15/05/07 06:38:35.95 iuXUQ2cp.net
>>355 補足
１）vのn乗根の場合、当然だがx^n=-vのn個の根が出る。そのどれを選んでも、良い。
実数v^(1/n)は、上記x^n=-vのn個の根の複素数のどれかに移り、もとの実数v^(1/n)の場所には、x^n=-vの複素数根が移ってくる
nが大きくなると、v^(1/n)は１に近づき、また移る先の場所（複素数）の選択肢は増える
２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換�
387:ﾍ、可能だ 但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない ３）ということで、やはりautomorphisms of Rは、automorphisms of Cとセットで理解することが良さそうだね
388:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:49:56.37 1uRQ/Opw.net
>>356
>>330-334の証明の訂正出来た。
環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。任意の点x∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
389:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:51:26.47 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>357の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
390:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:53:08.06 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>358の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
391:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:19:26.53 1uRQ/Opw.net
>>356
>>125、>>127の方が証明としては簡単だな。
本来f(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる関数f：R→Rは1点で連続ならf(x)＝x・f(1)となるんだが、
選択公理というかハメル基底の存在を認めるとf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式について
無限個の解fが存在し、かつf(x)＝x x∈Qは任意 なる条件のために、上の手法というか命題が使えなくなるのな。
ハメル基底の定義から、必ず或る有理数はハメル基底に属すんだが。
392:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:24:47.33 1uRQ/Opw.net
>>356
>>357の最初の文「環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。」は「環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。」と訂正。
393:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:33:08.26 McWfEUN+.net
>>357-358
間違ってる
394:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:41:22.29 1uRQ/Opw.net
>>356
>>362
じゃあ、今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。
>>358は問題ないから省略。
395:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:56:39.55 1uRQ/Opw.net
>>356
>>362
いや、>>363のようなことをすること自体ムリだから、>>125、>>127と同様に
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈[0,+∞)を任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sだから、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。
で終了。
396:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:30:54.62 1uRQ/Opw.net
>>356
>>363の方法で出来たので書く。今度はxを有理数変数とかせずに
最初から実変数としているから>>347のような問題はないとは思う。
尚、>>358以降は内容的に殆ど同じこと書くだけだから省略。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)が連続なることを示す。
矛盾に導くため、直線R上の如何なる点x∈Qにおいてもfが不連続であったとする。
点a_1∈Qを任意に取る。すると或るε_1＞0が存在して任意のδ_1＞0に対して
|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる。
点a_2∈Qを任意に取る。すると或るε_2＞ε_1が存在して任意のδ_1＞δ_2＞0なるδ_2に対して
|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる。
以下同様に帰納的に考えると、各k∈N＼{0}に対して、次の2つの条件
(1)、点a_k∈Qを任意に取ると或るε_k＞0が存在して任意のδ_k＞0に対して
|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる。
(2)、点a_{k+1}∈Qを任意に取ると或るε_{k+1}＞ε_kが存在して
任意のδ_k＞δ_{k+1}＞0なるδ_{k+2}に対して
|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる。
を両方共に満たすような3つの実数列{a_k}、{ε_k}、{δ_k}が存在する。
ここに、{ε_k}は上に有界な単調増加列であり、{δ_k}は下に有界な正の単調減少列である。
よって、或るN≧2なる自然数Nが存在して、n≧Nのとき
|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる。
{δ_k}は下に有界な正の単調減少列であり、その下限
397:Mに収束するから、 或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる。 ここで、n≧N'なる任意の自然数nに対してa_n、ε_n、δ_nは何れも定義されるから、 {δ_k}の下限Mは＝0である。従って、或る自然数nが存在して、|x－a_n|≦M＝0からx＝a_nであり、 故に、|f(x)－f(a_n)|＝0となる。しかし、これは|f(x)－f(a_n)|＞ε_n＞0なることに反し矛盾する。 故に、直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)は連続である。 ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
398:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:33:05.13 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>365の続き)
[第2段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aでf(x)が連続とする。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0について
Y→a-0のときf(Y)→f(a)であって、2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、
bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、
|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを
両方共に任意に取る。すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、
|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、
3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜b
が両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への
拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、
|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、
εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
399:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:35:13.24 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>366の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、
f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
400:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:57:20.44 1uRQ/Opw.net
>>356
>>365の第1段は次のようにウマく訂正して読んで。「点x∈Rが存在する」を書き忘れちゃったところがある。
>|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる「点x∈Rが存在する」。
>或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる「点x∈Rが存在する」。
401:１３２人目の素数さん
15/05/07 21:34:19.24 McWfEUN+.net
>>365-368
間違ってる
402:１３２人目の素数さん
15/05/08 07:15:23.98 uxOegTmt.net
>>356
まあ、やはり>>363のようなことをすること自体ムリだから、この件の証明は>>364で終了。
選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。
403:１３２人目の素数さん
15/05/08 18:12:25.11 hq5Aa7Ty.net
（´･∀･`）ﾍｰ
404:１３２人目の素数さん
15/05/08 19:15:15.27 uvDu7qfL.net
ハメル基底がよっぽど気に入ったみたいなので濃度論法のハメハメちゃんってあだ名で呼ぼうこのスレ主。
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:40:13.90 rm0w8Qw4.net
>>370
おっちゃん、お疲れです。スレ主です。
>今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363
これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね
例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある
しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、
また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと
結局、それは無理だと
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cauchy's functional equation
Proof of solution over rationals
f(q) = q f(1), q ∈ Q
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における病的な（びょうてきな、英語: pathological）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。
『病的な関数』の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが微分可能ではない、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが微分可能ではない関数となるため、そのような性質の『病的な関数』は少なくとも微分可能な関数と同じ数だけ多く存在することが分かる。
実際、ベールのカテゴリー定理により、連続な関数は一般的あるいは生来的には、至る所で微分不可能なものであるということが示される。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Computer science
In computer science, pathological has a slightly different sense with regard to the study of algorithms.
Here, an input (or set of inputs) is said to be pathological if it causes atypical behavior from the algorithm, such as a violation of its average case complexity, or even its correctness.
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:48:32.99 rm0w8Qw4.net
>>372
どうも。スレ主です。理解が足りないんじゃないかな？
単にハメル基底だとか濃度だとか、そりゃー近視眼。 例えば下記
URLﾘﾝｸ(junology.hatenablog.com)
f(x+y)=f(x)+f(y) の時、f は何か？ junologyのブログ 2013-07-13
（抜粋）
大学学部2年生の線形代数の演習で、次が出題された：
問： 写像 f:R→R が、任意の x,y∈R について f(x+y)=f(x)+f(y) であるとする。
この時、f はR?線形写像か？
f(x+y)=f(x)+f(y) は R を加法群、つまり Z?加群として見た時の準同型であることを意味している。
ここで、R が Z?加群として、divisible（日本語では「可除」か？）であるので、自然にQ?加群と思うと、f が Q?線形であることは直ちにわかる。
ところが、選択公理を知っている人がちょっと考えれば、これは R?線形にはならないことがすぐにわかる。
それは、R に Q?線形空間としての基底、いわゆる Hamel 基底を入れれば確認できる。
この条件 f(x+y)=f(x)+f(y) は、wikipedia によると「Cauchy の関数等式」と呼ばれているらしい
（Cauchy's functional equation - Wikipedia, the free encyclopedia）。
では、Cauchy の関数等式を満たす関数 f:R→R は、いつR?線形になるだろうか。
ε-δ式の議論とか、有理数が実数上稠密であることの位相的（あるいは解析的）意味を知っているならば、f に連続性を課せば良いことがすぐにわかる。
つまり、次が成立する：
命題1： f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が R?線形であるための必要十分条件は、f が連続であること。
ところで、我々は、不連続な写像 R→R を沢山知っている。
ならば、是非とも問の反例を具体的に構成してみたくなる。
だが、その望みを打ち砕く命題が、[1]*1の§6の問題になっていた。
命題2
f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が連続であるための必要十分条件は、f が Lebesgue 可測であること。
（以下略）
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:58:10.36 rm0w8Qw4.net
>>374 つづき
まあ、要は、 junologyのブログ 2013-07-13によれば、
キーワードは、線形代数、加法群、選択公理、線形空間の基底、Hamel基底、ε-δ、連続性、不連続な写像 R→R、Lebesgue可測 だと
学部数学の多くの部分と関係しているんじゃないのかね？
まあ、junologyのブログ 2013-07-13でも読んでみなさいよ
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 07:31:13.43 rm0w8Qw4.net
>>356 ここに戻る
”２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換は、可能だ
但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない”
で、
１．二つの実数α>βが超越数で、その差が超越数なら問題なく上記は言える
２．この超越数という制限は、どこまで緩和できるか？
３．二つの実数α>βが無理数で、その差が無理数なら上記は言えるか？ どうも言えそうな気がするが、証明は得ていない
４．上記で、正確には「二つの実数α>βが無理数で」としなければならなかった。これは当然で、お気付きと思うが、訂正しておく
409:１３２人目の素数さん
15/05/09 08:32:11.08 EW/Xkw4Y.net
環の極大イデアルの存在に選択公理が必要なことぐらいは常識なんだろうが
嵌めるキチガイのようにハメル基底連呼して濃度論ぐっだぐだ意味もなく証明に使う使えると勘違いし続けてる様は
可能性は低いがもしも将来訳が分かる様になれたら非常に黒歴史となるんだろうなぁ・・・。
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 09:19:09.56 rm0w8Qw4.net
>>374 補足
こういう対比もできるんじゃないかな？
１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、
411:「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。 （∵順序が保存される。あるいは、x-yの平方根が適切にR上に写像できないから） が、条件を緩めた「加群自己同型」では、不連続な写像でLebesgue 可測でないものが、選択公理を認めると存在しうる。>>374 ２）R←→C R(実数)では、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。が、条件をC（複素数）にすると、不連続な写像が、選択公理を認めると存在しうる。>>299 （これは、１）において条件を緩めると、選択公理から不連続な写像の存在を証明することができるのに似ている） この不連続な写像について、Lebesgue 可測か否かは、よくわからない。Lebesgue 可測をよく理解していないので http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6 解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 選択公理によって R^n の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。 ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 09:55:32.75 rm0w8Qw4.net
>>377 意味わからん
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 12:38:32.72 rm0w8Qw4.net
>>374 補足
下記のファイルが参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
GIULIO SCHIMPERNA
Dipartimento di Matematica,
Universita di Pavia
Via Ferrata 1, I-27100 Pavia (ITALY)
URLﾘﾝｸ(www.math.ualberta.ca)
Review VII Example: Applications of single variable calculus: Additive functions Xinwei Yu University of Alberta Canada 217-20130913
URLﾘﾝｸ(www.math.ualberta.ca)
University of Alberta Canada
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 13:12:31.54 rm0w8Qw4.net
>>346 補足
そういえば、有限体の応用で、実験計画法の直交表割り付けの話があったような・・
下記かな
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
最近の統計学における代数的諸問題について． 代数的組合せ論シンポジウム．2009年6月24日．(参考資料PDF)(発表PDF）
（抜粋）
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
代数的組合せ論参考資料(09/06/24) 計算代数統計再入門? Pistone-Wynn 流の実験計画 竹村彰通 2008 年4 月7 日(Ver.2)
各要因の水準が2 水準であるような多因子要因実験の一部実施法は，Wu and Hamada (2000) などの実験計画法の教科書で標準的に解説されている．
しかし，これまでPistone-Wynn 流の解説を何回か聞いていたにもかかわらず，自分には別名関係の扱いが実は多項式環のイデアルの操作そのものであることが理解できていなかった．
最近になって，Aoki and Takemura (2007) の改訂作業において，このことを明確に理解するに至った．
直交表の利用が我が国で始まったとするならば，その代数的側面をこれまで見過ごして来たのは残念なことである．
代数統計の観点から，実験計画法の数学への新たな貢献を目標とすべきである．
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
最近の統計学における代数的諸問題について 東大情報理工・数理情報竹村彰通 2009 年6 月24 日
（抜粋）
計算(応用) と理論が車の両輪として発展
{ 「計算できる代数」がさまざまな分野で応用される中で，統計の問題も扱われてきた．
グレブナー基底をキーワードとして具体的な問題に対して具体的な答を出してくれる代数学．
{ 統計で扱われている問題や概念が，代数の理論的
観点からも新たな視点を与える．
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 17:57:33.16 rm0w8Qw4.net
>>380
下記「(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。」というのがあった
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) neko_dora_nukoさん（最終更新日時:2014/5/23）投稿日：2013/6/16
Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。
f:R→R
f(x+y)=f(x)+f(y)....(1)
(1)をみたす関数f(x)はQ上で
f(x)=f(1)x....(2)
となる。さらに、f(x)が連続関数であれば、R上で(2)が成り立つ。
Zornの補題を使うと、(1)を満たす連続でない関数が存在することが分かる。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
このノートでは、(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。
（証明）
f(x)は(1)をみたす関数とする。ある開区間(a,b)上でf(x)が有界であると仮定する。
g(x)=f(x)-f(1)x
とおくと、g(x)は(1)をみたし、(2)より任意の有理数rにたいし、
g(r)=0....(3)
となる。さらに、g(x)は(a,b)上で有界である。任意のx∈Rにたいし、適当なr∈Qをとることによって、x+r∈(a,b)とすることができる。
(1), (3)より、g(x)=g(x+r)+g(-r)=g(x+r)となるので、g(x)はR上で有界であることが分かる。
あるc∈Rにたいし、g(c)≠0であったとする。g(x)は(1)をみたすので、任意の自然数nにたいし、
g(nc)=ng(c)
となり、g(x)が非有界であることが導かれ、矛盾がでてくる。従って、任意の実数xにたいし、
g(x)=0
となる。よって、f(x)は、R上で(2)が成り立つので、連続である。
したがって、f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。■
より一般的な事実を知りました。
f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 18:00:45.96 rm0w8Qw4.net
>>382 ついでに
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続線型写像
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。
空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。
非構成的な例
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが）。
通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。
さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。
ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn?f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。
即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。
この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。
この例は任意の無限次元ノルム空間上の
417:（終域が自明でない）不連続線型写像の存在についての一般定理に拡張することができる。
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 18:03:34.10 rm0w8Qw4.net
>>383 ついでに
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Discontinuous linear map
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation).
If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous.
A nonconstructive example
An algebraic basis for the real numbers as a vector space over the rationals is known as a Hamel basis (note that some authors use this term in a broader sense to mean an algebraic basis of any vector space).
Note that any two noncommensurable numbers, say 1 and π, are linearly independent.
One may find a Hamel basis containing them, and define a map f from R to R so that f(π) = 0, f acts as the identity on the rest of the Hamel basis, and extend to all of R by linearity.
Let {rn}n be any sequence of rationals which converges to π. Then limn f(rn) = π, but f(π) = 0.
By construction, f is linear over Q (not over R), but not continuous.
Note that f is also not measurable; an additive real function is linear if and only if it is measurable, so for every such function there is a Vitali set. The construction of f relies on the axiom of choice.
This example can be extended into a general theorem about the existence of discontinuous linear maps on any infinite-dimensional normed space (as long as the codomain is not trivial).
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 05:14:42.49 cg233oGG.net
>>382 補足
>f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。
>より一般的な事実を知りました。
>f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
"R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある
P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R}
is dense in R^2.
The proof can be found e.g. in [Her, Theorem 5.4].
Theorems 4 and 6 suggest that well-behaved solutions of (1) are linear and
that non-linear solutions have to be, in some sense, pathological.
[Her] Horst Herrlich. The Axiom of Choice. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Lecture Notes in Mathematics 1876."
f(x)が(1)の連続でない解のとき、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界、かつG={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である、という
f は Lebesgue 可測でないとも>>374
想像を絶するpathological振りですね>>373
では
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:23:43.06 cg233oGG.net
>>385
"R^2で稠密"（dense in R^2）の証明が、wikipediaにあった。以前見てたんだが、何をやっているか分からなかった・・
自分で証明を少し考えて、その後で見ると、「ああ、なるほど・・」だった
つまり、 f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数を使って、円”an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.”で
Cauchy's functional equationを満たす"the point (X, Y) is inside the circle."、X, Yは無理数で円内を具体的に構成できると。∴dense
（文字化けしているかも知れないので、直にwikipediaを見る方が分かりやすいかも）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
421:Properties of other solutions We prove below that any other solutions must be highly pathological functions. In particular, we show that any other solution must have the property that its graph y = f(x) is dense in R^2, i.e. that any disk in the plane (however small) contains a point from the graph. From this it is easy to prove the various conditions given in the introductory paragraph. Suppose without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R. Then put f(α) = α + δ, δ ≠ 0. We now show how to find a point in an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y. Put β = (y-x)/{δ} and choose a rational number b≠ 0 close to β with: | β - b | < r/{2 |δ|} Then choose a rational number a close to α with: | α - a | < r/{2|b|} Now put: X = x + b (α - a) Y = f(X) Then using the functional equation, we get: Y = f(x + b (α - a)) = x + b f(α) - b f(a) = y - δ β + b f(α) - b f(a) = y - δ β + b (α + δ) - b a = y + b (α - a) - δ (β - b) Because of our choices above, the point (X, Y) is inside the circle.
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:45:43.25 cg233oGG.net
>>386 補足
繰り返しになるが
小平いうところの”定理が述べる数学的現象のメカニズム”>>323を自分なりに解すれば
f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数があれば、任意の有理数の円centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y内に、Cauchy's functional equationを満たす無理数を構成できると
だから、"R^2で稠密"（dense in R^2）
分かり易いね・・、分かってしまえばだが（＾＾
（余談だが、δは一つじゃないんだよね。だから、δの個数分だけそういう点がある・・？ いやはや）
423:１３２人目の素数さん
15/05/10 16:47:54.16 y2IJwnSv.net
へヽ/'´ ￣￣ ` ﾍ へ い い こ と 思 い つ い た
／ 〉 〉r-ｰ-《-‐､i...》 ＼ お 前 俺 を パ ソ コ ン の 中 に
／ ／ソ| |,,＿ ＿,{|⌒＼ ＼ イ ン ス ト ー ル し ろ
／ ／ 日 "ﾟ'` {"ﾟ｀lﾘ | ＼
／ / ﾄ.i ,__''_ ! | ＼
／ / ／ l＼ ー .ｲ|､ | ＼
/.､- ￣ヽ ヽ/ヘ￣ヘ / ` ---､ | ＼
/ ∨:::::::〈Ｈ〉::::∨ ヽ| ＼
/ ヽ ./::::::::::| |:::::::| | i ＼
/ | ／::::::::::::| |:::::::ヽ | | ＼
＿| _＿＿_|ﾉ:::::::::::::::::::| |::::::::::::ヽ＿ ! ＼ ＼
.|／ ￣|::::::::::::::::::::| ,.---ｧ^!::::::::::::|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣l＼
＿_{］ |:::::::::::::::::::／￣´ |ヽ:::＝::ﾉ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_| ＼
｝ ヽ__,,-'|￣∥ -‐ ,r'ﾞ::::::::::l ＿ | ヽ 、
＿_fﾞ ￣￣|＿__| ∥＿, -':::::::::::::|＿＿＿＿＿ , - ￣ ＼＿ __| i
| .∥ |:::::::::::::| _ ／ ＼ ￣| |
＼＿＿＿＿＿＿.∥ l ::::::::::::l//ヽ_ ／ , / ヽi＿__.| |
￣￣￣ |::::::::::::::|￣ |:::::::::::// ／|| | !￣￣| |
＿＿＿＿＿__l::::::::::::::＼ ／ヽ:::::::ﾉﾉ／ || | |＿＿_|ヽ |
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:56:49.52 cg233oGG.net
>>386 補足
>without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R
ここで１点注意
原文にあるように、普通の（病的でない）関数の解では、 f(q) = f(1)q だ。が、簡単のためにf(1)＝１の場合を証明しているんだ （分かっていると思うが念のため）
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:57:32.09 cg233oGG.net
>>388 運営おつ
426:小保方さんを支持します。
15/05/10 18:48:56.07 jxOSA8+o.net
ひとこすり水会ここ↓
li ,li
|ﾞ~ 'i
| ｰ |「んんっ・・・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ すてきなおマンコ・・・もぅそんなのイイから早く入れて！」
|, _ .|
,..-､|ー |,.-､
., -i | | i⌒i
／､_l ,| |. ,| .i
i , 〈' 〈' 〈 ｀.i
li ,li
|ﾞ~ 'i
| ｰ |「んんっ・・・おアナル・・いいきもち・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ ・もぅそんなのイイから早く入れて！」
|, _ .|
,..-､|ー |,.-､
., -i | | i⌒i
／､_l ,| |. ,| .i
i , 〈' 〈' 〈 ｀.i
li ,li
|ﾞ~ 'i
| ｰ |「んんっ・・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ ・・どこでもええの・ あんたははげやから・・もぅそんなのイイから早く入れて！」
|, _ .|
,..-､|ー |,.-､
., -i | | i⌒i
427:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 23:35:48.81 cg233oGG.net
運営おつ。２ちゃんねるらしいね。日本のマスオーバーね（笑い）
428:１３２人目の素数さん
15/05/11 16:56:03.22 k6EfpSHp.net
現代数学の系譜11 ガロア理論を読むって本屋の数学コーナーで売ってる？
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/15 22:48:57.99 Vpc9/yGt.net
>>393
どうも。スレ主です。
現代数学の系譜11 は、いま書店にはないだろうね。が
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
アマゾンには在庫有りだと
彌永本でも読めるよ。これは大きな書店ならあるところも・・
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアの時代 ガロアの数学 第二部 数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本（ソフトカバー） ? 2012/6/5 彌永 昌吉 (著)
英文なら、EDWARDSはどうですかね。アマゾンだが
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) (英語) ハードカバー ? 1997/12/1 Harold M. Edwards (著)
430:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 06:07:34.16 3tqJtzYJ.net
>>378 補足
”１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。”
ここ、自己同型を自己準同型に緩めると、また違う話ができるみたいだね
（下記Richard D. Mabry "Summary. If H is a Hamel basis for a field {F} over a proper subfield of {F}, then H cannot be closed under the taking of products.
"）
URLﾘﾝｸ(lsusmath.rickmabry.org)
URLﾘﾝｸ(lsusmath.rickmabry.org)
Richard D. Mabry, "No nontrivial Hamel basis is closed under multiplication", Aequationes Mathematicae, 71 (2006), no. 3, 294?299.
URLﾘﾝｸ(lsusmath.rickmabry.org)
Rick Mabry's Unofficial LSUS home page (LSUS: Louisiana State University Shreveport)
URLﾘﾝｸ(www.springer.com)
aequationes mathematicae is an international journal of pure and applied mathematics, which emphasizes functional equations, dynamical systems, iteration theory, combinatorics, and geometry.
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 06:14:54.54 3tqJtzYJ.net
>>395 補足
endomorphism
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における自己準同型（じこじゅんどうけい、英: endomorphism）とは、ある数学的対象からそれ自身への射（あるいは準同型）のことを言う。
例えば、あるベクトル空間 V の自己準同型は、線型写像 ?: V → V であり、ある群 G の自己準同型は、群準同型 ?: G → G である。
一般に、任意の圏に対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏（英語版）において、自己準同型はある集合 S からそれ自身への函数である。
任意の圏において、X の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び X の自己準同型である。X のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End(X)
432:と表記される（あるいは、圏 C を強調するために EndC(X) と表記される）。 直線 m への上への直交射影は平面上の線型作用素。これは自己準同型であるが自己同型ではない一例である。 http://ejje.weblio.jp/content/endo ハイパー英語辞書 endo-：…の内側, …の中 印欧語根en：中に、中への意。内側、内部、「…の間で」を表すこともある。
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 08:40:56.65 3tqJtzYJ.net
>>380 補足
>URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
>Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
Hamel basisが分からないので、これ読み返していた（いまでもまだ”もや”としているが）
P1より
Existence of Hamel basis
Definition 1.
Let V be a vector space over a field K.
We say that B is a Hamel basis in V if B is linearly independent and every vector v ∈ V can be obtained as a linear combination of vectors from B.
This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
∑cixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F.
It is also easy to see that for any vector space W and any map g : B → W
there exists exactly one linear map f : V → W such that f|B = g.
Theorem 1.
Let V be a vector space over K. Let A be a linearly independent subset of V .
Then there exist a Hamel basis B of V such that A ⊆ B. (Any linearly independent set is contained in a basis.)
Proof. Zorn's lemma.
Corollary 1.
Every vector space has a Hamel basis.
Proof. For V = {0} we have a basis B = φ.
If V ≠ {0}, we can take any non-zero element x ∈ V and use Theorem 1 for A = {x}.
In some cases we are able to write down a basis explicitly, for example infinitely-dimensional space or in the following example.
However, the claim that a Hamel basis exists for each vector space over any field already implies AC (see [HR, Form 1A]).
Example 1. Let c00 be the space of all real sequences which have only
finitely many non-zero terms.
Then {e(i); i ∈ N}, where the sequence e(i) is given by e(i)n = δin, is a Hamel basis of this space.
434:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 08:55:20.67 3tqJtzYJ.net
>>397 補足
" This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
∑cixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F."
この表記はイタリア流？ （i∈F）where F is finite は、日本では見かけない
下記と対比してください。Fが１から始まる自然数の有限集合ってことかな？
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Hamel Basis
A basis for the real numbers R, considered as a vector space over the rationals Q, i.e., a set of real numbers {Uα} such that every real number β has a unique representation of the form
β=∑ ri*Uαi,(i=1～n)
where ri is rational and n depends on β.
The axiom of choice is equivalent to the statement: "Every vector space has a vector space basis," and this is the only justification for the existence of a Hamel basis.
435:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 09:07:57.62 3tqJtzYJ.net
>>398 補足
この Wolfram の説明が不完全なんだよね
a set of real numbers {Uα} が、Hamel Basisだってことがうたわれてないんだわ（苦笑）
だから、最初読んだときには、意味分からなかった
>>397 GIULIO SCHIMPERNAと対比すると良く分かる
で、>>397-398を総合すると、任意のベクトル空間には、ベクトル空間の基底が取れる by The axiom of choice or Zorn's lemma.
RをQ上のベクトル空間とみたときに、同じようにベクトル空間の基底が取れる。それが、Hamel Basis
ベクトル空間の基底の取り方には任意性があるから、Hamel Basisの取り方も一意ではない
が、一つHamel Basisを定めると、”every real number β has a unique representation of the form
β=∑ ri*Uαi,(i=1～n)
where ri is rational and n depends on β.”になると
まあとりあえず
436:、こんなところまでは分かった・・
437:１３２人目の素数さん
15/05/16 10:03:30.57 zRAlyrD1.net
>>393-394
近くの本屋で注文は出来るよ。Amazonでは入荷予定ありになっている。
それなら、出版社に在庫がある可能性が大で、本屋でも売っていると見るのが妥当だろう。
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:32:14.72 3tqJtzYJ.net
>>397>>380 訂正
"URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013"
これ、GIULIO SCHIMPERNAじゃないね・・・
ARTIN SLEZIAK氏（Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC）だろう
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
MARTIN SLEZIAK
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC
下記PDF文中のP1左上の”pozn/tm/hamel.tex”と下記URLの最後が合うし、P1再下段の注URLは下の”Continuity and sequential continuity January 23, 2006”だし・・
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
Hamel basis and additive functions June 26, 2013
URLﾘﾝｸ(tthales.doa.fmph.uniba.sk)
Existence of Hamel basis
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
Continuity and sequential continuity January 23, 2006
この
P3”Cauchy equation
Theorem 6. There exists a non-continuous solution of (1).
Proof.
There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)
(thus a solution of (1) and (2)) which has not form f(x) = ax.
Therefore f is not continuous by Theorem 5.”だと
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:35:59.03 3tqJtzYJ.net
>>400
どうも。スレ主です。
レスありがとうございます
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:38:57.51 3tqJtzYJ.net
>>401 つづき
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)"
？ こんなの許されるのかね？ 急に言われてもわからんね・・
441:１３２人目の素数さん
15/05/16 10:43:33.62 zRAlyrD1.net
>>373
いや、実関数f:R→RがR上の或る1点aで通常のε-δによる任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜ε という意味での連続なら、fはf(x)＝x・f(1)と求まるのだが、
もしここで「xを有理数変数」、「a∈Q」として任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜ε という意味での連続にすると、fが一意にf(x)＝x・f(1)
と求まるかどうかは分からなくなる。いわゆるfのQへの制限が或る1点a∈Qで連続のときfが
一意にf(x)＝x・f(1)と求まるかどうかは分からなくなる。ハメル基底と超越基底の存在性の証明はよく似ていて
どっちもZornの公理を使うから、超越基底が存在する以上、ハメル基底は存在することになる。
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:59:32.08 3tqJtzYJ.net
突然ですが、備忘録で貼っておきます
URLﾘﾝｸ(shi.matmor.unam.mx)(2000)(T)(308s).pdf
Ash - Abstract algebra, 1st graduate year course (2000)(T)(308s).pdf
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 11:01:09.46 3tqJtzYJ.net
>>404
どうも。スレ主です。
おっちゃん、おひさしぶり
ところで、>>403分かりますか？
444:１３２人目の素数さん
15/05/16 11:01:43.95 zRAlyrD1.net
>>373
>>404の「Zornの公理」は「Zornの補題」だった。
445:１３２人目の素数さん
15/05/16 11:04:09.71 zRAlyrD1.net
>>406
>>403はどの文章？
446:１３２人目の素数さん
15/05/16 11:08:27.55 zRAlyrD1.net
>>406
まあ、いいや。>>403に挙げたのしらみつぶしに調べるから待っとれ。
447:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 11:18:36.78 3tqJtzYJ.net
>>234 補足
>このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
Edwards先生関連資料
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
Galois for 21st-Century Readers HM Edwards AMS 2012
URLﾘﾝｸ(www.galois.ihp.fr)
Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011
448:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 11:35:19.10 3tqJtzYJ.net
>>410 補足
「Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011」より
”In conclusion, I would like to say how pleased and grateful I am to have been invited to participate in this homage to the genius of Evariste Galois on his bicentennial.
Without wanting in any way to disparage my own book on Galois theory, published in 1984, I will say that the part of my book that was its greatest contribution,
and to which I refer most often myself, is the English translation of Galois's Premier Memoire that is in Appendix 1.
As I have tried to explain in this talk, Galois's own exposition offers in many ways the most insightful one of what we call,
and future generations will certainly continue to call, Galois theory.”
449:１３２人目の素数さん
15/05/16 12:03:03.16 zRAlyrD1.net
>>403
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
でのf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式の解の話か。
V_R(Q)はハメル基底によって張られるQ上のベクトル空間としてのRを指すと。
実質的にはQ上のベクトル空間RをV_R(Q)で書いたのか。
Zornの補題(選択公理)を認め、ハメル基底の存在性を仮定すれば、存在性の定理でなくても
任意の点x∈Rで不連続な解f(x)は具体的に構成出来るよ。
で、例の話だが、ハメル基底に属する実数の取り方は選択公理に依存して、
単純に1と√2は有理数体Q上線型独立で{1,√2}がQ上のベクトル空間になるから
ハメル基底がこれを含むと仮定しても何ら問題ない。
450:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 12:43:42.37 3tqJtzYJ.net
>>410 補足
「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
In this paper, I have tried to explain the First Memoir to modern readers, going through it proposition by proposition.
The most important proposition, and the one I most emphasize, is Proposition 2, the one about which Galois wrote in the margin,
“There is something to be completed in this proof. I do not have the time”
(the sections “Proposition 2” and “Proposed Revision of Proposition 2” below).
My interpretation suggests how Galois might have stated and proved it given a little more time.
This revised Proposition 2, combined with Proposition 1 (which I also revise, but only to make the statement Galois surely intended),
contains the equivalent of what is now called the fundamental theorem of Galois theory.
I do not assume that the reader has ready access to the First Memoir and have tried to make the explanations stand on their own,
but serious readers would be foolish to be satisfied with my rewarmed version of Galois’s theory.
The original, however flawed and incomplete itmay be, is indisputably one of the most valuable and insightful documents in the history of mathematics.
451:１３２人目の素数さん
15/05/16 13:26:50.10 2Bychd9I.net
ガロア理論って勉強してると狐につままれたような気持ちになる
452:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 14:34:08.78 3tqJtzYJ.net
>>412
おっちゃん、どうも。スレ主です。いくつか分からないところがある
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
１．おそらくb=√2という意図なんだろう。で、 f(√2) = 1だと。また、f(1)= 1だから、√2と１の二つともに写像されるんだ？
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
３．f(b) = 1の１に意味があるのか？ これが２じゃまずいのか？
というようなことで、なんとなく釈然としないんだ
453:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 14:35:25.95 3tqJtzYJ.net
>>414
どうも。スレ主です。
それは、ある程度理解できているっていう証拠だろうね
454:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 14:36:49.71 3tqJtzYJ.net
>>415 訂正
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
↓
２．containingだから、 {1, √2}.以外の他のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
455:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 15:17:13.88 3tqJtzYJ.net
>>413 つづき
「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
Again, Study the Masters
The introduction to my 1974 book Riemann’s Zeta Function was an exhortation to “Read the classics!”
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
Abel’s contrast of “masters” to “pupils” is an important addition to the message.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements?those written by the “masters”?not the ones written by later “pupils”,
who themselves learned the ideas from the masters and are trying to make presentations that are more accessible or that conform to newer styles.
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
In the course of the writing,I have been forcefully reminded of the extent to which Galois is the master and I the pupil.
Once again, I advise students to Study the masters!
Thanks to Peter Neumann’s meticulous reexamination of all of Galois’s works?not just of the First Memoir?many more students will now be able to do so.
456:１３２人目の素数さん
15/05/16 15:21:25.23 SzOJXhZc.net
分かってるかもしれんが、1 や √2 のそれぞれハメル基底なんじゃなくて、
B という集合が一つのハメル基底。
ちょっと表現が気になったので。
b は別に √2 だけのことではなく、B の全ての元のこと。
２．３．はあってる。B の全ての元が 1 にうつる写像を考えている。
1 が 2 になっても問題ない。f(x)=ax の形になってないことが示せるなら何でもいい。
まあでも、普通はできるだけシンプルな例を挙げるでしょ。
457:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 15:22:51.87 3tqJtzYJ.net
>>418 つづき
要約すると
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements - those written by the “masters”- not the ones written by later “pupils”,
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
ということ
「このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ」>>234
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 15:31:57.08 3tqJtzYJ.net
>>418
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ありがとう
やはり、ハメル基底については、おっちゃんの方がよく分かっているみたいだね・・
まだもやっとしているところ下記
１．√2は、無理数というところに力点がある気がするんだが・・（無理数の例をつくった） Y/N
２．”There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.”なので、Bは VR(Q) の部分集合だよね。で、全射だが単射ではなくなっている？
３．Bは VR(Q) の部分集合として、制限はないのか？ B＝ VR(Q) としたらどうなる？
459:１３２人目の素数さん
15/05/16 15:45:37.23 SzOJXhZc.net
>>419のことを言ってるならおっちゃんじゃないぞ。
１．Y
そもそも Q 上線形独立でないとその先につながらない。
Q 上線形独立だからそれを含むハメル基底が取れる。(その文献の Theorem 3)
２．３．
B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
基底の定義を知らんのか。
460:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 17:55:50.63 3tqJtzYJ.net
>>422
ID:SzOJXhZcさん、どうも。スレ主です。
おっちゃんじゃないか・・。とすると、添削担当のメンターさんか・・
コメントありがとう
>B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
>基底の定義を知らんのか。
あまり分かっていないので・・、失礼しました
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.>>403
で、
１．Hamel basis Bで構成されるQ上のベクトル空間全体をVBQとすると、VBQ=VR(Q) とできる？（できるよね）
２．もし、１がYとすると、∀b∈Bでf(b) = 1とできる？
３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 17:58:38.95 3tqJtzYJ.net
>>423 訂正
３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
↓
３．もし、２がYとすると、VBQの像f(VBQ)は、１の線形結合になるから、Qになる？
が正確な記述かな・・
462:１３２人目の素数さん
15/05/16 18:33:27.15 SzOJXhZc.net
１．「Hamel basis Bで生成されるQ上のベクトル空間をVBQとする」ということなら yes
「基底(basis)」と言った時点で全体を生成していなければならない。
（「ベクトル空間全体」というと、ベクトル空間がいくつかあって、それの全体を指してるように見える）
２．これも yes
一般に、V,W を体 K 上のベクトル空間とすると、V から W への K 線形写像は基底の行き先で決まる。
厳密にいえば、 {e_λ} を V の基底とすると、
各 λ に対し w_λ∈W を任意に定めたとき、f(e_λ)=w_λ となるような K 線形写像 f:V→W が一意に存在する。
３．yes
別に全射である必要はないので問題ない。
ちなみに全射である例も作れる。
記述は指摘しようと思ってた。
＞添削担当のメンターさんか・・
no
463:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 20:49:23.42 3tqJtzYJ.net
>>425
どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いですねー
おっちゃんでも、メンターさんでもないか・・
レスありがとうございます！
だんだんクリアーになってきた・・
で、まだもやってとしているところ
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
は、なんとか分かったが、これと
>>382 "f(x+y)=f(x)+f(y)....(1) (1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけない"
"f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。"(>>385-386にも記載あり)
つまり、任意の開区間(a,b)で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密が上の写像で成り立つのか？
そこがもやっと・・
464:１３２人目の素数さん
15/05/16 23:30:57.42 SzOJXhZc.net
>>426
そこで引っかかってたのか。
俺もこの手の写像を詳しく扱ったことはないからよく分からんけど、
まあ成り立つんでしょうねぇ。
経験上、ハメル基底を使って作った写像なんてろくなもんじゃないと思う。
x=a+b√2 (a,b は整数) のところだけでも平面上にプロットしてみたら？
465:１３２人目の素数さん
15/05/17 05:36:32.79 UIlazYs+.net
>>415
ちょっくら留守にしていた間に他の人が答えてくれたようだ。
ついでに>>412の
>単純に1と√2は有理数体Q上線型独立で{1,√2}がQ上のベクトル空間になる
の「{1,√2}がQ上のベクトル空間になる」の部分は「基底{1,√2}がQ上のベクトル空間を張る」と訂正。
>>426
＞>>382 "f(x+y)=f(x)+f(y)....(1) (1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけない"
＞"f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。"(>>385-386にも記載あり)
＞
＞つまり、任意の開区間(a,b)で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密が上の写像で成り立つのか？
＞そこがもやっと・・
まあ、私もよく分からんが、「任意の開区間(a,b)で非有界」なのだから直観的には成り立つだろうね。
開区間(a,b)を任意に狭めても非有界な訳でしょ。ということは、点a∈R^2、ε＞ε'＞0を任意に取って
平面R^2上でaの近傍U(a;ε)、U(a;ε')を取ったらU(a;ε')⊂U(a;ε)だから、f(x＋y)＝f(x)＋f(y)の解f(x)のグラフGを考えたら
aとは異なるような或るGの点bについてb∈U(a;ε')になる。そうでなかったらグラフG上の点b＝(b',f(b'))
のx座標への射影である実数b'が属するような或る開区間においてf(x)が定義されなくなって矛盾が生じる。
466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 07:20:43.71 joHrS35r.net
>>427-428
どうも。スレ主です。
ID:SzOJXhZcさん、おっちゃん、レスありがとう
お陰ですっきりしました！
>x=a+b√2 (a,b は整数) のところだけでも平面上にプロットしてみたら？
なるほど！ √2にどんな意味が？と思ったが・・、そういうことを考えろ！とヒントになっているんだ・・
Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}で
(a,b は整数)：f(a+b√2)=a+b. y=a'+b'√2として、f(x+y)=a+b+a'+b'=f(x)+f(y)
が成り立つ。 (a,b は有理数)でも同様
「任意の開区間(a",b")で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密」について考えてみる
１．ここで、”By putting f(b) = 1 for any b ∈ B” の中から、非常に大きな数b1を取って
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)を考える
a+b*b1が、開区間(a",b")に入るように、a,b は有理数を調整できる
（蛇足だが、bはいくらでも小さく取れるから）
f(a+b*b1)=a+bとなる
２．上記で、b1はけっこういろいろ取れるんだ。きっと。∵Hamel basisは、連続無限個存在するというので
だから、a+bもいろんな値にできるんだ
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=0.1として、b1≒1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=0.01として、b1≒10とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=0.001として、b1≒100とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
４．上記の思考実験で、非有界はまず間違いないでしょう
グラフの平面(x,f(x))で稠密もおそらく・・（詳しく検証していないが）
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個するとして（この前提はおそらく正しいのでしょう）
467:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 07:49:43.95 joHrS35r.net
>>420 つづき
mastersを超えるpupilsは出てくるんだ、いつの時代にも
そこは例外だね。pupilsからmastersに成る人
ところで、下記がヒットしたので貼っておく
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Galois theory timeline edited Jun 5 '10
A recent question on the history of Galois theory wasn't the most satisfactory.
But the historical issues do seem quite attractive. They relate to innovation, and to exposition.
There is a perspective (which based on past teaching I don't entirely share) that the periods worth considering are pre-Artin, classic Artin treatment, and post-Artin.
To make the point explicitly, that is to do with the influence of Artin's Galois Theory Notre Dame notes, copyright dates 1940 and 1942.
My issues with this periodisation are primarily to do with a wish to have a proper view of innovation, starting with Galois
(admitting pre-history evident in Gauss and Abel, solution of the quartic, group theory and other contributions in Lagrange).
There is something like this:
抜粋
*Galois
*Liouville writes up the theory
*Riemann surface theory in general, and isogenies of elliptic curves in particular, develop in parallel
*Algebraic number theory uses abelian extensions and Kummer theory extensively
*Steinitz, abstract theory of fields, idea of separable extensions clarified
*New expositions from Emmy Noether and Artin in the 1920s (are these documented, though?), against the background of completing proofs of class field theory, and Artin L-functions
*1930s: Galois theory for infinite extensions is enunciated
This takes us just about to 1940. I think it is a trap to assume Artin in 1940 was lecturing on Galois theory in the precise terms he would have used in the 1920s.
I'd be grateful for help making this tentative timeline more solid. Further interesting things did happen after 1942, but that seems enough for one question.
以下略
468:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 08
469::03:02.46 ID:joHrS35r.net
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 08:18:28.64 joHrS35r.net
>>431 つづき
ついでに (JS Milneは、例の人でしょうかね？ 余談だが、冒頭の番号体系がよくわからない・・)
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
What was Galois theory like before Emil Artin? edited May 31 '10
7
I read that the primitive element theorem for fields was fundamental in expositions of Galois theory before Emil Artin reformulated the subject.
What are the differences between pre and post-Artin Galois theory?
抜粋
9
Actually, it wasn't all that different, except that you first proved the primitive element theorem, and then proved things by choosing a primitive element.
Artin disliked having to make a choice, and his main contribution was show that you can do Galois theory without choosing a primitive element.
It's not obvious to me that this makes things easier or better. You can find the old approach in A.A. Albert's book on algebra. ? JS Milne May 31 '10 at 11:57
2
Charles, the independence of multiplicative characters is usually credited to Dedekind. Galois theory is about separable extensions. ? JS Milne May 31 '10 at 13:11
471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:08:19.24 joHrS35r.net
>>429 訂正
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個するとして
↓
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個存在するとして
472:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:23:15.91 joHrS35r.net
>>432 補足
余談だが、日本語の情報だけじゃだめだね
それと、早くMathOverflowなどを使った方がいいだろう
2CHとはレベルが違う（2CHは、それなりのよさもあるのだろうが・・）
あと、直感的理解は大事にしたいんだよね
それが>>429なんだ
「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな>>124
直観を排して論理を一歩ずつ積み重ねれば分かるという人がいるが、半分正解で半分外れだ
小平 邦彦 「数学に王道なし」P16>>322を紹介したが
（再録）
分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
（引用おわり）
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:35:46.03 joHrS35r.net
>>434 つづき
私事だが、４月に新人が職場に配属になった
「習うより慣れろだ」と言ってやった
「英米に連れて行った子供が、あっという間に現地の子供と遊ぶうちに、英文法を知らずとも英語を話すようになるのと同じだ」と
学校英語：中１の簡単な英文がステップバイステップで、高校では英文法も、大学でも１年、計１０年近くやって話せない・・
ステップバイステップは、一見理にかなっている。が、計１０年近くやって話せない・・（それを職場でやっていると、すぐ首だろう・・）
”あっという間に現地の子供と遊ぶうちに、英文法を知らずとも英語を話すようになる”（習うより慣れろ）
も理にかなっているんだろう
小平流 分かるが証明をしらない：複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた
小平流 実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用：代数曲面の特異点解消定理
まあ、そんなのはプロでは常識なんでしょうが、
学生時代は、論理の一歩一歩の積み上げ（足腰強化）と、直感的包括的理解（遊ぶうちに細かい文法は知らないが話せるも含め）との両立。これをめざすべきでしょう
小平の原本は、新・数学の学び方 単行本 2015/1/29 小平 邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)>>308だ
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:38:49.43 joHrS35r.net
>>435 訂正
学校英語：中１の簡単な英文がステップバイステップで、
↓
学校英語：中１の簡単な英文からステップバイステップで、
475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:49:52.34 joHrS35r.net
>>429 訂正
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=0.1として、b1≒1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=0.01として、b1≒10とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=0.001として、b1≒100とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
↓
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=1として、b1≒0.1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=10として、b1≒0.01とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=100として、b1≒0.001とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
(注：すんません。bとb1の関係を逆に考えていた。言い訳だが、アスキー制限なので、bとb1とか紛らわしいが、適当にやっていて自分で落とし穴に入っていた・・。ああ、それと最初b1を大きくしたらと考えていてそれが残
476:っていた・・、b1を小さく取って行くんだ・・)
477:１３２人目の素数さん
15/05/17 09:53:20.53 L7ccwWWG.net
つかれた。ちょっと息抜き。
URLﾘﾝｸ(doluota.blog.fc2.com)
478:１３２人目の素数さん
15/05/17 10:30:43.38 dZ9dZGaK.net
＞Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個存在する
残念ながら稠密とは限らない。
{1,√2}を含むハメル基底 B において、例えば √2 を √2-1 に置き換えてもハメル基底となる。
同様に、B の各元を整数分だけずらしてもハメル基底であることは変わらない。
そうすると、例えば区間 (0,1] に含まれるハメル基底を作ることができる。これは稠密でない。
479:１３２人目の素数さん
15/05/17 18:31:05.51 Qam78Q26.net
相変わらずおたんちんやってるなw
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 20:24:38.68 joHrS35r.net
>>439
ども。 ID:dZ9dZGaKさん、ありがとう
レベル高いね
ただ、同じことは３時間前に気付いた
{1,√2}を含むハメル基底 Bで、要素の１が効いているんだね
要素１から、任意の整数を作れる
だから、ハメル基底の中で整数成分を持つ要素は、整数部分を除いて基底を再構成することで、区間 (0,1] に納めることは可能だね
で、>>437で訂正したように、”b=100として、b1≒0.001とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5”のように、b1≒0.001のように細かく区間 (0,1] にBの成分が分散して存在すれば良いんだ。
いや、それは、区間 (0,1]で稠密ということだろう・・
481:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 20:47:13.69 joHrS35r.net
>>441 補足
だから、>>437で、区間 (0,1]にいくらでも小さなハメル基底 B の要素が存在すれば、非有界は言える
>>439や>>441のようにすれば、「区間 (0,1]にいくらでも小さなハメル基底 B の要素が存在する」は、言えそうだね
が、ハメル基底の取り方に依存しないというのは、どこかで証明しないと行けないのでしょうけどね
あとは、グラフの平面(x,f(x))で稠密が言えるかだが・・
482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 23:04:41.49 joHrS35r.net
>>442 つづき
グラフの平面(x,f(x))で稠密が言える？
例えば、x=0.5, f(x)≒2.0 を考えてみよう
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)で
a=0.47としてみる、b=1.5として、b1≒0.02とできるとすると、a+b*b1≒0.5でa+b＝1.97 となる
a, b, b1の組み合わせは、これ以外にも考えられて、a+b＝1.97をもっと2.0に近づけることは可能だ
これは一例で、x=0.5, f(x)≒2.0 以外の点についても同様の計算は可能
つまり、いくらでも近い点を、a, b, b1の組み合わせで実現できる
だから、稠密は言えそうだね
というか、>>386に示したwikipediaの計算で終わっていたかも知れないが・・
”By putting f(b) = 1 for any b ∈ B ”に即した
もっと、自分なりにすとんと胸に納まる説明がないかと思ったんだよね・・
483:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 23:25:36.58 joHrS35r.net
>>443 つづき
まあ、この計算は、
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
で、>>439 ID:dZ9dZGaKさんが書かれたように、区間 (0,1] のみ*)に含まれるハメル基底を作ることができる
この場合、ハメル基底Bの要素で、いくらでも0に近い小さい数が存在することが期待できる。１についても同様でしょう
（証明は分かりませんが）
で、ハメル基底の取り方に任意性がある
そこを、おそらく計算の工夫で、>>443のような処理ができると思う
具体的な計算の構成は出来ていないが・・
484:１３２人目の素数さん
15/05/18 04:42:30.68 N1pcoTFN.net
>>444
ハメル基底Bを定めてBに属する無理数aを任意に1つ取って環Q[a]を考えると
Q⊂Q[a]だから、実数直線R上で考えると、有理数の稠密性から、
0、1に任意に近い有理数なるようなハメル基底の元は無数に取れる。
あと、Q⊂Q[a]⊂RからQ[a]も実数直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
0、1に任意に近い有理数なるようなQ[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
よって0、1に任意に近い有理数b、無理数cからなるQ上のベクトル空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元からなるようなハメル基底B'＝∪{b,c} c∈B＼Q を構成出来る。
任意の区間に一般化出来ますな。
ちなみに、>>428の「x座標への射影」は「x軸への射影」と訂正。x座標への射影とはいわないな。
485:１３２人目の素数さん
15/05/18 05:16:32.06 N1pcoTFN.net
>>444
>>445の
>あと、Q⊂Q[a]⊂RからQ[a]も実数直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
>0、1に任意に近い有理数なるようなQ[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
の部分の「有理数」は「無理数」と訂正。この場合、無理数の稠密性は、Q[a]に属する無理数の稠密性になる。
486:１３２人目の素数さん
15/05/18 05:47:45.26 N1pcoTFN.net
>>444
まあ、この場合は線型空間か。なので、次のようになる。
区間(0,1]を＝Iで表す。ハメル基底Bを定め、無理数a∈B＼Qを任意に1つ取る。
実数直線R上で考えると、有理数の稠密性から、0、1に任意に近い有理数b∈Iは無数に取れる。
{a.b}を基底とするQ上の線型空間をVで表す。すると、Q⊂V⊂Rからb∈V。
また、V＼Qの点も実数直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、0、1に任意に近い無理数c∈Bの元は無数に取れる。
よって、0、1に任意に近い有理数b∈V、無理数c∈VからなるVの線型部分空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元からなるようなハメル基底B'＝∪{b,c} c∈B＼Q を構成出来る。
これも任意の区間に一般化出来る。
>>446の訂正では「Q[a]も実数直線R上で稠密」は「Q[a]の点も実数直線R上で稠密」と訂正。
487:１３２人目の素数さん
15/05/18 06:05:22.16 N1pcoTFN.net
>>444
いや、Vの線型部分空間は張らないか。>>447の
>よって、0、1に任意に近い有理数b∈V、無理数c∈VからなるVの線型部分空間を張る
の部分の「Vの線型部分空間を張る」は「体Q上の線型空間Rの線型部分空間を張る」だな。
488:１３２人目の素数さん
15/05/18 06:13:08.10 N1pcoTFN.net
>>444
いや、>>448の訂正はいらん。
489:１３２人目の素数さん
15/05/18 08:24:12.07 N1pcoTFN.net
>>444
むしろ、>>447では
>0、1に任意に近い無理数c∈Bの元は無数に取れる。
の部分の「無理数c∈Bの元は」を「無理数c∈V＼Qは」と訂正。
490:１３２人目の素数さん
15/05/21 05:23:45.99 8CXYUUG6.net
そんな事よりスレ主よ、スレ主よ、ちょいと聞いておくれよ。ガロア理論のスレとあんま関係ないけどさ。
この前、γが超越数である事の証明は出来たんです、γは超越数。
しかし、何か根拠に欠ける方法で、まだ証明が正しいという確信までは出来ないんです。
どうしても区別出来ないところがあるんです。
そんな訳でね、手法の正当性を保証するために暫く篭もりの始まりですよ、篭もり。
超越数論や無理数論の手法の正当性のための理論構築の始まり。
もうね、超越数論や無理数論だけ研究するのも飽きて来たかと。
超越数論や無理数論もな、何か根拠に欠ける理論展開してんじゃねーよ、ボケが。
無理数だよ。無理数。何かよく分からん方法で証明してる所もあるし。曖昧な手法で無理数の証明か、おめでてーな。
よーし、πの無理性の証明しちゃうぞー、とか本に書いてあるの。もう見てらんない。
超越数論もな、まとめて超越性を証明してやるから、その理論をもっと緻密にしろと。
超越数論や無理数論ってのはな、もっと緻密で発想が分かり易くあるべきなんだよ。
すんなりと証明の発想が単純で分かり易くてもおかしくない、
単純で緻密に超越性や無理性の証明が出来る、そんな理論がいいんじゃねーか。曖昧過ぎる証明法は、もうやめろと。
で、やっとγの超越性の予想が出来たかと思ったら、その理論構築は少し長くなる気がして来たんです。
そんな訳で、最初からやり直しですよ。
あのな、超越性や無理性なんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。得意げなことして何が、超越性や無理性の証明、だ。
超越数論や無理数論は本当に緻密なのかと考えたい。突き詰めて考えたい。長時間考えたい。
超越数論や無理数論は、まだ曖昧なところがあるんちゃうんかと。
超越性や無理性の証明を趣味にしている私からいわせてもらえば、今、数学通の間での最新流行はやっぱり、他のこと、これだね。
「これらのどこが超越数論や無理数論に応用出来るんですか」。これが通の質問の仕方。で、主な研究も他のこと。これ当然。
しかしこれを発言すると数論愛を持った他の研究者からフルボッコにされるという危険も伴う、諸刃の剣。
超越性や無理性の研究をしていない人にはお薦め出来ない。
まあ、超越数論とか無理数論は、現状のままで研究されているべきってこった。
491:１３２人目の素数さん
15/05/21 05:32:26.44 8CXYUUG6.net
そんな事よりスレ主よ、スレ主よ、ちょいと聞いておくれよ。ガロア理論のスレとあんま関係ないけどさ。
この前、γが超越数である事の証明は出来たんです、γは超越数。
しかし、何か根拠に欠ける方法で、まだ証明が正しいという確信までは出来ないんです。
どうしても区別出来ないところがあるんです。
そんな訳でね、手法の正当性を保証するために暫く篭もりの始まりですよ、篭もり。
超越数論や無理数論の手法の正当性のための理論構築の始まり。
もうね、超越数論や無理数論だけ研究するのも飽きて来たかと。
超越数論や無理数論もな、何か根拠に欠ける理論展開してんじゃねーよ、ボケが。
無理数だよ。無理数。何かよく分からん方法で証明してる所もあるし。曖昧な手法で無理数の証明か、おめでてーな。
よーし、πの無理性の証明しちゃうぞー、とか本に書いてあるの。もう見てらんない。
超越数論もな、まとめて超越性を証明してやるから、その理論をもっと緻密にしろと。
超越数論や無理数論ってのはな、もっと緻密で発想が分かり易くあるべきなんだよ。
すんなりと証明の発想が単純で分かり易くてもおかしくない、
単純で緻密に超越性や無理性の証明が出来る、そんな理論がいいんじゃねーか。曖昧過ぎる証明法は、もうやめろと。
で、やっとγの超越性の予想が出来たかと思ったら、その理論構築は少し長くなる気がして来たんです。
そんな訳で、最初からやり直しですよ。
あのな、超越性や無理性なんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。得意げなことして何が、超越性や無理性の証明、だ。
超越数論や無理数論は本当に緻密なのかと考えたい。突き詰めて考えたい。長時間考えたい。
超越数論や無理数論は、まだ曖昧なところがあるんちゃうんかと。
超越性や無理性の証明が趣味の私からいわせてもらえば、今、数学通の間での最新流行はやっぱり、他のこと、これだね。
「これらのどこが超越数論や無理数論に応用出来るんですか」。これが通の質問の仕方。で、主な研究も他のこと。これ当然。
しかしこれを発言すると数論愛を持った他の研究者からフルボッコにされるという危険も伴う、諸刃の剣。
超越性や無理性の研究をしていない人にはお薦め出来ない。
まあ、超越数論とか無理数論は、現状のままで研究されているべきってこった。
492:１３２人目の素数さん
15/05/21 05:33:39.55 8CXYUUG6.net
まあ、2チャン何かする暇はないと、そういうこと。
493:１３２人目の素数さん
15/05/21 05:36:37.84 8CXYUUG6.net
>>453では
>まあ、2チャン「なん」かする暇はないと、そういうこと。
だな。そんじゃ～な、スレ主よ。
494:１３２人目の素数さん
15/05/21 21:33:47.92 yENOyrzH.net
ハメル基が連呼されてる数学書なんて見�
495:ｽことない。せいぜいトリビアルな概念に名前がついてるねってだけ。
496:１３２人目の素数さん
15/05/21 21:36:42.78 yENOyrzH.net
せいぜいハメル基が言及されるのってツェルンの補題＝選択公理が必要な定理を上げる時ぐらいだけでそれ自体で何か証明した気分になるのはあほだけ。
497:１３２人目の素数さん
15/05/21 22:13:10.61 Brwxbb0u.net
>>455
>>456
パカと鋏は使いようって言うだろうが
498:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 05:01:22.30 3TigoFfu.net
どうも。スレ主です。
>>451-454 力作ご苦労様です
>>455-456
>ハメル基が連呼されてる数学書なんて見たことない。せいぜいトリビアルな概念に名前がついてるねってだけ。
>せいぜいハメル基が言及されるのってツェルンの補題＝選択公理が必要な定理を上げる時ぐらいだけでそれ自体で何か証明した気分になるのはあほだけ。
同意だが、但し限定がつく。和文の情報ではと
>>457
>パカと鋏は使いようって言うだろうが
完全同意だ
数学の定理ではないが、生活の中の真理だろう（”使う側の力量や能力を言ったことばである”下記参照）
URLﾘﾝｸ(kotowaza-allguide.com)
馬鹿と鋏は使いよう - 故事ことわざ辞典:
【読み】 ばかとはさみはつかいよう
【意味】 馬鹿と鋏は使いようとは、人を使うときは、その人の能力をいかせるように、うまく使うべきであるという教え。
【馬鹿と鋏は使いようの解説】
【注釈】 切れないハサミでも、使い方によっては何かの役に立つように、愚かな者でも上手に使えば役に立つものだということから。
能力のない者をばかにして言ったことばではなく、使う側の力量や能力を言ったことばである。
499:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 05:06:57.17 3TigoFfu.net
>>445-450
おっちゃん、どうも。ありがとう！
500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 05:11:16.39 3TigoFfu.net
>>444
自己レス
「で、ハメル基底の取り方に任意性がある
そこを、おそらく計算の工夫で、>>443のような処理ができると思う
具体的な計算の構成は出来ていないが・・」
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)で、a, b, b1の組み合わせをいろいろ考えれば・・・
とは思うが、具体的には考えていない
というか、「まあ、もういいかなー」という気になったのでスルーします
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 05:50:09.42 3TigoFfu.net
>>381
下記ご参考。２０世紀には抽象代数だったものが、２１世紀では「計算できる代数」
URLﾘﾝｸ(sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp)
数理科学科 教員 - 関西学院大学理工学部:
大杉 英史（おおすぎ ひでふみ） 教授
専門分野：計算可換代数、凸多面体、計算代数統計
おもに、グレブナー基底とよばれるものについて研究しています。
大雑把に言えば、グレブナー基底とは、割り算に関して良い性質を持つ「多項式の集まり」です。
ただし、変数は１つとは限らないし、ある多項式を、複数の多項式で割り算することを考えます。
すると、1変数、1個の多項式で割り算する場合と違って、色々工夫が必要になります。
例えば、余りが一意（１つ）に定まりません。
しかし、グレブナー基底で割り算すると、余りが必ず一意に定まるという良い性質があります。
グレブナー基底の基本的な応用として、連立方程式の変数消去が挙げられますが、統計学や凸多面体の三角形分割など、他にも諸分野への応用が知られており、様々な数式処理ソフトウェア（Mathematica, Mapleなど）に実装されています。
502:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 06:03:14.65 3TigoFfu.net
>>461
２０世紀には現実の生活とは無関係に近い抽象代数学だった
下記などをみると、イデアルとか基底とか、結構具体的なんだなー
503:と http://www.jssac.org/Editor/Suushiki/V16/No2/V16N2_104.pdf 数式処理Bulletin of JSSAC (2009) Vol. 16, No. 2, pp. 15 - 22 特集記事＜統計科学と数式処理＞ 実験計画法とグレブナー基底 青木敏 鹿児島大学大学院理工学研究科 JST, CREST 竹村彰通y 東京大学大学院情報理工学系研究科 JST, CREST
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 06:11:37.14 3TigoFfu.net
東大の経済学部出身で数理情報学教授ですか・・
URLﾘﾝｸ(www.i.u-tokyo.ac.jp)
2008/09/15
数学に“新たなブレークスルー”を起こしたい
数理情報学専攻 竹村彰通 教授
竹村教授も東大の経済学部出身である。
統計学が手法を提供する学問という性格から、研究者は多くの学部に広がっているが、統計学は多彩な学問、社会と密接に絡み合い、問題解決を託されている。
それを担う若手数学者育成のための場として、統計を含む応用数学の研究所構想を打ち出した。
独創的な成果を顕した米国Rutgers大学のDIMACS研究所の日本版といえる。
「数学が科学技術と産業社会に広く貢献するという夢を実現するのは、30年、50年の大計でしょう。
5年のCREST研究期間内に、一部でもそのレールを敷きたい」。
この大局的見地からこれまでに蓄積した『知』を投じる。それが研究者としての使命と熱っぽく語った。
505:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 06:48:17.04 3TigoFfu.net
いまどき統計処理というと、”ビッグデータ”という用語を連想しますが
”この定義は、意図的に主観的な定義であり”ですか・・、”Well defined”の対極ですね
が、これも生活の知恵だろう
URLﾘﾝｸ(www.soumu.go.jp)
総務省｜平成24年版 情報通信白書:
第1部 特集 ICTが導く震災復興・日本再生の道筋
第1節 「スマート革命」 ―ICTのパラダイム転換―
（1）ビッグデータとは何か
その量的側面については（何を「ビッグ」とするか）、「ビッグデータは、典型的なデータベースソフトウェアが把握し、蓄積し、運用し、分析できる能力を超えたサイズのデータを指す。
この定義は、意図的に主観的な定義であり、ビッグデータとされるためにどの程度大きいデータベースである必要があるかについて流動的な定義に立脚している。
…中略…ビッグデータは、多くの部門において、数十テラバイトから数ペタバイト（a few dozen terabytes to multiple petabytes）の範囲に及ぶだろう。」との見方がある。
ただし、ビッグデータについては、後に述べるように、目的面から量的側面を考えるべき点について、留意する必要がある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ビッグデータ [1][2]（英: big data）とは、市販されているデータベース管理ツールや従来のデータ処理アプリケーションで処理することが困難なほど巨大で複雑な データ集合の集積物を表す用語である。
その技術的な課題には収集、取捨選択、保管
506:[3]、検索、共有、転送、解析[4]、可視化が含まれる。 大規模データ集合の傾向をつかむことは、関連データの1集合の分析から得られる付加的情報を、別の同じデータ量を持つ小規模データ集合と比較することにより行われ、 「ビジネスの傾向の発見、研究の品質決定、疾病予防、 法的引用のリンク 、犯罪防止、リアルタイムの道路交通状況判断」との相関の発見が可能になる[5][6][7]。 "big data"という語自体は2010年の英国エコノミスト誌が初出である。[要出典] （URLが長すぎ。キーワード検索請う） IBM ビッグデータの活用タイプに応じたテクノロジー選択 2015/05/22 15:36:59: クラウド時代の次世代データベースの目指す姿
507:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 07:02:17.29 3TigoFfu.net
関連
URLﾘﾝｸ(business.nikkeibp.co.jp)
連載第1回】ニューラルネットの歩んだ道、ディープラーニングの登場で全てが変わった - 日経BigData: 2015.04.21大野健太＝Preferred Networks
ディープラーニングのビジネスへの活用の可能性を探る。初回はディープラーニングの登場がどんな意味で大事件だったのかを解説する。
機械学習、ニューラルネット、ディープラーニングといった言葉の意味を整理することから始めよう。
機械学習は人工知能の一分野で、データの背景にある傾向や法則を探り、現象の解析や予測をすることを目標としている。
人間がルールを明示的に与えるのではなく、データから機械自身に法則を学習させるのが特徴だ。
ルールで記述しきれない複雑な現象や、季節や時間などで傾向が変わる現象の解析に強みを発揮する。
ニューラルネットは機械学習で扱われる計算アルゴリズムの1つである。脳を模倣したモデルで、入力層、隠れ層、出力層の3種類の層から成る。入力に対して単純な変換を何回も繰り返し、予測結果などを出力する構造をしている。
深い構造、すなわち隠れ層を何層も重ねる構造がニューラルネットの精度向上の鍵となることが分かっている。
これがディープラーニングという名前の由来でもある。この連載ではディープラーニングは機械学習の一分野を指し、ニューラルネットはそこで扱われるアルゴリズムを指す言葉として用いる。
困難とその克服の歴史
ニューラルネットが今日の精度を得るには50年以上を要し、その歴史の中で少なくとも2つの技術的困難に直面した。
「XOR問題」と呼ばれるものと、精度問題である。それらを時系列に沿って見てみよう。
脳を模倣した計算アルゴリズムの研究は1940年代頃から始まる。最初のブームを起こしたのは1958年に米国の心理学者フランク・ローゼンブラットが開発したパーセプトロンである。
パーセプトロンは入力層と出力層のみからなるシンプルな設計にも関わらず、学習や予測ができることから当時注目を集めた。
（以下略）
508:１３２人目の素数さん
15/05/23 07:13:50.24 x93RSwbE.net
>>455-456
>ハメル基が連呼されてる数学書なんて見たことない。
標数0の条件付きなら、ハメル基底Vと有理数体Qに関する超越基底Bは共通するところがあって、
代数的数でないハメル基底の元は超越数になる。Bの任意の元が実超越数という条件付きなら、包含関係は通常V⊃Bだな。
だが、ハメル基底を一般化すれば、V＝Bにしたり、場合によってはV⊂Bを満たすようにすることも出来る。
なので、原理的には、ハメル基底を超越基底に応用出来る。
理屈ではオイラーの定数γとかe^eは超越数(少なくと無理数)になる。
>>458
>>451-454もおっちゃんですよ。時々はしましょうや。
509:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 07:45:37.23 3TigoFfu.net
つづき
URLﾘﾝｸ(business.nikkeibp.co.jp)
大量のデータで復活した
状況が変わり始めたのは2000年代後半である。
この頃になると学習に十分な大量データと、それを処理できる計算機が比較的容易に入手できるようになった。
これらの要因に加えて、冬の時代にも着々と進められた技術的進歩が相まって、深いニューラルネットは既存手法を凌駕する精度を達成できるようになった。
ディープラーニングという言葉が使われ始めたのもこの頃からである。
今もディープラーニングで指導的な研究を行うカナダのトロント大学のジェフリー・ヒントン教授は、2006年の論文で層が深いニューラルネットを総称してディープネットワークと呼び、
現在は中国のバイドゥに所属するアンドリュー・ング氏は2007年の論文で「高次元データの階層的な表現の学習」にディープラーニングという言葉を用いている。
ディープラーニングの圧倒的な精度を示す2つの出来事が2012年に起こった。
1つは画像認識コンテスト「ILSVRC（ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge）」で、ヒントン教授らのグループがニューラルネットを用いたSupervisionという手法で、1年前の優勝記録の誤り率25.7%から15.3%へと4割も削減し圧勝した。
もう1つは米グーグルが構築したニューラルネットがYouTubeの動画を学習して、猫を自動的に認識したことである。
これらはディープラーニングの威力を強く印象づけ、現在も続くブームを引き起こした。
510:１３２人目の素数さん
15/05/23 07:48:24.92 x93RSwbE.net
>>455-456
いや、Q上代数的独立と線型独立は違うから、「V＝Bにしたり」することは出来んな。
だが、ハメル基底を一般化すると、ハメル基底Vを或る1つの実代数的数と実超越数全体からなる
集合の部分集合にすることはすぐ出来る。これはVが「Q上線型独立」を
「実代数的数からなる体K上線型独立」にいい換えただけの話。
511:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/23 07:50:33.15 3TigoFfu.net
つづき
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常識を覆すアプローチ法
精度の高さだけではなく、それを達成した方法も衝撃的だった。通常、機械学習で何らかの課題を解かせようとするとき、入力データにアルゴリズムを適用する前に「特徴抽出」と呼ばれる操作を施す。
特徴抽出とは動画像や文章などの膨大で非定型な入力データから予測に効くと思われる特徴を取り出す作業である。
精度を上げるには入力データの性質や課題の内容を反映した特徴抽出の方法が肝となる。
そのため、問題ごとに特徴抽出方法を人間が選択するのが常識であり、入力データや課題に応じた特徴抽出の手法やノウハウが開発されてきた。
ところが、ディープラーニングでは特徴抽出がアルゴリズムに組み込まれ、抽出すべき特徴の選択自体も機械に学習させる。
例えばヒントン教授らのSupervisionでは入力画像には最低限の前処理のみを行い、各ピクセルの画素値をそのままニューラルネットに与えていた。
実用化は既に始まっている
現在のところ、ディープラーニングの応用は特定の課題を精度よく解くことに向けられている。3つの方向性が顕著だ。
1つ目は自社が提供するサービスの精度を高めること。米アップルの音声認識システム「Siri」、グーグルやバイドゥの画像