15/05/06 05:35:03.14 SXg2oFIb.net
>>322 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P17
”定理の理解を深めるには別証明を考えてみるのが有効である”
”別証明は定理が述べる数学的現象のメカニズムの別な見方を示すからである”
と
実数が非加算であることの小平流別証明をP18-20に書いている
それで、実数の加算部分が極めて小さい部分を占めているに過ぎないことが分かるという
自分なりに解説すると、P17からのカントール流の証明は背理法による。
背理法は、おうおう数学的現象のメカニズムが見えない場合がある
小平流別証明は、背理法を使わない証明を考えたので、これが見える形の証明になったのだろう
話をガロア理論に戻すと、ガロア理論は基本背理法ではないから、数学的現象のメカニズムが見える
351:１３２人目の素数さん
15/05/06 05:53:08.02 iWZualfN.net
>>297
>まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
これはそうだろうな。書いていて思うんだが、書きにくいし確認しにくいんだわ。
まあ、>>280が指摘してくれた部分だけ次の通り訂正するけどさ。
>＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
だと、「AのときA」のようにトートロジーになって同じことを書いただけになっているな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、
確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
これで問題ないでしょう。他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
352:１３２人目の素数さん
15/05/06 08:00:47.15 xuHONDUI.net
>>324
そこだけ訂正しても全体では間違い
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 08:46:27.01 SXg2oFIb.net
>>324 おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明お疲れです
>他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
いや、まあ、好きにして良いんだよ
「こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある」が、それは私のであって、貴方のではないだろう�
354:ｩら
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 08:46:57.44 SXg2oFIb.net
>>325
どうも。スレ主です。
レスが早いですね
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:06:06.94 SXg2oFIb.net
>>326 補足
まあ、証明だったら、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) とか
あるいは、だれかプロ用日本語サイトでも作れば良いだろう
「書きにくいし確認しにくい」とは、読む方も読みにくいってこと
だが、現在ここ以外にまともな掲示板ないから
おっちゃんの練習場として使って貰う分にはかまわんよ
かつてのKummerさんみたく、読みにくい証明で埋めつくすのはいかがかと思うが・・
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:09:29.69 SXg2oFIb.net
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
まず、証明のあらすじで１レス
その後、証明の流れで分けて複数レスに
１レスにつめると、ただでさえ読みにくい証明がよけいだろうと
証明を読むのが趣味な人は別として（＾＾
358:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:32:20.99 iWZualfN.net
>>326
じゃあ、書こうか。>>16を踏襲した上での話でいいよな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。以後xは有理数変数ではないとする。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
359:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:34:11.42 iWZualfN.net
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
xを実変数とする。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは
両方共に任意だから、Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、
実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。
点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
360:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:37:37.84 iWZualfN.net
>>326
(書き忘れたが>>331は>>330の続きで、以降は>>331の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
361:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:39:25.40 iWZualfN.net
>>326
(>>332の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
362:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:41:17.06 iWZualfN.net
>>326
(>>333の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:47:47.72 SXg2oFIb.net
>>328 つづき
おっちゃんのために
PAUL B. YALE，Pomona College >>258 より
P137
THEOREM 2. Any isomorphism between sub fields of C extends IQ, the identity map on Q.
THEOREM 3. The only isomorphisms between sub fields of C whose domains include R and which map R into R are IR, Ic, and complex conjugation.
Proof. Let Φ be such an isomorphism, i.e., assume R⊆domain Φ and x∈R
implies Φ(x) ∈R. We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y).
Now assume a∈R, but that a≠Φ(a). Choose a rational number, q, between a and Φ(a).
Since Φ(q) =q by Theorem 2, the order between a and q is reversed by Φ
and we have a contradiction. Hence a∈R implies Φ(a) =a, i.e., IR⊆Φ.
If Φ≠IR, then the domain of Φ is a sub field of C containing R as a proper subset.
In any such subfield we can find a complex number, a+bi, with b≠O as
well as all real numbers. But, since x+yi=x+y([(a+bi)-a]/b), this implies
that the subfield is C itself. Thus the domain of Φ is C. Consider Φ(i). Since
i^2=-1, [Φ(i)]^2=Φ(-1)=-1. The only roots of x^2=-1 are ±i; hence Φ(i)
= ±i. If Φ(i) =i, then Φ = Ic, and if Φ(i) = -i, then Φ is complex conjugation.
Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R.
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:53:02.08 SXg2oFIb.net
>>335 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
実数の二乗を使っている・・
これはこれで分かり易いかも
本題の次のIc, and complex conjugation へつなげて行くために、さらっと証明を済ませる・・
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:58:41.41 SXg2oFIb.net
>>336
実数の自己同型が、IRに限られることを示すだけなら、いろいろありそうだが・・（あるいは、それだけを別のTHEOREMにするか・・）
"Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R."
も強調しておこう
これが、RとCの決定的な差だと
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:38:42.97 SXg2oFIb.net
>>337 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。">>300
超越数：π and e の交換,π=3.14・・・、e=2.718・・・
上記証明より、π-e=ω^2 として、Φ(ω) not ∈Rで無ければならない。もっと言えば、Φ(ω)=±iωで無ければ整合しない・・
そういう意味でも、Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2を使う証明は、それなりにautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムを反映していて分かり易いのか
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:48:26.57 SXg2oFIb.net
>>338 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数かどうかが未解決の例
π+e,π-e [注 4]
[注 4]^ しかしながら、例えば e+π, e-π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことからわかる。
（引用おわり）
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
なお、 e+π, e-π の両方が代数的数だとすると、その和と差が代数的数で、e、πが超越数であることに反するのか
368:１３２人目の素数さん
15/05/06 10:57:56.75 xuHONDUI.net
>>330-334
間違ってる
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:58:08.94 SXg2oFIb.net
>>339 つづき
いまふと思ったが、超越数かどうかが未解決の例：π-e だとすると
π-e=ω^2として、ωがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと、
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, ・・・”
は、安易に言えないんじゃないのかね？ はて？
追記
まあ、仮にωが有理数としても（そんなことはないと思うが）、例示が悪いだけで論文全体の価値には影響しないが・・
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:13:41.14 SXg2oFIb.net
>>290 補足
"range"という用語について
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に素朴集合論における写像の値域（ちいき、英: range）は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。
現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。
「値域」("range") は異なる意味で用いられうるから、教科書や論文を読む際にいずれの意味であるかを確かめるのは初手の演習として手頃であろう。
古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある[1][2]。
より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる[3]。
紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある[4]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, and more specifically in naive set theory, the range of a function refers to either the codomain or the im
371:age of the function, depending upon usage. Modern usage almost always uses range to mean image. As the term "range" can have different meanings, it is considered a good practice to define it the first time it is used in a textbook or article. Older books, when they use the word "range", tend to use it to mean what is now called the codomain.[1][2] More modern books, if they use the word "range" at all, generally use it to mean what is now called the image.[3] To avoid any confusion, a number of modern books don't use the word "range" at all.[4]
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:17:45.25 SXg2oFIb.net
>>330-335
おっちゃんどうも。スレ主です
証明お疲れです
>>340
ID:xuHONDUI さま、証明チェックお疲れさまです
373:１３２人目の素数さん
15/05/06 11:18:27.68 rMFlGLwZ.net
スレ主さんガロア体についての話もして
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:20:16.61 SXg2oFIb.net
>>339 訂正
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
↓
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π は両方超越数と予想するだろうね
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:29:11.62 SXg2oFIb.net
>>344
ガロア体？ さあ、あまり詳しくない。というか、勉強した記憶がないけど
「3Dとガロア体」 などとあるから、数学的に良い性質を持っているんだろうね・・
「3Dとガロア体」で検索を掛けると下記。有限体のこと？ 標数が０で無い体だね。詳しくないね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。
主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。
応用
・ リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(2^2)、GF(2^4)、GF(2^8)、GF(2^16) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(2^8) を使う。
・ 楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2^400) などを使う。
376:１３２人目の素数さん
15/05/06 11:35:13.38 OmisUiBu.net
あー、有理数変数だってのを見逃してた。
>>280で指摘した点は問題ない。
代わりに>>267の
＞2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
ここで実変数でも有理数において連続としてしまっていることが問題。
377:１３２人目の素数さん
15/05/06 12:13:21.05 q/rFEr6e.net
＞PAUL B. YALE，Pomona College P139より
＞ZORN'S LEMMA. If F(ヒゲ) is a nonempty family of subsets of a given set B and F(ヒゲ) has
＞the chain property, then there is at least one set, M, in F(ヒゲ) such that A ∈ F(ヒゲ) and M⊆A
＞implies M = A .
＞ここは、ZORN'S LEMMAの表現がちょっと異なるね
Zornの補題の適用対象に合わせているだけだろ。
集合Bの部分集合の空でない族Fに入れる順序を集合間の包含関係としている。
Fの全ての鎖の上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。
378:１３２人目の素数さん
15/05/06 12:25:08.81 iWZualfN.net
>>340
>>343
>>347
じゃあ、証明の訂正は、今度もし出来たら書くことにする。
悪いが、今はチョット出来ない。指摘サンクス。
379:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 14:13:02.28 SXg2oFIb.net
>>348
どうも。スレ主です。
レスありがとう。Zornの補題は、よく出会うが、真剣に考え�
380:ｽことがない 「上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。」・・か・・ わからんかったが、検索でヒットしたものを貼っておきます http://math.stackexchange.com/questions/1266621/zorns-lemmas-chain-condition Zorn's Lemma's chain condition https://gowers.wordpress.com/2008/08/12/how-to-use-zorns-lemma/ How to use Zorn’s lemma This entry was posted on August 12, 2008 Terence Tao Says: August 13, 2008 at 3:31 am | Reply I like to think of Zorn’s lemma as a guarantee that greedy algorithms can go on as long as necessary, before being stopped by some sort of obstruction (either a chain without an upper bound, or a maximal element). So any finitary construction that is built via the greedy algorithm (e.g. selecting a basis for a finite-dimensional vector space greedily) has a decent chance of extending to the infinitary setting as well by a Zorn’s lemma argument. Which is of course essentially what you are saying above :-)
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 14:34:23.35 SXg2oFIb.net
>>329 訂正
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
↓
余談だが、以前１レスで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１レスだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 16:13:22.27 SXg2oFIb.net
>>341 自己レス
π-e=ω^2で、π-eが無理数→ωが無理数が言える・・
だから、「π-eがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと」ってことだね
π-e無理数の証明すでにどこかにあるのかね？
383:１３２人目の素数さん
15/05/06 18:16:03.12 q/rFEr6e.net
>>350
＞PAUL B. YALE，Pomona College P139より
に書かれてる chain property の定義を読まなきゃわからないのは当たり前だよ
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 22:23:49.01 SXg2oFIb.net
>>353
ども。読んだが、すぐに理解できなかった・・
いまでも、あまり理解できていない（＾＾
小平流写経>>309がいるかもね・・
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 23:45:07.19 SXg2oFIb.net
>>338
（この事例の写像のワイルドさについて、>>259の補足）
とりあえず、π-e=v として、（証明なしで）vは無理数とする。（もしvが無理数で無ければ、πとeでなく別の二つの適当な超越数を選ぶことができるだろう）
さて、繰り返しになるが、 interchange π and e だから、
-v＝e-π＝Φ(π) -Φ(e) ＝Φ(v)＝Φ(ω^2)＝ [Φ(ω)]^2
Φ(ω)＝±iω＝±i√v＝±√(e^(πi)*v)＝±(e^(πi)*v)^(1/2)
１）これをvのn乗根の場合に拡大すると、その一つの例は(e^(πi)*v)^(1/n)となる
これは、実数ではない
２）vのk乗を考えると、Φ(v^k)＝ [Φ(ω)]^k＝(-v)^k
0<π-e＜1だから、kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん小さくなり、ゼロに近づく・・
というようなワイルドさになる
（別の二つの実数の超越数α、βで、その差が無理数α-β＝v＞１であって、これをinterchangeした写像で、vのk乗を考えると、
kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん大きくなり、無限大に近づく・・）
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/07 06:38:35.95 iuXUQ2cp.net
>>355 補足
１）vのn乗根の場合、当然だがx^n=-vのn個の根が出る。そのどれを選んでも、良い。
実数v^(1/n)は、上記x^n=-vのn個の根の複素数のどれかに移り、もとの実数v^(1/n)の場所には、x^n=-vの複素数根が移ってくる
nが大きくなると、v^(1/n)は１に近づき、また移る先の場所（複素数）の選択肢は増える
２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換�
387:ﾍ、可能だ 但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない ３）ということで、やはりautomorphisms of Rは、automorphisms of Cとセットで理解することが良さそうだね
388:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:49:56.37 1uRQ/Opw.net
>>356
>>330-334の証明の訂正出来た。
環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。任意の点x∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
389:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:51:26.47 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>357の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
390:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:53:08.06 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>358の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
391:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:19:26.53 1uRQ/Opw.net
>>356
>>125、>>127の方が証明としては簡単だな。
本来f(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる関数f：R→Rは1点で連続ならf(x)＝x・f(1)となるんだが、
選択公理というかハメル基底の存在を認めるとf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式について
無限個の解fが存在し、かつf(x)＝x x∈Qは任意 なる条件のために、上の手法というか命題が使えなくなるのな。
ハメル基底の定義から、必ず或る有理数はハメル基底に属すんだが。
392:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:24:47.33 1uRQ/Opw.net
>>356
>>357の最初の文「環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。」は「環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。」と訂正。
393:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:33:08.26 McWfEUN+.net
>>357-358
間違ってる
394:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:41:22.29 1uRQ/Opw.net
>>356
>>362
じゃあ、今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。
>>358は問題ないから省略。
395:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:56:39.55 1uRQ/Opw.net
>>356
>>362
いや、>>363のようなことをすること自体ムリだから、>>125、>>127と同様に
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈[0,+∞)を任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sだから、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。
で終了。
396:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:30:54.62 1uRQ/Opw.net
>>356
>>363の方法で出来たので書く。今度はxを有理数変数とかせずに
最初から実変数としているから>>347のような問題はないとは思う。
尚、>>358以降は内容的に殆ど同じこと書くだけだから省略。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)が連続なることを示す。
矛盾に導くため、直線R上の如何なる点x∈Qにおいてもfが不連続であったとする。
点a_1∈Qを任意に取る。すると或るε_1＞0が存在して任意のδ_1＞0に対して
|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる。
点a_2∈Qを任意に取る。すると或るε_2＞ε_1が存在して任意のδ_1＞δ_2＞0なるδ_2に対して
|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる。
以下同様に帰納的に考えると、各k∈N＼{0}に対して、次の2つの条件
(1)、点a_k∈Qを任意に取ると或るε_k＞0が存在して任意のδ_k＞0に対して
|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる。
(2)、点a_{k+1}∈Qを任意に取ると或るε_{k+1}＞ε_kが存在して
任意のδ_k＞δ_{k+1}＞0なるδ_{k+2}に対して
|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる。
を両方共に満たすような3つの実数列{a_k}、{ε_k}、{δ_k}が存在する。
ここに、{ε_k}は上に有界な単調増加列であり、{δ_k}は下に有界な正の単調減少列である。
よって、或るN≧2なる自然数Nが存在して、n≧Nのとき
|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる。
{δ_k}は下に有界な正の単調減少列であり、その下限
397:Mに収束するから、 或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる。 ここで、n≧N'なる任意の自然数nに対してa_n、ε_n、δ_nは何れも定義されるから、 {δ_k}の下限Mは＝0である。従って、或る自然数nが存在して、|x－a_n|≦M＝0からx＝a_nであり、 故に、|f(x)－f(a_n)|＝0となる。しかし、これは|f(x)－f(a_n)|＞ε_n＞0なることに反し矛盾する。 故に、直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)は連続である。 ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
398:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:33:05.13 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>365の続き)
[第2段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aでf(x)が連続とする。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0について
Y→a-0のときf(Y)→f(a)であって、2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、
bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、
|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを
両方共に任意に取る。すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、
|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、
3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜b
が両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への
拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、
|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、
εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
399:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:35:13.24 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>366の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、
f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
400:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:57:20.44 1uRQ/Opw.net
>>356
>>365の第1段は次のようにウマく訂正して読んで。「点x∈Rが存在する」を書き忘れちゃったところがある。
>|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる「点x∈Rが存在する」。
>或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる「点x∈Rが存在する」。
401:１３２人目の素数さん
15/05/07 21:34:19.24 McWfEUN+.net
>>365-368
間違ってる
402:１３２人目の素数さん
15/05/08 07:15:23.98 uxOegTmt.net
>>356
まあ、やはり>>363のようなことをすること自体ムリだから、この件の証明は>>364で終了。
選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。
403:１３２人目の素数さん
15/05/08 18:12:25.11 hq5Aa7Ty.net
（´･∀･`）ﾍｰ
404:１３２人目の素数さん
15/05/08 19:15:15.27 uvDu7qfL.net
ハメル基底がよっぽど気に入ったみたいなので濃度論法のハメハメちゃんってあだ名で呼ぼうこのスレ主。
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:40:13.90 rm0w8Qw4.net
>>370
おっちゃん、お疲れです。スレ主です。
>今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363
これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね
例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある
しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、
また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと
結局、それは無理だと
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cauchy's functional equation
Proof of solution over rationals
f(q) = q f(1), q ∈ Q
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における病的な（びょうてきな、英語: pathological）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。
『病的な関数』の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが微分可能ではない、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが微分可能ではない関数となるため、そのような性質の『病的な関数』は少なくとも微分可能な関数と同じ数だけ多く存在することが分かる。
実際、ベールのカテゴリー定理により、連続な関数は一般的あるいは生来的には、至る所で微分不可能なものであるということが示される。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Computer science
In computer science, pathological has a slightly different sense with regard to the study of algorithms.
Here, an input (or set of inputs) is said to be pathological if it causes atypical behavior from the algorithm, such as a violation of its average case complexity, or even its correctness.
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:48:32.99 rm0w8Qw4.net
>>372
どうも。スレ主です。理解が足りないんじゃないかな？
単にハメル基底だとか濃度だとか、そりゃー近視眼。 例えば下記
URLﾘﾝｸ(junology.hatenablog.com)
f(x+y)=f(x)+f(y) の時、f は何か？ junologyのブログ 2013-07-13
（抜粋）
大学学部2年生の線形代数の演習で、次が出題された：
問： 写像 f:R→R が、任意の x,y∈R について f(x+y)=f(x)+f(y) であるとする。
この時、f はR?線形写像か？
f(x+y)=f(x)+f(y) は R を加法群、つまり Z?加群として見た時の準同型であることを意味している。
ここで、R が Z?加群として、divisible（日本語では「可除」か？）であるので、自然にQ?加群と思うと、f が Q?線形であることは直ちにわかる。
ところが、選択公理を知っている人がちょっと考えれば、これは R?線形にはならないことがすぐにわかる。
それは、R に Q?線形空間としての基底、いわゆる Hamel 基底を入れれば確認できる。
この条件 f(x+y)=f(x)+f(y) は、wikipedia によると「Cauchy の関数等式」と呼ばれているらしい
（Cauchy's functional equation - Wikipedia, the free encyclopedia）。
では、Cauchy の関数等式を満たす関数 f:R→R は、いつR?線形になるだろうか。
ε-δ式の議論とか、有理数が実数上稠密であることの位相的（あるいは解析的）意味を知っているならば、f に連続性を課せば良いことがすぐにわかる。
つまり、次が成立する：
命題1： f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が R?線形であるための必要十分条件は、f が連続であること。
ところで、我々は、不連続な写像 R→R を沢山知っている。
ならば、是非とも問の反例を具体的に構成してみたくなる。
だが、その望みを打ち砕く命題が、[1]*1の§6の問題になっていた。
命題2
f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が連続であるための必要十分条件は、f が Lebesgue 可測であること。
（以下略）
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:58:10.36 rm0w8Qw4.net
>>374 つづき
まあ、要は、 junologyのブログ 2013-07-13によれば、
キーワードは、線形代数、加法群、選択公理、線形空間の基底、Hamel基底、ε-δ、連続性、不連続な写像 R→R、Lebesgue可測 だと
学部数学の多くの部分と関係しているんじゃないのかね？
まあ、junologyのブログ 2013-07-13でも読んでみなさいよ
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 07:31:13.43 rm0w8Qw4.net
>>356 ここに戻る
”２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換は、可能だ
但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない”
で、
１．二つの実数α>βが超越数で、その差が超越数なら問題なく上記は言える
２．この超越数という制限は、どこまで緩和できるか？
３．二つの実数α>βが無理数で、その差が無理数なら上記は言えるか？ どうも言えそうな気がするが、証明は得ていない
４．上記で、正確には「二つの実数α>βが無理数で」としなければならなかった。これは当然で、お気付きと思うが、訂正しておく
409:１３２人目の素数さん
15/05/09 08:32:11.08 EW/Xkw4Y.net
環の極大イデアルの存在に選択公理が必要なことぐらいは常識なんだろうが
嵌めるキチガイのようにハメル基底連呼して濃度論ぐっだぐだ意味もなく証明に使う使えると勘違いし続けてる様は
可能性は低いがもしも将来訳が分かる様になれたら非常に黒歴史となるんだろうなぁ・・・。
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 09:19:09.56 rm0w8Qw4.net
>>374 補足
こういう対比もできるんじゃないかな？
１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、
411:「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。 （∵順序が保存される。あるいは、x-yの平方根が適切にR上に写像できないから） が、条件を緩めた「加群自己同型」では、不連続な写像でLebesgue 可測でないものが、選択公理を認めると存在しうる。>>374 ２）R←→C R(実数)では、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。が、条件をC（複素数）にすると、不連続な写像が、選択公理を認めると存在しうる。>>299 （これは、１）において条件を緩めると、選択公理から不連続な写像の存在を証明することができるのに似ている） この不連続な写像について、Lebesgue 可測か否かは、よくわからない。Lebesgue 可測をよく理解していないので http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6 解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 選択公理によって R^n の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。 ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 09:55:32.75 rm0w8Qw4.net
>>377 意味わからん
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 12:38:32.72 rm0w8Qw4.net
>>374 補足
下記のファイルが参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
GIULIO SCHIMPERNA
Dipartimento di Matematica,
Universita di Pavia
Via Ferrata 1, I-27100 Pavia (ITALY)
URLﾘﾝｸ(www.math.ualberta.ca)
Review VII Example: Applications of single variable calculus: Additive functions Xinwei Yu University of Alberta Canada 217-20130913
URLﾘﾝｸ(www.math.ualberta.ca)
University of Alberta Canada
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 13:12:31.54 rm0w8Qw4.net
>>346 補足
そういえば、有限体の応用で、実験計画法の直交表割り付けの話があったような・・
下記かな
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
最近の統計学における代数的諸問題について． 代数的組合せ論シンポジウム．2009年6月24日．(参考資料PDF)(発表PDF）
（抜粋）
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
代数的組合せ論参考資料(09/06/24) 計算代数統計再入門? Pistone-Wynn 流の実験計画 竹村彰通 2008 年4 月7 日(Ver.2)
各要因の水準が2 水準であるような多因子要因実験の一部実施法は，Wu and Hamada (2000) などの実験計画法の教科書で標準的に解説されている．
しかし，これまでPistone-Wynn 流の解説を何回か聞いていたにもかかわらず，自分には別名関係の扱いが実は多項式環のイデアルの操作そのものであることが理解できていなかった．
最近になって，Aoki and Takemura (2007) の改訂作業において，このことを明確に理解するに至った．
直交表の利用が我が国で始まったとするならば，その代数的側面をこれまで見過ごして来たのは残念なことである．
代数統計の観点から，実験計画法の数学への新たな貢献を目標とすべきである．
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
最近の統計学における代数的諸問題について 東大情報理工・数理情報竹村彰通 2009 年6 月24 日
（抜粋）
計算(応用) と理論が車の両輪として発展
{ 「計算できる代数」がさまざまな分野で応用される中で，統計の問題も扱われてきた．
グレブナー基底をキーワードとして具体的な問題に対して具体的な答を出してくれる代数学．
{ 統計で扱われている問題や概念が，代数の理論的
観点からも新たな視点を与える．
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 17:57:33.16 rm0w8Qw4.net
>>380
下記「(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。」というのがあった
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) neko_dora_nukoさん（最終更新日時:2014/5/23）投稿日：2013/6/16
Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。
f:R→R
f(x+y)=f(x)+f(y)....(1)
(1)をみたす関数f(x)はQ上で
f(x)=f(1)x....(2)
となる。さらに、f(x)が連続関数であれば、R上で(2)が成り立つ。
Zornの補題を使うと、(1)を満たす連続でない関数が存在することが分かる。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
このノートでは、(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。
（証明）
f(x)は(1)をみたす関数とする。ある開区間(a,b)上でf(x)が有界であると仮定する。
g(x)=f(x)-f(1)x
とおくと、g(x)は(1)をみたし、(2)より任意の有理数rにたいし、
g(r)=0....(3)
となる。さらに、g(x)は(a,b)上で有界である。任意のx∈Rにたいし、適当なr∈Qをとることによって、x+r∈(a,b)とすることができる。
(1), (3)より、g(x)=g(x+r)+g(-r)=g(x+r)となるので、g(x)はR上で有界であることが分かる。
あるc∈Rにたいし、g(c)≠0であったとする。g(x)は(1)をみたすので、任意の自然数nにたいし、
g(nc)=ng(c)
となり、g(x)が非有界であることが導かれ、矛盾がでてくる。従って、任意の実数xにたいし、
g(x)=0
となる。よって、f(x)は、R上で(2)が成り立つので、連続である。
したがって、f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。■
より一般的な事実を知りました。
f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 18:00:45.96 rm0w8Qw4.net
>>382 ついでに
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続線型写像
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。
空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。
非構成的な例
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが）。
通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。
さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。
ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn?f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。
即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。
この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。
この例は任意の無限次元ノルム空間上の
417:（終域が自明でない）不連続線型写像の存在についての一般定理に拡張することができる。
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 18:03:34.10 rm0w8Qw4.net
>>383 ついでに
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Discontinuous linear map
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation).
If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous.
A nonconstructive example
An algebraic basis for the real numbers as a vector space over the rationals is known as a Hamel basis (note that some authors use this term in a broader sense to mean an algebraic basis of any vector space).
Note that any two noncommensurable numbers, say 1 and π, are linearly independent.
One may find a Hamel basis containing them, and define a map f from R to R so that f(π) = 0, f acts as the identity on the rest of the Hamel basis, and extend to all of R by linearity.
Let {rn}n be any sequence of rationals which converges to π. Then limn f(rn) = π, but f(π) = 0.
By construction, f is linear over Q (not over R), but not continuous.
Note that f is also not measurable; an additive real function is linear if and only if it is measurable, so for every such function there is a Vitali set. The construction of f relies on the axiom of choice.
This example can be extended into a general theorem about the existence of discontinuous linear maps on any infinite-dimensional normed space (as long as the codomain is not trivial).
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 05:14:42.49 cg233oGG.net
>>382 補足
>f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。
>より一般的な事実を知りました。
>f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
"R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある
P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R}
is dense in R^2.
The proof can be found e.g. in [Her, Theorem 5.4].
Theorems 4 and 6 suggest that well-behaved solutions of (1) are linear and
that non-linear solutions have to be, in some sense, pathological.
[Her] Horst Herrlich. The Axiom of Choice. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Lecture Notes in Mathematics 1876."
f(x)が(1)の連続でない解のとき、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界、かつG={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である、という
f は Lebesgue 可測でないとも>>374
想像を絶するpathological振りですね>>373
では
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:23:43.06 cg233oGG.net
>>385
"R^2で稠密"（dense in R^2）の証明が、wikipediaにあった。以前見てたんだが、何をやっているか分からなかった・・
自分で証明を少し考えて、その後で見ると、「ああ、なるほど・・」だった
つまり、 f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数を使って、円”an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.”で
Cauchy's functional equationを満たす"the point (X, Y) is inside the circle."、X, Yは無理数で円内を具体的に構成できると。∴dense
（文字化けしているかも知れないので、直にwikipediaを見る方が分かりやすいかも）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
421:Properties of other solutions We prove below that any other solutions must be highly pathological functions. In particular, we show that any other solution must have the property that its graph y = f(x) is dense in R^2, i.e. that any disk in the plane (however small) contains a point from the graph. From this it is easy to prove the various conditions given in the introductory paragraph. Suppose without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R. Then put f(α) = α + δ, δ ≠ 0. We now show how to find a point in an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y. Put β = (y-x)/{δ} and choose a rational number b≠ 0 close to β with: | β - b | < r/{2 |δ|} Then choose a rational number a close to α with: | α - a | < r/{2|b|} Now put: X = x + b (α - a) Y = f(X) Then using the functional equation, we get: Y = f(x + b (α - a)) = x + b f(α) - b f(a) = y - δ β + b f(α) - b f(a) = y - δ β + b (α + δ) - b a = y + b (α - a) - δ (β - b) Because of our choices above, the point (X, Y) is inside the circle.
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:45:43.25 cg233oGG.net
>>386 補足
繰り返しになるが
小平いうところの”定理が述べる数学的現象のメカニズム”>>323を自分なりに解すれば
f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数があれば、任意の有理数の円centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y内に、Cauchy's functional equationを満たす無理数を構成できると
だから、"R^2で稠密"（dense in R^2）
分かり易いね・・、分かってしまえばだが（＾＾
（余談だが、δは一つじゃないんだよね。だから、δの個数分だけそういう点がある・・？ いやはや）
423:１３２人目の素数さん
15/05/10 16:47:54.16 y2IJwnSv.net
へヽ/'´ ￣￣ ` ﾍ へ い い こ と 思 い つ い た
／ 〉 〉r-ｰ-《-‐､i...》 ＼ お 前 俺 を パ ソ コ ン の 中 に
／ ／ソ| |,,＿ ＿,{|⌒＼ ＼ イ ン ス ト ー ル し ろ
／ ／ 日 "ﾟ'` {"ﾟ｀lﾘ | ＼
／ / ﾄ.i ,__''_ ! | ＼
／ / ／ l＼ ー .ｲ|､ | ＼
/.､- ￣ヽ ヽ/ヘ￣ヘ / ` ---､ | ＼
/ ∨:::::::〈Ｈ〉::::∨ ヽ| ＼
/ ヽ ./::::::::::| |:::::::| | i ＼
/ | ／::::::::::::| |:::::::ヽ | | ＼
＿| _＿＿_|ﾉ:::::::::::::::::::| |::::::::::::ヽ＿ ! ＼ ＼
.|／ ￣|::::::::::::::::::::| ,.---ｧ^!::::::::::::|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣l＼
＿_{］ |:::::::::::::::::::／￣´ |ヽ:::＝::ﾉ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_| ＼
｝ ヽ__,,-'|￣∥ -‐ ,r'ﾞ::::::::::l ＿ | ヽ 、
＿_fﾞ ￣￣|＿__| ∥＿, -':::::::::::::|＿＿＿＿＿ , - ￣ ＼＿ __| i
| .∥ |:::::::::::::| _ ／ ＼ ￣| |
＼＿＿＿＿＿＿.∥ l ::::::::::::l//ヽ_ ／ , / ヽi＿__.| |
￣￣￣ |::::::::::::::|￣ |:::::::::::// ／|| | !￣￣| |
＿＿＿＿＿__l::::::::::::::＼ ／ヽ:::::::ﾉﾉ／ || | |＿＿_|ヽ |
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:56:49.52 cg233oGG.net
>>386 補足
>without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R
ここで１点注意
原文にあるように、普通の（病的でない）関数の解では、 f(q) = f(1)q だ。が、簡単のためにf(1)＝１の場合を証明しているんだ （分かっていると思うが念のため）
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:57:32.09 cg233oGG.net
>>388 運営おつ
426:小保方さんを支持します。
15/05/10 18:48:56.07 jxOSA8+o.net
ひとこすり水会ここ↓
li ,li
|ﾞ~ 'i
| ｰ |「んんっ・・・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ すてきなおマンコ・・・もぅそんなのイイから早く入れて！」
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／､_l ,| |. ,| .i
i , 〈' 〈' 〈 ｀.i
li ,li
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| ｰ |「んんっ・・・おアナル・・いいきもち・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ ・もぅそんなのイイから早く入れて！」
|, _ .|
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., -i | | i⌒i
／､_l ,| |. ,| .i
i , 〈' 〈' 〈 ｀.i
li ,li
|ﾞ~ 'i
| ｰ |「んんっ・・阪京 ◆.bSuuE0jmcさん！ ・・どこでもええの・ あんたははげやから・・もぅそんなのイイから早く入れて！」
|, _ .|
,..-､|ー |,.-､
., -i | | i⌒i
427:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 23:35:48.81 cg233oGG.net
運営おつ。２ちゃんねるらしいね。日本のマスオーバーね（笑い）
428:１３２人目の素数さん
15/05/11 16:56:03.22 k6EfpSHp.net
現代数学の系譜11 ガロア理論を読むって本屋の数学コーナーで売ってる？
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/15 22:48:57.99 Vpc9/yGt.net
>>393
どうも。スレ主です。
現代数学の系譜11 は、いま書店にはないだろうね。が
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
アマゾンには在庫有りだと
彌永本でも読めるよ。これは大きな書店ならあるところも・・
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアの時代 ガロアの数学 第二部 数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本（ソフトカバー） ? 2012/6/5 彌永 昌吉 (著)
英文なら、EDWARDSはどうですかね。アマゾンだが
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics) (英語) ハードカバー ? 1997/12/1 Harold M. Edwards (著)
430:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 06:07:34.16 3tqJtzYJ.net
>>378 補足
”１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。”
ここ、自己同型を自己準同型に緩めると、また違う話ができるみたいだね
（下記Richard D. Mabry "Summary. If H is a Hamel basis for a field {F} over a proper subfield of {F}, then H cannot be closed under the taking of products.
"）
URLﾘﾝｸ(lsusmath.rickmabry.org)
URLﾘﾝｸ(lsusmath.rickmabry.org)
Richard D. Mabry, "No nontrivial Hamel basis is closed under multiplication", Aequationes Mathematicae, 71 (2006), no. 3, 294?299.
URLﾘﾝｸ(lsusmath.rickmabry.org)
Rick Mabry's Unofficial LSUS home page (LSUS: Louisiana State University Shreveport)
URLﾘﾝｸ(www.springer.com)
aequationes mathematicae is an international journal of pure and applied mathematics, which emphasizes functional equations, dynamical systems, iteration theory, combinatorics, and geometry.
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 06:14:54.54 3tqJtzYJ.net
>>395 補足
endomorphism
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における自己準同型（じこじゅんどうけい、英: endomorphism）とは、ある数学的対象からそれ自身への射（あるいは準同型）のことを言う。
例えば、あるベクトル空間 V の自己準同型は、線型写像 ?: V → V であり、ある群 G の自己準同型は、群準同型 ?: G → G である。
一般に、任意の圏に対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏（英語版）において、自己準同型はある集合 S からそれ自身への函数である。
任意の圏において、X の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び X の自己準同型である。X のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End(X)
432:と表記される（あるいは、圏 C を強調するために EndC(X) と表記される）。 直線 m への上への直交射影は平面上の線型作用素。これは自己準同型であるが自己同型ではない一例である。 http://ejje.weblio.jp/content/endo ハイパー英語辞書 endo-：…の内側, …の中 印欧語根en：中に、中への意。内側、内部、「…の間で」を表すこともある。
433:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 08:40:56.65 3tqJtzYJ.net
>>380 補足
>URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
>Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
Hamel basisが分からないので、これ読み返していた（いまでもまだ”もや”としているが）
P1より
Existence of Hamel basis
Definition 1.
Let V be a vector space over a field K.
We say that B is a Hamel basis in V if B is linearly independent and every vector v ∈ V can be obtained as a linear combination of vectors from B.
This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
∑cixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F.
It is also easy to see that for any vector space W and any map g : B → W
there exists exactly one linear map f : V → W such that f|B = g.
Theorem 1.
Let V be a vector space over K. Let A be a linearly independent subset of V .
Then there exist a Hamel basis B of V such that A ⊆ B. (Any linearly independent set is contained in a basis.)
Proof. Zorn's lemma.
Corollary 1.
Every vector space has a Hamel basis.
Proof. For V = {0} we have a basis B = φ.
If V ≠ {0}, we can take any non-zero element x ∈ V and use Theorem 1 for A = {x}.
In some cases we are able to write down a basis explicitly, for example infinitely-dimensional space or in the following example.
However, the claim that a Hamel basis exists for each vector space over any field already implies AC (see [HR, Form 1A]).
Example 1. Let c00 be the space of all real sequences which have only
finitely many non-zero terms.
Then {e(i); i ∈ N}, where the sequence e(i) is given by e(i)n = δin, is a Hamel basis of this space.
434:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 08:55:20.67 3tqJtzYJ.net
>>397 補足
" This is equivalent to the condition that every x ∈ V can be written in precisely one way as
∑cixi （i∈F）
where F is finite, ci ∈ K and xi ∈ B for each i ∈ F."
この表記はイタリア流？ （i∈F）where F is finite は、日本では見かけない
下記と対比してください。Fが１から始まる自然数の有限集合ってことかな？
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Hamel Basis
A basis for the real numbers R, considered as a vector space over the rationals Q, i.e., a set of real numbers {Uα} such that every real number β has a unique representation of the form
β=∑ ri*Uαi,(i=1～n)
where ri is rational and n depends on β.
The axiom of choice is equivalent to the statement: "Every vector space has a vector space basis," and this is the only justification for the existence of a Hamel basis.
435:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 09:07:57.62 3tqJtzYJ.net
>>398 補足
この Wolfram の説明が不完全なんだよね
a set of real numbers {Uα} が、Hamel Basisだってことがうたわれてないんだわ（苦笑）
だから、最初読んだときには、意味分からなかった
>>397 GIULIO SCHIMPERNAと対比すると良く分かる
で、>>397-398を総合すると、任意のベクトル空間には、ベクトル空間の基底が取れる by The axiom of choice or Zorn's lemma.
RをQ上のベクトル空間とみたときに、同じようにベクトル空間の基底が取れる。それが、Hamel Basis
ベクトル空間の基底の取り方には任意性があるから、Hamel Basisの取り方も一意ではない
が、一つHamel Basisを定めると、”every real number β has a unique representation of the form
β=∑ ri*Uαi,(i=1～n)
where ri is rational and n depends on β.”になると
まあとりあえず
436:、こんなところまでは分かった・・
437:１３２人目の素数さん
15/05/16 10:03:30.57 zRAlyrD1.net
>>393-394
近くの本屋で注文は出来るよ。Amazonでは入荷予定ありになっている。
それなら、出版社に在庫がある可能性が大で、本屋でも売っていると見るのが妥当だろう。
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:32:14.72 3tqJtzYJ.net
>>397>>380 訂正
"URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013"
これ、GIULIO SCHIMPERNAじゃないね・・・
ARTIN SLEZIAK氏（Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC）だろう
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
MARTIN SLEZIAK
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
Comenius University Bratislava SLOVAK REPUBLIC
下記PDF文中のP1左上の”pozn/tm/hamel.tex”と下記URLの最後が合うし、P1再下段の注URLは下の”Continuity and sequential continuity January 23, 2006”だし・・
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
Hamel basis and additive functions June 26, 2013
URLﾘﾝｸ(tthales.doa.fmph.uniba.sk)
Existence of Hamel basis
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
Continuity and sequential continuity January 23, 2006
この
P3”Cauchy equation
Theorem 6. There exists a non-continuous solution of (1).
Proof.
There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)
(thus a solution of (1) and (2)) which has not form f(x) = ax.
Therefore f is not continuous by Theorem 5.”だと
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:35:59.03 3tqJtzYJ.net
>>400
どうも。スレ主です。
レスありがとうございます
440:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:38:57.51 3tqJtzYJ.net
>>401 つづき
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)"
？ こんなの許されるのかね？ 急に言われてもわからんね・・
441:１３２人目の素数さん
15/05/16 10:43:33.62 zRAlyrD1.net
>>373
いや、実関数f:R→RがR上の或る1点aで通常のε-δによる任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜ε という意味での連続なら、fはf(x)＝x・f(1)と求まるのだが、
もしここで「xを有理数変数」、「a∈Q」として任意のε＞0に対して或るδ(ε)＞0が定まって
|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜ε という意味での連続にすると、fが一意にf(x)＝x・f(1)
と求まるかどうかは分からなくなる。いわゆるfのQへの制限が或る1点a∈Qで連続のときfが
一意にf(x)＝x・f(1)と求まるかどうかは分からなくなる。ハメル基底と超越基底の存在性の証明はよく似ていて
どっちもZornの公理を使うから、超越基底が存在する以上、ハメル基底は存在することになる。
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 10:59:32.08 3tqJtzYJ.net
突然ですが、備忘録で貼っておきます
URLﾘﾝｸ(shi.matmor.unam.mx)(2000)(T)(308s).pdf
Ash - Abstract algebra, 1st graduate year course (2000)(T)(308s).pdf
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 11:01:09.46 3tqJtzYJ.net
>>404
どうも。スレ主です。
おっちゃん、おひさしぶり
ところで、>>403分かりますか？
444:１３２人目の素数さん
15/05/16 11:01:43.95 zRAlyrD1.net
>>373
>>404の「Zornの公理」は「Zornの補題」だった。
445:１３２人目の素数さん
15/05/16 11:04:09.71 zRAlyrD1.net
>>406
>>403はどの文章？
446:１３２人目の素数さん
15/05/16 11:08:27.55 zRAlyrD1.net
>>406
まあ、いいや。>>403に挙げたのしらみつぶしに調べるから待っとれ。
447:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 11:18:36.78 3tqJtzYJ.net
>>234 補足
>このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
Edwards先生関連資料
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
Galois for 21st-Century Readers HM Edwards AMS 2012
URLﾘﾝｸ(www.galois.ihp.fr)
Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011
448:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 11:35:19.10 3tqJtzYJ.net
>>410 補足
「Galois's Version of Galois Theory Talk Presented at the Galois Bicentennial Insitut Henri Poincare 2011」より
”In conclusion, I would like to say how pleased and grateful I am to have been invited to participate in this homage to the genius of Evariste Galois on his bicentennial.
Without wanting in any way to disparage my own book on Galois theory, published in 1984, I will say that the part of my book that was its greatest contribution,
and to which I refer most often myself, is the English translation of Galois's Premier Memoire that is in Appendix 1.
As I have tried to explain in this talk, Galois's own exposition offers in many ways the most insightful one of what we call,
and future generations will certainly continue to call, Galois theory.”
449:１３２人目の素数さん
15/05/16 12:03:03.16 zRAlyrD1.net
>>403
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
でのf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式の解の話か。
V_R(Q)はハメル基底によって張られるQ上のベクトル空間としてのRを指すと。
実質的にはQ上のベクトル空間RをV_R(Q)で書いたのか。
Zornの補題(選択公理)を認め、ハメル基底の存在性を仮定すれば、存在性の定理でなくても
任意の点x∈Rで不連続な解f(x)は具体的に構成出来るよ。
で、例の話だが、ハメル基底に属する実数の取り方は選択公理に依存して、
単純に1と√2は有理数体Q上線型独立で{1,√2}がQ上のベクトル空間になるから
ハメル基底がこれを含むと仮定しても何ら問題ない。
450:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 12:43:42.37 3tqJtzYJ.net
>>410 補足
「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
In this paper, I have tried to explain the First Memoir to modern readers, going through it proposition by proposition.
The most important proposition, and the one I most emphasize, is Proposition 2, the one about which Galois wrote in the margin,
“There is something to be completed in this proof. I do not have the time”
(the sections “Proposition 2” and “Proposed Revision of Proposition 2” below).
My interpretation suggests how Galois might have stated and proved it given a little more time.
This revised Proposition 2, combined with Proposition 1 (which I also revise, but only to make the statement Galois surely intended),
contains the equivalent of what is now called the fundamental theorem of Galois theory.
I do not assume that the reader has ready access to the First Memoir and have tried to make the explanations stand on their own,
but serious readers would be foolish to be satisfied with my rewarmed version of Galois’s theory.
The original, however flawed and incomplete itmay be, is indisputably one of the most valuable and insightful documents in the history of mathematics.
451:１３２人目の素数さん
15/05/16 13:26:50.10 2Bychd9I.net
ガロア理論って勉強してると狐につままれたような気持ちになる
452:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 14:34:08.78 3tqJtzYJ.net
>>412
おっちゃん、どうも。スレ主です。いくつか分からないところがある
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
１．おそらくb=√2という意図なんだろう。で、 f(√2) = 1だと。また、f(1)= 1だから、√2と１の二つともに写像されるんだ？
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
３．f(b) = 1の１に意味があるのか？ これが２じゃまずいのか？
というようなことで、なんとなく釈然としないんだ
453:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 14:35:25.95 3tqJtzYJ.net
>>414
どうも。スレ主です。
それは、ある程度理解できているっていう証拠だろうね
454:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 14:36:49.71 3tqJtzYJ.net
>>415 訂正
２．containingだから、 {1, √2}.のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
↓
２．containingだから、 {1, √2}.以外の他のHamel basisについても、すべてf(b) = 1 ？ そんなのでいいのかね？
455:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 15:17:13.88 3tqJtzYJ.net
>>413 つづき
「Galois for 21st-Century Readers Harold M. Edwards」より
Again, Study the Masters
The introduction to my 1974 book Riemann’s Zeta Function was an exhortation to “Read the classics!”
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
Abel’s contrast of “masters” to “pupils” is an important addition to the message.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements?those written by the “masters”?not the ones written by later “pupils”,
who themselves learned the ideas from the masters and are trying to make presentations that are more accessible or that conform to newer styles.
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
In the course of the writing,I have been forcefully reminded of the extent to which Galois is the master and I the pupil.
Once again, I advise students to Study the masters!
Thanks to Peter Neumann’s meticulous reexamination of all of Galois’s works?not just of the First Memoir?many more students will now be able to do so.
456:１３２人目の素数さん
15/05/16 15:21:25.23 SzOJXhZc.net
分かってるかもしれんが、1 や √2 のそれぞれハメル基底なんじゃなくて、
B という集合が一つのハメル基底。
ちょっと表現が気になったので。
b は別に √2 だけのことではなく、B の全ての元のこと。
２．３．はあってる。B の全ての元が 1 にうつる写像を考えている。
1 が 2 になっても問題ない。f(x)=ax の形になってないことが示せるなら何でもいい。
まあでも、普通はできるだけシンプルな例を挙げるでしょ。
457:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 15:22:51.87 3tqJtzYJ.net
>>418 つづき
要約すると
A few years later I discovered Niels Henrik Abel’s remark that “It appears to me that if one wants to make progress in mathematics one should study the masters and not the pupils,” which then became my constant refrain.
“Read the classics” doesn’t just mean read good texts; it means read the texts that gave birth to the subjects or gave them their most vivid statements - those written by the “masters”- not the ones written by later “pupils”,
I have tried to show here that the ideas expressed by what is now called the fundamental theorem of Galois theory are all contained, in a very effective but terse form, in the first few pages of Galois’s First Memoir.
ということ
「このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ」>>234
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 15:31:57.08 3tqJtzYJ.net
>>418
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ありがとう
やはり、ハメル基底については、おっちゃんの方がよく分かっているみたいだね・・
まだもやっとしているところ下記
１．√2は、無理数というところに力点がある気がするんだが・・（無理数の例をつくった） Y/N
２．”There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.”なので、Bは VR(Q) の部分集合だよね。で、全射だが単射ではなくなっている？
３．Bは VR(Q) の部分集合として、制限はないのか？ B＝ VR(Q) としたらどうなる？
459:１３２人目の素数さん
15/05/16 15:45:37.23 SzOJXhZc.net
>>419のことを言ってるならおっちゃんじゃないぞ。
１．Y
そもそも Q 上線形独立でないとその先につながらない。
Q 上線形独立だからそれを含むハメル基底が取れる。(その文献の Theorem 3)
２．３．
B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
基底の定義を知らんのか。
460:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 17:55:50.63 3tqJtzYJ.net
>>422
ID:SzOJXhZcさん、どうも。スレ主です。
おっちゃんじゃないか・・。とすると、添削担当のメンターさんか・・
コメントありがとう
>B はハメル基底。B=VR(Q) なんかにはできない。
>基底の定義を知らんのか。
あまり分かっていないので・・、失礼しました
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.>>403
で、
１．Hamel basis Bで構成されるQ上のベクトル空間全体をVBQとすると、VBQ=VR(Q) とできる？（できるよね）
２．もし、１がYとすると、∀b∈Bでf(b) = 1とできる？
３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 17:58:38.95 3tqJtzYJ.net
>>423 訂正
３．もし、２がYとすると、f(VBQ)の像は、１の線形結合になるから、Qになる？
↓
３．もし、２がYとすると、VBQの像f(VBQ)は、１の線形結合になるから、Qになる？
が正確な記述かな・・
462:１３２人目の素数さん
15/05/16 18:33:27.15 SzOJXhZc.net
１．「Hamel basis Bで生成されるQ上のベクトル空間をVBQとする」ということなら yes
「基底(basis)」と言った時点で全体を生成していなければならない。
（「ベクトル空間全体」というと、ベクトル空間がいくつかあって、それの全体を指してるように見える）
２．これも yes
一般に、V,W を体 K 上のベクトル空間とすると、V から W への K 線形写像は基底の行き先で決まる。
厳密にいえば、 {e_λ} を V の基底とすると、
各 λ に対し w_λ∈W を任意に定めたとき、f(e_λ)=w_λ となるような K 線形写像 f:V→W が一意に存在する。
３．yes
別に全射である必要はないので問題ない。
ちなみに全射である例も作れる。
記述は指摘しようと思ってた。
＞添削担当のメンターさんか・・
no
463:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/16 20:49:23.42 3tqJtzYJ.net
>>425
どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いですねー
おっちゃんでも、メンターさんでもないか・・
レスありがとうございます！
だんだんクリアーになってきた・・
で、まだもやってとしているところ
"There exists a Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}.
By putting f(b) = 1 for any b ∈ B we obtain a linear map in VR(Q)">>403
は、なんとか分かったが、これと
>>382 "f(x+y)=f(x)+f(y)....(1) (1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけない"
"f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。"(>>385-386にも記載あり)
つまり、任意の開区間(a,b)で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密が上の写像で成り立つのか？
そこがもやっと・・
464:１３２人目の素数さん
15/05/16 23:30:57.42 SzOJXhZc.net
>>426
そこで引っかかってたのか。
俺もこの手の写像を詳しく扱ったことはないからよく分からんけど、
まあ成り立つんでしょうねぇ。
経験上、ハメル基底を使って作った写像なんてろくなもんじゃないと思う。
x=a+b√2 (a,b は整数) のところだけでも平面上にプロットしてみたら？
465:１３２人目の素数さん
15/05/17 05:36:32.79 UIlazYs+.net
>>415
ちょっくら留守にしていた間に他の人が答えてくれたようだ。
ついでに>>412の
>単純に1と√2は有理数体Q上線型独立で{1,√2}がQ上のベクトル空間になる
の「{1,√2}がQ上のベクトル空間になる」の部分は「基底{1,√2}がQ上のベクトル空間を張る」と訂正。
>>426
＞>>382 "f(x+y)=f(x)+f(y)....(1) (1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけない"
＞"f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。"(>>385-386にも記載あり)
＞
＞つまり、任意の開区間(a,b)で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密が上の写像で成り立つのか？
＞そこがもやっと・・
まあ、私もよく分からんが、「任意の開区間(a,b)で非有界」なのだから直観的には成り立つだろうね。
開区間(a,b)を任意に狭めても非有界な訳でしょ。ということは、点a∈R^2、ε＞ε'＞0を任意に取って
平面R^2上でaの近傍U(a;ε)、U(a;ε')を取ったらU(a;ε')⊂U(a;ε)だから、f(x＋y)＝f(x)＋f(y)の解f(x)のグラフGを考えたら
aとは異なるような或るGの点bについてb∈U(a;ε')になる。そうでなかったらグラフG上の点b＝(b',f(b'))
のx座標への射影である実数b'が属するような或る開区間においてf(x)が定義されなくなって矛盾が生じる。
466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 07:20:43.71 joHrS35r.net
>>427-428
どうも。スレ主です。
ID:SzOJXhZcさん、おっちゃん、レスありがとう
お陰ですっきりしました！
>x=a+b√2 (a,b は整数) のところだけでも平面上にプロットしてみたら？
なるほど！ √2にどんな意味が？と思ったが・・、そういうことを考えろ！とヒントになっているんだ・・
Hamel basis B of VR(Q) containing the independent set {1, √2}で
(a,b は整数)：f(a+b√2)=a+b. y=a'+b'√2として、f(x+y)=a+b+a'+b'=f(x)+f(y)
が成り立つ。 (a,b は有理数)でも同様
「任意の開区間(a",b")で非有界、及び、グラフの平面(x,f(x))で稠密」について考えてみる
１．ここで、”By putting f(b) = 1 for any b ∈ B” の中から、非常に大きな数b1を取って
x=a+b*b1 (a,b は有理数,b1∈B)を考える
a+b*b1が、開区間(a",b")に入るように、a,b は有理数を調整できる
（蛇足だが、bはいくらでも小さく取れるから）
f(a+b*b1)=a+bとなる
２．上記で、b1はけっこういろいろ取れるんだ。きっと。∵Hamel basisは、連続無限個存在するというので
だから、a+bもいろんな値にできるんだ
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=0.1として、b1≒1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=0.01として、b1≒10とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=0.001として、b1≒100とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
・
・
４．上記の思考実験で、非有界はまず間違いないでしょう
グラフの平面(x,f(x))で稠密もおそらく・・（詳しく検証していないが）
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個するとして（この前提はおそらく正しいのでしょう）
467:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 07:49:43.95 joHrS35r.net
>>420 つづき
mastersを超えるpupilsは出てくるんだ、いつの時代にも
そこは例外だね。pupilsからmastersに成る人
ところで、下記がヒットしたので貼っておく
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Galois theory timeline edited Jun 5 '10
A recent question on the history of Galois theory wasn't the most satisfactory.
But the historical issues do seem quite attractive. They relate to innovation, and to exposition.
There is a perspective (which based on past teaching I don't entirely share) that the periods worth considering are pre-Artin, classic Artin treatment, and post-Artin.
To make the point explicitly, that is to do with the influence of Artin's Galois Theory Notre Dame notes, copyright dates 1940 and 1942.
My issues with this periodisation are primarily to do with a wish to have a proper view of innovation, starting with Galois
(admitting pre-history evident in Gauss and Abel, solution of the quartic, group theory and other contributions in Lagrange).
There is something like this:
抜粋
*Galois
*Liouville writes up the theory
*Riemann surface theory in general, and isogenies of elliptic curves in particular, develop in parallel
*Algebraic number theory uses abelian extensions and Kummer theory extensively
*Steinitz, abstract theory of fields, idea of separable extensions clarified
*New expositions from Emmy Noether and Artin in the 1920s (are these documented, though?), against the background of completing proofs of class field theory, and Artin L-functions
*1930s: Galois theory for infinite extensions is enunciated
This takes us just about to 1940. I think it is a trap to assume Artin in 1940 was lecturing on Galois theory in the precise terms he would have used in the 1920s.
I'd be grateful for help making this tentative timeline more solid. Further interesting things did happen after 1942, but that seems enough for one question.
以下略
468:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 08
469::03:02.46 ID:joHrS35r.net
470:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 08:18:28.64 joHrS35r.net
>>431 つづき
ついでに (JS Milneは、例の人でしょうかね？ 余談だが、冒頭の番号体系がよくわからない・・)
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
What was Galois theory like before Emil Artin? edited May 31 '10
7
I read that the primitive element theorem for fields was fundamental in expositions of Galois theory before Emil Artin reformulated the subject.
What are the differences between pre and post-Artin Galois theory?
抜粋
9
Actually, it wasn't all that different, except that you first proved the primitive element theorem, and then proved things by choosing a primitive element.
Artin disliked having to make a choice, and his main contribution was show that you can do Galois theory without choosing a primitive element.
It's not obvious to me that this makes things easier or better. You can find the old approach in A.A. Albert's book on algebra. ? JS Milne May 31 '10 at 11:57
2
Charles, the independence of multiplicative characters is usually credited to Dedekind. Galois theory is about separable extensions. ? JS Milne May 31 '10 at 13:11
471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:08:19.24 joHrS35r.net
>>429 訂正
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個するとして
↓
前提としては、Hamel basisが、数直線上に稠密に連続無限個存在するとして
472:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:23:15.91 joHrS35r.net
>>432 補足
余談だが、日本語の情報だけじゃだめだね
それと、早くMathOverflowなどを使った方がいいだろう
2CHとはレベルが違う（2CHは、それなりのよさもあるのだろうが・・）
あと、直感的理解は大事にしたいんだよね
それが>>429なんだ
「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな>>124
直観を排して論理を一歩ずつ積み重ねれば分かるという人がいるが、半分正解で半分外れだ
小平 邦彦 「数学に王道なし」P16>>322を紹介したが
（再録）
分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
（引用おわり）
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:35:46.03 joHrS35r.net
>>434 つづき
私事だが、４月に新人が職場に配属になった
「習うより慣れろだ」と言ってやった
「英米に連れて行った子供が、あっという間に現地の子供と遊ぶうちに、英文法を知らずとも英語を話すようになるのと同じだ」と
学校英語：中１の簡単な英文がステップバイステップで、高校では英文法も、大学でも１年、計１０年近くやって話せない・・
ステップバイステップは、一見理にかなっている。が、計１０年近くやって話せない・・（それを職場でやっていると、すぐ首だろう・・）
”あっという間に現地の子供と遊ぶうちに、英文法を知らずとも英語を話すようになる”（習うより慣れろ）
も理にかなっているんだろう
小平流 分かるが証明をしらない：複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた
小平流 実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用：代数曲面の特異点解消定理
まあ、そんなのはプロでは常識なんでしょうが、
学生時代は、論理の一歩一歩の積み上げ（足腰強化）と、直感的包括的理解（遊ぶうちに細かい文法は知らないが話せるも含め）との両立。これをめざすべきでしょう
小平の原本は、新・数学の学び方 単行本 2015/1/29 小平 邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)>>308だ
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:38:49.43 joHrS35r.net
>>435 訂正
学校英語：中１の簡単な英文がステップバイステップで、
↓
学校英語：中１の簡単な英文からステップバイステップで、
475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/17 09:49:52.34 joHrS35r.net
>>429 訂正
３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=0.1として、b1≒1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=0.01として、b1≒10とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=0.001として、b1≒100とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
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３．で、抽象的に考えていると纏まらないので、開区間(0,1)として、a=0.5としてみる
b=1として、b1≒0.1とできるとすると、a+b*b1≒0.6でa+b＝1.5
b=10として、b1≒0.01とできるとすると、a+b*b1≒0.51でa+b＝10.5
b=100として、b1≒0.001とできるとすると、a+b*b1≒0.501でa+b＝100.5
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(注：すんません。bとb1の関係を逆に考えていた。言い訳だが、アスキー制限なので、bとb1とか紛らわしいが、適当にやっていて自分で落とし穴に入っていた・・。ああ、それと最初b1を大きくしたらと考えていてそれが残
476:っていた・・、b1を小さく取って行くんだ・・)