15/04/29 14:37:44.79 6XYDeD+q.net
>>227
つづき
In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.
The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.
The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets.
These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
つづく
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:39:28.71 6XYDeD+q.net
>>228
Historical constructions
The first indication that there might be a problem in defining length for an arbitrary set came from Vitali's theorem.[1]
When you form the union of two disjoint sets, one would expect the measure of the result to be the sum of the measure of the two sets.
A measure with this natural property is called finitely additive.
While a finitely additive measure is sufficient for most intuition of area, and is analogous to Riemann integration,
it is considered insufficient for probability, because conventional modern treatments of sequences of events or random variables demand countable additivity.
In this respect, the plane is similar to the line; there is a finitely additive measure, extending Lebesgue measure, which is invariant under all isometries.
When you increase in dimension the picture gets worse. The Hausdorff paradox and Banach?Tarski paradox show that you can take a three-dimensional ball of radius 1, dissect it into 5 parts, move and rotate the parts and get two balls of radius 1.
Obviously this construction has no meaning in the physical world.
In 1989, A. K. Dewdney published a letter from his friend Arlo Lipof in the Computer Recreations column of the Scientific American
where he describes an underground operation "in a South American country" of doubling gold balls using the Banach?Tarski paradox.[2]
Naturally, this was in the April issue, and "Arlo Lipof" is an anagram of "April Fool".
つづく
246:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:45:46.33 6XYDeD+q.net
>>229
Example
Consider the unit circle S, and the action on S by a group G consisting of all rational rotations.
Namely, these are rotations by angles which are rational multiples of π.
Here G is countable (more specifically, G is isomorphic to Q/Z) while S is uncountable.
Hence S breaks up into uncountably many orbits under G.
Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset X ⊂ S with the property that all of its translates by G are disjoint from X and from each other.
The set of those translates partitions the circle into a countable collection of disjoint sets, which are all pairwise congruent (by rational rotations).
The set X will be non-measurable for any rotation-invariant countably additive probability measure on S: if X has zero measure, countable additivity would imply that the whole circle has zero measure.
If X has positive measure, countable additivity would show that the circle has infinite measure.
引用おわり
247:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:52:06.33 6XYDeD+q.net
>>230
en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set 日本語があるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a ? b) は長さ b ? a を持つと思われる。このような区間を一様な密度の金属棒と見ると、同じように重さも定義可能である。
ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。
しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは不可測集合の存在は明らかに分かることではない。
その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
（引用おわり）
248:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:09:26.81 6XYDeD+q.net
>>200
>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.
ここに戻る。
>>190-191で私、スレ主の証明を書いた。そこで
１）第1段”A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.”
２）「いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした」>>191と書いたが
３）やはり「実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある」>>190を示唆しているように思う
４）第2段"{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r}; which implies that α(a)＝ a." は、>>190の４～５に類似だろう。
249:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:19:16.81 6XYDeD+q.net
R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56 >>220
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, >>228
Robert M. Solovay
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Robert Martin Solovay (born December 15, 1938) is an American mathematician specializing in set theory.
Solovay earned his Ph.D. from the University of Chicago in 1964 under the direction of Saunders Mac Lane, with a dissertation on A Functorial Form of the Differentiable Riemann?Roch theorem.
Solovay has spent his career at the University of California at Berkeley, where his Ph.D. students include W. Hugh Woodin and Matthew Foreman.
以下略
250:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:25:44.56 6XYDeD+q.net
>>224-226
どうも。スレ主です。
見たけど、まあ良いと思うけど
それぞれ、別にスレがありそうだね
このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
私の勉強は、副次的な目的として
スレの脱線で、いろんな関連・無関連のテーマは取り上げるよ
また、脱線の範囲は未定義で、なんでもあり。まあ、それが２ちゃんねるらしいと
そういう線で行きましょう
251:１３２人目の素数さん
15/04/29 15:27:37.90 0XhIb4uQ.net
>>192
不思議に思うんだが、単純に考えて、環同型写像f：R→Rが満たす式
f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Rは任意 (f(0)＝0)
と、fが逆関数を持つことと、f(x)＝x x∈Qは任意 なることから、
fの式はf(x)＝xになると予想出来なかったのかい？
これは証明する前に少し弄れば難なく予想出来ることだと思うんだけど。
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:58:17.06 6XYDeD+q.net
>>232
ちょっと戻る
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。
「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
先の完備化の構成法をノルム線型空間に施せばもとの空間を稠密部分空間として含むバナハ空間が得られ、内積空間に施せば元の空間を稠密部分空間として含むヒルベルト空間が得られる。
位相的完備空間
距離空間の完備性は、完備な距離空間が完備でない距離空間に同相となり得るという意味で、距離的性質だが位相的性質ではないことに注意すべきである。
変形版と一般化
一般の位相群に対してもコーシー列は定義で
253:きるから、距離構造や完備性の定義および空間の完備化の構成法も、群構造を使ったもので置き換えた変形版を考えることができる。
254:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 16:15:32.90 6XYDeD+q.net
>>235
どうも。スレ主です。
いやー、全くそういう発想は無かったね
fの式はf(x)＝xなら自明な同型で、当然環同型写像の性質は満たす
けど、
環同型写像f：R→R
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数
環同型写像f：C→C
の４つの場合を考えると、どうよ？
f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Fxは任意 （Fxは上記４つ体のいずれか）
fが逆関数を持つことと、f(x)＝x x∈Qは任意
これらは、４つの場合に共通だろ？
上記から直ちにf(x)＝xは出ない。というか、f(x)＝xに限られる実数の場合が例外だと
255:１３２人目の素数さん
15/04/29 16:39:35.47 0XhIb4uQ.net
>>237
例えば、関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考えるとかさ。
グラフを描くことは、環同型写像f：R→Rのときしか出来ないじゃん。
他の場合はグラフを描くことは難しいだろう。
順序構造は、実数に特有の性質で、それを生かして証明の前に予想するんだよ。
複素数だと順序構造はなくなるだろう。
256:１３２人目の素数さん
15/04/29 16:57:20.07 0XhIb4uQ.net
>>237
関数f(x)のグラフを座標平面上に描けることも、実数体Rが持つの順序構造のおかげ。
他の場合だと、本来4次元空間に描くグラフを2次元のユークリッド平面R^2上に描かなければいけなくなる。
257:１３２人目の素数さん
15/04/29 17:09:57.11 0XhIb4uQ.net
>>237
>>239の「実数体Rが持つの順序構造」は「実数体Rが持つ順序構造」と訂正。
「4次元空間」は4次元のユークリッド空間R^4のこと。
258:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 17:32:55.67 6XYDeD+q.net
>>238-240
なるほど、それは、考えとしてはすばらしいね
絶対大事なことだよ
が、一つ問題は、「関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考える」が、環同型写像f：R→Rのとき常に成り立つと言えるかどうかだね
もっと言えば、>>220
"If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;"とあるだろ？
こういう例を、環同型写像f：R→Rの場合にどうやって排除するか
259:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 17:36:37.82 6XYDeD+q.net
補足
もっと言えば、「ワイルド」な自己同型>>223 が、実数体Rで排除されるのはなぜか？だ
260:１３２人目の素数さん
15/04/30 14:47:55.29 PyBj3q1M.net
>>241
大体こんな感じ。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。fのQへの制限をgとする。
と、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであり、g(x)＝xである。
点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
g(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|g(x)－g(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、gは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、g：Q→Qは連続である。
よって、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
261:１３２人目の素数さん
15/04/30 14:51:50.12 PyBj3q1M.net
>>241
(>>243の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。
yを実変数とする。点x∈(0,∞)を任意に取る。点ε∈(0,+∞)を任意に取る。
{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。自然数k＝1,2,…を任意に取る。
と、0＜b_k＜εであり、任意のy∈Qに対してf(y)＝yだから、有理数の稠密性から
b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
自然数j＝1,2,…を任意に取る。すると、y_j＝x＋b'_jとすれば、y_j∈Rであり、b_k＞|f(y_j)|である。
点a∈Qを任意に取って、b_kに対して定まる実数δ(b_k)＞0がδ(b_k)＞max(b_k,|y_j|)を満たすとする。
すると、|y_j|＜δ(b_k)であり、|f(x＋a)－f(a－b'_j)|＝|f(x＋b'_j)|＝|f(y_j)|＜b_k。
よって、y_jをy－y_jで置き換えれば、|y－y_j|＜δ(b_k)のとき、|f(y－y_j)|＝|f(y)－f(y_j)|＜b_kとなる。
自然数j＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、y_j＝x＋b'_j→x＋0
262:であり、 よって、|y－x|＜δ(b_k)のとき、|f(y)－f(x)|＜b_kとなる。 自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε－0。 よって、或る自然数N(ε)が存在して、k＞N(ε)なる自然数kを任意に1つ選んで、ε＞b_kに対して 定まる実数δ(ε)＞0を＝δ(b_k)とすれば、|y－x|＜δ(ε)のとき、|f(y)－f(x)|＜εとなる。 点ε∈(0,+∞)は任意だから、εを(0,+∞)上で走らせれば、任意のε＞0に対してfは点xで連続である。 点x∈(0,+∞)は任意だから、xを(0,+∞)上で走らせれば、f(x)は任意の点x∈(0,+∞)で連続である。
263:１３２人目の素数さん
15/04/30 14:53:34.96 PyBj3q1M.net
>>241
(>>244の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
と、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、
f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、f：R→Rは環同型写像だから、1＝1・1から、f(1)＝(f(1))^2。また、f(1)＝c。
従って、c＝c^2から、c＝0またはc＝1。c＝0とすると、f(x)＝0であり、
定値関数fは逆関数を持たないから、f：R→Rは環同型写像ではないことになって矛盾。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
264:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:02:44.04 PyBj3q1M.net
>>241
>>244の
>自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε－0。
の「j→+∞」は「k→+∞」と訂正。
265:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:09:22.99 OHLZd5cd.net
そこかよ
266:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:45:42.68 PyBj3q1M.net
>>241
>>244の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
の「単調増加な正の有理数列」は「実数列」と訂正。あと、
>b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
>{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
>かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
の部分の「或る(b_k)(h)∈Q」は「或る(b_k)(h)∈R」、「有理数列」は「実数列」と訂正。
267:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:52:48.84 PyBj3q1M.net
>>241
いや、>>248(>>244)の上の部分の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
では、「有理数列」を「実数列」と訂正。
268:１３２人目の素数さん
15/04/30 20:21:30.66 xdS4uoPQ.net
>>243-249
大間違い。
269:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 20:40:34.27 fBm6S7GL.net
>>243-249
なんだ、>>238-240はおっちゃんだったのか？
声が若いから、学生さんと思っていたよ
225なんか見ると、えらく勉強熱心だと思ったが、おっちゃんなら納得だ・・
で、本題だが、また沢山書いてくれたね～（>>243-249）
だが、「そもそも実数とは、有理数体Qを完備化したもの」という視点に立ったらどうよ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列を用いた構成
詳細は「コーシー列#実数の構成」を参照
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。
URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp)
実数の構成に関するノート 原隆（九州大学数理学研究院）Last updated: Juy 10, 2007
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．
具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．
そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．
270:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 20:45:44.40 fBm6S7GL.net
>>251 つづき
「そもそも実数とは、有理数体Qを完備化したもの」という視点に立てば、
>>236にあるように
”>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう”
で終わっているんじゃない？
271:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 21:08:00.60 fBm6S7GL.net
>>252 つづき
要は、「実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。」>>251
有理コーシー列は、環同型写像f：R→Rで動かないから
有理コーシー列で定まる実数も動かないと
むしろ、有理数体Qを完備化したRを、さらに虚数ｉ で拡大したら、なぜワイルドに？ Ｃってなんだ？と
272:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 21:42:16.46 fBm6S7GL.net
>>253 つづき
だから
環同型写像f：R→R・・・有理数体Qを完備化したものだからf(x)=x
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数・・・完備化されていないから有理コーシー列に影響されない
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数・・・同上
環同型写像f：C→C・・・？？？（あんただれ？）
このC（あんただれ？）にどう答えるかで、数学のレベルとセンスが分かる・・
273:１３２人目の素数さん
15/05/01 03:03:18.23 NPJj25Yb.net
あ、>>245の
>[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
って完全な間違いだったのか。(f(1))^n＝c^n＝c＝f(1) n∈N/{0}は任意
だからc＝1って一意に求めること出来ないのか。
>>241
じゃ、>>243-246、>>248-249は取り下げ。
274:１３２人目の素数さん
15/05/01 03:32:34.17 NPJj25Yb.net
>>251
いや、紙に丁寧に書いていないからよく分からんが、大きな間違いがあるのは>>243-245の第1段終了までのどこかだな。
実数体R上で考えているんだから、>>255のようなことは半ばど～でもいい。
ところでさ、そもそも、「ワイルド」な自己同型って何? 「ワイルド」って一体どういう意味で使っているのだ？
よく分からないが、広く普及しているいい方である「病的な」という表現を使わずに「ワイルド」と区別して使っている以上、
「ワイルド」の意味のニュアンスと「病的な」の意味のニュアンスとは違うのだろう？
そこらへんをはっきりさせくれ。そうしない以上、証明も論理もヘッタクレもない。
275:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 04:02:49.15 kLen/OPb.net
>>256
おっちゃんどうも。スレ主です。
>ところでさ、そもそも、「ワイルド」な自己同型って何? 「ワイルド」って一体どういう意味で使っているのだ？
元は>>152に書いたが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3]
（引用おわり）
これは英文の翻訳だね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In the case of the complex numbers, C, there is a unique nontrivial automorphism that sends R into R: complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms (assuming the axiom of choice).[2][3]
2.Yale, Paul B. (May 1966). "Automorphisms of the Complex Numbers" (PDF). Mathematics Magazine 39 (3): 135?141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
3.Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22?23, ISBN 0-521-00551-5
276:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 04:22:46.33 kLen/OPb.net
>>257 つづき
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
One of the best known bits of mathematical folklore is that there are many automorphisms of the field of complex numbers，
i.e .，that the complex numbers can be permuted in many ways (besides the familiar complex conjugation) that preserve addition and multiplication.
As evidence that it is folklore we point out that it appears without proof in a popular projective geometry text [6] as well as an undergraduate algebra text [5].
This expository paper is devoted to a proof of this bit of folklore.
The average mathematician is vaguely aware that
the “wild" automorphisms of the complex number system probably require for their construction the axiom of choice or some equivalent assumption about sets.
In our existence proof for wild automorphisms we illustrate a typical application of Zorn's lemma;
moreover，we present evidence (Theorem 4) that wild automorphisms are so wild that an assumption such as Zorn's lemma or the axiom of choice seems to be essential.
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:03:25.52 kLen/OPb.net
>>258 つづき
THEOREM 4. If φ is a wild automorphism of C then φ is a discontinuous mapping of the complex plane onto itself;
in fact，φ leaves a dense subset of the real line pointwise fixed but maps the real line onto a dense subset of the plane.
Proof. By Theorem 2，φ leaves Q (a dense subset of the real line!) pointwise fixed.
By Theorem 3 we can choose b∈R such that φ(b) not∈R.
Every neighborhood of b contains a rational number (which is left fixed by φ) and the number b (which is moved by φ); hence φ is discontinuous.
For every pair of rational numbers， q and r，φ(rb+q) =φ(r)φ(b)+φ(q)=rφ(b) +q.
Thus for a fixed r，{φ (rb+q) | q∈ Q} is a set of images of real numbers which is a dense subset of the horizontal line through rφ(b).
As r varies this horizontalline moves up and down; moreover the various rφ(b) form a dense subset of the(nonhorizontal)line through 0 and φ(b).
Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.
（引用おわり）
278:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:07:43.40 kLen/OPb.net
まあ、ＰＤＦを直に読んだ方が分かり易いが、このスレの議論のために引用した
“wild"を、PAUL B. YALE，が使った意味は、上記の通り
279:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:27:41.88 kLen/OPb.net
参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pomona College is a private liberal arts college located in Claremont, California, United States.
Pomona is an exclusively undergraduate four-year institution and enrolled approximately 1,600 students in fall 2012.
The founding member of the Claremont Colleges, Pomona is a non-sectarian, coeducational school.
Since 1925, the Claremont Colleges, which have grown to include five undergraduate and two graduate institutions,
have provided Pomona's student body with the resources of a larger university while maintaining the benefits of a small college.
280:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:37:53.45 kLen/OPb.net
検索でヒットしたから貼っておくよ
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1515-1.pdf
数理解析研究所講究録
1515 巻2006 年1-24
281:体のモデル理論とその応用 東海大学理学部情報数理学科板井昌典(Masanori ITAI) Department of Mathematical Sciences Tokai University, Hiratsuka, Japan RIMS 共同研究(2006 年3 月13 日\sim 3 月17 日) において, 体のモデル理論に関して行った講 義ノートである. 代数的構造のモデル理論は大きな成果をあげてきた. とくに体や群については詳細な結果が得 られている. また, これらの成果を用いて代数幾何や数論幾何の未解決問題も解決された.
282:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:45:18.67 kLen/OPb.net
これも
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
第1658 巻2009 年228-256
論理・集合・実数・物理・測定: 量子集合論と量子力学の観測問題*
名古屋大学・大学院情報科学研究科小澤正直
283:１３２人目の素数さん
15/05/01 06:01:47.76 NPJj25Yb.net
>>260
We shall call any automorphism of C which is not I_C nor complex conjugation a wild automorphism of C.
を訳すと、「ワイルドな」複素数体Cの自己同型写像の定義は、恒等関数I_Cでも複素共役でもないような
任意のCの自己同型写像をCの「ワイルド」な自己同型写像というということか。
Cの他の部分体Fのときも同様な「ワイルドな」自己同型写像の定義が出来ると。参考になった。資料サンクス。
まあ、証明はいつになるか分からんが、もし証明出来たら書く。来週水曜まではチョットムリなんで。行方不明になりま～す。
284:１３２人目の素数さん
15/05/01 06:25:31.70 NPJj25Yb.net
>>260
環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることを導けば、
fは恒等関数I_Rに等しくなって、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0なんだから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドでなく、Rのワイルドな
自己同型写像は存在しないことになって終了していると思うんだよね。
その環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることの証明をすればいいと。
証明の方針は>>243-246、>>248-249でいい筈なんだよね。
まあ、来週水曜までは行方不明になってチョットここに書くことはムリなんで。
285:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:09:46.63 NPJj25Yb.net
>>260
紙に丁寧に書いてはいないが、一応何とか出来たから下に書いておく。確認するけど>>16についての話だよな。
まあ、何れにしろ今日の夜から来週水曜あたりまではチョット暇がなく応対は出来ない。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。つまり、f：R→RはQにおいて連続である。
ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
286:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:17:14.18 NPJj25Yb.net
>>260
(>>266の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。xをx＞0なる実変数とする。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。
εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
287:ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。 よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の各(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、 |X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
288:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:22:21.58 NPJj25Yb.net
>>260
(>>267の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
289:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:26:44.26 NPJj25Yb.net
>>260
(>>268の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^nであり、c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
290:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:28:45.88 NPJj25Yb.net
>>260
(>>269の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]；Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
291:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:35:42.94 NPJj25Yb.net
>>260
まあ、これから少なくとも来週水曜までは行方不明ということで。
明日、明後日の土日は書かないんで。
292:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:15:23.26 8v2ZcSyv.net
ゴールデンウイーク中にガロア理論をマスターする俺に一言
293:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:20:55.85 PsYBpom2.net
マンガでも読んでた方が実りある連休になると思うよ
294:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:25:48.28 8v2ZcSyv.net
宇宙の真理に俺が近づくと何か不都合でも？
295:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:27:48.98 NPJj25Yb.net
>>272
能力は分かりかねますが、頑張ってマスターして下さい。
私は今夜から来週水曜あたりまで2チャンに書き込めない状態になりますんで。
296:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:35:49.82 blYfwzXF.net
＞c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
-1=(-1)^3
297:１３２人目の素数さん
15/05/01 17:03:28.68 NPJj25Yb.net
>>260
見落としがあった。>>269の[第2段]は次のように訂正。正確には
nが奇数のときとnが偶数のときとで場合分けをする必要がある。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^n。nが奇数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
nが偶数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝±1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
次にc＝－1とすると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、nをn≧2なる任意の偶数とすると、(f(1))^n＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^n＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
298:１３２人目の素数さん
15/05/01 17:06:21.06 NPJj25Yb.net
まあ、もう書けないんで、あとの応対は来週水曜以降。
299:１３２人目の素数さん
15/05/01 20:20:31.96 MMtIcg7t.net
>>266-270、>>277
あってない
300:１３２人目の素数さん
15/05/02 03:29:16.24 Pww9JTYC.net
>>266
＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ここが問題かな。
ちなみに f(1)=1 は(単位的)環の準同型の定義に含まれている。
301:１３２人目の素数さん
15/05/02 12:38:47.81 G/fDOEPQ.net
>>272
線形代数くらい知ってるとして、アルティンのガロア理論なら、全部で82ページ(英語)。
1章の線形が20ページ、メインの2章だけなら50ページ。
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のない
誰かさんより、アルティンがんばって連休中に読めば、よほど理解が進むよ。
ガロア理論じたいは、それだけならそんなに難しくはない。今ならちくま文庫版
あるしね。
アルティンの本は理論の概略しか書いてないので、本当は群環体を普通に
勉強したほうがいいけどね。
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 17:41:57.95 jADohwWI.net
>>281
どうも。スレ主です。
ID:G/fDOEPQさんに全面同意だね
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のないが、スレ主を意味することも含めてね
アルティンより、Ｃｏｘ
303:をお薦めするよ 本格的な勉強（院を目指す）を考えるなら 和と英（原書）との併読を http://www.amazon.co.jp/Galois-Theory-Pure-Applied-Mathematics/dp/1118072057 Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts) (英語) ハードカバー ? 2012/3/27 David A. Cox (著)
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 19:47:04.31 jADohwWI.net
>>282 補足
そういえば、私スレ主が、おっちゃんの主題のおかけで少しレベルアップしたんだ
それが、>>33だ
まず前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:517番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう
305:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 19:52:19.22 jADohwWI.net
>>283 つづき
どうかこの問題にコメントして、ID:G/fDOEPQさまのレベルの高さを示してくださいまし・・（笑い） ＨａＨａＨａ！
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:19:14.57 jADohwWI.net
>>283 訂正
おっちゃんの主題のおかけで
↓
おっちゃんの出題のおかけで
（本題）
そういえば、>>258 URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
が面白かった。
連休道中ずっと読んでいた・・
" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although 1 do not know where the proof may be found.
References
1. R. Baer，Li nearAlgebra and Projective Geometry，Ac ademic Press，Ne w York，19 52，p. 63.
*)ALFo:アレフ・ゼロ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) （アレフが文字化けするので書き換えた） "
307:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:33:02.82 jADohwWI.net
>>285 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で
超越次数については、>>111-112にあって、「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。」（日、英）、”of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).”（独）が参考になるだろう
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:37:24.65 jADohwWI.net
>>286 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で、1966年当時 PAUL B. YALE，Pomona Collegeは、
”I have heard this from other sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.” だった
いま、2015年。いまでも証明不明だろうか？
309:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:45:28.05 jADohwWI.net
>>278 つづき
関連で、私スレ主も>>283に示したように、おっちゃんの出題をひねって、”連続濃度の”べきの濃度”"とした
”連続濃度の”べきの濃度”"は、普通の数学本では扱われることが少ない
だから結構難問になるのかも・・・
>>283も、”I mention an additional bit of mathematical folklore.”と言ってみたい気もする今日この頃
310:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 22:12:58.60 jADohwWI.net
PAUL B. YALE，Pomona Collegeさま、もしお元気なら、次もmathematical folkloreに追加願います （＾＾
”Let G is a multiplicative group formed by some complex number without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
311:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 23:19:30.74 jADohwWI.net
>>285 つづき
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
P138 "A special case of Theorem 5A comprises part of the proof of Theorem 3.
In that proof we showed that the only extensions of IR to R(i) =C send i to ±i.
If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."
に対して
" 6. Concluding remarks の
2. It is not true that any isomorphism between subfields of C can be extended to an automorphism of C.
In particular there are isomorphisms with domain C whose range is properly contained in C.
For example, choose αI,α2,α3,... , a countable set of complex numbers that are algebraically independent over Q.
There is an isomorphism, φ, of Q(α1, α2, ... ) into itself such that φ(αi) =αi+1.
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)."
が解答だろう
312:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 23:27:42.18 jADohwWI.net
>>290 つづき
6. Concluding remarks の2. は、証明を書いているが、これは例外的な記述法
普通は、6. Concluding remarks では証明は書かない、証明を書くならその前だ
”If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."が分かり難い
「αがF上の超越拡大であり、そして、F'上に複素数の超越数が存在しなければ」の否定（unless）?
これと、 6. Concluding remarks の2.の証明との繋がりが、いまいち理解できなかった・・
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 05:55:08.95 8svvg2D/.net
>>290 訂正
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ・・
↓
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ・・
（注：⊂→⊆ まあ分かるだろうけど（∵⊂に等号成立を含む場合も多いから）正確なコピペはこれ）
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:18:32.89 8svvg2D/.net
>>292 つづき
もう一つ訂正があった
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
↓
Applying Zorn's lemma to F（ヒゲ）= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
（注：F（ヒゲ）は、ヒゲ文字。これのフォントが無いんだよね。まあ、原文PDFを読んでもらえば良いのだが・・）
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:24:45.61 8svvg2D/.net
>>293 つづき
ヒゲ文字参考
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
（抜粋）
ドイツ文字
中世ヨーロッパ的な雰囲気の漂う書体です．別名ヒゲ文字とも呼ばれています．
現在はドイツ語を著す書体としては装飾目的以外にはあまり使われてないようです．
ただし，高度な数学の数式中の文字としてはよく使用されています．
ドイツ文字の典型的な注意点ではありますが…
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
フラクトゥール（独：De-Fraktur.ogg Fraktur[ヘルプ/ファイル]、フラクトゥーア）は、ドイツ文字、亀の子文字、亀甲文字、ひげ文字などとも呼ばれる書体である。ドイツでは、第二次世界大戦頃までこの書体を印刷に常用していた。
フラクトゥールは、中世のヨーロッパで広く使われた、写本や
316:カリグラフィーの書体を基にした活字体・ブラックレターの一種であり、最も有名なものである。 時には、ブラックレターを全部指して「フラクトゥール」と呼ぶこともある。 フラクトゥールの語源は、古いラテン語の分詞、frangere（壊す）、fractus（壊れた）であり、他のブラックレターや現在よく使われるローマ字体であるアンティカ体に比べて線が崩れているところに特徴がある。
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:35:37.37 8svvg2D/.net
>>284 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
ブラックレター（Blackletter）はアルファベットの書体の一つ。
西ヨーロッパで12世紀から15世紀にかけて使われていたが、ドイツにおいてはフラクトゥール（ドイツ文字）と呼ばれるものが20世紀まで用いられていた。
このため、ブラックレター全体を指してフラクトゥールと呼ぶこともある。
また、日本語においてゴシック体と呼ばれる書体はアルファベットの書体としてはサンセリフであり、英語においてゴシック体（Gothic Script）と言うと通常はブラックレターを指すので注意を要する。
ゴシックという呼称
ルネサンス期のヒューマニスト達はローマ帝国から使われていたローマン書体を敬愛しており、ブラックレターを洗練されていないものとして嫌っていたため、蔑称として「ゴシック」という呼称が15世紀イタリアにおいて使われ始めた。
「ゴシック」という語は、ローマ帝国に侵入しその滅亡の一因となったゴート族に由来しており、この場合は「洗練されていない」「野蛮」といった意味で用いられている。
なお、ブラックレターだけが「ゴシック」と呼ばれた訳ではなく、
前述のカロリング小文字体やアンティーク文字、ヒューマニストが古代ローマで用いられていたと考え古代文字と呼んだ書体（実際はカール大帝の時代に作られたもの）なども
洗練されていない粗野な書体として「ゴシック」というレッテルを貼られていた。
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:47:26.48 8svvg2D/.net
>>295 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
質問者：strinasacchi 質問日時：2009/07/09 13:38
ドイツ語の旧字体(ひげ文字)のフォントを提供しているサイトを教えて下さい.
No.2ベストアンサー
回答者：elttac 回答日時：2009/07/09
参考 URL のサイトの，「Gothic」→「Medieval」のカテゴリをご覧ください。ここから，ご所望のひげ文字（フラクトゥール）をはじめとして，ブラックレター体のフォントが数多く無料で入手できます。
気に入ったものをお探しになって，ご利用になるとよいでしょう。
参考URL：URLﾘﾝｸ(www.dafont.com)
No.1ベストアンサー
回答者：trgovec 回答日時：2009/07/09
URLﾘﾝｸ(www.morscher.com)
その他 fraktur font で検索すれば見つかります。A が U のような形をしているのが見分けるポイントです。
319:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:56:46.95 8svvg2D/.net
>>296 つづき
さすがに、最近ドイツヒゲ文字は見ないが、少し古い数学本ではよく使われていた
PAUL B. YALE，Pomona College氏も、1966年だから、ドイツヒゲ文字使ったんだろう
が、２ちゃんねるには合わない
まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
そういう意味では、>>277-278のおっちゃんの努力を見ると「えらいなー」と思う反面、「ちょっとキャラが違う・・」という気がする
大体、私は自分で証明を考える前に、どこかに落ちてないか探すけどね、易しいのは別として
で、証明見て分からんときに考えるか、納得できないときに別証明を考える
この板では、出題の場合以外は、オリジナルの証明を書くことはまずない。どこかの証明のURLとそのコピペが基本だ
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 07:09:22.63 8svvg2D/.net
>>291-292 ここに戻る
書いていて分かった・・
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)
か。えらいことを考えているねー
普通、体の同型は一対一なんだ、特に有限の場合は
しかし、有限でない場合は、上記のように逆射が”α1 is not in the range ”に出来るというわけか
”へー”ですね
で、” α1 transcendental over range θ ”の場合は、”which cannot be extended to F(α1) ”だと
それで、”unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."とつながる
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 07:21:07.07 8svvg2D/.net
>>298 つづき
isomorphismはこの通りだが、Extending automorphisms to C （P140）では事情が違う
unless の例外は存在しない
だから
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
なのだ
それで、”6. Concluding remarks.の
1. Although it is doubtful that anyone will give a complete recipe for an
automorphism of C aside from Ic or complex conjugation, we see from the
Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C.
Thus, for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.”だと
322:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 12:45:21.35 8svvg2D/.net
>>299 つづき
ちょっと訳すと
for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。
当然、Qは固定で、Rは>>259のTHEOREM 4. にあるように、
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.”で
wild automorphisms になるのだが・・
超越数：π and e の交換
複素数：3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し
の二つの要素が必須なのかね？
”unless α is transcendental over F and there are no complex numbers transcendental over F'.”で
”Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.”THEOREM 4.>>259 ( b∈R such that φ(b) not∈R )
だから、”b∈R such that φ(b) not∈R”は必須で、”複素数：3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し”がこれに相当する・・
だが、超越数：π and e の交換は必須ではない・・
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 15:13:59.23 8svvg2D/.net
>>288 訂正
some complex number→some complex numbersだな
よって正しくは
”Let G is a multiplicative group formed by some complex numbers without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
324:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 15:28:57.84 8svvg2D/.net
>>300 つづき
Qの拡大、Q(i3^(1/4), π, e)を考えると
π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する自己同型σ考えることは容易だ
THEOREM 7. Any automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C. >>299
により、これを extended to an automorphism of C とすると、>>300の例になるんだ・・
325:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 16:00:51.22 8svvg2D/.net
>>302 つづき
P140より
THEOREM 7. A ny automorphism of a subfield of C can be extended to an automorphism of C.
Proof. Let φ be an automorphism of a subfield of C, and let F(ヒゲ) = {θl θ is an
automorphism extending φ to some subfield of C}. The proof that F(ヒゲ) satisfies
the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of
Theorem 6, the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
of domain σ⊆F^α. We leave this to the reader. Applying Zorn's lemma let
ψ be a maximal member of F(ヒゲ). We must show domain ψ = C. If not, then there
is a complex number, α, not in domain ψ=F. If α is algebraic over F then, by
Theorem 6, we could extend ψ to an automorphism of F^α contradicting the
maximality of ψ in F(ヒゲ). If a is transcendental over F, then by Theorem 5B we
could extend ψ to an automorphism of F(a), sending α to α for example, since
α is also transcendental over range ψ = F. This again contradicts the maximality
of ψ, so there can be no complex numbers outside of domain ψ and the proof is complete.
引用おわり
”the only change necessary is to show that domain σ = range σ instead
of domain σ⊆F^α. We leave this to the reader. ”と言われてしまった・・
Zorn's lemma は、使い易いのかね？ よく出てくる・・
追伸
余談だが、F(ヒゲ)では高等数学の雰囲気が壊れるが、ヒゲ文字をこの貧弱な板で簡単に出す方法を知らないのでご勘
326:弁を
327:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 16:37:54.73 8svvg2D/.net
>>303 つづき
>The proof that F(ヒゲ) satisfies the three hypotheses of Zorn's lemma is virtually the same as in the proof of Theorem 6
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Zorn's lemma, also known as the Kuratowski?Zorn lemma, is a proposition of set theory that states:
Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.
It is named after the mathematicians Max Zorn and Kazimierz Kuratowski.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。
PAUL B. YALE，Pomona College P139より
ZORN'S LEMMA. If F(ヒゲ) is a nonempty family of subsets of a given set B and F(ヒゲ) has
the chain property, then there is at least one set, M, in F(ヒゲ) such that A ∈ F(ヒゲ) and M⊆A
implies M = A .
ここは、ZORN'S LEMMAの表現がちょっと異なるね
the three hypotheses of Zorn's lemma (THEOREM 6 Proofより)
がいまいちはっきりしない。一つは、nonempty。あと、the chain property（ordered pairs）で二つ。
三つ目は、family of subsets of a given set B かね？
328:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 16:48:58.13 8svvg2D/.net
>>299 ここに戻る
"Theorem above that any automorphism that can be constructed in a finitely
generated extension of Q can be extended to C."
finitelyに限定された証明なので、" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.">>285
なんだね
finitelyの限定を外すのが、けっこう大変なんだろうね
329:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 17:28:19.97 8svvg2D/.net
>>282 ここに戻る
アルティン本を礼賛する時代は終わったと思う
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
１．分かり易さは、個人で違う。アルティン本が合う人がいることは否定しない
２．が、個人的にはアルティン本の記述は圧縮されすぎている気がする
３．アルティン本の前書きで、「ノートルダム大学の夏期学校の講義ノート」だとある
４．講義のテキストに適する本と独習本に適する本とは違うと思う
５．その点、Ｃｏｘの方が深く広くガロア理論を学べるだろう
（Ｃｏｘ本の良いところは、歴史的ノートが詳しいところだ）
６．アルティン本を副読本として読むのは良いと思うよ
７．なお、GWはほぼ終わりだが、本格的なガロア本を読む前に、通俗ガロア本を読んで概要を掴んでから読むことをお薦めする
330:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 17:59:40.41 8svvg2D/.net
>>306 つづき
「エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された」（下記）
だから、それ以前のガロア理論を知る世代から見ると、アルティン本は画期的なのだろう（だからの礼賛だった）
が、最近の本は、線型代数学的な定式化はあたりまえ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。
早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「�
331:ﾌ」（独: Korper）と名づけた。 その後、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）によってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。 アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。
332:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 19:52:37.26 8svvg2D/.net
>>307 つづき
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
新・数学の学び方 単行本 ? 2015/1/29 小平 邦彦 (編集)出版社: 岩波書店; 新版 (2015/1/29)
内容紹介
「数学がわかる」とはどういうことなのか。13人の数学者が実体験をもとに、それぞれの学び方を綴る。1987年刊の『数学の学び方』に新エッセイ5篇を加えた新版。
編者のほか、深谷賢治、斎藤毅、河東泰之、宮岡洋一、小林俊行、小松彦三郎、飯高茂、岩堀長慶、田村一郎、服部晶夫、河田敬義、藤田宏の各氏が寄稿。
入門的概説書として数学の世界を概観できました。
投稿者 雑学家 投稿日 2015/3/20
自分は日頃から感動のない本を読むことほど馬鹿らしいことはないと思っている。以下略
投稿者 Elizabeth 投稿日 2015/2/13
主に東大教授から構成される、数学者たちからの、数学の学び方指南書。
１３編の読み物のうち、２つ参考になった。
一人目は、小平邦彦氏。
分からない流れはとにかくノートに写して写して写しまくって、
何回も書いてるうちに理解できる、とのこと。
二人目は、河東泰之氏。
この先生のエッセイは、コピーを取って読み返している。
非常にためになる。
この先生のエッセイを読むためにお金を払ったと思い、以下略
333:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 20:09:40.98 8svvg2D/.net
>>308 つづき
本題
小平 邦彦 P1～「数学に王道なし」
これ面白いよ
P10 旧制中学で、藤原松三郎「代数学」を読み始めたという
”ガロアの理論がどうしてもわからなかった、などという微かな記憶がある”とある
藤原松三郎「代数学」のガロアの理論は第二巻にあるが、これはアルティン流に成る前の原ガロア論文に即した理論なんだ
さすがに、小平 邦彦氏も旧制中学時代には分からなかったのかも・・
P13に再びガロアの理論の話が出てくる
”それから第十一章のガロア理論がどうしてもわからなかったという記憶がある。章末の諸定理のローウィ（Loewy）のガロア理論が載っている。
高校（旧制）の１年のときにこのローウィのガロア理論を詳しく勉強したノートが残っているから、ガロアの理論を読んだのは高校に入ってからであろう。”とある。
なお、”『代数学』で苦心惨憺したお陰でその後高校でも大学でも数学では苦労しないで済むようになった。講義でも本でも克明にノートに書き移せばそれで分かるようになったのである。”と
334:１３２人目の素数さん
15/05/05 20:13:29.89 I/ZPGAW/.net
スレ主さん的に松坂代数と高木代数と雪江代数はどれがおすすめ？
335:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 20:48:23.53 8svvg2D/.net
>>309
藤原松三郎「代数学」第二巻 第十一章 P193 Loewy先生は、1925,1926とある
Loewy先生のガロア理論は、下記と同じか？ なお、Coxガロア和書下P310 歴史ノート 定理8.6.12にもLoewy先生が登場する
Recent Developments in the Inverse Galois Problem: A Joint Summer Research ...
著者: Michael D. Fr
336:ied, ?Shreeram Shankar Abhyankar - 1995 https://books.google.co.jp/略 ”Loewy galois”で検索請う Loewy先生は、微分方程式で有名のようだね(1906) http://en.wikipedia.org/wiki/Loewy_decomposition Loewy decomposition
337:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 20:54:20.49 8svvg2D/.net
>>310
どうも。スレ主です。
松坂代数は、詳しく知らないが、古い本じゃなかったかね？
高木代数も、内容としては古いだろう。ガロア理論は無かったと思う。アーベルの５次代数方程式の非可解までだったろう。なので、副読本だろう
雪江代数は、好みでしょう。合う人合わない人がいるだろう。講義を受けるなら、選択肢ではないだろうが・・。
まあ、目的によるだろうね・・。それと、個人による。辿ってきた数学歴とポテンシャルと嗜好など。
338:１３２人目の素数さん
15/05/05 20:58:23.41 vMiifqnS.net
>>312
実際にGW中に読めるかはともかく上でArtinを紹介しているのは分量が少ない
という理由だと思うがスレ主はCoxのガロワ理論 上巻および下巻をそれぞれ
どれくらいの期間で読んだの？
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:21:36.34 8svvg2D/.net
松坂代数はこれか？
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
とね日記 2014年05月31日 抜粋
代数系入門： 松坂和夫 1976年刊行
理数系書籍のレビュー記事は本書で253冊目。
本書は群、環、加群、体からガロア理論まで学べる昔からある現代代数学の標準的な入門書である。
「ゲージ理論とトポロジーの年表」や「アラン・コンヌ博士の非可換幾何学とは？」という記事を書いてみて代数学の大切さをつくづく思い知らされた。トポロジーにしろ解析学にしろ代数学の理解は欠かせない。
「代数学I 群と環：桂利行」を読み終え、「代数学II 環上の加群：桂利行」を半分くらい読み進めていたのだが、このシリーズはどうも独学には向かない気がしてきて途中で読むのをやめ、松坂先生の本に切り替えていたのだ。結果的にはそうして正解だった。
本書は数学科の大学３年生が学ぶ標準的な代数学の入門書である。
ところが「はしがき」の中で松坂先生は「初学者向きのものであって、読むための予備知識は特に必要ではない。読者はせいぜい高校２年級程度の数学の素養をもっておられれば十分である。」とお書きになっている。
それは違うだろうと思った。僕は高校生の頃、こんなに難しい本は読めなかった。「高校生でも理解できる」という表現は要注意なのだ。理数系の本、特に数学書の中でこの言葉が使われるとき、よくあるのは次の３つのケースである。
ケース１） 著者ご自身が高校生だったころの自分を想像している場合
たいていこのケースが多い。将来数学者になるような高校生は、昔であれ今であれ普通の高校生とはレベルがまったく違う。
第１章：整数
第２章：群
第３章：環と多項式
第４章：ベクトル空間、加群
第５章：体論
第６章：実数、複素数
付録：自然数
群や環はこれまで読んできた本で学んでいたので、僕にとってためになったのは第４章から第５章にかけての加群と体論だった。
340:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:32:21.58 8svvg2D/.net
>>313
どうも。スレ主です。
数学の本をページ数で計るのは、ちょっと問題だろうね・・
前提としている知識の量が、ページ数が少ないもので、半端でないもの（本）がある
Artin�
341:ｪ、分量が少ないからGW中に読める？ まあ、それはその人のレベル次第だわ・・ 「Coxのガロワ理論 上巻および下巻をそれぞれどれくらいの期間で読んだ」？ 全部は読んでないよ。面白いところだけつまみ読みだ 具体的には、P411の第１２章「ラグランジュ、ガロワ、クロネッカー」あたり ガロア本は複数読んでいるし、群論、体論も読んだ本はあるよ Coxの該当箇所は、斜め読みだよ レムにスケートは、読んでないね（眺めたが・・）
342:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:35:17.69 8svvg2D/.net
>>315 補足
そういや、Artinも何度も読んでいるね
マーカーで線を引いている（＾＾
もっとも、文庫本の前だが
343:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 21:53:18.62 8svvg2D/.net
>>312 つづき
昔の本を書評で「よいしょ」しているのがあってね・・
それにひかれて、古い本というのは、数学に関してはどうだかねー
数学に求められているものが、時代で違うと思うんだよね
戦前は、ソロバンの時代だったろう。そのころの高等数学
そして、時代は進んで、大型電子計算機、電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・
時代時代で、求められることが違うはず。エクセル、数式処理・・・・・、それらが当たり前になった時代に求められる数学と、ソロバンの時代の数学とは違うと思うんだよね
で、結局は人。「電卓、エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」は道具。使うのは人で自分だと
だから、原ガロア論文だと。群論のない時代に、手作りで代数的可解性を構築したガロアの行為が、一つのモデルだろうと
「群だ体だ環だ」と、完成された理論を学ぶことも必要だろう。だが、世の中の変化する現実を自分の素手でどう捉えるのか？ それが原ガロア理論であり一つのモデルだろうと
URLﾘﾝｸ(www.utnp.org)
2014年10月 4日 東京大学新聞オンライン
松尾豊教授インタビュー第一回
人工知能50年来の革命、ディープラーニングとは？
344:１３２人目の素数さん
15/05/05 22:30:12.42 GBl38+pG.net
ﾞ'． '.;｀i i､ ﾉ .､″
ﾞ'． ,ト ｀i､ ｀i､ .､″
| .,.:/"" ﾞ‐,. ｀ /
` .,-''ヽ"｀ ヽ,,,、 !
､,､‐'ﾞl‐、 .丿 : ':、
､/ヽヽ‐ヽ､;,,,,,,,,,-.ッ:''｀ .,"-、
,r"ﾂぃ丶 ｀｀｀｀｀｀ ..／ ｀i､
,.ｲ:､ヽ／ー｀-､-ヽヽヽ､－´ .lﾞ｀-、
_,,lﾞ-:ヽ,;､、 ､､丶 ﾞi､,,、
,<_ l_ヽ冫｀'｀-､;,,,､､､､.............,,,,､.-｀": │ ｀i､
､､::|､､､ヽ,､､. ｀｀｀: : : ｀｀｀ ､.､'｀ .|丶、
.l","ヽ､,"､,"'､ぃ､､,､､、、.、、、.、、､_､.,,．ヽ´ lﾞ ﾞ).._
,､':ﾞl:､､｀:ヽ､｀:､ : ｀"｀｀｀￢―'''"｀ﾞ＾｀ : ..､丶 .lﾞ ｀ヽ
,i´.､ヽ".､".､"'ヽヽ;,:､........、 ､､...,,,､－‘｀ ､‐ |ﾞﾞ:‐,
,.-l,i´.､".`ヽ,,,.".｀ ｀ﾞﾞ'"｀'-ｰ"｀｀"｀｀r-ｰ｀'": _.‐′ 丿 ,!
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345:M ._/｀ ｀'ｉ｀ヽヽヽ｀''ｰi､､、: : 、.,-‐'｀ 、／｀ ｀`ヽン'`"｀ : ｀~｀｀―ヽ::,,,,,,,,,,.....................,,,,．ー'｀｀＾ ,､‐'"｀ `"'ﾞ―-､,,,,..､、 : ..,､ー'"'｀ : ｀‘"｀―---------‐ヽ｀｀"''''''""
346:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 22:54:04.92 8svvg2D/.net
>>317 補足
「群だ体だ環だ」と、抽象数学で終わる時代は過ぎたのでは・・
というと言い過ぎかも知れないが、ソロバンの時代には「群だ体だ環だ」といえば称賛されたのかもね・・
だが、「エクセル、数式処理、クラウド、ビッグデータ、ディープラーニング・・」あたりまえの時代には
多少の高等関数（サインコサイン程度）はエクセルで処理出来る時代なんだ
浮き世離れした抽象代数だけで珍重された時代は、過ぎた気がする
２１世紀は、２０世紀には浮き世離れした抽象代数と思われた理論が、現実世界と関係を持つ時代じゃ無いかと。うまく言えないが・・
すくなくとも、自分が学んだ抽象代数学を、コンピュータ処理に載せられるくらいでないと・・
２１世紀の世の中で力を発揮できないのでは？
347:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 22:54:48.07 8svvg2D/.net
>>318
運営、乙！
348:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 23:33:27.84 8svvg2D/.net
>>319補足
ああ、こんなのがあったね
URLﾘﾝｸ(science.slashdot.jp)
プログラマーで実際に数学を使っている人ってどれくらいいるの？
ストーリー by headless 2012年08月12日
（抜粋）
数学がいる例 (スコア:5, 参考になる)
by jsi (25633) on 2012年08月12日
FFTによる多倍長計算の高速化
スペクトラムと乱数
テンソルと画像処理
信号処理と微分積分
暗号と強度
高信頼プログラムと論理学
2D/3D, 座標変換(アフィン写像とか)と三角関数
自然現象の解析と分布および非線形性
3Dとガロア体
通信と符号理論
「数学がいらない」とかいう認識であるうちは、世界をリードする技術要素となるテクノロジを生み出すシリコンヴァレーのようなベンチャ企業はでてこないと思ってるけどなあ。
プログラマじゃなくても数学は必要だと思う (スコア:1)
by Technobose (6861) on 2012年08月12日 21時15分
普通の事務屋でも、数学の知識は必要だと思うな。
特に公的団体の事務屋なんて、なんでもやらなければいけないし。
就職して、いろんな仕事を担当するうちに統計とか、幾何学だとかの知識が必要なことが幾たびも・・・。
仕事で必要になって「昔、どこかで教わったことがある」なんて調べてみたら、高校時代や大学で教わってたなんてことがたびたび。
学校にいる間は、先生なりに詳しい友人なりに聞くことができるけど、勤めてしまうと、なかなかそういうチャンスはないし、高校の数学(数学１から代数幾何・基礎解析、確率・統計)くらいまでは、学生時代までにマスターしておくべきだったと身にしみてます。
数学に限らず、学校で教わることって、そのままの形では出てこないけど、考える基礎として必要なものですね。
学校のカリキュラムは、その時代の定説をもとに、夾雑物をそぎ落とした「純粋理論」みたいなものだから、あんまりおもしろいものではないけど、必要なときに、これを手がかりに必要な知識を調べていくことができる道しるべみたいなものだと思いますよ。
で、必要な力は、そういう「道しるべ」みたいな骨格を元に、自分で調べて肉付けしていける能力だろうと思います。
349:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 05:17:03.16 SXg2oFIb.net
>>309 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P16
数学基礎論が分からなかったという
”ゲーデルの不完全性定理はどうやらわかったような気がしたが、コーエンのforcingは遂に分からなかった”という
また、分かるが証明をしらないということもあると
例として、1963年のアティアとシンガーの複素多様体のリーマン－ロッホの定理を証明したというニュースを聞いて、複素解析曲面の分類の研究を始めた話がある
証明は知らないが、定理はよくわかっていたと
同様な例として、代数曲面の特異点解消定理をあげている
”証明はしらないけれどもよくわかっている定理であった”と
”特異点解消定理のような最も基本的で証明が非常に長い定理は、実際には証明は知らないけれどもよく分かっている定理として応用される場合が少なくないと思う”
と書かれている
350:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 05:35:03.14 SXg2oFIb.net
>>322 つづき
小平 邦彦 「数学に王道なし」P17
”定理の理解を深めるには別証明を考えてみるのが有効である”
”別証明は定理が述べる数学的現象のメカニズムの別な見方を示すからである”
と
実数が非加算であることの小平流別証明をP18-20に書いている
それで、実数の加算部分が極めて小さい部分を占めているに過ぎないことが分かるという
自分なりに解説すると、P17からのカントール流の証明は背理法による。
背理法は、おうおう数学的現象のメカニズムが見えない場合がある
小平流別証明は、背理法を使わない証明を考えたので、これが見える形の証明になったのだろう
話をガロア理論に戻すと、ガロア理論は基本背理法ではないから、数学的現象のメカニズムが見える
351:１３２人目の素数さん
15/05/06 05:53:08.02 iWZualfN.net
>>297
>まあ、こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある
これはそうだろうな。書いていて思うんだが、書きにくいし確認しにくいんだわ。
まあ、>>280が指摘してくれた部分だけ次の通り訂正するけどさ。
>＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
だと、「AのときA」のようにトートロジーになって同じことを書いただけになっているな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、
確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
これで問題ないでしょう。他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
352:１３２人目の素数さん
15/05/06 08:00:47.15 xuHONDUI.net
>>324
そこだけ訂正しても全体では間違い
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 08:46:27.01 SXg2oFIb.net
>>324 おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明お疲れです
>他の>>267-270、>>277は、スレ主の意向を尊重し、訂正して書かないことにする。
いや、まあ、好きにして良いんだよ
「こんな不便な板で、こてこて数学の証明を書くこともあるまいというのが、スレ主の持論ではある」が、それは私のであって、貴方のではないだろう�
354:ｩら
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 08:46:57.44 SXg2oFIb.net
>>325
どうも。スレ主です。
レスが早いですね
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:06:06.94 SXg2oFIb.net
>>326 補足
まあ、証明だったら、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) とか
あるいは、だれかプロ用日本語サイトでも作れば良いだろう
「書きにくいし確認しにくい」とは、読む方も読みにくいってこと
だが、現在ここ以外にまともな掲示板ないから
おっちゃんの練習場として使って貰う分にはかまわんよ
かつてのKummerさんみたく、読みにくい証明で埋めつくすのはいかがかと思うが・・
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:09:29.69 SXg2oFIb.net
余談だが、以前１スレで証明をまとめろとかのたまう御仁がいたが
わざわざ１スレだと読みにくいから、分けて書いた経緯がある
まず、証明のあらすじで１レス
その後、証明の流れで分けて複数レスに
１レスにつめると、ただでさえ読みにくい証明がよけいだろうと
証明を読むのが趣味な人は別として（＾＾
358:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:32:20.99 iWZualfN.net
>>326
じゃあ、書こうか。>>16を踏襲した上での話でいいよな。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から、0＜b＜εなる有理数bが存在する。
xは有理数変数であることに着目して、|x－a|＜bなる有理直線Q上の点xを任意に取る。
すると、f(x)＝x、f(a)＝a、b＜εの何れもが同時に成り立つから、|f(x)－f(a)|＜εを得る。
有理直線Q上の点xは条件|x－a|＜bの下で任意だから、
点xを有理直線Q上において条件|x－a|＜bの下で走らせて考えると、
εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝bとすれば、|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。
つまり、f：R→RはQにおいて連続である。以後xは有理数変数ではないとする。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
359:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:34:11.42 iWZualfN.net
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
xを実変数とする。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは
両方共に任意だから、Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、
|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、
実関数f(Y)、a＞Y＞0の(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。
点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
360:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:37:37.84 iWZualfN.net
>>326
(書き忘れたが>>331は>>330の続きで、以降は>>331の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
361:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:39:25.40 iWZualfN.net
>>326
(>>332の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、
1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。従って、c＝c^nを得る。
ここで、nについて場合分けをする。
Case1)：nが3以上の奇数のとき。n－1は2以上の偶数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝±1が条件を満たすか否かを調べる。
Case1-1)：c＝0とする。f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
Case1-2)：次にc＝－1とする。すると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、m≧2なる偶数mを任意に取ると、(f(1))^m＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^m＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
Case1-3)：一方、c＝1とする。すると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは
確かに環同型写像となり、満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case1-1～Case1-3から、nが3以上の奇数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case2)：nが正の偶数のとき。n－1は正の奇数なることに注意すると、
c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
ここで、cが取り得る値c＝0、c＝1が条件を満たすか否かを調べる。
Case2-1)：c＝0とする。Case1-1と同様に考えると、c≠0。
Case2-2)：c＝1とする。Case1-3と同様に考えると、f：R→Rは
満たすべき条件を満たし、c＝1であり、fはf(x)＝xと求まる。
Case2-1、Case2-2から、nが正の偶数のとき、c＝1でありfはf(x)＝xと求まる。
Case1、2から、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に求まる。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、fはf(x)＝xと一意に定まる。
362:１３２人目の素数さん
15/05/06 09:41:17.06 iWZualfN.net
>>326
(>>333の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]：>16についての話の意味で、Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:47:47.72 SXg2oFIb.net
>>328 つづき
おっちゃんのために
PAUL B. YALE，Pomona College >>258 より
P137
THEOREM 2. Any isomorphism between sub fields of C extends IQ, the identity map on Q.
THEOREM 3. The only isomorphisms between sub fields of C whose domains include R and which map R into R are IR, Ic, and complex conjugation.
Proof. Let Φ be such an isomorphism, i.e., assume R⊆domain Φ and x∈R
implies Φ(x) ∈R. We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y).
Now assume a∈R, but that a≠Φ(a). Choose a rational number, q, between a and Φ(a).
Since Φ(q) =q by Theorem 2, the order between a and q is reversed by Φ
and we have a contradiction. Hence a∈R implies Φ(a) =a, i.e., IR⊆Φ.
If Φ≠IR, then the domain of Φ is a sub field of C containing R as a proper subset.
In any such subfield we can find a complex number, a+bi, with b≠O as
well as all real numbers. But, since x+yi=x+y([(a+bi)-a]/b), this implies
that the subfield is C itself. Thus the domain of Φ is C. Consider Φ(i). Since
i^2=-1, [Φ(i)]^2=Φ(-1)=-1. The only roots of x^2=-1 are ±i; hence Φ(i)
= ±i. If Φ(i) =i, then Φ = Ic, and if Φ(i) = -i, then Φ is complex conjugation.
Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R.
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:53:02.08 SXg2oFIb.net
>>335 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(W)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
実数の二乗を使っている・・
これはこれで分かり易いかも
本題の次のIc, and complex conjugation へつなげて行くために、さらっと証明を済ませる・・
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 09:58:41.41 SXg2oFIb.net
>>336
実数の自己同型が、IRに限られることを示すだけなら、いろいろありそうだが・・（あるいは、それだけを別のTHEOREMにするか・・）
"Theorem 2 implies that Q has no nontrivial automorphism, and Theorem 3
implies the same for R. Theorem 3 also implies that a nontrivial automorphism
of a subfield of R cannot be extended to an automorphism of R. For example,
the automorphism σ defined just before Theorem 2 cannot be extended to an automorphism of R."
も強調しておこう
これが、RとCの決定的な差だと
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:38:42.97 SXg2oFIb.net
>>337 つづき
"We first show that Φ preserves order in R. If x <y, then there
is a real number ω such that ω≠O and y -x =ω^2. But then Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2
with Φ(ω) ∈R and Φ(ω)≠O. Hence Φ(y) -Φ(x) is positive, i.e., Φ(x) <Φ(y)."
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, send 3^(1/4) to i3^(1/4), and leave √7 fixed.
↓
例、次のような自己同型たちが存在する、π and e の交換と、 3^(1/4) を i3^(1/4)へ移し、√7 は固定する。">>300
超越数：π and e の交換,π=3.14・・・、e=2.718・・・
上記証明より、π-e=ω^2 として、Φ(ω) not ∈Rで無ければならない。もっと言えば、Φ(ω)=±iωで無ければ整合しない・・
そういう意味でも、Φ(y) -Φ(x) = [Φ(ω)]^2を使う証明は、それなりにautomorphisms of Cの数学的現象のメカニズムを反映していて分かり易いのか
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:48:26.57 SXg2oFIb.net
>>338 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数かどうかが未解決の例
π+e,π-e [注 4]
[注 4]^ しかしながら、例えば e+π, e-π のうち少なくとも一方は超越数である。これは代数的数全体が体をなすことからわかる。
（引用おわり）
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
なお、 e+π, e-π の両方が代数的数だとすると、その和と差が代数的数で、e、πが超越数であることに反するのか
368:１３２人目の素数さん
15/05/06 10:57:56.75 xuHONDUI.net
>>330-334
間違ってる
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 10:58:08.94 SXg2oFIb.net
>>339 つづき
いまふと思ったが、超越数かどうかが未解決の例：π-e だとすると
π-e=ω^2として、ωがせめて無理数（有理数でない）を証明しておかないと、
"for example, there are automorphisms of C which interchange π and e, ・・・”
は、安易に言えないんじゃないのかね？ はて？
追記
まあ、仮にωが有理数としても（そんなことはないと思うが）、例示が悪いだけで論文全体の価値には影響しないが・・
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:13:41.14 SXg2oFIb.net
>>290 補足
"range"という用語について
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に素朴集合論における写像の値域（ちいき、英: range）は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。
現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。
「値域」("range") は異なる意味で用いられうるから、教科書や論文を読む際にいずれの意味であるかを確かめるのは初手の演習として手頃であろう。
古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある[1][2]。
より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる[3]。
紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある[4]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, and more specifically in naive set theory, the range of a function refers to either the codomain or the im
371:age of the function, depending upon usage. Modern usage almost always uses range to mean image. As the term "range" can have different meanings, it is considered a good practice to define it the first time it is used in a textbook or article. Older books, when they use the word "range", tend to use it to mean what is now called the codomain.[1][2] More modern books, if they use the word "range" at all, generally use it to mean what is now called the image.[3] To avoid any confusion, a number of modern books don't use the word "range" at all.[4]
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:17:45.25 SXg2oFIb.net
>>330-335
おっちゃんどうも。スレ主です
証明お疲れです
>>340
ID:xuHONDUI さま、証明チェックお疲れさまです
373:１３２人目の素数さん
15/05/06 11:18:27.68 rMFlGLwZ.net
スレ主さんガロア体についての話もして
374:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:20:16.61 SXg2oFIb.net
>>339 訂正
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π と予想するだろうね
↓
まあ、だれしも普通は、e+π, e-π は両方超越数と予想するだろうね
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/06 11:29:11.62 SXg2oFIb.net
>>344
ガロア体？ さあ、あまり詳しくない。というか、勉強した記憶がないけど
「3Dとガロア体」 などとあるから、数学的に良い性質を持っているんだろうね・・
「3Dとガロア体」で検索を掛けると下記。有限体のこと？ 標数が０で無い体だね。詳しくないね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。
主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ[1]。
応用
・ リード・ソロモン符号など基本的なものを含む多くの誤り検出・訂正は、GF(2)、GF(2^2)、GF(2^4)、GF(2^8)、GF(2^16) などを使う。
・AES、Camelliaなど、2000年代以降の共通鍵暗号の多くは、SボックスにGF(2^8) を使う。
・ 楕円曲線暗号は、きわめて大きな位数の有限体、たとえばGF(2^400) などを使う。
376:１３２人目の素数さん
15/05/06 11:35:13.38 OmisUiBu.net
あー、有理数変数だってのを見逃してた。
>>280で指摘した点は問題ない。
代わりに>>267の
＞2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
ここで実変数でも有理数において連続としてしまっていることが問題。