15/05/25 19:38:29.28 TzZia6cM.net
>>380
(r1,θ1)、(r2,θ2)のそれぞれ対応するx-y座標上の点を(x1,y1)、(x2,y2)としたとき、(x1+x2,y1+y2)の極座標表示、x1y1+x2y2はそれぞれ、rやθを用いてどのように表すことができるか？ということでいいですか？
0≦θ＜2πとします
•和
(r1,θ1)+(r2,θ2)=(r,θ)
r=√(r1^2+r2^2-2r1r2cos(π-(θ1-θ2)))
=√(r1^2+r2^2+2r1r2cos(θ1-θ2))
θ=atan2(y1+y2,x1+x2)=atan2(r1sinθ1+r2sinθ2,r1cosθ1+r2cosθ2
atan2(y,x)は(x,y)の角度を与える関数です
ただし、atan2(0,0)の場合、すなわち、r=0となり原点を表す場合、角度は定義することはできません
極座標(0,θ)はすべて、原点を表すものとして扱われますが、ここでは、(0,0)のみを考えて、他の角度の場合は考えないことにしましょう
そのようにすると、atan2(0,0)=0、とすることができます
•内積
r1r2cos(θ1-θ2)
あとは、実数倍も改めて定めておきましょう
•実数倍
pを実数とする
p＞0のときp(r,θ)=(pr,θ)
p=0のときp(r,θ)=(0,0)
p＜0かつ0≦θ＜πのときp(r,θ)=(-pr,θ+π)
p＜0かつπ≦θ＜2πのときp(r,θ)=(-pr,θ-π)
このように定めたとき、(r,θ)は、(x,y)と同じように振る舞います
このようなことを、同型である、といったりします