライプニッツにまでさかのぼることができることを示している。 （引用終わり）
56:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 19:41:17.00 OGuofPc2.net
英文
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
History
The first origins of sheaf theory are hard to pin down ? they may be co-extensive with the idea of analytic continuation[clarification needed].
It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on cohomology.
1936 Eduard ?ech introduces the nerve construction, for associating a simplicial complex to an open covering.
1938 Hassler Whitney gives a 'modern' definition of cohomology, summarizing the work since J. W. Alexander and Kolmogorov first defined cochains.
1943 Norman Steenrod publishes on homology with local coefficients.
1945 Jean Leray publishes work carried out as a prisoner of war, motivated by proving fixed point theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spectral sequences.
1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with Andre Weil (see De Rham-Weil theorem). Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later carapaces).
1948 The Cartan seminar writes up sheaf theory for the first time.
1950 The "second edition" sheaf theory from the Cartan seminar: the sheaf space (espace etale) definition is used, with stalkwise structure.
Supports are introduced, and cohomology with supports. Continuous mappings give rise to spectral sequences. At the same time Kiyoshi Oka introduces an idea (adjacent to that) of a sheaf of ideals, in several complex variables.
つづく
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 19:44:53.85 OGuofPc2.net
つづき
1951 The Cartan seminar proves the Theorems A and B based on Oka's work.
1953 The finiteness theorem for coherent sheaves in the analytic theory is proved by Cartan and Jean-Pierre Serre, as is Serre duality.
1954 Serre's paper Faisceaux algebriques coherents (published in 1955) introduces sheaves into algebraic geometry. These ideas are immediately exploited by Hirzebruch, who writes a major 1956 book on topological methods.
1955 Alexander Grothendieck in lectures in Kansas defines abelian category and presheaf, and by using injective resolutions allows direct use of sheaf cohomology on all topological spaces, as derived functors.
1956 Oscar Zariski's report Algebraic sheaf theory
1957 Grothendieck's Tohoku paper rewrites homological algebra; he proves Grothendieck duality (i.e., Serre duality for possibly singular algebraic varieties).
1957 onwards: Grothendieck extends sheaf theory in line with the needs of algebraic geometry, introducing: schemes and general sheaves on them, local cohomology, derived categories (with Verdier), and Grothendieck topologies.
There emerges also his influential schematic idea of 'six operations' in homological algebra.
1958 Godement's book on sheaf theory is published. At around this time Mikio Sato proposes his hyperfunctions, which will turn out to have sheaf-theoretic nature.
At this point sheaves had become a mainstream part of mathematics, with use by no means restricted to algebraic topology.
It was later discovered that the logic in categories of sheaves is intuitionistic logic (this observation is now often referred to as Kripke?Joyal semantics, but probably should be attributed to a number of authors).
This shows that some of the facets of sheaf theory can also be traced back as far as Leib
58:niz. 引用おわり
59:１３２人目の素数さん
15/06/27 19:58:22.69 c8I6WA9z.net
スレ主さん英語は読めるの？
数学とどっちが得意？
60:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 20:17:24.47 OGuofPc2.net
数学
英語はすこしよめる
61:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 21:08:13.91 OGuofPc2.net
>>30
マスロフ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Victor Pavlovich Maslov
From Wikipedia, the free encyclopedia
This name uses Eastern Slavic naming customs; the patronymic is Pavlovich and the family name is Maslov.
Viktor Pavlovich Maslov (Russian: Виктор Павлович Маслов; born 15 June 1930, Moscow) is a Russian physicist and mathematician.
He is member of the Russian Academy of Sciences. He obtained his doctorate in physico-mathematical sciences in 1967.
His main fields of interest are quantum theory, idempotent analysis, non-commutative analysis, superfluidity, superconductivity, and phase transitions.
He is editor-in-chief of Mathematical Notes and Russian Journal of Mathematical Physics.
The Maslov index is named after him.
Selected books
Karasev, M. V.; Maslov, V. P.: Nonlinear Poisson brackets. Geometry and quantization. Translated from the Russian by A. Sossinsky [A. B. Sosinski?] and M. Shishkova.
Translations of Mathematical Monographs, 119. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.
Kolokoltsov, Vassili N.; Maslov, Victor P.: Idempotent analysis and its applications. Translation of Idempotent analysis and its application in optimal control (Russian), "Nauka" Moscow, 1994.
Translated by V. E. Nazaikinskii. With an appendix by Pierre Del Moral. Mathematics and its Applications, 401. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.
Maslov, V. P.; Fedoriuk, M. V.: Semiclassical approximation in quantum mechanics.
Translated from the Russian by J. Niederle and J. Tolar. Mathematical Physics and Applied Mathematics, 7. Contemporary Mathematics, 5. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1981.
This book was cited over 700 times at Google Scholar in 2011.
Maslov, V. P. Operational methods. Translated from the Russian by V. Golo, N. Kulman and G. Voropaeva. Mir Publishers, Moscow, 1976.
62:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 21:37:05.84 OGuofPc2.net
Maslov index
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
抜粋
In mathematics, the Lagrangian Grassmannian is the smooth manifold of Lagrangian subspaces of a real symplectic vector space V.
Maslov index
A path of symplectomorphisms of a symplectic vector space may be assigned a Maslov index, named after V. P. Maslov; it will be an integer if the path is a loop, and a half-integer in general.
If this path arises from trivializing the symplectic vector bundle over a periodic orbit of a Hamiltonian vector field on a symplectic manifold or the Reeb vector field on a contact manifold, it is known as the Conley-Zehnder index.
It computes the spectral flow of the Cauchy-Riemann-type operators that arise in Floer homology[citation needed].
It appeared originally in the study of the WKB approximation and appears frequently in the study of quantization and in symplectic geometry and topology. It can be described as above in terms of a Maslov index for linear Lagrangian submanifolds.
63:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 21:45:49.53 OGuofPc2.net
Maslovで不思議なものがヒットした・・
URLﾘﾝｸ(www.ku)
64:rims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1541-08.pdf 数理解析研究所講究録 第1541 巻2007 年102-123 ダイマーと藻類 大阪大学大学院理学研究科植田一石(Kazushi Ueda) ダイマー(dimer) は化学における二量体を指す. ダイマーや極性のある分子の統計力学的な模 型として2 色グラフとその上のダイマー配置が長年にわたって研究され、様々な対象と関わりの ある興味深い問題であることが知られている. 詳しくは本講究録の高崎金久氏の解説や[14] を参 照されたい. 近年、ダイマー模型と超弦理論との関わりが見い出され、一部の理論物理学者の興 味を引いている. その中で注目すべきなのはOkounkov らによる Gromov-Witten/Donaldson- Thomas 対応、およびHanany らによる AdS/CFT 対応の文脈での簸ゲージ理論(quiver gauge theory) の研究であろう. 一方、藻類(alga) は理論物理学者のFeng, He, Kennaway および Vafa によって[4] で導入された概念であり、Gelfand, Kapranov およびZelevinsky によって[5] で導入されたアメーバ(amoeba) と密接に関係している. また、同じものがPassare やTsikh らによってコアメーバ(coamoeba) と呼ばれ、Feng ら以前から研究されていたようである. 今 回はこれらの話題およびそれに関連した東京大学大学院理学研究科の山崎雅人氏と筆者の共同 研究 [12, 13] について解説したい. ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・半環Ｒ+の「古典極限」としてトロピカル半環を得ることができ る. これをMaslov の脱量子化(dequantization) と言う. ・・・・・・・・・・・・・・・・・
65:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 21:54:38.49 OGuofPc2.net
植田一石先生は過去ログにありましたね
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:45番) 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
45 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/05/27
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
植田一石大阪大学大学院理学研究科
Conference Proceedings / Reports
3. Coamoeba and equivariant mirror symmetry (joint work with Masahito Yamazaki, in Japanese),
MSJ meeting, September 2007,
pdf file. URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
コアメーバとトーラス同変なホモロジー的ミラー対称性
1.弦理論私見
弦理論はもともと双対共鳴模型と呼ばれ、ハドロン（すなわち陽子や中性子、
中間子などの強い相互作用をする素粒子）を記述するための現象論として誕生
したが、Yang Mills理論が強い相互作用の正しい理論としての地位を確立すると
ともに、Kelvin 卿の渦原子模型のように科学史の脚注として忘れ去られる運命に
あるかと思われた．
しかし、弦理論は滅びなかった．失敗した現象論として始まったこの理論は、
自然科学（すなわち、実験によって検証できる科学）としてはいまだかつて一度
も成功したことがないにもかかわらず、その美しい数理的構造によって多くの理
論家を引き付けてきた．弦理論の（場の量子論と比較した）特徴は整合性を壊さ
ずに理論を弄ることの難しさにあり、また、理論の致命的な矛盾が見つかっては
奇想天外な解決策によって不死鳥のように蘇るという紆余曲折に富んだ歴史を持
つ．例えば、ボゾン的弦理論の共形アノマリーと呼ばれる深刻な困難は時空の次
元を26次元 にすることで回避できる．この26という数字はLeech 格子の次元
24 に2を足したものであり、この事実はBorcherdsによるmoonshine 予想の解決
にとって本質的である．
弦理論における最大の謎は果たしてこの理論が本当に存在するか（つまり、内
部に矛盾を持たないか）である．無矛盾性のために必要な条件は非常に強いので、
それらが全て満たされるためには「奇跡」が沢山起こる必要がある．しかし、知
られている限りで必要な奇跡は全て実際に起こり、弦理論の存在に対する強力な
証拠の一つになっている．（以下略）
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/27 22:24:16.34 OGuofPc2.net
リー群についても過去ログにあるが、取りあえず下記でも
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
リー群（リーぐん、英語: Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。
ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。
定義
G を台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元で（多くの場合無限回微分可能という意味で）可微分な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、
さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての G 上の写像として可微分であるもののことである
（群演算が可微分写像となっていることを「群演算が可微分多様体の構造と両立する（可換である、あるいはうまくいっている）」といい表す）。
このような構造が入っているという前提の下で、通常は「G はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて複素リー群の概念が定まる。
一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。
また、類似物として係数の属する体を p-進数体にとりかえて p-進リー群が定義される。
あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。
また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。
事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。
すなわち、G が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、G 上の解析的構造が唯一つ存在して、G をリー群にすることができる（ヒルベルトの第５問題あるいはヒルベルト-スミス予想）。
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 07:01:14.56 pEaR/2gu.net
>>45
>要するに、日本語の記事の結論間違っているみたい
こういうのを見ると、日本語の情報だけでは不足だということが良く分かる
日本のwikipediaを見たときに、左のEnglishの
68:リンクも開いて見ておくの良いですね
69:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 18:38:02.47 pEaR/2gu.net
>>48 関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である
アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。
その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
数理論理学との関わり
Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式をトポスの対象と射についての言明として解釈することができる。トポス Sets における解釈が通常の記号論的な集合とその元に関する論理式解釈となる。
群、可換群、環などの数学的（特に代数的）構造の公理を論理式によって表現したとき、景 (C, J) 上のグロタンディーク・トポスにおいてその論理式を満たすような対象が (C, J) 上の群、可換群、環などの層になる。
局所環の層などについての局所的な条件も、全称量化子を用いた論理式によって自然に表現される。
一方、適切な景 (P, J) をポール・コーエンによる強制法 (forcing) の議論をなぞって構成し、その上の層の圏として連続体仮説が成立しないような集合論のモデルを得ることができる。
同様にして選択公理が成り立たないような集合論のモデルもある景の上の層の圏として実現できる。こうして構成される集合論のモデルのうちには排中律が成り立たないような数学的直観主義的モデルも自然に現れる。
歴史
グロタンディークはスキームとトポスとを同じ年に見いだしたと『収穫とまいた種と』で回想している。実際にグロタンディーク・トポスの一般論が整備されたのはSGA IVでの彼自身による発表の中でだった
その後ウィリアム・ローヴェアが集合論のモデルとしての可能性を見いだし、強制法との関連、ドリーニュの定理のとらえ直しなど記号論的な認識が深められたが、
グロタンディークの隠遁後に彼に近い学者がトポスの理論に貢献しなかったことは彼と他の数学者たちとの間の確執の一因になった
またリジッド幾何やSynthetic Differential Geometryなど「位相構造」より繊細な「微分構造」をトポスを通じて考える幾何学も得られている。
70:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 18:44:10.08 pEaR/2gu.net
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
3日目 「トポスとは何か：圏論的視点での強制法」：佐藤桂
アブストラクト
全事象Aのうち、性質Sを満たすもの、命題Sが「真」となるもの、とは集合論的にはただ単に集合Aの部分集合Sを規定することになります。
この部分集合たちは通常の“∩”・“∪”によって古典束（ブール代数）を成しますが、実はこの代数構造が２点集合Ω＝｛真、偽｝という非常に単純なものによって統制されているのです。
そこで、（月並みな言い方をすれば）このΩをそれとは似て非なるものにしようとしたものが直観論理、ひいては直観束（ヘイティング代数）になるわけです。
直観論理にも、“かつ”や“または”が存在し、分配則などを満たす点で古典論理と似ていますが、二重否定が元に戻らないという点が非なるところです。
そして古典論理と集合論との対応に相当するものが、直観論理とトポス理論になるわけです（ちなみに直観は特別な場合として古典、トポスは特別な場合として集合論を含みます）。
例えば、ある圏Cから集合の圏Setへの（反変）関手圏C＾は（関数環が値域の構造を反映するのと同じく）集合の圏の構造（これは古典論理）を反映しつつも似て非なるトポス（これ直観論理）となります。
ところで、この圏を位相空間Xの開集合系のなす圏O(X)とすれば、この関手圏はその位相空間X上の前層の圏O(X)＾になりますが、幾何学ではこの圏を“絞り込んだ”圏である層の圏Sh（X）を使います。
ちょっと不思議なのは、この絞り込んだ圏Sh(X)にもトポスの構造が入るところです。
「じゃあ、一般の圏にも位相入れたら、層の圏Sh(C)的なの作れて、トポスになんじゃね？」
というわけで圏Cにグロタンディーク位相なるものを入れて作ったトポスがグロタンディーク・トポスです！！
こんなアナロジーがとれてしまうのは驚きですが、これが何の役に立つんでしょうか。
つづく
71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 18:44:57.86 pEaR/2gu.net
つづき
強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。
ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”（層の圏を切り出す）と
なんと、古典論理状態のトポス（しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス）になります！！
これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。
本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み（特に二重否定位相を使った絞り込み）を詳しめに紹介したいと思っています。
他の技術的に煩雑な部分に関しては時間的なこともあり、細かい証明までは立ち入らない予定です。。
引用おわり
72:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 19:12:44.09 pEaR/2gu.net
これは何かと言えば
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
Kota Takeuchi 参加予定の研究会や興味のあるセミナーなどを載せています。
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
・圏論への招待 第三回（集合、圏、代数） 2012年6月1-3日（金-日） 筑波大学
主旨：
圏論の考え方を理解したいと思いませんか？
それはあなたに新しい数学的見方を教えてくれるかもしれません。
第三回
『圏論Ⅲ?代数・論理・圏～』
講演者：(オムニバス形式)
佐藤 桂 （京都大学大学院理学研究科卒）
清水 健一 （名古屋大学）
石田 和 （京都大学数理解析研究所）
竹内 耕太 （筑波大学数理物質科学研究科）
日時：6月1（金）-3日（日） 1日：17時ごろ開始予定 2，3日：14時ごろ開始予定
初日は3‐4時間、2,3日目は3時間×2部を予定しています。
73:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 19:21:10.69 pEaR/2gu.net
強制法
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
数学の集合論における強制法（きょうせいほう、Forcing）とは、ポール・コーエンによって開発された、無矛盾性や独立性を証明するための手法である。
強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。
強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。
目次
1 直観的意味合い
2 強制半順序
3 可算推移モデルとジェネリックフィルター
4 強制
5 コーエン強制
6 可算鎖条件
直観的意味合い
直観的には、強制法は集合論の宇宙 V をより大きい宇宙 V* に拡大することから成り立っている。
この大きい宇宙では、拡大する前の宇宙には無
74:かった ω = {0,1,2,…} の新しい部分集合をたくさん要素に持っている。 そしてそれにより連続体仮説を否定することができる。が、このような議論は表面上不可能である。 強制法はこのアイデアを洗練したもので、新しい集合の存在を認めて利用するというより、拡大された宇宙の性質を元の宇宙からよりよく操作することを許したものである。 コーエンの元々のテクニックは今ではramified forcingと呼ばれるもので、強制法の説明によく使われるunramified forcingとは少々異なる。 可算推移モデルとジェネリックフィルター 強制法の鍵となるステップはZFCの宇宙 V に対して、V の要素でない適切な G を見つけることである。 結果としては G によるP-名前の解釈全てによるクラスが元々の V の拡大になるZFCのモデルになるようにする。 V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,?,1) ∈ Mを考える。 ここで言うモデルというのはZFCの十分多くの有限個の公理を満たすものを言う。 推移性というのは x ∈ y ∈ M ならば x ∈ Mとなることである。
75:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/06/28 19:23:52.06 pEaR/2gu.net
Forcing (mathematics)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique discovered by Paul Cohen for proving consistency and independence results.
It was first used, in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo?Fraenkel set theory.
Forcing was considerably reworked and simplified in the following years, and has since served as a powerful technique both in set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory.
Descriptive set theory uses the notion of forcing from both recursion theory and set theory. Forcing has also been used in model theory but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
Contents
1 Intuitions
2 Forcing posets
2.1 P-names
2.2 Interpretation
2.3 Example
3 Countable transitive models and generic filters
4 Forcing
5 Consistency
6 Cohen forcing
7 The countable chain condition
8 Easton forcing
9 Random reals
10 Boolean-valued models
11 Meta-mathematical explanation
12 Logical explanation
13 See also
14 References
15 External links
76:１３２人目の素数さん
15/07/01 20:55:46.63 EKaMOMe9.net
ガロア理論はどこがどのように難しいですか？
77:１３２人目の素数さん
15/07/01 21:19:30.36 sfhb+oUL.net
わからないワードを検索してきたりコピペしたりするのが難しい
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/04 06:07:50.26 UNrp5ytb.net
どうも。スレ主です。
Q.ガロア理論はどこがどのように難しいですか？
A.
１．答えは、大きくは個人によると思うが。あと、読む本。難しくないという意見の人もいるかもしれない
２．その上で、高校数学とはギャップが大きいということはあるだろう
３．ガロア理論は、数学史の上では一種の革命なんだ。ガロア理論が理解されるにつれ、その影響を受けて、数学が変わっていった
４．ガロア理論（方程式の）は、ｎ次方程式の代数的解法を、１）対称式の理論をベースに、２）体の拡大ととらえて、３）それを体の自己同型群で解明する、という三つの要素がある
５．この三つの要素は、高校数学ではあまりやってないから
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/04 06:13:27.23 UNrp5ytb.net
余談だが、アルティン本を礼賛する人がいる
が、アルティン本は記載が�
80:ﾈ潔すぎて、初学者には難しい気がする
81:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/04 08:07:09.94 UNrp5ytb.net
>>28
電子情報通信学会知識ベースのこれが良く纏まっている気がする
URLﾘﾝｸ(www.ieice-hbkb.org)
電子情報通信学会知識ベース ｜トップページ
URLﾘﾝｸ(www.ieice-hbkb.org)
12群 電子情報通信基礎 本群では，電子情報通信の基礎となる数学や物理学について記述している．
URLﾘﾝｸ(www.ieice-hbkb.org)
12群1編 解析学・代数学
7章 超関数論
吉野邦生（東京都市大）概要
7-1 シュワルツ超関数（Distribution）
7-2 佐藤超関数（Hyperfunction）
7-3 リップマン・シュインガー（Lippmann - Schwinger）の公式
7-4 超関数のフーリエ変換
7-5 超関数のラプラス変換とフーリエ変換の関係
7-6 超関数の偏微分方程式への応用
7-7 超関数の標本化定理への応用
7-8 超関数のヒルベルト変換と正則関数の境界値
7-9 超関数と熱伝導方程式
7-10 超局所解析（超関数の波面集合）
82:１３２人目の素数さん
15/07/04 09:22:43.35 cmHoS3UR.net
スレ主さんは数学科卒なの？院はいった？
83:１３２人目の素数さん
15/07/04 14:42:18.84 oA72BiF7.net
>>69
おっちゃんです。>>28の
>やはり、理屈では超越数になるが、不可解な部分があるから、まだ超越性の真偽は未定にしておく。
について。やっと不可解な部分が瓦解した。今まで恥ずかしい間違いをしていた。
不可解だった部分と間違えていた部分について、改めて紙で計算してみた。
手に負えない部分が生じたかと思ったが、何とか克服出来そうな見通しではある。
不可解だった部分の瓦解の結果、代わりに幾つかの結果が得られた。意味があるかどうかは知らん。
紙に書いて確認して精査せずに主張することは危険なので、超越性云々とかもまだ未定にしておく。
いや～、面倒な計算や解析は紙に書いて確認することが大事だね。一瞬完全に崩れたかと思った。
話は変わり、マスロフ理論は量子力学と密接な関係があって、摂動法や漸近法とか用いて
量子力学や物理の微分方程式の近似解を求めることなどが理論の発端だったんです。
元はむしろ物理数学の一種だったんです。その後、幾何的な方法も取り入れて
線形偏微分方程式を扱う理論として発展したんです。シュレーディンガー方程式や
ハミルトンの関数の固有値の分布などに応用出来るんです。今では幾何にも応用されているかな。
ちなみに、シュワルツの超関数は、ディラック関数などの特殊なグラフになる
関数を扱うために開発され、分布といわれていたんです。distributionはその英語。
84:１３２人目の素数さん
15/07/04 15:23:26.80 oA72BiF7.net
>>69
>>71の訂正：ディラック関数→デルタ関数
ディラック関数とはいわないな。
85:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/04 19:44:53.65 UNrp5ytb.net
>>70
どうも。スレ主です。
過去ログにもあるけど、工学系ですよ
でも、ヘビサイドの階段関数とか演算子法は、工学系から出たんだ
グリーン関数も、正規の数学ではなく、実際的な観点から考えられたという
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヘヴィサイドの階段関数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
演算子法（えんざんしほう）とは、解析学の問題、特に微分方程式を、代数的問題（普通は多項式方程式）に変換して解く方法。オリヴァー・ヘヴィサイドの貢献が特に大きいので「ヘヴィサイドの演算子法」とも呼ばれるが、厳密な理論化はその後の数学者たちにより行われた。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グリーン関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジョージ・グリーン
パン屋の息子として生まれ、正規の教育をほとんど受けずに粉挽きの仕事をしながら独学でポテンシャル理論の論文を書いたという経歴の持ち主である。
1833年、40歳でケンブリッジ大学ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジに入学。
4年後には数学の優等者試験で4位の成績をとる。光学、音響学、水力学について6本の論文を書き、1839年にはフェローとなるが、健康を崩して翌年に故郷へ戻る。
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/04 19:46:01.48 UNrp5ytb.net
>>71-72
おっちゃん、ありがとう！
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 07:30:46.17 viMYoeuU.net
>>71
おっちゃん、どうも。スレ主です。
distributionは、下記が参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(ir.lib.osaka-kyoiku.ac.jp)
第2超局所解析の基本 森岡, 達史 2000
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 08:45:14.62 viMYoeuU.net
下記ご参考
URLﾘﾝｸ(www.st.sophia.ac.jp)
理工ミニレクチャー第9回 超関数の理論、熱方程式、ディジタル信号処理の数学的基礎付け 2012年以前
吉野邦生（よしの くにお）上智大学理工学部助教授 専門は解析汎関数の理論と応用
どんな本を読んでいたのですか？
“分散公式の証明、場の量子論における解析性、楔の刃の定理”などの題名を見ているだけでワクワクしてました。
寺沢寛一先生の“自然科学者のための数学概論(上、下)“、犬井鉄郎先生の”特殊関数“や”応用偏微分方程式”など読んで“ラプラス方程式の解の特異性は虚の方向に伝播する“なんていう文章に感動してました。
勿論、証明はないんですけど、直感的に言い切る所がすごいと思いました。数学的には今では、”超局所解析学“という理論でキチンと証明されてます。
量子力学の講義がないのは非常に不思議です。行列の積が非可換だというのも量子力学をやって初めて意味が分かった気がします。
もっともこういうのも授業で習うと途端につまらなくなるんですよね。 修士論文で目指した定理も（あとで判ったのですが）レッジェ極理論（複素角運動量の理論）や量子統計力学（松原グリーン関数）で使われています。
最近、Bose―Einstein凝縮の事を調べていたら、昔、自分が計算していた積分が出ていて、リーマンゼータ関数やアッペル関数が出ているのを見てなんだか懐かしかったですね。
最近はどのような研究をしているのでしょうか？
韓国や、セルビア、ベルギーの研究者たちと表題にある熱方程式の理論や調和振動子の波動関数による超関数の理論と調和解析への応用について研究しています。
これは、５、６年前から始めた研究なんですが、はじめのうちは、なんだか、さっぱり分からなくて、当時指導していた大学院の学生と頭を抱え込んでいました。杉田玄白や前
89:野良沢の心境でした。 セルビアの研究者達の論文が解読できてから、いろいろ自分でも論文が書けるようになりました。２００４年のセルビアでの研究会ではじめてセルビアの研究グループの人たちと会いました。 自分が読んでいた論文の著者が女性数学者達だとは知りませんでした。指導していた大学院生はこのテーマで理学博士になり、今は研究者として活躍しています。
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 08:54:35.95 viMYoeuU.net
これも
URLﾘﾝｸ(www.kanenko.com)
カーネンコの講義録
平成１６年度(2004)の担当講義
URLﾘﾝｸ(www.kanenko.com)
情報科学科３４年『情報科学特別講義 II』のページ
本講義は, 僕の専門である超函数と偏微分方程式の超局所解析の解説を行うものです.
ここでこんな講義をやるとは全く予期していなかったのですが, 好奇心旺盛な 今年の卒研生が, 僕がどんな研究をしているのか知りたいというので, どこま で続くか分かりませんが, やってみることにしました.
毎回の講義の概要
第１回(１０月６日)：超函数とは？
超函数の歴史的背景を説明し, 超函数の３通りの捉え方をデルタ函数を例に取 り説明しました.
第２回(１０月１３日)：超函数と積分
シュワルツ流の超函数と佐藤流の超函数に付いて, 定積分の定義を検討しまし た.
第３回(１０月２０日)：超函数と微分
超函数のシュワルツ式微分の定義の準備のため, 局所凸位相線型空間とその双 対空間の話をしました.
（略）
第７回(１２月１日)：緩増加超函数のフーリエ変換
シュワルツ空間の定義をし, 緩増加超函数のフーリエ変換を導入しました.
１２月８日 河村先生のご本の校正をみんなでやったため休講
第８回(１２月１５日)：フーリエ超函数
佐藤流のフーリエ変換論の紹介をし, １のフーリエ変換と, ポアソンの和公式 の証明をしました.
１２月２２日 応用数学合同シンポジウムに参加のため休講
第９回(１月１２日)：リュービルの定理
緩増加超函数の偏微分方程式論への応用を述べ, 佐藤超函数の場合との 違いを解説しました.
第１０回(１月１９日)：Fourier 超函数の構造定理
佐藤の超函数が大域的に連続函数の無限階微分で表されることの証明を途中ま でやりました.
第１１回(２月２日)：Paley-Wiener の定理と実解析解の延長
定数係数線型偏微分作用素に対する Ehrenpreis の基本原理を解説し, 小生の 修士論文の内容である, 凸コンパクト集合への実解析解の延長定理を証明の粗 筋とともに紹介しました.
これで全日程終了です. 今まで絶対無理だと思っていましたが, 小生の主要業 績を学部生に対して半年で解説しようと思えばできるんですねえ. (*^^*)
91:１３２人目の素数さん
15/07/05 09:03:53.38 NF+6yVEz.net
スレ主ちんこでかそう
92:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 09:20:07.02 viMYoeuU.net
この程度のことは、どこにでも書いてありますが
まあ、情報集約ということで、アップしておきます
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超函数論に重要な影響を与えたのは、偏微分方程式論や群の表現論などからの技術的な要請であった。
先駆的な研究
19世紀の数学には、例えばグリーン函数の定義やラプラス変換、あるいは（可積分函数のフーリエ級数には必要でない部分の）リーマンの三角級数論などが、超函数論の片鱗として垣間見える。
これらは当時、解析学の一部とは扱われていなかったものである。
工学におけるラプラス変換の重用は、経験則に基づく記号的操作としての演算子法を生み出した。
演算子法の正当化は発散級数を用いて与えられたため、純粋数学の観点からは悪い風評をうけることとなるが、これらは後の超函数法の典型的な応用先である。
1899年に出版されたヘヴィサイドの本 Electromagnetic Theory（『電磁気論』）は演算子法の定番の教科書となった。
ルベーグ積分が導入されると、超函数は初めて数学の中心に踊り出ることとなった。ルベーグ積分論では、殆ど至る所一致する可積分函数はすべて同値であると看做される。
これはルベーグ積分論において函数の個々の点における値というのは函数の重要な特徴ではないということを意味する。
可積分函数の本質的な特徴は、函数解析学における明確な定式化（つまり、他の函数の集合上で定義される線型汎函数として定義する方法）のもとで与えられた。こうして、弱微分の概念が定義されるようになる。
1920年代後半から1930年代に掛けて、その後の研究の基となる更なる展開がなされる。
ディラックのデルタ函数はポール・ディラックが（彼の科学的形式主義の一部として）大胆に定義したもので、これは測度を（素性のよい函数を成す電荷密度のような）密度として考えるという扱い方をしている。
ソボレフは、偏微分方程式論の研究において偏微分方程式の弱解をきちんと扱うために、数学の観点からも十分正当な超函数論を初めて定義した。
同じ頃、関連するほかの理論がボホナーやフリードリヒらによっても提案されている。ソボレフの業績は後にシュワルツによってさらに拡張され発展することとなる。
93:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 09:21:59.76 viMYoeuU.net
>>78
どうも。スレ主です。
ID:NF+6yVEzくんか
君はどうもそれに拘っているようだが
数学ができないで悩んでいるのか？
94:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 09:38:51.07 viMYoeuU.net
>>75
第2超局所解析の第2の意味が分からなかったが、下記で委員会？
URLﾘﾝｸ(kaken.nii.ac.jp)
特異的なフーリエ積分作用素・超局所双曲性・第2超局所解析 戸瀬 信之 慶應義塾大学・経済学部・教授
Abstract(Latest Report)
1(特異約なフーリ工積分作用素)線形双曲型偏微分方程式の解の(超局所)特異性の伝播の研究においては、解の特異性の分岐、conical refractionなど様々な現象が解析されてきた。
特に、結晶光学に現れるconical rehactionの現象は、自然界に現れる自然なものとして多くの視点から研究が進められてきた。
1985年ころから、conical refractionの研究に、余接束をその包合的な多様体に沿って爆裂して解析を行なう第2超局所解析(second microlization)を用いて分析を行なうことが試みられ、P. Laubin(LIEGE大)や私の研究により一定の結果を得る事ができた。
第2超局所解析は、包合的な多様体上の超局所特異性を、余接束をその包合的な特性多様体にそって爆裂した空間上で解析を行なうものであるが、上で述べた研究で中途半端になっているものがある。
超局所解析では、量子化接触変換、フーリ工積分作用素によつて、擬微分方程式が単純特性的な点において簡単な標準形にうつることが示されているが、第2超局所解析ではこの方向の研究が不十分である。
すなわち、変換理論自体はあるのであるが、マイクロ函数の第2超局所特異性を分解した層を部分層として含む第2マイクロ函数の層の枠組みで構成されたものである。
この研究では、解の構成に変換理論が使えるように、マイクロ函数の第2超局所特異性を分解した層の枠組みで変換理論を構成するための様々な準備を行なつた。
2(第2超局所特異性の基礎的な研究)第2超局所解析で自然に現れる第2超函数の層は、正則包合的な多様体上に制限した佐藤のマイクロ函数の層を含む。この第2超函数の層を退化した偏微分方程式の境界値問題に応用した。
95:１３２人目の素数さん
15/07/05 09:56:18.66 NF+6yVEz.net
>>80
そうだよ
数学ができないからちんこのことしか考えられない
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 11:40:17.31 viMYoeuU.net
>>82
どうも。スレ主です。
正直
97:だね では、君にはこの言葉を贈ろう http://proverbes.kitakama-france.com/index.php?%E8%AB%BAIAK フランス語のことわざI-1 Au royaume des aveugles, les borgnes sont rois. 【逐語訳】「めくらの国ではめっかちが王様だ」 いわゆる「差別用語」を使わない訳にするなら、「盲人の国では片目の者が王様だ」。 上であえて使用した「めっかち」とは、「片目しか見えない人」のことで、差別用語扱いされたためか死語となってしまいましたが、 しかし「片目しか見えない人」のことを一語で表す日本語がないのは不自由なので、田邊 (1959), p.112 ; 田辺 (1976), p.207 でも使われているこの訳語を採用しました。 こうすることで、原文に含まれる ro という音の反復による語調のよさを「め」で始まる二つの単語で再現できる気もします。 【諺の意味】「たいしたことのない人々の間では、多少ましな人はもてはやされる」、「まったく無知な人々の間では、乏しい知識しか持たない人でも天才扱いされる」。 【図版】この諺を題材にした19世紀の挿絵があります。 【日本の諺】「鳥なき里の蝙蝠（こうもり）」 「すぐれた者がいないところでは、つまらない者がわが者顔をしていばること」（『故事・俗信ことわざ大辞典 第二版』 p.986）
98:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 11:44:29.98 viMYoeuU.net
おっと間違った
こっちだ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2009/1/1921:27:26
「鶏口となるも牛後となるなかれ」…とは、どういう意味ですか？また、読み方も教えてください。鶏口…けいこう？
牛後…ぎゅうこう？
ベストアンサーに選ばれた回答
happytea0801さん 2009/1/1921:47:43
鶏口牛後という四字熟語としても使います。けいこうぎゅうご と読みます。
昔の中国、秦が強大な力を持っていた時、諸国は連携して秦を叩くか、秦に降伏して秦の国の一部になるかを選ばなければならない状況になりました。
諸国の中には韓（かん）という国があり、韓の国主は大いに悩みますが、家来の蘇秦（そしん）という人が一言、「鶏口となるも牛後となるなかれ」。
秦という国の属国となるよりも（韓の王は秦王の家臣になるので）、小国の王のほうでいてください、韓は未だ強大で王も健在ならば、秦に屈するのは天下の笑いものですよとお願いしたわけです。
蘇秦はその後６カ国をまとめ上げて秦と対抗し、１５年間もの間、平和な世を作りました（最終的には秦が中国を統一しますが）。
表現として適切ではありませんが、今風に言えば、大企業の一員（歯車）となるよりも、どんなに小さい会社でも社長のほうがいい、という意味でしょう。
99:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 11:46:28.13 viMYoeuU.net
数学ができない・・
といっても所詮相対的なものだ
自分の能力が生かせる、めくらの国・・・じゃなかった、鶏口となれる場所があると思うんだよね
それを考えなよ
100:１３２人目の素数さん
15/07/05 11:51:05.31 NF+6yVEz.net
>>85
ちんこの国へいけと？
101:岡村隆史「嫌なら見るな」
15/07/05 12:34:21.14 22uD/UkX.net
新聞購読を止めて、月3000～4000円、年間36000～48000円の節約
新聞にそのような金を払う価値はない
ただでさえ要らない
なぜなら新聞は国民の方を向いておらず、広告主のための報道しかしないからだ
それに金を払って購読することは自らの首を絞める自殺行為に等しい
102:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 12:35:36.25 viMYoeuU.net
>>83
めくらも・・、差別用語だと、言葉狩りか
URLﾘﾝｸ(blogs.yahoo.co.jp)
言葉狩り：めくらなどを差別用語と決めつけて変換ソフトから除外する業者 2014/7/11(金)
最近、三島由紀夫著「金閣寺」を読み、その感想をブログに2度に分けて書いた。多分３度目を書いて完結すると思う。
そこで辞書検索などしていて、以前から不満に思っていたことを思い出した。それは、めくらと入力しても盲の字が出てこないし、かたわと入力しても片端がでてこないのである。
しかしつんぼと入力すれば聾が出てくる。
めくらの方が「盲蛇を怖じず」などでよく使うことから、どうやらめくらが差別用語であり聾は差別用語でないという線引きが何処かでなされているのだろう。
そして業者が一部の無知なる狂信者（左翼と呼ばれる人に多い）の批判を恐れて、変換候補から除外したのだろう。
言葉は文化である。文化が変化してゆき、めくらがほとんど使われなくなった時に、盲という字が漢字変換で出てこなくなるのが自然な姿である。
何故、そのような一部の無知蒙昧の輩の批判を恐れて下らない自主規制をするのか？
それは恐らく、日本国はサイレントマジョリティーの国だからである。つまり、どのような会社でも機関でも、声高に反対を叫ぶ人に遠慮して、多数意見をどうしても軽視してしまうのである。
日本が、ものを言う多数派の国になることを強く希望する。
103:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 12:38:23.63 viMYoeuU.net
>>86
どうも。スレ主です。
まあ、それは君の判断に任せるよ
104:１３２人目の素数さん
15/07/05 12:57:08.10 4Jc9ox8u.net
>>89
キミはチンコの国が似合いそうだね
105:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 13:37:40.08 viMYoeuU.net
>>81
第2超局所解析は、戸瀬 信之先生の造語？
URLﾘﾝｸ(www.sciencedirect.com)
Algebraic Analysis: Papers Dedicated to Professor Mikio Sato on the Occasion of his Sixtieth Birthday,
Contents of Volume II, Pages xi-xiii PDF (321 K)
Second Microlocalization and Conical Refraction (II) Nobuyuki Tose P867
Algebraic analysis - Google Books books.google.com ? Mathematics ? Algebra ? General - （検索でP867の部分）
106:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 13:41:20.79 viMYoeuU.net
>>90
どうも。スレ主です。
君も数学ができないで悩んでいるのか？
ここは、スレ主が作った国なんだ
もし、君が片目の者と証明できれば、君が王様だよ
いかが？
107:１３２人目の素数さん
15/07/05 14:49:39.96 nFNHtEO5.net
>>91
＞第2超局所解析は、戸瀬 信之先生の造語？
君、それは冗談で言ってるのかね？ｗ
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 15:13:26.07 viMYoeuU.net
>>93
レスありがとう
いや、単純な話で、全く知らないんだ
が、第2超局所解析の日本語検索で戸瀬 信之、Second Microlocalizationの英語検索で、Toseがヒットするのでね
そう思ったんだ
ところで、"Microlocal"は、佐藤スクールの命名と思っているんだが、当たっているかい？
その流れで、第2超局所解析が戸瀬 信之先生の造語かと。なかなか良いセンスだと思ったが・・
109:１３２人目の素数さん
15/07/05 15:35:11.22 nFNHtEO5.net
中身を少し勉強すれば最初が戸瀬じゃないってことくらいすぐわかるんだがね・・・
創始者があっさりやめたあと戸瀬が拾っただだけ
Microlocalって用語がいつ生れたかは知らない
超局所解析というもの自体はかなり前からあるけど、言葉として
使われ始めたのは最初の論文から15年以上は後
中身は知ってるけど、誰が最初かって歴史物語には興味がないんでね
まあ、がんばってぐぐって貼ってください
110:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/05 19:24:31.73 viMYoeuU.net
>>95
どうも。スレ主です。
>中身を少し勉強すれば最初が戸瀬じゃないってことくらいすぐわかるんだがね・・・
おお、この国ではあんたが王だな
私は、戸瀬は勉強しても分からん
>創始者があっさりやめたあと戸瀬が拾っただだけ
戸瀬 信之先生は、>>81で「P. Laubin(LIEGE大)や私の研究」と書いている。なので、P. Laubin(LIEGE大)が創始者だね
ただ、問題は理論の創始者ではなく、だれのネーミングかなんだよね
>Microlocalって用語がいつ生れたかは知らない
佐藤幹夫がなにかに書いていたけど、日本のRIMS（京都）で国際会議があって、吉田耕作から「なにか講演しろ」と言われて、Microlocal（層C）を新幹線の中で計算したとか
えーと正確には、「佐藤幹夫の数学」（2014）P16かな
「マイクロ関数」という名前か
新幹線の中は、P16にはないね
「マイクロ関数」から、Microlocal（層C）になったように理解しているんだが・・
111:１３２人目の素数さん
15/07/05 22:51:54.30 rk0eH08u.net
余接空間がマイクロローカルな感じなの感じ取れないと。
112:１３２人目の素数さん
15/07/06 00:42:00.82 Rc5hK5a3.net
4次元ちんこ
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/10 22:15:09.39 ym/cJ7xn.net
どうも。スレ主です。
余接空間がマイクロローカルな感じ？
あんたも王の資格があるね
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 09:16:53.64 FKo26YYw.net
読み返してみると、>>35で
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超局所解析
「超局所」（microlocal）という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。
（引用おわり）
なんて、書かれてあったりする。
まとまりなく、ランダムに書かせて貰うと
「超局所」（microlocal）がちょっとおかしい
micro＝微 でしょ、普通
超＝hyper, super or ultra だ
佐藤超関数＝hyperfuction
マイクロ関数＝Microfunction （hyperfuctionをより細かくした）だったのでは？
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, hyperfunctions are generalizations of functions, as a 'jump' from one holomorphic function to another at a boundary, and can be thought of informally as distributions of infinite order.
Hyperfunctions were introduced by Mikio Sato in 1958, building upon earlier work by Grothendieck and others. In Japan, they are usually called the Sato's hyperfunctions.
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Applications of Microfunctions asked Oct 31 '13 at 20:14
Can anyone suggest good (a) uses/applications or (b) construction of micro-functions (introduced by Mikio Sato in 1971) in analysis?
I am trying to understand the subject better. Suggestions of literature are very welcome, but also, how would one present the basic concept as conc
115:isely as possible if one had to?
116:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 09:37:01.33 FKo26YYw.net
これ分かり易いね
URLﾘﾝｸ(wik)まとめ.com/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析 - ウィキまとめ
[英microlocalanalysis仏analysemicrolocale独mikrolokaleAnalysis]
マイクロローカルアナリシス．
1変数の佐藤超関数f(x)が，xOの近傍でf(x)＝F(x＋i0)と表わすことができるとき，fは(xO，－idx∞)でマイクロ解析的であるといい，f(x)＝F(x－i0)と表わせるときfは(xO，idx∞)でマイクロ解析的であるという.
(xO，－idx∞)および(xO，idx∞)でマイクロ解析的な佐藤超関数は，xOで実解析的である．
δ関数は，(0，－idx∞)でも(0，idx∞)でもマイクロ解析的でない．
このように，実解析性と特異性の間にマイクロ解析性という概念を設けることにより，佐藤超関数の特異性を詳しく調べることができる．
多変数の場合のマイクロ解析性は，余接球面束(cotangentspherebundle)の言葉で表現することができる．
佐藤超関数がマイクロ解析的でない余接球面束の部分集合を，特異スペクトル(singularspectrum)という．
特異スペクトルなどを用いて余接球面束の上で偏微分方程式を解析することを超局所解析といい，偏微分方程式の解の特異性の伝播やファインマン積分の解析性の研究に有効な数学の手法である．
佐藤超関数が，(シュワルツの意味の)超関数の場合，特異スペクトルは，波面集合(wavefrontset)ともいう．
117:１３２人目の素数さん
15/07/11 09:40:08.32 JOnsWxz2.net
スレ主さんちんこでかそう
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 09:50:40.37 FKo26YYw.net
関連
http://ウィキまとめ.com/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0
ワイトマン関数 - ウィキまとめ
[Wightmanfunction]
ハイゼンベルク表示の場の演算子φ(x)(x＝(r，t))の積の真空期待値〈Ω，φ(x1)…φ(x?)Ω〉として定まるx1，…，x?の関数(n＝1,2，…)]]
Ωは系のハミルトニアンの最低固有値に属する規格化された固有ベクトルで，真空の状態ベクトルに当る]]ワイトマン関数は実際は関数ではなく超関数であると考えられている]]
1つの場の量子論において，これが与えられると，S行列が計算できる(→LSZ形式)フォック空間で作用する場の演算子を用いて摂動論など具体的な計算を進める形の場の量子論が発散の困難に阻まれるのを見て，
ワイトマン，A.S]]は1956年，場の量子論に期待される一般的な性質をワイトマン関数系の言葉で表わす研究を始めた]]
実際，超関数W?(x1，…，x?)の系が正値性など一連の性質をもてば，GNS構成法により適当なヒルベルト空間Hとその上の演算子φ(x)を構成してW?をワイトマン関数の形に表わすことができて(再構成定理)，
W?の性質がHとφ(x)のつくる場の量子論に遺伝するのである(Hはフォック空間とは限らない]]
→ハーグの定理)
ワイトマン関数のもつ性質(したがってW?に要求される性質)は超関数であることのほか，
正値性，エルミート性など再構成定理の条件をなすもの，さらに場の演算子の相対論的変換性，局所可換性，状態Ωが最低固有値に属し相対論的不変でかつ一意であることなど，理論に望まれる物理的内容からくるものなどがあり，ワイトマンの公理系とよばれる
(→公理論的な場の量子論)
その公理系からワイトマン関数が相対座標xk+1－xkの超関数で，ある解析関数の境界値になっていることが導かれる]]
これによってワイトマン関数を相対時間について虚軸まで解析接続したものはシュウィンガー関数(Schwingerfunction)とよばれ，ユークリッド場の理論で中心的な役をする]]
119:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 09:52:07.09 FKo26YYw.net
>>102
客観的にはそうでもないと思うが、君よりはな・・・HaHaHa!
120:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 10:37:34.23 FKo26YYw.net
>>96
関連
URLﾘﾝｸ(phasetr.com)
書評：佐藤幹夫の数学: 2013-02-01
佐藤超関数の文脈で超関数の積分があるが, これは超関数微分方程式を考えて, その解を不定積分と呼んでいる.
興味がある向きは Theory of Hyperfunctions, I の P148 を見てほしい.
URLﾘﾝｸ(repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp)
タイトル: Theory of Hyperfunctions, I.
著者: Sato, Mikio
発行日: 1959年3月28日
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 10:47:34.58 FKo26YYw.net
>>105
「佐藤幹夫の数学」P264が「佐藤超関数と特異スペクトルとマイクロ関数」だ
ここに、マイクロ関数の佐藤幹夫流の直感的説明がある・・・
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 10:57:00.05 FKo26YYw.net
>>106
「佐藤幹夫の数学」P273が「超局所計算法（miclolocal calculus）」だ
"あるとき、「概均質ベクトル空間のフーリエ変換の話はきれいだけれども、実際の計算は全然できなくて、あれは抽象論だ」と新谷（卓郎）君から批判された"という話から始まる
柏原を説得して、論文にしてもらったと
”僕だったら１年も１０年も放っといたと思うんだけれども、彼がやってくれたんでアッというまにできちゃったわけだよ”と
123:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 11:17:12.60 FKo26YYw.net
>>107
「佐藤幹夫の数学」P17
柏原先生の話がある
”彼はブルバキやグロタンディークなんかを１８歳か１９歳のときに読んでいました。それらを自分ひとりで、先生もいなくて、彼がまだ４年生であったときに勉強していたのです。
ええ、彼はものすごい天才です。今まで会った中で最高の若者です”と
124:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 11:28:10.01 FKo26YYw.net
>>97 余接空間の話は、>>35-39に書いたけど
実は、まだよく見えない
そこで、もう少し書くことに
１．まず接空間（英語：tangent space）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多様体上の接ベクトル空間（英語：tangent vector space）あるいは 接空間（英語：tangent space）とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。
接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。
概要
接ベクトル空間は、多様体上の点ごとに定義されるベクトル空間である。
接ベクトル空間の元を接ベクトルという。全ての点で接ベクトルが定まっているとベクトル場というものが定義できる。ベクトル場は多様体の形を調べたり、多様体上の粒子の運動を調べたりするのに非常に役立つ概念である。
物理学でいえば電磁場や重力場などを記述でき、そのベクトル場の中に置かれた粒子はその点での接ベクトルの向いている方向に沿って移動していく。
本項目で扱うのは、そのベクトル場の基礎となるある 1 点の上の接ベクトル空間である。
局所座標系に依存しない速度ベクトルのようなものを探し求めた結果
微分作用素の一次結合（接ベクトル）を用いることで解決できる事が分かる。この接ベクトルの全体を接ベクトル空間という。
作用素をベクトルと呼ぶために、少し抽象的でわかりにくい話になるが、そういう場合は関数 f に具体的な形をいくつか与えてみて多様体の形を感じ取るのがよい。
定義
方向微分と接ベクトルについての定義を与える。接ベクトルは方向微分であるが、 方向微分が接ベクトルとは限らない。
滑らかな多様体の場合にのみ両者は一致するので、滑らかな多様体の話に限るのであれば方向微分の定義は接ベクトルの定義でもある。
（引用おわり）
まあ、物理でいうところの「場の理論」を抽象化したものでしょうか？
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 11:37:32.48 FKo26YYw.net
２．微分と余接
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
関数の微分
m 次元 C^r 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p における 接ベクトル v は、 p の近傍で定義された C^r 級関数 f を実数 v(f
126:) に対応させる関数である。 v(f) は接ベクトル v と関数 f の組であり、 v を固定して、 f に対して値が定まると考えてきた。逆に f を固定して dfp : v → v(f) という関数も考えることができる。この dfp を f の p における 微分 (differential) という。 接ベクトルのなす空間 Tp(M) は R 上の線型空間であることから、 Tp(M) から R への線型写像のなす双対ベクトル空間 Tp*(M) = HomR( Tp(M) , R) が定まるが、 微分 dfp はこの Tp*(M) の元である。 Tp*(M) のことを M の p における余接ベクトル空間 (cotangent vector space) という。 特に p を含む座標近傍 (U;x1,…,xm) があるとき、関数 f として 局所座標系の成分の一つである xk を選べば、その p における微分は (dxk)p となり(略) ここに現れた dxk という記号は、微分形式として積分 ∫ f(x) dx に現れる dx と、しばしば同一視される。 通常の積分では∫と dx は、一組の記号でありそれぞれを別個の物として扱うことはできないが、各点で余接ベクトルとみなせば、 dx という記号に意味を持たせることができる。 各点に余接ベクトルを与えたものであるので、正確には余接ベクトル場を考えることになる。
127:１３２人目の素数さん
15/07/11 13:48:44.12 EkTPLFeM.net
>彼はブルバキやグロタンディークなんかを１８歳か１９歳のときに読んでいました。
>それらを自分ひとりで、先生もいなくて、彼がまだ４年生であったときに勉強していたのです。
この手の話、真に受けない方がいい。原理的には可能だが、ブルバキを読むのはすごく大変だよ。
読んで中身を理解する訳だろ。少しフランス語の素養が必要で、全部で30～40冊近くあるんだろ。
中にはいい本もあるが、初期に書かれた本は読むの大変。
グロタンディークは厳密なスタイルでないらしいが、本文については知らん。
128:１３２人目の素数さん
15/07/11 14:13:49.78 EkTPLFeM.net
>>109
接空間は、2次元平面上に描いた尖っていない滑らかな曲線の
グラフの接線を高次元化して一般化したモノなんです。
例えば、球コロの表面に下敷きを置いたらそれが球と下敷き
の接点の接ベクトルになる。紙に滑らかな曲線のグラフの接線
を引いても同様。直観的には大体こんな感じ。
129:１３２人目の素数さん
15/07/11 14:21:18.25 5aahM9mN.net
>余接空間の話は、>>35-39に書いたけど
>実は、まだよく見えない
>そこで、もう少し書くことに
スレ主が「書いた」のは
>>35-39
(なし)
>>109-110
>まあ、物理でいうところの「場の理論」を抽象化したものでしょうか？
130:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 15:35:07.98 FKo26YYw.net
>>111-112
どうも。スレ主です。
おっちゃんかな？
レスありがとう
>この手の話、真に受けない方がいい。原理的には可能だが、ブルバキを読むのはすごく大変だよ。
>読んで中身を理解する訳だろ。少しフランス語の素養が必要で、全部で30～40冊近くあるんだろ。
柏原の時代には訳本なかったっけ？ えーと、下記だ一番早いので1968年か。だからまだ無かったか・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
邦訳された著作
『位相 第1』 森毅・清水達雄訳、東京図書〈ブルバキ数学原論 第12〉、1968年。
ブルバキの業績
ブルバキの主な業績は、7000ページ以上に及ぶ『数学原論』(Elements de mathematique) の執筆である。
元は微分積分学の現代的な教科書を書くのが彼らの目的だったが、作業が中途で肥大化し、その目的は捨て去られた。
最終的には集合論の上に現代数学を厳密かつ公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。
彼らはそこで、代数構造・順序構造・位相構造という三つの構造概念、フィルターなどいくつかの新しい概念や術語を導入し、現代数学に大きな影響を与えた。
その完璧な厳密性と一般性を求める叙述はブルバキスタイルと呼ばれるようになる。
ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。
その理由の一つは、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用でなかったためである。
今ひとつには、ブルバキの影響を受けた本が他にも出版されるようになり、ブルバキの本の独自色が失われつつあった。
またひとつには、重要と考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。
ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。
だが圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため圏論についてのブルバキの著作は準備されていたものの、結局は書かれなかった。
（引用おわり）
つづく
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 15:43:39.49 FKo26YYw.net
>>114
つづき
>グロタンディークは厳密なスタイルでないらしいが、本文については知らん。
グロタンディークを読んでいるというのはあったかも
柏原は東大だから、図書には本があったろう
一つは、教養の第二外国語で仏語やれば、辞書くらい引ける
一つは、フランス留学も考えていたか、あるいは自分が学者としてやっていくには仏語は必要だと。だから、仏語の勉強も兼ねて読んだというのはありかも
実際に佐藤スクールで役に立つのは、グロタンディーク系の層理論だと思うけど
ブルバキの中身は知らないが、目次見るとそう思うよ
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 15:45:07.74 FKo26YYw.net
>>113
どうも。スレ主です。
レスありがとう
まあ、ここはおいらのメモ帳なんで、メモ（備忘録）を書いたんだよ
133:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 15:46:50.13 FKo26YYw.net
>>110 つづき
３．双対ベクトル空間
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。
有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。
函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。
一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、
位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。
双対空間
体 F 上の任意のベクトル空間 V の（代数的）双対空間 V^? は V 上の線型写像 φ: V → F（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。
集合としての V^? には、次の加法とスカラー乗法
φ + ψ(x) = φ(x) + ψ(x)
(a φ)(x) = a (φ(x))
(φ,ψ∈ V^*, x∈ V, a∈ F)
を定義することができて、それ自身 F 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 V^? の元を、余ベクトル（共変ベクトル）あるいは一形式と呼ぶこともある。
双対空間 V^? の元である汎函数 φ と V の元との対をしばしば括弧を用いて φ(x) = [φ,x][1] あるいは φ(x) = ?φ,x?[2]で表す。
この対の記法は非退化な双線型形式[3] [・,・]: V^? × V → F を定める。このとき、[,] は V^? とV との間に双対性を定める、V^? と V を双対にする、あるいは V と V^? の双対性を表す内積 (duality pairing) であると言う。
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 15:54:54.55 FKo26YYw.net
>>117 つづき
４．有限次元の場合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限次元の場合
V が有限次元ならば、V? は V と同じ次元を持つ。V の基底 {e1, ..., en} から双対基底と呼ばれる特別な V? の基底を定義することができる。それは V 上の線型汎函数の集合 {e1, ..., en} で、係数 ci ∈ F の選び方に依らず
e^i(c_1 e_1+・・・+c_n e_n) = c_i (i=1,・・・,n)
を満たすものとして定義される（上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ）。特に、一つの係数を 1, 残りをすべて 0 とすることにより、関係式は
e^i （e_j) = δ_ij
に帰着される。ここに δij はクロネッカーのデルタである。
例えば V が座標平面 R2 でその標準基底 {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} に選べば、e1, e2 は e1(e1) = 1, e1(e2) = 0, e2(e1) = 0, e2(e2) = 1 を満たす線型形式である。
特に Rn を実数を成分とする n-項「列」ベクトル全体の成す空間と見做すとき、その双対空間は典型的には実数を成分とする n-項「行」ベクトル全体の成す空間として書かれ、その Rn への作用が通常の行列の積によって与えられるものと見做すことができる。
V が平面上の幾何学的なベクトル（有向線分）からなる空間であるとき、V? の元の等位曲線は V の平行線の族からなる。
故に V? の元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。
このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。
イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。
より一般に、V を任意有限次元のベクトル空間とするとき、V? に属する線型汎函数の等位集合は V の平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができる[4]。
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 18:12:46.14 FKo26YYw.net
>>118 つづき
５．無限次元の場合
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限次元の場合
ベクトル空間 V が有限次元でない場合にも適当な無限集合 A で添字付けられる基底 eα は持つ[5]から、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族 eα (α ∈ A) を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。
例えば、有限個の例外を除く全ての成分が 0 であるような実数列全体の成す空間 R∞ を考えると、これは自然数全体の成す集合 N で添字付けられる標準基底、すなわち各 i ∈ N に対して ei は第 i-項が 1 で他はすべて 0 となるようなものを持つ。
R∞ の双対空間は全ての実数列からなる空間 RN である。数列 (an) の (xn) ∈ R∞ への作用は ∑anxn で与えられる（これは xn の非零項が有限個しかないことから有限和である）。R∞ の次元は可算無限だが、RN の次元は非可算である。
このような考察は任意の体 F 上の任意の[5]無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。
基底 {eα : α ∈ A} を一つとって V を fα = f(α) は有限個の例外を除く全ての α ∈ A に対して 0 となるような写像 f: A → F 全体の成す空間 (FA)0 と同一視すれば、写像 f は V のベクトル
∑{α ∈ A} f_α e_α
と同一視される（f の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意の v ∈ V 箱の形に書ける）。
そして V の双対空間は A から F への写像全体の成す空間 FA に同一視される。実際、V 上の線型汎函数 T は V の基底におけるその値 θα = T(eα) によって一意に決定され、また任意の写像 θ: A → F ( θ(α) = θα) は
（数式がややこしいので略）
は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。
従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。
136:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 18:18:27.18 FKo26YYw.net
>>119 つづき
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双線型な乗法と双対空間
二重双対空間への単射
線型写像の転置写像
商空間と零化域
関連項目
双対性
逆格子: 結晶学における双対基底
ベクトルの共変性と反変性
参考文献
Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9
Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-900
137:93-4 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR:1878556 MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0 Rudin, Walter (1991). Functional analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. edit
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 18:29:42.68 FKo26YYw.net
>>117 関連
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
しかし、テンソル自身は、特定の表示系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。
例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。
物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。
いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。
テンソルの応用と重要性
テンソルは、物理学や工学において重要な位置を占めている。例えば、拡散テンソル画像では、さまざまな方向への臓器の水に対する微分透過率を表すテンソル量を用いて、脳の走査像が構成される。
おそらく工学でテンソルが最も活用されているのは応力テンソルとひずみテンソルだろう。これらは2階のテンソルで、4階のテンソルである弾性テンソルによって一般の線型的な素材に関連づけられている。
とくに3次元の物体中の応力を表す2階のテンソルは3次の正方行列によって成分を表示することができる。
物体の中の立方体状の無限小体積要素について3方向の面それぞれ（向かい合う面どうしは十分近いので同一視される）に一定の力がかかっていて、力は3つの方向の要素を持っている。
したがって3×3、つまり9個の成分によってこの立方体状無限小体積要素（最終的には点と見なされる）における応力が記述される。物体の境界内にはこの応力が（場所によって異なった値をとりながら）分布しており2階のテンソル（場）が考えられることになる。
抽象的なテンソルの理論は今では多重線型代数と呼ばれる線型代数の一分野になっている。
つづく
139:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 18:34:42.80 FKo26YYw.net
>>121 つづき 訂正：”あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略”は、消し忘れです
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
歴史
テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)におけるノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは1899年のヴォルデマール・フォークトからである。
テンソルの記法は1890年ごろにグレゴリオ・リッチ＝カルバストロによって絶対微分という名の下に発展させられ、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによる1900年の古典的な同名の著作によって多くの数学者たちに知られるようになった。
20世紀に入ってからはこの分野はテンソル解析として知られるようになり、1915年頃のアルベルト・アインシュタインによる一般相対性理論の導入によって広く知られるようになった。
一般相対性理論は完全にテンソルの言葉を用いて定式化される。アインシュタインは苦労の末にマルセル・グロスマンから[1] （あるいはレヴィ＝チビタ自身から） テンソルの理論を学んだとされている。
テンソルは連続体力学など他の分野でも使われている。
つづく
140:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/11 18:38:23.30 FKo26YYw.net
>>122 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
いくつかのアプローチ
古典的な方法ではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
テンソルの「成分」は配列の要素の値によって与えられることになる。この考えはテンソル場として一般化され、テンソルの成分として関数やその微分が取り扱われるようになる。
物理学における通常のテンソルの定義の仕方は、特定の規則に従って成分が変換されるような対象という言い方を用いるもので、共変変換（英語版）と反変変換（英語版）の概念がもちいられる。
現代的な（成分を使わない）アプローチではテンソルはまず抽象的に多重線形性（英語版）の概念にもとづく数学的対象として定義される。
よく知られているような諸性質が線型写像としての（あるいはもっと一般的な部分についての）定義から導かれる。テンソルの操作規則は線形代数から多重線形代数への拡張の中で自然に現れる。
数学における普通のやり方では、ある種のベクトル空間を用いて、必要なときに基底を考えるまでは特に座標系を指定しないようにされる。
例えば共変ベクトルは一次微分形式として説明できるし、あるいは反変ベクトル空間の双対空間の元として説明することもできる。
現代流の成分によらないベクトルの概念によって、成分表示にもとづく伝統的な（しかし、初学者にベクトルの概念がどんなものかを教えるには有効な）取り扱いが置き換えられるように、
この取り扱いは成分にもとづく取り扱いをより高度な考え方によって置き換えることを目的としている。
「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。
物理学者や技術者たちはベクトルやテンソルが（勝手に選べてしまうような）座標系に左右されない概念としての重要性を認識した。
同様に、数学者たちは座標表示することで簡単に導けるようなテンソルの関係があることを見いだしている。
つづく