15/05/06 09:32:20.99 iWZualfN.net
>>326
じゃあ、書こうか。>>16を踏襲した上での話でいいよな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。以後xは有理数変数ではないとする。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。