19/10/31 23:57:38 +eBgn0Vr.net
(略証)
{iα} = {jα}, i<j となる自然数 i,j が存在すると仮定すると
(j-i)αが整数となり、αが無理数であることに矛盾する。
よって {α}, {2α}, {3α}, ････ はすべて異なる。(背理法)
[1 + 1/(b-a)] = N とおく。(N≧2)
区間 [0,1) をN等分する。鳩ノ巣原理より、
{α},{2α},････,{(N+1)α} のいずれか2個は同じ小区間に属する。
それを {iα} と {jα} (i<j) とおく。
-1/N < {jα} - {iα} < 1/N,
{(j-i)α} ∈ [0, 1/N) Ｕ [1 -1/N, 1)
よって数列 {(j-i)α}, {2(j-i)α}, {3(j-i)α}, ････ は
1/Nより小さい間隔で[0,1)を横断する。
∴ ある自然数kに対して {k(j-i)α} ∈ (a,b)