15/07/17 21:54:39.78 1bZvw6j0.net
>>168 つづき
ドリーニュ:多くのツールをマスターしなければならないので、その分野に入ることは難しいと思う。先ず、コホモロジーは今や不可欠だ。もう一つの理由は、代数幾何学は時期の連続で発展し、其々が固有の言語を持つことだ。
最初はイタリア学派(悪名高き格言"代数幾何学において、定理への反例は役立つ追加物である"によって示されるように、少し不正確だった)。その次にザリスキーとヴェイユはより良い足場に物を付けた。
後にセールとグロタンディークは新しい言語を与え、その言語は非常にパワーフルだった。このスキーム言語では、多く表現出来る。数論的応用ともっと幾何学的側面の両方をカバーする。この言語のパワーを理解するのに時間を必要とする。
もちろん、多くの基礎的定理を知る必要があるが、これが主な障害だとは思わない。最も難しいのは、グロタンディークによって作られた言語のパワーを理解し、どのように私達の通常の幾何学的直観に関係付けるかである。
パリでの見習い
Raussen and Skau:貴方がパリに来た時、アレクサンドル･グロタンディークとジャン＝ピエール･セールに接触しました。これら2人の数学者の第一印象について話していただけますか?
ドリーニュ:1964年11月のブルバキセミナーの間に、私はTitsによりグロタンディークに紹介された。私は本当にびっくりした。彼は頭を剃り、背が大変高く、少し異様な男だった。
私達は握手したが、彼のセミナーに参加するため私が数ヶ月後にパリへ行くまで何も話さなかった。
つづく
197:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 21:57:01.83 1bZvw6j0.net
>>169 つづき
それは本当に異常な体験だった。彼なりに非常にオープンで親切だった。私が出席した最初の講義を憶えている。その中で、彼は"コホモロジーオブジェクト"という表現を何度も使用した。
アーベル群に対するコホモロジーが何であるか知っていたが、"コホモロジーオブジェクト"の意味を知らなかった。講義の後、この表現で意味したことを私は�
198:ﾞに訊いた。 答を知らなければ話すべきポイントは何もないと他の多くの数学者達が考えただろうと私は思う。彼の反応は全くこれではなかった。アーベル圏において長完全列があって一つの写像の核を見るなら、先行写像の像で割る等々と非常に辛抱強く彼は私に話した。 私は一般的でない状況の中で、以下のことをすぐにわかった。彼は無知な人達に非常にオープンだった。同じアホな質問を3回訊くべきでないが、2回はいいと私は思う。 私は全くアホな質問をすることを恐れなかったし、この慣習は今日まで続けている。講義に出席する時、私は最前列に座り、分からないことがあれば、たとえ私が答えを知っているだろうと思われていても質問する。 前年に行った講義を書き上げないかと彼に頼まれたということで私は幸運だった。彼は私にノートを渡した。多くのこと、ノートの内容と数学を書く方法の両方を学んだ･･･。 これは両方とも平凡な方法、すなわち人は紙の片側のみに書いて、グロタンディークがコメント出来るように余白を残すべきである、だが偽の声明を作ることは許されないとも彼は主張した。 これは極端に難しい。普通人々はショートカットを作る。例えば、符号を保たない。これは彼の基準に合格しないのが常だった。事は正しく、正確でなければならなかった。 私の最初の編集は短すぎる、正確でないと彼は私に言った･･･。完全にやり直しせざるを得なかった。それは私にとって非常にいいことだった。 つづく
199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:01:05.67 1bZvw6j0.net
>>170 つづき
セールは全く異なる個性だった。グロタンディークは自然な一般論の中に物事を持つことを好んだ。つまり、全ストーリーを理解すること。
セールはこの重要性を認識するが、美しい特殊ケースを好む。彼はコレージュ･ド･フランスで楕円曲線に関するコースをしていた。
楕円曲線では、保型函数を含んで多くの異なる要素が一緒に来る。セールはグロタンディークよりもずっと広い数学的教養があった。
必要な場合グロタンディークは自身ですべてをやり直し、一方セールは文献のこれ又はあれを見よと人々に語れた。
グロタンディークは極端に読まなかった。彼の古典的イタリア学派幾何学との触合いは基本的にセールとデュドネから来た。
セールがグロタンディークにヴェイユ予想の本質とそれが面白い理由を説明したに違いないと私は考える。
セールはグロタンディークのやった大構築を尊重したが、それは彼の好みではなかった。
セールはモジュラー形式のような美しい概念を持つ小さなオブジェクト、具体的な問題を理解すること(例えば係数間の合同)を好んだ。
彼等の個性は非常に違ったが、セールとグロタンディークの共同研究は非常に重要で、それがグロタンディークの研究のいくらかを可能にしたと私は思う。
Raussen and Skau:地に足をつけるために貴方はセールの講義に行く必要があったと仰っている?
ドリーニュ:そうです。グロタンディークと一緒に一般論に夢中になる危険があったからだ。私の考えでは、彼は実りの無い一般論を決してこしらえなかったが、私にとって重要だと分かった異なるトピックスを見よとセールは私に言った。
つづく
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:04:11.56 1bZvw6j0.net
>>171 つづき
ヴェイユ予想
Raussen and Skau:貴方の最も有名な結果は、いわゆるヴェイユ予想の(最も難しい)第3番目の証明です。しかし、貴方の業績を語る前に、ヴェイユ予想がとても重要である理由を話してもらえますか?
ドリーニュ:一次元状況における曲線についてヴェイユの以前の定理がいくつかあった。有限体上の代数曲線と有理数の間に多くの類似がある。有理数上で、中心問題はリーマン仮説だ。
ヴェイユは有限体上の曲線に対するリーマン仮説の類似を証明してしまっており、いくつかの高次元状況も見ていた。これが当時、グラスマニアンのような簡単な代数多様体のコホモロジーを人が理解し始めたところだった。
有限体上のオブジェクトに対するある点計数が複素数上で起こったものと複素数上の関連空間の形を反映すると考えた。
ヴェイユがそれを考察した時、ヴェイユ予想には隠された2つのストーリーがある。第一に、明らかに組合わせ論的問題と複素数上の幾何学的問題の間に何故関係があるべきなのか? 第二に、リーマン仮説の類似と何なのか?
2つの種類の応用はこれらの類似から来た。最初はヴェイユ自身とともに始まった。すなわち、数論的函数に対する評価。
私にとって、それらは最重要ではない。複素数上のストーリー(そこではトポロジーを使える)と組合わせ論的ストーリーの間に関係があるべき理由を説明する形式論のグロタンディークによる構築がもっと重要だ。
2番目に、有限体上の代数多様体が標準自己準同型フロベニウスを容認する。対称性として見てよく、この対称性は全状況を非常に厳密にする。それから、この情報を複素数上の幾何学的世界へ戻せる。
それは古典的代数幾何学において起こるであろうことに関する制約となり、これは表現論と保型形式論に対する応用の中で使用されている。
最初はそんな応用があることが明らかでなかったが、私にとって、それらがヴェイユ予想が重要である理由だ。
つづく
201:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:08:14.52 1bZvw6j0.net
>>172 つづき
Raussen and Skau:グロタンディークは最終ヴェイユ予想を証明する方法の計画を立てたが、うまく行かなかった。この計画についてコメント出来ますか? 貴方が証明した方法に影響がありましたか?
ドリーニュ:ない。グロタンディークの計画は人々を一定方向のみに考えさせたから、ある意味で証明を見つける障害だった。計画に従って証明出来たならば、他のいろいろ面白いことも説明しただろうから、もっと満足だったであろう。
だが、全計画が代数多様体で十分な代数的サイクルを探すことに依存し、この問題について1970年代から実質何の進歩も無かった。
私は全く違うアイデアを使った。Rankinの研究と彼の保型形式に関する研究により呼起こされている。まだ多くの応用があるが、グロタンディークの夢を実現
202:しなかった。 Raussen and Skau:グロタンディークはヴェイユ予想が証明されてもちろん喜びましたが、それでも少し失望したと聞きましたが? ドリーニュ:そうです。かつ、良い理由があって。彼の計画が実現したならば、ずっと結構なことだっただろう。彼はもう一つ別の道があるだろうとは考えなかった。 彼は私が証明したと聞いて、これやあれをしたに違いないと思ったが、私はしなかった。それが失望の理由だと思う。 Raussen and Skau:セールが証明を聞いた時の反応を貴方は語る必要があります。 ドリーニュ:まだ完璧な証明でなかった時に私は彼に手紙を書いたが、テストケースは明らかだった。彼は腱損傷の手術のため病院へ行かざるを得なかった前に、手紙を受けたと思う。 今や証明はほぼなされていると知ったから、手術室へは気分爽快な状態で入ったと彼は後で私に言った。 つづく
203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:12:44.39 1bZvw6j0.net
>>173 つづき
Raussen and Skau:多くの有名数学者達が最終ヴェイユ予想の貴方の証明を驚異と言って来ています。証明につながるアイデアをどのように得たのか述べてもらえますか?
ドリーニュ:同時に私の自由になる必要なツールを持ったということ、それらのツールが働くだろうと分かったということで私は幸運だった。証明のいくつかの部分はその後Gerard Laumonにより簡略されていて、これらのツールの多くがもはや必要でない。
当時グロタンディークは、代数多様体の超平面切断の族に関するソロモン･レフシェッツの1920年代からの研究を純粋に代数的なフレームワークに加えるアイデアを持った。
特に興味深いのはレフシェッツの命題(後にウィリアム･ホッジによって証明された、いわゆるハード･レフシェッツ定理)だった。レフシェッツのアプローチは位相的だった。
人が考えるかも知れないことと対照的に、もし議論がホッジによって与えられた証明のような解析的であるよりも、議論が位相的ならば抽象代数幾何学へ翻訳する良いチャンスがある。
グロタンディクは私に1924年のレフシェッツによる本L'analysis situs et la geometrie algebrique[訳注: 位置解析と代数幾何学]を見てくれないかと頼んだ。美しく、とても直感的な本であり、私が必要だったいくつかのツールを含んでいた。
私は保型形式にも興味を持った。Robert Rankinによる評価について私に話したのはセールだと思う。私は注意深く調べた。
Rankinは、関連しているL-函数(ランダウの結果を用いるために必要だった)に対して証明することでモジュラー形式の係数に対する自明でない評価を得ていた。その中で、L-函数の極の位置が局所因子の極に関する情報を与えた。
グロタンディークの研究が極に与えたコントロールのために、同じツールがずっと洗練されていないやり方で、ただ平方の和が正であることを使えば、ここで使用出来ると私は分かった。これが十分だった。
極は零点よりもずっと理解しやすく、Rankinのアイデアを用いることが可能だった。
私の自由となる、これらのツールすべてを持ったが、どのようにそれらをまとめたかを語れない。
まだ続くが取りあえず終わる
204:オワコンの
15/07/17 22:14:32.38 rVdvJffQ.net
運営乙
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:23:04.99 1bZvw6j0.net
>>163-174をまとめると
１．”ブルバキの集合論を与えたが、それは一少年に与える当然の選択でない。その時、私は14歳だった。その本を消化するのに少なくとも一年かかった。”
２．”たった16歳で貴方はJacques Titsの講義に行きました。”
３．”1964年11月のブルバキセミナーの間に、私はTitsによりグロタンディークに紹介された。”
４．”私は全くアホな質問をすることを恐れなかったし、この慣習は今日まで続けている。講義に出席する時、私は最前列に座り、分からないことがあれば、たとえ私が答えを知っているだろうと思われていても質問する。”
です
206:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:26:39.46 1bZvw6j0.net
>>175
unei? おまえがな
オワコン？ しったことではない
ここは天下のおれのメモ帳、備忘録さ HaHaHa
207:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:32:20.99 1bZvw6j0.net
>>162
おっちゃん、どうも
>何で今更になってそういう文章を書いたのか分からんが、
人生って、結局巡り会いかなーと最近思うようになった
ピエール･ドリーニュへのインタビューを読んでもそうだ
>>平凡だが、幸せな人生というものある。
>これは、何を以って幸せというか？ という根本的な問題にかかわることで、
208: まあそうだが 平凡は平凡で、不幸な天才より、人生としては幸せかもしれないと
209:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/17 22:47:01.65 1bZvw6j0.net
>>162
おっちゃん、どうも
>>３．ノンスタンダードなんてのも。
>そもそも、超準解析の厳密な扱いには、超積とか基礎論が必要で
>普通の解析と全く違うんだが。或る程度の学習は、さほど難しくはない。
一時の風潮として、「微積はデルタイプシロンでないと数学ではない。ワイエルシュトラス、まんせー！」があった
いまでも残っている
が、ノンスタンダードが出て、そう一面的な見方だけではないよと
超関数でデルタ関数が扱えるようになって、デルタイプシロンだけではだめだろうと
210:１３２人目の素数さん
15/07/18 00:28:37.08 URLGzpCR.net
コピペが始まれば、土日が始まった気分になる
211:１３２人目の素数さん
15/07/18 00:39:11.93 13aZFE2U.net
>>179
ガロア原論文まんせー！というスレの趣旨からすると引退宣言のような書き込みだね
212:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 04:49:27.66 Dy2WdOHw.net
>>180
どうも。スレ主です。ありがとう
>>181
どうも。スレ主です。
>ガロア原論文まんせー！というスレの趣旨からすると引退宣言のような書き込みだね
趣旨がよく分からないんだが・・
なんども書いたが、ガロア原論は学ぶべき価値があると思うんだよね
１．いわゆる抽象代数学の原点
２．ブレークスルーがある
３．いまの整備されたアルティン流のガロア理論 VS オリジナルのガロアのアイデア。その視点が、自分が何か問題に取り組むときの役に立つのではと
４．対して、ワイエルシュトラスの原論文（デルタイプシロン）を読めという人を、寡聞にして知らない
５．デルタイプシロンは、現在の位相の元かも知れないが。しかし、位相を代数的視点で見るならば、ブレークスルーはむしろP進数とp-進付値ではないだろうか
P進数URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) p-進付値URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
213:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 04:52:11.10 Dy2WdOHw.net
>>182 訂正
ガロア原論は学ぶべき価値があると思うんだよね
↓
ガロア原論文は学ぶべき価値があると思うんだよね
214:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 04:56:05.34 Dy2WdOHw.net
補足
私スレ主のガロア原論文に対する思いと、ワイエルシュトラスのデルタイプシロンに対する思いは、真逆なんだよね
215:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:03:25.96 Dy2WdOHw.net
検索したら、こんなのがヒット
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
ε-δ論法について 質問者：rockman9 質問日時：2005/05/21
大学１年です。題名通りですが微分積分学に出てくるこの論法が全く理解できません。
教授に聞いても教科書に書いてあることをそのまま説明するしかしないので、その教科書を読んでも理解できないのですから全く意味が無いです。
いきなり分けのわからない変数が２つも出てきますし...
どなたか教科書に出てるような抽象的なものよりも理解しやすい説明がありましたら（独自の説明で構いません！）教えてください！お願いします。
また理解しても問題が解けなければならないので、例題として１問だけ載せてみます。説明の際に利用できるようでしたら是非使ってください！
問
a_n=α+1/n^2 とする。(α>0)
lim(n→∞)a_n=α であることをε-δ論法を用いて証明せよ。
つづく
216:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:09:07.12 Dy2WdOHw.net
>>185 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
回答4件 No.4 回答者：betagamma 回答日時：2005/05/22
抜粋
大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも
217:多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。 ３年間大学で勉強したものの感想としては、 情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。 ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。 どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。 そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。 あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。 微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。 というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？ とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題ですw
218:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:09:54.89 Dy2WdOHw.net
>>185 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
回答4件 No.4 回答者：betagamma 回答日時：2005/05/22
抜粋
大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。
３年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？
とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題です
219:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:10:43.32 Dy2WdOHw.net
>>185 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
回答4件 No.4 回答者：betagamma
抜粋
大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。
３年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？
とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題です
220:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:14:29.82 Dy2WdOHw.net
>>185 つづき
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回答4件 No.4 回答者：betagamma
大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。
３年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？
とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題です(略)
221:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:15:30.29 Dy2WdOHw.net
>>185 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
回答 No.4 回答者：betagamma
大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。
３年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？
とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題です(略)
222:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 05:16:28.02 Dy2WdOHw.net
>>185 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
回答 No.4
大学４年です。苦労しますよねw自分は、工学部で応用数学とか情報科学に近いところをやっている人間です。
質問者さんが、何学部何学科にいるかはわかりませんが、学科によっては必ずしもεーδ論法は必要ではないと思うのです。
εーδ論法は大切で、それを使わないと厳密に理解できない応用とかもたくさんありますし、とけないテスト問題もありますが、それ以外に勉強してほしい数学もたくさんあります。
実際、自分の大学では、εーδ論法でつまづく人があまりにも多く、εーδ論法を使うクラスと使わないクラスに、大学１年の時は分かれていました。
３年間大学で勉強したものの感想としては、
情報系・応用数学にいく人は、εーδ論法は、そのうちどこかで出てくると思うので、知っておいた方がいいでしょう。あと、経済工学とかでも、出てくると思います。
ですが、機械・化学・生命化学とかにいく人は、微分方程式と線形代数がわかれば、εーδなんて知らなくてもいいんじゃないかな、と思います。
どうしてかといいますと、結局、εーδは、数学の証明をするときは必要な道具なのですが、逆にそれ以外ではあまり出てこないのです。
そもそも、無限小という考え方は、数学上はできますけど、いざコンピューターをまわして計算しようと思ったら無限小は絶対表現できないので、応用上はあんまり有用ではない訳です。
あと、たぶん 微分方程式・線形代数・ベクトル解析・複素解析とか、だいたいやらされると思います。
微分方程式の解き方とかも、実は応用上は重要じゃないんですよね。
というのは、実際問題、式でとけるような微分方程式を扱うことは少なくて（そんな問題は既にとっくの昔にやられてしまっているので）、コンピューターをまわして数値解法で解く、というのが主流なので、手計算で解けなくてもいいわけですw
ベクトル解析は、divとrotが何かぐらいわかっておいた方が、いいんじゃないかなと思います。線形代数は、最低限行列式が求められればよいのでは？
とかなんとかいってみましたが、これは、四年になったときに、数学を忘れていても最低限これだけできれば、勉強しながらついていけるよ、という話で、これだけで４年にあがれるかどうかは別問題です(略)
223:１３２人目の素数さん
15/07/18 05:43:39.81 Dy2WdOHw.net
どうも。スレ主です。
>>186-191
Jane Style で書き込みに失敗したと出るので、何度もやり直したら、実は失敗でなく多重カキコになってしまいました
申し訳ありません。ｍ（＿ ＿）ｍ
224:１３２人目の素数さん
15/07/18 06:01:56.15 Dy2WdOHw.net
どうも。スレ主です。しばらく、通常ブラウザで
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
微分積分学 (数学シリーズ) 単行本（ソフトカバー） – 1996/12/5 難波 誠 (著)
投稿者 こまおよ 投稿日 2013/1/31
形式: 単行本（ソフトカバー）
ε-δ論法に真正面から取り組むとあるが、かなり丁寧に説明してある。あっさり理解できた。
このシリーズでの制約はあるにせよ、著者の解析学全般をカバーする体系書があったら、と思った。
古典的な教科書と違い、行間のスペースも適切で証明もきれい。標準的な教科書としても、難しければよいというものでもない。良い教科書だと思う。
投稿者 榊弘道 投稿日 2015/1/8
形式: 単行本（ソフトカバー）
この本はかれこれ２０年近く前に読んだ解析学の本の自分としては納得のできた第１冊目の本です。問題も全て解きました。
投稿者 泥まみれ 投稿日 2011/6/4
形式: 単行本（ソフトカバー）
大学の微分積分学の教科書はイプシロン・デルタでなければならないといふのが俺の信念だ。最近は高等学校までの教育が最悪で、大学生の学力もずたずただから、大学の教科書でもイプシロン・デルタを使はない場合が多くなつてゐる。
本書はイプシロン・デルタの立場で書いてをり、この姿勢は評価してよい。
225:１３２人目の素数さん
15/07/18 06:08:46.90 Dy2WdOHw.net
どうも。スレ主です。しばらく、通常ブラウザ使います
URLﾘﾝｸ(taketo1024.hateblo.jp)
2015-02-08 ε と δ ～ 無限小の代理人
抜粋
どうも、佐野です。
εδ 論法のはじまり
εδ 論法は、19世紀にコーシーやワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。
17世紀、ニュートンとライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。
18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。
（以下εδ 論法の説明が続きますが、省略）
226:１３２人目の素数さん
15/07/18 06:19:34.14 5C0SnurY.net
正の実数 ε を任意に取る。
N∋n > [√(1/ε)] ⇒ 1/n^2 < ε であるから、定義により lim[n→∞](1/n^2)=0
すぐわかるように lim[n→∞]α=α だから、
lim[n→∞]a_n=lim[n→∞](α+1/n^2)=lim[n→∞]α+lim[n→∞](1/n^2)=α+0=α
227:１３２人目の素数さん
15/07/18 07:49:37.57 utoKth6A.net
>>179
>４．対して、ワイエルシュトラスの原論文（デルタイプシロン）を読めという人を、寡聞にして知らない
ε－δをはじめて考え出したのは、ワイエルシュトラスというより、むしろボルツァーノやコーシー。
ワイエルシュトラスより前から、関数をフーリエ級数として展開出来るかやその収束性が問題になっていて、
ε－δを考え出す必要に迫られていたから、コーシーとかがε－δを考え出していた。
ボルツァーノは目立たないところにε－δ関係の論文を出したりしていたから、或る意味で必然の成り行きかと。
抽象代数の原点は、ガロア理論ではなく、ルジャンドルやアーベルとかガウスじゃないか。
228:１３２人目の素数さん
15/07/18 08:44:16.93 Dy2WdOHw.net
どうも。スレ主です。しばらく、通常ブラウザ使います
（備忘録 役に立ちそうなことをメモっていきますが、私と同じです（＾＾；）
URLﾘﾝｸ(tfje.seesaa.net)
ある開発エンジニアの備忘録
役に立ちそうなことをメモっていきます
2009年08月15日
[読書]イプシロン-デルタ
抜粋
イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20) 作者: 田島 一郎 出版社/メーカー: 共立出版 発売日: 1978/05
久しぶりに、シビレル本に出会いました。
もう今更、ε-δ論法なんて勉強する必要もないけど、この本を読んで、ろくすっぽ勉強せずに過ぎていった学生時代を思い出しました。
あの時、この本読んでたら、もうチョット微分積分を勉強して、理解出来ていたのかもしれません。もう遅いけど。
イプシロン-デルタ論法自体は、大学の微分積分になって初めて出てきます。高校の数学で、なんとなくやっていた極限操作を厳密に定義します。
考え方自体は、そんなに難しくは無いんですが、応用問題とかになると頭がこんがらがって、訳が判らなくなります。大学に入って、最初につまづく個所です。
この本は、そのイプシロン-デルタに的を絞って解説した本です。100ページ程度の薄っぺらい本ですが、中身が異常に詰まっています。
少なくとも私は、読んでいて何回も「なるほど」と感心しました。判りにくい数学記号にも、少しは慣れます。
内容は、イプシロン－デルタ法の必要性から始まり、数列および関数の極限値、実数や関数の連続性と続きます。少しも論理に飛躍が無く、スムーズに話が展開されま�
229:ｷ。 つまづきそうな個所を先取りして、その辺の痒いところを丁寧に説明してくれます。おそらく、高校レベルの数学知識があれば、１週間くらいで読破できると思います。
230:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:25:30.06 Dy2WdOHw.net
>>195
どうも。スレ主です。>>185の解答ですね
>>196
おっちゃん、どうも
数学史ありがとう
ε－δ ＝ ワイエルシュトラスと耳たこだったので、そう思っていた
>抽象代数の原点は、ガロア理論ではなく、ルジャンドルやアーベルとかガウスじゃないか。
そこは諸説あるだろう
高瀬 正仁氏なら、ガウスだというのだろうね
231:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:38:01.50 Dy2WdOHw.net
>>196
どうも。スレ主です。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ε-δ 論法
歴史的背景
アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツが創設した微分積分学は、その根底に無限小（どんな正の数よりも小さな正の数）や無限大（どんな数よりも大きな数）といった実数の範囲では定義できない概念を用いたものであり、
このような状況はレオンハルト・オイラーによって微分積分学が大幅な発展を遂げる18世紀まで継続された。
19世紀に入るとオーギュスタン＝ルイ・コーシーやベルナルト・ボルツァーノらによって、厳密な議論に基づいて微分積分学を再構築しようとする試みがなされるようになる。
この時期から収束や連続に関する議論は次第に厳密性を増していく。
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
なお、ε-δ 論法の登場により一度は数学から追放された無限小や無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化され、超準解析（Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる）という分野で研究されている。
数学教育における取り扱い
ε-δ 論法を用いない微分積分学は厳密性に欠ける部分が多くなるため、教育界などでは高校数学の段階でε-δ 論法を教えるべきである、という意見もある。
一方で、所謂理系分野の学問であっても数学、物理学以外の分野では、ε-δ 論法で記述するほどの厳密性を考慮しなくても、大抵の議論は結果だけ見れば正しい結論に行き着くことが可能であるため、
大学教育においてすらε-δ 論法を不要と見なす意見もあり、ε-δ 論法を教える事の必要性については、数学教育における古くて新しい論争といえる。
232:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:41:46.66 Dy2WdOHw.net
ノンスタンダードと「直感的量の無限小量を考え無限小解析を導入する試み」とは同じと思うが、面白い考えだ
URLﾘﾝｸ(www.shinko-keirin.co.jp)
授業実践記録 「無限小量とは何か」の問いに答えて 武蔵工業大学付属高等学校 田口哲夫
1．はじめに
大学の授業において，微分積分における収束発散の議論は，εーδ論法でなされ，高校においても微分積分は，
『直感的に理解しておけ』など，意味をもたせずに dy は『単なる記号』，
さらには，dy/dx (ディy ディx と読む) は有限確定値の極限値であるから dy と dx
233:で切り離すことはできないと教えている先生も多い． その後，いくつかの計算，特に逆関数の微分ではあたかも分数のように計算し，置換積分において dy と dx は無理矢理切り離され生徒は記号の魔術にかかり『計算の結果さえあたればよいという』大胆な生徒も出現してくる． このことで，本来の数学教育が崩壊していくはめにある．ここに，自然現象を捉える学生への解析学の基本定理である無限小解析をオイラーにならって導入してみよう． まさに，高校生の数学IIIC の授業において，微分積分の想像をかき立てる局所的性質を納得するのに，直感的量の無限小量を考え無限小解析を導入する試みである． つづく
234:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:44:02.86 Dy2WdOHw.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www.shinko-keirin.co.jp)
（中略）
5．終わりに
高校数学から，一次変換，微分方程式が消え，『線形性』『変数分離形』『同次形』という難解な言葉が教科書や参考書からなくなってから十数年が経過した．
微分のもつ本来の瞬間的な意味も強調されなくなり，さらに，大学入試では数学 II ・Bまでの範囲で受験する生徒やAO入試学生も増える中，『置換積分』『部分積分』の計算すら完全に解答できない生徒も急速に増えている．
これは，我々教師が数学の微分積分の分野でしか捉えることのできない『無限小の世界』を無視して，極限や計算力に対する詰め込み知識しか学生に与えてこなかったからであろう．
工学や理学者での利用する立場から現象をもう一度考えなおすべき時期にきていると感じる．
高校生に特に想像をかき立てる，数学者コーシー以前の『オイラーの無限小解析』にもどって講議することこそ大切ではないか．
特に，無限小超実数の定義や，例題1，2で無限小量を利用するときの間違いやすい点，さらに，オイラーの微分は大学1年次の『全微分』につながっていくことを強調しておきたい．
教科書を早く終わらせることに周知して大学入試のためのパターン問題演習に入るといった高校も今後増えていく一方にある中，『εーδ論法』とはいかないまでも，局所的解析を納得させる授業技術を心掛けていかなければならないと思う昨今である．
［参考文献］
１，dx と dy の解析学 高瀬正仁著
２，無限小解析の基礎 キースラー著 齋藤正彦訳
235:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:48:31.22 Dy2WdOHw.net
このＰＤＦの数学史が面白い
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
定積分の定義について 2014 年度微分積分学II (担当:矢野充志) 北大
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)
KETpicメモ
KETpicとは、数式処理システム (Mathematica, Maple, Scilabなど) を利用した作図をTeX文書に挿入するためのマクロパッケージである。数式処理システムからの出力と違い、次のような利点がある:
ベクタ形式の図 (PDF、EPSなど) を得られる
白黒の簡潔でわかりやすい図を得られる
３次元空間内の曲面などで、輪郭線や陰線をわかりやすく描画できる
図中に補助線・記号・LaTeX数式を簡単に記入できる
ステレオグラムを作れる
ここでは、フリーウェアの数値計算システムScilabを利用したKETpicに関するメモを残す。Mathematica版やMaple版もあるが、Maple版ではうまく動かないコマンドがあったことと、Scilab版のほう
236:が最新のバージョンのKETpicが使えるのでこちらをおすすめしたい。 なにはともあれ、実例 -> Showcase
237:１３２人目の素数さん
15/07/18 09:59:14.04 Dy2WdOHw.net
これ面白い
URLﾘﾝｸ(wittyzemi.blog.fc2.com)
Ｗittyブログ 「ε－δ論法」参上！ 2015 6／19（金）
抜粋
こんにちは、Ｗｉｔｔｙゼミ 数学科講師 の宮城です。
大学入試の「受験数学」とはぜんぜんちがうでしょ。だっから、学問としての「抽象数学」はおもしろいのよ！ だっから、「受験数学エリート」が数学科で落ちこぼれていくのかもね。
今でも忘れませんよ、大学２年の前期に、よく質問に行く解析学（微積のことさ～）の教授の教官室にいつものように質問に行きましたよ（教育学部の５階よっ）。
そしたらさ～、１時間、説教されてさ～、俺なきそうだったよ、ガチで。
「毎回の質問の内容がくだらなさ過ぎる」と。いちお、数学の質問よ！
まあ～、予備校だったらさ～、「良く来たね～、おりこう、おりこう」言われていますよ。
みなさん、高校や予備校と大学はぜんぜんちがうぜ～。
そして、こう言われましたね。「あんた、数学やっていておもしろくないだろ！なっ！」
「あんたをみてるとさ、数学っていうわけのわからない重い石を、苦虫噛み潰しながらいやいや押しているようにしかわしには見えんのだがね！なっ、そうだろ！」
「あんたは、受験数学の続きをやっているんだよ、だめだよ、そんなんじゃ」「そんな勉強の仕方するんだったら、今すぐ数学科なんかやめちまえ！」
この時点で、ぼくの目には、うっすら涙が・・・。まだ続くよ。
「数学で遊ぶんだよ、遊ぶ！」「自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの！」「わかる～？」
「数学っていう重い石を押していたら、数学で遊べないだろ、なっ！」
などなど・・・。
やっぱ、数学科の教授は予備校講師や高校教師とは言うことが違いますね、言うことが・・・。
「数学で遊ぶんだよ、遊ぶ！」「自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの！」
てーげー、レベル高いぜって感じ！やっぱりさ～みなさん、「大学」って行くに値するところだよ！だって、こんな話普通聞けないでしょ。
ちなみにこの先生、大学卒業するのに５年かかっています。山口大学から京都大学大学院に進学して３０代で教授になった人です。
238:１３２人目の素数さん
15/07/18 10:07:56.07 Dy2WdOHw.net
みんさん、数学やっていておもしろくないだろ！なっ！
あんたをみてるとさ、数学っていうわけのわからない重い石を、苦虫噛み潰しながらいやいや押しているようにしかわしには見えんのだがね！なっ、そうだろ！
あんたは、受験数学の続きをやっているんだよ、だめだよ、そんなんじゃ そんな勉強の仕方するんだったら、今すぐ数学科なんかやめちまえ！
学で遊ぶんだよ、遊ぶ！ 自分の手のひらの中で、数学というボールを自由に転がして遊ぶの！ わかる～？
数学っていう重い石を押していたら、数学で遊べないだろ、なっ！
スレ主は、２ｃｈという手のひらで、数学というボールを自由に転がして遊んでだよ
燃料なんていらんよ。遊びだよ、遊び！ メモ帳ですよ、メモ帳！
運営なんて関係無い！ オワコン？ しったことではない！
おれが、遊んでるんだから、他人は関係ないんだよ！
239:１３２人目の素数さん
15/07/18 10:38:38.15 Dy2WdOHw.net
>>196 ボルツァーノ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベルナルト・ボルツァーノ（Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano,1781年10月5日 - 1848年12月18日）は、チェコの哲学者、数学者、論理学者、宗教学者。ライプニッツの哲学に影響を受け、反カント哲学の立場から、客観主義的な論理学や哲学を打ち立てた。
その成果は、フランツ・ブレンターノやエトムント・フッサールらに影響を与えた。
彼の名前は、ベルナルド・ボルツァーノやドイツ語圏ではベルンハルト・ボルツァーノとも呼ばれている[1]。
最晩年の1848年の暮れにはそれまで哲学的な概念で捉えられていた無限の概念を数学にも取り入れた『無限の逆説 Pradoxien des Unendlichen』を著した。
これも、重要な著作である。『無限の逆説』を執筆し終えた数日後、風邪をこじらせ体調が急速に悪化し、そのまま死去。67歳だった。
後世への影響
生前はその業績はほとんど評価されなかった。数学の分野では、遺著『無限の逆説』は、その後、実無限概念の発展に寄与した[3]。
解析学の分野では「ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理」など、彼の名が冠される定理をいくつか残している。
哲学分野では反カント主義的方法論が災いして同時代の人物からはほとんど注目されなかったが、20世紀初頭のブレンターノやフッサールによってその成果は大いに評価された[4]。
現在では近代期における重要な論理学者・数学者として認識されている。
3.^ カントル（集合論の創始者）は、ボルツァーノを実無限概念の「決定的な擁護者」と呼び、高く評価している。
4.^ フッサールは著書『論理学研究』において、ボルツァーノを「古今最大級の論理学者」と評している
240:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 10:44:13.47 Dy2WdOHw.net
Jane Style 復活しました
いやー、通常ブラウザは不便だ
エロＣＭでるし・・・（＾＾；
241:１３２人目の素数さん
15/07/18 12:38:05.34 3gIMklMT.net
スレ主さんは祝日は休みなの？
242:自演の
15/07/18 14:14:42.95 2VQhUOun.net
運営乙
243:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 14:38:20.71 Dy2WdOHw.net
>>207
どうも。スレ主です。
休みですが、仕事しようかと思ってます
244:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 14:40:45.64 Dy2WdOHw.net
>>208
そっちこそ
細かいことは記憶にないが、数年前から、定期的かつ粘着して運営乙と書いているきみ
そちらこそ、運営からの指示があってのことではないのか？
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:14:02.11 Dy2WdOHw.net
>>205
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Mathematics
Bolzano made several original contributions to mathematics.
His overall philosophical stance was that, contrary to much of the prevailing mathematics of the era, it was better not to introduce intuitive ideas such as time and motion into mathematics (Boyer 1959, pp. 268?269).
To this end, he was one of the earliest mathematicians to begin instilling rigor into mathematical analysis with his three chief mathematical works 論文1 (1810), 論文2(1816) and 論文3 (1817).
These works presented "...a sample of a new way of developing analysis", whose ultimate goal would not be realized until some fifty years later when they came to the attention of Karl Weierstrass (O'Connor & Robertson 2006).
To the foundations of mathematical analysis he contributed the introduction of a fully rigorous ε-δ definition of a mathematical limit.
Bolzano, like several others of his day, was skeptical of the possibility of Gottfried Leibniz's infinitesimals, that had been the earliest putative foundation for differential calculus.
Bolzano's notion of a limit was similar to the modern one: that a limit, rather than being a relation among infinitesimals,
must instead be cast in terms of how the dependent variable approaches a definite quantity as the independent variable approaches some other definite quantity.
Bolzano also gave the first purely analytic proof of the fundamental theorem of algebra, which had originally been proven by Gauss from geometrical considerations.
He also gave the first purely analytic proof of the intermediate value theorem (also known as Bolzano's theorem).
Today he is mostly remembered for the Bolzano?Weierstrass theorem,
which Karl Weierstrass developed independently and published years after Bolzano's first proof and which was initially called the Weierstrass theorem until Bolzano's earlier work was rediscovered (Boyer & Merzbach 1991, p. 561).
246:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:16:09.54 Dy2WdOHw.net
>>211
補足：en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzanoが充実している。引用のリンクも豊富。論文3 (1817).などは文字数オーバー解消のためなので、原文当たってください
247:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:29:01.80 Dy2WdOHw.net
>>172
>平凡は平凡で、不幸な天才より、人生としては幸せかもしれないと
最近モーツアルトとシューベルトのＣＤを買ったんだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 1756年1月27日 - 1791年12月5日
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 1797年1月31日 - 1828年11月19日
いずれも３０歳そこそこで亡くなっている
音楽の天才であることは間違いない
で、現代の我々、モーツアルトとシューベルトを楽しむ人。歌う人、演奏する人、楽団の指揮をする人、ＣＤを作る人・・、いろいろある。もちろん、それとは別に現代音楽を作曲する人もいる
いろんな人が居ていいんだと。みんなが、モーツアルトとシューベルトのように作曲する必要はない。多くの人はそれを楽しむ。それで良いんだと
248:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:32:00.63 utoKth6A.net
格言：オイラーの公式はこの世のすべてを語る。
私はオイラーの公式が載っている楽しいコミックを知らないが、スレ主は何かそういうの知ってる？
オイラーの公式のコミックコミック。すごいマジメなコミックならあるけど、かなりパターン化されているんだよ。
249:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:41:39.29 utoKth6A.net
最近知ったけど、JR米原駅って1番線ホームと4番線ホームがないんだって。
1番線ホームと4番線ホームは本来あった筈なんだけど、一体どこに消えんだろうね。
JR米原駅って不思議な駅だよね。
250:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:44:59.23 URLGzpCR.net
バッハが好きですね
251:１３２人目の素数さん
15/07/18 15:48:12.10 lMLQBbnG.net
ハローワークって土日もやってるよな？
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 15:55:27.22 Dy2WdOHw.net
>>206
戻るけど
Jane Style など専用ブラウザ使うと、まさにメモ帳感覚なんだよね、２ｃｈ
検索が簡単だし、レスのビューや移動も簡単だし
快適です！ 繰り返すがエロＣＭのでない有料のプレミアム設定入れているし（＾＾；
253:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 16:04:47.55 Dy2WdOHw.net
みなさんどうも。スレ主です。
>>214 "格言：オイラーの公式はこの世のすべてを語る。"は、高瀬流でしょう。ガウスは未来の数学を見通していたなど
コミックは、あまり知りません
>>215
JR米原駅は、新幹線の追い抜かれで停車するくらいですが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
254:B1%B3%E5%8E%9F%E9%A7%85 米原駅 JR化後客車列車の減少とともに機関区・客車区は廃止され、跡地は電留線になっている。 あたりが関係しているのかも >>216 バッハも好きですね >>217 ハローワークは幸いまだお世話になっていないんで、良く分からない
255:１３２人目の素数さん
15/07/18 16:24:53.41 3gIMklMT.net
スレ主さんに相談
雪江代数がどうしてもわからないんだけど僕に合った代数の教科書ありますか
256:１３２人目の素数さん
15/07/18 16:47:27.25 utoKth6A.net
>>219
よく分からんが、高瀬流のいい方になるの？
オイラーの公式って複素平面C上の単位円周S^1についての公式で、S^1はリー群だから、
S^1やリー群を探ることで新たな道が開けることもあると思うんだけど。
それ位にリー群関係のヒルベルトの第5問題は重要だったんだよ。
シュヴァレーやポントリャーギンでも読んでみ。何かが得られるよ。おススメだよ。
ちなみに、コミックって西岡久美子氏の名前を逆読みしてコミックにかけた冗談のつもり。
久美子氏がコミックのつもりで書いたかのような、マジメといわれる超越数論の啓蒙書はあるよ。
手元にはないけど。塩川氏のはよく書けている。まあ、経験上、
女性は冗談が通用しないことが少なくないから、この辺りの冗談については難しいんだけど。
無礼者扱いされて、こういう冗談は笑えなくなって通用しないだろうな。
257:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 18:26:12.55 Dy2WdOHw.net
>>220
どうも。スレ主です。
一般的な言い方になるが
１．一冊で分かる本って少ないように思う
２．周囲で聞ける人がいないのか？ ２ちゃんねるなんかで質問せずに！
３．具体的に、どこが分からないのかね？
４．普通、分からないところはスルーして、最後まで読んでみるもんだよ。そして、分からないところに戻るべし
258:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 18:32:37.26 Dy2WdOHw.net
>>221
高瀬氏は、オイラー教およびガウス教の熱心な使徒だからね
オイラーの公式は、多数あるよね
具体的に書いてくれれば、別のコメントの仕方があったかも
西岡久美子氏の超越数論の啓蒙書と、シュヴァレーやポントリャーギンと、リー群関係のヒルベルトの第5問題とが繋がってこないんだが・・、はて？
259:１３２人目の素数さん
15/07/18 18:43:35.41 3gIMklMT.net
>>222
> ２．周囲で聞ける人がいないのか？ ２ちゃんねるなんかで質問せずに！
いない
> ３．具体的に、どこが分からないのかね？
冒頭から
> ４．普通、分からないところはスルーして、最後まで読んでみるもんだよ。そして、分からないところに戻るべし
わからないところ多すぎ
260:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 19:56:06.60 Dy2WdOHw.net
>>224
どうも。スレ主です。
正直なの？ 冒頭からわからん本をなぜ買う？
では、さらに質問
１．雪江代数は複数あったように思うが、具体的書名を教えて
２．なんのための代数をやるのか？ 数学科か？ それとも数学科以外の理系？ 文系？
３．大学何回生だい？ わからないところ多すぎなら、少し前からやる方が良いとおもうので
261:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:03:31.08 Dy2WdOHw.net
>>223
第5問題 和文と英文でニュアンスが違うね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
第5問題
位相群がリー群となるための条件
「関数の微分可能性を仮定しないとき、リーによる連続変換群（リー群）の概念は成立するか。」
この問題は1930年にノイマンによって証明されたのを皮切りに、ポントリャーギン、シェヴァレー、マルツェフ等により局所ビコンパクト群の理論が発展されていった。
その後1952年にはグリースン、以降モントゴメリ、ズイッピンらによっても解かれた。最終的には1957年にグラスコフが完全な形での証明を発表した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
262:lems 5th 1953? Are continuous groups automatically differential groups? Resolved by Andrew Gleason, depending on how the original statement is interpreted. If, however, it is understood as an equivalent of the Hilbert?Smith conjecture, it is still unsolved.
263:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:46:08.52 Dy2WdOHw.net
>>126
ハミルトン力学関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シンプレクティック幾何学（シンプレクティックきかがく、英: symplectic geometry）とは、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学をいう。
シンプレクティック幾何学は解析力学を起源とするが、現在では大域解析学の一分野でもあり、可積分系・非可換幾何学・代数幾何学などとも深い繋がりを持つ。また、弦理論や超対称性との関わりも盛んに研究がなされている。
目次
1 解析力学とシンプレクティック幾何
2 対称性と可積分系
2.1 定理（ラグランジュ形式）
2.2 定理（ハミルトン形式）
3 量子力学との関わり
4 幾何学的量子化と非可換幾何学
5 シンプレクティックトポロジーへ
6 アーノルド予想とフレアーホモロジー
7 シンプレクティック幾何学に関わる数学者
8 参考文献
264:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:48:14.93 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学におけるシンプレクティック多様体（symplectic manifold）は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。
シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。
シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。
実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。
シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H はエネルギー函数（英語版）(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。
どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線（英語版）はハミルトン方程式の解曲線になる。
ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。
目次
1 動機
2 定義
3 線型シンプレクティック多様体
4 ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体
5 ラグランジュファイバー構造
6 ラグランジュ写像
7 特殊化および一般化
8 関連項目
9 注
10 参考文献
11 外部リンク
265:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 20:55:17.84 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
"symplectic"の語源｜トーラスの日常: 2011年01月18日
数学科もしくは物理学科にいらっしゃる方はきっとどこかで聞いたことがあるであろう言葉「シンプレクティック（symplectic）」．この言葉を聞くと「何この言葉？語源は何？」ときっと思うでしょう（←まぁ知らないけどｗ）
英語版Wikitonary から引用すると，
略
以下僕のつたない和訳
語源
ヘルマン・ワイル（Hermann Weyl）によって導入された"complex"の訳語である．”complex”はラテン語の"complexus"に由来していて，「結び合わ
266:せる」という意味．"com-"は「一緒に」，”plectere”は「織る，結ぶ」を意味している． 略
267:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 21:02:48.06 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
symplecticの語源 質問者：ojisan7 質問日時：2008/04/12
symplecticの語源（意味）は何でしょうか。symplecticは英語にはない用語ですね。ラテン語系の用語だと思いますが、語源とその意味を教えてください。
また、「symplectic group」の訳語は「斜交群」ですが、この訳語は適切でしょうか。
No.2 回答者：arrysthmia 回答日時：2008/04/13 01:42
URLﾘﾝｸ(www18.ocn.ne.jp)
12月16日
この回答への補足
ありがとうございます。
symplecticはギリシャ語のsymplegmaに由来するようですね。Weylが数学にこの用語を持ち込んだようです。このへんのいきさつが知りたいですね。
symplectic groupは以前はline complex groupと云っていたようですが、これもマイチ意味がよく分かりません。
解答さんのご意見をお伺いしたいところです。
No.1 回答者：ddtddtddt 回答日時：2008/04/12 18:12
＞「symplectic group」の訳語は「斜交群」
知りませんでした。
自分が知っているのは、シンプレティック積分です。2階微分方程式である運動方程式を、1階連立微分方程式の位相空間に直して、数値積分する方法です。
少なくとも保存系の場合は、解の発散がない事が保証されているので、非線形かつ長時間積分になる数値天文学と力学系の理論の分野で発展して来たみたいです。
で。シンプレティックとは位相空間なので、運動の自由度×2となり、「偶数」という意味だと何かの本で読みました。アーノルドだったかな？。
この回答への補足
ありがとうございます。
>「偶数」という意味
もしかしたらそんな意味もあるかも知れませんね。
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 21:08:40.48 Dy2WdOHw.net
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
269:１３２人目の素数さん
15/07/18 21:09:35.13 eVElRF2N.net
全然和訳になってねーじゃねえかひでえ
symplectic は complex に対応するギリシャ語な
270:１３２人目の素数さん
15/07/18 21:18:01.10 eVElRF2N.net
ちゃんと読んでなかったすまんｋ
271:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 23:33:34.80 Dy2WdOHw.net
>>232-233
どうも。スレ主です。
いや、謝るのはこちらです
当方も、ちゃんと読んでなかった
「”complex”はラテン語の"complexus"に由来していて」の部分は前振りになっていて、本題はその次の
「一方"symplectic"は，対応する古代ギリシャ語"sym-plektos"に由来している．」なんだよね
ところが、結びが
「へぇワイルが導入したんですねぇ～まぁ結局なぜ"symplectic"が「結び合わせる」となるのかよく分からないですがｗあれにどういう気持ちをこめたらそんな名前をつけたくなるんですかいねぇ？」で、混乱させられたんだ
つまり、揚げ足取りで悪いが、トーラスの日常さんも混乱していて、「結び合わせる」は、”complex”の方で、"symplectic"じゃないよんだよね。それにつられて”complex”の方だけ引用していた
で、URLﾘﾝｸ(en.wiktionary.org) トーラスの日常さんの引用元
一方、URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net) 別のソース
What does the word “symplectic” mean? MathOverflow Nov 7 '10
23
The term "symplectic group" was suggested in The Classical Groups: their invariants and representations (1939, p. 165) by Herman Weyl:
The name "complex group" formerly advocated by me in allus
272:ion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more embarrassing through collision with the word "complex" in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective "symplectic." Dickson calls the group the "Abelian linear group" in homage to Abel who first studied it. Take a look at the Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics web page. http://jeff560.tripod.com/s.html edited Nov 7 '10 at 11:59
273:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/18 23:57:35.35 Dy2WdOHw.net
>>231
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
解析力学とシンプレクティック幾何
オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式
と見ることであった。この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。
速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。
それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。
ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。
なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。
一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
つづく
274:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 00:02:37.52 tMoEEhL+.net
>>235
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称性と可積分系
運動方程式は、ラグランジュ形式においては一般化座標と一般化速度とを用いて、2階の常微分方程式系（オイラー・ラグランジュ方程式）として記述された。
それに対して、ハミルトン形式においては、一般化座標と一般化運動量とを用い、1階の常微分方程式系（ハミルトンの正準方程式）により運動が記述された。
しかし、ハミルトン形式において最も特徴的なことは、方程式が対称的であり、かつ、一般化座標と一般化運動量の2つが独立に扱われることである。
この事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合がよいことを意味する。
なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性しか扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間（=配位空間の余接バンドル）上の対称性をも扱うからである。
つまり、ハミルトン形式の方がより多くの変換が許容される。
運動方程式を求積するには第一積分（保存量）が必要である。（ハミルトニアンとは独立な）第一積分の数だけ方程式の自由度を落とすことができるからである。
第一積分を使って、方程式の自由度を削減する方法を一般に簡約化という。
第一積分を見つけることは系における対称性を見つけることに等しい。系が対称性をもてば、その対称性に対応する保存量を見付けられるからである。
例えば、並進対称性があれば運動量が保存し、回転対称性をもてば角運動量が保存する。
このように、系の対称性と第一積分の存在との関係を一般的な状況下で研究したのは、ネーターが最初であるとされる。
彼女は現在ネーターの定理と呼ばれる次の定理を示した。
以下略
275:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 10:08:19.03 tMoEEhL+.net
>>236
解析力学（下記が充実している）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
抜粋
Analytical mechanics (or theoretical mechanics), developed in the 18th century and onward, are mathematical physics' refinements of classical mechanics, originally Newtonian mechanics, often termed vectorial mechanics.
To model motion, analytical mechanics uses two scalar properties of motion?its kinetic energy and its potential energy?not Newton's vectorial forces.[1]
(A scalar is represented by a quantity, as denotes intensity, whereas a
276: vector is represented by quantity and direction.) Principally Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics, both tightly intertwined, analytical mechanics efficiently extends the scope of classical mechanics to solve problems by employing the concept of a system's constraints. Using these concepts, theoretical physicists?such as Schrodinger, Dirac, Heisenberg and Feynman?developed quantum mechanics and its elaboration, quantum field theory[citation needed]. Applications and extensions reach into Einstein's general relativity as well as chaos theory. A very general result from analytical mechanics is Noether's theorem, which fuels much of modern theoretical physics. Contents 1 Intrinsic motion 2 Lagrangian mechanics 3 Hamiltonian mechanics 4 Properties of the Lagrangian and Hamiltonian functions 5 Principle of least action 6 Hamiltonian-Jacobi mechanics 7 Extensions to classical field theory 8 Routhian mechanics 9 Symmetry, conservation, and Noether's theorem 10 References and notes 11 See also https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 和文 解析力学（しょぼい）
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 10:55:53.04 tMoEEhL+.net
>>230 関連
>＞「symplectic group」の訳語は「斜交群」
> 知りませんでした。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
数学において、斜交ベクトル空間（英：symplectic vector space）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（英：symplectic form）（シンプレクティック形式ともいう）と呼ばれる非退化反対称双線形形式 ω を備えたベクトル空間 V のことである。
これは、斜交行列であることとは同一でない。斜交行列はこれと異なる概念である。
目次
1 標準斜交空間
2 体積形式
3 斜交写像
4 斜交群
5 部分空間
6 関連項目
標準斜交空間
標準斜交空間は、以下の斜交行列により与えられる斜交形式を有する R^2n である。
グラム・シュミットの正規直交化法を修正することにより、任意の有限次元斜交空間はこの様な基底を有することがわかる。これをダルブー基底という。
標準斜交形式を解釈するもう一つの方法がある。
一般化したベクトル空間を使うこととする。 V を n 次元の実ベクトル空間、V^* をその双対ベクトル空間とする。
ここで、以下の形式を持つこれら空間の直和 W := V ? V^* を考える。
V の任意の基底 (v_1, ・・・, v_n) を取り、その双対基底
(v^*_1, ・・・, v^*_n).
を考える。 xi = (vi, 0) および yi = (0, vi^*) と書くと、これら基底ベクトルが W 内にあると解することができる。 これらを一まとめにして考えると、W の完全な基底
(x_1, ・・・, x_n, y_1, ・・・, y_n)
が得られる。
ここで定義した形式 ω は、本節冒頭の形式と同一の特徴を有することを示すことができる。
関連項目
シンプレクティック多様体 は、各接空間で滑らかに変化する閉斜交形式を有する滑らかな多様体である。
斜交表現は、群の各要素が斜交変換として作用する群の表現である。
278:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:01:59.53 tMoEEhL+.net
>>218 補足
話は飛ぶが、２ｃｈはgoogleで検索の上位に来るんだ
だから、キーワード検索すると、自分の書いたこと（殆ど引用です）が、上位にヒットする
なので、”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”＋キーワード で検索かけると、天下のgoogleさまを、自分のメモ帳の検索に使える
これが便利だね（＾＾；
279:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:11:34.30 tMoEEhL+.net
>>238
余談
空間の直和 W := V ? V^*
で、直和記号が受け付けられていない（? の部分）
直和記号は、わざわざ自分で学術記号の表から引き直したのに・・
まあ、ことほどさように、２ｃｈというのは数学の議論をするには�
280:�いていない 私スレ主が、引用しかしないというバカが多い しかし、直和記号も使えない、二行にわたる数式も書けない、斜めの矢印も使えない等々の制約がある場所で、まっとうな数学の議論や証明をしようというバカは狂気としか思えんね そういう輩は、自分は２ｃｈでまともなカキコをした経験がないんだろう・・（理解能力自身に疑問もあるが）
281:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:28:22.55 tMoEEhL+.net
>>237 関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
物理学における位相空間（いそうくうかん、英語: phase space）とは、力学系の位置と運動量を座標（直交軸）とする空間のことである。数学における位相空間（topological space）と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。
ハミルトン形式においては位置と運動量が力学変数となり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。
1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。d-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ d 成分あり、合わせて 2d 成分となる。
これらを座標とする 2d 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。
d-次元空間を運動する N 個の質点系の運動の状態は 2d 次元位相空間上の N 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。
質点系は上記の分布による表現だけではなく、N 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする 2Nd-次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの 2Nd-次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。
目次
1 一次元調和振動子の例
2 脚注
3 関連項目
4 外部リンク
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) 英文の方が充実している
The concept of phase space was developed in the late 19th century by Ludwig Boltzmann, Henri Poincare, and Willard Gibbs.[1]
Contents
1 Introduction
1.1 Conjugate momenta
1.2 Statistical ensembles in phase space
2 Examples
2.1 Low dimensions
2.2 Chaos theory
3 Phase plot
4 Quantum mechanics
5 Thermodynamics and statistical mechanics
6 Phase Integral
7 See also
8 References
9 External links
282:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:34:58.43 tMoEEhL+.net
>>241 関連
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
位相空間(言葉の定義)
物理をやっている人と，数学をやっている人では言葉の使い方が違う場合があります．位相空間という言葉はとくに混乱の元になるものです．この記事は，この用語の違いを説明するためだけのものです．
数学における位相空間
数学における位相空間というのは，分かりやすく言うと，みなさんが知っている普通の図形から，長さを取り去ってしまった場合に残る幾何学的性質のある空間のことです．
なんのこっちゃという感じですね．
物理における位相空間
次に，物理に出てくる位相空間とは，どういうものかを説明します．もともと力学から出発した考えかたですが，質点の運動を記述するには位置 (x,y,z) と３成分，速度 (u,v,w) の３成分の計６成分が必要です．
これを二つの３次元ベクトルとして計算する代わりに， (x,y,z,u,v,w) という６次元ベクトルを一つ考える方が簡単です．というのは，質点の運動が，この６次元空間上に，一本の曲線の軌跡として表現できてしまうからです．これが物理における位相空間です．
時間発展する運動を記述するために，さらに高次元に拡張した位相空間を考える場合もありますが，考え方は同じです． [*] n個の変数によって決まる運動の軌跡を，n次元空間上の曲線に対応させる，ということです．
まとめ
数学で位相空間というのは，位相構造のある空間のことで，ぐにゃぐにゃ図形の幾何学を扱うための空間です．
物理で位相空間というのは，運動の状態を一点で対応させることが出来るように考えた高次元空間のことです．
物理の位相空間のことを，数学者は『相空間』と呼び，数学の位相空間と区別しています．
数学の位相空間を，物理学者が使うことはあまりないので，物理学者サイドからの呼び方はありません．(ToT)/~
(あえて区別するために，『トポロジースペース』と呼んだりもするようです．数学寄りの立場で物理をやっている人は，普段から位相空間と相空間を区別して使っています．この辺の事情は色々です．とにかく，みなさんは混乱しないようにして下さい．)
283:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 11:46:50.63 tMoEEhL+.net
>>241-242
余接が、なんとなくイメージ出来てきた
ハミルトン力学で、運動量を変数(p1,p2,p3)の空間と見たときに、運動量の空間＝余接空間だと
逆に、接空間がイメージできなくなってきた・・・（＾＾；
284:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 12:28:56.50 tMoEEhL+.net
>>243
>逆に、接空間がイメージできなくなってきた・・・（＾＾；
もう一度勉強すると下記
オイラー・ラグランジュ方程式が、配位空間（普通の空間（x,y,z））の接バンドル上の方程式で、速度を変数として用いるってことか。速度が時間の微分で接ベクトルか
余接バンドルは、ハミルトン形式で、運動量自体を変数として用いる。運動量が余接ベクトルで、それが余接バンドルを成すと・・
そういうことでしょうか
抽象化されると、まだついて行けませんが・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。
それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式
と見ることであった。
この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。
速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。
それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。
ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。
なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。
一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
接束
（接バンドルから転送）
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束 (tangent bundle) は M の接空間の非交和[note 1]である。
TxM は M の点 x における接空間を表す。
なので、TM の元は対 (x, v)、ただし x は M の点で v は M の x における接空間、と考えることができる。
285:１３２人目の素数さん
15/07/19 12:43:41.28 GXPl6x4Q.net
ガロア理論の話してよ
スレ主さん脱線しすぎ
286:１３２人目の素数さん
15/07/19 13:39:30.00 FuwDSfVa.net
ガロア気泡はもうお終いw
287:１３２人目の素数さん
15/07/19 15:19:40.77 VbKQaBi2.net
理解できてない話をただコピペするだけの作業
288:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:13:13.87 tMoEEhL+.net
>>245-247
古典ガロア理論（含むアルティン）は、私スレ主的には、もう卒業なんだよ
グロタン流は、まだ理解できないが
なので、質問があったらなんでも聞いて下さい
私が答えられなくても、他の人が答えてくれるかも知れないしね
289:１３２人目の素数さん
15/07/19 16:19:58.19 GXPl6x4Q.net
>>248
ガロア理論を掲げた数学板のスレはここしかないんだから
スレ主さんは責任をもってガロア理論を語り続けるべきだと思う
290:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:25:52.35 tMoEEhL+.net
グロタン流のガロア理論
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア圏(Galois category)とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、
アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。
古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はグロタンディークのガロア理論と呼ばれることもある。
目次
1 ガロア圏成立の経緯
2 定義
3 その他の話題
4 脚注
5 参考文献
ガロア圏成立の経緯
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体のガロア理論の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、代数幾何学の設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群の研究方法をもたらした。
体論の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数を基礎としたエミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。
どのようにしてこれを体の場合に適用するかを知るには、体のテンソル積を研究する必要がある。
291:トポスの理論の中の体のテンソル積は、原子的トポス(atomic topos)の理論の全体となる。 その他の話題 知られているすべてのガロア理論がガロア圏の言葉で表現できるわけではない。微分体のガロア理論であるピカール・ヴェシオ理論はガロア圏上では展開できない。それらのためにグロタンディークによる淡中圏の理論が構成されている。
292:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:27:03.28 tMoEEhL+.net
>>249
あほかおまえは？ 責任だと？ ばかもやすみやすみに・・・（＾＾；
293:１３２人目の素数さん
15/07/19 16:28:49.38 5o5PUMVs.net
だってスレ主阿呆やし
294:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:29:09.42 tMoEEhL+.net
>>250 補足
正直グロタン先生は難しすぎで、理解できてない話をただコピペするだけの作業です、はい
295:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 16:29:57.45 tMoEEhL+.net
>>252
スレ主阿呆は自明ですよ。証明不要！（＾＾；
296:１３２人目の素数さん
15/07/19 17:11:40.34 kPLbukU7.net
スレ主は過去スレで何度かCoxをすすめていたけれども
スレ主がCoxのガロワ理論(上)を語るとかその読書日記をやってみるとか
確か上巻は持っていなかったような気がするから
とりあえず手始めに上巻を買いに行くところから日記をつけてみよう
297:１３２人目の素数さん
15/07/19 18:03:11.97 GXPl6x4Q.net
読書日記は俺も読みたい
298:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 18:14:09.11 tMoEEhL+.net
>>255-256
ご期待にそえなくて、私としても非常に残念です・・・（＾＾；
299:１３２人目の素数さん
15/07/19 18:17:25.81 GXPl6x4Q.net
>>257
やろうよ。読書日記。
300:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 18:20:33.95 tMoEEhL+.net
>>257
補足
Coxのガロワ理論(上)は、買ったよ
Coxの原書（英文）も買った （アマゾンで買えたから）
大人買いですよ、大人買い！
いちおう、さらった目を通して、つまみ読みして
で、いま書棚のこやし（つんどく）になってます（＾＾；
なにかイベントがあれば、読もうと思っています
でも、気分は古典ガロア理論卒業なんだ（含むアルティン、除く位相群とグロタン先生）
やるなら、位相群かな。あとグロタン先生へ
でもいま、気分は佐藤なんだ
301:１３２人目の素数さん
15/07/19 18:26:22.91 VbKQaBi2.net
コピペしてるうちに「ガロア理論は自分は理解した」と思い込みをし始めたのか
Cox読めもしないのに、哀れなやつよ
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 18:59:36.56 tMoEEhL+.net
>>260
どうも。スレ主です。
自分のことを言っているのか？
303:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 20:02:58.09 tMoEEhL+.net
>>221
西岡 久美子先生関連でこんなのが
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
Mahler関数と超越数 西岡 久美子 数学 1992
抜粋
(aij(z))が一般の行列の場合を,Mahlerの方法で扱うのは困難であったが,最近超越数論に登場したNesterenko理論を使って次の定理が証明される｡
定理1(Nishio:ka[34］)｡
f1,… ,fm,α は上の通りとする.このとき 略
有限オートマトシとMahler関数との関係はLoxton[13],:Loxton-van der Poorten[16]に詳しい｡
定理1の証明の概略は次節で述べるが,その際Nesterenkoの方法が本質的である.
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 20:28:22.54 tMoEEhL+.net
ここら（下記）が参考になるんやろね。内容は正直わかりませんが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 超越数
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) Transcendental Number from Wolfram MathWorld
305:１３２人目の素数さん
15/07/19 21:28:47.11 4jiM+KOh.net
(*ﾟ∀ﾟ)b なかのひとおつw
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 21:52:47.26 tMoEEhL+.net
どうも。スレ主です。
ぼく、ごくろうさん。ひらがなおぼえたんか。さんすうすきか
307:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 22:20:32.05 tMoEEhL+.net
>>259
Coxのガロワ理論(上)を書棚から出してみたけど、まあ普通だね
でも、数学ノートと歴史ノートが良い
知識としては、すでに知っていることが多いが、まとめてくれているのが良いね
日記を書くほどのことでもない
ついでに、書棚のこやしの現代思想 201104号 「特集 ガロアの思想 若き数学者の革命」を出してきた
検索すると、下記がある
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2011-04-04 思想としてのガロア理論
自分も寄稿している雑誌『現代思想』青土社」の4月号、特集「ガロアの思考～若き数学者の革命」が届いた。
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫
出版社/メーカー: 青土社
発売日: 2011/03/28
執筆陣が豪華だし、なかなかがんばった特集なので、紹介してみたいと思う。
毎日毎日、「これは悪夢か幻覚ではないか」としか思えない緊迫した状況が続いていて、それどころでないかもしれないけど、(こんなときだからこその)抽象数学でひと時の息抜きをしていただければ、と思う。
以下略
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 22:28:08.29 tMoEEhL+.net
こんなのもあった
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2011-04-16 ミシン機のトポロジー
抜粋
今日も午前中に関東が震源の地震があってびびった。例の地震以来、実は、ジムに行っていない。
プールを歩きながら、論文や著作の構想を練るのを習慣としていたのだが、大きな地震が襲来したときに、さすがに水着いっちょで逃げるのが嫌だから、ジムを我慢してるのだ。
それで、最近は、家でエアロバイクをこいで代替にしている。こいでいる間は、退屈つぶしに、YUIのライブDVDを観るか、YUIのアルバムをかけながら数学書を読むかどちらかを行っている。そんな中、最近読んでいる数学書は「ホモロジー理論」に関するものだ。
昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社を書いたとき、(詳しくは、『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記）、「位相空間のガロア理論」というのを再勉強し、それがめちゃめちゃ面白かったので、(ガロアの夢、ぼくの夢 - hiroyukikojimaの日記参照)、
勢い余って、「複体のホモロジー理論」というのを勉強したくなって、学部時代から持っていた田村一郎『トポロジー』岩波全書を30年ぶりに読み始めたのである。
そーしたら、この本がめちゃめちゃよく書けた本なのだ。30年もたった今になって、感嘆の声をあげている。
定理群の構成が実にみごとで、緻密に配列順序が考え抜かれていて、読み進んでいくと、なぜ前にその補題が準備されているのかが明らかになり、なるほどなー、と思わされる。
証明も、いたずらに記号化されているわけでもなく、かといって、飛躍があるわけでもなく、また読者に計算を強いる手抜きをしているわけでもない。名人芸の数学書とはこういう本をいうのだろう。
あいまいな記憶の中だが、期末テストのことはよく覚えている。なんといってもテスト時間が長く、2時間と�
309:ｩ3時間とかあったんじゃなかったかな。ぼくは、結局、ほとんど勉強をせずにテストにのぞみ、ひどいことになった。 解き方はおろか、問題の意味さえわからない。しかし、答案を出して早々に退出する勇気が出なかった。当時の数学科では、途中退出するのは、優秀な学生と決まっていた。 天才くんたちは、持ち時間の半分も使わずに問題をすべて解き切り、悠然と退出していくのである。だから、ぼくには退出する勇気が出せなかったのだ。 以下略
310:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/19 22:34:12.31 tMoEEhL+.net
関連
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
抜粋
hiroyukikojimaの日記 2010-07-29 ガロアの夢、ぼくの夢
今、来月(8月)の終わり頃に刊行される新刊のゲラのチェックを終えたところだ。これは、ガロア理論の入門書。遂にガロア理論の本を出すんだよ。とても感慨深い。
ガロア理論というのは、「5次以上の方程式には解の公式がない」ということの証明を与えた理論だ。「群」と「体」という二つの数学構造を行ったり来たりすることで証明する画期的な定理だった。
ご存じの通り、エヴァリスト・ガロアは来年が生誕200年になるフランスの数学者。20歳の朝、オンナをめぐって銃で決闘して命を落とした。前夜に論文の余白に遺書を書き、それが後にガロア理論と呼ばれる論文だったわけだ。あまりに格好良すぎる。
もともとこの原稿は、拙著『数学でつまずくのはなぜか』講談社現代新書に入れる予定で書いたものだ。
この本は、「その人が数学を得意としようが苦手としようが、数学はその人個人のパーソナリティと密接な関係を持っている」ということを主張した本で、数学に障害を持った人や落ちこぼれた子どもの話などがふんだんに入っているんだけど、
その一例として、どうしてもガロアのことを入れたかった。
なぜかというと、ガロアの生み出したあまりに画期的な方法論が、不良で学校を退学になったり、革命運動で逮捕されたり、オンナに騙されて愚かな決闘をしたりするガロアの性格と切っても切れない関係にあると思ったからだ。
「理論」というのは、それを生み出した人のものの見方や人生観から生まれてくるものであり、その人のパーソナリティとは不可分だ、という例としてガロアの人生を書きたかったのだ。
でも、その原稿は残念ながら却下された。それは技術上の問題だった。まず、分量が多すぎて、これを収めると新書にならなくなる。それから、他の章と比較にならないほど数式が多いので、縦組みでは無茶だ、というのもあった。
それで泣く泣くカットすることを承諾したのだ。でもぼくは、この原稿を諦めきることができなかった。だから、生まれて初めて、出版社への企画の持ち込みということを試みた。
以下略
311:１３２人目の素数さん
15/07/20 05:45:07.30 4uEs6wJW.net
毎度毎度の引用業務、ご苦労。
ついでに言うと、ガロワの格好良さ（≒無鉄砲）よりも
ヴァイエルシュトラスの辛抱強さを見習いたい。
312:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 06:30:06.22 HDH1hG65.net
>>266 関連
以前にも引用した中村正三郎氏
URLﾘﾝｸ(iiyu.asablo.jp)
青土社、ユリイカ、現代思想。特に「現代思想」が異様に面白そうにみえる ― 2011年04月09日 中村正三郎のブログ
URLﾘﾝｸ(www.seidosha.co.jp)
現代思想 ２０１１年４月号 ガロアの思考
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命 [ムック]
「ガロアの思考」は、面白そう。名前を知っている、文章を読んだことがあ
る人は、黒川信重、小島寛之、佐藤文隆、竹内薫だけだが。
なんで、いま、ガロアなのかと思ったら、今年2011年は、ガロア生誕200周
年なのか。
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 06:38:49.74 HDH1hG65.net
>>269
どうも。スレ主です。
ありがとうござんす
ここはおいらの雑記帳。ついでにみなさんのお役に立てば幸いです
ここに書くと、天下のgoogleさまを、自分のメモ帳の検索に使えるんだ>>239
まあ、雑記帳のクラウド化です
URLﾘﾝｸ(e-words.jp)
クラウド化とは｜クラウドマイグレーション｜cloud migration - 意味/解説/説明/定義 ： IT用語辞典:
クラウド化とは、企業の情報システムなどで、自社内にコンピュータを設置して運用してきたシステムを、インターネットやVPNを通じて外部の事業者のクラウドサービスを利用する形に置き換えること。
クラウド化とはソフトウェアやデータ、あるいはそれらを提供するための技術基盤（サーバなど）を、インターネットなどのネットワークを通じて必要に応じて利用者に提供するサービスで、
専門の事業者が提供するクラウド化上に自社のシステムを構築して従来システムから移行することをクラウド化という。
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 07:23:29.97 HDH1hG65.net
>>255
>スレ主は過去スレで何度かCoxをすすめていたけれども
ここに戻る。過去にも書いたが、和訳上の序文 iii に
「私の信念は、アイデアの真の意味は何なのか、そして、それがどこからきたのか、ということが分かって初めて、理論のエレガントさを十分理解できる、というものである。
その結果、本書はあきらかに薄くない。それでも、エレガントに仕上がったのではないかと思っているのだが。」とある
この思想はアルティン本の対極ではないかと
あるいはブルバキとも対極か＊）
注＊）ブルバキは、ユークリッド原論の現代版を目指したと聞く。確かに、ユークリッド原論は見事な書で、１９世紀まではモデルたり得た。しかし、２１世紀の数学には適合しないように思う。
そこにCoxの工夫がある。アルティン本やブルバキと一線を画し、”理論のエレガントさを十分理解できる”ということを目指した。この視点は、アルティンやブルバキに欠けているものだった
アルティンの薄さと簡潔さを礼賛する者がいる。しかし、それはCoxとは対極だと
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 07:45:43.17 HDH1hG65.net
>>269
もどる
”ガロワの格好良さ（≒無鉄砲）”の意味がわからん
ガロワは、１８歳くらいで、正式の論文をポアソンかだれか学会の人に提出して、紛失されてしまった。その後、コーシーだったかに再提出するもまた紛失
結局、決闘前の遺言でメモを書くしかなかったのだった
ワープロもコピー機もない時代。論文を紛失されたら、手元になにも残らない時代だったと思う。それがどれだけダメージになるのか。時間のロスのみならず精神的にも
外から見た格好良さで判断しているのかも知れないが、当人は必死以外のなにものでもない。実際、翌日には決闘で致命
316:傷を負うのだから ワイエルシュトラスはこれか。辛抱強さというより、単なる幸運だと思うけど https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9 カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日）はドイツの数学者。姓のワイ (Wei) の部分はヴァイと表記するほうがより正確である。 1839年にミュンスター大学の教職課程に入り、クリストフ・グーデルマンに出会い、楕円関数論への関心を持つようになった[1]。 卒業後、26歳で教員として田舎の高校に就職する[1]。教員としての仕事（数学に国語に地理、そして体操まで教えた）をしながら、ニールス・アーベルの定理とカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの二重周期関数の研究の統合を目指した。 1854年、クレレ誌にヤコビ逆問題に関する論文を掲載され[1]、1856年ベルリン大学に招聘される。1864年に正教授に就任[1]、最後までこの地位にあった[1]。 複素解析では、解析接続に基づいた厳密な方法を発展させた。その他、イプシロン-デルタ論法、一様収束の概念の考案など、微分積分学の基礎付けや、一変数複素関数、代数関数のべき級数による理論の整備に業績を残した。 とくにリーマンとともに複素解析の研究を進めたのは有名であり[1]、リーマンが直感的方法を好んだのに対してワイエルシュトラスは厳密な解析的手法を好んだとされる[1]。
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 07:53:16.41 HDH1hG65.net
>>273 補足
ガロワにしろ、ワイエルシュトラスにしろ、結局はいずれだれかが、同じことを将来再発見しただろう
ガロワや、ワイエルシュトラスが居なくても
ただ、何年も遅れたかもしれない。ガロアの場合は、その後の経過を見ると、十年以上遅れたろう
アーベルが健在だったら、アーベル流の理論を書いたろうと言われているし
実際ガウスなども、自家用に秘蔵していた理論や定理は、後の時代にすべて再発見されているのだから
一様収束や級数展開と解析接続もいずれだれかが・・、と思います
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 08:10:53.93 HDH1hG65.net
>>270 補足
吉田輝義が書いた「ガロア理論の基本定理」について
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
心の栄養 身体の食べ物 2013年04月09日 「具象の詰まった抽象の世界にこそ数学の生命がある」 高瀬正仁
ガロア生誕200年を記念して特集された「現代思想（4月号）」（特集:ガロアの思考 若き数学者の革命）（2011年）を取り出してきて読む機会がありました。
吉田輝義が書いた「ガロア理論の基本定理」の一文に眼を通してみたいと思ったからです。ガロアを中心に数学とは何かを素人を前提として語りながら、基本定理についても必要最小限の前提から簡潔正確に紹介をしている工夫努力のあとを感じました。
このとき特集号の他の寄稿も読んでみましたが、特に興味を惹かれて読んだのが高瀬正仁の「数学における抽象化とは何か」（副題：アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの）でした。
ガロア理論の立役者であったニールス・アーベル（1802-1829）とエヴァリスト・ガロア（1811-1832）は同時代に生まれともに夭折した天才ですが、この二人を並べて数学における具象と抽象について語り数学の“生命”について論じた文章です。
数学史を専門とする�
319:M者らしく鶴亀算に代表される和算と連立一次方程式から説きおこして現代数学を造り出してきた具象と抽象とを対置してみせます。 アーベル ガロア 和算（鶴亀算、旅人算等など） 連立一次方程式 具象（のもつ神秘的な深み） 抽象（による強力な汎用性） 発見の喜び 発見の手続き化（従って喜びなし） 虫の目（登攀路を自分で登る） 鳥の目（ヘリコプターの力で登る） アーベルの代数方程式論とガロアのガロア理論の対比にとどまらず数学の他の領域、例えば岡潔の理論とアンリ・カルタンの理論などにまで広げ例示されます。 最も印象的だったのは、ガウス研究の第一人者でもある筆者が「代数的可解性は根の相互関係で定まる」とガウス自身が強く認識していたという指摘です。夭折の天才二人（ガロア、アーベル）に先行する大天才ガウスの存在があったということです。 以下略
320:１３２人目の素数さん
15/07/20 08:13:06.26 0zBtAGEv.net
月曜日もコピペが読めるなんて幸せだなあ
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 08:20:39.28 HDH1hG65.net
>>275 補足
吉田輝義「ガロア理論の基本定理」は、その数学的解説をB5版でわずか６ページで、おそらく圏論をベースに完結させている
なかなか見事なものです
322:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 08:21:47.24 HDH1hG65.net
>>276
どうも。スレ主です。
ごくろうさまです
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 09:06:37.70 HDH1hG65.net
>>274 補足
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
日々のつれづれ 2008年04月: 高瀬正仁
抜粋
2008-04-24-Thu （ガウス31）アーベルの三つの言葉－アーベルの書簡より
手紙の主眼は楕円関数論と，代数的微分式の積分の理論，すなわちアーベル積分の理論の報告に置かれていますが、末尾の辺で代数方程式論がわずかに回想されて、
《私は幸いにも、提示された任意の方程式ははたして冪根の助けを借りて解けるのか否かの認識を可能にしてくれる、ある確実な規則を見つけました。私の理論からのひとつの派生的命題として、一般に４次を越える方程式を解くのは不可能であることが示されます。》
という瞠目に値する数語が書き留められました。あの「不可能の証明」は大きな理論から派生する一命題にすぎないというのであり、代数方程式論の領域でアーベルが登攀した高い峯の所在を明示する言葉です。
このとき、アーベルの目がはっきりと見たのは、「代数的可解性が根の相互関係によって規定されている」という、真に魅力的な数学的情景であったろうと思います。
「アーベル方程式」の概念がそこから取り出され、クロネッカーの「青春の夢」に繋がる代数方程式論の新たな道筋が紡がれていきました。
2008-04-23-Wed （ガウス30）アーベルの代数方程式論(6)
遺稿「方程式の代数的解法について」の中で、アーベルはなお二通りの根の形状を記述しています。
「代数的可解方程式の根の形状の決定」という、アーベルの代数方程式論の魅力の根源をなす問題の端緒がこうして開かれました。アーベルの強靭な思索の果てに、代数方程式の理論はここにまったく新しい局面を迎えたのでした。
つづく
324:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/07/20 09:16:28.39 HDH1hG65.net
>>279 つづき
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
日々のつれづれ 2008年04月: 高瀬正仁
抜粋
2008-04-20-Sun （ガウス27）アーベルの代数方程式論(3)
「代数関数」という言葉が出てきましたが、アーベルの当時の習慣に従うと、係数の代数関数というのは、係数に対して加減乗除の基本四則演算と、冪根を作る演算（これらの五演算を「代数的演算」と総称します）とを適用して構成される表�
325:ｦ式を指しています。 係数に独立変化量が登場する場合を考えなければ、代数関数の概念を把握することはできないとアーベルは言っています。アーベルの数学を理解するうえで本質的な場面ですが、この場合の「代数関数」の一語は重い意味を担っています。 なぜなら、この代数関数は「係数に代数的演算を施して組み立てられる表示式」の範疇をはるかに越えているからです。代数方程式の代数的解法の考察を通じて、代数関数論の壮麗な建築物への通路が開かれていることがわかります。 アーベルの代数方程式論は、後年のリーマンに通じる一般的な代数関数論を念頭に置いて構想されていることが、はっきりとわかる場面です。 変化量を内包する係数を持つ代数方程式の根に着目することにより、独立変化量の個数がひとつなら一変数代数関数が認識され、複数なら、多変数の代数関数が認識されます。 とこあれ長い考察を経て、ようやく代数的可解方程式の概念が規定されました。 2008-04-18-Fri （ガウス25）アーベルの代数方程式論(1) アーベルには 「方程式の代数的解法について」 という未定稿があります。執筆時期は1828年後半と推定されます。フランス語で書かれていて、全二巻のアーベル全集の巻２の巻末に記載されています。 代数方程式に寄せるアーベルの思索がよく表明されています。構成を見ると、長い序文の後に、はじめのふたつの章 §１ 代数的表示式の一般的形状の決定 §２ ある与えられた代数的表示式が満たしうる最も低い次数の方程式の決定 が続き、さらに §３ ある与えられた次数の既約方程式を満たしうる代数的表示式の形状について へと進んでいますが、未完成に終わりました。