15/05/07 14:33:05.13 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>365の続き)
[第2段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aでf(x)が連続とする。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0について
Y→a-0のときf(Y)→f(a)であって、2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、
bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、
|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを
両方共に任意に取る。すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、
|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、
3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜b
が両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への
拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、
|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、
εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。