15/05/02 03:29:16.24 Pww9JTYC.net
>>266
＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ここが問題かな。
ちなみに f(1)=1 は(単位的)環の準同型の定義に含まれている。
301:１３２人目の素数さん
15/05/02 12:38:47.81 G/fDOEPQ.net
>>272
線形代数くらい知ってるとして、アルティンのガロア理論なら、全部で82ページ(英語)。
1章の線形が20ページ、メインの2章だけなら50ページ。
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のない
誰かさんより、アルティンがんばって連休中に読めば、よほど理解が進むよ。
ガロア理論じたいは、それだけならそんなに難しくはない。今ならちくま文庫版
あるしね。
アルティンの本は理論の概略しか書いてないので、本当は群環体を普通に
勉強したほうがいいけどね。
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 17:41:57.95 jADohwWI.net
>>281
どうも。スレ主です。
ID:G/fDOEPQさんに全面同意だね
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のないが、スレ主を意味することも含めてね
アルティンより、Ｃｏｘ
303:をお薦めするよ 本格的な勉強（院を目指す）を考えるなら 和と英（原書）との併読を http://www.amazon.co.jp/Galois-Theory-Pure-Applied-Mathematics/dp/1118072057 Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts) (英語) ハードカバー ? 2012/3/27 David A. Cox (著)
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 19:47:04.31 jADohwWI.net
>>282 補足
そういえば、私スレ主が、おっちゃんの主題のおかけで少しレベルアップしたんだ
それが、>>33だ
まず前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:517番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう
305:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 19:52:19.22 jADohwWI.net
>>283 つづき
どうかこの問題にコメントして、ID:G/fDOEPQさまのレベルの高さを示してくださいまし・・（笑い） ＨａＨａＨａ！
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:19:14.57 jADohwWI.net
>>283 訂正
おっちゃんの主題のおかけで
↓
おっちゃんの出題のおかけで
（本題）
そういえば、>>258 URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
が面白かった。
連休道中ずっと読んでいた・・
" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although 1 do not know where the proof may be found.
References
1. R. Baer，Li nearAlgebra and Projective Geometry，Ac ademic Press，Ne w York，19 52，p. 63.
*)ALFo:アレフ・ゼロ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) （アレフが文字化けするので書き換えた） "
307:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:33:02.82 jADohwWI.net
>>285 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で
超越次数については、>>111-112にあって、「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。」（日、英）、”of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).”（独）が参考になるだろう
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:37:24.65 jADohwWI.net
>>286 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で、1966年当時 PAUL B. YALE，Pomona Collegeは、
”I have heard this from other sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.” だった
いま、2015年。いまでも証明不明だろうか？
309:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:45:28.05 jADohwWI.net
>>278 つづき
関連で、私スレ主も>>283に示したように、おっちゃんの出題をひねって、”連続濃度の”べきの濃度”"とした
”連続濃度の”べきの濃度”"は、普通の数学本では扱われることが少ない
だから結構難問になるのかも・・・
>>283も、”I mention an additional bit of mathematical folklore.”と言ってみたい気もする今日この頃
310:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 22:12:58.60 jADohwWI.net
PAUL B. YALE，Pomona Collegeさま、もしお元気なら、次もmathematical folkloreに追加願います （＾＾
”Let G is a multiplicative group formed by some complex number without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
311:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 23:19:30.74 jADohwWI.net
>>285 つづき
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
P138 "A special case of Theorem 5A comprises part of the proof of Theorem 3.
In that proof we showed that the only extensions of IR to R(i) =C send i to ±i.
If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."
に対して
" 6. Concluding remarks の
2. It is not true that any isomorphism between subfields of C can be extended to an automorphism of C.
In particular there are isomorphisms with domain C whose range is properly contained in C.
For example, choose αI,α2,α3,... , a countable set of complex numbers that are algebraically independent over Q.
There is an isomorphism, φ, of Q(α1, α2, ... ) into itself such that φ(αi) =αi+1.
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)."
が解答だろう
312:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 23:27:42.18 jADohwWI.net
>>290 つづき
6. Concluding remarks の2. は、証明を書いているが、これは例外的な記述法
普通は、6. Concluding remarks では証明は書かない、証明を書くならその前だ
”If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."が分かり難い
「αがF上の超越拡大であり、そして、F'上に複素数の超越数が存在しなければ」の否定（unless）?
これと、 6. Concluding remarks の2.の証明との繋がりが、いまいち理解できなかった・・
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 05:55:08.95 8svvg2D/.net
>>290 訂正
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ・・
↓
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ・・
（注：⊂→⊆ まあ分かるだろうけど（∵⊂に等号成立を含む場合も多いから）正確なコピペはこれ）
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:18:32.89 8svvg2D/.net
>>292 つづき
もう一つ訂正があった
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
↓
Applying Zorn's lemma to F（ヒゲ）= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
（注：F（ヒゲ）は、ヒゲ文字。これのフォントが無いんだよね。まあ、原文PDFを読んでもらえば良いのだが・・）
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:24:45.61 8svvg2D/.net
>>293 つづき
ヒゲ文字参考
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
（抜粋）
ドイツ文字
中世ヨーロッパ的な雰囲気の漂う書体です．別名ヒゲ文字とも呼ばれています．
現在はドイツ語を著す書体としては装飾目的以外にはあまり使われてないようです．
ただし，高度な数学の数式中の文字としてはよく使用されています．
ドイツ文字の典型的な注意点ではありますが…
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
フラクトゥール（独：De-Fraktur.ogg Fraktur[ヘルプ/ファイル]、フラクトゥーア）は、ドイツ文字、亀の子文字、亀甲文字、ひげ文字などとも呼ばれる書体である。ドイツでは、第二次世界大戦頃までこの書体を印刷に常用していた。
フラクトゥールは、中世のヨーロッパで広く使われた、写本や
316:カリグラフィーの書体を基にした活字体・ブラックレターの一種であり、最も有名なものである。 時には、ブラックレターを全部指して「フラクトゥール」と呼ぶこともある。 フラクトゥールの語源は、古いラテン語の分詞、frangere（壊す）、fractus（壊れた）であり、他のブラックレターや現在よく使われるローマ字体であるアンティカ体に比べて線が崩れているところに特徴がある。
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:35:37.37 8svvg2D/.net
>>284 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
ブラックレター（Blackletter）はアルファベットの書体の一つ。
西ヨーロッパで12世紀から15世紀にかけて使われていたが、ドイツにおいてはフラクトゥール（ドイツ文字）と呼ばれるものが20世紀まで用いられていた。
このため、ブラックレター全体を指してフラクトゥールと呼ぶこともある。
また、日本語においてゴシック体と呼ばれる書体はアルファベットの書体としてはサンセリフであり、英語においてゴシック体（Gothic Script）と言うと通常はブラックレターを指すので注意を要する。
ゴシックという呼称
ルネサンス期のヒューマニスト達はローマ帝国から使われていたローマン書体を敬愛しており、ブラックレターを洗練されていないものとして嫌っていたため、蔑称として「ゴシック」という呼称が15世紀イタリアにおいて使われ始めた。
「ゴシック」という語は、ローマ帝国に侵入しその滅亡の一因となったゴート族に由来しており、この場合は「洗練されていない」「野蛮」といった意味で用いられている。
なお、ブラックレターだけが「ゴシック」と呼ばれた訳ではなく、
前述のカロリング小文字体やアンティーク文字、ヒューマニストが古代ローマで用いられていたと考え古代文字と呼んだ書体（実際はカール大帝の時代に作られたもの）なども
洗練されていない粗野な書体として「ゴシック」というレッテルを貼られていた。
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:47:26.48 8svvg2D/.net
>>295 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
質問者：strinasacchi 質問日時：2009/07/09 13:38
ドイツ語の旧字体(ひげ文字)のフォントを提供しているサイトを教えて下さい.
No.2ベストアンサー
回答者：elttac 回答日時：2009/07/09
参考 URL のサイトの，「Gothic」→「Medieval」のカテゴリをご覧ください。ここから，ご所望のひげ文字（フラクトゥール）をはじめとして，ブラックレター体のフォントが数多く無料で入手できます。
気に入ったものをお探しになって，ご利用になるとよいでしょう。
参考URL：URLﾘﾝｸ(www.dafont.com)
No.1ベストアンサー
回答者：trgovec 回答日時：2009/07/09
URLﾘﾝｸ(www.morscher.com)
その他 fraktur font で検索すれば見つかります。A が U のような形をしているのが見分けるポイントです。
319:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:56:46.95 8svvg2D/.net
>>296 つづき
さすがに、最近ドイツヒゲ文字は見ないが、少し古い数学本ではよく使われていた
PAUL B. YALE，Pomona College氏も、1966年だから、ドイツヒゲ文字使ったんだろう
が、２ちゃんねるには合わない
まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
そういう意味では、>>277-278のおっちゃんの努力を見ると「えらいなー」と思う反面、「ちょっとキャラが違う・・」という気がする
大体、私は自分で証明を考える前に、どこかに落ちてないか探すけどね、易しいのは別として
で、証明見て分からんときに考えるか、納得できないときに別証明を考える
この板では、出題の場合以外は、オリジナルの証明を書くことはまずない。どこかの証明のURLとそのコピペが基本だ
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 07:09:22.63 8svvg2D/.net
>>291-292 ここに戻る
書いていて分かった・・
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)
か。えらいことを考えているねー
普通、体の同型は一対一なんだ、特に有限の場合は
しかし、有限でない場合は、上記のように逆射が”α1 is not in the range ”に出来るというわけか
”へー”ですね
で、” α1 transcendental over range θ ”の場合は、”which cannot be extended to F(α1) ”だと
それで、”unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."とつながる
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 07:21:07.07 8svvg2D/.net
>>298 つづき
isomorphismはこの通りだが、Extending automorphisms to C （P140）では事情が違う
unless の例外は存在しない
だから
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
なのだ
それで、”6. Concluding remarks.の
1. Although it is doubtful that anyone will give a complete recipe for an
automorphism of C aside from Ic or complex conjugation, we see from the
Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C.
Thus, for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.”だと
322:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 12:45:21.35 8svvg2D/.net
>>299 つづき
ちょっと訳すと
for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。
当然、Qは固定で、Rは>>259のTHEOREM 4. にあるように、
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.”で
wild automorphisms になるのだが・・
超越数：π and e の交換
複素数：3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し
の二つの要素が必須なのかね？
”unless α is transcendental over F and there are no complex numbers transcendental over F'.”で
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.”THEOREM 4.>>259 ( b∈R such that φ(b) not∈R )
だから、”b∈R such that φ(b) not∈R”は必須で、”複素数：3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し”がこれに相当する・・
だが、超越数：π and e の交換は必須ではない・・
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 15:13:59.23 8svvg2D/.net
>>288 訂正
some complex number→some complex numbersだな
よって正しくは
”Let G is a multiplicative group formed by some complex numbers without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
324:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 15:28:57.84 8svvg2D/.net
>>300 つづき
Qの拡大、Q(i3^(1/4), π, e)を考えると
π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する自己同型σ考えることは容易だ
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C. >>299
により、これを extended to an automorphism of C とすると、>>300の例になるんだ・・
325:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 16:00:51.22 8svvg2D/.net
>>302 つづき
P140より
THEOREM 7. A ny automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
Proof. Let φ be an automorphism of a subfield of C, and let F(ヒゲ) = {θl θ is an
automorphism extending φ to some subfield of C}. The proof that F(ヒゲ) satisfies
the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of
Theorem 6, the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
of domain σ⊆F^α. We leave this to the reader. Applying Zorn's lemma let
ψ be a maximal member of F(ヒゲ). We must show domain ψ = C. If not, then there
is a complex number, α, not in domain ψ=F. If α is algebraic over F then, by
Theorem 6, we could extend ψ to an automorphism of F^α contradicting the
maximality of ψ in F(ヒゲ). If a is transcendental over F, then by Theorem 5B we
could extend ψ to an automorphism of F(a), sending α to α for example, since
α is also transcendental over range ψ = F. This again contradicts the maximality
of ψ, so there can be no complex numbers outside of domain ψ and the proof is complete.
引用おわり
”the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
of domain σ⊆F^α. We leave this to the reader. ”と言われてしまった・・
Zorn's lemma は、使い易いのかね？ よく出てくる・・
追伸
余談だが、F(ヒゲ)では高等数学の雰囲気が壊れるが、ヒゲ文字をこの貧弱な板で簡単に出す方法を知らないのでご勘
326:弁を
327:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 16:37:54.73 8svvg2D/.net
>>303 つづき
>The proof that F(ヒゲ) satisfies the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of Theorem 6
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Zorn's lemma, also known as the Kuratowski?Zorn lemma, is a proposition of set theory that states:
Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.
It is named after the mathematicians Max Zorn and Kazimierz Kuratowski.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。
PAUL B. YALE，Pomona College P139より
ZORN'S LEMMA. If F(ヒゲ) is a nonempty family of subsets of a given set B and F(ヒゲ) has
the chain property, then there is at least one set, M, in F(ヒゲ) such that A ∈ F(ヒゲ) and M⊆A
implies M = A .
ここは、ZORN'S LEMMAの表現がちょっと異なるね
the three hypotheses of Zorn's lemma (THEOREM 6 Proofより)
がいまいちはっきりしない。一つは、nonempty。あと、the chain property（ordered pairs）で二つ。
三つ目は、family of subsets of a given set B かね？
328:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 16:48:58.13 8svvg2D/.net
>>299 ここに戻る
"Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C."
finitelyに限定された証明なので、" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.">>285
なんだね
finitelyの限定を外すのが、けっこう大変なんだろうね
329:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 17:28:19.97 8svvg2D/.net
>>282 ここに戻る
アルティン本を礼賛する時代は終わったと思う
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
１．分かり易さは、個人で違う。アルティン本が合う人がいることは否定しない
２．が、個人的にはアルティン本の記述は圧縮されすぎている気がする
３．アルティン本の前書きで、「ノートルダム大学の夏期学校の講義ノート」だとある
４．講義のテキストに適する本と独習本に適する本とは違うと思う
５．その点、Ｃｏｘの方が深く広くガロア理論を学べるだろう
（Ｃｏｘ本の良いところは、歴史的ノートが詳しいところだ）
６．アルティン本を副読本として読むのは良いと思うよ
７．なお、GWはほぼ終わりだが、本格的なガロア本を読む前に、通俗ガロア本を読んで概要を掴んでから読むことをお薦めする
330:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 17:59:40.41 8svvg2D/.net
>>306 つづき
「エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された」（下記）
だから、それ以前のガロア理論を知る世代から見ると、アルティン本は画期的なのだろう（だからの礼賛だった）
が、最近の本は、線型代数学的な定式化はあたりまえ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。
早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「�
331:ﾌ」（独: Korper）と名づけた。 その後、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）によってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。 アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。
332:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 19:52:37.26 8svvg2D/.net
>>307 つづき
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
新・数学の学び方 単行本 ? 2015/1/29 小平 邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)
内容紹介
「数学がわかる」とはどういうことなのか。13人の数学者が実体験をもとに、それぞれの学び方を綴る。1987年刊の『数学の学び方』に新エッセイ5篇を加えた新版。
編者のほか、深谷賢治、斎藤毅、河東泰之、宮岡洋一、小林俊行、小松彦三郎、飯高茂、岩堀長慶、田村一郎、服部晶夫、河田敬義、藤田宏の各氏が寄稿。
入門的概説書として数学の世界を概観できました。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/3/20
自分は日頃から感動のない本を読むことほど馬鹿らしいことはないと思っている。以下略
投稿者 Elizabeth 投稿日 2015/2/13
主に東大教授から構成される、数学者たちからの、数学の学び方指南書。
１３編の読み物のうち、２つ参考になった。
一人目は、小平邦彦氏。
分からない流れはとにかくノートに写して写して写しまくって、
何回も書いてるうちに理解できる、とのこと。
二人目は、河東泰之氏。
この先生のエッセイは、コピーを取って読み返している。
非常にためになる。
この先生のエッセイを読むためにお金を払ったと思い、以下略
333:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 20:09:40.98 8svvg2D/.net
>>308 つづき
本題
小平 邦彦 P1～「数学に王道なし」
これ面白いよ
P10 旧制中学で、藤原松三郎「代数学」を読み始めたという
”ガロアの理論がどうしてもわからなかった、などという微かな記憶がある”とある
藤原松三郎「代数学」のガロアの理論は第二巻にあるが、これはアルティン流に成る前の原ガロア論文に即した理論なんだ
さすがに、小平 邦彦氏も旧制中学時代には分からなかったのかも・・
P13に再びガロアの理論の話が出てくる
”それから第十一章のガロア理論がどうしてもわからなかったという記憶がある。章末の諸定理のローウィ（Loewy）のガロア理論が載っている。
高校（旧制）の１年のときにこのローウィのガロア理論を詳しく勉強したノートが残っているから、ガロアの理論を読んだのは高校に入ってからであろう。”とある。
なお、”『代数学』で苦心惨憺したお陰でその後高校でも大学でも数学では苦労しないで済むようになった。講義でも本でも克明にノートに書き移せばそれで分かるようになったのである。”と
334:１３２人目の素数さん
15/05/05 20:13:29.89 I/ZPGAW/.net
スレ主さん的に松坂代数と高木代数と雪江代数はどれがおすすめ？
335:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 20:48:23.53 8svvg2D/.net
>>309
藤原松三郎「代数学」第二巻 第十一章 P193 Loewy先生は、1925,1926とある
Loewy先生のガロア理論は、下記と同じか？ なお、Coxガロア和書下P310 歴史ノート 定理8.6.12にもLoewy先生が登場する
Recent Developments in the Inverse Galois Problem: A Joint Summer Research ...
著者: Michael D. Fr
336:ied, ?Shreeram Shankar Abhyankar - 1995 https://books.google.co.jp/略 ”Loewy galois”で検索請う Loewy先生は、微分方程式で有名のようだね(1906) http://en.wikipedia.org/wiki/Loewy_decomposition Loewy decomposition
337:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 20:54:20.49 8svvg2D/.net
>>310
どうも。スレ主です。
松坂代数は、詳しく知らないが、古い本じゃなかったかね？
高木代数も、内容としては古いだろう。ガロア理論は無かったと思う。アーベルの５次代数方程式の非可解までだったろう。なので、副読本だろう
雪江代数は、好みでしょう。合う人合わない人がいるだろう。講義を受けるなら、選択肢ではないだろうが・・。
まあ、目的によるだろうね・・。それと、個人による。辿ってきた数学歴とポテンシャルと嗜好など。
338:１３２人目の素数さん
15/05/05 20:58:23.41 vMiifqnS.net
>>312
実際にGW中に読めるかはともかく上でArtinを紹介しているのは分量が少ない
という理由だと思うがスレ主はCoxのガロワ理論 上巻および下巻をそれぞれ
どれくらいの期間で読んだの？
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:21:36.34 8svvg2D/.net
松坂代数はこれか？
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
とね日記 2014年05月31日 抜粋
代数系入門： 松坂和夫 1976年刊行
理数系書籍のレビュー記事は本書で253冊目。
本書は群、環、加群、体からガロア理論まで学べる昔からある現代代数学の標準的な入門書である。
「ゲージ理論とトポロジーの年表」や「アラン・コンヌ博士の非可換幾何学とは？」という記事を書いてみて代数学の大切さをつくづく思い知らされた。トポロジーにしろ解析学にしろ代数学の理解は欠かせない。
「代数学I 群と環：桂利行」を読み終え、「代数学II 環上の加群：桂利行」を半分くらい読み進めていたのだが、このシリーズはどうも独学には向かない気がしてきて途中で読むのをやめ、松坂先生の本に切り替えていたのだ。結果的にはそうして正解だった。
本書は数学科の大学３年生が学ぶ標準的な代数学の入門書である。
ところが「はしがき」の中で松坂先生は「初学者向きのものであって、読むための予備知識は特に必要ではない。読者はせいぜい高校２年級程度の数学の素養をもっておられれば十分である。」とお書きになっている。
それは違うだろうと思った。僕は高校生の頃、こんなに難しい本は読めなかった。「高校生でも理解できる」という表現は要注意なのだ。理数系の本、特に数学書の中でこの言葉が使われるとき、よくあるのは次の３つのケースである。
ケース１） 著者ご自身が高校生だったころの自分を想像している場合
たいていこのケースが多い。将来数学者になるような高校生は、昔であれ今であれ普通の高校生とはレベルがまったく違う。
第１章：整数
第２章：群
第３章：環と多項式
第４章：ベクトル空間、加群
第５章：体論
第６章：実数、複素数
付録：自然数
群や環はこれまで読んできた本で学んでいたので、僕にとってためになったのは第４章から第５章にかけての加群と体論だった。
340:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:32:21.58 8svvg2D/.net
>>313
どうも。スレ主です。
数学の本をページ数で計るのは、ちょっと問題だろうね・・
前提としている知識の量が、ページ数が少ないもので、半端でないもの（本）がある
Artin�
341:ｪ、分量が少ないからGW中に読める？ まあ、それはその人のレベル次第だわ・・ 「Coxのガロワ理論 上巻および下巻をそれぞれどれくらいの期間で読んだ」？ 全部は読んでないよ。面白いところだけつまみ読みだ 具体的には、P411の第１２章「ラグランジュ、ガロワ、クロネッカー」あたり ガロア本は複数読んでいるし、群論、体論も読んだ本はあるよ Coxの該当箇所は、斜め読みだよ レムにスケートは、読んでないね（眺めたが・・）
342:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:35:17.69 8svvg2D/.net
>>315 補足
そういや、Artinも何度も読んでいるね
マーカーで線を引いている（＾＾
もっとも、文庫本の前だが
343:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:53:18.62 8svvg2D/.net
>>312 つづき
昔の本を書評で「よいしょ」しているのがあってね・・
それにひかれて、古い本というのは、数学に関してはどうだかねー
数学に求められているものが、時代で違うと思うんだよね
戦前は、ソロバンの時代だったろう。そのころの高等数学
そして、時代は進んで、大型電子計算機、電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・
時代時代で、求められることが違うはず。エクセル、数式処理・・・・・、それらが当たり前になった時代に求められる数学と、ソロバンの時代の数学とは違うと思うんだよね
で、結局は人。「電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」は道具。使うのは人で自分だと
だから、原ガロア論文だと。群論のない時代に、手作りで代数的可解性を構築したガロアの行為が、一つのモデルだろうと
「群だ体だ環だ」と、完成された理論を学ぶことも必要だろう。だが、世の中の変化する現実を自分の素手でどう捉えるのか？ それが原ガロア理論であり一つのモデルだろうと
URLﾘﾝｸ(www.utnp.org)
2014年10月 4日 東京大学新聞オンライン
松尾豊教授インタビュー第一回
人工知能50年来の革命、ディープラーニングとは？
344:１３２人目の素数さん
15/05/05 22:30:12.42 GBl38+pG.net
ﾞ'． '.;｀i i､ ﾉ .､″
ﾞ'． ,ト ｀i､ ｀i､ .､″
| .,.:/"" ﾞ‐,. ｀ /
` .,-''ヽ"｀ ヽ,,,、 !
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､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀ .,"-、
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,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､－´ .lﾞ｀-、
_,,lﾞ-:ヽ,;､、 ､､丶 ﾞi､,,、
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､､::|､､､ヽ,､､. ｀｀｀: : : ｀｀｀ ､.､'｀ .|丶、
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,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、 ､､...,,,､－‘｀ ､‐ |ﾞﾞ:‐,
,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀ ｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'": _.‐′ 丿 ,!
j".､'ヽ,".､".､"`''｀ｰ､._､、、 、._,、..-‐:'''′ .､,:" 丿
ﾞl,"`"`''ヽヽ"`"｀ ｀｀｀ﾞ'''"ヽ∠、､、､ぃ-｀''''": ｀ ､._.／�
345:M ._/｀ ｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 、.,-‐'｀ 、／｀ ｀`ヽン'`"｀ : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾ ,､‐'"｀ `"'ﾞ―-､,,,,..､、 : ..,､ー'"'｀ : ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""
346:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 22:54:04.92 8svvg2D/.net
>>317 補足
「群だ体だ環だ」と、抽象数学で終わる時代は過ぎたのでは・・
というと言い過ぎかも知れないが、ソロバンの時代には「群だ体だ環だ」といえば称賛されたのかもね・・
だが、「エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」あたりまえの時代には
多少の高等関数（サインコサイン程度）はエクセルで処理出来る時代なんだ
浮き世離れした抽象代数だけで珍重された時代は、過ぎた気がする
２１世紀は、２０世紀には浮き世離れした抽象代数と思われた理論が、現実世界と関係を持つ時代じゃ無いかと。うまく言えないが・・
すくなくとも、自分が学んだ抽象代数学を、コンピュータ処理に載せられるくらいでないと・・
２１世紀の世の中で力を発揮できないのでは？
347:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 22:54:48.07 8svvg2D/.net
>>318
運営、乙！
348:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 23:33:27.84 8svvg2D/.net
>>319補足
ああ、こんなのがあったね
URLﾘﾝｸ(science.slashdot.jp)
プログラマーで実際に数学を使っている人ってどれくらいいるの？
ストーリー by headless 2012年08月12日
（抜粋）
数学がいる例 (スコア:5, 参考になる)
by jsi (25633) on 2012年08月12日
FFTによる多倍長計算の高速化
スペクトラムと乱数
テンソルと画像処理
信号処理と微分積分
暗号と強度
高信頼プログラムと論理学
2D/3D, 座標変換(アフィン写像とか)と三角関数
自然現象の解析と分布および非線形性
3Dとガロア体
通信と符号理論
「数学がいらない」とかいう認識であるうちは、世界をリードする技術要素となるテクノロジを生み出すシリコンヴァレーのようなベンチャ企業はでてこないと思ってるけどなあ。
プログラマじゃなくても数学は必要だと思う (スコア:1)
by Technobose (6861) on 2012年08月12日 21時15分
普通の事務屋でも、数学の知識は必要だと思うな。
特に公的団体の事務屋なんて、なんでもやらなければいけないし。
就職して、いろんな仕事を担当するうちに統計とか、幾何学だとかの知識が必要なことが幾たびも・・・。
仕事で必要になって「昔、どこかで教わったことがある」なんて調べてみたら、高校時代や大学で教わってたなんてことがたびたび。
学校にいる間は、先生なりに詳しい友人なりに聞くことができるけど、勤めてしまうと、なかなかそういうチャンスはないし、高校の数学(数学１から代数幾何・基礎解析、確率・統計)くらいまでは、学生時代までにマスターしておくべきだったと身にしみてます。
数学に限らず、学校で教わることって、そのままの形では出てこないけど、考える基礎として必要なものですね。
学校のカリキュラムは、その時代の定説をもとに、夾雑物をそぎ落とした「純粋理論」みたいなものだから、あんまりおもしろいものではないけど、必要なときに、これを手がかりに必要な知識を調べていくことができる道しるべみたいなものだと思いますよ。
で、必要な力は、そういう「道しるべ」みたいな骨格を元に、自分で調べて肉付けしていける能力だろうと思います。
349:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 05:17:03.16 SXg2oFIb.net
>>309 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P16
数学基礎論が分からなかったという
”ゲーデルの不完全性定理はどうやらわかったような気がしたが、コーエンのforcingは遂に分からなかった”という
また、分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
350:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 05:35:03.14 SXg2oFIb.net
>>322 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P17
”定理の理解を深めるには別証明を考えてみるのが有効である”
”別証明は定理が述べる数学的現象のメカニズムの別な見方を示すからである”
と
実数が非加算であることの小平流別証明をP18-20に書いている
それで、実数の加算部分が極めて小さい部分を占めているに過ぎないことが分かるという
自分なりに解説すると、P17からのカントール流の証明は背理法による。
背理法は、おうおう数学的現象のメカニズムが見えない場合がある
小平流別証明は、背理法を使わない証明を考えたので、これが見える形の証明になったのだろう
話をガロア理論に戻すと、ガロア理論は基本背理法ではないから、数学的現象のメカニズムが見える
351:１３２人目の素数さん
15/05/06 05:53:08.02 iWZualfN.net
>>297
>まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
これはそうだろうな。書いていて思うんだが、書きにくいし確認しにくいんだわ。
まあ、>>280が指摘してくれた部分だけ次の通り訂正するけどさ。
>＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
だと、「AのときA」のようにトートロジーになって同じことを書いただけになっているな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、
確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
これで問題ないでしょう。他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
352:１３２人目の素数さん
15/05/06 08:00:47.15 xuHONDUI.net
>>324
そこだけ訂正しても全体では間違い
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 08:46:27.01 SXg2oFIb.net
>>324 おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明お疲れです
>他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
いや、まあ、好きにして良いんだよ
「こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある」が、それは私のであって、貴方のではないだろう�
354:ｩら
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 08:46:57.44 SXg2oFIb.net
>>325
どうも。スレ主です。
レスが早いですね
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:06:06.94 SXg2oFIb.net
>>326 補足
まあ、証明だったら、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) とか
あるいは、だれかプロ用日本語サイトでも作れば良いだろう
「書きにくいし確認しにくい」とは、読む方も読みにくいってこと
だが、現在ここ以外にまともな掲示板ないから
おっちゃんの練習場として使って貰う分にはかまわんよ
かつてのKummerさんみたく、読みにくい証明で埋めつくすのはいかがかと思うが・・
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:09:29.69 SXg2oFIb.net
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
まず、証明のあらすじで１レス
その後、証明の流れで分けて複数レスに
１レスにつめると、ただでさえ読みにくい証明がよけいだろうと
証明を読むのが趣味な人は別として（＾＾
358:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:32:20.99 iWZualfN.net
>>326
じゃあ、書こうか。>>16を踏襲した上での話でいいよな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。以後xは有理数変数ではないとする。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
359:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:34:11.42 iWZualfN.net
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
xを実変数とする。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは
両方共に任意だから、Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、
実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。
点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
360:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:37:37.84 iWZualfN.net
>>326
(書き忘れたが>>331は>>330の続きで、以降は>>331の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
361:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:39:25.40 iWZualfN.net
>>326
(>>332の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
362:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:41:17.06 iWZualfN.net
>>326
(>>333の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:47:47.72 SXg2oFIb.net
>>328 つづき
おっちゃんのために
PAUL B. YALE，Pomona College >>258 より
P137
THEOREM 2. Any isomorphism between sub fields of C extends IQ, the identity map on Q.
THEOREM 3. The only isomorphisms between sub fields of C whose domains include R and which map R into R are IR, Ic, and complex conjugation.
Proof. Let Φ be such an isomorphism, i.e., assume R⊆domain Φ and x∈R
implies Φ(x) ∈R. We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y).
Now assume a∈R, but that a≠Φ(a). Choose a rational number, q, between a and Φ(a).
Since Φ(q) =q by Theorem 2, the order between a and q is reversed by Φ
and we have a contradiction. Hence a∈R implies Φ(a) =a, i.e., IR⊆Φ.
If Φ≠IR, then the domain of Φ is a sub field of C containing R as a proper subset.
In any such subfield we can find a complex number, a+bi, with b≠O as
well as all real numbers. But, since x+yi=x+y([(a+bi)-a]/b), this implies
that the subfield is C itself. Thus the domain of Φ is C. Consider Φ(i). Since
i^2=-1, [Φ(i)]^2=Φ(-1)=-1. The only roots of x^2=-1 are ±i; hence Φ(i)
= ±i. If Φ(i) =i, then Φ = Ic, and if Φ(i) = -i, then Φ is complex conjugation.
Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R.
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:53:02.08 SXg2oFIb.net
>>335 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
実数の二乗を使っている・・
これはこれで分かり易いかも
本題の次のIc, and complex conjugation へつなげて行くために、さらっと証明を済ませる・・
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:58:41.41 SXg2oFIb.net
>>336
実数の自己同型が、IRに限られることを示すだけなら、いろいろありそうだが・・（あるいは、それだけを別のTHEOREMにするか・・）
"Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R."
も強調しておこう
これが、RとCの決定的な差だと
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:38:42.97 SXg2oFIb.net
>>337 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。">>300
超越数：π and e の交換,π=3.14・・・、e=2.718・・・
上記証明より、π-e=ω^2 として、Φ(ω) not ∈Rで無ければならない。もっと言えば、Φ(ω)=±iωで無ければ整合しない・・
そういう意味でも、Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2を使う証明は、それなりにautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムを反映していて分かり易いのか
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:48:26.57 SXg2oFIb.net
>>338 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数かどうかが未解決の例
π+e,π-e [注 4]
[注 4]^ しかしながら、例えば e+π, e-π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことからわかる。
（引用おわり）
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
なお、 e+π, e-π の両方が代数的数だとすると、その和と差が代数的数で、e、πが超越数であることに反するのか
368:１３２人目の素数さん
15/05/06 10:57:56.75 xuHONDUI.net
>>330-334
間違ってる
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:58:08.94 SXg2oFIb.net
>>339 つづき
いまふと思ったが、超越数かどうかが未解決の例：π-e だとすると
π-e=ω^2として、ωがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと、
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, ・・・”
は、安易に言えないんじゃないのかね？ はて？
追記
まあ、仮にωが有理数としても（そんなことはないと思うが）、例示が悪いだけで論文全体の価値には影響しないが・・
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:13:41.14 SXg2oFIb.net
>>290 補足
"range"という用語について
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に素朴集合論における写像の値域（ちいき、英: range）は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。
現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。
「値域」("range") は異なる意味で用いられうるから、教科書や論文を読む際にいずれの意味であるかを確かめるのは初手の演習として手頃であろう。
古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある[1][2]。
より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる[3]。
紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある[4]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, and more specifically in naive set theory, the range of a function refers to either the codomain or the im
371:age of the function, depending upon usage. Modern usage almost always uses range to mean image. As the term "range" can have different meanings, it is considered a good practice to define it the first time it is used in a textbook or article. Older books, when they use the word "range", tend to use it to mean what is now called the codomain.[1][2] More modern books, if they use the word "range" at all, generally use it to mean what is now called the image.[3] To avoid any confusion, a number of modern books don't use the word "range" at all.[4]
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:17:45.25 SXg2oFIb.net
>>330-335
おっちゃんどうも。スレ主です
証明お疲れです
>>340
ID:xuHONDUI さま、証明チェックお疲れさまです
373:１３２人目の素数さん
15/05/06 11:18:27.68 rMFlGLwZ.net
スレ主さんガロア体についての話もして
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:20:16.61 SXg2oFIb.net
>>339 訂正
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
↓
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π は両方超越数と予想するだろうね
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:29:11.62 SXg2oFIb.net
>>344
ガロア体？ さあ、あまり詳しくない。というか、勉強した記憶がないけど
「3Dとガロア体」 などとあるから、数学的に良い性質を持っているんだろうね・・
「3Dとガロア体」で検索を掛けると下記。有限体のこと？ 標数が０で無い体だね。詳しくないね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。
主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。
応用
・ リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(2^2)、GF(2^4)、GF(2^8)、GF(2^16) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(2^8) を使う。
・ 楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2^400) などを使う。
376:１３２人目の素数さん
15/05/06 11:35:13.38 OmisUiBu.net
あー、有理数変数だってのを見逃してた。
>>280で指摘した点は問題ない。
代わりに>>267の
＞2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
ここで実変数でも有理数において連続としてしまっていることが問題。
377:１３２人目の素数さん
15/05/06 12:13:21.05 q/rFEr6e.net
＞PAUL B. YALE，Pomona College P139より
＞ZORN'S LEMMA. If F(ヒゲ) is a nonempty family of subsets of a given set B and F(ヒゲ) has
＞the chain property, then there is at least one set, M, in F(ヒゲ) such that A ∈ F(ヒゲ) and M⊆A
＞implies M = A .
＞ここは、ZORN'S LEMMAの表現がちょっと異なるね
Zornの補題の適用対象に合わせているだけだろ。
集合Bの部分集合の空でない族Fに入れる順序を集合間の包含関係としている。
Fの全ての鎖の上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。
378:１３２人目の素数さん
15/05/06 12:25:08.81 iWZualfN.net
>>340
>>343
>>347
じゃあ、証明の訂正は、今度もし出来たら書くことにする。
悪いが、今はチョット出来ない。指摘サンクス。
379:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 14:13:02.28 SXg2oFIb.net
>>348
どうも。スレ主です。
レスありがとう。Zornの補題は、よく出会うが、真剣に考え�
380:ｽことがない 「上界がF内に存在することを F has the chain property で保証している。」・・か・・ わからんかったが、検索でヒットしたものを貼っておきます http://math.stackexchange.com/questions/1266621/zorns-lemmas-chain-condition Zorn's Lemma's chain condition https://gowers.wordpress.com/2008/08/12/how-to-use-zorns-lemma/ How to use Zorn’s lemma This entry was posted on August 12, 2008 Terence Tao Says: August 13, 2008 at 3:31 am | Reply I like to think of Zorn’s lemma as a guarantee that greedy algorithms can go on as long as necessary, before being stopped by some sort of obstruction (either a chain without an upper bound, or a maximal element). So any finitary construction that is built via the greedy algorithm (e.g. selecting a basis for a finite-dimensional vector space greedily) has a decent chance of extending to the infinitary setting as well by a Zorn’s lemma argument. Which is of course essentially what you are saying above :-)
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 14:34:23.35 SXg2oFIb.net
>>329 訂正
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
↓
余談だが、以前１レスで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１レスだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 16:13:22.27 SXg2oFIb.net
>>341 自己レス
π-e=ω^2で、π-eが無理数→ωが無理数が言える・・
だから、「π-eがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと」ってことだね
π-e無理数の証明すでにどこかにあるのかね？
383:１３２人目の素数さん
15/05/06 18:16:03.12 q/rFEr6e.net
>>350
＞PAUL B. YALE，Pomona College P139より
に書かれてる chain property の定義を読まなきゃわからないのは当たり前だよ
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 22:23:49.01 SXg2oFIb.net
>>353
ども。読んだが、すぐに理解できなかった・・
いまでも、あまり理解できていない（＾＾
小平流写経>>309がいるかもね・・
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 23:45:07.19 SXg2oFIb.net
>>338
（この事例の写像のワイルドさについて、>>259の補足）
とりあえず、π-e=v として、（証明なしで）vは無理数とする。（もしvが無理数で無ければ、πとeでなく別の二つの適当な超越数を選ぶことができるだろう）
さて、繰り返しになるが、 interchange π and e だから、
-v＝e-π＝Φ(π) -Φ(e) ＝Φ(v)＝Φ(ω^2)＝ [Φ(ω)]^2
Φ(ω)＝±iω＝±i√v＝±√(e^(πi)*v)＝±(e^(πi)*v)^(1/2)
１）これをvのn乗根の場合に拡大すると、その一つの例は(e^(πi)*v)^(1/n)となる
これは、実数ではない
２）vのk乗を考えると、Φ(v^k)＝ [Φ(ω)]^k＝(-v)^k
0<π-e＜1だから、kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん小さくなり、ゼロに近づく・・
というようなワイルドさになる
（別の二つの実数の超越数α、βで、その差が無理数α-β＝v＞１であって、これをinterchangeした写像で、vのk乗を考えると、
kが増大すると、実数で符合を変えながら、だんだん大きくなり、無限大に近づく・・）
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/07 06:38:35.95 iuXUQ2cp.net
>>355 補足
１）vのn乗根の場合、当然だがx^n=-vのn個の根が出る。そのどれを選んでも、良い。
実数v^(1/n)は、上記x^n=-vのn個の根の複素数のどれかに移り、もとの実数v^(1/n)の場所には、x^n=-vの複素数根が移ってくる
nが大きくなると、v^(1/n)は１に近づき、また移る先の場所（複素数）の選択肢は増える
２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換�
387:ﾍ、可能だ 但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない ３）ということで、やはりautomorphisms of Rは、automorphisms of Cとセットで理解することが良さそうだね
388:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:49:56.37 1uRQ/Opw.net
>>356
>>330-334の証明の訂正出来た。
環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。任意の点x∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
389:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:51:26.47 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>357の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
390:１３２人目の素数さん
15/05/07 08:53:08.06 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>358の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
391:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:19:26.53 1uRQ/Opw.net
>>356
>>125、>>127の方が証明としては簡単だな。
本来f(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる関数f：R→Rは1点で連続ならf(x)＝x・f(1)となるんだが、
選択公理というかハメル基底の存在を認めるとf(x＋y)＝f(x)＋f(y) x、y∈Rは任意 なる方程式について
無限個の解fが存在し、かつf(x)＝x x∈Qは任意 なる条件のために、上の手法というか命題が使えなくなるのな。
ハメル基底の定義から、必ず或る有理数はハメル基底に属すんだが。
392:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:24:47.33 1uRQ/Opw.net
>>356
>>357の最初の文「環同型写像f：R→Rを一価は実関数である。」は「環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。」と訂正。
393:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:33:08.26 McWfEUN+.net
>>357-358
間違ってる
394:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:41:22.29 1uRQ/Opw.net
>>356
>>362
じゃあ、今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。
>>358は問題ないから省略。
395:１３２人目の素数さん
15/05/07 09:56:39.55 1uRQ/Opw.net
>>356
>>362
いや、>>363のようなことをすること自体ムリだから、>>125、>>127と同様に
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈[0,+∞)を任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sだから、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。
で終了。
396:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:30:54.62 1uRQ/Opw.net
>>356
>>363の方法で出来たので書く。今度はxを有理数変数とかせずに
最初から実変数としているから>>347のような問題はないとは思う。
尚、>>358以降は内容的に殆ど同じこと書くだけだから省略。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
[第1段]：直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)が連続なることを示す。
矛盾に導くため、直線R上の如何なる点x∈Qにおいてもfが不連続であったとする。
点a_1∈Qを任意に取る。すると或るε_1＞0が存在して任意のδ_1＞0に対して
|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる。
点a_2∈Qを任意に取る。すると或るε_2＞ε_1が存在して任意のδ_1＞δ_2＞0なるδ_2に対して
|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる。
以下同様に帰納的に考えると、各k∈N＼{0}に対して、次の2つの条件
(1)、点a_k∈Qを任意に取ると或るε_k＞0が存在して任意のδ_k＞0に対して
|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる。
(2)、点a_{k+1}∈Qを任意に取ると或るε_{k+1}＞ε_kが存在して
任意のδ_k＞δ_{k+1}＞0なるδ_{k+2}に対して
|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる。
を両方共に満たすような3つの実数列{a_k}、{ε_k}、{δ_k}が存在する。
ここに、{ε_k}は上に有界な単調増加列であり、{δ_k}は下に有界な正の単調減少列である。
よって、或るN≧2なる自然数Nが存在して、n≧Nのとき
|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる。
{δ_k}は下に有界な正の単調減少列であり、その下限
397:Mに収束するから、 或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる。 ここで、n≧N'なる任意の自然数nに対してa_n、ε_n、δ_nは何れも定義されるから、 {δ_k}の下限Mは＝0である。従って、或る自然数nが存在して、|x－a_n|≦M＝0からx＝a_nであり、 故に、|f(x)－f(a_n)|＝0となる。しかし、これは|f(x)－f(a_n)|＞ε_n＞0なることに反し矛盾する。 故に、直線R上の或る点x∈Qで実関数f(x)は連続である。 ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
398:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:33:05.13 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>365の続き)
[第2段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aでf(x)が連続とする。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0について
Y→a-0のときf(Y)→f(a)であって、2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、
bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、
|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを
両方共に任意に取る。すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、
|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、
3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜b
が両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への
拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、
|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、
εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
399:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:35:13.24 1uRQ/Opw.net
>>356
(>>366の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、
f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
400:１３２人目の素数さん
15/05/07 14:57:20.44 1uRQ/Opw.net
>>356
>>365の第1段は次のようにウマく訂正して読んで。「点x∈Rが存在する」を書き忘れちゃったところがある。
>|x－a_1|＜δ_1であって|f(x)－f(a_1)|＞ε_1となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_2|＜δ_2であって|f(x)－f(a_2)|＞ε_2となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_k|＜δ_kであって|f(x)－f(a_k)|＞ε_kとなる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_{k+1}|＜δ_{k+1}であって|f(x)－f(a_{k+1})|＞ε_{k+1}となる「点x∈Rが存在する」。
>|x－a_n|＜δ_nであって|f(x)－f(a_n)|＞ε_nであり、δ_n＜ε_nとなる「点x∈Rが存在する」。
>或るN'≧2なる自然数N'が存在して、n≧N'のとき|x－a_n|＜M＜|f(x)－f(a_n)|となる「点x∈Rが存在する」。
401:１３２人目の素数さん
15/05/07 21:34:19.24 McWfEUN+.net
>>365-368
間違ってる
402:１３２人目の素数さん
15/05/08 07:15:23.98 uxOegTmt.net
>>356
まあ、やはり>>363のようなことをすること自体ムリだから、この件の証明は>>364で終了。
選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。
403:１３２人目の素数さん
15/05/08 18:12:25.11 hq5Aa7Ty.net
（´･∀･`）ﾍｰ
404:１３２人目の素数さん
15/05/08 19:15:15.27 uvDu7qfL.net
ハメル基底がよっぽど気に入ったみたいなので濃度論法のハメハメちゃんってあだ名で呼ぼうこのスレ主。
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:40:13.90 rm0w8Qw4.net
>>370
おっちゃん、お疲れです。スレ主です。
>今度からは任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることの証明だけ出来次第書く。>>363
これはお説のように、「選択公理やハメル基底の存在性の問題と絡んで、やろうとしても理論体系に矛盾が生じることになって出来ん。」>>370が正解みたやね
例えば、下記の有名な”Cauchy's functional equation”に、”f(q) = q f(1), q ∈ Q”の証明はある
しかし、”Properties of other solutions”には、We prove below that any other solutions must be highly pathological functions.と、
また”Proof of the existence of other solutions”には、Note that this method is highly non-constructive, relying as it does on the axiom of choice.だと
結局、それは無理だと
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cauchy's functional equation
Proof of solution over rationals
f(q) = q f(1), q ∈ Q
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における病的な（びょうてきな、英語: pathological）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。
『病的な関数』の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが微分可能ではない、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが微分可能ではない関数となるため、そのような性質の『病的な関数』は少なくとも微分可能な関数と同じ数だけ多く存在することが分かる。
実際、ベールのカテゴリー定理により、連続な関数は一般的あるいは生来的には、至る所で微分不可能なものであるということが示される。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Computer science
In computer science, pathological has a slightly different sense with regard to the study of algorithms.
Here, an input (or set of inputs) is said to be pathological if it causes atypical behavior from the algorithm, such as a violation of its average case complexity, or even its correctness.
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:48:32.99 rm0w8Qw4.net
>>372
どうも。スレ主です。理解が足りないんじゃないかな？
単にハメル基底だとか濃度だとか、そりゃー近視眼。 例えば下記
URLﾘﾝｸ(junology.hatenablog.com)
f(x+y)=f(x)+f(y) の時、f は何か？ junologyのブログ 2013-07-13
（抜粋）
大学学部2年生の線形代数の演習で、次が出題された：
問： 写像 f:R→R が、任意の x,y∈R について f(x+y)=f(x)+f(y) であるとする。
この時、f はR?線形写像か？
f(x+y)=f(x)+f(y) は R を加法群、つまり Z?加群として見た時の準同型であることを意味している。
ここで、R が Z?加群として、divisible（日本語では「可除」か？）であるので、自然にQ?加群と思うと、f が Q?線形であることは直ちにわかる。
ところが、選択公理を知っている人がちょっと考えれば、これは R?線形にはならないことがすぐにわかる。
それは、R に Q?線形空間としての基底、いわゆる Hamel 基底を入れれば確認できる。
この条件 f(x+y)=f(x)+f(y) は、wikipedia によると「Cauchy の関数等式」と呼ばれているらしい
（Cauchy's functional equation - Wikipedia, the free encyclopedia）。
では、Cauchy の関数等式を満たす関数 f:R→R は、いつR?線形になるだろうか。
ε-δ式の議論とか、有理数が実数上稠密であることの位相的（あるいは解析的）意味を知っているならば、f に連続性を課せば良いことがすぐにわかる。
つまり、次が成立する：
命題1： f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が R?線形であるための必要十分条件は、f が連続であること。
ところで、我々は、不連続な写像 R→R を沢山知っている。
ならば、是非とも問の反例を具体的に構成してみたくなる。
だが、その望みを打ち砕く命題が、[1]*1の§6の問題になっていた。
命題2
f:R→R は Cauchy の関数等式を満たすとする。
この時 f が連続であるための必要十分条件は、f が Lebesgue 可測であること。
（以下略）
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 06:58:10.36 rm0w8Qw4.net
>>374 つづき
まあ、要は、 junologyのブログ 2013-07-13によれば、
キーワードは、線形代数、加法群、選択公理、線形空間の基底、Hamel基底、ε-δ、連続性、不連続な写像 R→R、Lebesgue可測 だと
学部数学の多くの部分と関係しているんじゃないのかね？
まあ、junologyのブログ 2013-07-13でも読んでみなさいよ
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 07:31:13.43 rm0w8Qw4.net
>>356 ここに戻る
”２）ということで、これがautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムであり、automorphisms of RがIRに限られる仕掛けだと
つまり、automorphisms of Cの場合、二つの実数α>βで、その差が無理数になるαとβの交換は、可能だ
但し、α-β＝vのn乗根は、automorphisms of Cで別の複素数根に移らなければならない”
で、
１．二つの実数α>βが超越数で、その差が超越数なら問題なく上記は言える
２．この超越数という制限は、どこまで緩和できるか？
３．二つの実数α>βが無理数で、その差が無理数なら上記は言えるか？ どうも言えそうな気がするが、証明は得ていない
４．上記で、正確には「二つの実数α>βが無理数で」としなければならなかった。これは当然で、お気付きと思うが、訂正しておく
409:１３２人目の素数さん
15/05/09 08:32:11.08 EW/Xkw4Y.net
環の極大イデアルの存在に選択公理が必要なことぐらいは常識なんだろうが
嵌めるキチガイのようにハメル基底連呼して濃度論ぐっだぐだ意味もなく証明に使う使えると勘違いし続けてる様は
可能性は低いがもしも将来訳が分かる様になれたら非常に黒歴史となるんだろうなぁ・・・。
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 09:19:09.56 rm0w8Qw4.net
>>374 補足
こういう対比もできるんじゃないかな？
１）「加群自己同型」（「Cauchy の関数等式」） f(x+y)=f(x)+f(y) ←→「体自己同型」f(x+y)=f(x)+f(y) ＆ f(x*y)=f(x)*f(y)
Rでは、
411:「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。 （∵順序が保存される。あるいは、x-yの平方根が適切にR上に写像できないから） が、条件を緩めた「加群自己同型」では、不連続な写像でLebesgue 可測でないものが、選択公理を認めると存在しうる。>>374 ２）R←→C R(実数)では、「体自己同型」は自明な自己同型IRに限られる。が、条件をC（複素数）にすると、不連続な写像が、選択公理を認めると存在しうる。>>299 （これは、１）において条件を緩めると、選択公理から不連続な写像の存在を証明することができるのに似ている） この不連続な写像について、Lebesgue 可測か否かは、よくわからない。Lebesgue 可測をよく理解していないので http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6 解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 選択公理によって R^n の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。 ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 09:55:32.75 rm0w8Qw4.net
>>377 意味わからん
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 12:38:32.72 rm0w8Qw4.net
>>374 補足
下記のファイルが参考になるだろう
URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013
URLﾘﾝｸ(www-dimat.unipv.it)
GIULIO SCHIMPERNA
Dipartimento di Matematica,
Universita di Pavia
Via Ferrata 1, I-27100 Pavia (ITALY)
URLﾘﾝｸ(www.math.ualberta.ca)
Review VII Example: Applications of single variable calculus: Additive functions Xinwei Yu University of Alberta Canada 217-20130913
URLﾘﾝｸ(www.math.ualberta.ca)
University of Alberta Canada
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 13:12:31.54 rm0w8Qw4.net
>>346 補足
そういえば、有限体の応用で、実験計画法の直交表割り付けの話があったような・・
下記かな
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
最近の統計学における代数的諸問題について． 代数的組合せ論シンポジウム．2009年6月24日．(参考資料PDF)(発表PDF）
（抜粋）
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
代数的組合せ論参考資料(09/06/24) 計算代数統計再入門? Pistone-Wynn 流の実験計画 竹村彰通 2008 年4 月7 日(Ver.2)
各要因の水準が2 水準であるような多因子要因実験の一部実施法は，Wu and Hamada (2000) などの実験計画法の教科書で標準的に解説されている．
しかし，これまでPistone-Wynn 流の解説を何回か聞いていたにもかかわらず，自分には別名関係の扱いが実は多項式環のイデアルの操作そのものであることが理解できていなかった．
最近になって，Aoki and Takemura (2007) の改訂作業において，このことを明確に理解するに至った．
直交表の利用が我が国で始まったとするならば，その代数的側面をこれまで見過ごして来たのは残念なことである．
代数統計の観点から，実験計画法の数学への新たな貢献を目標とすべきである．
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
最近の統計学における代数的諸問題について 東大情報理工・数理情報竹村彰通 2009 年6 月24 日
（抜粋）
計算(応用) と理論が車の両輪として発展
{ 「計算できる代数」がさまざまな分野で応用される中で，統計の問題も扱われてきた．
グレブナー基底をキーワードとして具体的な問題に対して具体的な答を出してくれる代数学．
{ 統計で扱われている問題や概念が，代数の理論的
観点からも新たな視点を与える．
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 17:57:33.16 rm0w8Qw4.net
>>380
下記「(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。」というのがあった
URLﾘﾝｸ(note.chiebukuro.yahoo.co.jp)
コーシーの関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y) neko_dora_nukoさん（最終更新日時:2014/5/23）投稿日：2013/6/16
Qを有理数全体の集合、Rを実数全体の集合とする。
f:R→R
f(x+y)=f(x)+f(y)....(1)
(1)をみたす関数f(x)はQ上で
f(x)=f(1)x....(2)
となる。さらに、f(x)が連続関数であれば、R上で(2)が成り立つ。
Zornの補題を使うと、(1)を満たす連続でない関数が存在することが分かる。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
このノートでは、(1)をみたす連続でない関数が任意の開区間(a,b)で非有界でなければいけないことを示す。
（証明）
f(x)は(1)をみたす関数とする。ある開区間(a,b)上でf(x)が有界であると仮定する。
g(x)=f(x)-f(1)x
とおくと、g(x)は(1)をみたし、(2)より任意の有理数rにたいし、
g(r)=0....(3)
となる。さらに、g(x)は(a,b)上で有界である。任意のx∈Rにたいし、適当なr∈Qをとることによって、x+r∈(a,b)とすることができる。
(1), (3)より、g(x)=g(x+r)+g(-r)=g(x+r)となるので、g(x)はR上で有界であることが分かる。
あるc∈Rにたいし、g(c)≠0であったとする。g(x)は(1)をみたすので、任意の自然数nにたいし、
g(nc)=ng(c)
となり、g(x)が非有界であることが導かれ、矛盾がでてくる。従って、任意の実数xにたいし、
g(x)=0
となる。よって、f(x)は、R上で(2)が成り立つので、連続である。
したがって、f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。■
より一般的な事実を知りました。
f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 18:00:45.96 rm0w8Qw4.net
>>382 ついでに
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続線型写像
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。
空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。
非構成的な例
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが）。
通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。
さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。
ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn?f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。
即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。
この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。
この例は任意の無限次元ノルム空間上の
417:（終域が自明でない）不連続線型写像の存在についての一般定理に拡張することができる。
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/09 18:03:34.10 rm0w8Qw4.net
>>383 ついでに
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Discontinuous linear map
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation).
If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous.
A nonconstructive example
An algebraic basis for the real numbers as a vector space over the rationals is known as a Hamel basis (note that some authors use this term in a broader sense to mean an algebraic basis of any vector space).
Note that any two noncommensurable numbers, say 1 and π, are linearly independent.
One may find a Hamel basis containing them, and define a map f from R to R so that f(π) = 0, f acts as the identity on the rest of the Hamel basis, and extend to all of R by linearity.
Let {rn}n be any sequence of rationals which converges to π. Then limn f(rn) = π, but f(π) = 0.
By construction, f is linear over Q (not over R), but not continuous.
Note that f is also not measurable; an additive real function is linear if and only if it is measurable, so for every such function there is a Vitali set. The construction of f relies on the axiom of choice.
This example can be extended into a general theorem about the existence of discontinuous linear maps on any infinite-dimensional normed space (as long as the codomain is not trivial).
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 05:14:42.49 cg233oGG.net
>>382 補足
>f(x)が連続でなければ、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界でなければいけない。
>より一般的な事実を知りました。
>f(x)が(1)の連続でない解のとき、G={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である。
"R^2で稠密"については、"Hamel basis and additive functions GIULIO SCHIMPERNA June 26, 2013">>380にもある
P5 "Theorem 6. If f is a non-linear solution of (1), then the graph of this function
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ R}
is dense in R^2.
The proof can be found e.g. in [Her, Theorem 5.4].
Theorems 4 and 6 suggest that well-behaved solutions of (1) are linear and
that non-linear solutions have to be, in some sense, pathological.
[Her] Horst Herrlich. The Axiom of Choice. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Lecture Notes in Mathematics 1876."
f(x)が(1)の連続でない解のとき、任意の開区間(a,b)上でf(x)は非有界、かつG={(x,f(x))|x∈R}はR^2で稠密である、という
f は Lebesgue 可測でないとも>>374
想像を絶するpathological振りですね>>373
では
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:23:43.06 cg233oGG.net
>>385
"R^2で稠密"（dense in R^2）の証明が、wikipediaにあった。以前見てたんだが、何をやっているか分からなかった・・
自分で証明を少し考えて、その後で見ると、「ああ、なるほど・・」だった
つまり、 f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数を使って、円”an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y.”で
Cauchy's functional equationを満たす"the point (X, Y) is inside the circle."、X, Yは無理数で円内を具体的に構成できると。∴dense
（文字化けしているかも知れないので、直にwikipediaを見る方が分かりやすいかも）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
421:Properties of other solutions We prove below that any other solutions must be highly pathological functions. In particular, we show that any other solution must have the property that its graph y = f(x) is dense in R^2, i.e. that any disk in the plane (however small) contains a point from the graph. From this it is easy to prove the various conditions given in the introductory paragraph. Suppose without loss of generality that f(q) = q ∀ q ∈Q, and f(α) ≠ α for some α ∈R. Then put f(α) = α + δ, δ ≠ 0. We now show how to find a point in an arbitrary circle, centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y. Put β = (y-x)/{δ} and choose a rational number b≠ 0 close to β with: | β - b | < r/{2 |δ|} Then choose a rational number a close to α with: | α - a | < r/{2|b|} Now put: X = x + b (α - a) Y = f(X) Then using the functional equation, we get: Y = f(x + b (α - a)) = x + b f(α) - b f(a) = y - δ β + b f(α) - b f(a) = y - δ β + b (α + δ) - b a = y + b (α - a) - δ (β - b) Because of our choices above, the point (X, Y) is inside the circle.
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/10 16:45:43.25 cg233oGG.net
>>386 補足
繰り返しになるが
小平いうところの”定理が述べる数学的現象のメカニズム”>>323を自分なりに解すれば
f(α) = α + δ, δ ≠ 0の無理数があれば、任意の有理数の円centre (x,y), radius r where x,y,r ∈ Q, r > 0, x ≠ y内に、Cauchy's functional equationを満たす無理数を構成できると
だから、"R^2で稠密"（dense in R^2）
分かり易いね・・、分かってしまえばだが（＾＾
（余談だが、δは一つじゃないんだよね。だから、δの個数分だけそういう点がある・・？ いやはや）
423:１３２人目の素数さん
15/05/10 16:47:54.16 y2IJwnSv.net
へヽ/'´ ￣￣ ` ﾍ へ い い こ と 思 い つ い た
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