15/04/05 18:24:09.79 jwP/UdlD.net
俺はそろそろただの名無しに戻るよ。
最後に補足として用意していたものを書かせてくれ。
一応定義から。
G を群とする。G の２つの部分集合 A,B に対し、
AB = { ab ∈ G | a∈A, b∈B }
と書く。
A が一元集合 {a} のとき、{a}B のことを aB とも書く。
同様に、B{a}=Ba とする。
例えば e を単位元とすれば、定義から
G の任意の部分集合 A に対し eA = Ae = A が成り立つ。
命題１
G の任意の部分集合 A,B,C に対し、(AB)C=A(BC) が成り立つ。
証明：
x∈(AB)C とする。x = yc (y∈AB,c∈C) と書ける。
y∈AB から、y = ab (a∈A,b∈B) と書ける。
このとき、x = yc = (ab)c = a(bc)
a∈A, bc∈BC であるから、x∈A(BC) を得る。
したがって、(AB)C ⊂ A(BC)
逆の包含も同様。□