15/09/20 19:31:34.08 CgP4KDd+.net
ピタゴラス数をいくらでも作れる有名な式を使うのが一番簡単か？
互いに素で偶奇の異なる自然数m,n（m>n）について
(m^2+n^2)^2 = (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2
496:１３２人目の素数さん
15/09/20 19:45:51.67 CuFRKXU3.net
証明1（三角関数のパラメータ表示を使う方法）
tan(k/2)=tとおけば
cos(k)=(1-t^2)/(1+t^2), sin(k)=2t/(1+t^2)
(cos(k), sin(k))は単位円上の点
証明2（交点の座標を求める方法）
URLﾘﾝｸ(www.math.keio.ac.jp)
証明3（ピタゴラス数の生成式を用いる方法）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
俺が考えた証明とはいってない（小声）
497:１３２人目の素数さん
15/09/20 19:59:54.15 /j7kOe4r.net
その3つの違いがわからない
498:１３２人目の素数さん
15/09/20 20:10:47.87 CuFRKXU3.net
>>477証明1,2は>>476,477証明3でm=1のとき
まあ、多少はね？
499:１３２人目の素数さん
15/09/21 00:06:52.53 wBw2X2WH.net
他にある？
500:１３２人目の素数さん
15/09/21 00:12:27.73 SidL6VZ2.net
「x^2+y^2=z^2 ,z>0 を満たす三整数(x,y,z)がある。
a=z-x、b=z-y としたとき、x,y,zをa,bを使って表せ。」
という問題を想定し、解くと、次の二通りの解が得られる。
x=b±√(2ab)、y=a±√(2ab)、z=a+b±√(2ab)
一つは、最初に用意していた(x,y,z)に一致するが、
X^2+Y^2=Z^2、Z-X=z-x、Z-Y=z-y を満たすもう一つの解（X,Y,Z）も見つかる。
これを共役解と呼ぶことにする。（お互いにもう一方の解を共役解と呼ぶことにする）
例えば、3^2+4^2=5^2からは、a=5-3=2、b=5-4=1となるが、
501:√(2ab)=2なので、 x=1±2、y=2±2、z=1+2±2から、(x,y,z)=(3,4,5)と共役解(-1,0,1)が得られる。 ところが、(3,4,5)が解なら、(-3,4,5)も(-3,-4,5)も(3,-4,5)も 「x^2+y^2=z^2 ,z>0」を満たす解で、(-3,4,5)から、a=8,b=1として、共役解(5,12,13)、 (-3,-4,5)からは共役解(21,20,29)、(3,-4,5)からは共役解(15,8,17)が得られる。 そして、さらに、(5,12,13)を基本の解と思って、(-5,12,13)の共役解 (7,24,25)、(5,-12,13)の共役解(45,28,53)、(-5,-12,13)の共役解(55,48,73) のように、一つのピタゴラス数から三つの新しいピタゴラス数が見つかり、 新しく見つかったそれぞれのピタゴラス数からも、三つづつのさらに新しい ピタゴラス数が見つかる。つまり、無限にピタゴラス数を見つけ出すことができる。
502:１３２人目の素数さん
15/09/21 00:13:01.08 SidL6VZ2.net
2ab=2(z-x)(z-y)=2z^2-2(x+y)z+2xy=x^2+y^2+z^2-2(x+y)z+2xy=(x+y-z)^2 に注意すると、要は
{(z-y)±(x+y-z)}^2+{(z-x)±(x+y-z)}^2={(2z-x-y)±(x+y-z)}^2
という x^2+y^2=z^2下で成立する（条件付き）恒等式に集約される。
複合のプラス側を取ると、x^2+y^2=z^2 となり、価値は無いが
マイナス側を取ると、(2z-x-2y)^2+(2z-2x-y)^2=(3z-2x-2y)^2 (※1)
という、共役解を陽に確認できる式が得られる。
x → -xと変換すると (2z+x-2y)^2+(2z+2x-y)^2=(3z+2x-2y)^2 （※2）
さらに、y → -yと変換すると (2z+x+2y)^2+(2z+2x+y)^2=(3z+2x+2y)^2 （※3）
さらに、x → -xと変換すると (2z-x+2y)^2+(2z-2x+y)^2=(3z-2x+2y)^2 （※4）
のように、一つのピタゴラス数から、三つのピタゴラス数を導く式が得られる。
ピタゴラス数は、(3,4,5)を出発点とする三分木構造に埋め込むことができ、
「適切な方法」を定めれば、ピタゴラス数に、「順番」を与えることが可能。
あるピタゴラス数が示されれば、それが、何番目のピタゴラス数かを言うことも
逆に順番を指定し、それに対応するピタゴラス数を答えることも可能。
過去に 「ひたすらピタゴラス数を書くスレッド」のような掲示板があったので、
そこにたくさんのピタゴラス数を挙げたが、その時、ピタゴラス数発生の
アルゴリズムとして用いたのがこの方法。
503:１３２人目の素数さん
15/09/21 00:31:06.05 m2zTshdB.net
ピタゴラス数を生み出す行列のはなしだよね
504:１３２人目の素数さん
15/09/21 01:02:26.15 zlQLS8Fa.net
原始ピタゴラス数が無数に存在する⇔単位円上に有利点が無数に存在する
505:１３２人目の素数さん
15/09/21 01:30:18.15 zebtZ9PG.net
ピタゴラス数に順番を付けると(a/cを小さい順に並べると)a/cは1/√2に収束するのかな？
感覚的に
506:１３２人目の素数さん
15/09/21 01:41:07.70 zebtZ9PG.net
全ての原始ピタゴラス数(a,b,c) (a<b)から、a/cを小さい順に並べた数列をa_nとする。
ただしa_0=3/5とする。
lim(n→∞)と lim(n→-∞)をそれぞれ求めよ
507:１３２人目の素数さん
15/09/21 02:16:00.42 CDfCY14T.net
((3+4i)/5)^a.
508:１３２人目の素数さん
15/09/21 02:54:59.56 zlQLS8Fa.net
ピタゴラス数は(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)で表せる
n=1のときを考える
m≧3でm^2-2m-1>0⇔m^2-1>2m
よってm≧3では(a, b, c)=(2m, m^2-1, m^2+1)
さて、Q_m=a/c=2m/(m^2+1) (m≧3)とすると
m→+∞のときQ_m=2/(m+(1/m))→0
0に収束するよ（予想）
509:１３２人目の素数さん
15/09/21 03:12:40.15 zlQLS8Fa.net
lim(n→-∞)a_n=0だよ（予想）
>>488はガバガバだったな
訂正
ピタゴラス数は自然数m, n (m>n)を用いて(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)で表せる
m=n+1とおいてnを飛ばすとa/cの上限が見えるか？
510:１３２人目の素数さん
15/09/21 03:31:03.55 BwSfAQxg.net
>>486
問題として成立していないように思えるが。
そんな数列は作れないでしょ。
言いたいのはこれか？
a^2+b^2=c^2，a<bを満たす互いに素な自然数の組(a,b,c)全ての集合をPとするとき、
{x | x=a/c, (a,b,c)∈P}の上限及び下限を求めよ。
>>486に言うような、小さい順に並べた数列が存在しえ�
511:ﾈいことも証明したいところ。 上記集合Pの，異なる２つの要素を(a,b,c)，(d,e,f)（ただし a/c < d/f）とするとき， あるPの要素(x,y,z)が存在し，a/c < x/z < d/fとなることを示せ。
512:１３２人目の素数さん
15/09/21 03:43:38.48 BwSfAQxg.net
>>490
というか、これって、前半の問題で上限が1/√2、下限が0であることと
後半の問題の証明を合わせて、
単位円上に有理点が稠密に分布することを言ってるだけだな…
513:486
15/09/21 04:22:23.64 zebtZ9PG.net
数列自体存在しないの？
単位円上の任意の2点の有理点の間には異なる有理点が存在するってこと？
高校数学までしかやってないので用語がわからん…
514:486
15/09/21 04:26:08.81 zebtZ9PG.net
俺の予想ではa/cは0～1/√2の範囲でa<bの条件を外すと0～1になると思われる
515:１３２人目の素数さん
15/09/21 05:01:19.05 BwSfAQxg.net
>>492
小さい順に並べた数列が存在しないというのは
例えば「全ての正の有理数を小さい方から並べた数列」が作れないことを考えてもらえば。
にもかかわらず、「全ての正の有理数を含む数列」は作れるというのが、
無限の数を扱う難しさなのですよ。
＞単位円上の任意の2点の有理点の間には異なる有理点が存在するってこと？
そゆことです
516:１３２人目の素数さん
15/09/21 06:11:57.62 fDJotWMa.net
a^2+(a+1)^2が平方数となるような自然数aは無限に存在するか
517:１３２人目の素数さん
15/09/21 11:39:04.22 BwSfAQxg.net
>>495
任意の自然数kについて、
(1+√2)^k = m+n√2 （m,nは自然数，mは奇数）と表せること、
さらに、そのm,nを用いて (1-√2)^k = m-n√2と表せることは
数学的帰納法で容易に示せる
kが正の奇数のとき、(1+√2)^k × (1-√2)^k = -1となるので、
(m+n√2)(m-n√2) = -1 ∴ m^2-2n^2 = -1
ここで，mは奇数なので、m=2a+1とおくと、4a^2+4a+1-2n^2 = -1
これを変形すると、a^2+(a+1)^2 = n^2が得られる
異なるkに対して、異なる(a,n)の組が得られるので、
a^2+(a+1)^2が平方数となるようなaは無限に存在する
518:１３２人目の素数さん
15/09/21 12:31:37.12 H+zc29yF.net
テレンスタオの美しい解き方面白いよ。
回答者目線で数学オリンピックの問題を解く形式。
暇つぶしになる
519:１３２人目の素数さん
15/09/21 13:52:24.45 fDJotWMa.net
ax^2+bx+c=y^2が無限個の整数解をもつような整数a,b,cの条件を求めよ
520:１３２人目の素数さん
15/09/21 13:53:22.27 bh279fIm.net
>>495
x_{n}^2+y_{n}^2=z_{n}^2、 が成立するとき
x_{n+1}=2*x_{n}+1*y_{n}+2*z_{n}
y_{n+1}=1*x_{n}+2*y_{n}+2*z_{n}
z_{n+1}=2*x_{n}+2*y_{n}+3*z_{n} とすると、(>>482 の※3 で、xとyを入れ替えたものに相当）
x_{n+1}^2+y_{n+1}^2=z_{n+1}^2 が成立する
このとき、y_{n+1}-x_{n+1} = y_{n}-x_{n} なので、差が保存される。
3^2 + 4^2 = 5^2 というものが存在するので、a^2+(a+1)^2が平方数となるようなものは無数にある。
521:１３２人目の素数さん
15/09/21 19:37:27.38 mNqic+mi.net
中卒で分かりませんがツエータ関数というものがあるらしいです
φも分かりませんでもユークリッド正三角形なるものは
a点ｂ点交わるところのq点が有るのでしょうか
分かりませんごめんなさいでした割り込んで
522:１３２人目の素数さん
15/09/21 19:48:26.68 zlQLS8Fa.net
ζ（ゼータ／ツェータ）関数？
何の問題かも分からんし
そもそもスレチでしょ
分らない問題はここに書いてね404 [転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
523:１３２人目の素数さん
15/09/21 21:17:29.58 gtDqKY3a.net
正方形を直角三角形を除く8枚の鋭角三角形のみで分割できることを示し、それが最小枚数であることを証明せよ
524:１３２人目の素数さん
15/09/21 21:52:18.63 Z3V2IWKL.net
鋭角三角形は無理じゃね？
どこかしら鈍角になりそうな
525:１３２人目の素数さん
15/09/21 22:07:19.88 BwSfAQxg.net
>>502
10枚ならできた。
８枚かあ…
526:１３２人目の素数さん
15/09/21 22:38:44.71 BwSfAQxg.net
８枚できた。
例：A(0,20)，B(0,0)，C(20,0)，D(20,20)，M(10,0)，N(10,20)，P(9,4)，Q(11,4)
PA,PB,QC,QD,PM,PN,QM,QN,PQを結ぶ
証明はまだ。
527:１３２人目の素数さん
15/09/21 22:44:59.52 BwSfAQxg.net
ちなみに、P,Qを取る場所は，
AB，CD，BM，CM，AN，DNを直径とする６つの円のいずれにも含まれない
上下２箇所の領域の片方の中に，大体左右対称に取ればよい。
528:１３２人目の素数さん
15/09/22 16:07:30.17 ZLtLRDuu.net
>>502
正方形ABCDを鋭角三角形で分割するとき、
A,B,C,Dからそれぞれ1本以上の辺が出ていなければならない。
仮に、辺BC上（Bを除く）に点EがあってAEを辺にもつ三角形があるとすると、
三角形ABEは直角三角形なので、AE上に頂点をとらなければ
鋭角三角形で分割できない。
点Eが辺CD上にある場合も同様。
よってAから出る辺は、正方形の内部にある頂点につながっている。
B,C,Dについても同じことがいえる。
仮に、正方形の内部に頂点が1個しかないとして、これを点Fとすると、
A,B,C,Dから出る辺はFにつながっていることになる。
∠AFB,∠BFC,∠CFD,∠DFAのいずれかは90°以上であるが、
どの場合も同様なので∠AFB≧90°とする。
このときFとAB上の点Gを結ぶ辺が無ければならない。
∠AGFか∠BGFのいずれかは90°以上なので、
Gから辺が出ていて、AFまたはBFと交わることになってしまい、
正方形の内部に頂点が1個しか無いという仮定に矛盾する。
よって正方形の内部には2個以上の頂点がある。
そのうちの2個をH,Iとする。
H,Iからそれぞれ5本以上の辺が出ていなければならず、
H,Iを頂点とする鋭角三角形は5個以上あることになる。
これらのうち重複するものがあるとすればHIを辺とするものであり、
その個数は最大2個である。
よって鋭角三角形の個数は少なくとも5+5-2=8個以上である。
529:１３２人目の素数さん
15/09/22 21:03:47.21 lhGzKtWu.net
内部の点には頂点しか集まらないことが前提になってない？
1つの辺と3つの頂点が集まっている場合もある。
例えば、ある内部点の回りが180°、60°、60°、60°で区切られている場合とか
530:１３２人目の素数さん
15/09/22 21:18:16.16 ZLtLRDuu.net
>>508
そういうものも含めて頂点と呼んでいるので、問題ないはず。
531:１３２人目の素数さん
15/09/22 22:13:30.88 V9wMy4Aa.net
>>509
＞H,Iからそれぞれ5本以上の辺が出ていなければならず、
＞H,Iを頂点とする鋭角三角形は5個以上あることになる。
のあたりで、H,Iが辺の途中にある可能性を無視していることを
指摘しているのだと思うが。
自分も、三角形の辺の途中に他の三角形の頂点があるケースがあるせいで
（つまり、グラフとしては四角形もしくはそれ以上で頂点にできる角が180°の物
の存在を排除できないため）
シンプルな場合分けができず面倒になってギブアップした。
正方形の４頂点以外に辺上に最低でも１点、内部に最低でも２点が存在することまでは
すぐ言えるのだが。
532:１３２人目の素数さん
15/09/22 22:26:29.90 ZLtLRDuu.net
>>510
あー、なるほど。その可能性をおもいっきり見逃してた。
>>507を土台にうまく修正できるかどうか。
それとも、まるっきり考え方を変える必要があるのかな？
533:１３２人目の素数さん
15/09/24 03:04:42.06 VcRgqQ8I.net
n個の鋭角三角形に分割できたとして
正方形の頂点以外の頂点の個数をvとすると
各頂点に集まる内角の個数に関して
3v+8≦3nよりv≦n-3
ここでn≦7とするとv≦4
よってv≦4かつn≦7となるような分割が存在しないことが示せればよい
あとは頼んだ
534:１３２人目の素数さん
15/09/26 01:59:16.33 KGE6XyvT.net
この問題か
Acute Square Triangulation
URLﾘﾝｸ(www.ics.uci.edu)
535:１３２人目の素数さん
15/09/26 01:59:41.85 KGE6XyvT.net
Survey of two-di
536:mensional acute triangulations Discrete Math. 313, Iss. 1 (2013) 35–49. http://czamfirescu.tricube.de/CTZamfirescu-08.pdf 9頁 In the same busy year of 1960, Lindgren [54] described an acute triangulation of the square (see Fig. 6), proving that it can be done with 8 triangles and that this is optimal – Federico solved this independently in the same year. In 1966, Gardner also gave a construction, which he reports in one of his mathematical columns (reprinted in [35]), saying: “For days I was convinced that nine was the answer; then suddenly I saw how to reduce it to eight”. We remark that, in fact, Gardner was trying to find dissections of the square, and it happened that his configuration on eight triangles is a triangulation. If he were looking for triangulations, this would have contradicted the following matter. Cassidy and Lord [15] continued the investigations of acutely triangulating the square, publishing their results in 1980. They gave an alternative proof of the min- imality (and combinatorial uniqueness) of the Federico-Lindgren construction on 8 triangles. They also showed that there is no triangulation consisting of exactly 9 tri- angles, and proved that there exist acute triangulations of the square with k triangles whenever k ≥ 10. [54] H. Lindgren. A quadrilateral dissection. Austral. Math. Teacher 16 (1960) 64–65. [15] Ch. Cassidy and G. Lord. A square acutely triangulated. J. Recr. Math. 13 (1980– 81) 263–268.
537:１３２人目の素数さん
15/09/26 02:39:33.02 MgrWGZzr.net
Journal of Recreational Mathematicsが大学の図書館にあるか判らん
538:513
15/09/26 03:05:19.37 MgrWGZzr.net
あるっぽいな
539:１３２人目の素数さん
15/09/26 04:08:58.11 jeE3BpXh.net
URLﾘﾝｸ(math.a.la9.jp)
正方形じゃなくて鈍角三角形バージョンの問題と解答を発見
540:１３２人目の素数さん
15/09/26 10:46:23.47 aSIv8JvA.net
>>513
どうやって見つけたんだ？貴様は神か？
541:513
15/09/26 11:20:48.61 smOIV1i/.net
>>518
divide square into acute triangle
でググっただけです（小声）
542:１３２人目の素数さん
15/09/26 19:43:56.60 Jz1cA5oo.net
よくわからんけど三角形分割ってことは
頂点が三角形の辺上にあるケースはそもそも考慮されて泣くね？
543:１３２人目の素数さん
15/09/27 04:15:48.86 qZeHHCLI.net
>>514の[15]を上げるまでの暇潰しに
URLﾘﾝｸ(www.itmedia.co.jp)
この時計は全ての時刻を表現可能である
（証明はｽﾚﾘﾝｸ(math板:136-138番)）
この周辺で面白い問題を作ってよ
544:１３２人目の素数さん
15/09/27 20:53:09.22 ONZsfJnq.net
上の時計で全ての正方形が光る回数の最小値と最大値を求めよ
545:１３２人目の素数さん
15/09/28 03:41:57.77 NXSABs39.net
>>522
1
546:2時は0と12のどちらを表示するのかによって話は変わるな。
547:１３２人目の素数さん
15/09/28 04:11:24.95 NXSABs39.net
>>522
ちなみに、最大の方では、時と分を表す数字を足して12以上になる場合のうち、
全ての正方形がひかる可能性がないのは8と8（8時40分）の場合のみ。
最小の方では、時または分が12を表示する場合のみ必ず全ての正方形がひかる。
分は12を表示することはないようなので、
時が1から12ならば12時台のみ必ず全てひかる。
0から11ならば、1の正方形のうちの片方は使わなくてもよくなる。
（ということは、やっぱり12時は12を表示するのだろうな）
（正確に言うと、「ひかる」ではなく「色がつく」だな）
548:１３２人目の素数さん
15/09/28 06:44:31.35 VbfJNND9.net
このスレでは未出題のようだから
n,n+2,n+4がいずれも素数になる自然数nを全て求めよ
549:１３２人目の素数さん
15/09/28 07:59:34.04 qwCqNxiY.net
つまらなすぎ
550:１３２人目の素数さん
15/09/28 09:45:45.18 NCZ2EFYi.net
ひねりがなんもないよな
551:１３２人目の素数さん
15/09/28 10:02:28.23 jlLelCrV.net
与えられた円の中心をコンパスのみで特定せよ
552:１３２人目の素数さん
15/09/28 22:29:57.43 NXSABs39.net
>>528
円周上にAB=BCとなるような３点A,B,Cを適当にとって
AB=BC=a、CA=bとおくと、
円の半径はa^2/√(4a^2-b^2)なので、その長さを
URLﾘﾝｸ(www.shinko-keirin.co.jp)
あたりを参考に作図すればいいよ
553:１３２人目の素数さん
15/09/29 02:25:06.10 nc3nLp6q.net
>>528
弦の垂直２等分線どうしの交点を求めるだけだが、
もしかして、定規は使っちゃいけないのか？
554:１３２人目の素数さん
15/09/29 03:19:11.03 azN8533W.net
コンパスだけでしょ
555:１３２人目の素数さん
15/09/29 04:16:04.08 /gO4uSCx.net
方眼紙上で定木のみを用いて面積7の正方形を作図できるか？
方眼紙の1つの升目の面積を1とする
556:１３２人目の素数さん
15/09/29 04:20:11.75 /gO4uSCx.net
つまり、面積が2平方数の和ではない正方形は作図できるか？
557:１３２人目の素数さん
15/09/29 08:15:26.52 2tetWzJ3.net
>>532
1x6のマス目の対角線は√7
これで正方形を作る
558:534
15/09/29 08:17:23.37 2tetWzJ3.net
間違ってた
上の無しで
559:１３２人目の素数さん
15/09/29 16:03:39.90 b0As/vwW.net
>>532
まず、定木のみの作図で新たに作れる点は、
既に存在する２点間を結んだ２直線の交点だけなので、
最初に格子点のみが全て与えられている状態から作図できるのは有理数点のみ。
２つの有理数点間の距離が√7になるとすると
x^2+y^2=7（x,yは有理数）となり、
x=m/k、y=n/k（m,nは整数，kは自然数で，m,n,kの最大公約数は1）とおくと，
m^2+n^2=7k^2とおける
ここで、整数Nについて
N^2≡0,1,2,4（mod 7）であり、N^2≡0となるのはNが7の倍数のときだけなので、
m^2+n^2≡0（mod 7）より、mもnも7の倍数となるが、
その場合、kも7の倍数となり、m,n,kの最大公約数は1という条件に矛盾する
よって、そのような有理数x,yは存在しないので、√7は作図できない。
√7の場合は、m,nの偶奇で場合分けしてmod 4で議論する手もあるが、
>>533のように一般化した議論では
2平方数の和ではない自然数の条件が、
n=a^2×b（a,bは自然数で、bは平方因子を持たず4k+3型の素数を因数として持つ）
というものなので、bの素因数である4k+3型の素数をpとしてmod pで議論するのが
より一般性がありそうだと考えた
560:１３２人目の素数さん
15/09/29 23:19:15.07 1WvbOcmu.net
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
のときΣ[k=0~∞]1/F(2^k)を求めよ
561:１３２人目の素数さん
15/09/29 23:40:04.23 MmwWCV56.net
F(0)の値が定義されてないぞ
562:１３２人目の素数さん
15/09/29 23:45:51.82 sCkKbHjD.net
それが何か？
563:１３２人目の素数さん
15/09/30 01:12:56.07 W4f7D5tC.net
>>573
たまげたなあ
ネタバレ注意
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
564:１３２人目の素数さん
15/09/30 01:14:25.58 W4f7D5tC.net
>>540は>>537に
565:１３２人目の素数さん
15/09/30 09:58:15.18 dmcZQwC0.net
>>540
kwsk
566:１３２人目の素数さん
15/09/30 10:50:49.83 lYRAE3q3.net
>>542
ウルフなんとかにぶちこんだだけ
567:１３２人目の素数さん
15/09/30 16:06:49.22 P+qfF9ot.net
>>537
F_{k-1}/F_{k} - F_{2k-1}/F_{2k} = ... = (-1)^k/F_{2k}
特に、kが偶数なら F_{k-1}/F_{k} - F_{2k-1}/F_{2k} = 1/F_{2k}
Σ[k=0~n]1/F(2^k) = 1/F(1) + 1/F(2) + Σ[k=2~n]1/F(2^k)
= 2 + Σ[k=2~n][ F_{2^(k-1)-1}/F_{2^(k-1)} - F_{2^k-1}/F_{2^k} ]
= 2+ F_{1}/F_{2} - F_{2^n-1}/F_{2^n} → 3 - 2/(1+√5) = (1/2)(7-√5) (n→∞)
568:１３２人目の素数さん
15/10/02 16:20:22.89 PIlMCyTn.net
F_1=F_2=1
F_(n+2)=F_(n+1)+F_n
のとき
Σ[n=1,∞](10^(-n))F_n
を求めよ
すなわち
0.1+0.01+0.002+0.0003+0.00005+0.000008+0.0000013+0.00000021+...
を求めよ
569:１３２人目の素数さん
15/10/02 19:05:28.58 ibVc9iom.net
F0=0として
G(x)= F0 + F1*x + F2*x^2 + F3*x^3 + ... + Fn* x^n + ... とすると
x*G(x)= F0*x + F1*x^2 + F2*x^3 + ... + F(n-1)* x^n + ...
x^2*G(x)= F0*x^2 + F1*x^3 + ... + F(n-2)* x^n + ...
ここで、Fn=F(n-1)+F(n-2)をつかうと
G(x) - F0 -F1*x = (x*G(x) - F0*x) + x^2 G(x)
つまり、G(x)=x/(1-x-x^2)
G(1/10)=10/89
570:１３２人目の素数さん
15/10/03 02:38:38.28 YaYUqMJy.net
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
としてF(n)が2015の倍数となるような最小の正整数nは偶数かそれとも奇数か
571:１３２人目の素数さん
15/10/03 09:36:33.30 UXtZmLrn.net
>>547
mod 5
572:１３２人目の素数さん
15/10/03 14:23:35.96 vbqVLgzq.net
mod 31 でF(k)を考えると
01,01,02,03,05,08,13,21,03,24,
27,20,16,05,21,26,16,11,27,07,
03,10,13,23,05,28,02,30,01,00,
01,01,...
と周期30を持ち、F(30)≡0 (mod 31)
2015の倍数であるためには31の倍数である必要があるため、
f(n)が2015の倍数であるためには、nが30の倍数である必要がある
従って、>>547の解答は偶数
ちなみに、2015=5*13*31、
5|F(5r)、13|F(7s)、31|F(30t)
5,7,30の最小公倍数は210なので、2015|F(210u)
573:１３２人目の素数さん
15/10/03 22:53:51.35 YaYUqMJy.net
じゃあ>>547の発展問題
素数pがp≡3(mod 4)を満たすとき
F(n)がpの倍数となるようなnは偶数であることを示せ
574:１３２人目の素数さん
15/10/05 13:51:42.85 363gcpru.net
F(1)=F(2)=1
F(n+2)=F(n+1)+F(n)
のときΣ[k=1～n]F(4k-2)は平方数となることを示せ
575:１３２人目の素数さん
15/10/05 21:26:56.98 4FTwqx8Y.net
>>550
奇数番目のフィボナッチ数は
F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_{n}^2
と変形できるが、互いに素な二つの数の平方の和は、4k+3型の素因数を持たない(※)。
従って、あるフィボナッチ数が4k+3型の素因数を持つとすれば、それは偶数番目の項に限られる。
>>551
F_{2n}^2-F_{2n-2}^2=(F_{2n}+F_{2n-2})*(F_{2n}-F_{2n-2})=...=F_{4n-2}
Σ[k=1～n]F_{4k-2} = F_{2n}^2-F_{0}^2 = F_{2n}^2
※ F_{n+1}^2+F_{n}^2 が合成数の場合、(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)
という恒等式に対応する形で逐次、因数を取り出すことができる。
奇数の平方＋奇数の平方は4k+2型の数に、奇数の平方＋偶数の平方は4k+1型の数になる
(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2) この式の中には三つの（平方＋平方）型の数があるが、
(4k+1型)=(4k+1型)×(4k+1型) か、(4k+2型)=(4k+2型)×(4k+1型) というパターンでの
登場に限られる。この中に�
576:A4k+3型の数は現れない。
577:１３２人目の素数さん
15/10/05 21:44:07.21 nbzLSFra.net
よく知っているなあ。(棒
578:１３２人目の素数さん
15/10/06 18:24:25.73 fsLNLxlt.net
鶴と亀の頭の数の合計がk個、足の数の合計がl本のとき、鶴はx羽、亀はy匹である
x,yがともに非負整数となるようなk,lの条件を求めよ
579:１３２人目の素数さん
15/10/06 19:20:23.94 REG7UsAr.net
三角形ABCの内部に点Pがある。
三角形BCPの面積をα
三角形ACPの面積をβ
三角形ABPの面積をγとする。
ベクトルPAをa
ベクトルPBをb
ベクトルPCをcとおくとき
αa+βb+γc=0を示せ
みたいな問題を昔見た気がするんだが記憶違いだったらすまん。
答えは忘れたｗ
580:１３２人目の素数さん
15/10/07 04:46:25.83 kiTgcolQ.net
3桁の自然数を引っくり返して、元の数との差の絶対値をとる。
得られた数の桁の数字の和は一定値であることを示せ。
581:１３２人目の素数さん
15/10/07 08:59:57.27 H50pZ5gt.net
九九の９の段
582:１３２人目の素数さん
15/10/07 09:05:11.67 +3sISOZm.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カプレカ数
583:１３２人目の素数さん
15/10/07 20:29:55.92 bVIaakd/.net
>>555
直線APと辺BCの交点をQとする
BQ:CQ=△ABQ:△ACQ=△ABP:△ACP=γ:β
また
AP:AQ=△ABP:△ABQ=△ABP:(△ABP+△PBQ)=△ABP:(△ABP+△PBC*BQ/BC)=γ:(γ+αγ/(γ+β))
よって
AP↑=(AP/AQ)AQ↑=1/(1+α/(β+γ))((β/(β+γ))AB↑+(γ/(β+γ))AC↑)=((β+γ)/(α+β+γ))(1/(β+γ))(βAB↑+γAC↑)=(1/(α+β+γ))(βAB↑+γAC↑)
αa+βb+γc=α(-AP↑)+β(AB↑-AP↑)+γ(AC↑-AP↑)=-(α+β+γ)AP↑+βAB↑+γAC↑=-(βAB↑+γAC↑)+βAB↑+γAC↑=0
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
これの逆
確認はしていないが
αa+βb+γc=0の左辺の係数を適宜負にすれば
Pが△ABCの外部にある場合にも拡張できるだろう
584:１３２人目の素数さん
15/10/07 20:45:04.75 bVIaakd/.net
>>556
1つの値にはならない
|100-1|=99 9+9=18
|101-101|=0
0か18のいずれかになる
585: ◆nxVhLK6vrE
15/10/07 22:51:00.01 Xsw/4YgJ.net
sin1°+2sin2°+3sin3°+...+90sin90°を計算せよ
答えはトリップ
586:１３２人目の素数さん
15/10/07 22:57:18.15 Xsw/4YgJ.net
>>561はトリップ間違えました
無かったことにしてください
587:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:28:59.15 0srW166e.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
問題も間違ってるような
588:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:35:23.90 hjzFehcS.net
フィボナッチ数列をこねくり回してたら次の式が出てきた。
F(mn)/F(n)=Σ[0≦k＜m/2](-1)^{k(n+1)}*C(m-1-k,k)L(n)^(m-1-2k) (☆)
ただし L(n)=F(n+1)+F(n-1) とする。
(1) F(m+n+d)=F(m+d)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(m)F(n) を証明せよ。
(2) F(n+2d)=L(n)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(n) を証明せよ。
(3) (☆)を証明せよ。
589:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:36:53.32 hjzFehcS.net
>>564
ただしC(m,n)=(m+n)!/(m!n!)とする。
590:１３２人目の素数さん
15/10/08 18:44:03.48 hjzFehcS.net
>>564の(1)が間違ってた。申し訳ない。
(1) F(d)F(m+n+d)=F(m+d)F(n+d)+(-1)^(d+1)*F(m)F(n) を証明せよ。
591:１３２人目の素数さん
15/10/10 10:24:56.14 PeUyjTTt.net
>>555
直線ABとCPの交点をQ, αPD↑=βBP↑, αPE↑=γCP↑となる2点D,Eをとる
BQ:AQ=△PBC:△PCA=α:βよりAD//EP, 同様にAE//DP
よってPA↑=PD↑+PE↑より示すべき式を得る
592:１３２人目の素数さん
15/10/10 10:25:37.83 PeUyjTTt.net
a,b,cを与えられた正の整数とし, aとbは互いに素とする. このとき, aを法としてbに合同な正の整数であって, その全ての素因数がc以上であるようなものが無限個存在することを示せ.
593:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:48:04.25 AWp5N1O6.net
>>566の式の拡張したような式が作れた。
役立つかどうかしらんけど。
数列{a[n]},{b[n]}は
b[n+1]=b[n]-a[n]-a[n+1]
を満たすとして
s[n]=Σ[k=1..n]a[k]
とすると
F(s[n])F(s[n-1]+b[n])=Σ[k=1..n](-1)^s[k-1]*F(a[k])F(b[k])
が成り立つ。
この式でn=2の場合は>>566の式になる。
問題：この式を証明せよ。
594:１３２人目の素数さん
15/10/11 19:30:16.51 1lehTb7O.net
>>568
a=1のときは素数の無限性より自明。a>1のとき、bを割り切らないc未満の素数全体の集合をPとし、Pのすべての元の積をmとする(Pが空のときはm=1とする)。このとき、a^k*m+b(k=1,2,...,)が条件を満たす。
証明は各自に任せる。
595:１３２人目の素数さん
15/10/14 07:19:35.42 m8TEiTt6.net
ほ
596:１３２人目の素数さん
15/10/15 08:02:39.75 ShUHgYGn.net
e^(1/e) - π^(1/π) < 1 を示せ。
597:１３２人目の素数さん
15/10/15 20:29:10.95 6VlkFHpA.net
e^(1/e)-π^(1/π)<4^(1/2)-1=1
598:１３２人目の素数さん
15/10/15 22:29:20.51 6KJ0Q333.net
ゆるい
599:１３２人目の素数さん
15/10/15 22:33:15.97 ShUHgYGn.net
ぐぬぬ…
e^(1/e) - π^(1/π) < 1/100 を示せ。
600:１３２人目の素数さん
15/10/17 00:55:05.00 oJL6KLEm.net
半径1の円に内接する正n角形について、ある頂点から時計回りに1,2,...,nとそれぞれの頂点に番号を付ける. このとき、nと互いに素な番号とn番の頂点との距離の総積は自然数であることを証明せよ
601:１３２人目の素数さん
15/10/17 02:15:57.96 T+AEruC5.net
>>576
ほんとかよウソくせー適当いってねぇ？
602:１３２人目の素数さん
15/10/17 02:24:55.17 MoaMy0B0.net
本当でしょ。
円分方程式の差積の絶対値。
603:１３２人目の素数さん
15/10/17 04:28:19.06 XxOr4UDp.net
z(k)=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)とおくと、
n次の円分多項式F_n(x)は
n以下でnと互いに素なφ(n)個の自然数kについての総積Π(x-z(k))で表され、
一方、F_n(x)は整数係数の多項式なので、F_n(1)は整数。
（1はF_n(x)の根ではないので、0ではない）
>>576で言ってる距離の総積はΠ|1-z(k)|=|F_n(1)|なので、これは自然数
って話ですよね。
円分多項式についての基本的な知見を既知とするなら、これでおしまい。
それを証明するというのなら、任せた。
604:１３２人目の素数さん
15/10/17 04:44:29.85 oJL6KLEm.net
>>578
>>579
正解です
F_n(1)の具体的な値が分かればもっと面白い問題になると思うのですが
円分多項式に関する知識がないので自然数、とまでしか言えませんでした
605:１３２人目の素数さん
15/10/17 12:12:19.15 XxOr4UDp.net
>>580
＞F_n(1)の具体的な値が分かれば
n次の円分多項式をF_n(x)とするとき、
nが素数ならF_n(1)=n
nが合成数なら|F_n(1)|=1となることを示せ
606:１３２人目の素数さん
15/10/17 13:00:00.54 u2MeBzbf.net
1->0.
p^k->p.
pq|n,p≠q.
n->1.
607:１３２人目の素数さん
15/10/17 13:08:23.42 uGe4tjBl.net
>>581
nが素数ならx^(n-1)+x^(n-2)+...+1がQ上既約となるのでこれが円分多項式になってF_n(1)=n
nが合成数の場合
例えば4次の円分多項式はx^2+1より
F_4(1)=2になるので成り立たないと思うのですが...
608:１３２人目の素数さん
15/10/17 22:42:46.53 XxOr4UDp.net
>>583
そうですね、すみません。
f_1(1)=0
nが素数pの冪のとき、F_n(1)=p
それ以外のとき、F_n(1)=1
であってますかね。
609:１３２人目の素数さん
15/10/17 22:45:04.87 XxOr4UDp.net
（ということを、>>582さんが指摘してたようですね^^;）
610:１３２人目の素数さん
15/10/24 13:56:14.38 BAbl4apN.net
４×４の升目に1,2,3,4の数字を入れるとき、
(1) �
611:宴eン方陣は何通り作れるか？ (2) 数独は何通り作れるか？
612:１３２人目の素数さん
15/10/25 10:27:38.50 U2A2nlW9.net
>>586
(1)ラテン方陣
1234
2XXX
3XXX
4XXX
となるのは
1234 1234 1234 1234
2143 2143 2341 2413
3412 3421 3412 3142
4321 4312 4123 4321 の4通り。
左端を固定すると、列の入れ替えのバリエーションが×3!
さらに、4つの数字の入れ替えで×4!なので、
4×3!×4! = 576通り
(2)数独
1234
34XX
2XXX
4XXX
となるのは
1234 1234 1234
3412 3412 3421
2143 2341 2143
4321 4123 4312 の3通り。
左上4マスを固定すると、右２列と下２行の入れ替えのバリエーションが×2×2
さらに、4つの数字の入れ替えで×4!なので、
3×2×2×4! = 288通り
613:１３２人目の素数さん
15/10/25 10:58:05.90 +qG/76bi.net
>>587
正解です！
614:１３２人目の素数さん
15/10/25 11:23:55.54 +qG/76bi.net
(2)の数独において、２本の対角線上にも同じ数字が並ばない場合はどうか？
615:１３２人目の素数さん
15/10/25 11:47:40.29 ftLSrIfJ.net
問題が何通りって意味じゃないのか。
616:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:00:01.40 +qG/76bi.net
(1)のラテン方陣で、２本の対角線上も同じ数字が入らない条件を持つものは何通りあるか？
条件を増やすと簡単になるなあ
617:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:11:23.38 U2A2nlW9.net
>>589
12XX
34XX
XXXX
XXXX
において対角線上にも同じ数字が並ばない数独の配置は
1234 1243
3412 3421
4321 2134
2143 4312 の2通りのみ
数字の入れ替えを考慮して、2×4! = 48通り
618:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:13:10.79 U2A2nlW9.net
>>590
ヒント数が４個の、別解のない４×４の数独の問題は
何通りあるか？
619:１３２人目の素数さん
15/10/25 12:19:49.64 +qG/76bi.net
>>592
正解です！
620:１３２人目の素数さん
15/10/25 13:47:25.43 U2A2nlW9.net
>>593
全てのヒントの数字が異なる場合を調べたら、唯一解となるのは
1x3x 1x3x 1x2x 1x2x 1x2x 1xxx
2xxx x2xx xxxx xxxx xxxx xx2x
xx4x xxx4 3xx4 x3x4 x3xx x3xx
xxxx xxxx xxxx xxxx xxx4 xxx4
の６タイプのみで、
それぞれの上下左右反転や、上２行、下２行、右２列、左２列の入れ替え、
数字の入れ替えによるバリエーションが、
左から順に
3072、3072、3072、768、1536、384 通りなので、
合計11904通り。
ヒントの数字には少なくとも３種類の数字が含まれる必要があるので、
あとは、ヒントがちょうど３種類の数字からなる場合を考えればよいが、
場合分けが発散しそうなので、人手でやるべき作業ではなさそう。
暇な人は、プログラムで調べてちょ
621:１３２人目の素数さん
15/10/25 13:50:42.41 U2A2nlW9.net
ずれた。コピーして等幅フォントで。
622:１３２人目の素数さん
15/10/25 14:06:38.28 FeX0gcyy.net
別スレで見た問題だけど
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:738番)
738 １３２人目の素数さん sage 2015/10/24(土) 00:08:28.37 ID:mxQpNuML
次の性質を持つ実数全体で定義された連続関数y＝f(x)は存在しない事を（高校範囲で）示せ
xが有理数の時yは無理数
xが無理数の時yは有理数
623:１３２人目の素数さん
15/10/25 16:23:51.60 yazxyviR.net
>>597
高校範囲では、「連続関数」を定義しないから、
極限の計算練習くらいはできても、証明は不可能。
高校範囲でなく、普通にやれば？
624:１３２人目の素数さん
15/10/25 16:29:51.70 U2A2nlW9.net
>>597
補題：実数a,bがa<bを満たすとき、a<q<bとなる有理数qが存在する。
a<bより、1/(b-a)は正の実数であり、N>1/(b-a)となる自然数Nが存在する。
このとき、Nb-Na>1なので、Nb<M<Naとなる整数Mが存在する。
q=M/Nとすると、a<q<bを満たす。
以下本題
条件を満たす関数f(x)が存在すると仮定する。
関数g(x)をg(x)=x+f(x)と定義すると、g(x)は連続関数であり、
xが有理数ならf(x)は無理数なのでg(x)は無理数
xが無理数ならf(x)は有理数なのでg(x)は無理数
よって、g(x)は任意の実数xに対して無理数となる。
g(x)が定数関数の場合、g(x)=kとおくと、f(-k)=2kとなり、
kが有理数ならば-kもf(-k)も
625:有理数、kが無理数ならば-kもf(-k)も無理数となるので 条件と矛盾 g(x)が定数関数ではない場合、g(a)<g(b)となる実数a,bが存在する。 このとき、補題より、g(a)<q<g(b)となる有理数qが存在し、 g(x)は連続関数なので、中間値の定理より、g(c)=qとなるcがaとbの間に存在する。 ところが、g(c)は無理数なので、qが有理数であることと矛盾 以上より、いずれの場合も矛盾が生じるので、仮定は誤りであり 条件を満たす関数f(x)は存在しない。 # そもそも中間値の定理が実数の連続性から導かれるものなので、 # それを証明なしに勝手に使っていい高校数学は、結構ゆるゆる。
626:１３２人目の素数さん
15/10/25 16:32:00.45 U2A2nlW9.net
>>598
数IIIに「関数の連続性」という章があるのですが…
627:１３２人目の素数さん
15/10/25 17:35:12.41 yazxyviR.net
>>600
そこで、未定義の「lim」を使っているだろ。
628:１３２人目の素数さん
15/10/25 18:10:59.01 U2A2nlW9.net
そんなことはわかっとるわい（苦笑）
高校数学で中間値の定理とか微積を使った証明問題がないわけではあるまいに。
高校数学の範囲で示せ、と言われたら、使っていいことになってることを使って示す
パズルだと思えばいいだろ。
厳密に定義されていないものは使えないなら、高校数学なんて全滅だろって…
629:１３２人目の素数さん
15/10/25 20:44:52.80 eQ55Oj7N.net
>>601
高校の教科書にもちゃんと定義しているだろ
元の問題は高校の範囲超えてもいいのなら濃度を考えたら自明だろ
630:１３２人目の素数さん
15/10/26 00:05:39.06 YOaWhcc4.net
濃度を考えても自明とは思えないな
631:１３２人目の素数さん
15/10/26 01:28:40.96 RXHa2tRu.net
>>603
定義したようなふりはしているけれど、
「ちゃんと定義」はしてないよ。
そっちの方針がいいね。
632:１３２人目の素数さん
15/10/26 04:16:09.61 slr0ql1P.net
確かに濃度を考えても自明とは思えないですね。
自明だという方々は、どのような流れで自明だと言うつもりなのか
教えて頂きたいものです。
633:１３２人目の素数さん
15/10/26 04:22:08.47 VswQofCi.net
定数でない連続関数fの像は連続体濃度を持つけど、fの定義からfの像は高々可算集合であり、矛盾
自明だろう
634:１３２人目の素数さん
15/10/26 05:03:33.19 slr0ql1P.net
>>607
＞定数でない連続関数fの像は連続体濃度を持つけど、fの定義からfの像は高々可算集合であり
なるほど。「fの像は高々可算集合」ってとこに気付きませんでした。
（有理数の集合＋有理数の像、なんですね）
私のように気付かなかった奴からすると、その１行の説明でも立派な証明で、
自明って言葉のニュアンスとは違って感じたりもします。
635:１３２人目の素数さん
15/10/26 08:20:47.83 lA+MWMHJ.net
>>608
数学の専門書読んで行間を埋めたこと事ないの？
著者が自明だと書いていても理解するのに数日かかったりする事はざらだよ
636:１３２人目の素数さん
15/10/26 14:50:38.40 j7RcQfYy.net
>>595
いやすごいな。
637:１３２人目の素数さん
15/10/31 15:55:03.83 oUaeh8L4.net
おまけ付きの菓子にはA、B、Cのどれか１つが、それぞれ確率a、b、cで入っている。
(1) a+b+c=1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値を求めよ。
(2) 0<a+b+c<1のとき、3種類が揃うまでに買う個数の期待値は変わるか？
変わるならその値を求め、変わらないならそれを証明せよ。
638:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:31:21.02 jlw7lTLW.net
>>611
(1)
nは3以上の整数として
n個目にA,B,C全て揃う確率は
n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率
n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率
n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率
の和であり
(1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c
よって買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)
(2)
買う個数の期待値は(1)と同じ
n((1-a)^(n-1)*a+(1-b)^(n-1)*b+(1-c)^(n-1)*c) (個)
これは式の意味から明らか
639:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:36:34.14 jlw7lTLW.net
(2)のようにはず
640:れがあるなら 買う個数の期待値は(1)より大きくなる と思われる
641:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:40:55.08 0j1dwPeS.net
>>612
＞n-1個目までにAが出ず
ではBだけ出てCが出ていないかもしれない
642:１３２人目の素数さん
15/10/31 16:45:45.73 jlw7lTLW.net
（n-1個目までにAが出ず、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にAが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にAが出る確率）
+（n-1個目までにBが出ず、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにCのみが出て、n個目にBが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にBが出る確率）
+（n-1個目までにCが出ず、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにAのみが出て、n個目にCが出る確率）
-（n-1個目までにBのみが出て、n個目にCが出る確率）
か
やめた
643:１３２人目の素数さん
15/11/01 00:54:53.93 AWAb936d.net
>>615より
n個目にA,B,C全て揃う確率は
(1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c
買う個数の期待値は
n((1-a)^(n-1)*a-b^(n-1)*a-c^(n-1)*a
+(1-b)^(n-1)*b-c^(n-1)*b-a^(n-1)*b
+(1-c)^(n-1)*c-a^(n-1)*c-b^(n-1)*c)個
644:611
15/11/01 10:36:50.24 LvsYUQg2.net
正解者なし。
645:１３２人目の素数さん
15/11/01 11:39:28.82 BcQa9qVi.net
期待値の式にnが入ってる時点で明らかに不正解なのはわかる
646:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:06:20.55 tOJjs8t9.net
>>611
(2)は問い方がおかしいだろ。
(1)でa+b+c=1を前提に答えを式変形していたら、(2)で使えるわけがない。
(1),(2)で共通で使える表現は存在する。
(1)だけの答えなら
bc+ca+ab=X、abc=Yとおいて
期待値は 1+ X/Y - (1+X)/(X-Y)
(1)(2)共通の答えは
期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)
考え方は、n≧1として、n回後にまだ全部揃っていない確率は
P(n) = (1-a)^n + (1-b)^n + (1-c)^n - (1-b-c)^n - (1-c-a)^n - (1-a-b)^n
であり、期待値は
1+Σ[n=1,∞]P(n)
（P(n)の式にn=0を代入すると0になるので、Σは0から計算すると楽）
647:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:10:01.30 4gDXr50m.net
買う個数の期待値ですけど
648:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:20:13.32 tOJjs8t9.net
>>620
そうですがなにか
649:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:31:08.00 NRx06mRK.net
なお、おまけのお菓子は廃棄してはいけないこととする
650:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:37:02.93 tOJjs8t9.net
ちょっと冷たかったな（汗）
一般に終了するまでの回数の期待値を考える場合、少しトリッキーな言い方だが、
「n回目が行われる回数」という確率変数をx(n)（x(n)は0か1の値をとる）とすると、
終了するまでの回数という確率変数Xは
X=Σ[n=1,∞]x(n)
となるので、Xの期待値は
E(X)=Σ[n=1,∞]E(x(n))
で、n回目までに終わってない確率をP(n)（n=0,1,…）とすると、
E(x(n))=P(n-1)となるので、結局
E(X)=Σ[n=0,∞]P(n)
と言える。今回の問題では、n≧1ではP(n)は示した通りで、P(0)=1。
651:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:05:08.43 4gDXr50m.net
>>623
普通n回目に揃う確率をp(n)とした場合に求める期待値は当然
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
ではないの？
その方法でどうその後計算ができるのか示してもらいたいもんだ。
652:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:06:23.21 4gDXr50m.net
×lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)np(n)
○lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
653:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:15:08.77 tOJjs8t9.net
（さっきから示してるんですが…ま、いいや）
654:１３２人目の素数さん
15/11/01 15:25:50.30 tOJjs8t9.net
結局縦のものを横にして計算してるだけなんだがな。
あと、E(X+Y)=E(X)+E(Y)は理解してるよな？
655:１３２人目の素数さん
15/11/01 16:07:34.53 4gDXr50m.net
n回目まで終わっていない確率を足し合わせても回数の期待値にはならないと言っているだけだが？
656:１３２人目の素数さん
15/11/01 22:14:45.26 tOJjs8t9.net
>>623の説明でわからなければ、私の手には負えません。
657:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:00:35.12 4gDXr50m.net
>>629
n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
658:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:11:13.81 tOJjs8t9.net
>>630
他のスレでの発言を見ていると、大学レベルの数学の知識をお持ちの方と
見受けられるのですが、
どうして自分の頭できちんと考えることを放棄されているのでしょうか？
659:１３２人目の素数さん
15/11/01 23:18:30.47 tOJjs8t9.net
（下げ忘れました。スミマセン）
660:１３２人目の素数さん
15/11/02 00:34:13.02 FzT0ePp1.net
日付が変わる前に>>630の発言を引き出せたからよしとするか…
何を言ってるかと思えば、そんなレベルの話だったとは
661:１３２人目の素数さん
15/11/02 02:34:02.14 krCUW5Pu.net
>>619は考え方は合ってるけど計算ミスしてるのでは。
662:１３２人目の素数さん
15/11/02 05:33:21.12 wY9be5wM.net
>>631
>>625
663:611
15/11/02 06:19:14.52 O2maGD3B.net
>>619
> (1)(2)共通の答えは
> 期待値は 1+ 1/a + 1/b + 1/c - 1/(b+c) - 1/(c+a) - 1/(a+b)
(1)のみ正解。
(2)はa+b+c≠1なので、式の形は異なります。(2)の値にa+b+c=1を代入すると(1)に一致するけどね。私が間違っていたらゴメン。
664:611
15/11/02 07:49:59.21 O2maGD3B.net
(2)の問題文を 「期待値を a, b, c で表せ」 に変更します。
s=a+b+c、t=ab+bc+ca、u=abc とおいて、s, t, u で表してもいいです。
665:１３２人目の素数さん
15/11/02 08:30:02.32 udp++JuJ.net
1/a+1/b+1/c-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(b+c)+1/(a+b+c).
666:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:26:01.27 FzT0ePp1.net
>>636
本当だ、ベン図の真ん中が(2)では存在するのを忘れてた。
（説明すると、n回終わってaが出ていない事象をA、bが出ていない事象をB、
cが出ていない事象をCとして、ベン図書いて考えてて、3つ重なった所に
最初に0を入れたまま忘れてた…基本的ミスですな）
>>638で両方共通の答えになるのかな。
667:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:36:33.87 FzT0ePp1.net
ところで、>>635は昨日の4gDXr50mさんですかね。
そろそろ「もしかしたら自分が勘違いしてるかも」と疑い始めてもいいころでしょうに。
その自信はどこから来るのか、ある意味うらやましい（嘘です）。
いや、誰も
lim(n→∞)E(n)=lim(n→∞)Σ[j=1,n]kp(k)
の考え方を間違いだと言ってるわけではないんですよ。
その考え方でうまく計算できないようなケースに、
>>623みたいな作戦が使えるという話をしているだけで。
どうして自分の頭で考えて人の言っていることを理解する努力をしないのかと
不思議に思っているわけです。
668:１３２人目の素数さん
15/11/02 13:02:00.46 wY9be5wM.net
>>640
4gDXr50mです。
>>630で書いているとおりですが、理解しようがありません。
確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
669:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:08:14.85 1VvZixfA.net
>>630,641
> n回目まで終わっていない確率を足し合わせたところで、その極限は1にしかならない。以上。
n回目までに終わっていない確率(=n+1回目が行われる確率)の和は、
0回目から1回目までの和ですでに2になる単調増加列だが？
P(0)=1
P(1)=1
P(2)=1
P(3)=1-6abc
670:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:20:04.75 udp++JuJ.net
a+2b+3c+4d+...
=(a+b+c+d+...)+(b+c+d+...)+(c+d+...)+(d+...)+....
671:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:30:52.95 wY9be5wM.net
>>642
回数の期待値と書いているのにも関わらず、回数を考慮していないからおかしい。
672:１３２人目の素数さん
15/11/02 16:50:16.25 1VvZixfA.net
>>644
そんな関係ないレスしてないで
> 確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
が偽だということは理解できたか？
673:１３２人目の素数さん
15/11/02 17:48:34.69 wY9be5wM.net
>>645
＞確率を足しても、∞の試行回数までに試行が終わる確率＝1しか得られないと考えます。
それは誤解だった。
n回目で終わる確率をP(n)とした場合にはその極限が1になるということ間違った。
＞E(x(n))=P(n-1)
と書かれているのがまずおかしい。
x(n)は0か1だから、E(0)とかE(1)は何を意味するのか？
E(n)=nP(n-1)
の間違いではないのか？
674:１３２人目の素数さん
15/11/02 20:26:17.36 Cvr2y9Py.net
一般に、確率変数Xが与えられたときにその期待値のことをE(X)と書くのであって
E(0)とかE(1)とかE(n)っていうのはちょっと意味が分からないなあ
675:１３２人目の素数さん
15/11/02 21:36:38.51 1VvZixfA.net
>>646
> ＞E(x(n))=P(n-1)
> と書かれているのがまずおかしい。
まず、「E(x(n))」という書き方は>>647の通り期待値の一般的な記法であって何もおかしくない
x(n)は>>623が書いている通り、「n回目が行われる回数」という確率変数で、
n-1回目までに全部そろっていなければ1を取り、 (確率P(n-1))
全部そろっていれば0を取る (確率1-P(n-1))
当然x(n)の期待値E(x(n))は
E(x(n))=1*P(n-1)+0*(1-P(n-1)=P(n-1)
になる
補足だが、このP(n)はｎ回目終了時点で終わっていない確率であって、n回目に最後の一つがそろい終了する確率ではない
> E(n)=nP(n-1)
> の間違いではないのか？
このE(n)、P(n)が何を意味するのか判りかねるが
>>624-625に倣ったもので、
E(n)=Σ[ｋ=1,n]kP(k)
の間違いならば、
P(n)は「n回目に最後の一つがそろい終了する確率」
E(n)は「『k回目に終了する時の買う個数kとP(ｋ)との積』のｋ=1からｎまでの和」
だろうから
> E(x(n))=P(n-1)
の「E(x(n))」、「P(n)」とは別のものだろう
676:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:28:55.42 FzT0ePp1.net
x(n)は確率変数だと書いたはずだが。
ネット上で添字は分かりにくくなることがあるので、関数風に書くことはあるだろう。
x_nなら理解できるか？
nに対応する確率変数が無限にあるんだよ。
（というか、ただのよくある期待値計算の手法なのだが、なんでこんなことになってるの？）
677:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:35:48.94 FzT0ePp1.net
E(x(n))ではなくE[x_n]と書けばよかったか？
丸カッコではなく角カッコの方が一般的だというなら、そう読み替えて下さい。
（高校の教科書では、残念ながら丸カッコを使っているが。）
678:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:41:46.19 FzT0ePp1.net
最早難癖モードなのか、
本当に理解してないのかが計りにくいが、
ホントもうどうでもいい。
これでもまだ上から目線で議論できる神経にはある意味敬服する。（嘘です）
679:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:42:07.10 Mg+fRVGR.net
>>611
(2)
f(x)=x/(1-x) + x/(1-x)^2 として
a*f(b+c) + b*f(c+a) + c*f(a+b) - (a+b)*f(c) - (b+c)*f(a) - (c+a)*f(b)
展開したり、通分したりすると、複雑になるので、ここで止めておく
特にa+b+c=1 の時は、
a*f(1-a)-(1-a)*f(a)=1-2a+1/a-1/(1-a) 等から
1 + 1/a + 1/b + 1/c - 1/(1-a) - 1/(1-b) - 1/(1-c)
と>>619に一致
680:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:43:11.61 wY9be5wM.net
全て了解しました
681:１３２人目の素数さん
15/11/02 22:45:27.00 wY9be5wM.net
よく考えれば非常に簡単なことだった。間違っていると思ったから書いているだけで
別に上から目線だとは全然思っていない。
682:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:08:00.26 d0E5e822.net
>>652に補足
3c{(a+b)^2-a^2-b^2} + 4c{(a+b)^3-a^3-b^3} + 5c{(a+b)^4-a^4-b^4} + ... + (cyclic項)
=Σ[k=2,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
=Σ[k=1,∞](k+1)c{(a+b)^k-a^k-b^k} + cyc.
ここで
Σ[k=1,∞](k+1)x^k = Σ[k=1,∞](∂/∂x)x^(k+1) = ... = x/(1-x) + x/(1-x)^2 ≡f(x)
に注意して、書き直したのが>>652
683:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:15:13.34 wY9be5wM.net
>>651
そうですね、それは大変に失礼いたしました。
以前に私はこの計算を行った問題です。
レアカードはABCDEFGHの8種類あり、レアカードが出る確率は5%。
A～Fと比べて、GとHは出る確率が半分。
n回目にレアカードがコンプする確率とコンプする回数の期待値を求めよ。
684:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:15:58.38 wY9be5wM.net
×以前に私はこの計算を行った問題です。
○以前に私が計算を行った問題です。
685:１３２人目の素数さん
15/11/02 23:39:02.75 R2z+EcrU.net
あ、ミスった
>>652 >>655は無かったことに
686:１３２人目の素数さん
15/11/05 07:18:20.80 jjaZ4tUN.net
1から2n+1までの数字の書かれたカードが1枚ずつ2n+1枚ある。
この中から無作為に3枚を取り出す。
(1) 2数の差の最小値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
(2) 2数の差の最大値を得点とするとき、得点の期待値を求めよ。
687:１３２人目の素数さん
15/11/08 01:47:28.64 Qs7YPP2X.net
任意の実数a,b,cに対して、不等式
|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|
688:≦M（a^2+b^2+c^2）^2 が成り立つような最小の実数Mを求めよ
689:１３２人目の素数さん
15/11/08 16:59:39.06 f/sobXmt.net
(9√2)/32
690:１３２人目の素数さん
15/11/08 23:12:29.95 Ra6N4a1N.net
過程も書け
691:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:15:51.58 VgRTV7gt.net
>>660
a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
a,b,c が対称だから (a,b,c)=(1,1,1)/√3 を軸とする極座標 (r,θ,φ) に変換すれば簡単になると予想
他の2軸を (√(2/3),-1/√6,-1/√6),(0,1/√2,-1/√2) として
a=(1/√3)r(√2cosφcosθ+sinφ)
b=r(-(1/√6)cosφcosθ+(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
c=r(-(1/√6)cosφcosθ-(1/√2)cosφsinθ+(1/√3)sinφ)
とすれば
ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)=√(3/2)r^4 sinφ(cosφ)^3 (3sinθ-4(sinθ)^3)
sinφ(cosφ)^3 の最大値は 3√3/16 で 3sinθ-4(sinθ)^3 の最大値は 1 だから答は 9√2/32
692:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:45:24.58 Uts8GNkz.net
すごい
693:１３２人目の素数さん
15/11/09 21:49:30.09 wYVWaO80.net
>>663
> a^2+b^2+c^2=1 の球面上での極値問題と考える
すでにココで何をやってるか分からない…
694:１３２人目の素数さん
15/11/09 23:29:45.01 2fj29AuI.net
>>662
X=a-b,Y=b-c,R=√(a^2+b^2+c^2)とすると、(c-a)=-X-Y
X^2+Y^2+(X+Y)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2R^2-2(ab+bc+ca)なので
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=R^2+2R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2
{左辺/(右辺/M)}^2={(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}^2/(a^2+b^2+c^2)^4
=X^2Y^2(X+Y)^2(3R^2-X^2-Y^2-(X+Y)^2)/R^8=...≦81/512
腕力に頼るなら、f(x,y)={xy(x^2-y^2)+y(y^2-1)+x(1-x^2)}/(x^2+y^2+1)^2
として、∂f/∂x=∂f/∂y=0を解いて極大の候補を見つける方法も
695:１３２人目の素数さん
15/11/10 08:10:32.00 ktIVqkZl.net
2015年度 釣塔大学理学部 入学試験問題 数学
2/29 9:00-15:00 （6時間）
問1 π>3.05を示せ。
問2 tan1゜は有理数か。
問3 一辺1の正二十面体の体積を求めよ。
問4 tan10°=(tan20°)(tan30°)(tan40°) を示せ。
問5 C[2015,n]が偶数となる最小の自然数nを求めよ。
問6 (2^n+1)/n^2 が整数となるような自然数nを全て求めよ。
696:１３２人目の素数さん
15/11/10 11:46:09.81 AkD0Xa0Q.net
>>667
> 釣塔大学理学部
ネタも大概にしろ
697:１３２人目の素数さん
15/11/10 13:38:57.41 RSSjjlq7.net
同じ問題ばっかしコピペしてるなー
698:１３２人目の素数さん
15/11/10 13:55:57.09 eSJ4pj9H.net
解けない馬鹿ばかりだからね
699:１３２人目の素数さん
15/11/10 14:04:37.53 yjYWK9mN.net
調べればすぐ答え出てくる問題ばっかやな
700:１３２人目の素数さん
15/11/10 15:03:31.81 M07kpxaE.net
釣塔大の過去問ではファレイ数列を背景にしたものが面白かった
701:１３２人目の素数さん
15/11/10 17:44:20.54 QKJlOMCa.net
釣塔大学 平成24年度入学試験問題
数学(文科)
URLﾘﾝｸ(www.choto.jp)
数学(理科)
URLﾘﾝｸ(www.choto.jp)
から一問
文科第4問
x^17+7x=1の
(1) 17個の解の17乗の総和
(2) 17個の解の逆数の総和
702:１３２人目の素数さん
15/11/10 20:38:49.07 gneE9q0Y.net
これ、釣塔大のオリジナル？
703:１３２人目の素数さん
15/11/10 20:56:09.21 ejzOfhBl.net
そうわ問屋が卸さない。
704:１３２人目の素数さん
15/11/10 22:21:57.83 Yi1N+6jX.net
四面体の六辺の積をL、体積をVとおくとき
L/V^2の最小値を求めよ
705:１３２人目の素数さん
15/11/11 00:02:10.60 c02syTcL.net
V/2=1/6abcsinαsinβ=1/6defsinγsinσ
(V^2)/4=1/36Lsinαsinβsinγsinσ
L/V^2=9/sinαsinβsinγsinσ
こうですかわかりません！
706:１３２人目の素数さん
15/11/11 00:03:09.77 c02syTcL.net
ぜんぜん違うじゃねーか
707:１３２人目の素数さん
15/11/11 00:13:50.85 CD/W06rP.net
元ネタは何だろう
URLﾘﾝｸ(www.tcp-ip.or.jp)
708:１３２人目の素数さん
15/11/11 14:22:22.47 H4I4JOfA.net
>>638
(2) この答え違うよな
709:１３２人目の素数さん
15/11/12 23:45:42.55 +ZNawg+o.net
xy平面上で、不等式x^2＋y^2≦b^2で表される領域をDとする。
このとき、曲面Z=√(a^2－x^2－y^2)のDに対応する部分の面積を求めよ。
ただし、a.bは正の定数でa>bとする
710:１３２人目の素数さん
15/11/13 12:58:10.36 JTFtlSpL.net
それは見飽きた
711:１３２人目の素数さん
15/11/13 23:05:42.07 woulzGdF.net
解けないくせに
712:１３２人目の素数さん
15/11/14 03:12:10.96 CUofgJxc.net
球を平面で切った面積だろ？
どこの参考書にでも、
丸々おな問が載っているぞ。
勉強したこと無いの？
713:１３２人目の素数さん
15/11/14 05:03:08.80 FqgeDLEi.net
何？ また質の低い出題者がエレガントに出したの？
714:１３２人目の素数さん
15/11/14 13:53:59.34 2y7u5HhI.net
受験通った奴なら解ける問題
715:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:21:58.54 MNaw2lGQ.net
口ばっかりで実際には解けていない連中
716:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:24:48.46 MNaw2lGQ.net
文句しかつけられない屑ども
717:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:35:05.13 rGriZ3WF.net
文句つけるしかしようがないからな
出直して来いってことだ
718:１３２人目の素数さん
15/11/14 17:51:05.48 WlTPgH8m.net
４種類のタイルがたくさんある。いずれも正多角形形で、一辺の長さが１である。
この四種類のタイル全てを一定の割合で使い、平面を規則的に覆い尽くすことができるという。
この４種類のタイルが、それぞれ正何角形か、そして、どのように配置するか。
719:１３２人目の素数さん
15/11/14 17:55:47.72 0i+c2SxP.net
全部正六角形で材質が違う
はい論破
720:１３２人目の素数さん
15/11/14 18:43:53.07 8/VySMOE.net
全部正方形で材(ry
721:１３２人目の素数さん
15/11/14 22:20:06.93 AGL93mt1.net
3,4,6,12.
722:１３２人目の素数さん
15/11/15 01:45:23.04 60GjeiIH.net
>>693
どうやって？
723:１３２人目の素数さん
15/11/15 06:09:13.20 UyssNKsl.net
>>694
693ではないが、
正十二角形と正三角形だけで平面が敷き詰められることと
正六角形の回りに正方形と正三角形を6つずつ並べると正十二角形になることを知ってれば
簡単だと思うが。
正十二角形と正三角形の敷き詰めパターンの中で
一部の正十二角形を規則的に選んで、他の正多角形の組合せに置き換えればいいだけ。
どういうルールで置き換える正十二面体を選ぶかはさじ加減次第でいかようにも。
724:１３２人目の素数さん
15/11/15 06:10:25.43 UyssNKsl.net
誤：正十二面体
正：正十二角形
725:１３２人目の素数さん
15/11/15 07:20:01.98 60GjeiIH.net
>>695
なるへそ。さんくす。
726:１３２人目の素数さん
15/11/15 22:04:33.00 VhAV5WwG.net
次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め，存在しなければそれを示せ．
(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)＝f(x)
(3) f(1)＝1
727:１３２人目の素数さん
15/11/16 01:06:30.99 iIs89nTI.net
>>698
微分方程式知ってればただの問題だしなあ
(2)を解くと一般解はf(x)=Ce^(-1/x)で
(3)から特殊解はe^((x-1)/x)となるけど、
(1)の条件を満たさない（x=0が定義域に入らない）からそんな関
728:数は存在しない。
729:１３２人目の素数さん
15/11/16 01:13:40.85 20I39tfO.net
>>690の出題者です。wiki の「平面充填」のページの「複数種類のタイルによる平面充填」の「正多角形」
の所に、８つの種類が図を伴って載っているが、
・(3,4,6,4)型において、正六角形とその周りの正方形と正三角形をまとめ、一つの正十二角形にする
・(3,12,12)型において、正十二角形を、一つの正六角形と３つの正方形・三つの正三角形にする
・(4,6,12)型において、正六角形を六つの正三角形にする
それぞれの平面充填図に於いて、この三パターンを置き換えを規則的な位置で行ったものが、
解答にあたると考えています。
いずれも正3,4,6,12角形の四種類のタイルを使用することになります。
730:１３２人目の素数さん
15/11/16 07:20:24.93 dgMTjPk9.net
>>699
地雷踏んでますな
間違ってるよ
731:１３２人目の素数さん
15/11/16 09:48:09.42 gF+qHZnf.net
型どおりの嵌め手だな。
lim[x→0]f(x)を
考えるといいんじゃない？
732:１３２人目の素数さん
15/11/16 10:09:59.96 lYzjmwv3.net
0(x<=0).
exp(1-1/x)(0<x).
733:１３２人目の素数さん
15/11/16 11:42:47.39 iIs89nTI.net
なるほど嵌められた。
734:１３２人目の素数さん
15/11/16 15:18:57.34 NgBGszqz.net
中途半端な知識がある奴に限って
引っかかって涙目になる好例だな
735:１３２人目の素数さん
15/11/16 23:49:12.75 gF+qHZnf.net
こういうのがあるから、実解析は厭らしい。
複素解析のように単純明快ではないから。
736:１３２人目の素数さん
15/11/17 00:21:31.90 B/WbhtGY.net
そういう問題ではないだろw
737:１３２人目の素数さん
15/11/18 08:07:35.28 YfZeoSBZ.net
Z:整数の集合 a,b:互いに素な整数 n:正の整数
A(n) = { ax^n+by^n | x,y∈Z } とおく
ZにおけるA(n)の補集合をB(n)とする
n≧2のとき B(n)が無限集合であることを示せ
738:１３２人目の素数さん
15/11/20 12:07:03.57 XLNgk5Ci.net
算数の授業で「皆殺し」 18782（嫌なやつ）＋18782＝37564
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
藤沢市の女性教諭（４０）が４年生の算数の授業で電卓の使い方を教える際、
「嫌なやつ（１８７８２）と嫌なやつ（１８７８２）を足すと皆殺し（３７５６４）になる」
との語呂合わせを用いていたことが１９日、分かった。
739:１３２人目の素数さん
15/11/20 14:10:47.87 YC7UIon5.net
>>709
内容の善し悪し以前に、
ネタをボキャブラ天国から
とたことが異常に浅薄だな。
740:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:20:39.64 cGbJbMBr.net
【問題】
2015年現在、個人情報の管理の効率化や行政事務の簡素化・迅速化などを目的として、住民票を有する日本国民一人一人にマイナンバーが付与されている。
マイナンバーはいずれも12桁以下の自然数であり、その中にはシステム上マイナンバーとして使用されない数もあるが、ここではそのような例外の存在は考慮しないものとする。
東工大生のヒロシはマイナンバーが異なる9個の素数の積であり、その素因数の和は250以下である。
愚かなヒロシは、自分のマイナンバーを「A,B,C,D」と3桁ずつ4つの整数に区切ったとき、A+B+C+Dと-A+B-C+Dの値がともに41以上の素数であることに発狂・卒倒し、その驚愕的事実をあろうことか2chに書き込んでしまった.。
この際、ヒロシのマイナンバーを当てちゃえ。
741:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:23:39.27 yi/k0l6t.net
これは難しいな
どこが面白いのかを理解するのが
742:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:41:16.13 qwFw9WzJ.net
たぶんヒロシの正体だろ？
743:１３２人目の素数さん
15/11/20 22:51:15.90 YC7UIon5.net
>>710 について陳謝と訂正。
ボキャブラ天国ではなく
トリビアの泉だったようだ。
似たようなもんといえば
似たようなもんだが。
744:１３２人目の素数さん
15/11/21 02:22:52.60 sgarGLHU.net
>>711
3通り
745:１３２人目の素数さん
15/11/21 04:26:38.18 gKgefaB2.net
>>715
同じく三通り見つかった
その三通りの A+B+C+D の和は、5345でおｋ
746:１３２人目の素数さん
15/11/25 06:31:23.75 b4wpDMiG.net
a^(bc)・b^(ca)・c^(ab)=2^(abc)をみたす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。
747:１３２人目の素数さん
15/11/29 04:11:41.47 JA15tZsj.net
a^(bc)*b^(ca)*c^(ab)の素因数は2のみだから
a=2^l, b=2^m, c=2^n （l,m,nは非不整数）
とおける
(2^l)^(2^(m+n))*(2^m)^(2^(n+l))*(2^n)^(2^(l+m))=2^(2^(l+m+n))
⇔2^(m+n)*l+2^(n+l)*m+2^(l+m)*n=2^(l+m+n) …★
⇔(l,m,n)=(3,3,4),(3,4,3),(4,3,3) …☆
したがって
(a,b,c)=(8,8,16),(8,16,8),(16,8,8)
(l,m,n)の解（の一部？）☆は
l=m=nとしたとき
★⇔2^(2l)*3l=2^(3l)⇔2^l=3l
で3<l<4から当たりをつけた
☆以外にも解があるかもしれないが
★の両辺の大小関係から絞れるはず
例えば
(l,m,n)=(1,1,1),(1,2,3)では(左辺)>(右辺)
(l,m,n)=(4,5,6),(6,6,6)では(左辺)<(右辺)
748:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:10:01.03 9sTwx4pn.net
1,2,2.
1,2,4.
1,4,4.
2,16,16.
4,16,16.
8,8,16.
749:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:27:06.20 0eJS4rU2.net
そんなあるのか
750:１３２人目の素数さん
15/11/29 14:31:10.14 jKzfN99j.net
京大特色入試
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
751:１３２人目の素数さん
15/11/29 18:35:31.67 Zlc4lq5j.net
n個の変換ベクトルが互いに独立であれば良い
752:１３２人目の素数さん
15/12/17 12:45:31.26 bnNJ+6iW.net
別スレから
309 １３２人目の素数さん sage 2015/12/17(木) 12:03:29.97 ID:3RmDFSBV
問題変えたほうが良いな
a^2≡a(mod.p)を満たすaの個数がn個であるときR(p)=nとおく。
例えば、R(1)=1,R(2)=2,R(3)=2,R(4)=2
(1)R(10),R(20)を求めよ。
(2)R(p)を求めよ。
753:１３２人目の素数さん
15/12/18 00:11:55.50 NonrS9aL.net
因数分解せずに数える方法があるなら知りたい
754:１３２人目の素数さん
15/12/18 04:00:36.74 TFNLlafx.net
rad(p)をpの異なる素因数の積としてR(p)=2^rad(p)かな
素因数分解は必須のような気がする
755:１３２人目の素数さん
15/12/18 04:02:14.76 TFNLlafx.net
>>725
間違えた、rad(p)関係ない
f(p)をpの異なる素因数の個数としてR(p)=2^f(p)
756:１３２人目の素数さん
15/12/18 05:57:20.01 C7lNQQ2f.net
これ意味ある問題？
aの個数？
もとの問題は？
757:１３２人目の素数さん
15/12/18 06:03:42.22 8+Iq0zwg.net
意味ある問題なんてないぞ
758:１３２人目の素数さん
15/12/18 06:13:22.44 C7lNQQ2f.net
問題として成り立つの？ってことだよ。
759:１３２人目の素数さん
15/12/18 12:27:18.65 TFNLlafx.net
元の問題は知らないけど>>726はaの値の範囲を0≦a≦p-1として考えた
760:１３２人目の素数さん
15/12/18 21:30:27.61 C7lNQQ2f.net
問題作るにはちょっと早いな。
761:１３２人目の素数さん
15/12/18 22:06:34.90 TFNLlafx.net
どういう意味かな
762:１３２人目の素数さん
15/12/27 17:41:26.69 uzhfdEJQ.net
�
763:o来る人は３０秒で出来る問題を一つ （>>597 とは別問題だよ） 【問】 実数全体で微分可能で、以下の性質を満たす関数 f(x) が存在すれば例をあげ、存在しなければそれを示せ。 x が有理数のとき f(x) は有理数の値をとる x が無理数のとき f(x) は無理数の値をとる f’(x) は任意の区間で定数ではない
764:１３２人目の素数さん
15/12/27 18:23:01.25 yrBNFagd.net
1/(x-1) + 1 (x < 0)
1/(x+1) - 1 (x >= 0)
765:１３２人目の素数さん
15/12/30 23:35:52.20 dwu7uNBX.net
正の整数nは異なる正の整数a,bを用いてn=a^2+b^2と表せるとする.
aとbを3で割った余りが等しいならば,nは3つの0でない平方数の和としても表せることを示せ.
766:１３２人目の素数さん
15/12/31 00:42:30.09 5yG2/U0D.net
(3a+k)^2+(3b+k)^2=...=(2a-2b)^2+(a+2b+k)^2+(2a+b+k)^2
767:１３２人目の素数さん
15/12/31 10:58:17.26 4isRYK2s.net
>>735の「3で割った余り」のところを「mで割った余り」で置き換えても成立するようなmの条件は、
mがp≡1またはp≡3(mod 8)なる素因数pをもつことであると予想してみたがどうか
768:１３２人目の素数さん
15/12/31 20:05:35.26 yOpIKA8C.net
>>737
((2n^2+1)a+k)^2 + ((2n^2+1)b+k)^2 = ... = (2n)^2 (a-b)^2 + (2n^2 a+b+k)^2 + (a+2n^2 b+k)^2
m = 2n^2+1 の時、>>735と同様の表し方が可能
769:１３２人目の素数さん
16/01/01 15:25:04.88 l8HQHaTT.net
一般に2n^2+m^2の素因数はmod 8で1または3
770:１３２人目の素数さん
16/01/01 15:28:53.86 l8HQHaTT.net
>>739ミス
一般に2n^2+m^2はmod 8で1または3なる素因数をもつ
771:１３２人目の素数さん
16/01/02 13:26:26.97 ivVRndIw.net
>>740
「(m,n)=1の時、2n^2+m^2 の奇素因数は、8k+1型と8k+3型のみ」
＝「(m,n)=1の時、2n^2+m^2 は、8k+5型と8k+7型の素因数を持たない」
という事だよね
772:１３２人目の素数さん
16/01/02 19:22:52.35 DyVpxaXV.net
((2n^2+m^2)a+k)^2 + ((2n^2+m^2)b+k)^2
=(2n^2 a + m^2 b + k)^2 + (m^2 a+ 2n^2 b+k)^2 + (2mn)^2(a- b)^2
773:１３２人目の素数さん
16/01/02 22:57:05.36 nzebj+zc.net
>>741
そう言いたかった
さらに言えばmn≠0のとき2n^2+m^2は2の冪にはならないので必ず奇素因数をもつ
m,nの共通因数で括れば8k+1型または8k+3型の素因数をもつことがわかる
774:１３２人目の素数さん
16/01/03 11:45:59.37 pr/BgAgr.net
平面上にn個の点からなるAグループと、m個の点からなるBグループがある
Aグループのそれぞれの点について、Bグループにあるm個の点全てと線で結ぶ
線と線の交差点を無くすように線を結ぶことが可能な(n,m)の必要十分条件を求めよ
775:１３２人目の素数さん
16/01/03 12:03:48.45 Ndtu0gjX.net
完全二部グラフが平面グラフとなる条件…
776:予言
16/01/03 17:33:24.79 5w915yXZ.net
予言 「今年もマジメな労働者が「過労死」するだろう・・・」
働きすぎの労働者が、鼻から血をだして・・たおれて死ぬだろう・・今年も・・
ユダヤの人類削減計画（じんるいさくげんけいかく）！！
人類同士を争わせ、過労死させ・・・日本人の数が減らされるだろう・・
すべては・・ユダヤの陰謀！！
すべてフリーメーソン（悪魔崇拝者）の陰謀！！
「フリーメーソン」と「韓国系カルト団体」が手を組んで・・・
日本人全員に「獣の数字」をつけるだろう・・・
マイナンバー＝「獣の数字」
政治家も総理大臣も正体は・・・悪魔だ！！
「世界制覇をもくろむカルト集団」フリーメーソンが、
政治家たちをあやつっている！！
「安倍総理」も「小泉元
777:総理」も「小泉進次郎」も正体は、「フリーメーソン」 カルト団体が、世界を支配し・・・人類は、悪魔に支配されるだろう・・ 「やさしげな笑みをうかべ・・友好的に近づいてくる 悪魔（フレンド・エネミー）にきをつけろ！！」 ミカエル
778:１３２人目の素数さん
16/01/06 12:31:37.22 BlYtndoR.net
引用すれば頭良くなった錯覚ってあるね
779:１３２人目の素数さん
16/01/08 21:35:27.33 KfibX6Ld.net
どんな整数nについても、方程式 v^3+w^3+x^3+y^3+z^3=n は整数解を持つことを示せ
780:１３２人目の素数さん
16/01/08 22:15:01.82 +LoVeze2.net
(a+1)^3+(a-1)^3+2(-a)^3=6a.
781:１３２人目の素数さん
16/01/09 13:03:46.56 HojI1yPI.net
>>748
ほんまかいな
782:１３２人目の素数さん
16/01/09 15:37:20.57 KWqzf2XN.net
>>749がほぼ答えっぽい
mod 6で考えるとnは6a,6a±1,6a±8,6a±27のいずれかの式で表せる
783:１３２人目の素数さん
16/01/09 18:30:01.17 VeR4YgtA.net
n=n^3-(n-1)n(n+1).
784:１３２人目の素数さん
16/01/09 20:07:30.82 ahhfOA3Z.net
素晴らしいなあ
785:１３２人目の素数さん
16/01/09 23:41:29.32 KWqzf2XN.net
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ
ちなみに18個が上限かどうかは知らない
786:１３２人目の素数さん
16/01/10 13:23:12.67 /xlK0Zug.net
下限の間違いだろ
787:１３２人目の素数さん
16/01/10 14:38:47.27 tpDYgS5v.net
>>754
下限の間違いだろ
788:１３２人目の素数さん
16/01/10 14:50:19.76 w/r+YeUk.net
いや、下限の間違いじゃねこれ
789:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:18:15.30 o98nGKNX.net
整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を表す関数f(n)の上限という意味で書いたんだけど
違う意味に取られたみたいね
790:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:23:50.65 tpDYgS5v.net
やっぱり下限の間違いじゃね？
791:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:24:29.65 o98nGKNX.net
問題として成立する範囲で「18」という数をさらに小さくできるかと考えると
下限と言ったほうが良かったかもしれない
792:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:34:31.30 Ez+gNfz3.net
任意の整数nは18個の整数の5乗の和で表せることを示せ。
ちなみに整数nをいくつかの5乗数の和で表すとき必要な個数を
表す関数f(n)の上限が18個かどうかは知らない。
問題は出したが答え(以前に正しいかどうか)は知らないということ?
793:１３２人目の素数さん
16/01/10 15:49:32.38 tsDGMVN4.net
題意を満たす整数の個数の最小値よりも大きい数の整数では
題意は満たされるのだから下限と言った方が正しいと思われる
794:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:07:52.02 o98nGKNX.net
>>761
任意の整数が18個の5乗数の和で表せることは証明できたので出題してみた
f(n)の値は任意の整数nについて18以下になるということ
>>762
そのほうが正しいというか自然だったと思う
795:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:12:41.68 tpDYgS5v.net
やっぱり下限だよな。頭おかしいわ
796:１３２人目の素数さん
16/01/10 16:22:40.09 o98nGKNX.net
どっちでもいいけど納得出来ない人は>>758を読んでね
797:１３２人目の素数さん
16/01/11 11:56:45.89 PTpdZCyq.net
そこんとこの加減がわからない。
798:１３２人目の素数さん
16/01/17 04:37:21.88 F9usaSuM.net
地理の問題
赤道上において、その対蹠点と気温が等しい地点は存在するか？
799:１３２人目の素数さん
16/01/17 07:36:39.68 NP2A8SJ4.net
厳密には、わからない、と言う回答が無難だな。
同一時刻の計測なんてのがまず至難の技だ。
赤道上とか地点とかを決められるのか、って問題もある。
愚問だな。
800:１３２人目の素数さん
16/01/17 11:38:23.39 JJ87gKrs.net
地理の問題としては、
「厳密にはわからない」だろうね。
数学の問題としては、
周期Tを持つ連続関数fにf(x)=f(x+T/2)となるxは
あるか？と言い換えられる。
g(x)=f(x)-f(x+T/2)と置くと、g(T/2)=-g(0)だから
中間値定理より、g(x)=0となるxは存在する。
801: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 03:08:21.90 SKHH2AHq.net
Aさんは3日周期で、Bさんは5日周期で、Cさんは7日周期で学校に来ます
始業式の日、Aさんが学校に来ました
翌日Bさんが学校に来ました
さらに翌日Cさんが学校に来ました
始業式から何日後にはじめてAさん、Bさん、Cさんが揃って学校に来るでしょうか？
答えはトリップ
#～日
の形で
802:１３２人目の素数さん
16/01/26 04:35:49.05 UTH+2ssK.net
>>770
小学生向けだな
803: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 11:41:13.02 vB7AoAcz.net
【解法1】
3k, 5l+1, 7m+2の最小公倍数nを求める問題に帰着する
N=n+9とおくと、Nは
10以上
かつ
3と5の公倍数、すなわち15の倍数
かつ
7で割ると4余る数
これらを満たす最小のNはN=60 (n=51)
よって、51日後
【解法2】
求める日数をxとおくと
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
x=3aとおくと
3a≡1 (mod 5) ∴6a≡2 (mod 5) ∴a≡2 (mod 5)
a=5b+2とおくと、x=15b+6であり
15b+6≡2 (mod 7) ∴15b≡3 (mod 7) ∴b≡3 (mod 7)
b=7c+3とおくと、x=105c+51であり
最小のxは、c=0のときx=51
よって、51日後
804: ◆BrMQ7vJgz6
16/01/26 12:02:08.18 vB7AoAcz.net
【解法3】
3,5,7は互いに素であるから
(s,t)=(3,5*7),(5,7*3),(7,3*5)それぞれについて
sx+ty=1の整数解が存在する
3*12+35*(-1)=1, 5*(-4)+21*1=1, 7*(-2)+15*1=1
より
-35≡1 (mod 3), 21≡1 (mod 5), 15≡1 (mod 7)
x≡0 (mod 3), x≡1 (mod 5), x≡2 (mod 7)
より
x≡-35*0+21*1+15*2 (mod 3*5*7)、すなわちx≡51 (mod 105)
正で最小のxはx=51
よって、51日後
【解法4】（孫子算経の解法、百五減算）
0*70+1*21+2*15=51(<105)
よって、51日後
これは【解法3】において
-35≡1 (mod 3) の代わりに
70≡1 (mod 3) を用いたもの
805:１３２人目の素数さん
16/01/26 12:10:22.62 vB7AoAcz.net
そんなことより
A,B,Cはダメ大学生か何か？
806:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:22:37.31 Pf4dZoYr.net
三日周期って三日に一度しかこないのか？（笑
登校ー休みー休みー登校ー休みー…
これじゃ単位はだせないだろう？（笑
愚問だな
807:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:35:43.80 E78So9JJ.net
日曜は、どうすんだろう？
808:１３２人目の素数さん
16/01/26 14:37:12.76 /hDBO2fo.net
学校に行くだけの話だから、日曜だろうが祝日だろうが別に問題なくね
809:１３２人目の素数さん
16/01/28 05:16:02.06 r+S1ez0V.net
Σ[k=1, n]k=n(n+1)/2
Σ[k=1, n]k(k+1)=Σ[k=1, n](k^2+k)=(n(n+1)(2n+1)/6)+(n(n+1)/2)=n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3
Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=Σ[k=1, n](k^3+3k^2+2k)=(n(n+1)n(n+1)/4)+(n(n+1)(2n+1)/2)+(n(n+1))=n(n+1)(n^2+5n+6)/4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
より
2Σ[k=1, n]k=n(n+1)
3Σ[k=1, n]k(k+1)=n(n+1)(n+2)
4Σ[k=1, n]k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)
以上より
(a+2)Σ[k=1, n](Π[j=k, k+a]j)=Π[l=n, n+(a+1)]l …♯
という関係式が推測できる
これを用いれば任意の羃乗の和の公式を帰納的に求められ
また、高次の多項式に繰り返し使うことで総和の計算を楽にすることができる
問
＃を示せ
810:１３２人目の素数さん
16/01/28 11:16:17.82 0NAeCfq4.net
>>778
(a+2)Π[j=k,k+a]j = {(k+a+1)-(k-1)}Π[j=k,k+a]j
= Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j
∴ (a+2)Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a]j) = Σ[k=1,n](Π[j=k,k+a+1]j - Π[j=k-1,k+a]j)
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=1,n]Π[j=k-1,k+a]j
= Σ[k=1,n]Π[j=k,k+a+1]j - Σ[k=0,n-1]Π[j=k,k+a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j - Π[j=0,a+1]j
= Π[j=n,n+a+1]j
811:１３２人目の素数さん
16/01/28 12:26:56.09 +Dvk1k+O.net
おお
812:１３２人目の素数さん
16/01/28 12:39:07.87 JoXwoiTx.net
>>16
(N-1)C2
1,1,1,...,1というN個の、1の列を2つのしきりで分ければX,Y,Zが定まるため
813:１３２人目の素数さん
16/01/28 13:46:22.97 zCW6syeb.net
>>778
1からn+a+1
814:までの整数からa+2個選ぶ組合せは(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}通り このうち選ばれる数の最大値がk+a+1となるのは(k+a)!/{(a+1)!(k-1)!}通り よって(n+a+1)!/{(a+2)!(n-1)!}=Σ[k=1,n](k+a)!/{(a+1)!(k-1)!} すなわち(n+a+1)!/(n-1)!=(a+2)Σ[k=1,n](k+a)!/(k-1)!
815:１３２人目の素数さん
16/01/28 13:57:23.94 4ttglcTk.net
両辺の階差をとって
帰納法
816:１３２人目の素数さん
16/01/28 19:05:40.72 Mmdmh8K/.net
帰納法なんて泥臭いね
817:１３２人目の素数さん
16/01/30 03:36:14.81 B02VPa1I.net
進研ゼミに載ってた問題。
x,y,z≧0とするとき、すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを証明せよ。
①(x^n+y^n)/2≧{(x+y)/2}^n
某国立Ｓ大より
818:１３２人目の素数さん
16/01/30 04:07:45.98 KN+qiPYM.net
>>778
Σ[j=0,n](1+x)^j を展開した時のm次の係数はΣ[k=m,n]C[km] (Cは二項係数)
Σ[j=0,n](1+x)^j={(1+x)^(n+1)-1}/{(1+x)-1}={(1+x)^(n+1)-1}/x
を展開した時のm次の係数はC[n+1,m+1]
Σ[k=m,n]C[km]=C[n+1,m+1]
819:１３２人目の素数さん
16/02/01 02:37:13.32 AgFwJLhN.net
50629を素因数分解せよ（気付けば簡単）
820:１３２人目の素数さん
16/02/01 03:51:48.40 EydN4Yw2.net
50629 = 50000 + 625 + 4
= 2^4 * 5^5 + 5^4 + 2^2
= 5^4(2^4 * 5 +1) + 2^2
= 5^4 * 81 + 2^2
= (3^2 * 5^2)^2 + 2^2
= (3^2 * 5^2 + 2)^2 - 2^2 * 3^2 * 5^2
= 227^2 - 30^2
= 197 * 257
というのが出題意図？
821:１３２人目の素数さん
16/02/01 09:40:12.79 AgFwJLhN.net
>>788
正解！
50629に近い平方数を考えてみると50625=225^2=15^4より50629=15^4+4
x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)でx=15の場合になる
822:１３２人目の素数さん
16/02/03 17:42:21.09 35vAMKni.net
81^100000の下6桁を求めよ
823:１３２人目の素数さん
16/02/03 18:18:39.35 5qehKVMd.net
3と1000000は互いに素だから
オイラーの定理より
3^φ(1000000)≡3^400000≡81^100000≡1 (mod 1000000)
φはオイラーの関数
φ(1000000)=φ(2^6*5^6)=φ(2^6)φ(5^6)=(2^6-2^5)(5^6-5^5)=2^5*6^5*4=400000
824:１３２人目の素数さん
16/02/03 19:09:37.96 670x/vqr.net
>>791
せいかい
さすがに瞬殺か
825:１３２人目の素数さん
16/02/05 10:22:48.50 GvA6rjqo.net
nを自然数とする。
n次元ユークリッド空間上にm個の異なるベクトルを、
・どの異なる２つのベクトルを取っても標準内積が(①0以下/②0未満)である
という条件を満たすように定めることができる最大のmを求めよ
826:１３２人目の素数さん
16/02/05 13:06:07.27 FHuziIgA.net
>>793
①2n
②n+1
だと思うけど、証明はできてない。
①は各直交座標軸と平行な２つずつの単位ベクトル
②はたとえば原点を中心とする単位球に内接する正n+1胞体の各頂点の位置ベクトル
②の方はベクトルの選び方に自由度は高いけど、互いのなす角が鈍角に
なるように原点を始点とするn個の単位ベクトルを選ぶと、それらのいずれとも
鈍角となる領域でどう２つの単位ベクトルを選んでもそのなす角は鋭角になるような。
827:１３２人目の素数さん
16/02/05 14:30:06.08 SYQj5jIj.net
①2n+1（0ベクトル含む）
②n+1
①も②も考え方は同じ。
条件を満たすベクトルの集合Sがあるとして、その中から1つのベクトルaをとる。
他のベクトルそれぞれについてaとの直交成分をとったベクトルの集合Tを作る。
Tは、aと直交するn-1次元空間におけるベクトルの集合である。
Tはn-1次元の場合の条件を満たすことが計算によって示せる。
（Sのa以外のベクトルのaと平行な成分は全て同符号（または0）であることを用いる。）
Tを作るときにaとの直交成分が等しくなるようなベクトルの組がある可能性があるが、
それは0ベクトルおよびaと逆向きのベクトルがある場合に限られる。
この場合に限ってSの元の個数はTの元の個数より2個多く、そうでない場合は1個多い。
あとは1次元の場合を考え、数学的帰納法。
828:１３２人目の素数さん
16/02/06 22:35:38.93 vz5B8AoE.net
>>795
正解。ちょっとした違いでここまで違ってくるのが不思議だなあと思い出題しました
829:１３２人目の素数さん
16/02/10 21:54:50.93 bCSmWEgO.net
13333を素因数分解せよ（10秒以内）
830:１３２人目の素数さん
16/02/10 22:00:44.12 221i87Xc.net
・ぐぐる
・それっぽいページを13333で検索
10秒以内なら回線速度と手際の良さが決め手かな
831:１３２人目の素数さん
16/02/10 22:52:58.04 +x2EAWD5.net
>>797
x=13333
3x=39999
3x=40000-1=200^2-1^2
3x=199*201
x=199*67
832:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:15:21.24 SlMsaVX8.net
正解。10秒は正直きつかったと思う。反省してる。
833:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:17:58.50 M+2gbn5K.net
で、どこが面白いの？
834:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:40:24.55 SlMsaVX8.net
じゃあ面白い問題おしえて
835:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:45:47.74 nDc6EqG9.net
手頃な手持ちがないや
で、どこが面白いの？
836:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:53:50.56 SlMsaVX8.net
察してくれ
837:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:55:44.92 6lMHRCSp.net
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)を因数分解せよ
838:１３２人目の素数さん
16/02/10 23:56:01.33 nDc6EqG9.net
なんとなくわかりました
839:１３２人目の素数さん
16/02/11 01:12:12.79 bH5NLdGW.net
>>805
前にも出てたな。
840:１３２人目の素数さん
16/02/11 04:43:32.05 lG4eYjeX.net
(1)広義積分∫_0^∞ 1/(1+e^x) dxを求めよ.
(2)広義積分∫_0^∞ 1/(1+x^e) dxを求めよ.
841:１３２人目の素数さん
16/02/11 08:10:14.92 idTVTEhT.net
＞＞805
Maximaによると
(y-x-2)*(y-x+2)*(y+x-2)*(y+x+2)
842:１３２人目の素数さん
16/02/11 11:22:14.04 jFqGopu8.net
三角形のある頂点からn回辺を渡って元の頂点に戻る方法は何通りあるか
ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする
843:１３２人目の素数さん
16/02/11 11:32:44.64 jFqGopu8.net
三角形のある頂点からn回辺を渡って右隣の頂点に行く方法は何通りあるか
ただし同じ辺を何度でも渡ってよいものとする
844:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:12:03.00 ytlW8RBD.net
場合分けして漸化式的な？
845:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:36:26.49 4Xq5zTR2.net
>>798>>809
こんぷぅーたーが必ず正しい答えを出す保証はないのでその解法は不可
846:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:49:05.51 +pDw+fcr.net
>>811
行列
０ １ １
１ ０ １
１ １ ０
をｎ乗して、
非対角成分を見る。
847:１３２人目の素数さん
16/02/11 12:58:14.10 jS9+i2Cq.net
スタートを頂点Aとする。
n回目にAにいるパタンをa(n)通りとする。
a(0)=1である。
n回目にA以外にいるのは2^n - a(n)通りで、これがa(n + 1) と一致するから
a(n + 1) = 2^n - a(n)
この漸化式をとくと
a(n) = (2^n + 2(-1)^n)/3
848:１３２人目の素数さん
16/02/11 13:33:29.61 lKFnBQ6m.net
>>814,815
正解
想定してた解答は>>814だったけど
>>815のほうがスマートか
849:１３２人目の素数さん
16/02/11 14:30:45.66 vfZEdEaA.net
>>805
(x^2-y^2)^2-8(x^2+y^2-2)
=(x^2-y^2-4)^2-16y^2
=(x^2-y^2-4+4y)(x^2-y^2-4-4y)
=(x+y-2)(x-y+2)(x+y+2)(x-y-2)
850:１３２人目の素数さん
16/02/11 19:11:18.44 2qxM1Agz.net
>>814
サルにも分かるように解説キボンヌ！
851:１３２人目の素数さん
16/02/11 20:02:44.38 +pDw+fcr.net
サルには解らない。
出題者>>816には解ったようだから、
今回は、もうおしまい。
852:１３２人目の素数さん
16/02/11 20:13:17.57 lKFnBQ6m.net
>>818
隣接行列でググれ
853:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:20:06.87 +pDw+fcr.net
点に番号をつける。
点ｉから点ｊ�
854:ﾖ１ステップで行けるとき１、 行けないとき０を第ｊ行ｉ列に置いた行列をＡ とすると、Ａのｎ乗の第ｊ行ｉ列成分は 点ｉから点ｊへｎステップで行く経路数を表す。 なんでそうなるかは、行列積の成分計算を帰納法で。
855:１３２人目の素数さん
16/02/26 15:59:46.93 jw4SQ24a.net
帯状の紙をn回ひねり、端と端をくっつけてn回ひねりのメビウスの帯を作る
このメビウスの帯の中央をはさみで切断して得られる結び目はなにか？
856:１３２人目の素数さん
16/02/26 16:18:18.25 mbObA5VW.net
メビウスじゃないし
857:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:00:35.10 jw4SQ24a.net
>>823
じゃあなんか変な帯ってことで
858:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:12:31.97 HIAxjyuu.net
切断したらどうなるかよりもむしろ、n回ひねるという動作を数学的にどう表現すればいいのか気になる
859:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:29:48.42 ibixH6Fp.net
180°=1回
860:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:34:01.76 HIAxjyuu.net
いや、そこを問題にしているのではないんだけど…
861:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:48:58.34 HIAxjyuu.net
ググってみたところ、「ファイバー束」で表現できるみたいね
862:１３２人目の素数さん
16/02/26 17:52:46.53 eHEahPMp.net
組みひもσ^nのザイフェルト曲面として考えればいいんでないか？
863:１３２人目の素数さん
16/02/27 13:55:06.82 VC9SoSyh.net
そもそもメビウスは半ひねりだし
864:１３２人目の素数さん
16/02/27 14:18:04.46 5BhRbhc5.net
n個の白いボールとm個の黒いボールをランダムに並べる
並べた時黒いボールが続く最大の個数をLとする
例えば
○●●○●であればL=2
Lの期待値をE(n,m)とする
lim[m→∞]E(n,m)/mを求めよ
865:１３２人目の素数さん
16/02/27 14:22:47.26 iL/7MhpH.net
ランダムに並べて
●
○
● ○
○
の場合のLっていくつ？
866:１３２人目の素数さん
16/02/27 15:28:12.44 HUQkI8eO.net
一直線というくくりの中でランダムに並べます
867:１３２人目の素数さん
16/02/28 02:13:40.90 BWhGgXn+.net
表面積が2016、全ての辺の長さの和が228の直方体がとりうる体積の範囲を求めよ
日を選んだので最大値、最小値は整数になる
868:１３２人目の素数さん
16/02/28 02:33:05.19 OARIlKQB.net
3次方程式の3実解存在条件。
良い数値を見つけたね。
869:１３２人目の素数さん
16/02/28 10:09:44.49 cNStj4eG.net
「正の」３実解。
870:834
16/02/29 00:42:20.88 H7VcljiB.net
解答例
与えられた直方体の3辺の長さをそれぞれa,b,cとおく
表面積から
2ab+2bc+2ca=2016⇔ab+bc+ca=1008
全ての辺の長さの和から
4a+4b+4c=228⇔a+b+c=57
また、体積をVとおくと
V=abc(>0)
さて
(x-a)(x-b)(x-c)=0
i.e. x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
i.e. x^3-57x^2+1008x-V=0
は、a,b,cを解にもつ
ここで
(a,b,cが全て正の実数)
⇔(x^3-57x^2+1008x-V=0が正の3実解（重解含む）をもつ)
⇔(y=x^3-57x^2+1008xとy=Vがx>0で2点以上で交わる)
よって、下図より、5184≦V≦5684
（図略）
元ネタはどっかの大学入試の過去問
解の個数の問題に帰着すると簡単に解けるところが好き
871:１３２人目の素数さん
16/02/29 00:52:05.44 ZKgLLjis.net
>>836
乙w
解いてみればわかる通り、3実解を持つとき、それは皆正の数になる。
だから、そのことを告げておけば十分。
872:１３２人目の素数さん
16/02/29 14:54:14.92 OIBhrA2Z.net
既出だったらすまんな
一辺1の正七角形において、対角線14本のそれぞれの長さの逆数和は？
873:１３２人目の素数さん
16/02/29 19:15:25.22 2/KiCOUd.net
次の方程式が表す図形を座標平面に図示せよ。（ただしひとつの平面に書き込むこと）
ｘ^2＋ｙ^2＝1
ｘ^2＋ｙ^2＝4
ｙ＝±ｘ (－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）
ｙ＝0 （－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）
ｘ＝0
874:１３２人目の素数さん
16/02/29 19:42:15.14 qYUrVjOJ.net
sssp://o.8ch.net/8j1n.png
875:１３２人目の素数さん
16/03/02 22:26:19.91 9dioLi+3.net
>>839
2種類の対角線の長さをa,bとするとトレミーの定理より1/a+1/b=1であることを利用
876:１３２人目の素数さん
16/03/02 22:27:00.87 9dioLi+3.net
任意の2以上の整数nに対して
∑[k=1～n-1]1/(1+cos(kπ/n))=(n^2-1)/3
が成り立つことを示せ
877:１３２人目の素数さん
16/03/03 01:22:01.15 ZDD6mqO+.net
問
1～6までの目が描かれているサイコロを用意する。
1の裏には6、2の裏には5、3の裏には4の目が描いてある。
今、このサイコロが1の目を上にして平面に置いてある。
このサイコロを平面に接する4つ辺のうちの任意の1辺を軸に1回だけ転がすという操作を考える。
n-1回目までの操作で一度も1の目が上に来ずに、n回目の操作で1の目が再び上になる確率を求めよ。
878:１３２人目の素数さん
16/03/03 04:36:49.00 hv6zybMR.net
自然数n,mについて、
Σ(k=0,n-1) (cos(2πk/n))^2m =(n/4^m) Σ(j≡m mod n ,0 ≦j≦2m) 2m_C_j を証明せよ
ただしΣ(j≡m mod n ,0 ≦j≦2m) は 0から2mまでの整数jでj≡m mod nとなるjについてだけ足すという意味である
879:１３２人目の素数さん
16/03/03 07:21:35.73 FEpT+A7E.net
>>844
p[n]=q[n-1] p[0]=1
q[n]=(p[n-1]+2q[n-1]+r[n])/4 q[0]=0
r[n]=q[n-1] r[0]=0
880:１３２人目の素数さん
16/03/03 07:22:51.99 FEpT+A7E.net
訂正
q[n]=(p[n-1]+2q[n-1]+r[n-1])/4
881:１３２人目の素数さん
16/03/03 07:58:58.17 FEpT+A7E.net
q[n]=(1-(-1/2)^n)/6
p[n]=(1+2(-1/2)^n)/6、p[0]=1/2≠1となる？
882:１３２人目の素数さん
16/03/03 09:00:01.28 z5PJISrU.net
（１＋２（－１／２）＾ｎ＋３・０＾ｎ）／６。
（１－（－１／２）＾ｎ）／６。
（１＋２（－１／２）＾ｎ－３・０＾ｎ）／６。
（１＋２（－１／２）＾０＋３・０＾０）／６＝１。
（１－（－１／２）＾０）／６＝０。
（１＋２（－１／２）＾０－３・０＾０）／６＝０。
883:１３２人目の素数さん
16/03/03 12:00:46.24 FEpT+A7E.net
848の？＝何故、p(n)は、n=0とn>0で式が一意に定まらないのか？
884:１３２人目の素数さん
16/03/03 13:14:50.15 QOHuAnUI.net
x^{n-m}(x+1)^{2m}
885:１３２人目の素数さん
16/03/03 15:29:18.88 U+3HcEb3.net
>>850
簡単な例で言うと、
p(0)=1, p(n+1)=xp(n)+y(1-p(n))
というような漸化式を解くと
p(n)=(y+(1-x)(x-y)^n)/(1-x+y)
となるが、x=yとすると
p(n)=x+(1-x)0^n（ただし、0^0=1と定める）
となり、これは
p(0)=1、p(n)=x（n≧1）と同じ。
初期状態だけ特別なのは別に当たり前のことだが、0^nの項が隠れていると
みなすこともできる。
886:１３２人目の素数さん
16/03/04 10:02:53.07 zvXcKLwr.net
>>844
{(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/{2^(2n-1)*√5}
887:１３２人目の素数さん
16/03/04 16:06:52.79 ldcQblfg.net
>>849
p[n]=r[n]=q[n-1]=(1-(-1/2)^(n-1))/6=(1+2(-1/2)^n)≠(1+2(-1/2)^n+3・0^n)
888:１３２人目の素数さん
16/03/04 21:34:26.71 8P72IH2y.net
>>846
1=p[0]=q[-1]=r[0]=0
889:１３２人目の素数さん
16/03/04 21:50:49.06 ldcQblfg.net
>>855
p[n]=r[n]=(1+2(-1/2)^n)/6だから
p[0]=r[0]=1/2≠1
890:１３２人目の素数さん
16/03/05 00:00:48.08 X/XR2Uo6.net
続けたまえ
891:１３２人目の素数さん
16/03/06 13:44:12.23 TcNreTvY.net
>>845
誤字か勘違いかわからんが、それだとm=1,n=2のとき
左辺は2で右辺は1だな。多分cos(2πk/n)じゃなくてcos(πk/n)だろう。
考え方は変わらないのでそのままでやると
cos^(2m)(x)
=[{exp(ix)+exp(-ix)}/2]^(2m)
=(1/4^m)
892:Σ[j=0,2m] 2m_C_j*exp{i(2m-2j)x} x=2πk/nとして Σ(k=0,n-1)exp{i(2m-2j)x} =n (2m≡2j mod n の時),0 (それ以外) より Σ(k=0,n-1) (cos(2πk/n))^2m =(n/4^m) Σ(2j≡2m mod n ,0 ≦j≦2m) 2m_C_j
893:１３２人目の素数さん
16/03/07 08:05:23.43 o0HG75jE.net
「n-1回目まで1が上に来ない」の部分は？
894:１３２人目の素数さん
16/03/07 10:31:44.21 zWU1/WlS.net
>>859
p[n]=q[n-1]
q[n]=(2q[n-1]+r[n-1])/4 q[1]=1/4
r[n]=q[n-1]
q[n]=(2q[n-1]+q[n-2])/4
q[n]=√5/10*(((1+√5)/4)^n-((1-√5)/4)^n)
p[n]=((5-√5)((1+√5)/4)^n+(5+√5)((1-√5)/4)^n)/10
895:１３２人目の素数さん
16/03/08 02:52:03.66 Es7BHtVA.net
4^n+5の約数の十の位の数字は偶数であることを証明せよ
896:１３２人目の素数さん
16/03/08 03:11:40.20 gzhONgd3.net
4^n+5=ab, a≡10+j (mod 20) (a, bは正の奇数，jは1桁の奇数)
なる分解があると仮定すると
4^n+5≡(10+j)b≡10+bj
∴4^n≡b(a+j) (mod 20)
a+j≡0 (mod 2)なので2^(2n-1)≡b (mod 10)
左辺は偶数，右辺は奇数だから矛盾
897:１３２人目の素数さん
16/03/08 03:25:25.26 HyCV8LJj.net
>>861
4^nの一の位の数は、1,4,6
a,b,cは整数、a>=0, b=2,4,6,8, c=1,6,9として
n=kのとき、4^k+5の十の位が偶数だと仮定すると
4^k+5=100a+10b+c
4^(k+1)+5=100(4a)+10(4b-2)+4c+5
となり、n=k+1のときにも十の位が偶数となる