現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13at MATH

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 - 暇つぶし2ch204:恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する．　 φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < sとできる．　有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する．２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする３．同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※ 　 ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある) ４．φ(s) < a < sで、各辺に－aを加えて、φ(s)－a < 0 < s－a となる５．φ(s－a) ＝φ(s)－a に注意すると、４の後半の不等式は３に反する。（φが(s－a) の符合を変えている！）６．従って、同型φは恒等写像で無ければならない。（証明おわり）

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