237:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:59:14.04 Dy2WdOHw.net
これ面白い
URLﾘﾝｸ(wittyzemi.blog.fc2.com)
Ｗittyブログ 「ε－δ論法」参上！ 2015 6／19（金）
抜粋
こんにちは、Ｗｉｔｔｙゼミ 数学科講師 の宮城です。
大学入試の「受験数学」とはぜんぜんちがうでしょ。だっから、学問としての「抽象数学」はおもしろいのよ！ だっから、「受験数学エリート」が数学科で落ちこぼれていくのかもね。
今でも忘れませんよ、大学２年の前期に、よく質問に行く解析学（微積のことさ～）の教授の教官室にいつものように質問に行きましたよ（教育学部の５階よっ）。
そしたらさ～、１時間、説教されてさ～、俺なきそうだったよ、ガチで。
「毎回の質問の内容がくだらなさ過ぎる」と。いちお、数学の質問よ！
まあ～、予備校だったらさ～、「良く来たね～、おりこう、おりこう」言われていますよ。
みなさん、高校や予備校と大学はぜんぜんちがうぜ～。
そして、こう言われましたね。「あんた、数学やっていておもしろくないだろ！なっ！」
「あんたをみてるとさ、数学っていうわけのわからない重い石を、苦虫噛み潰しながらいやいや押しているようにしかわしには見えんのだがね！なっ、そうだろ！」
「あんたは、受験数学の続きをやっているんだよ、だめだよ、そんなんじゃ」「そんな勉強の仕方するんだったら、今すぐ数学科なんかやめちまえ！」
この時点で、ぼくの目には、うっすら涙が・・・。まだ続くよ。
「数学で遊ぶんだよ、遊ぶ！」「自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの！」「わかる～？」
「数学っていう重い石を押していたら、数学で遊べないだろ、なっ！」
などなど・・・。
やっぱ、数学科の教授は予備校講師や高校教師とは言うことが違いますね、言うことが・・・。
「数学で遊ぶんだよ、遊ぶ！」「自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの！」
てーげー、レベル高いぜって感じ！やっぱりさ～みなさん、「大学」って行くに値するところだよ！だって、こんな話普通聞けないでしょ。
ちなみにこの先生、大学卒業するのに５年かかっています。山口大学から京都大学大学院に進学して３０代で教授になった人です。
238:１３２人目の素数さん
15/07/18 10:07:56.07 Dy2WdOHw.net
みんさん、数学やっていておもしろくないだろ！なっ！
あんたをみてるとさ、数学っていうわけのわからない重い石を、苦虫噛み潰しながらいやいや押しているようにしかわしには見えんのだがね！なっ、そうだろ！
あんたは、受験数学の続きをやっているんだよ、だめだよ、そんなんじゃ そんな勉強の仕方するんだったら、今すぐ数学科なんかやめちまえ！
学で遊ぶんだよ、遊ぶ！ 自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの！ わかる～？
数学っていう重い石を押していたら、数学で遊べないだろ、なっ！
スレ主は、２ｃｈという手のひらで、数学というボールを自由に転がして遊んでだよ
燃料なんていらんよ。遊びだよ、遊び！ メモ帳ですよ、メモ帳！
運営なんて関係無い！ オワコン？ しったことではない！
おれが、遊んでるんだから、他人は関係ないんだよ！
239:１３２人目の素数さん
15/07/18 10:38:38.15 Dy2WdOHw.net
>>196 ボルツァーノ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベルナルト・ボルツァーノ（Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano,1781年10月5日 - 1848年12月18日）は、チェコの哲学者、数学者、論理学者、宗教学者。ライプニッツの哲学に影響を受け、反カント哲学の立場から、客観主義的な論理学や哲学を打ち立てた。
その成果は、フランツ・ブレンターノやエトムント・フッサールらに影響を与えた。
彼の名前は、ベルナルド・ボルツァーノやドイツ語圏ではベルンハルト・ボルツァーノとも呼ばれている[1]。
最晩年の1848年の暮れにはそれまで哲学的な概念で捉えられていた無限の概念を数学にも取り入れた『無限の逆説 Pradoxien des Unendlichen』を著した。
これも、重要な著作である。『無限の逆説』を執筆し終えた数日後、風邪をこじらせ体調が急速に悪化し、そのまま死去。67歳だった。
後世への影響
生前はその業績はほとんど評価されなかった。数学の分野では、遺著『無限の逆説』は、その後、実無限概念の発展に寄与した[3]。
解析学の分野では「ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理」など、彼の名が冠される定理をいくつか残している。
哲学分野では反カント主義的方法論が災いして同時代の人物からはほとんど注目されなかったが、20世紀初頭のブレンターノやフッサールによってその成果は大いに評価された[4]。
現在では近代期における重要な論理学者・数学者として認識されている。
3.^ カントル（集合論の創始者）は、ボルツァーノを実無限概念の「決定的な擁護者」と呼び、高く評価している。
4.^ フッサールは著書『論理学研究』において、ボルツァーノを「古今最大級の論理学者」と評している
240:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 10:44:13.47 Dy2WdOHw.net
Jane Style 復活しました
いやー、通常ブラウザは不便だ
エロＣＭでるし・・・（＾＾；
241:１３２人目の素数さん
15/07/18 12:38:05.34 3gIMklMT.net
スレ主さんは祝日は休みなの？
242:自演の
15/07/18 14:14:42.95 2VQhUOun.net
運営乙
243:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 14:38:20.71 Dy2WdOHw.net
>>207
どうも。スレ主です。
休みですが、仕事しようかと思ってます
244:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 14:40:45.64 Dy2WdOHw.net
>>208
そっちこそ
細かいことは記憶にないが、数年前から、定期的かつ粘着して運営乙と書いているきみ
そちらこそ、運営からの指示があってのことではないのか？
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:14:02.11 Dy2WdOHw.net
>>205
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Mathematics
Bolzano made several original contributions to mathematics.
His overall philosophical stance was that, contrary to much of the prevailing mathematics of the era, it was better not to introduce intuitive ideas such as time and motion into mathematics (Boyer 1959, pp. 268?269).
To this end, he was one of the earliest mathematicians to begin instilling rigor into mathematical analysis with his three chief mathematical works 論文1 (1810), 論文2(1816) and 論文3 (1817).
These works presented "...a sample of a new way of developing analysis", whose ultimate goal would not be realized until some fifty years later when they came to the attention of Karl Weierstrass (O'Connor & Robertson 2006).
To the foundations of mathematical analysis he contributed the introduction of a fully rigorous ε-δ definition of a mathematical limit.
Bolzano, like several others of his day, was skeptical of the possibility of Gottfried Leibniz's infinitesimals, that had been the earliest putative foundation for differential calculus.
Bolzano's notion of a limit was similar to the modern one: that a limit, rather than being a relation among infinitesimals,
must instead be cast in terms of how the dependent variable approaches a definite quantity as the independent variable approaches some other definite quantity.
Bolzano also gave the first purely analytic proof of the fundamental theorem of algebra, which had originally been proven by Gauss from geometrical considerations.
He also gave the first purely analytic proof of the intermediate value theorem (also known as Bolzano's theorem).
Today he is mostly remembered for the Bolzano?Weierstrass theorem,
which Karl Weierstrass developed independently and published years after Bolzano's first proof and which was initially called the Weierstrass theorem until Bolzano's earlier work was rediscovered (Boyer & Merzbach 1991, p. 561).
246:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:16:09.54 Dy2WdOHw.net
>>211
補足：en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzanoが充実している。引用のリンクも豊富。論文3 (1817).などは文字数オーバー解消のためなので、原文当たってください
247:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:29:01.80 Dy2WdOHw.net
>>172
>平凡は平凡で、不幸な天才より、人生としては幸せかもしれないと
最近モーツアルトとシューベルトのＣＤを買ったんだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 1756年1月27日 - 1791年12月5日
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 1797年1月31日 - 1828年11月19日
いずれも３０歳そこそこで亡くなっている
音楽の天才であることは間違いない
で、現代の我々、モーツアルトとシューベルトを楽しむ人。歌う人、演奏する人、楽団の指揮をする人、ＣＤを作る人・・、いろいろある。もちろん、それとは別に現代音楽を作曲する人もいる
いろんな人が居ていいんだと。みんなが、モーツアルトとシューベルトのように作曲する必要はない。多くの人はそれを楽しむ。それで良いんだと
248:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:32:00.63 utoKth6A.net
格言：オイラーの公式はこの世のすべてを語る。
私はオイラーの公式が載っている楽しいコミックを知らないが、スレ主は何かそういうの知ってる？
オイラーの公式のコミックコミック。すごいマジメなコミックならあるけど、かなりパターン化されているんだよ。
249:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:41:39.29 utoKth6A.net
最近知ったけど、JR米原駅って1番線ホームと4番線ホームがないんだって。
1番線ホームと4番線ホームは本来あった筈なんだけど、一体どこに消えんだろうね。
JR米原駅って不思議な駅だよね。
250:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:44:59.23 URLGzpCR.net
バッハが好きですね
251:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:48:12.10 lMLQBbnG.net
ハローワークって土日もやってるよな？
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:55:27.22 Dy2WdOHw.net
>>206
戻るけど
Jane Style など専用ブラウザ使うと、まさにメモ帳感覚なんだよね、２ｃｈ
検索が簡単だし、レスのビューや移動も簡単だし
快適です！ 繰り返すがエロＣＭのでない有料のプレミアム設定入れているし（＾＾；
253:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 16:04:47.55 Dy2WdOHw.net
みなさんどうも。スレ主です。
>>214 "格言：オイラーの公式はこの世のすべてを語る。"は、高瀬流でしょう。ガウスは未来の数学を見通していたなど
コミックは、あまり知りません
>>215
JR米原駅は、新幹線の追い抜かれで停車するくらいですが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
254:B1%B3%E5%8E%9F%E9%A7%85 米原駅 JR化後客車列車の減少とともに機関区・客車区は廃止され、跡地は電留線になっている。 あたりが関係しているのかも >>216 バッハも好きですね >>217 ハローワークは幸いまだお世話になっていないんで、良く分からない
255:１３２人目の素数さん
15/07/18 16:24:53.41 3gIMklMT.net
スレ主さんに相談
雪江代数がどうしてもわからないんだけど僕に合った代数の教科書ありますか
256:１３２人目の素数さん
15/07/18 16:47:27.25 utoKth6A.net
>>219
よく分からんが、高瀬流のいい方になるの？
オイラーの公式って複素平面C上の単位円周S^1についての公式で、S^1はリー群だから、
S^1やリー群を探ることで新たな道が開けることもあると思うんだけど。
それ位にリー群関係のヒルベルトの第5問題は重要だったんだよ。
シュヴァレーやポントリャーギンでも読んでみ。何かが得られるよ。おススメだよ。
ちなみに、コミックって西岡久美子氏の名前を逆読みしてコミックにかけた冗談のつもり。
久美子氏がコミックのつもりで書いたかのような、マジメといわれる超越数論の啓蒙書はあるよ。
手元にはないけど。塩川氏のはよく書けている。まあ、経験上、
女性は冗談が通用しないことが少なくないから、この辺りの冗談については難しいんだけど。
無礼者扱いされて、こういう冗談は笑えなくなって通用しないだろうな。
257:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 18:26:12.55 Dy2WdOHw.net
>>220
どうも。スレ主です。
一般的な言い方になるが
１．一冊で分かる本って少ないように思う
２．周囲で聞ける人がいないのか？ ２ちゃんねるなんかで質問せずに！
３．具体的に、どこが分からないのかね？
４．普通、分からないところはスルーして、最後まで読んでみるもんだよ。そして、分からないところに戻るべし
258:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 18:32:37.26 Dy2WdOHw.net
>>221
高瀬氏は、オイラー教およびガウス教の熱心な使徒だからね
オイラーの公式は、多数あるよね
具体的に書いてくれれば、別のコメントの仕方があったかも
西岡久美子氏の超越数論の啓蒙書と、シュヴァレーやポントリャーギンと、リー群関係のヒルベルトの第5問題とが繋がってこないんだが・・、はて？
259:１３２人目の素数さん
15/07/18 18:43:35.41 3gIMklMT.net
>>222
> ２．周囲で聞ける人がいないのか？ ２ちゃんねるなんかで質問せずに！
いない
> ３．具体的に、どこが分からないのかね？
冒頭から
> ４．普通、分からないところはスルーして、最後まで読んでみるもんだよ。そして、分からないところに戻るべし
わからないところ多すぎ
260:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 19:56:06.60 Dy2WdOHw.net
>>224
どうも。スレ主です。
正直なの？ 冒頭からわからん本をなぜ買う？
では、さらに質問
１．雪江代数は複数あったように思うが、具体的書名を教えて
２．なんのための代数をやるのか？ 数学科か？ それとも数学科以外の理系？ 文系？
３．大学何回生だい？ わからないところ多すぎなら、少し前からやる方が良いとおもうので
261:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:03:31.08 Dy2WdOHw.net
>>223
第5問題 和文と英文でニュアンスが違うね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
第5問題
位相群がリー群となるための条件
「関数の微分可能性を仮定しないとき、リーによる連続変換群（リー群）の概念は成立するか。」
この問題は1930年にノイマンによって証明されたのを皮切りに、ポントリャーギン、シェヴァレー、マルツェフ等により局所ビコンパクト群の理論が発展されていった。
その後1952年にはグリースン、以降モントゴメリ、ズイッピンらによっても解かれた。最終的には1957年にグラスコフが完全な形での証明を発表した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
262:lems 5th 1953? Are continuous groups automatically differential groups? Resolved by Andrew Gleason, depending on how the original statement is interpreted. If, however, it is understood as an equivalent of the Hilbert?Smith conjecture, it is still unsolved.
263:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:46:08.52 Dy2WdOHw.net
>>126
ハミルトン力学関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シンプレクティック幾何学（シンプレクティックきかがく、英: symplectic geometry）とは、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学をいう。
シンプレクティック幾何学は解析力学を起源とするが、現在では大域解析学の一分野でもあり、可積分系・非可換幾何学・代数幾何学などとも深い繋がりを持つ。また、弦理論や超対称性との関わりも盛んに研究がなされている。
目次
1 解析力学とシンプレクティック幾何
2 対称性と可積分系
2.1 定理（ラグランジュ形式）
2.2 定理（ハミルトン形式）
3 量子力学との関わり
4 幾何学的量子化と非可換幾何学
5 シンプレクティックトポロジーへ
6 アーノルド予想とフレアーホモロジー
7 シンプレクティック幾何学に関わる数学者
8 参考文献
264:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:48:14.93 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学におけるシンプレクティック多様体（symplectic manifold）は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。
シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。
シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。
実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。
シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H はエネルギー函数（英語版）(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。
どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線（英語版）はハミルトン方程式の解曲線になる。
ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。
目次
1 動機
2 定義
3 線型シンプレクティック多様体
4 ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体
5 ラグランジュファイバー構造
6 ラグランジュ写像
7 特殊化および一般化
8 関連項目
9 注
10 参考文献
11 外部リンク
265:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:55:17.84 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
"symplectic"の語源｜トーラスの日常: 2011年01月18日
数学科もしくは物理学科にいらっしゃる方はきっとどこかで聞いたことがあるであろう言葉「シンプレクティック（symplectic）」．この言葉を聞くと「何この言葉？語源は何？」ときっと思うでしょう（←まぁ知らないけどｗ）
英語版Wikitonary から引用すると，
略
以下僕のつたない和訳
語源
ヘルマン・ワイル（Hermann Weyl）によって導入された"complex"の訳語である．”complex”はラテン語の"complexus"に由来していて，「結び合わ
266:せる」という意味．"com-"は「一緒に」，”plectere”は「織る，結ぶ」を意味している． 略
267:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 21:02:48.06 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
symplecticの語源 質問者：ojisan7 質問日時：2008/04/12
symplecticの語源（意味）は何でしょうか。symplecticは英語にはない用語ですね。ラテン語系の用語だと思いますが、語源とその意味を教えてください。
また、「symplectic group」の訳語は「斜交群」ですが、この訳語は適切でしょうか。
No.2 回答者：arrysthmia 回答日時：2008/04/13 01:42
URLﾘﾝｸ(www18.ocn.ne.jp)
12月16日
この回答への補足
ありがとうございます。
symplecticはギリシャ語のsymplegmaに由来するようですね。Weylが数学にこの用語を持ち込んだようです。このへんのいきさつが知りたいですね。
symplectic groupは以前はline complex groupと云っていたようですが、これもマイチ意味がよく分かりません。
解答さんのご意見をお伺いしたいところです。
No.1 回答者：ddtddtddt 回答日時：2008/04/12 18:12
＞「symplectic group」の訳語は「斜交群」
知りませんでした。
自分が知っているのは、シンプレティック積分です。2階微分方程式である運動方程式を、1階連立微分方程式の位相空間に直して、数値積分する方法です。
少なくとも保存系の場合は、解の発散がない事が保証されているので、非線形かつ長時間積分になる数値天文学と力学系の理論の分野で発展して来たみたいです。
で。シンプレティックとは位相空間なので、運動の自由度×2となり、「偶数」という意味だと何かの本で読みました。アーノルドだったかな？。
この回答への補足
ありがとうございます。
>「偶数」という意味
もしかしたらそんな意味もあるかも知れませんね。
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 21:08:40.48 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
269:１３２人目の素数さん
15/07/18 21:09:35.13 eVElRF2N.net
全然和訳になってねーじゃねえかひでえ
symplectic は complex に対応するギリシャ語な
270:１３２人目の素数さん
15/07/18 21:18:01.10 eVElRF2N.net
ちゃんと読んでなかったすまんｋ
271:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 23:33:34.80 Dy2WdOHw.net
>>232-233
どうも。スレ主です。
いや、謝るのはこちらです
当方も、ちゃんと読んでなかった
「”complex”はラテン語の"complexus"に由来していて」の部分は前振りになっていて、本題はその次の
「一方"symplectic"は，対応する古代ギリシャ語"sym-plektos"に由来している．」なんだよね
ところが、結びが
「へぇワイルが導入したんですねぇ～まぁ結局なぜ"symplectic"が「結び合わせる」となるのかよく分からないですがｗあれにどういう気持ちをこめたらそんな名前をつけたくなるんですかいねぇ？」で、混乱させられたんだ
つまり、揚げ足取りで悪いが、トーラスの日常さんも混乱していて、「結び合わせる」は、”complex”の方で、"symplectic"じゃないよんだよね。それにつられて”complex”の方だけ引用していた
で、URLﾘﾝｸ(en.wiktionary.org) トーラスの日常さんの引用元
一方、URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net) 別のソース
What does the word “symplectic” mean? MathOverflow Nov 7 '10
23
The term "symplectic group" was suggested in The Classical Groups: their invariants and representations (1939, p. 165) by Herman Weyl:
The name "complex group" formerly advocated by me in allus
272:ion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more embarrassing through collision with the word "complex" in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective "symplectic." Dickson calls the group the "Abelian linear group" in homage to Abel who first studied it. Take a look at the Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics web page. http://jeff560.tripod.com/s.html edited Nov 7 '10 at 11:59
273:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 23:57:35.35 Dy2WdOHw.net
>>231
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
解析力学とシンプレクティック幾何
オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式
と見ることであった。この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。
速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。
それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。
ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。
なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。
一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
つづく
274:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 00:02:37.52 tMoEEhL+.net
>>235
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称性と可積分系
運動方程式は、ラグランジュ形式においては一般化座標と一般化速度とを用いて、2階の常微分方程式系（オイラー・ラグランジュ方程式）として記述された。
それに対して、ハミルトン形式においては、一般化座標と一般化運動量とを用い、1階の常微分方程式系（ハミルトンの正準方程式）により運動が記述された。
しかし、ハミルトン形式において最も特徴的なことは、方程式が対称的であり、かつ、一般化座標と一般化運動量の2つが独立に扱われることである。
この事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合がよいことを意味する。
なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性しか扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間（=配位空間の余接バンドル）上の対称性をも扱うからである。
つまり、ハミルトン形式の方がより多くの変換が許容される。
運動方程式を求積するには第一積分（保存量）が必要である。（ハミルトニアンとは独立な）第一積分の数だけ方程式の自由度を落とすことができるからである。
第一積分を使って、方程式の自由度を削減する方法を一般に簡約化という。
第一積分を見つけることは系における対称性を見つけることに等しい。系が対称性をもてば、その対称性に対応する保存量を見付けられるからである。
例えば、並進対称性があれば運動量が保存し、回転対称性をもてば角運動量が保存する。
このように、系の対称性と第一積分の存在との関係を一般的な状況下で研究したのは、ネーターが最初であるとされる。
彼女は現在ネーターの定理と呼ばれる次の定理を示した。
以下略
275:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 10:08:19.03 tMoEEhL+.net
>>236
解析力学（下記が充実している）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
抜粋
Analytical mechanics (or theoretical mechanics), developed in the 18th century and onward, are mathematical physics' refinements of classical mechanics, originally Newtonian mechanics, often termed vectorial mechanics.
To model motion, analytical mechanics uses two scalar properties of motion?its kinetic energy and its potential energy?not Newton's vectorial forces.[1]
(A scalar is represented by a quantity, as denotes intensity, whereas a
276: vector is represented by quantity and direction.) Principally Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics, both tightly intertwined, analytical mechanics efficiently extends the scope of classical mechanics to solve problems by employing the concept of a system's constraints. Using these concepts, theoretical physicists?such as Schrodinger, Dirac, Heisenberg and Feynman?developed quantum mechanics and its elaboration, quantum field theory[citation needed]. Applications and extensions reach into Einstein's general relativity as well as chaos theory. A very general result from analytical mechanics is Noether's theorem, which fuels much of modern theoretical physics. Contents 1 Intrinsic motion 2 Lagrangian mechanics 3 Hamiltonian mechanics 4 Properties of the Lagrangian and Hamiltonian functions 5 Principle of least action 6 Hamiltonian-Jacobi mechanics 7 Extensions to classical field theory 8 Routhian mechanics 9 Symmetry, conservation, and Noether's theorem 10 References and notes 11 See also https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 和文 解析力学（しょぼい）
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 10:55:53.04 tMoEEhL+.net
>>230 関連
>＞「symplectic group」の訳語は「斜交群」
> 知りませんでした。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
数学において、斜交ベクトル空間（英：symplectic vector space）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（英：symplectic form）（シンプレクティック形式ともいう）と呼ばれる非退化反対称双線形形式 ω を備えたベクトル空間 V のことである。
これは、斜交行列であることとは同一でない。斜交行列はこれと異なる概念である。
目次
1 標準斜交空間
2 体積形式
3 斜交写像
4 斜交群
5 部分空間
6 関連項目
標準斜交空間
標準斜交空間は、以下の斜交行列により与えられる斜交形式を有する R^2n である。
グラム・シュミットの正規直交化法を修正することにより、任意の有限次元斜交空間はこの様な基底を有することがわかる。これをダルブー基底という。
標準斜交形式を解釈するもう一つの方法がある。
一般化したベクトル空間を使うこととする。 V を n 次元の実ベクトル空間、V^* をその双対ベクトル空間とする。
ここで、以下の形式を持つこれら空間の直和 W := V ? V^* を考える。
V の任意の基底 (v_1, ・・・, v_n) を取り、その双対基底
(v^*_1, ・・・, v^*_n).
を考える。 xi = (vi, 0) および yi = (0, vi^*) と書くと、これら基底ベクトルが W 内にあると解することができる。 これらを一まとめにして考えると、W の完全な基底
(x_1, ・・・, x_n, y_1, ・・・, y_n)
が得られる。
ここで定義した形式 ω は、本節冒頭の形式と同一の特徴を有することを示すことができる。
関連項目
シンプレクティック多様体 は、各接空間で滑らかに変化する閉斜交形式を有する滑らかな多様体である。
斜交表現は、群の各要素が斜交変換として作用する群の表現である。
278:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:01:59.53 tMoEEhL+.net
>>218 補足
話は飛ぶが、２ｃｈはgoogleで検索の上位に来るんだ
だから、キーワード検索すると、自分の書いたこと（殆ど引用です）が、上位にヒットする
なので、”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”＋キーワード で検索かけると、天下のgoogleさまを、自分のメモ帳の検索に使える
これが便利だね（＾＾；
279:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:11:34.30 tMoEEhL+.net
>>238
余談
空間の直和 W := V ? V^*
で、直和記号が受け付けられていない（? の部分）
直和記号は、わざわざ自分で学術記号の表から引き直したのに・・
まあ、ことほどさように、２ｃｈというのは数学の議論をするには�
280:�いていない 私スレ主が、引用しかしないというバカが多い しかし、直和記号も使えない、二行にわたる数式も書けない、斜めの矢印も使えない等々の制約がある場所で、まっとうな数学の議論や証明をしようというバカは狂気としか思えんね そういう輩は、自分は２ｃｈでまともなカキコをした経験がないんだろう・・（理解能力自身に疑問もあるが）
281:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:28:22.55 tMoEEhL+.net
>>237 関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
物理学における位相空間（いそうくうかん、英語: phase space）とは、力学系の位置と運動量を座標（直交軸）とする空間のことである。数学における位相空間（topological space）と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。
ハミルトン形式においては位置と運動量が力学変数となり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。
1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。d-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ d 成分あり、合わせて 2d 成分となる。
これらを座標とする 2d 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。
d-次元空間を運動する N 個の質点系の運動の状態は 2d 次元位相空間上の N 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。
質点系は上記の分布による表現だけではなく、N 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする 2Nd-次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの 2Nd-次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。
目次
1 一次元調和振動子の例
2 脚注
3 関連項目
4 外部リンク
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 英文の方が充実している
The concept of phase space was developed in the late 19th century by Ludwig Boltzmann, Henri Poincare, and Willard Gibbs.[1]
Contents
1 Introduction
1.1 Conjugate momenta
1.2 Statistical ensembles in phase space
2 Examples
2.1 Low dimensions
2.2 Chaos theory
3 Phase plot
4 Quantum mechanics
5 Thermodynamics and statistical mechanics
6 Phase Integral
7 See also
8 References
9 External links
282:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:34:58.43 tMoEEhL+.net
>>241 関連
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
位相空間(言葉の定義)
物理をやっている人と，数学をやっている人では言葉の使い方が違う場合があります．位相空間という言葉はとくに混乱の元になるものです．この記事は，この用語の違いを説明するためだけのものです．
数学における位相空間
数学における位相空間というのは，分かりやすく言うと，みなさんが知っている普通の図形から，長さを取り去ってしまった場合に残る幾何学的性質のある空間のことです．
なんのこっちゃという感じですね．
物理における位相空間
次に，物理に出てくる位相空間とは，どういうものかを説明します．もともと力学から出発した考えかたですが，質点の運動を記述するには位置 (x,y,z) と３成分，速度 (u,v,w) の３成分の計６成分が必要です．
これを二つの３次元ベクトルとして計算する代わりに， (x,y,z,u,v,w) という６次元ベクトルを一つ考える方が簡単です．というのは，質点の運動が，この６次元空間上に，一本の曲線の軌跡として表現できてしまうからです．これが物理における位相空間です．
時間発展する運動を記述するために，さらに高次元に拡張した位相空間を考える場合もありますが，考え方は同じです． [*] n個の変数によって決まる運動の軌跡を，n次元空間上の曲線に対応させる，ということです．
まとめ
数学で位相空間というのは，位相構造のある空間のことで，ぐにゃぐにゃ図形の幾何学を扱うための空間です．
物理で位相空間というのは，運動の状態を一点で対応させることが出来るように考えた高次元空間のことです．
物理の位相空間のことを，数学者は『相空間』と呼び，数学の位相空間と区別しています．
数学の位相空間を，物理学者が使うことはあまりないので，物理学者サイドからの呼び方はありません．(ToT)/~
(あえて区別するために，『トポロジースペース』と呼んだりもするようです．数学寄りの立場で物理をやっている人は，普段から位相空間と相空間を区別して使っています．この辺の事情は色々です．とにかく，みなさんは混乱しないようにして下さい．)
283:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:46:50.63 tMoEEhL+.net
>>241-242
余接が、なんとなくイメージ出来てきた
ハミルトン力学で、運動量を変数(p1,p2,p3)の空間と見たときに、運動量の空間＝余接空間だと
逆に、接空間がイメージできなくなってきた・・・（＾＾；
284:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 12:28:56.50 tMoEEhL+.net
>>243
>逆に、接空間がイメージできなくなってきた・・・（＾＾；
もう一度勉強すると下記
オイラー・ラグランジュ方程式が、配位空間（普通の空間（x,y,z））の接バンドル上の方程式で、速度を変数として用いるってことか。速度が時間の微分で接ベクトルか
余接バンドルは、ハミルトン形式で、運動量自体を変数として用いる。運動量が余接ベクトルで、それが余接バンドルを成すと・・
そういうことでしょうか
抽象化されると、まだついて行けませんが・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。
それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式
と見ることであった。
この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。
速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。
それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。
ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。
なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。
一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
接束
（接バンドルから転送）
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束 (tangent bundle) は M の接空間の非交和[note 1]である。
TxM は M の点 x における接空間を表す。
なので、TM の元は対 (x, v)、ただし x は M の点で v は M の x における接空間、と考えることができる。
285:１３２人目の素数さん
15/07/19 12:43:41.28 GXPl6x4Q.net
ガロア理論の話してよ
スレ主さん脱線しすぎ
286:１３２人目の素数さん
15/07/19 13:39:30.00 FuwDSfVa.net
ガロア気泡はもうお終いw
287:１３２人目の素数さん
15/07/19 15:19:40.77 VbKQaBi2.net
理解できてない話をただコピペするだけの作業
288:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:13:13.87 tMoEEhL+.net
>>245-247
古典ガロア理論（含むアルティン）は、私スレ主的には、もう卒業なんだよ
グロタン流は、まだ理解できないが
なので、質問があったらなんでも聞いて下さい
私が答えられなくても、他の人が答えてくれるかも知れないしね
289:１３２人目の素数さん
15/07/19 16:19:58.19 GXPl6x4Q.net
>>248
ガロア理論を掲げた数学板のスレはここしかないんだから
スレ主さんは責任をもってガロア理論を語り続けるべきだと思う
290:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:25:52.35 tMoEEhL+.net
グロタン流のガロア理論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、
アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。
古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はグロタンディークのガロア理論と呼ばれることもある。
目次
1 ガロア圏成立の経緯
2 定義
3 その他の話題
4 脚注
5 参考文献
ガロア圏成立の経緯
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体のガロア理論の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、代数幾何学の設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群の研究方法をもたらした。
体論の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数を基礎としたエミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。
どのようにしてこれを体の場合に適用するかを知るには、体のテンソル積を研究する必要がある。
291:トポスの理論の中の体のテンソル積は、原子的トポス(atomic topos)の理論の全体となる。 その他の話題 知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。
292:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:27:03.28 tMoEEhL+.net
>>249
あほかおまえは？ 責任だと？ ばかもやすみやすみに・・・（＾＾；
293:１３２人目の素数さん
15/07/19 16:28:49.38 5o5PUMVs.net
だってスレ主阿呆やし
294:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:29:09.42 tMoEEhL+.net
>>250 補足
正直グロタン先生は難しすぎで、理解できてない話をただコピペするだけの作業です、はい
295:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:29:57.45 tMoEEhL+.net
>>252
スレ主阿呆は自明ですよ。証明不要！（＾＾；
296:１３２人目の素数さん
15/07/19 17:11:40.34 kPLbukU7.net
スレ主は過去スレで何度かCoxをすすめていたけれども
スレ主がCoxのガロワ理論(上)を語るとかその読書日記をやってみるとか
確か上巻は持っていなかったような気がするから
とりあえず手始めに上巻を買いに行くところから日記をつけてみよう
297:１３２人目の素数さん
15/07/19 18:03:11.97 GXPl6x4Q.net
読書日記は俺も読みたい
298:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 18:14:09.11 tMoEEhL+.net
>>255-256
ご期待にそえなくて、私としても非常に残念です・・・（＾＾；
299:１３２人目の素数さん
15/07/19 18:17:25.81 GXPl6x4Q.net
>>257
やろうよ。読書日記。
300:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 18:20:33.95 tMoEEhL+.net
>>257
補足
Coxのガロワ理論(上)は、買ったよ
Coxの原書（英文）も買った （アマゾンで買えたから）
大人買いですよ、大人買い！
いちおう、さらった目を通して、つまみ読みして
で、いま書棚のこやし（つんどく）になってます（＾＾；
なにかイベントがあれば、読もうと思っています
でも、気分は古典ガロア理論卒業なんだ（含むアルティン、除く位相群とグロタン先生）
やるなら、位相群かな。あとグロタン先生へ
でもいま、気分は佐藤なんだ
301:１３２人目の素数さん
15/07/19 18:26:22.91 VbKQaBi2.net
コピペしてるうちに「ガロア理論は自分は理解した」と思い込みをし始めたのか
Cox読めもしないのに、哀れなやつよ
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 18:59:36.56 tMoEEhL+.net
>>260
どうも。スレ主です。
自分のことを言っているのか？
303:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 20:02:58.09 tMoEEhL+.net
>>221
西岡 久美子先生関連でこんなのが
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Mahler関数と超越数 西岡 久美子 数学 1992
抜粋
(aij(z))が一般の行列の場合を,Mahlerの方法で扱うのは困難であったが,最近超越数論に登場したNesterenko理論を使って次の定理が証明される｡
定理1(Nishio:ka[34］)｡
f1,… ,fm,α は上の通りとする.このとき 略
有限オートマトシとMahler関数との関係はLoxton[13],:Loxton-van der Poorten[16]に詳しい｡
定理1の証明の概略は次節で述べるが,その際Nesterenkoの方法が本質的である.
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 20:28:22.54 tMoEEhL+.net
ここら（下記）が参考になるんやろね。内容は正直わかりませんが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 超越数
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) Transcendental Number from Wolfram MathWorld
305:１３２人目の素数さん
15/07/19 21:28:47.11 4jiM+KOh.net
(*ﾟ∀ﾟ)b なかのひとおつw
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 21:52:47.26 tMoEEhL+.net
どうも。スレ主です。
ぼく、ごくろうさん。ひらがなおぼえたんか。さんすうすきか
307:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 22:20:32.05 tMoEEhL+.net
>>259
Coxのガロワ理論(上)を書棚から出してみたけど、まあ普通だね
でも、数学ノートと歴史ノートが良い
知識としては、すでに知っていることが多いが、まとめてくれているのが良いね
日記を書くほどのことでもない
ついでに、書棚のこやしの現代思想 201104号 「特集 ガロアの思想 若き数学者の革命」を出してきた
検索すると、下記がある
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2011-04-04 思想としてのガロア理論
自分も寄稿している雑誌『現代思想』青土社」の4月号、特集「ガロアの思考～若き数学者の革命」が届いた。
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫
出版社/メーカー: 青土社
発売日: 2011/03/28
執筆陣が豪華だし、なかなかがんばった特集なので、紹介してみたいと思う。
毎日毎日、「これは悪夢か幻覚ではないか」としか思えない緊迫した状況が続いていて、それどころでないかもしれないけど、(こんなときだからこその)抽象数学でひと時の息抜きをしていただければ、と思う。
以下略
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 22:28:08.29 tMoEEhL+.net
こんなのもあった
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2011-04-16 ミシン機のトポロジー
抜粋
今日も午前中に関東が震源の地震があってびびった。例の地震以来、実は、ジムに行っていない。
プールを歩きながら、論文や著作の構想を練るのを習慣としていたのだが、大きな地震が襲来したときに、さすがに水着いっちょで逃げるのが嫌だから、ジムを我慢してるのだ。
それで、最近は、家でエアロバイクをこいで代替にしている。こいでいる間は、退屈つぶしに、YUIのライブDVDを観るか、YUIのアルバムをかけながら数学書を読むかどちらかを行っている。そんな中、最近読んでいる数学書は「ホモロジー理論」に関するものだ。
昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社を書いたとき、(詳しくは、『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記）、「位相空間のガロア理論」というのを再勉強し、それがめちゃめちゃ面白かったので、(ガロアの夢、ぼくの夢 - hiroyukikojimaの日記参照)、
勢い余って、「複体のホモロジー理論」というのを勉強したくなって、学部時代から持っていた田村一郎『トポロジー』岩波全書を30年ぶりに読み始めたのである。
そーしたら、この本がめちゃめちゃよく書けた本なのだ。30年もたった今になって、感嘆の声をあげている。
定理群の構成が実にみごとで、緻密に配列順序が考え抜かれていて、読み進んでいくと、なぜ前にその補題が準備されているのかが明らかになり、なるほどなー、と思わされる。
証明も、いたずらに記号化されているわけでもなく、かといって、飛躍があるわけでもなく、また読者に計算を強いる手抜きをしているわけでもない。名人芸の数学書とはこういう本をいうのだろう。
あいまいな記憶の中だが、期末テストのことはよく覚えている。なんといってもテスト時間が長く、2時間と�
309:ｩ3時間とかあったんじゃなかったかな。ぼくは、結局、ほとんど勉強をせずにテストにのぞみ、ひどいことになった。 解き方はおろか、問題の意味さえわからない。しかし、答案を出して早々に退出する勇気が出なかった。当時の数学科では、途中退出するのは、優秀な学生と決まっていた。 天才くんたちは、持ち時間の半分も使わずに問題をすべて解き切り、悠然と退出していくのである。だから、ぼくには退出する勇気が出せなかったのだ。 以下略
310:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 22:34:12.31 tMoEEhL+.net
関連
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
抜粋
hiroyukikojimaの日記 2010-07-29 ガロアの夢、ぼくの夢
今、来月(8月)の終わり頃に刊行される新刊のゲラのチェックを終えたところだ。これは、ガロア理論の入門書。遂にガロア理論の本を出すんだよ。とても感慨深い。
ガロア理論というのは、「5次以上の方程式には解の公式がない」ということの証明を与えた理論だ。「群」と「体」という二つの数学構造を行ったり来たりすることで証明する画期的な定理だった。
ご存じの通り、エヴァリスト・ガロアは来年が生誕200年になるフランスの数学者。20歳の朝、オンナをめぐって銃で決闘して命を落とした。前夜に論文の余白に遺書を書き、それが後にガロア理論と呼ばれる論文だったわけだ。あまりに格好良すぎる。
もともとこの原稿は、拙著『数学でつまずくのはなぜか』講談社現代新書に入れる予定で書いたものだ。
この本は、「その人が数学を得意としようが苦手としようが、数学はその人個人のパーソナリティと密接な関係を持っている」ということを主張した本で、数学に障害を持った人や落ちこぼれた子どもの話などがふんだんに入っているんだけど、
その一例として、どうしてもガロアのことを入れたかった。
なぜかというと、ガロアの生み出したあまりに画期的な方法論が、不良で学校を退学になったり、革命運動で逮捕されたり、オンナに騙されて愚かな決闘をしたりするガロアの性格と切っても切れない関係にあると思ったからだ。
「理論」というのは、それを生み出した人のものの見方や人生観から生まれてくるものであり、その人のパーソナリティとは不可分だ、という例としてガロアの人生を書きたかったのだ。
でも、その原稿は残念ながら却下された。それは技術上の問題だった。まず、分量が多すぎて、これを収めると新書にならなくなる。それから、他の章と比較にならないほど数式が多いので、縦組みでは無茶だ、というのもあった。
それで泣く泣くカットすることを承諾したのだ。でもぼくは、この原稿を諦めきることができなかった。だから、生まれて初めて、出版社への企画の持ち込みということを試みた。
以下略
311:１３２人目の素数さん
15/07/20 05:45:07.30 4uEs6wJW.net
毎度毎度の引用業務、ご苦労。
ついでに言うと、ガロワの格好良さ（≒無鉄砲）よりも
ヴァイエルシュトラスの辛抱強さを見習いたい。
312:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 06:30:06.22 HDH1hG65.net
>>266 関連
以前にも引用した中村正三郎氏
URLﾘﾝｸ(iiyu.asablo.jp)
青土社、ユリイカ、現代思想。特に「現代思想」が異様に面白そうにみえる ― 2011年04月09日 中村正三郎のブログ
URLﾘﾝｸ(www.seidosha.co.jp)
現代思想 ２０１１年４月号 ガロアの思考
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命 [ムック]
「ガロアの思考」は、面白そう。名前を知っている、文章を読んだことがあ
る人は、黒川信重、小島寛之、佐藤文隆、竹内薫だけだが。
なんで、いま、ガロアなのかと思ったら、今年2011年は、ガロア生誕200周
年なのか。
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 06:38:49.74 HDH1hG65.net
>>269
どうも。スレ主です。
ありがとうござんす
ここはおいらの雑記帳。ついでにみなさんのお役に立てば幸いです
ここに書くと、天下のgoogleさまを、自分のメモ帳の検索に使えるんだ>>239
まあ、雑記帳のクラウド化です
URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
クラウド化とは｜クラウドマイグレーション｜cloud migration - 意味/解説/説明/定義 ： IT用語辞典:
クラウド化とは、企業の情報システムなどで、自社内にコンピュータを設置して運用してきたシステムを、インターネットやVPNを通じて外部の事業者のクラウドサービスを利用する形に置き換えること。
クラウド化とはソフトウェアやデータ、あるいはそれらを提供するための技術基盤（サーバなど）を、インターネットなどのネットワークを通じて必要に応じて利用者に提供するサービスで、
専門の事業者が提供するクラウド化上に自社のシステムを構築して従来システムから移行することをクラウド化という。
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 07:23:29.97 HDH1hG65.net
>>255
>スレ主は過去スレで何度かCoxをすすめていたけれども
ここに戻る。過去にも書いたが、和訳上の序文 iii に
「私の信念は、アイデアの真の意味は何なのか、そして、それがどこからきたのか、ということが分かって初めて、理論のエレガントさを十分理解できる、というものである。
その結果、本書はあきらかに薄くない。それでも、エレガントに仕上がったのではないかと思っているのだが。」とある
この思想はアルティン本の対極ではないかと
あるいはブルバキとも対極か＊）
注＊）ブルバキは、ユークリッド原論の現代版を目指したと聞く。確かに、ユークリッド原論は見事な書で、１９世紀まではモデルたり得た。しかし、２１世紀の数学には適合しないように思う。
そこにCoxの工夫がある。アルティン本やブルバキと一線を画し、”理論のエレガントさを十分理解できる”ということを目指した。この視点は、アルティンやブルバキに欠けているものだった
アルティンの薄さと簡潔さを礼賛する者がいる。しかし、それはCoxとは対極だと
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 07:45:43.17 HDH1hG65.net
>>269
もどる
”ガロワの格好良さ（≒無鉄砲）”の意味がわからん
ガロワは、１８歳くらいで、正式の論文をポアソンかだれか学会の人に提出して、紛失されてしまった。その後、コーシーだったかに再提出するもまた紛失
結局、決闘前の遺言でメモを書くしかなかったのだった
ワープロもコピー機もない時代。論文を紛失されたら、手元になにも残らない時代だったと思う。それがどれだけダメージになるのか。時間のロスのみならず精神的にも
外から見た格好良さで判断しているのかも知れないが、当人は必死以外のなにものでもない。実際、翌日には決闘で致命
316:傷を負うのだから ワイエルシュトラスはこれか。辛抱強さというより、単なる幸運だと思うけど https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9 カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日）はドイツの数学者。姓のワイ (Wei) の部分はヴァイと表記するほうがより正確である。 1839年にミュンスター大学の教職課程に入り、クリストフ・グーデルマンに出会い、楕円関数論への関心を持つようになった[1]。 卒業後、26歳で教員として田舎の高校に就職する[1]。教員としての仕事（数学に国語に地理、そして体操まで教えた）をしながら、ニールス・アーベルの定理とカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの二重周期関数の研究の統合を目指した。 1854年、クレレ誌にヤコビ逆問題に関する論文を掲載され[1]、1856年ベルリン大学に招聘される。1864年に正教授に就任[1]、最後までこの地位にあった[1]。 複素解析では、解析接続に基づいた厳密な方法を発展させた。その他、イプシロン-デルタ論法、一様収束の概念の考案など、微分積分学の基礎付けや、一変数複素関数、代数関数のべき級数による理論の整備に業績を残した。 とくにリーマンとともに複素解析の研究を進めたのは有名であり[1]、リーマンが直感的方法を好んだのに対してワイエルシュトラスは厳密な解析的手法を好んだとされる[1]。
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 07:53:16.41 HDH1hG65.net
>>273 補足
ガロワにしろ、ワイエルシュトラスにしろ、結局はいずれだれかが、同じことを将来再発見しただろう
ガロワや、ワイエルシュトラスが居なくても
ただ、何年も遅れたかもしれない。ガロアの場合は、その後の経過を見ると、十年以上遅れたろう
アーベルが健在だったら、アーベル流の理論を書いたろうと言われているし
実際ガウスなども、自家用に秘蔵していた理論や定理は、後の時代にすべて再発見されているのだから
一様収束や級数展開と解析接続もいずれだれかが・・、と思います
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 08:10:53.93 HDH1hG65.net
>>270 補足
吉田輝義が書いた「ガロア理論の基本定理」について
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
心の栄養 身体の食べ物 2013年04月09日 「具象の詰まった抽象の世界にこそ数学の生命がある」 高瀬正仁
ガロア生誕200年を記念して特集された「現代思想（4月号）」（特集:ガロアの思考 若き数学者の革命）（2011年）を取り出してきて読む機会がありました。
吉田輝義が書いた「ガロア理論の基本定理」の一文に眼を通してみたいと思ったからです。ガロアを中心に数学とは何かを素人を前提として語りながら、基本定理についても必要最小限の前提から簡潔正確に紹介をしている工夫努力のあとを感じました。
このとき特集号の他の寄稿も読んでみましたが、特に興味を惹かれて読んだのが高瀬正仁の「数学における抽象化とは何か」（副題：アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの）でした。
ガロア理論の立役者であったニールス・アーベル（1802-1829）とエヴァリスト・ガロア（1811-1832）は同時代に生まれともに夭折した天才ですが、この二人を並べて数学における具象と抽象について語り数学の“生命”について論じた文章です。
数学史を専門とする�
319:M者らしく鶴亀算に代表される和算と連立一次方程式から説きおこして現代数学を造り出してきた具象と抽象とを対置してみせます。 アーベル ガロア 和算（鶴亀算、旅人算等など） 連立一次方程式 具象（のもつ神秘的な深み） 抽象（による強力な汎用性） 発見の喜び 発見の手続き化（従って喜びなし） 虫の目（登攀路を自分で登る） 鳥の目（ヘリコプターの力で登る） アーベルの代数方程式論とガロアのガロア理論の対比にとどまらず数学の他の領域、例えば岡潔の理論とアンリ・カルタンの理論などにまで広げ例示されます。 最も印象的だったのは、ガウス研究の第一人者でもある筆者が「代数的可解性は根の相互関係で定まる」とガウス自身が強く認識していたという指摘です。夭折の天才二人（ガロア、アーベル）に先行する大天才ガウスの存在があったということです。 以下略
320:１３２人目の素数さん
15/07/20 08:13:06.26 0zBtAGEv.net
月曜日もコピペが読めるなんて幸せだなあ
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 08:20:39.28 HDH1hG65.net
>>275 補足
吉田輝義「ガロア理論の基本定理」は、その数学的解説をB5版でわずか６ページで、おそらく圏論をベースに完結させている
なかなか見事なものです
322:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 08:21:47.24 HDH1hG65.net
>>276
どうも。スレ主です。
ごくろうさまです
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 09:06:37.70 HDH1hG65.net
>>274 補足
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
日々のつれづれ 2008年04月: 高瀬正仁
抜粋
2008-04-24-Thu （ガウス31）アーベルの三つの言葉－アーベルの書簡より
手紙の主眼は楕円関数論と，代数的微分式の積分の理論，すなわちアーベル積分の理論の報告に置かれていますが、末尾の辺で代数方程式論がわずかに回想されて、
《私は幸いにも、提示された任意の方程式ははたして冪根の助けを借りて解けるのか否かの認識を可能にしてくれる、ある確実な規則を見つけました。私の理論からのひとつの派生的命題として、一般に４次を越える方程式を解くのは不可能であることが示されます。》
という瞠目に値する数語が書き留められました。あの「不可能の証明」は大きな理論から派生する一命題にすぎないというのであり、代数方程式論の領域でアーベルが登攀した高い峯の所在を明示する言葉です。
このとき、アーベルの目がはっきりと見たのは、「代数的可解性が根の相互関係によって規定されている」という、真に魅力的な数学的情景であったろうと思います。
「アーベル方程式」の概念がそこから取り出され、クロネッカーの「青春の夢」に繋がる代数方程式論の新たな道筋が紡がれていきました。
2008-04-23-Wed （ガウス30）アーベルの代数方程式論(6)
遺稿「方程式の代数的解法について」の中で、アーベルはなお二通りの根の形状を記述しています。
「代数的可解方程式の根の形状の決定」という、アーベルの代数方程式論の魅力の根源をなす問題の端緒がこうして開かれました。アーベルの強靭な思索の果てに、代数方程式の理論はここにまったく新しい局面を迎えたのでした。
つづく
324:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 09:16:28.39 HDH1hG65.net
>>279 つづき
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
日々のつれづれ 2008年04月: 高瀬正仁
抜粋
2008-04-20-Sun （ガウス27）アーベルの代数方程式論(3)
「代数関数」という言葉が出てきましたが、アーベルの当時の習慣に従うと、係数の代数関数というのは、係数に対して加減乗除の基本四則演算と、冪根を作る演算（これらの五演算を「代数的演算」と総称します）とを適用して構成される表�
325:ｦ式を指しています。 係数に独立変化量が登場する場合を考えなければ、代数関数の概念を把握することはできないとアーベルは言っています。アーベルの数学を理解するうえで本質的な場面ですが、この場合の「代数関数」の一語は重い意味を担っています。 なぜなら、この代数関数は「係数に代数的演算を施して組み立てられる表示式」の範疇をはるかに越えているからです。代数方程式の代数的解法の考察を通じて、代数関数論の壮麗な建築物への通路が開かれていることがわかります。 アーベルの代数方程式論は、後年のリーマンに通じる一般的な代数関数論を念頭に置いて構想されていることが、はっきりとわかる場面です。 変化量を内包する係数を持つ代数方程式の根に着目することにより、独立変化量の個数がひとつなら一変数代数関数が認識され、複数なら、多変数の代数関数が認識されます。 とこあれ長い考察を経て、ようやく代数的可解方程式の概念が規定されました。 2008-04-18-Fri （ガウス25）アーベルの代数方程式論(1) アーベルには 「方程式の代数的解法について」 という未定稿があります。執筆時期は1828年後半と推定されます。フランス語で書かれていて、全二巻のアーベル全集の巻２の巻末に記載されています。 代数方程式に寄せるアーベルの思索がよく表明されています。構成を見ると、長い序文の後に、はじめのふたつの章 §１ 代数的表示式の一般的形状の決定 §２ ある与えられた代数的表示式が満たしうる最も低い次数の方程式の決定 が続き、さらに §３ ある与えられた次数の既約方程式を満たしうる代数的表示式の形状について へと進んでいますが、未完成に終わりました。
326:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 09:30:27.66 HDH1hG65.net
>>280 補足
ガロアが、アーベルの遺稿を読んでいたことをうかがわせる記述がある
『ガロアの時代 ガロアの数学』数学篇 彌永昌吉 P236 に
”この命題はアーベルの楕円関数に関する遺稿の中で、証明なしで引用されている”と書かれている
なので、おそらくアーベルの方程式論の遺稿も読んでいただろう・・
URLﾘﾝｸ(booklog.kinokuniya.co.jp)
『ガロアの時代 ガロアの数学』時代篇＆数学篇 彌永昌吉 丸善出版
327:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 09:40:34.38 HDH1hG65.net
>>224-225 ご参考
こういう人いるんだ・・。
ベストアンサーなどを読んでみて
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
pancy_poncyさん2012/11/620:21:26
五次以上の代数方程式に代数的な一般解は存在しないことの証明方法の“道筋”を分かり易く教えて下さい。
「証明方法を教えて下さい」ではなく、その道筋を教えてもらって自分で調べるなり本を探すなりして理解したいのですが・・・。
実はいきなりエムポストニコフの「ガロアの理論」を読んでも１ページ目で挫けてしまいました(^_^;)
かといって矢ヶ部巌の「数Ⅲ方式のガロアの理論」を読んでも初めの方で止まってしまいました。
また小針?宏の「対話・現代数学入門」もさわりだけで結局分かりませんでした。
328:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 10:46:29.98 HDH1hG65.net
>>282 補足 なんども引用しているが
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
2011-08-05 ガロア理論 青空学園だより 抜粋
雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した．
ガロア理論については思い出がある．エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った．大学に入ったらこの本を読もうと，それを励みに受験勉強した．
この本を本棚に飾って，それを読む日が来ることを励みに苦手な科目も勉強した．群論は高校3年の時，『群論入門』(稲葉榮次著，倍風館)を輪読，8割方読んでいた．
大学1年前期で線型代数もやった．準備は出来た．それで1回生の夏にようやくの思いで『ガロアの理論』を読んだのだ．
ところが，これが読めてしまうのだ．何も難しいことはない．第1部「ガロア理論の基礎」も読めた．代数的生成拡大が代数的単純拡大であることの証明に感心した他はすらすら読める．
第2部「根号による方程式の解法」も読めるのだ．あれだけ憧れていたガロア理論が読めてしまうのだ．基本定理も当たり前のように記述されている．P47～P48にはガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった．
そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．
今回，吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで，若いころの自分の思いを整理することが出来た．また論考の中の基本定理の証明にも，あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに，心を動かされた．内容は各自読んでもらいたい．
今から思えば，あのとき，19歳の夏にガロア理論を読んであのように思ったのなら，
ガロア理論がどのような公理的前提のもとに示されるのかとか，5次方程式の根の公式の不存在の証明に何が用いられるのかとか，その根幹の定理は何かとか，自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．
つまりガロア理論の構造認識である．それをしなかった，あるいはそのような問題意識は持ちえなかった．これらのことをいろいろ思い起こし考える機会となった若い吉田氏の論考に感謝する．
329:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 10:47:29.32 HDH1hG65.net
>>283
個人的には、エムポストニコフの「ガロアの理論」は分かり易かった
アルティンよりはるかに
330:１３２人目の素数さん
15/07/20 12:07:03.58 0zBtAGEv.net
やっぱ土日ほどの元気はないね
331:１３２人目の素数さん
15/07/20 12:11:06.62 mBLJmW9G.net
インポか
332:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 12:53:26.60 HDH1hG65.net
>>274 参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限級数の収束に関するアーベルの定理も著名だが、他にも無限級数の一様収束を初めて注意したことで知られる。
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
日々のつれづれ 高瀬正仁
抜粋
2012-10-31-Wed 近代数学史の成立26 複素対数と解析接続
格段にむずかしいのは複素変数の対数関数、すなわち複素対数ですが、これには無限多価性という、オイラーの発見が伴っていますから、その現象の根源を明らかにすることが課題になります。
複素関数論は解析接続のアイデアをもってこの課題に応えようとするのですが、問題はその応え方です。
今日の複素関数論のテキストを参照すると、ひとつの例外もなくいきなり「複素変数の対数関数を考えることができる」と宣言し、実解析関数を複素平面上に解析接続する道筋が叙述されていきます。
解析接続という考え方そのものにも理解するうえでの困難がひそんでいるのですが、それはひとまず措くとして、示される道筋それ自体は別にむずかしいことはなく、説明に追随していけばおのずと対数関数の無限多価性の認識に到達します。
ではありますが、それで諒解されるのは「複素対数を考えることにするとこのようになる」という状況のみで、そもそも「なぜ複素対数を考えるのか」という根本の説明がありません。「わかってもわからない」という不思議な心情に襲われるのはそのためです。
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
複素関数 桂田祐史 2014
0.2 歴史
0.2.7 Weierstrass, Riemann
(準備中: 例えば高瀬[4] のIV「リーマンとヴァイエルシュトラスの時代」. Abel について
も何か書くべきなのかしらん…)
ワイエルシュトラス(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815{1897）楕円関数論、冪級数
による解析接続、代数関数の理論など
333:。 リーマン(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 年9 月17 日- 1866 年7 月20 日) Cauchy- Riemann の関係式を元にした関数論の幾何学的理論、Riemann 面.
334:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 12:54:35.84 HDH1hG65.net
>>285-286
どうも。スレ主です。
ご期待に添えませんが、あしからず
335:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 12:58:18.75 HDH1hG65.net
>>287 補足
個人的所感だが、Riemann 面.には発想の飛躍というか、天才のひらめきを感じる。Riemann が出なければ、あの発想はもっと時間が掛かったろう
が、冪級数による解析接続は、後からみれば、極めて自然というか、１変数複素関数の自然な性質そのものだから、ワイエルシュトラスがいなくとも、そのうちだれかが気付いたように思う
336:１３２人目の素数さん
15/07/20 15:00:28.35 mtpwFLai.net
>>273
ポアソンでなくフーリエな。
ワイエルシュトラスやカントールは、クロネッカーからフルボッコにされてた。
ワイエルシュトラスはそのクロネッカーのフルボッコに耐えたんだよ。
リーマンとか他の解析やってた同時代の連中も、クロネッカーに遭遇してたら、フルボッコにされてたぞ。
クロネッカーはな、その位に解析学痛烈に批判していたんだよ。有名だと思うのだが、そういう話を知らんか。
337:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 19:35:40.12 HDH1hG65.net
>>290
どうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんやね
おっちゃん、博識やね
>ワイエルシュトラスやカントールは、クロネッカーからフルボッコにされてた。
>ワイエルシュトラスはそのクロネッカーのフルボッコに耐えたんだよ。
>リーマンとか他の解析やってた同時代の連中も、クロネッカーに遭遇してたら、フルボッコにされてたぞ。
>クロネッカーはな、その位に解析学痛烈に批判していたんだよ。有名だと思うのだが、そういう話を知らんか。
１．メンタル的に打たれ強い性格じゃないのかね、ワイエルシュトラス
２．クロネッカーのフルボッコも、ワイエルシュトラスにしてみれば、かえるのつらにしょうべん程度じゃないの
３．対して、カントールは、解析というより数学基礎論で独創的な分野だったから、性格プラス余計堪えたと思うんだよね
４．まあ、時代がね・・・、例えばガウスは複素数の扱いや、非ユークリッド幾何については、世間の批判を気にして公表には慎重だったというから
338:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 19:52:41.99 HDH1hG65.net
ワイエルシュトラスの背後には、解析という確固たる基盤がある
クロネッカーが、いくらフルボッコしようが、素手で岩盤を叩くようなものだ
対して、カントールの背後の数学基礎論の基盤は脆弱だ
フルボッコは、もろにカントールを直撃したように思うのだ
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 20:09:22.49 HDH1hG65.net
これ検索ヒットしたので、メモしておく
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
物理学から幾何学へ 中村郁 北大 数理科学 2005
これ面白いわ
340:１３２人目の素数さん
15/07/24 15:01:50.51 lNRybf1J.net
>>292
ワイエルシュトラスは、クロネッカーのフルボッコをくらって
晩年立つのが苦しい状態になった位だから、決して
>ワイエルシュトラスにしてみれば、かえるのつらにしょうべん程度
とはいえない。カントールの集合論は、広い意味では解析だよ。
元がフーリエ級数に端を発している。
341:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/24 21:59:57.90 XlCc/Kza.net
>>294
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、博識やね～
晩年立つのが苦しい状態になった位？
そうなんか！ 知らなかったね～
>カントールの集合論は、広い意味では解析だよ。
それも初耳だね
342:１３２人目の素数さん
15/07/24 22:00:46.40 qVmPVR72.net
コピペが始まれば、土日が始まったと思う
343:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/24 22:26:24.06 XlCc/Kza.net
>>295
まず、ワイエルシュトラスについて、検索するまえに
記憶を辿ると
１．大器晩成というか、４０歳くらいで高校教師（当時高校があった？）をしていて楕円関数だったか超楕円関数だったかの論文が認められて大学教授へ
２．p(ぺー)関数による楕円関数論
３．複素関数論の級数展開と解析接続
４．δ－ε論法
なんだよね
クロネッカーのフルボッコをくらっても、ワイエルシュトラスに賛同する人も沢山いたろうに
そこが、カントールと違うように思うんだよね
344:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/24 22:37:59.74 XlCc/Kza.net
>>297
カントールは、当時微積の基礎というか、無限大・無限小の数学的�
345:ﾈ位置付けが確立していなかったと思うんだよね だから、カントールの意識としては、「解析やっている」だったかも しかし、カントールのあとをついだゲーデルは、基礎論だろう（ゲーデルを解析に位置付ける人はいない） ゲーデルの位置から、振り返ると、「カントールは基礎論」という視点もありかと で、カントールの理論は空前だったと 理解してくれる人も、ワイエルシュトラス比で少数だった・・、というかクロネッカーにつく人も多かったんじゃ無いかね？
346:１３２人目の素数さん
15/07/24 22:57:36.59 paOlVUx1.net
犯罪者 中野隆一「なかのりゅういち」
美容室 ブルーム コスタ 赤羽 デコラ 池袋 カレン 川口 社長
上記人物はお客様の事を偽証申告して逮捕状をとる
共犯 遠藤孝輔「えんどうこうすけ」
意識の革命家 ザーマスターキーIII
美容師 美容院 中野隆一の店 フジテレビ 荒川区在住
散髪 ヘアメイク ホットペッパービューティー とらばーゆ
タウンワーク アシスタント レセプション
347:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/24 22:58:27.75 XlCc/Kza.net
検索でこれヒットした。おもしろいわ
URLﾘﾝｸ(pauli.isc.chubu.ac.jp)
[PDF]数学の基礎としての集合論 vs. 数学としての集合論 -
渕野 昌 (Saka ?e Fuchino) 中部大学 工学部
2003年の日本数学会秋季総合分科会での私の企画特別講演
URLﾘﾝｸ(kurt.scitec.kobe-u.ac.jp) (いま神戸大学システム情報学研究科？)
348:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/24 23:17:19.27 XlCc/Kza.net
これほんの一部の引用だが、どうよ
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
天才数学者のエピソードで綴るデンジャラス・ストーリー（２）
抜粋
この章は「数学者列伝II」ジェイムス著、蟹江幸博訳、シュプリンガー・ジャパン、と『「無限」に魅入られた天才数学者たち』アミール・Ｄ・アクゼル著、青木薫訳、早川書房を骨子としている。
カントール
ワイエルシュトラス（１８１５～１８９７．解析学の父とも言われる）の影響のもとに解析学の研究を精力的に進めていった。
カントールとワイエルシュトラスは互いに相手を高く評価し合い、その関係は生涯続いた。
クロネッカーとは犬猿の仲であった、ワイエルシュトラスの路線に沿った仕事が、旧師であるクロネッカーとカントールの生涯にわたる確執の原因となったことは、間違いないと思われる。
カントールは数学の中心地の一つであるベルリン大学に戻れることはなく、教授職を引退するまでハレ大学にいることになる。
彼は有理数のように番号が付けられる無限集合（可算集合と言う。
有理数の集合は可算集合であることは、カントールが証明した）と実数（有理数と無理数を合わせた集合）のように今で言う連続体濃度（無限集合なので個数と言う代わりに濃度と言う）の集合について深く思索するようになった。
１８７３年にはデデキントに、実数の集合は可算でないことを手紙で書き送っている。おなじみのカントールの対角線論法による証明は１８７４年に初めて行っているが、彼自身はその段階では理解が不十分であり、１８９１年になって改良を加えた強力なものにしている。
１８７９～８４年にかけて、今日では超限集合論と呼ばれている一連のこの理論の基礎的論文を発表している。
349:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/24 23:25:04.67 XlCc/Kza.net
クロネッカー vs ワイエルシュトラス どうよ
URLﾘﾝｸ(femingway.com)
第９話 いじめで名を残す | FEMINGWAY: 2001年８月記
抜粋
さて、クロネッカーのいじめは連続概念での“切断論”で有名なデデキント（Dedekind；独1831－1916）にも向けられ、さらには彼の先輩格でもあるワイエルシュトラス（Weierstrass；独1815－1897）にも向けられたといいます。
ワイエルシュトラスといえば数学史を飾るドイツの大数学者です。なんとも恐れ入る行動力ですね。
後世の人はクロネッカーを懐疑派の数学者と呼びます。数学にとって懐疑することは非常に重要なことであります。
彼の死後、その懐疑によって彼がそのいじめのより所としていた自己の数学もまた、根底から揺るがせられることになります。
そのことを知らないでこの世を去ったクロネッカーは幸せであり自信満々の一生を送ったものです。
350:１３２人目の素数さん
15/07/24 23:37:15.88 qVmPVR72.net
集合なき時代の数学
351:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 05:45:01.15 tAJoLOyr.net
>>137
>可換環論や代数幾何で現れる Spec(R)
ここをちょっと補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。
いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体
目次
1 導入
1.1 定義
1.2 簡単な例
2 諸概念
2.1 イデアルと剰余環
2.2 局所化環
2.3 素イデアルと素スペクトル
3 環の準同型
4 加群
5 ネーター環
6 環の次元
7 可換環の構成
7.1 完備化
8 性質
9 関連項目
10 注釈
10.1 出典
11 参考文献
352:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 05:54:38.57 tAJoLOyr.net
>>304 つづき
> 2.3 素イデアルと素スペクトル
素イデアルと素スペクトル
詳細は「素イデアル」および「環のスペクトル」を参照
特に重要な種類のイデアルとして、素イデアルがある（しばしば p あるいは p(ヒゲ文字)などで表す）。
この概念が生じたのは、19世紀の代数学者が（'Z と異なり）素因数分解の一意性の成り立たない環をたくさん発見したことによる（素因数分解が一意な環は一意分解環と呼ばれる）。
定義により、素イデアルは真のイデアルであって、環の二元 a, b の積 ab が p に属するならば必ず a か b のうちの少なくとも一方が p に属するという性質を持つものである（逆はイデアルの定義から任意のイデアルにおいて成り立つ）。
このことは、剰余環 R/p が整域となることといっても同じである。
また、p の補集合 R ? p が積閉集合になることと言い換えることもできる。このとき、局所化 (R ? p)?1R は独自の記法 Rp を持つ程に重要なもので、この環はただ一つの極大イデアル pRp を持つ。
このように極大イデアルが唯一であるような環は局所環と呼ばれる。
体は整域ゆえ、すでに述べたように極大イデアルは素イデアルである。
イデアルが素であること、あるいは剰余環を考えれば同じことだが環が零因子を持たないことを示すことは、一般に非常に難しい問題である。
つづく
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 06:01:36.74 tAJoLOyr.net
>>305 つづき
素イデアルは、環 R の素イデアル全体の成す集合である環のスペクトル Spec?R を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵
354:となる概念である。 既に述べたように任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは常に空でない。 R が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。 一方、、有理整数環 Z のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、（素イデアル pZ を生成する）各素数 p に対応する点も持つ。 スペクトルにはザリスキー位相と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 f に対して部分集合 D(f) = {p ∈ Spec R : f ? p} が開となるものとして定義される位相である。 この位相は解析学や微分幾何学に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ Z に対応する点の閉包は Z のスペクトル全体に一致する。 スペクトルの概念は可換環論と代数幾何学に共通する基盤である。代数幾何学は Spec?R に層 ο（実体は、局所的に、つまりさまざまな開集合上で、定義された函数の集合）を付随させることに始まる。 この空間と層からなるデータをアフィンスキームと呼ぶ。アフィンスキームが与えられたとき、基礎となる環 R は層 ο の大域切断全体の成す環として回復される。 さらに言えば、こうして得られる環とアフィンスキームとの間の一対一対応は環準同型と可換になる。 即ち任意の環準同型 f: R → S に対して矢印の向きを逆にする連続写像 Spec?S → Spec?R; q → f?1(q) が生じる。これはつまり、S の任意の素イデアルは f による原像として R の素イデアルに移されることを言うものである。 スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。 即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は（考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば）相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。 詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非女王によく反映するものである。 つづく
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 06:09:31.42 tAJoLOyr.net
>>306 つづき
>非女王に
非常にの誤変換だろう
本題つづき
アフィンスキームは（多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）スキームの局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。
（可換環引用おわり）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抽象代数学における局所環（きょくしょかん、local ring）は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で、
比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。
局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。
定義
環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ（したがって全て）満たすもののことである：
R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある（特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない）。
これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基 (Jacobson radical) にも
356:一致する。 つづく
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 06:30:55.21 tAJoLOyr.net
>>307 つづき
上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。
4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。
ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。
可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。
文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。
例
可換な例
可換（および非可換な）体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。
局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。
まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間（これはいくらでも小さく取って構わない）で一致するような函数を全て同一視する。
この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽（め、germ）または実数値連続函数芽（が）という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。
この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。
これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。
この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。
つづく
358:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 06:38:55.61 tAJoLOyr.net
>>308 つづき
これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数芽の環でもよいが、
結果として、これらの芽の環は局所環となる。
またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうしてのか特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。
もう少し算術的な例として、分母が奇数となるような有理数全体の成す環は局所環である。その極大イデアルは、分子が偶数で分母が奇数であるような分数全体である。
もっと一般に、可換環 R とその素イデアル P が与えられたとき、R の P における局所化は、P の生成する唯一の極大イデアルを持つ局所環である。
体上の（一変数あるいは多変数の）形式冪級数環も局所環の例である。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。
体上の二元数の成す多元環も局所環である。もう少し一般に、F が体で n が正整数であるならば、商環 F[X]/(Xn) は、定数項を持たない多項式の類全体の成す極大イデアルを持つ局所環となる。
実際に等比級数を使えば、定数項を持つ任意の多項式が Xn を法として可逆であることが示せる。 これらの例では、その元はどれも冪零であるか可逆であるかのいずれかである。
局所環は賦値論では重要な役割を果たす。体 K（これは函数体かもしれないしそうでないかもしれない）が与えられたとき、そこから局所環を見つけることができる。
定義により、K の部分環 R が K の付値環であるならば、K のどの非零元についても、x か x?1 のうちのいずれかが R に属す、という性質を持つ。そのような性質を持つ部分環はどれも局所環である。
K が実際に代数多様体 V 上の函数体であるならば、V の各点 P に対して、「P において定義された」函数の成す賦値環を考えることができるだろう。
V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である：
つづく
359:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 06:44:11.38
360:tAJoLOyr.net
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 06:56:23.94 tAJoLOyr.net
少し休憩
>>309-310
"K が実際に代数多様体 V 上の函数体であるならば、V の各点 P に対して、「P において定義された」函数の成す賦値環を考えることができるだろう。
V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である：
F および G が V 上の有理函数で F(P) = G(P) = 0 を満たすとする。このとき、函数 F/G の P における値というのは不定形である。
例えば簡単なところで Y/X において、極限を直線 Y = tX にそって近づけるようなことを考えると、「P における値」という概念には単純な定義というものが無いように思われるだろう。
けれども賦値を使えばこのようなことは取り除かれる。"
ここ、なんか日本語がおかしい
V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である：
↓
特に、V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取ることができる：
くらいの方が意味が通るように思う
これも、だれかの文を他の人が編集したときに、部分だけ手直しして、全体的流れを見ていないからかと想像します
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 07:30:06.58 tAJoLOyr.net
>>307
文字化け修正
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
↓
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 － x のいずれかは必ず可逆である。
補足
・あと、可逆→可逆元かな
・逆元の存在（ 0 以外の）が、言える環ってことなんかね・・
・「幾何学的直観に由来する多くの概念」というのが、いまいちイメージ湧きませんが
363:１３２人目の素数さん
15/07/25 07:47:24.65 VYNPHl5W.net
スレ主さんってオナニーするの？
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 08:16:38.27 tAJoLOyr.net
>>310 局所環つづき
諸事実と諸定義
可換の場合
(R, m) で極大イデアル m をもつ可換局所環をあらわすことにする。可換局所環 (R, m) は m の冪全体を 0 近傍系の基とする位相（これを m-進位相と呼ぶ）により自然な方法で位相環となる。
二つの局所環 (R, m), (S, n) に対して、R から S への局所環準同型とは、環準同型 f : R → S であって、f(m) ⊆ n を満たすもののことを言う。(R, m), (S, n) を m-進位相, n-進位相でそれぞれ位相環と見れば、この位相に関して連続な環準同型が、局所環の準同型である。
位相環として見た場合に、 (R, m) は完備であるかという問いを与えることができるが、これは一般には正しくない。しかしその完備化はやはり局所環となる。
もし、 (R, m) が可換ネーター的局所環であるならば、
∩_{i=1}^∞ m^i = ｛0｝
が成り立つ（クルルの交叉定理）。したがって、R は m-進位相に関してハウスドルフ空間になる。
一般の場合
局所環 R のジャコブソン根基 m（これは R の唯一の極大左イデアルであり、また唯一の極大右イデアルである）は、ちょうど環 R の非可逆元の全体のなす R の唯一の極大両側イデアルである
（非可換環の場合、環が極大両側イデアルを唯一つしかもたないとしても、それはその環が局所環であるという意味にはならないということには注意が必要である）。
局所環 R の元 x について、以下のことはみな同値である：
x が左逆元を持つこと。
x が右逆元を持つこと。
x が単元であること。
x が R の唯一の極大イデアル m に属さないこと。
(R, m) を局所環とすると、商環 R/m は体である。 J が R に一致しない両側イデアルであるなら、商環 R/J は再び局所環で、その唯一の極大イデアルは m/J で与えられる。
アーヴィング・カプランスキー（英語版） の深度定理 (deep theorem) によれば、局所環上の射影加群は自由加群である。
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 09:32:07.62 tAJoLOyr.net
>>306-307 可換環補足
（和）
スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。
即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は（考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば）相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。
詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。
アフィンスキームは（多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）スキームの局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。
（英）URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
366:ring より The spectrum also makes precise the intuition that localisation and factor rings are complementary: the natural maps R → Rf and R → R / fR correspond, after endowing the spectra of the rings in question with their Zariski topology, to complementary open and closed immersions respectively. Altogether the equivalence of the two said categories is very apt to reflect algebraic properties of rings in a geometrical manner. Affine schemes are?much the same way as manifolds are locally given by open subsets of Rn?local models for schemes, which are the object of study in algebraic geometry. Therefore, many notions that apply to rings and homomorphisms stem from geometric intuition. 英文の方が分かりやすいね "「幾何学的直観に由来する多くの概念」というのが、いまいちイメージ湧きませんが">>312 と書いた 英文読むと、”the same way as manifolds”ということで、manifoldsの幾何学で成り立つことが、”the object of study in algebraic geometry”でも成り立つという意味だと 「manifoldsの幾何学で成り立つこと」というのが、まだイメージ湧きません。リーマン・ロッホ（下記）などがその例でしょうか https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 10:00:11.77 tAJoLOyr.net
代数幾何の点
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Glossary of algebraic geometry
point
A scheme S is a locally ringed space, so a fortiori a topological space, but the meanings of point of S are threefold:
a point P of the underlying topological space;
a T -valued point of S is a morphism from T to S , for any scheme T ;
a geometric point, where S is defined over (is equipped with a morphism to) Spec(K) , where K is a field, is a morphism from Spec ({￣K}) to S where {￣K} is an algebraic closure of K.
Geometric points are what in the most classical cases, for example algebraic varieties that are complex manifolds, would be the ordinary-sense points.
The points P of the underlying space include analogues of the generic points (in the sense of Zariski, not that of Andre Weil), which specialise to ordinary-sense points.
The T -valued points are thought of, via Yoneda's lemma, as a way of identifying S with the representable functor h_{S} it sets up.
Historically there was a process by which projective geometry added more points (e.g. complex points, line at infinity) to simplify the geometry by refining the basic objects.
The T -valued points were a massive further step. As part of the predominating Grothendieck approach, there are three corresponding notions of fiber of a morphism: the first being the simple inverse image of a point.
The other two are formed by creating fiber products of two morphisms. For example, a geometric fiber of a morphism S^’ → S is thought of as
S^’ ×_{S} Spec({￣K}) .
This makes the extension from affine schemes, where it is just the tensor product of R-algebras, to all schemes of the fiber product operation a significant (if technically anodyne) result.
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 20:38:27.87 tAJoLOyr.net
こんなのがありました
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
代数幾何学入門講座～スキーム理論入門～ ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2015/1/7）投稿日：2012/6/28
難しい代数幾何が、私のような平凡な頭の者にも少しでも身近なものにならないだろうかと何度も思ったことです。
代数方程式は素朴な対象であるがゆえに、昔から多くの数学者たちの研究の的になってきました。
そもそも一般に幾何学をやるといっても、どこ上で幾何をやるのかというのは問題になります。（C上かR上か。Qやp進体Qpか、はたまたZか。体Fpか。体上か環上か。などなど。）
たとえば代数閉体であるC上なら点もいっぱいつまっているし、どんな代数方程式をもってきても解が中に詰まってるし十分に安心して幾何学の議論として扱えそうです。
しかしZなどの（不毛な）世界に降りてくると、もはや点がただポツポツ並んでるだけといった世界になり、十分満足できるような幾何学と呼べるものにするのが難くなってきます。
しかし数論においても面白いのは何と言ってもZの世界であり、何とか扱えるようにしたいというのがみんなの願いではあります。
つづく
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 20:41:27.17 tAJoLOyr.net
>>317 つづき
そこでちゃんとした幾何学として扱うには（例えばですが）ある程度位相を拡張したり、絶対値や距離をつけたり点を詰めたりするなど今後いろんなアイディアが必要になってきそうです。(○)
GrothendieckはZや体ばかりでなく、一般の環に対しても幾何学を構築することを考えました。それをスキームという視点で書き直そうとしたのです。
スキームは可換環を幾何学的にとらえようという考え方です。そしてそれら異世界を自由に横断できる仕組みがあれば、それをまさに枠組み（スキーム）と呼ぶことにします。
まず代数方程式があれば、局所的にはアフィン空間、大域的には射影空間（アフィン空間を包むような空間）に置くのが普通です。
射影空間の中でコンパクト化が可能で、代数方程式を局所的には可換環論、大域的には後でいうようにコホモロジーに帰着させます。
代数方程式があればそれに伴う座標環が定義できます。これは可換環であって、代数方程式の情報を含んでいます。
それではこの座標環を調べよう。いやそればかりでなく、一般に可換環を調べることができれば、このような代数方程式ばかりではなく、いろんな環を一括して扱うことができます。
可換環を見るという視点によって統一的に見ることが可能ではないか。
そして可換環は幾何学的に見ることでより深く知ることができるのです。このことが代数幾何と可換環論が両足となって一歩一歩進化してきた歴史でもあります。
たとえば代数体の整数環・代数曲線・コンパクトリーマン面はどれも1次元正則スキームというものの例になります。（ここで「次元」は幾何学から来た単語。）
これは幾何学的に見た例です。スキームという見方によって、これら違うものが一つに統一されたのです。歴史的には代数体と関数体との類似をたどって生まれてきたので、必ず代数体を見ながらそれが関数体側ではどう対応しているかを念頭に置いて学んでいくとよいと思います。
(『数論Ⅰ』Fermatの夢と類体論・「局所と大域」。 たとえばイデアル類群とヤコビ多様体。)
以下省略。（本文を読んでください）
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 20:
371:52:42.05 ID:tAJoLOyr.net
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:45:01.30 tAJoLOyr.net
ライター：sedrft1さん、こんなのもある。いいね
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ホモロジー？ コホモロジー？ （空間と関数との関連性）
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2014/9/24）投稿日：2012/1/21
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2013/7/20）投稿日：2012/1/17
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:48:50.24 tAJoLOyr.net
さわりをご紹介
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
ホモロジー？ コホモロジー？ （空間と関数との関連性）
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2014/9/24）投稿日：2012/1/21
私が大学の数学科に入って面食らったのが、このホモロジー、コホモロジーというものです。
なにしろ抽象的で難しい…。何を言っているのかさっぱり分からない…。
とにかく、平凡な頭の私にはさっぱりの内容でした。
私は代数的位相幾何を専門的に勉強してきたわけではないし、もちろん今でもよく分からないのですが、とりあえず出来る範囲で説明したいと思います。
（参考文献：『コホモロジー』安藤・他（著）、日本評論社）
よくホモロジーの習い始めで最初に出てくるのは単体分割のホモロジーです。
直観的にはこれがもっとも分かりやすい、教育的なものではないかと思います。
すなわち、与えられた空間を単体分割（線分や三角形など）という、もっともわかりやすい基本的な要素に分解し、そこに加群をうまく入れて代数的に計算できるようにして、ホモロジーという空間の位相的性質をもつ群を定義するというものです。
特異ホモロジーでは特異単体というものを使って、CW複体においては開球体を使ってホモロジーを構成します。
大雑把にいえばホモロジーとは、空間の中にあるサイクルという各次元の「穴」たちの数を代数的に調べようということです。（森田茂之・著『微分形式の幾何学』岩波書店 p. 101）
つづく
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/25 21:50:10.33 tAJoLOyr.net
>>321 つづき
では次にコホモロジーとは何か。
線形代数でもやりましたが、ベクトル空間があれば双対空間というのがあります。
双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。
さて、幾何学においては与えられた空間に対し関数を考えることでその空間について調べようという考え方があります。
もし関数を調べることで空間の全体の情報を読み取ることができるなら双対性と呼ばれ（＊）、空間を「鏡」に映して関数という形にすれば、空間についてわかるということになります。
逆にいうと空間が姿を変えたものが関数であり、あるいは空間の各点に数を与えて空間を「数化」したものが関数とも言えます（◇）。実際今の幾何学の多くは与えられた空間の上に適切な関数を作ってそれを調べることに力を注いでいます（◆）。
（どのような関数が適当といえるかについて 『シンプレクティック幾何』 深谷、p .15。空間の情報を反映するような関数が、適切な関数であると考えます。）
このように、空間や何らかの数学的な対象があれば、必ずその関数をセットで考えることで数学は発展してきたのです。
そして適当な関数全体（層）で可換化され代数となり、空間が代数によって計算可能となるのです。（多様体の線形化・可換化。これが後にモチーフという思想の原点になる。 『コホモロジー』p.140）
以下省略。（本文を読んでください）