現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 - 暇つぶし2ch126:) に対応させる関数である。 v(f) は接ベクトル v と関数 f の組であり、 v を固定して、 f に対して値が定まると考えてきた。逆に f を固定して dfp : v → v(f) という関数も考えることができる。この dfp を f の p における微分 (differential) という。接ベクトルのなす空間 Tp(M) は R 上の線型空間であることから、 Tp(M) から R への線型写像のなす双対ベクトル空間 Tp*(M) = HomR( Tp(M) , R) が定まるが、微分 dfp はこの Tp*(M) の元である。 Tp*(M) のことを M の p における余接ベクトル空間 (cotangent vector space) という。特に p を含む座標近傍 (U;x1,…,xm) があるとき、関数 f として局所座標系の成分の一つである xk を選べば、その p における微分は (dxk)p となり(略) ここに現れた dxk という記号は、微分形式として積分 ∫ f(x) dx に現れる dx と、しばしば同一視される。通常の積分では∫と dx は、一組の記号でありそれぞれを別個の物として扱うことはできないが、各点で余接ベクトルとみなせば、 dx という記号に意味を持たせることができる。各点に余接ベクトルを与えたものであるので、正確には余接ベクトル場を考えることになる。

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