15/04/05 12:47:06.70 5o4dQmCs.net
age
3:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 12:47:41.54 5o4dQmCs.net
他の板では、３日で３０レス行かないと即DAT落ちとか
4:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 12:48:52.13 5o4dQmCs.net
数学板は、過疎なので、そうでもないみたいだが
5:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 12:49:28.55 5o4dQmCs.net
一応最初の件数稼ぎをしています
6:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 14:15:01.86 5o4dQmCs.net
旧スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:802番) より
数学的帰納法と超限帰納法について
新スレを埋めないといけないので、ちょうど良い
7:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 14:40:25.64 5o4dQmCs.net
>>6
数学的帰納法について
１．一つ修正、筑波大 坪井明人先生がね、下記を示している
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
Tsukuba Logic Group 数学基礎論 数理論理学 ロジック モデル理論:
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
「２６年度数理論理学ＩＩ」（秋学期）のテキスト
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
「２４年度数理論理学I」（2学期）の試験の解答例で
問４（ｂ）で
「L-閉論理式φ がすべての有限群で成り立つとする．このとき，G |= φ となる無限群G が存在することを示せ．」と
で、証明は示されている。テキストは上記だ
２．なので、数学的帰納法に関連してだが、「すべての有限群で成り立つ命題φがあって、これを満たすG |= φ となる無限群G が存在する」ことは言える
３．だが、これを満たさない無限群Gの存在を否定するものではない
４．証明に使う「コンパクト性定理」（上記テキストP22）は、”モデルの濃度は|L| + アレフ0 以下”であると。だから、アレフ0は可だ
8:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 14:50:04.15 5o4dQmCs.net
>>7 つづき
超限帰納法について
１．超限帰納法についても、同じだ
２．示せるのは、「すべての有限群で成り立つ命題φがあって、これを満たすG |= φ となる無限群G が存在する」を、無限集合レベルに上げたものだ
３．だが、これを満たさない無限群Gの存在を否定するものではない
４．だから、無限群について 「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」を示すには、共役変換の本質”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”を直接使うのが良い
５．が、共役変換に限れば、有限群→無限群で、「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」が成り立つロジックは殆ど変わっていない
６．ただ、有限群の場合は、より話が簡単だというだけ（card(N)なども使える）
9:１３２人目の素数さん
15/04/05 15:09:52.19 jwP/UdlD.net
前スレ>>802
１．２．について
「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」の説明は、
"a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1" の式一つで十分。有限群でも無限群でも。
（もちろん言葉足らずではあるが、見る人が見れば「ああ、こいつは分かってるんだな」と納得する）
「共役変換の本質」とかいうのはスレ主が勝手に言ってるだけ。
３．～８．については同意する。
>>7
問４(b)の解答例のどこにも帰納法を使ってる様子は見られないが。
10:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 15:31:29.37 EvGo5wp8.net
>>8 つづき
超限帰納法について補足
（以下参考）
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
研究者氏名 矢田部俊介
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
公理論的集合論 お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」（2013年2月18日?22日）より
公理的集合論ZFC の特徴を一言で言うと、以下の通りである。
? 超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの、によ
り集合を構成していく。このように、簡単なものを1 ステップずつ組み合わせ、全ての集合を構成する
集合観を「反復的集合観」と呼ぶ。つまり、大まかに言うと、空集合から始め、無限ステップの帰納的
構成により集合を構成する。
（引用おわり）
ここでは、「超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの」に注目してもらえれば良い
無限集合を扱えると
11:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 15:45:52.92 EvGo5wp8.net
>>9
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>問４(b)の解答例のどこにも帰納法を使ってる様子は見られないが。
そう、帰納法は使っていないが
帰納法は、有限群に対する 「gNg^(-1) ⊂ N (∀g∈G)」→「N=gNg^-1」の部分だ。というか、帰納法を使う必要もないが、すべての有限群について成り立つと
だから、問４(b)の命題から、これを満たすG |= φ となる無限群G が存在するってことが言えると。でも、これを満たさない無限群Gの存在を否定するものではない
従って、>>7 の「一つ修正」は、数学的帰納法では、すべての有限群について成り立つ→同じ命題が成り立つ無限群Gの存在はおそらく言えても、これを満たさない無限群Gの存在の否定は言えないと
それは、超限帰納法を使っても同様だ
だから、前スレの数学的帰納法の説明は取り下げるよ
12:１３２人目の素数さん
15/04/05 17:23:09.57 jwP/UdlD.net
＞だから、前スレの数学的帰納法の説明は取り下げる
うん、その言葉が聞きたかった。
13:１３２人目の素数さん
15/04/05 17:33:58.57 X55sT+uM.net
スレ主さん、ガロア理論に関連する問題を出してもいいですか？
14:１３２人目の素数さん
15/04/05 17:40:04.82 r4y96HMZ.net
ｗｋｔｋ
15:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 17:43:22.14 EvGo5wp8.net
>>13
良いよ
ここは、問題スレじゃないが、なんでもありだよ
16:１３２人目の素数さん
15/04/05 17:48:11.24 X55sT+uM.net
では
問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大であるか否かとその証明を書け。
17:１３２人目の素数さん
15/04/05 17:50:30.81 MNDLgwsm.net
これくらいスレ主さんなら余裕だよね
18:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 17:51:37.94 EvGo5wp8.net
>>12
どうも。スレ主です。
出題者さん、ありがとう
＞（もちろん言葉足らずではあるが、見る人が見れば「ああ、こいつは分かってるんだな」と納得する）
そうそう、共役変換が良く分かったよ。問題を解くというのは大事だね
自分だけでは解く気にはならないけどね
>「共役変換の本質」とかいうのはスレ主が勝手に言ってるだけ。
そうそう。でもね、「勝手に言ってるだけ」というのは大事にしたいね。借り物じゃない自分の納得性
共役変換は、正規部分群だけじゃない。いろんなところに顔を出す。この変換は積を保存して群なら同型だし、集合なら一対一対応になる。これがキモだと思うんだよね
19:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 17:53:47.40 EvGo5wp8.net
>>16-17
どうも。スレ主です。
問題ありがとう
全然余裕じゃないよ
もう何年も問題見てないからねー
20:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 17:54:55.23 EvGo5wp8.net
>>16
まあ、一週間くらい考えれば、なんか解けるかな
といいつつ、件数稼ぎ（笑い）
21:１３２人目の素数さん
15/04/05 17:56:28.88 MNDLgwsm.net
数学板指折りの人気スレだから心配いらないって
22:１３２人目の素数さん
15/04/05 18:00:45.04 X55sT+uM.net
ああ、言い忘れたけど、なるべく本やネットを見ないで下さい。
探せばズバリがあるかもしれない。
23:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:09:03.36 EvGo5wp8.net
>>16
ども
(1) card(AutQ(R))は、日本語で書くと、Qから実数Rへの拡大体の次数ってことかねー。Qがアレフゼロで、Rがアレフ１か・・、どうするんだろうね？（笑い
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大？ ガロア拡大をぼんやりとしか覚えていないが・・、有限次元拡大の場合は最小定義多項式があって、その根を全部添加する話があったよね。
なので、否かな？？？ 複素数だと代数閉体だが・・。そうそう、複素数を入れないとガロア拡大にならないかな・・
24:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:11:00.10 EvGo5wp8.net
>>21
数学板指折りの人気スレなのか、知らなかったね
が、もしそうなら、みなさんのお陰だね
25:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:12:36.50 EvGo5wp8.net
>>22
ああ、ありがとう
そうするよ
と、言っても、定義があやふやだから、そこは見るよ
あとは、できるだけ自力で解く方が面白いよね
26:１３２人目の素数さん
15/04/05 18:24:09.79 jwP/UdlD.net
俺はそろそろただの名無しに戻るよ。
最後に補足として用意していたものを書かせてくれ。
一応定義から。
G を群とする。G の２つの部分集合 A,B に対し、
AB = { ab ∈ G | a∈A, b∈B }
と書く。
A が一元集合 {a} のとき、{a}B のことを aB とも書く。
同様に、B{a}=Ba とする。
例えば e を単位元とすれば、定義から
G の任意の部分集合 A に対し eA = Ae = A が成り立つ。
命題１
G の任意の部分集合 A,B,C に対し、(AB)C=A(BC) が成り立つ。
証明：
x∈(AB)C とする。x = yc (y∈AB,c∈C) と書ける。
y∈AB から、y = ab (a∈A,b∈B) と書ける。
このとき、x = yc = (ab)c = a(bc)
a∈A, bc∈BC であるから、x∈A(BC) を得る。
したがって、(AB)C ⊂ A(BC)
逆の包含も同様。□
27:１３２人目の素数さん
15/04/05 18:25:48.37 jwP/UdlD.net
命題２
G の部分集合 A,B が A⊂B を満たすとすると、G の任意の部分集合 C に対し
AC ⊂ BC, CA ⊂ CB
が成り立つ。
証明：
AC ⊂ BC を示す。
x ∈ AC とする。x = ac (a∈A, c∈C) と書ける。
A ⊂ B より a∈B なので、ac ∈ BC、すなわち、x ∈ BC
よって AC ⊂ BC
CA ⊂ CB についても同様。□
G の部分群 N について、次は同値：
(1) 任意の g ∈ G に対して gNg^(-1) ⊂ N
(2) 任意の g ∈ G に対して gNg^(-1) = N
証明：
(2)⇒(1)は明らか。
(1)⇒(2)を示す。(1)が成り立つとする。
任意に g ∈ G をとる。gNg^(-1) ⊂ N が成り立つ。
また、g^(-1) についても(1)が成り立つから、g^(-1)Ng ⊂ N
両辺に左から g、右から g^(-1) をかけて N ⊂ gNg^(-1) (命題１，２を使った)
よって、両向きの包含が示されたので gNg^(-1) = N □
それでは。
基本的な話題ばかり続いてつまらないと思わせてしまった方がいたら申し訳ありませんでした。
28:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:27:57.84 EvGo5wp8.net
>>23 つづき
ガロア拡大は、「正規拡大であり分離拡大」だったね。そうそう、そうだった。
とすると「体の拡大 R/Q がガロア拡大」に対して、反例がありそうだね。
例えば、f(x)=x^3-1=0を考えると、複素数根が出てくるみたいな話があるよね（足立の本にあったような）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学では、ガロア拡大(Galois extension)とは、正規拡大であり分離拡大である代数体の拡大 E/F のことを言う[1] [2] [3] [4] [5] [6]。
^ 正規拡大(normal extension)：代数拡大 L/K が正規拡大とは、L が K[X] の多項式の族の分解体であるときと言う。
^ 分離拡大(separable extension)：拡大体 L/K が分離的拡大とは、拡大を定義する最小方程式が重根を持たないような拡大を言う。
29:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:39:14.42 EvGo5wp8.net
>>26-27
どうもありがとう
基本的な話題も良いんじゃない
４月で新学年が始まる
群論やガロア理論やる人もいるだろうから
30:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:47:03.00 EvGo5wp8.net
>>23
>(1) card(AutQ(R))は、日本語で書くと、Qから実数Rへの拡大体の次数ってことかねー。Qがアレフゼロで、Rがアレフ１か・・、どうするんだろうね？（笑い
ここへ戻ると、これこそハメル基底の世界なのかね？
ハメル基底は、非加算無限あるというから、card(AutQ(R))はアレフ１みたいだね・・、証明はさっぱり浮かばないが・・（＾＾
31:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/05 18:50:28.95 EvGo5wp8.net
おお、３０達成したね
>>16で、
(2) は否で反例作って終わりと思うが
(1) が難しそうだな。ハメル基使った証明なんか書けないからねー
じっくり考えてみるよ
32:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/10 23:26:17.42 PTxulp5P.net
どうも。スレ主です。
33:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/10 23:27:52.80 PTxulp5P.net
まず前スレより、雑魚つぶしの問題を再録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:517番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い） ふふ、”何事も基礎を固めるのが重要だよ 急がばまわれ”、”数学なんてやめたら？ continueじゃなくて、restartするべきだよ”か、上手いことを言うね、口先くん。君の数学の実力を見せてくれ
ハメル基でも何でも使えよ・・、使えるものならね（笑い）
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう（笑い） おそら次の週も同じことが書けそうだな・・
34:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/10 23:29:34.18 PTxulp5P.net
>>31
どうも。スレ主です。１週間考えました
35:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/10 23:59:00.23 PTxulp5P.net
まず簡単なところから
問題
(2) 体の拡大 R/Q がガロア拡大であるか否かとその証明を書け。
解答
R/Q はガロア拡大ではない。
（証明）
反例が構成できる。（たしか、足立のガロア本では、2の３乗根から反例が構成できると）
ガロア拡大(Galois extension)とは、正規拡大であり分離拡大である代数体の拡大 E/F のことを言う
正規拡大(normal extension)：代数拡大 L/K が正規拡大とは、L が K[X] の多項式の族の分解体であるときと言う。
分離拡大(separable extension)：拡大体 L/K が分離的拡大とは、拡大を定義する最小方程式が重根を持たないような拡大を言う。
R,Qは、標数ゼロの体だから、分離拡大については問題ないが
R/Q は正規拡大ではない
例えば、2の３乗根を、α＝2^(1/3)と書く。また、1の３乗根の複素数根をω、ω^2とする
α∈Rだから、R/Qがガロア拡大なら、αωやαω^2もRの要素でなければならないが、αωやαω^2は複素数だからRの要素ではない
だから、R/Q はガロア拡大ではない。
36:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 00:12:28.02 pLE9DoNh.net
次に>>16問題(1)
card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
解答
１．正直この問題は難しい
２．体の拡大Q→Rを考えることになるが
３．数学の常套手段として、体の拡大Q→C(複素数体)をまず考える。その後、中間の拡大体としてRを考えるのがよさそう
４．結論としては、card(AutQ(R)) は非加算と思うが・・
ねむいのでまた明日
37:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 06:20:04.21 pLE9DoNh.net
>>36 つづき
問題(1) >>16を再録しておく
問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
１．まず、代数拡大の話から
２．αを代数的数とし、f(x)をその最小多項式（n次）とする（つまりf(α)=0の最低次数の多項式。係数はQ）
３．単項拡大Q(α)を考えると、Q(α)はn次のベクトル空間と考えることができる。拡大次数はn
（αの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底にできるという話だったね）
４．だから、L'=Q(α)と書くと、card(AutQ(L')) =n
38:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 06:37:23.52 pLE9DoNh.net
>>37 つづき
１．次に、αのガロア拡大を考える。f(x)=0の全ての根(α,α1・・・αn-1)を添加した拡大体Q(α,α1・・・αn-1)の拡大次数は？
２．拡大次数は、L'=Q(α,α1・・・αn-1)と書くと、(ガロア理論から)対応するガロア群Gal(L'/Q)の位数に等しい
３．群Gの位数を|G|と書くと、card(AutQ(L')) =|Gal(L'/Q)|
４．f(x)=0が一般の方程式の場合、|Gal(L'/Q)|=n!(nの階乗)となる
39:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 07:09:25.72 pLE9DoNh.net
>>38 つづき
１．次に、代数的数全体からなる集合を考える。これをQ~とする
２．Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）
（この話は、前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:403番) に書いたが証明は知らない）
３．補足すると、f(x)=0の次数nを大きくして、n→∞と無限次元ガロア拡大を考えることができる
（この話は、前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:246番) に書いたが正直理解できていない）
（ なお、URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大の 「2 無限次ガロア理論」 が参考になるだろう）
４．なので、Q~は可算無限次元拡大で、card(AutQ(Q~)) は可算無限
５．Q~⊂C(複素数体) （なお、Q~はその要素に複素数を含むので集合Rには含まれない。当然だが）
40:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 07:40:04.25 pLE9DoNh.net
>>39 つづき
１．>>36のあらすじに戻る。Q→Q~（代数的数全体）→C(複素数体)で
２．Q→Q~は、代数拡大で可算無限次元拡大。Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大のはず・・
３．だから、Q→Cも、超越拡大を含み非可算無限次元拡大のはず・・
４．ところで、R（実数体）→C(複素数体)はご存知2次の拡大で、card(AutR(C)) =2
(∵x^2+1=0の根iをRに添加すればCが得られる)
５．なので、Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大のはず・・
６．で問題は、「Q~→Cが非可算無限次元拡大」を示すところを、どうするのか
41:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 08:07:37.66 pLE9DoNh.net
>>40 つづき
１．再録「Q~→Cが非可算無限次元拡大」を示すところを、どうするのか
２．βを超越数とする。当然β^n(nは任意の自然数)は代数的に独立で、当然n→∞も考えられて*)、無限次元拡大
(注*)代数拡大で無限次元ガロア拡大が考えられるとすれば、それをβに適用できるだろう)
３．ところで、超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる
４．例えば、πとπ^2など。（π^2が超越数であることの証明は略するとして）
５．なので、card(Q~)が加算、card(C)が非加算として、card(AutQ~(C)) 非加算が言えるか？
６．つまりは、加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、加算無限次元なら常に加算が言えるか？
（card(AutQ~(C)) 非加算を直接示せれば、上記は不要だが、超越数に対して現代数学はまだ無力*)だから、直接示すのは無理そうだ）
(注*)例えば、前スレ ｽﾚﾘﾝｸ(math板:396番) に書いたが
”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない” URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ）
42:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 08:36:34.94 pLE9DoNh.net
>>41 つづき
（補足）
「加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、加算無限次元なら常に加算が言えるか？」について
１．ここは、Q~が可算集合であるというカントールの証明を意識したものだが
２．加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える
（本題）
１．>>40で述べたあらすじで、いくつかギャップがある
２．一つは、「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）
３．一つは、「Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大（∵R→Cは2次の拡大だから）」（位相を入れないとだめ？ ）
（∵>>39で、無限次ガロア理論の話が入ったから、位相はどうするんだ？と。そもそも、Q→R（実数体）はガロア拡大じゃないから、不要か？）
ということで、ギブアップ宣言
この二つは、いまの自分の知識と能力を超えている
加算集合の有限次元ベクトル空間が常に加算というのは、集合論に普通にある
例えば、有理数m/nを（m,n）に全単射できて、有理数は加算だとか
数学的帰納法で、２次元をｎ次元に拡大する
だけど、n→∞でどうなるか？ はっきりしない。自力では無理
「Q→R（実数体）→C(複素数体)で、Q→R（実数体）は非可算無限次元拡大（∵R→Cは2次の拡大だから）」は、位相は不要と思う
だが、それを説明する知識と能力がない
43:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 08:47:00.39 pLE9DoNh.net
>>42 つづき
ハメル基の話は使えそうなんだよね、おそらく
Qは加算、Rは非加算
ハメル基が取れて、Rはハメル基によるベクトル空間になる
ハメル基は非加算なければならない
よって、Q→Rは非加算無限次元拡大
よって、card(AutQ(R))は非加算
みたいな・・
しかし、この証明をすらすら書けるレベルにはないよね、私は。当然だが
44:１３２人目の素数さん
15/04/11 08:54:24.29 hkrb643i.net
>よって、card(AutQ(R))は非加算
1μmずつ進んでたのが一気に1kmすっとんだ感じ
45:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 09:02:07.63 pLE9DoNh.net
>>16
出題ありがとう
面白い問題だよね
(2)が(1)のヒントになっているような気がする（>>40のあらすじとしては）
だから、(2)を先にするのが良いのかも
card(AutQ(R)) なんて、普段意識していないが、改めて考えると、いろいろ深いものがある
というか、実数体Rをめぐっては、１９世紀から２０世紀にいろんな数学理論が考えられた
そして、Rの大部分を占める超越数について分かってないから、Rも分かってないんだと
ただ、生活している範囲では、自然数、整数、有理数、代数的数と三角関数に対数関数くらいで間に合っている
それ以上の超越数は、普段お世話にならないから、意識の外なんだね
46:１３２人目の素数さん
15/04/11 09:02:40.01 fZeo2VsT.net
体の拡大R/Qは、どちらかというと実数の定義の話で解析的問題になるよ。
連続体仮説の問題があって、代数での正式な解決は出来ないでしょうね。
可算無限次元とか非可算無限次元とかいういい方も曖昧さが残っていて、
理論を組立てても組立てた理論自身の無矛盾性は証明出来ない。
ℵ_0＜cardA＜ℵ_1なる集合Aの存在性を仮定すると、
可算無限次元、非可算無限次元と違った他の無限のいい方があることになる。
まあ、このいい方を認めても無矛盾性は示せないんですけど。
47:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 09:02:57.69 pLE9DoNh.net
>>44
どうも。スレ主です。
一杯書いたんで、どの行だっけ？
48:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 09:09:25.88 pLE9DoNh.net
>>46
どうも
まあ、そうなんだけど
なんとなく、世間一般の人（含む数学業界（意識的に数学学会あたり（自然言語で未定義）をこう表現する））たちは、連続体仮説を是としている気がする
私もそうなので（ℵ_0＜cardA＜ℵ_1なる集合Aの存在性を仮定する必要性を世間一般の人が感じていないからと思う。私も同じ）
連続体仮説を是とする前提で、読んで貰えればと思います
49:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 09:17:16.74 pLE9DoNh.net
>>42 追加
「Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）」も、ギブアップに追加
どうやったんだろうね？
自力では無理（笑い）
50:１３２人目の素数さん
15/04/11 09:43:34.20 fZeo2VsT.net
>>49
任意のn次の有理係数代数多項式fは、fに対して定まる
或るn∈N＼{0}と或るa_0,a_1,…,a_n∈Z(a_1、a_n≠0)を用いて
f＝a_n・X^n＋…＋a_1・X＋a_0の形に表されて、h＝|a_n|＋…＋|a_1|＋|a_0|
とおくとh∈Nになり、このとき同時にfの根になる代数的数の個数はn個になるから、
nとfを同時に走らせて出来る、自然数nと有理係数代数方程式fとの対(n,f)
の全体からなる集合は可算無限集合になって、これが代数的数全体の集合の濃度に等しくなる。
基本方針は大体こんな感じ。あとはこれを丁寧に書くだけ。
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 10:00:35.91 pLE9DoNh.net
>>41訂正
４．例えば、πとπ^2など。（π^2が超越数であることの証明は略するとして）
↓
ここは、説明不足
πとπ^2とは、異なる二つの超越数ではあるけれども、Q(α^2)⊂Q(α)になる
一般に二つの超越数β1,β2をとったとき、Q(β1)とQ(β2)との包含関係の有無を考えておく必要がある。これは、より一般の（二つ以上の）n個の拡大でも同じ
だから、ここらの評価をきちんとしないと、「card(Q~)が加算でcard(C)が非加算だから、card(AutQ~(C)) 非加算」とは言えない
52:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 10:24:42.63 pLE9DoNh.net
>>50
どうも、説明ありがとう
53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 11:54:55.06 pLE9DoNh.net
>>46
連続体仮説
なぜか The Dark Side of Forcing book_C84.pdf
URLﾘﾝｸ(forcing.nagoya)
The Dark Side of Forcing 抜粋
「The Dark Side of Forcing」は、名古屋大学の多元数理科学研究科と 情報科学研究科の大学院生が中心となって結成された、 数学同人サークルです。
元々は、強制法(Forcing)を、 前期はケネス・キューネンの『集合論ー独立性証明への案内』を便りに公理的集合論の側から、 後期はソンダース・マクレーンの『Sheaves in Geometry and Logic』を道標にトポス理論の側から、 概観してみよう、という勉強会から発生しました。
だから皆さんも、本を初めから終わりまで理解しきろうなんて、堅苦しい気持ちは持たず、 気軽にひも解いて欲しいと思っています。
既刊同人誌
URLﾘﾝｸ(forcing.nagoya)
2013/08/11 The Dark Side of Forcing Vol.1(C84) PDF 倉永崇, 古関恵太, 才川隆文, 淡中圏, 宮崎達也 強制法入門、ブラウアーの定理の脱神秘化、Todorcevicのwalkの解説、『数学の認知科学』の批判的書評、思い出話、数学小説
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 12:33:55.55 pLE9DoNh.net
>>53 抜粋
多元的思い出話 淡中圏
その頃多元には，OCaml の開発者のJ． Garrigue 氏がいた．いつから名古屋が「関数型プログラミング言語の聖地」と呼ばれはじめたのか知らないが，代数幾何ではないscheme の使い手がいる数理学科というのも乙なものではある
多元はかつて，「Department of Polymathematics」という奇抜な英語名を名乗っていた頃，本当に「多元的」な研究家を目指して，有象無象の人間をたくさんおびき寄せて，なかなか大変なことになっていたという．心の病を発症してしまった人もいると聞く
それ以外にも，ここですら書けないような面白い話をたくさん聞いたことがあるが，それはまあよい．その後，多元もまともな数学者をちゃんとそろえるようになり（知り合いの熊沢峰夫氏にかかると，たこつぼ派が脱たこつぼ派を追い出した，という話になってしまうが……）
かつてほど，多元的でもなくなった．そんな多元で，異彩を放って「多元的」だったのが，倉永さんで，最初に意識したのは，年度末の成果報告のときに，脳とか認知とか，そういう話をしていたのを見たときだった．
教授陣も，正直どう評価していいのやら，という感じが凄く面白かった．その後，話すようになってみると，物静かなのにメタルのドラマーだし，絵も描くし，とでやはり多元的なお人であった
さて，名大内には，実は他にも数学と関係の深い研究をしているところがある．集合論などを研究しているのは，情報科学研究科の三階だが，二階には科学哲学の戸田山研究室がある
自らもとても良い形式論理学の本を書いている．先ほど，多元と情科に交流がないことを嘆いたが，なんと同じ情科の二階と三階の間にすら，ほとんど交流がないのだ．多元は，多元的になるために建物の設計から交流が盛んになるようにされているため，
一度数学内外の混血は諦めた後でも，数学内部ではあるが，割とジャンル違いの学生でも雑談する環境ができている．
しかし，情科では，研究室単位でメーリングリストが分割されているために，同じ研究科でも，階が違うと何をやっているのか分からなくなってしまう
そのせいで，元カリスマブロガー疑惑のある古関さんもかなり科学哲学系に興味があるのに，私が教えるまでいつどんなイベントがあるか把握していなかったという状況だ．一度多元を通るなんて地理的に見ればどんな無駄なことをしているのかとも思うが
55:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/11 12:44:45.60 pLE9DoNh.net
補足
>>53 強制法(Forcing)は、連続体仮説関連です
>>54 淡中圏はペンネームでしょうか？ 淡中 忠郎先生、愛媛県生まれか。名大も関係しているのでしょうか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
56:i/%E6%B7%A1%E4%B8%AD%E5%BF%A0%E9%83%8E 淡中 忠郎 （たんなか ただお、1908年12月27日 - 1986年10月25日 ）は日本の数学者。専門は代数学。 愛媛県生まれ。1945年東北帝国大学教授、後に東北学院大学教授を務めた。ポントリャーギン双対性をコンパクト群へ拡張した淡中-クラインの双対定理で著名。 この定理はグロタンディークによる淡中圏の概念へと発展した。
57:１３２人目の素数さん
15/04/11 15:41:31.43 MUuJiptP.net
>>16の出題者です。
えーと、スレ主さんはギブアップ宣言されたようですが、それでよろしいかな？
よろしければ、さてどうしましょう、他の方で解ける方いますか？
58:１３２人目の素数さん
15/04/11 16:35:13.41 l5XJwmKZ.net
スレ主がギブアップ、それ以上続ける意味ないわ
無駄に燃料投下するな
59:１３２人目の素数さん
15/04/11 17:09:22.52 MUuJiptP.net
燃料投下してるつもりも無いし、あなたに命令される謂れも無い。
よって一番無意味なのはあなたのレス。
60:１３２人目の素数さん
15/04/11 17:15:28.34 osSnm/+q.net
スレ主と名乗る不敗臭（誤字では無いw）のする生ゴミの引き取り手は基礎論厨と決定いたしました。
61:１３２人目の素数さん
15/04/11 17:19:10.99 osSnm/+q.net
>>44
基礎論の生半可な援用ごっこですくすくと育っていくこのトンデモを見るにつけ基礎論蔑視はそれなりに意義があるとしか思えなくなったw。
62:１３２人目の素数さん
15/04/11 17:24:04.30 qD+hOhKv.net
つか、そこの「よって」は、無限濃度でなくても致命的かつ絶望的な誤謬とみるのが妥当
つまり、ダメな奴は何をやってもダメ
63:１３２人目の素数さん
15/04/11 19:40:17.39 pLE9DoNh.net
age
64:１３２人目の素数さん
15/04/11 19:41:46.74 pLE9DoNh.net
>>56-61
どうも。スレ主です。
出来ないやつほど、言い訳がうまいという
「私は基礎論が出来ません」か？ はっきり言えよ！
65:１３２人目の素数さん
15/04/11 19:42:49.50 pLE9DoNh.net
出来ないやつほど、言い訳がうまいという
「私は問題が解けません」か？ はっきり言えよ！
66:１３２人目の素数さん
15/04/11 19:45:56.41 l5XJwmKZ.net
はっきりしてる話：
ID:pLE9DoNh 「私は基礎論が出来ません」
ID:pLE9DoNh 「私は問題が解けません」
67:１３２人目の素数さん
15/04/11 19:57:18.38 pLE9DoNh.net
そうか、ID:l5XJwmKZくんね、君は基礎論ができないで、泣いているんだね（笑い）
おれは困らんよ。だが、君は困るんじゃ無いかな（笑い）
68:１３２人目の素数さん
15/04/11 19:58:50.49 pLE9DoNh.net
>>16の出題は良いと思うよ。評価している
69:１３２人目の素数さん
15/04/11 20:22:51.71 09SYjhx+.net
各素数について、その平方根の符号を正負のいずれかに移すような自己同型の全体を
考えてみても濃度はアレフでしょう？
運営乙
70:１３２人目の素数さん
15/04/11 20:26:24.53 pLE9DoNh.net
>>50
Q~が可算集合であるという証明が下記にあるね（50とほぼ同じ）
URLﾘﾝｸ(giwagiwa314.web.fc2.com) 20150411
無限集合の濃度の証明
URLﾘﾝｸ(giwagiwa314.web.fc2.com)
以下を証明せよ.
自然数全体の集合をN, 整数全体の集合をZ, 有理数全体の集合をQ, 代数的数全体
の集合をQ, 実数全体の集合をR, 複素数全体の集合をC とするとき,
|N| = |Z| = |Q| = |Q~| < |R| = |C|
が成り立つ.
（抜粋）
(3) |N| =|Q~| を示す.
α∈ Q に対し, fαをαの最小多項式とし, その係数の最小公倍数をかけてできる整式をgαとする.
（以下略）
71:１３２人目の素数さん
15/04/11 20:28:14.36 pLE9DoNh.net
>>68 意味がわからん
運営乙
72:１３２人目の素数さん
15/04/11 20:44:46.38 pLE9DoNh.net
>>69 つづき
50にもあるけど、代数的数αに対する最小多項式を次数とその係数で、整序して自然数との対応を作る
なかなか見事です
73:１３２人目の素数さん
15/04/11 20:57:43.15 l5XJwmKZ.net
>>60
たぶん、今の時代に「（数学）基礎論」という言葉を使ってる人は
本当には勉強してない人でしょ。
だからネットだとウザいだけの人が多い
74:１３２人目の素数さん
15/04/11 21:06:55.04 pLE9DoNh.net
>>42 補足
>加算集合の有限次元ベクトル空間が常に加算というのは、集合論に普通にある
>例えば、有理数m/nを（m,n）に全単射できて、有理数は加算だとか
>数学的帰納法で、２次元をｎ次元に拡大する
>だけど、n→∞でどうなるか？ はっきりしない。自力では無理
名大落合啓之先生は、23と24とにNだという
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
落合啓之(Hiroyuki OCHIAI)
名古屋大学大学院多元数理科学研究科(基幹数理講座)教授
測度と積分（チェックリスト）(2008. Dec 2) URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
Yes, No で答えましょう。
23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である.
23. N
24. 任意個数の可算集合の直積集合は可算集合である.
24. N
（解答の誤りをお知らせいただけると幸いです。）
75:１３２人目の素数さん
15/04/11 21:17:36.20 pLE9DoNh.net
>>72
ふーん？ だが、このスレで加算非加算の話は、結構出ていたと思う。自然にね
至近では、おっちゃんの例の問題（下記）からだが。これ2015/02/01(日)からだ
いまさら、基礎論でもあるまい
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。
76:１３２人目の素数さん
15/04/11 21:33:55.49 pLE9DoNh.net
>>73
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N
で、>>39 「Q~は、可算集合である（カントールが証明したという）」
が、Q~は、f(x)=0の次数nを大きくして、n→∞とした無限次元ガロア拡大を含む？
とすると、Q~は、可算集合Qの可算無限次拡大を含むんじゃないのかね？
名大落合啓之先生の23解答と一見合わないだよね。はて
77:１３２人目の素数さん
15/04/11 22:20:47.49 XcTPhJl9.net
直和と直積の違いだな。
Q の可算無限個の直積とは、Q の元を可算無限個並べたもの全体の集合。
>>73の23はこっち。
Q の可算無限個の直和とは、直積の元のうち、有限個の成分を除いて 0 であるもの全体のなす集合。
Q~はこれと（ベクトル空間として）同型。
78:１３２人目の素数さん
15/04/11 22:51:36.69 pLE9DoNh.net
>>76
説明ありがとう
とすると、>>41「Q~→Cが非可算無限次元拡大」は、直和かね
加算集合の無限次元ベクトル空間を考えたときに、直和なら加算無限次元拡大で常に加算が言えるか？
言えると、対偶から、Cが非加算集合で直和の加算集合Q~に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える
79:１３２人目の素数さん
15/04/11 23:10:01.30 pLE9DoNh.net
>>73
URLﾘﾝｸ(www.juen.ac.jp)
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期 中川仁（なかがわじん�
80:j上越教育大学 命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である． 例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である． 命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．
81:１３２人目の素数さん
15/04/12 01:03:26.47 ofzV7WhE.net
N={n|nは自然数}、P={p|pは素数}とする。
N、Pは可算無限集合とする。
∀n∈N を素因数分解し、n=Π[k=1,∞]p_k^m_k と表示する。
ここでp_kはk番目に小さい素数、m_kはnの素因数分解におけるp_kの個数である。
集合{n|n=Π[k=1,∞]p_k^m_k}:=Aの元はm_1,m_2,...の組み合わせと1対1対応するから
|A|=|N×N×・・・|
一方、n∈N ⇒ n∈A と n∈A ⇒ n∈N から、N=A である。
よって、|N|=|N×N×・・・|
すなわち、可算無限個の可算無限集合の直積集合は可算無限集合である。
82:１３２人目の素数さん
15/04/12 01:05:15.06 AANI+RV6.net
（´･∀･`）ﾍｰ
83:１３２人目の素数さん
15/04/12 07:18:42.87 IFDb2ZM+.net
>>79
どうも。スレ主です。
証明ありがとう
「可算無限個の可算無限集合の直積集合は可算無限集合である。」が常に成り立つかどうかだね
この証明は、直和を使っていない
一方、名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N >>73
なので、加算にならない例があるのかも知れないが、>>77が言える形に証明を拡張できれば・・
84:１３２人目の素数さん
15/04/12 08:54:31.71 IFDb2ZM+.net
>>81
どうも。スレ主です。
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
村上順 早稲田
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
可算集合の直積集合 可算集合となる
可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない
（引用おわり）
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」という
証明が無いが、証明はどこかに落ちているかも知れないね
85:１３２人目の素数さん
15/04/12 09:21:44.12 IFDb2ZM+.net
>>53
関連
URLﾘﾝｸ(kurt.scitec.kobe-u.ac.jp)
数学基礎論サマースクール2014 強制法公理とその応用
薄葉季路 神戸大学 2014 年9 月19 日
（薄葉季路さんか、どう読むのだろう）
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 09:37:26.04 IFDb2ZM+.net
>>56
どうも。スレ主です。
面白い問題ありがとう
調べた範囲では、>>16問(1)の解答は落ちていなかった
>>42のギブアップ宣言は、自力では無理という意味で
まあ、何を参照しても、助力を得ても良いという意味で、
「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）
OR
「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
までは、なんとか解決したい気がする
位相を理解するには、数ヶ月かな。この問題では不要だと説明できるくらいまで・・
Q~が可算集合の証明は>>69で終わった
「Q~→Cは、超越拡大で非可算無限次元拡大」（非可算無限を示すところ）に戻ると
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
が正しいとすると、「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？も正しいかもという気がする（直感的にはちょっとおかしい？）
もう少し調べれば、なにか出てくる気がする
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 09:46:32.86 IFDb2ZM+.net
>>44
>>よって、card(AutQ(R))は非加算
>1μmずつ進んでたのが一気に1kmすっとんだ感じ
ああ、これ>>43「ハメル基は非加算なければならない
よって、Q→Rは非加算無限次元拡大
よって、card(AutQ(R))は非加算」
の話ね
ハメル基が分からず適当に書いているからね
ハメル基が使えるか使えないかは、またやりましょう
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 10:13:56.31 IFDb2ZM+.net
>>37
ここに戻る
問題
体 L の体 K 上の自己同型写像全体の集合を AutK(L) と書く。
すなわち
AutK(L)={σ|K,L は体、K⊂L、σ:L→L は環同型写像、k∈K⇒σ(k)=k}
である。このとき
(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。
> ３．単項拡大Q(α)を考えると、Q(α)はn次のベクトル空間と考えることができる。拡大次数はn
> （αの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底にできるという話だったね）
> ４．だから、L'=Q(α)と書くと、card(AutQ(L')) =n
ここは、基礎なので、よく教科書では練習問題にされていたりする
89:１３２人目の素数さん
15/04/12 10:37:23.16 IFDb2ZM+.net
>>86 つづき
前スレの問題で ｽﾚﾘﾝｸ(math板:417番)
(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
解答 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:439番)
Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。
(引用おわり)
みたいな話が、あった。頻出テク（ニック）なんだよね
つまり、同型または準同型で、演算の単位元eの像はe'でなければならない
だから、自己環同型写像fで、
和に対し、f(x+y)=f(x)+F(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)F(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
このことから、自己環同型写像fは有理数体Qを動かさない（一般には基礎体kを動かさない）ことが導かれ
このことから、自己環同型写像fはαの0次からn-1次の数をベクトル空間の基底とみて、その入れ替えになることが導かれる
エム・ポストニコフ「ガロアの理論」P37～に分かり易く書かれている
（エム・ポストニコフの記述は、いつ見ても簡潔で鮮やかだね）
この知識は、前提とした。４月で初学者もいると思うので補足した。では
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 10:40:00.02 IFDb2ZM+.net
>>87 訂正
和に対し、f(x+y)=f(x)+F(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)F(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
↓
和に対し、f(x+y)=f(x)+f(y)で、単位元0の像は0で無ければならない
積に対し、f(xy)=f(x)f(y)で、単位元1の像は1で無ければならない
91:１３２人目の素数さん
15/04/12 19:27:08.22 IFDb2ZM+.net
age
92:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 19:34:11.15 IFDb2ZM+.net
帰ってきました
燃料もなにも
関係ないんだよね>>57-58
いつからこのスレを見ているか知らないが
燃料など無しでずっとやってきた
新参ものかよ、分かってない・・
93:１３２人目の素数さん
15/04/12 19:34:36.27 SoqhPNZd.net
>>79ってネタだよね
いくらなんでも
94:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 19:43:18.91 IFDb2ZM+.net
>>91
どうも。スレ主です。
たしかに、ネタかも知れん
細かいところまで見ていないが
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 19:48:53.58 IFDb2ZM+.net
>>79で
「素因数分解し、n=Π[k=1,∞]p_k^m_k と表示する。
ここでp_kはk番目に小さい素数、m_kはnの素因数分解におけるp_kの個数である。
集合{n|n=Π[k=1,∞]p_k^m_k}:=Aの元はm_1,m_2,...の組み合わせと1対1対応するから
|A|=|N×N×・・・|」
これ素因数分解で、一般にnは積の長さは有限？
それを無限積にしている？
そこがまずい？
96:１３２人目の素数さん
15/04/12 19:50:03.43 YM4NGx4y.net
だいたいそんなとこ
97:１３２人目の素数さん
15/04/12 20:00:12.18 6aRecNzQ.net
まさか自力で見つけるとは誰も思っていなかった
かしこさが+1くらいアップしたと思うよ
98:１３２人目の素数さん
15/04/12 20:06:39.98 ofzV7WhE.net
>>91-95
いくらなんでもネタだよね？
nの因子にp_kが無いならm_k=0なんて簡単なこと分からないはず無いよな？
99:１３２人目の素数さん
15/04/12 20:24:08.65 2qvFLzsZ.net
スレ主さんの対戦相手に手頃そうなのが現われたよ
100:１３２人目の素数さん
15/04/12 20:25:22.98 OFC1Xbv/.net
>>96
スレ主さんが正解なんだよ、ここでは
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 20:37:59.81 IFDb2ZM+.net
まあ、苦労して書いてくれた証明だからね・・
一方、苦労するんだよね、こちらも読むのが
アスキー文字ベース制限で数学記号を表現するのに適していない場所（板）なんだよね
p_k^m_kにしても、紙テキストかTeXなら、もっと見やすいはず
なので、この板でこまごました証明は不適だと思うんだよね
私としては・・
102:１３２人目の素数さん
15/04/12 20:42:00.64 k0jqYpwj.net
以上、歴史的初出塁を成し遂げたスレ主さんのコメントでした
103:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 22:53:21.22 IFDb2ZM+.net
>>46
どうも。スレ主です。
言いたいことが、いま分かったよ。有理数体Ｑの完備化としてＲまたはＣを構成する話ってことだね
URLﾘﾝｸ(center.edu.wakayama-u.ac.jp)
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004
抜粋
3. 実数体の構成
実数体を有理数体から構成的に定義する方法は大
別して２通りある。一つは順序集合と�
104:ｵての完備化 （Dedekind の切断による方法）であり、もう一つはア ルキメデス的付値体としての完備化（Cantor-M´eray の方法）である。 Dedekind の切断によると、加法と乗法が質的にか なり異なったものに見える。数なる観念には少なくと も四則演算できることがあげられようから、これを 優先させるならば、Cantor-M´eray の方法が自然であ る。 コーシー列と零列の定義は省略するが、 次が成立する。 （引用おわり）
105:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:02:20.13 IFDb2ZM+.net
>>100
どうも。スレ主です。
いや、持論でね
むかし、このスレの初代のころ、有名なコテのKummerさんが居てね。熱心に証明を書いていた。そのとき下記やりとりがあったんだ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:535-539番)
535 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 19:59:52.44
>>528-532
おいらは、Kummerさんも歓迎だよ
但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
537 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [] 投稿日：2012/03/10(土) 20:28:25.80
>但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
ここでやるわけないｗ
539 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 20:31:26.35
>>537
Kummerさん、乙です
>ここでやるわけないｗ
だよね
ま、よろしくね
106:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:09:55.47 IFDb2ZM+.net
>>101 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルキメデス付値による完備体
アルキメデス付値に対する完備体 K は、実数体または複素数体に同型である（オストロフスキーの定理）[4]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数論において、1916年のアレクサンドル・オストロフスキー (数学者)（英語版）(Alexander Ostrowski)によるオストロフスキーの定理(Ostrowski's theorem)は、有理数 Q 上の全ての非自明な絶対値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進絶対値に同値であると述べている[1]。
別のオストロフスキーの定理
別の定理は、アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、代数的にもトポロジー的にも実数か複素数に同型である。これもオストロフスキーの定理と呼ばれる[2]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ostrowski's theorem 英語版 Proofがある
107:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:13:52.07 IFDb2ZM+.net
>>102 補足
だから、証明は書かずに、どこか信頼できる大学教員のサイトに落ちている証明を紹介してもらうのがベストと思う
その内容の概要あるいは説明を書いてもらえれば、さらにgood！だ
こてこてと見にくいアスキーベースの証明は、あまり好みじゃないね
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:27:24.34 IFDb2ZM+.net
>>103 補足
まあ、みなさん周知のコーシー列を使う実数Rの構成>>101
だが、コーシー列では、代数拡大も超越拡大も区別はつかないし
R/Qで[R：Q]が無限次元になるのは当然として、加算か非加算かも・・どうするのかねー？（笑い）
109:１３２人目の素数さん
15/04/13 02:01:42.61 ryWSPkro.net
集合の濃度というものは数学において非常に基本的な概念であり、また基本的な問題である
と思ってるでしょ？
実際には代数・幾何・解析のような伝統的な数学で濃度を用いる場面は非常に限られていて、
大抵は「次元の一意性」のように一つに定まることが確認できれば十分であって、
濃度を比較したり、ましてや濃度を具体的に求めたりする必要は全然と言っていいほどないんだよ
110:１３２人目の素数さん
15/04/13 02:49:42.02 IzkPZSwy.net
まだ続いているのか。
111:１３２人目の素数さん
15/04/13 03:17:49.76 IzkPZSwy.net
>>105
お～い、まだ気付いていないようだけど、>>46や>>50は、本当はおっちゃんね。
>>50での証明は、大体の基本方針を書いただけ。体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
連続体仮説の問題があるから、可算無限次元とか非可算無限次元という
無限を区別するようないい方をすると、日常言語で書く数学が出来なくなるんだよ。
そのようないい方を使う言語での数学をすると、排中律を認める限り、
可算無限次元か「非」可算無限次元に区別されてしまう。同じ無限+∞を日常言語で書いた場合、
可算無限次元でないとしたら非可算無限次元というより他ないだろう。
つまり、連続体仮説を偽とする前提で数学をすることになる。
112:１３２人目の素数さん
15/04/13 04:24:53.49 IzkPZSwy.net
>>105
いや、連続体仮説を真とする前提で、日常言語で無限+∞を区別する
数学をすることも出来るが、この場合は、ℵ_0＜card(A)＜ℵ_1なる
集合Aの濃度を用いて日常言語で同じ無限+∞を何というかが問題になる。
連続体仮説を真としても偽としても、何れにしろℵ_1＝card(R)で、
確実に実数の全体Rは非可算無限集合になって、「非可算無限次元」といういい方はすることになる。
ℵ_0＜card(A)＜ℵ_1なる集合Aは可算集合でないから非可算無限集合というより他ないが、
Aを「中間非可算無限集合」とか呼ぶことにすれば、連続体仮説を偽とするとき
と同様に「可算無限次元」、「非可算無限次元」といういい方を日常言語でする
他に非可算無限次元のいい方の1つとして「中間非可算無限次元」などといういい方
を日常言語でする数学をすることも出来る。ただ、こうするときは2つの理論体系が同時にある
ことになって、2つの理論の両立を認めると数学全体を考えたとき混乱が生じかねないから、
連続体仮説を真とする前提の理論だけがあることになるとは思う。
ここのあたりは、理論展開してみないとどうなるかは分からんな。
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 15:35:34.35 O8x0ePuw.net
どうも。スレ主です。今日はたまたま時間がある
>>107-109
おっちゃんか・・、ありがとう
>>50なんか、なかなか物知りやねと思う。ありがとう
>体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
この問題は、答えだけは分かった。後ほど
証明が分からないが
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 15:42:55.57 O8x0ePuw.net
>>84
>「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
>までは、なんとか解決したい気がする
答えは、下記 超越次数：Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数(抜粋)
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
例
? 拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
? n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
? より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。
? Q(√2, π) の Q 上の超越次数は 1 である、なぜならば √2 は代数的であり π は超越的であるからだ。
? Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
? Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。
115:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 15:48:39.26 O8x0ePuw.net
>>111 つづき
和文wikipediaは下記英文の訳だな
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Transcendence degree
The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (This follows since any element has only countably many algebraic elements over it in Q, since Q is itself countable.)
116:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 16:07:20.50 O8x0ePuw.net
>>112 つづき
独語が面白い
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Transzendenzbasis
I
117:n Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise trdeg(L:K) . Aus trdeg(L:K)>0 folgt, dass deg(L:K) unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines transzendenten Elements t sind linear unabhangig uber K , womit bereits eine Korpererweiterung um ein transzendentes Element, K(t):K , unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Grad einer Korpererweiterung uberein. Offenbar ist Trg(L:K)=0 aquivalent zur Aussage, dass L/K algebraisch ist. Leicht zeigt man Trg(K(t):K)=1 und aus Machtigkeitsgrunden ist Trg(C:Q)=beth 1 (lies "beth eins", siehe Beth-Funktion). Google英訳 Based on the English-language term transcendence degree one finds the notation trdeg(L:K). From trdeg(L:K)>0, it follows that deg(L:K) is infinite, because the integer powers of a transcendent element t are linearly independent over K, which already is a field extension to a transcendent element, K (t): K has, infinite degrees; the transcendence degree therefore does not correspond with the degree of a field extension. Apparently Trg (L: K) = 0 is equivalent to the statement that L / K is algebraic. Easy shows you Trg(K(t):K)=1 and of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 16:17:30.45 O8x0ePuw.net
取りあえず、答えは非加算
証明は不明ということで
119:１３２人目の素数さん
15/04/15 20:12:15.32 RQ5JrCYh.net
>体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
Rには超越数が属すから、R/Qは超越拡大、よって[R;Q]＝∞
120:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 21:51:00.55 O8x0ePuw.net
>>115
どうも。スレ主です。
そうそう。単に無限大だけなら、出題者に失礼でしょう
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 だから（有限であるはずがない）
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:05:47.15 O8x0ePuw.net
下記に超越拡大があるみたいだが・・、証明あるんかいね？
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
可換体論 (数学選書 (6)) 単行本 ? 1985/4 永田 雅宜 (著)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
体とガロア理論 (岩波基礎数学選書) 単行本 ? 1997/9 藤崎 源二郎 (著)
最も参考になったカスタマーレビュー
数論においてはGalois理論と付論値が、代数幾何においては超越拡大と付値
論が重要になってきます。この本は、それらに対して必要かつ十分な知識と
素養とを与えてくれると思われます。
したがって、特に数論幾何を志す学生は３年次あたりでこの本を精読・通読
すると非常に有用だと思われます。
記述が若干冗長な感じはしますが、独習には適切かも。
類書で永田さんの可換体論がありますが、追加的トピックスもないし、永田さ
ん本の他に漏れず記述が難解です。
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:08:53.35 O8x0ePuw.net
>>114
おーい、おっちゃん
>>50みたく、証明おもいつかんかね？
123:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:20:42.58 O8x0ePuw.net
>>111
なお、関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
参考文献
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C? There are only two continuous automorphisms
(cf. Exercise A-8 and solution). If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to
construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation
α of A; then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an
automorphism of C. Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous
automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to
construct nonmeasurable functions.*2
9 Transcendental Extensions 109
Algebraic independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Transcendence bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Luroth’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Separating transcendence bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Transcendental Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
124:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:22:17.85 O8x0ePuw.net
>>119 補足
このJ. S. Milne, Fields and Galois Theory は、以前にも紹介だけした記憶がある
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:26:20.03 O8x0ePuw.net
>>106
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 を、「集合の濃度」という視点で捉えたら、そういう意見もありかも・・
だが、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたらどうよ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数(抜粋)
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
証明のために、まず L/K の超越基底 S をとる。K(S) の元は K に係数をもつ S の元の多項式の商である。したがって自己同型 f は S のすべての元をそれ自身に送ることによって K(S) の自己同型に拡張できる。
体 L は K(S) の代数的閉包であり、代数的閉包は同型を除いて一意的である。このことは自己同型がさらに K(S) から L に拡張できることを意味している。
別の応用として、複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。
任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
126:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:32:53.55 O8x0ePuw.net
>>121 補足
・ n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。>>111
・より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。>111
・超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
などを見ると、問題>>16の(1)は、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたら、それは関数体や多様体を理解する上で、結構重要と思わないか？
127:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:45:35.58 O8x0ePuw.net
>>121-122
もう一つの視点は、数学的教養だと
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16は
知識として正解を知っていること、およびどうやって導くかのあらすじは
この程度の知識は、２１世紀の数学では
これが数学基礎論だったのは１００年前の２０世紀初頭か１９世紀の終わりかだろう
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:54:50.99 O8x0ePuw.net
>>101 余談だが
「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな
そんな教育では、数学が分からなくなる
もっともっと直感を磨くべし。天才の直観に頷けるように・・
URLﾘﾝｸ(center.edu.wakayama-u.ac.jp)
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004
10. 諸注意
本稿では、数体系としての複素数体を代数的手法
で構成して、解析的手段により複素数の極形式表示
を導き「有向角」を定義した。途中、幾何学的なこと
ばが登場しているが、注意深く見れば、ここまでの議
論は初等幾何学的直観に基づいてはいないことに気
付かれよう。誤解を防ぐために、このことについて弁
明する必要があろう。
著者は直観的思考を無視ないし軽視するものではな
い。正当な直観こそは論理のナヴィゲーターである。
天才は卓越した直観力をもつ。それゆえに天才たり
えたのである。しかし天才の直観に基づいた論理は、
常人は容易に受け付けがたい。常人が受け付けられ
るようにするためには天才の直観を論理化する必要
がある。逆説的だが、直観を正当化するために作業仮
説として直観を排する。それが本稿の立場である。
（引用おわり）
129:１３２人目の素数さん
15/04/16 04:59:11.74 iP4tAlo3.net
>>118
Qは有理数体、Rは実数体で、>>16では
AutQ(R)＝{f|f:R→R は環同型写像、k∈Q⇒f(k)＝k}
と書いてあったとする。
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sであり、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。f∈AutQ(R)は任意だったから、
体Qの体R上の自己同型fは一意的に存在して、card(AutQ(R))＝1。
基本方針
1、AutQ(R)≠φを示す。
2、f∈AutQ(R)を任意に取って、任意のx∈Rに対してf(x)≧0であり、fが単調非減少なることをいう。
3、任意のx∈Rに対してf(x)＝xをいう。
130:>>16出題者
15/04/16 21:56:24.36 ZSBDHkRC.net
>>125
小さなミスを除けば正解
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
f:R→R なので、u∈R でなければならないが、x<0 のとき、x＝u^2
を満たす u∈R は存在しない。
実際、f(x)>0⇒x>0 が言えるので、x<0 なら f(x)<0
「0≦x∈Rを任意に取り」とすれば良かった。
131:１３２人目の素数さん
15/04/17 12:39:07.29 /r2wdnDh.net
>>118
一応、>>125を訂正しておく。
>関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
の部分は「関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、」と訂正し、
>点x∈Rを任意に取り
の部分は「点x∈[0,+∞)を任意に取り」と訂正。あと、基本方針の2の
>任意のx∈Rに対して
の部分は「任意のx∈[0,+∞)に対して」と訂正。
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:09:31.54 N+SZ0AF4.net
>>125-127
どうも。スレ主です。
おっちゃん、証明ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
出題者さんも、ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
133:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:17:07.07 N+SZ0AF4.net
英文だが
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Why does C have transcendence degree c over Q? Jan 28 '12 Mathematics Stack Exchange
7
(Of course I assume the Axiom of Choice...) Choose a transcendence basis X={x
134:i}i∈I for C over Q. Then C is an algebraic extension of Q(X). Now here are two rather straightforward facts: 1: If F is any infinite field and K/F is an algebraic extension, then #K=#F. 2: For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X). Putting these together we find c=#C=#Q(X)=max(?0,#X). Since c>?0, we conclude c=#X.
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:21:08.40 N+SZ0AF4.net
>>129
文字化けしたか。修正下記
c=#C=#Q(X)=max(?0,#X).→c=#C=#Q(X)=max(アレフ0,#X).
Since c>?0, we conclude c=#X.→Since c>アレフ0, we conclude c=#X.
136:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:26:09.71 N+SZ0AF4.net
似た話で下記がある
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
What is the transcendence degree of Q_p and C over Q? Feb 16 '10 MathOverflow
7
In both cases the transcendence degree is the cardinality of the continuum. CH is not needed.
This is a corollary of the following result: let K be any infinite field, and let L/K be any extension. Then
#L=max(#K,trdegKL).
To prove this, in turn it suffices to establish the following two results (each of which is straightforward):
1) If K is infinite and L/K is algebraic, then #L=#K.
2) If K is any infinite field, T={ti}i∈I is an arbitrary set of indeterminates and K(T) is a purely transcendental function field in the indeterminates T, then #K(T)?#T+#K.
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
What is the cardinality of a transcendence basis of C over Q? Oct 28 '12 Mathematics Stack Exchange
137:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:50:04.48 N+SZ0AF4.net
>>129
" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
purely transcendental extensionの場合はそうなる？
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 05:41:25.02 LskGPWAB.net
>>129 補足
余談だが、日本語ではほとんど情報がない
これからは、英語の情報を取らないとだめだ
139:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 06:06:29.72 LskGPWAB.net
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
ガロア理論:未知数の体の拡大 2013/03/03
ベストアンサー抜粋
ここでは話をややこしくしないよう、体といえば有理数体を含む体(標数0と同義)に限ることにします。
また、有理数体をQと表記することにします。
以下、長文ですがご参考までに。
体の拡大には、代数拡大と超越拡大というかなり性質の違う拡大があり、多くの場合これらは分けて論じないといけません。
不定元は基礎体(拡大前の体)を係数に持ついかなる代数方程式もみたしません。
よって、不定元を添加した体は基礎体上のベクトル空間として無限次元になります。
(しかし、逆：「基礎体上無限次元の体なら超越拡大」は成り立ちません。例えば1のあらゆるベキ根を有理数体に添加して出来る体Kは超越拡大体ではありません。なぜなら、Kのあらゆる元はQ係数の多項式の根になるからです。)
しかし、最初から不定元を持つ体を拡大するなら話は別です。
例えば、Q上の一変数有理関数体Q(x)に√(x+2)を付け加えて出来る体Q(x, √(x+2))=Q(√(x+2))は、Q上は超越拡大ですが、Q(x)上では
√(x+2)が T^2 -(x+2) というQ(x)係数の多項式の根になるので、2次の代数拡大になります。
超越拡大については、「本質的に不定元を何個付け加えたか」
140:を表す超越次元という概念があります。 例えばQ上、Q(x)やQ(x, √(x+2))は超越次元が1であり、Q(x)上Q(x, √(x+2))は超越次元が0です。 またQ(x, √(x+y))はQ(x)上やQ(y)上では超越次元が1であり、Q上では超越次元が2となります。 つづく
141:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 06:08:27.82 LskGPWAB.net
>>134 つづき
一般にベキ根を入れ子にして、Qに有理数のベキ根を付け加えた体、にさらにその体の数のベキ根を付け加えた体、にさらに・・、、ということを有限回繰り返して作られる体Fをベキ根拡大体といいます。
拡大がベキ根拡大であるという性質は、体F(の共役元を全て含むガロア閉包F')の自己同型の様子に現れていて、Gal(F'/Q)が可解群(可換群による拡大を繰り返して出来る比較的簡単な群)であるということに同値になります。
n次方程式の根をn個とも全て含むような体(共役元を全て含むのでガロア拡大体になります)は、最も複雑な場合、拡大のガロア群がn次の対称群(位数n!の大きな群)になりますが、
4次以下の対称群は可解群になることが分かっているので、4次までの方程式にはベキ根を入れ子にした解の表示があるのです。
一方、5次以上の対称群は可解でないことも分かっているので、ベキ根を組み合わせた解の表示は一般にはできません。
（引用おわり）
余談だが、日本語ではほとんど情報がないと書いた直後に日本語情報だが
日本語情報では初等的な話しか
142:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 06:12:49.23 LskGPWAB.net
>>135 つづき
日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
東大京大クラスは別として
どうもそんな気がしてきた・・
とすると、このスレのレベルも超えている・・
このスレは学部３年くらいと考えているんだ・・
が、まあ超越拡大も>>123くらいまではやりましょう！
143:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 07:15:09.68 LskGPWAB.net
>>122 補足
MITのページがあった
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
MIT 18.782 - Arithmetic Geometry Instructor: Andrew Sutherland, Grader: John Binder, Term: Fall 2013
COURSE DESCRIPTION
Arithmetic geometry lies at the intersection of algebraic geometry and number theory.
Its primary focus is the analysis of diophantine equations (x^n + y^n = z^n, for example), both from an algebraic and a geometric perspective.
See the course outline for a list of planned topics. URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu) 12.1 Field extensions
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
(補足 上記URL中のLectureNotes12.pdfなどで番号を変えると、別のPDFが出るが、なぜかLectureNotes1.pdfだけ出ない
それはともかく、LectureNotes12.pdf 12.1 Field extensionsに超越拡大がある)
（Definition 12.3. The transcendence degree of a eld extension L=K is the cardinality of any (hence every) transcendence basis for L=k.で L=K→L=kだな。すぐ分かるけど ）
144:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 07:50:14.70 LskGPWAB.net
>>132
>" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
>purely transcendental extensionの場合はそうなる？
#F(X)=max(#F,#X)は、これだけ見るとそうかなと思うが
一方、>>84に書いた
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
があるので、なんだかなーと
やっぱり直和の話？ >>76-77
145:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 08:03:48.33 LskGPWAB.net
>>138 つづき
”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”下記かな？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 文字化けは修正しません
146: 線型空間の直和 詳細は「線型空間の直和」を参照 ベクトル空間の直和（英: direct sum）とは、共通部分の自明なベクトル空間の和である。 ベクトル空間 W1, …, Wn の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W1, …, Wn の（外部）直和という。これを W = W1 ? … ? Wn と表す。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C 抽象代数学において、直和 (direct sum) はいくつかの加群を新しい大きな加群に合併する構成である。 加群の直和は与えられた加群を部分加群として「不必要な」制約なしに含む最小の加群であり、余積の例である。双対（英語版）概念である直積（英語版）と対照をなす。 この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。 性質 ・体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。 ・テンソル積は次の意味で直和上分配する： N が右 R-加群であれば、N の Mi とのテンソル積（これはアーベル群）の直和は自然に N の Mi の直和とのテンソル積と同型である。 ・直和はまた（同型を除いて）可換であり結合的である、つまりどんな順番で直和を作ろうが関係ない。
147:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 08:21:02.61 LskGPWAB.net
>>123
余談だが、”The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality”は、Factで[Cohn91, Exercise 5.1(4)]だと。まあ、教養ですよ
URLﾘﾝｸ(www2.cs.uni-paderborn.de)
Real Computability and Hypercomputation Martin Ziegler December 20, 2007
P18
Fact 2.5.
b) The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality [Cohn91, Exercise 5.1(4)].
[Cohn91] P.M. Cohn: “Algebra” 2nd Edition vol.3 (1991).
148:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:10:58.32 LskGPWAB.net
>>140
まあ、教養ですよと良いながら、いまいち理解できていないが
>>40-41に戻ると
・超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる（だから、こちらからアプローチするのは難しい）
・で、加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える（が、一般のベクトル空間では言えないみたい>>138）
・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる
かな
149:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:28:36.56 LskGPWAB.net
ケーニヒの定理 (集合論)。使えるかどうか不明だが、取りあえずコピペ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ケーニヒの定理 (集合論)
積の濃度は和の濃度より真に大きい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
150:１３２人目の素数さん
15/04/18 09:30:01.63 nav1Dr38.net
>>136
超越拡大なら、微分体の理論。まあ、それ知らなくても、
1変数代数関数体が超越拡大の例になっていて、1変数代数関数の理論しとけばいいんじゃない。
>日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
日本では、ハーツホーン病という病気が流行っていて、これ読むには超越拡大は必要でしょうな。
なので、別に超えてはいないんじゃない。例え知らなくても、ハーツホーン病にかかった人はすぐ覚える。
日本には、数論幾何、代数幾何、だ～い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
151:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:44:32.6
152:9 ID:LskGPWAB.net
153:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:49:26.59 LskGPWAB.net
>>143
どうも。スレ主です。
レスありがとう
ハーツホーンが定番（バイブル）という話はどっかに
>日本には、数論幾何、代数幾何、だ～い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
まあ、日本のお家芸的では？
高木－広中－森の系譜か・・
そこからちょっと外れる岡とか佐藤とか
最近のヒットは望月か？ （ファールかフェアかだが）
154:１３２人目の素数さん
15/04/18 10:46:43.86 nav1Dr38.net
>>145
「高木－広中－森の系譜」ではなく「岡－広中－森」或いは「小平－広中－森」じゃないか。
高木の類体論は代数的整数論で、数論幾何、代数幾何とは少し違うだろう。
岡や佐藤は、2人とも独創的かつ苦しい状況で研究をしていた人で、
岡は、ヘンリ・カルタンがよき理解者で、カルタンが岡の業績から層を編み出したんです。
佐藤は、お師匠がよい理解者で、シュワルツの超関数の理論を最初から定式化し直して
代数解析という解析を完成させたんです。そして線形偏微分方程式を解くのに使ったりしていたんです。
何か、その一部は今でも発展し続けているみたいです。昔は佐藤超関数の研究
をしていた人達が沢山いて、そのグループがあったみたいなんです。
155:１３２人目の素数さん
15/04/18 10:55:49.60 YVNcus3n.net
>>16の(1)は、スレ主は拡大次数に注目したけど実は特に関係ありませんでした、というオチだね。
確かにガロア理論では、一般に体拡大 L/K について拡大次数 [L:K] と K 上の自己同型群の位数 card(AutK(L)) の関係は重要だけど。
結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
156:>>16出題者
15/04/18 11:48:43.62 xIwU7Wpr.net
出題者の独断で採点しました。
>>125
90点
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
惜しいミスではあるが、致命的誤りでもあるので10点減点。
＞1、AutQ(R)≠φを示す。
これを最初に示すことは必ずしも必要でないと思う。
証明後半は、「fはどんな形でないとならないか」を論じているのだけれど、その際fの
存在は仮定でも構わないからだ。つまりfの存在を仮定しておいて、「fはどんな形でも
駄目」となれば、「fは存在しない」という結論になるだけ。
もちろん誤りではないので減点は無し。
スレ主さん
0点
R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
[R:Q]探求の森に踏み入り最後まで迷子のままだった。card(AutQ(R))について何も論じていない
に等しいので0点とせざるを得ない。
157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 12:58:02.77 LskGPWAB.net
>>146
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>「高木－広中－森の系譜」ではなく「岡－広中－森」或いは「小平－広中－森」じゃないか。
ああ、そうですね
そういう線もありですね
158:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 13:40:28.04 LskGPWAB.net
>>145-146
どうも。スレ主です。
主題者さんありがとう
おっちゃん、９０点かすごいね
スレ主さん0点は結構だ。体の無限次元拡大が分かってないんだろうね
>結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
いや、単に分かってないんだろうと思うけど
>R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
じゃ、問題を変えて、C/Qはガロア拡大か否か？ C/Rの拡大次数は２で良いのか？ とすれば、card(AutQ(C))＝２で良いのかい？
おっと、これ（下記）か？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア群
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型�
159:ﾍ順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。 ・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。 （引用おわり） 「Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる」か Aut(C/Q) は無限群で、card(AutQ(C))＞アレフ0だな
160:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 13:52:13.10 LskGPWAB.net
>>141
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
>>82 より「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
村上順 早稲田
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
可算集合の和集合
可算集合となる
可算個の可算集合の和集合
可算集合となる
（引用おわり）
161:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 16:56:50.41 LskGPWAB.net
>>150 関連
"体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。"(下記)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型写像のことを言う。
つまり構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、ある意味ではその対象の対称性を表わしていると言える。
対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。
恒等写像は自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれることもある。
他の（恒等射ではない）自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3] 体自己同型は体の拡大、特にガロア拡大の理論で重要である。
ガロア拡大 L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の部分群を拡大のガロア群と呼ぶ。
p-進数の体 Qp は非自明な自己同型を持たない。
162:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 17:35:23.20 LskGPWAB.net
>>125-128
分かり易い証明が下記にあった
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)<)サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
幾何学の精神 青空学園数学科 2014 年1 月13 日 より
＜3.1.3 射影幾何の存在＞
命題29 実数体R の同型写像群A(K) は恒等写像のみの群である．
証明
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ R
が存在する．φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < s
とできる．有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに
（φ(s) + s）/2 < a < s
となる有理数a が存在する．c = s － a とおく．
φ(1) = 1 なので，a =q/p と整数p とq で表す．正整数p に関しては，φ が体の同型であること
からφ(p) = φ(1 +・・・ + 1) = φ(1) + ・・・ + φ(1) = p
となり，φ(－p) = －φ(p) より負の整数もφ で動かない．これから
φ(a) = φ(p^－1*q) = φ(p)^－1*φ(q) = p^－1*q = a
となり，φ はQ の要素を動かさない．よって
φ(c) = φ(s) － a < 0
一方，c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よって
φ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0
これは矛盾である．
体の超越拡大に関する準備を必要とするので，次の命題の証明は略する．
命題30 複素数体C の同型群A(K) は無限群である．そのうち複素数体の実数から導かれる位
相に関して連続となるものは複素共役写像z → z~ のみである．
163:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 17:50
164::48.06 ID:LskGPWAB.net
165:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 17:54:02.38 LskGPWAB.net
>>150 補足
まあ、数学的教養だね、これは
>>16(1)が解けなかったのは、教養が無かっただけ
早くギブアップして良かった。自力では無理だった
166:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 18:14:34.04 LskGPWAB.net
>>151
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
直和の説明はこんな程度で委員会？
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2009/10/31
ベクトル空間について質問です。
Ｆ上のベクトル空間Kがあるとして、このKを有限体（元が有限個の体）でＦをＫの素体とする
とすると次元は有限の値となり，ｒとすると
KはFのｒ個の直和でかけるということを知りました。 しかしなぜこのときなぜKがこのFの直和でかけるのでしょうか？
これは線形代数でもやりますよね？
「（素体とは限らない）体Ｆ上のｒ次元ベクトル空間Ｖは、Ｆのｒ個の直和で書ける。」
方針としては、Ｖの基底を {v_1, v_2, ..., v_r} とすると、Ｖの任意の元はこれらのＦ上の線形和で書ける。
従って、
Ｖ ＝ v_1 F + v_2 F + ... + v_r F
（直和）となります。
質問者さんの設定ですと、Ｋ／Ｆ はｒ次の体の拡大です。
つまり、ＫはＦ上のベクトル空間としてｒ次元。（これが拡大体の次数の定義ですね！）
このベクトル空間の基底を固定すれば、上述の通り、ＫはＦのｒ個の直和で表せます。
参考：
Ｋ／Ｆが分離拡大であるなら、単拡大ですのでＫ＝Ｆ（α）という形で表せ、
基底として {1, α, α^2, ..., α^(r-1)} を取ることができます。
167:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 18:23:08.76 LskGPWAB.net
>>151
>「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
下記で委員会？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
選択公理
応用
選択公理もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
・ハーン・バナッハの定理
・極大イデアルの存在
・ベクトル空間の基底の存在
・ハウスドルフのパラドックス
・バナッハ＝タルスキーの定理
・可算集合の可算個の和は可算である
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2012/6/4 可算集合の可算個の和集合も可算集合になることを示せ
A_m = {a_mn}，A=∪A_mとする．a_mnをm+nが小さい順に，m+nが等しいものはmが小さいほうを先に並べると(同一のものが重複して出てきたときは飛ばす），
この順番ですべてのa_mnの番号付ができるから，Aは可算．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。
可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。
これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。
しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。
168:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 18:30:24.68 LskGPWAB.net
>>156 補足
思うに、「直和」はちょっと深いものがありそう（調べた範囲では）
一般のガロア本では、体の拡大はベクトル空間になるまでは述べているが、「直和」までは言わない
「直和」を突っ込みだすと、圏論まで行くんですかね？
で教科書では、「まあ、それはまた後で」となるのかも・・
169:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 20:22:23.77 LskGPWAB.net
>>154 補足
１．>>16(1)は面白い問題やったね。
２．おっちゃん、前スレやったか「有理数の稠密性
170:」とか叫んでいたから、勉強が役に立ったね ３．「証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている」と書いたが ４．実数の構成でコーシー列（有理数よりなる）を考えて、Rの自己同型はコーシー列（有理数）を動かさないという証明もありかも・・、という気がしてきた・・ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97 実数の構成 実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。 有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。 また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。 （略） R の任意のコーシー列は収束する、すなわち R が完備であることがわかる。
171:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 20:34:23.65 LskGPWAB.net
>>159 つづき
５．>>153の証明にあるように、Rの自己同型は、０と１を動かさず、従って整数を動かさず、従って有理数も動かさない（これについては私も>>87に書いたが）
６．だから、コーシー列（有理数）を動かさない
７．だから、全てのRの元を動かさず、恒等写像（自明な同型）のみだと
８．>>153の証明は背理法だ。しかし、上記証明は背理法ではない。だから、「順序を保つことと、Q,Rの稠密性」は表には出てこない。コーシー列の性質には暗に含まれているが
お陰で、超越数、実数、複素数を深く理解できました
出題者さん、おっちゃんありがとう
では
172:１３２人目の素数さん
15/04/18 21:15:09.40 xIwU7Wpr.net
>>160
6→7に論理の飛躍あり。
x∈R が 有利数列(q_n∈Q)によって x=lim[n→∞]q_n と表せたとする。
f∈AutQ(R) が f(q_n)=q_n を満たしたとしても、
f(x)=f(lim[n→∞]q_n)=lim[n→∞]f(q_n)=lim[n→∞]q_n=x
は直ちには言えない。二つ目の等号が成り立つにはfがRで連続であることが必要。
173:１３２人目の素数さん
15/04/18 21:36:52.36 YVNcus3n.net
「実数はコーシー列の同値類」という見方をするなら、
f∈AutQ(R) と実数 r=[{q_n}] (有理数列{q_n}の同値類) に対し
f([{q_n}])=[{f(q_n)}]
が成り立つか、ってことだね。
５．では [{q_n}] が有理数を表す場合は正しいということを言っている。
どんなコーシー列でも成り立つってのが６．なので、飛躍は５．→６．かも。
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/19 09:24:45.56 Fta5hZD3.net
>>161-162
どうも。スレ主です。
みなさんレベルが高いですね
・確かに、Rの体自己同型はZやQを動かしてはならないという禁止要請がある
・しかし、それ以外の元を動かすことは、禁止事項ではない
・なお、>>153の証明は、φ(s) > s として、（φ(s) + s）/2 < a < sなる有理数aを取ったときに、矛盾が出ると
・QとRの順序構造とQの稠密性から （ φ(c) = φ(s) － a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > a だから、c = b^2 は不要だったね。他の証明法もありそうだが・・）
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/19 09:31:17.48 Fta5hZD3.net
なお、>>150で
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
また、体の拡大次数や代数拡大、超越拡大と合わせて理解することも良いと思うんだよね
体の拡大次数で、R/QとC/Qとは非可算無限なのに、Aut(R/Q)とAut(C/Q) の違いが生まれるのはなぜか？（上記と同じ疑問だが）
そういうことを考えさせられる良い問題だった
ありがとう
176:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/19 19:41:12.29 Fta5hZD3.net
>>163 訂正
φ(s) > sは、違うね
φ(s) < sだった（読み飛ばしていた）
だから、「φ(c) = φ(s) － a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > aだから、c = b^2 は不要」は言えないね
ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
では
177:１３２人目の素数さん
15/04/23 16:24:28.74 Z7PgLnzO.net
スレ主さんはガロア理論の他にどんな数学が好き？
178:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/24 22:22:02.20 rD
179:EyqA0E.net
180:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/24 22:26:00.50 rDEyqA0E.net
微分方程式って、不思議だよね
いろんなことが微分方程式で表される・・んだ
181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:27:44.51 1rI4QMvS.net
>>165
どうも。スレ主です。
>ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
難しかった。自分だけでは証明は思いつかなかった
検索すると、下記があった
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2007/11/8 実数体Ｒの自己同型写像は恒等写像のみであることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答 median_modeさん 編集あり2007/11/9
自己同型写像ならば恒等写像であることは簡単に言えると思います
恒等写像ならば自己同系写像であることは、Rが実数体なので演算ができることを使って
線形写像であることを言えばいいと思います。
fが実数体Rの自己同型写像ならば
写像じたいも加法乗法でとじているので
f(ab)=f(a)f(b)
fはRの線形写像でもあるので
f(ab)=af(b)
⇒f(a)=a 恒等写像である
ｆが実数体Rの恒等写像ならば
f(a)=aなので
R→Rの全単射であり
f(a+b)=a+b=f(a)+f(b)
f(ab)=ab=ｆ(a)f(b)
なので自己同型写像である
というかんじじゃないでしょうか
(続く)
182:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:30:11.86 1rI4QMvS.net
（続き）
ベストアンサー以外の回答 drtetsuyaandoさん 2007/11/12
たぶん「代数学」か何かのレポート問題だと思いますが, mable_saga さんのヒントで, 解答への95％くらいまで教えてもらっているので, 後の5％は自分で考えましょう。でも, 特別に, あと3％くらいヒントを追加すると,
(1) mable_saga さんの①の方法で, f(1)=1 を証明する。
(2) 数学的帰納法で, 自然数 n に対して f(n) = n を証明する。
(3) n が負の整数や 0 でも f(n) = n であることを証明する。
(4) 有理数 p/q (p は整数, q は自然数) に対し, f(p/q) = p/q であることを証明する。
(5) mable_saga さんの②, ③の方法で, f は単調増加であることを証明する。
(6) あとは, (5)から f が連続であることを証明してもよいし, 直接(4)と(5)を用いて背理法で f が恒等写像でないと矛盾することを示してもよい。
ところで, 複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。
（引用終わり）