22/06/14 00:44:51.60 aoIaY7ce.net
5次方程式に一般的な代数的解法が存在しない事はガロアの結果とは別に示されてたけど
ガロアいなかったら代数学のそこそこマニアックな結果になってたのかな…
639:１３２人目の素数さん
22/08/28 16:51:46.06 jv05r6bX.net
体K上の5次方程式がK上既約である場合、
そのガロア群としては、最も一般の場合の位数5！＝120次の対称群S_5と
それの正規部分群である位数60の5次の交代群A_5、
があるがそれらはいずれも可解ではない場合になる。
解ける場合のガロア群は、位数が5ｘ4＝20次の場合と、
位数が5ｘ2＝10次の場合と、位数が5次の場合巡回群C_5のものだけである。
それらに対しては、ラグランジュの分解式を使って、K上で解の代数的表示
（べき根と四則だけの組あわせで）を書くことができる。
体K上での多項式のガロア群は何になるかは、代数的に決定する方法があるが、
長くなるのでここでは述べない。それにはK上での多項式の因数分解を用いる。
640:１３２人目の素数さん
22/08/30 16:30:13.80 UQ0phbRg.net
体Ｋが有限体の場合には、5次方程式のすべての解を代数的に？求める
ことが出来る。それは丹念に有限体の元を1つずつ入れてみて根であるものを
拾い上げれば良いのである。でもそれを、四則演算とべき根の操作による
式として表したことにならないとすれば、拾い上げでは代数的解法とは
呼べないであろう。一般の係数についての解を与えたことにならないから。
はたして、有限体の場合には拾い上げではない代数的解法はないのだろうか？
なお、べき根を使うとなると、それにより有限体が拡大される場合もおこる。
641:１３２人目の素数さん
22/08/30 16:40:50.69 SYAq3eKT.net
有限体の台数拡大は順海であったなー
642:１３２人目の素数さん
22/08/30 19:45:55.33 UQ0phbRg.net
大きな有限体、たとえばｐがとても大きな素数たとえば千桁で、体がK=Z_pのとき、
二次方程式 x^2 = b がK=Z_pの中に解を持つかどうかを判定し、解があればそれを
具体的に導くにはどうすれば良いか。
さらに、三次方程式 x^3=c がKの中に解を持つかどうかを判定し，
解があればそれを具体的に導くにはどうすれば良いか。
5次方程式ｘ＾5＝ｄが。。。
643:１３２人目の素数さん
22/08/31 00:37:55.49 JeikDXCN.net
平方剰余って知ってる？
644:１３２人目の素数さん
22/08/31 01:17:45.10 UteMuGfC.net
平方剰余だけだと体の中に平方根があるかどうかしかわからん。
平方根自体を千桁の数としてZ_pの中から求めなければならないのだが。
どうやるのが最も合理的かな。
645:１３２人目の素数さん
22/08/31 01:20:41.24 JeikDXCN.net
>>644
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った
646:１３２人目の素数さん
22/08/31 21:23:26.16 UteMuGfC.net
じゃあ、立方剰余、四乗剰余は知っている？
647:１３２人目の素数さん
22/09/01 08:39:25.65 uB81n779.net
ヴェイユのゼータ関数について調べることを勧める
648:１３２人目の素数さん
22/09/01 09:21:16.17 ZC07wOqW.net
まず平方剰余の相互法則から
649:１３２人目の素数さん
22/09/01 19:56:14.03 TXS31IJE.net
K が F_2 を含む体であるとき
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね
根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう
650:１３２人目の素数さん
22/09/03 09:44:21.14 1mdmiBYJ.net
平方根だから（有限）体の中に根があるならば
ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
651:１３２人目の素数さん
22/09/03 10:25:15.67 Ja0wNjCx.net
>>650
>>ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
どんな距離に関して？
652:１３２人目の素数さん
22/09/23 17:05:42.74 Fm65WMwd.net
部分体を持たない素体のなかの「距離」としては、自明なものしかないだろ。
つまり一致するかしないかだけ。
たとえば平方根を求めるためのニュートン法は有理式の反復の形にかけるから、
体上では実行可能だろう。それがどのような挙動を示すだろうか。
たとえば、比較的体の要素数が大きくても、初期値のある程度の割りあいに
対して少数回の反復でもって、平方根に到達するということがあったりすれば
（願望だが）、良いのになという話。たぶんそうならないかもしれないが、
それはそれで面白い。
653:１３２人目の素数さん
22/09/28 21:05:55.95 z1nf2YJs.net
いくつかの例で多少実験してみたところ、
どうもニュートン反復式は、素体の中で平方根を
求める役には全然たちそうもないことがわかった。
654:１３２人目の素数さん
22/10/23 16:56:19.73 RxDfxLkf.net
Z/pZ 上のm次多項式f(x)を既約分解すれば、
1次因子があれば、それがf(x)=0のZ/pZに於ける解になる。
2次の既約因子があればZ/pZ上の2次拡大体の中に2次既約因子の個数の2倍の解がある。
3次の既約因子があればZ/ｐZ上の3次各大体の中に3次既約因子の個数の3倍の解が、
。。。
既約分解を行う算法は既に存在していて、数式処理などでは使われている。
655:１３２人目の素数さん
22/10/30 16:21:07.12 YxSemZpb.net
要素の数が有限の体は、標数が素数ｐであって、
要素数が素数ｐからなる要素数がｐの体であるか
またはそれの任意次数の代数拡大で得られる体に同型である。
拡大次数をｍとすればその要素数はｐのｍ巾になる。
つまり、要素数が有限である体は極めて限られた存在で
豊富さに欠ける。
656:１３２人目の素数さん
22/10/30 19:18:04.57 /BpMF6dC.net
素数は豊富さに欠けるということになるから、間違った主張である
657:１３２人目の素数さん
22/11/08 06:25:23.93 Mb93uGhw.net
>>649
Abel方程式にはまだ執着しているようだ
658:１３２人目の素数さん
22/12/20 15:57:23.41 R0GrT6qP.net
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