15/04/25 04:27:44.51 1rI4QMvS.net
>>165
どうも。スレ主です。
>ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
難しかった。自分だけでは証明は思いつかなかった
検索すると、下記があった
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2007/11/8 実数体Ｒの自己同型写像は恒等写像のみであることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答 median_modeさん 編集あり2007/11/9
自己同型写像ならば恒等写像であることは簡単に言えると思います
恒等写像ならば自己同系写像であることは、Rが実数体なので演算ができることを使って
線形写像であることを言えばいいと思います。
fが実数体Rの自己同型写像ならば
写像じたいも加法乗法でとじているので
f(ab)=f(a)f(b)
fはRの線形写像でもあるので
f(ab)=af(b)
⇒f(a)=a 恒等写像である
ｆが実数体Rの恒等写像ならば
f(a)=aなので
R→Rの全単射であり
f(a+b)=a+b=f(a)+f(b)
f(ab)=ab=ｆ(a)f(b)
なので自己同型写像である
というかんじじゃないでしょうか
(続く)
180:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:30:11.86 1rI4QMvS.net
（続き）
ベストアンサー以外の回答 drtetsuyaandoさん 2007/11/12
たぶん「代数学」か何かのレポート問題だと思いますが, mable_saga さんのヒントで, 解答への95％くらいまで教えてもらっているので, 後の5％は自分で考えましょう。でも, 特別に, あと3％くらいヒントを追加すると,
(1) mable_saga さんの①の方法で, f(1)=1 を証明する。
(2) 数学的帰納法で, 自然数 n に対して f(n) = n を証明する。
(3) n が負の整数や 0 でも f(n) = n であることを証明する。
(4) 有理数 p/q (p は整数, q は自然数) に対し, f(p/q) = p/q であることを証明する。
(5) mable_saga さんの②, ③の方法で, f は単調増加であることを証明する。
(6) あとは, (5)から f が連続であることを証明してもよいし, 直接(4)と(5)を用いて背理法で f が恒等写像でないと矛盾することを示してもよい。
ところで, 複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。
（引用終わり）
181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:41:12.31 1rI4QMvS.net
つづき
>>153
１．この証明で、「（φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．」としているが、（φ(s) + s）/2 は証明に使っていないね
２．あと、「c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よってφ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0」の部分
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
という証明の筋も、教養として覚えておく方が良いと思うよ
182:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:47:53.70 1rI4QMvS.net
つづき
「複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。」>>170
同じことだが
「複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。」>>152
も、数学の教養だよね
私は、教養が不足していることがよく分かりました
お陰で少し教養が増えました。ありがとう
183:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 05:00:30.39 1rI4QMvS.net
>>170
おっと、大事な続きがあったね
（引用開始）
marble_sagaさん 2007/11/13
上の方のは間違いです。同型と線形は違います。
証明の概略です。不明な点はまた質問して下さい。
まず、恒等写像なら有理数は固定されます。そして正の数は正の数に移ることを示し、それを用いて、写像が順序を保つことを示します。順序を保つので写像は単調増加ということになります。そして有理数を固定する単調増加写像は恒等写像しかないことがいえます。
ヒント
①１は１の二乗であり、任意の自然数は１の和に書ける。
②正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。
③ａ＝ｂ＋（ａーｂ）
（引用おわり）
「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。」は省略できない？
使えば簡単というのと、必須とは違う・・
はて
184:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 05:24:53.56 1rI4QMvS.net
ともかく訂正
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
↓
合わせて、>>169-170>>173
185:にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って順序を保つ線形写像であることを言えばいい」 かな？ 「連続」は使わなくても良いか
186:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 05:30:02.12 1rI4QMvS.net
>>172 補足
URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)
教養 goo辞書
1.学問、幅広い知識、精神の修養などを通して得られる創造的活力や心の豊かさ、物事に対する理解力。また、その手段としての学問・芸術・宗教などの精神活動。
2.社会生活を営む上で必要な文化に関する広い知識。「高い―のある人」「―が深い」「―を積む」「一般―」
187:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 06:29:08.93 1rI4QMvS.net
>>172 補足
>>172 補足
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1137-1.pdf
Ring homomorphisms on commutative Banach algebras I 新潟大学大学院自然科学研究科羽鳥理(Osamu Hatori)数理解析研究所講究録 2000年
（抜粋）
1 複素数叩上の自己同型写像
その後, Steinitz [8] の結果を用いれば, 非自明な自己同型写像が存
在することの証明ができることが知られるようになったし, Kestelman [3] は代数学の定理
を用いないがZorn の補題, 整列可能性定理, 超限帰納法等を用いた存在証明を与えた.
実際その方法から非自明なものはたくさんある事が分かる.
例えばρ(a+b√2)=a-b√2 なる{a+b√2:a, b∈Q+iQ} 上の自己同型写像ρ 等は, C 上の非自明な自己同型写像に拡張できることがわかる.
非自明な自己同型写像の振る舞いは大変複雑である.
たとえば, 実数全体R に対してρ(R) は複素平面で稠密である. (cf.[3])
(引用終わり)
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。>>152
で、上記”ρ(a+b√2)=a-b√2 なる{a+b√2:a, b∈Q+iQ} 上の自己同型写像ρ 等は, C 上の非自明な自己同型写像に拡張できることがわかる.”
が、その例？ 無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけない>>170わけでもない？
”実数全体R に対してρ(R) は複素平面で稠密である. (cf.[3])”の意味がとれないけど・・、まあ良いか（＾＾
188:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 08:20:48.57 1rI4QMvS.net
>>176 訂正：補足がダブり。一つ消去ください
脱線
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
代数多様体の幾何と代数－ガロワ点とは？－
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
研究紹介(吉原久夫)代数多様体のガロワ埋め込みの研究
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
名誉教授 平成25年3月退職 吉原 久夫 新潟大
189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 08:35:44.82 1rI4QMvS.net
>>177
脱線補足
文書に日付がない。これはよくない
研究紹介が2011年10月（下記）、「代数多様体の幾何と代数－ガロワ点とは？－」はその少し前だろう
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
2011年10月12日 秋山茂樹准教授, 山田修司准教授, 吉原久夫教授の学生向け研究紹介を掲載しました。
190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:07:42.15 1rI4QMvS.net
脱線ついで
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
9. 保型表現とGalois表現 (吉田輝義) 保型表現とGalois 表現 |初学者のために|
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」報告集の原稿ページ
URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
website of teruyoshi yoshida （よしだ・てるよし／ケンブリッジ大学数学科）
URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
上記 ss2009と同じだが、なぜか2010_SummerSchool？
191:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:13:55.77 1rI4QMvS.net
>>179
（脱線ついで補足）「(吉田輝義) 保型表現とGalois 表現 |初学者のために|」より
”現在の代数的整数論のもっとも中心的な問題の一つである非可換類体論（Langlands 対応）は，保型表現とGalois 表現の間の対応として定式化されている．
表現論の言葉で書かれるようになった理由は，整数論が非可換な対象を本格的に扱う時代に入ったということである．
代数的整数論を志す学生にとっては，可換環論，代数幾何，ホモロジー代数，位相群上の積分などが学習事項とされてきたが，表現論の重要性は十分に強調されてこなかったように思われる．
筆者自身も，表現論の勉強が足りず自転車操業で勉強している次第だが，初学者の読者を念頭において「なぜ表現論が代数的整数論にとって不可欠なのか」を解説しながら，Langlands 対応の世界への案内を試みたいと思う．
定式化や研究対象の移行ということについて一言書いておく．
Galois 理論以前は，代数学といえば方程式論であり，与えられた一変数あるいは多変数の多項式を四則演算で操作し，未知数を求めるという意味でそれらを「解く」，あるいはさまざまな多項式の間の関係を発見し記述する，という学問であった．
しかし，5 次以上の方程式が根号では解けないことが証明され，根の間の有理的な関係の構造が「方程式の根の生成する拡大体のGalois群」にすべて書き込まれていることがわかると，方程式論は「拡大体とそのGalois 群を理解する」という新しい定式化を獲得した．
とくに，方程式論が基礎体に決定的に依存することが明白になったことは，基礎体に依存する代数学（整数論との自然な統合，および任意のスキーム上の代数幾何）としての数論幾何の夜明けであったとも言える．
この19 世紀の「方程式論→拡大体・Galois 群」という変化と同じ規模のパラダイム・シフトが，20世紀の数論幾何の発展を経て起こった．
それが，「拡大体・Galois 群→ Galois 表現」という定式化・研究対象の移行であり，現在の代数的整数論の中心的な研究対象はGalois 表現である，と言ってしまっても過言ではないと
思われる．この移行について解説するのが本稿の目的の一つである．”
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:22:10.21 1rI4QMvS.net
>>180
似たような話(パラダイム・シフト)は、ちらっと見た下記にもあったように思う
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発 黒川 信重 著
ISBNコード978-4-535-78589-2 発刊日：2014.11（中旬刊）
現代数学の基盤をなす《ガロア理論》と《表現論》のコンパクトな入門書。2つの理論を土台に、読者を《ゼータ関数論》へと促す。
■『ガロア理論と表現論』正誤情報のページ
第2章 表現論
2.0 はじめに：なぜ、表現論と双対性か
2.1 群の表現論と双対性の起源
2.2 有限アーベル群の表現論と双対性
2.3 ポアソン和公式とフーリエ展開
2.4 有限群の表現論と双対性
2.5 補足
第3章 ガロア表現論
3.0 はじめに：ガロア表現
3.1 ゼータとは何か？
3.2 ゼータの統一
3.3 類体論
3.4 楕円曲線と保型形式
3.5 通常のラングランズ予想
3.6 正標数のラングランズ予想
3.7 幾何学的ラングランズ予想
3.8 ラングランズ予想を超えて？
3.9 おわりに
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:44:04.87 1rI4QMvS.net
>>164 補足
いま（その３）2015年04月16日まで来ています。結構新しい
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
�
194:ｴ孫江の数学日誌 あらためてしっかり「数学書を読む」ブログです. 現在はぼやいたりため息をついたりしながら 永田雅宜先生の名著『可換体論』を読んでいます. 抜粋 §3.1 超越基 (その１) 2015年04月01日 第３章以降は, 有限次とは限らない体拡大にガロアの理論を拡張することを目標としています. とはいえ, 有限という仮定をひとたび外したならばそれは未開の荒野を行くようなものでありまして, 体拡大にも, 群にも, それぞれに有限の場合とは段違いの知見を必要とします. 一口に無限次拡大といっても, 有限次拡大の延長に過ぎない場合と, そもそも本質的に有限にはなりえない場合とがあります. すべての体は整域の商体として表されます. L/K が代数拡大の場合には, L を商体とする K 代数は L 自身しかありません. これに対して, 超越拡大の場合には L を商体とする K 代数で整域でないものが存在します [例えば, 純超越拡大 L=K(S) は多項式環 K[S] の商体]. 代数拡大を扱っているうちは体しか出てこなかったので, 体のカテゴリーの中だけで話が進みましたが, 第３章以降で体以外の環を考察する理由はここにあります. 整域自身を調べればその商体のことは自ずからわかりますから, 超越拡大体の考察には積極的に環論の技法が用いられます. 体は環なのに今さらなぜ環論を, と思われるかもしれません. 体は確かに環の一種なのですが, その特殊性故に一般的な環の理論が適用しにくいところがあります. 良し悪しではなく, 環論と体論の志向性と踏み込みの違いです.
195:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 15:51:59.72 1rI4QMvS.net
>>182
超越拡大の場合に環になるのは下記にもある
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
ガロア理論 松本 眞 平成18 年11 月22 日
（抜粋）
定理1.11. α ∈ L ⊂ K に対し、環同型
K[t]/Φα(t) ≡ K[α] ⊂ L
が存在する。もし、α がK 上代数的なら、K[α] は体である。
K 上超越的なら、K[α] は多項式環K[t] と同型である。
証明. 前半はすでに示されている。「代数的なら体」というのは、次の二つの
補題の帰結である。超越的なら、'Φα(t) = 0 より、左辺が多項式環と同型になる。
196:１３２人目の素数さん
15/04/25 16:55:54.29 NUHAx/1J.net
>>171
（φ(s) + s）/2 < a という事実は
＞φ(c) = φ(s) － a < 0
で暗に使っている。
でもわざわざ a をこんな風に取らなくても
φ(s) < a < s
で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
>>16の(1)は、R を C とか Q(√2) とか Q(X) とかに変えると成り立たない。
なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。
いわゆる本質ってやつなのかも。
別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。
197:１３２人目の素数さん
15/04/25 17:12:13.96 U90x2yR7.net
| ヽ i､ !, |
ヽ ｀!, |i､ ヽ、 |
｀'i､ | .,/ﾋ │ ヽ
ヽ | .,r" │ ,lﾞ │
ﾞl ,,,i´ `=,_ '″ |
| ,,r" ｀"''￢‐-i､,,,、 ］
,,i´ ,,!″ ﾟ'┐ ,/′
,i´ ｝ｰｖ
198:,,、 _,､l′ ,,lﾞ `'r y'" =,_ _,,,,,,rｰ''ﾟ′ ,|_ ,,i´ ﾞ"￢――――‐''''ﾟ゜ ,| ‘=,_ | ,,i´ ｀ｯ | _,,,｡-″ .| ,,rﾘ,、 _,,,,,r‐冖＾ | ,,r'’ ‘ﾍｖ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,r--・"ﾟ゛ | / ,! |, ,ｒ'" ﾞl, _,,,,r・″ '!ｉ,_ __,,,―''''"゛ ‘''ｰ-,,,,,,,,＿＿＿＿,,,,,,,,,,---ｰ''''"ﾞﾞ゛
199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:06:53.41 1rI4QMvS.net
どうも。スレ主です。２ちゃんねるらしくなってきたねー
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:12:29.50 1rI4QMvS.net
>>184
どうも。スレ主です。
アラシだけじゃなく、お客様も居たんだ・・
>φ(s) < a < s
>で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
問題ないと思う。（φ(s) + s）/2 は使うなら、別の使い方がありそう
>なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
>それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。
>いわゆる本質ってやつなのかも。
>別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。
そうなんだ
完全に同意。で、別の証明を探してようやく見つかった気がする
それを今から書くよ
201:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:15:50.55 1rI4QMvS.net
>>169 関連
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
Yahoo!知恵袋
jmt_maj_aさん 2010/4/26
実数体Rの自己同型は恒等写像に限られる事を示せ。
(ヒント:σを自己同型とする、x＞0ならばx^σ＞0が成り立つ。 それと有理数のちょうみつ性を用いよ）
ベストアンサー以外の回答 dezaike999さん 2010/4/26
1=1*1より、σ(1)=σ(1)*σ(1)
σ(1)≠0だから、σ(1)=1
これより、σは体同型なので、有理数体Ｑ上ではid.である
x>0とする。
x=y^2となるｙがあるから、σ(x)=σ(y)^2>0
従って、x>y→x-y>0→σ(x-y)>0→σ(x)>σ(ｙ)→σは順序を変えない
実数αに対して、αに収束する有理点列{An}をとる
∀ε>0,∃N>0,∀n>Nで -ε<(An-α)<ε
有理数の稠密性より、-ε<r<(An-α)<r'<εなる有理数r,r'がある
σは順序を変えず、Ｑ上ではid.だから、
r<σ(An-α)=An-σ(α）<r'
∴-ε<An-σ(α）<ε
これより、σ(α）=limAn=α
ゆえに、Ｒの自己同型はid.のみである
202:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:21:25.33 1rI4QMvS.net
>>188 つづき
ベストアンサーに選ばれた回答 puit578さん 2010/4/26
まず、x^σという書きかたよりσ(x)という書きかたの方が見やすいので、以降、この書きかたで行くことにする。
任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることの証明…※
σ(0)=σ(0+0)=σ(0)+σ(0)より、σ(0)=0となる。
σ(1)=σ(1^2)=σ(1)*σ(1)={σ(1)}^2
σ(1)≠0よりσ(1)=1
任意の正の整数nに対してσ(n)=σ(1)+…+σ(1)=n
また、σ(-n)+σ(n)=σ(-n+n)=0だからσ(-n)=-σ(n)=-nとなる。
よって任意の整数mに対して、σ(m)=mとなることがわかる。
よって任意の有理数s/tに対して (s,tは整数であること、そしてt≠0に注意！)
t*σ(s/t)=σ(t)*σ(s/t)=σ(t(s/t) )=σ(s)=sだから
σ(s/t)=s/tとなることがわかる。
よって任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることが示された （※の証明ここまで）
x＞yのとき、σ(x)-σ(y)={σ(√(x-y) )}^2＞0となるから
σ(x)＞σ(y)となること…○ がいえる。
ある実数zに対してσ(z)＞zとなると仮定する。
有理数の稠密性よりσ(z)＞w＞zをみたす有理数wが存在する。
w＞zだから○よりσ(w)＞σ(z)となる。
ところが※よりσ(w)=wだからw＞σ(z)となるがこれはσ(z)＞wに反し不合理
ある実数zに対してσ(z)＜zとなると仮定する。
有理数の稠密性よりσ(z)＜w’＜zをみたす有理数w’が存在する。
w’＜zだから○よりσ(w’)＜σ(z)となる。
ところが※よりσ(w’)=w’だからw’＜σ(z)となるがこれはσ(z)＜w’に反し不合理
以上より任意の実数zに対してσ(z)=zとなることが示された。
203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:13:59.28 1rI4QMvS.net
>>189 つづき
私、スレ主の証明
１．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。）
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．
204:恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する． φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < sとできる． 有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する． ２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする ３．同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※ ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある) ４．φ(s) < a < sで、各辺に－aを加えて、φ(s)－a < 0 < s－a となる ５．φ(s－a) ＝φ(s)－a に注意すると、４の後半の不等式は３に反する。（φが(s－a) の符合を変えている！） ６．従って、同型φは恒等写像で無ければならない。 （証明おわり）
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:25:06.22 1rI4QMvS.net
>>190 補足
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
206:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:36:18.95 1rI4QMvS.net
>>125
おっちゃんの証明、正直なにをしようとしているのか、分からなかった
ようやく分かった
ジグソーパズル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジグソーパズルは、1枚の絵を、いくつかのピースと呼ばれる小片に分け、ばらばらにしたものを再び組み立てるというタイプのパズル。
（引用おわり）
ピース一つ一つは、隙間無く綺麗に繋がっている
しかし、それが繋がってどんな絵になっているのか？ それが理解できないと面白くないだろう
証明も同じだ。証明の各ステップは隙間無く綺麗に繋がっている
しかし、それが全体として、どんな絵になっているのか？ その理解なくして、証明が分かったとは言えない
207:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:52:14.96 1rI4QMvS.net
>>164より
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
（引用おわり）
この３つがセットのジグソーパズル
そう見る方が、美しい絵だろう
208:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 21:30:48.29 1rI4QMvS.net
>>124 ここに戻る
（引用開始）
”天才は卓越した直観力をもつ。それゆえに天才たり
えたのである。しかし天才の直観に基づいた論理は、
常人は容易に受け付けがたい。常人が受け付けられ
るようにするためには天才の直観を論理化する必要
がある。逆説的だが、直観を正当化するために作業仮
説として直観を排する。それが本稿の立場である。”
（引用おわり）
これには反対だ
論理は大事だ。ジグソーパズルに隙間があったり、うまくはまらないピースがあるのはまずい
だが、論理だけでジグソーパズルの各ピースをいくら眺めたところで、全体の絵は理解できない
全体の絵がどうなっているか理解しようとする努力、天才の直観を自分のものにしようとする努力こそ必要不可欠だろう
209:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 21:58:24.12 1rI4QMvS.net
>>193 補足
・Aut(R/Q)とAut(C/Q) との差：結局それは、Rが１次元（数直線）で、Cが２次元（複素平面）であることの差じゃないかな
・一方は２次元の広い自由度が無限群につながる。一方は１次元（数直線）の狭さと順序＆稠密性＆連続性の両立で自由度が無くなり恒等写像のみに
・それに加えて、代数拡大と超越拡大が
・さらに代数拡大全体Q~（代数的数全体の集合で代数閉体）や、不可算無限の超越基底の存在（Zornの補題より） （ここらは本質的にCの世界）
・ここらが、大きなジグソーパズルとして繋がってくる・・
210:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 23:09:28.99 1rI4QMvS.net
>>191 補足
(引用開始)
>同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
(引用おわり)
・そもそも、直感的に、同型φが符合を変えちゃおかしいだろ？
・φはQを動かさないし、RはQによる収束する有理点列{An}で定義されるんだから
・もっと簡単に、「符合を変えない」が言えると思ったけど
・√x＝yなるyが存在してφ(x)＝φ(y)・φ(y)>0をいうのは一番安直だけど、もっとRの本質で「順序を保つ」だけを純粋に使う証明がないかと。
・それは、>>125のおっちゃんの証明をもう少し簡単にした形でと
・が、良い筋が思いつかなかった・・
211:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 23:24:54.91 1rI4QMvS.net
>>196 つづき
・Qの代数拡大、例えばQ(√2)。√2と、共役な-√2の入れ替え。２次の拡大で、ガロア群の位数は２。Q(√2)⊂R
・これをどんどん進める・・。拡大次数は上がって、ガロア群の位数も大きくなって、いずれ無限大になる
・しかし、Rに到達したら、まわりががちがちに固まって、恒等写像しか存在しない世界に・・。不思議だろ？
・が、Cと比較することで、その不思議さが少し理解できる気がする。Cは２次元なので、自由度が大きいが、Rは１次元で、自由度が小さいからだと
212:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/26 06:43:04.26 veASCBy2.net
>>197 つづき
・いま、ふと、「Rに到達したら、まわりががちがちに固まって、恒等写像しか存在しない世界に・・」ってことだと、順序＆稠密性＆連続性の３点セットと１次元（数直線）の狭さの両立が、自己同型写像を不自由にしているのかもと
・そうすると、順序だけじゃ証明には不足で、連続が必須か？ あるいは連続までいかない稠密までで証明できるのか？・・・
・連続で１次元（数直線）から、必然的に順序＆稠密性は従う。だから、QからRに向けてどんどん体の拡大を進めて、Rの連続に到達したら、恒等写像しか存在しなくなる。そう理解するのが正しいように思えてきた
・一方、Cの場合は連続に到達しても２次元だから順序は入らない。だから、もっと自由に同型写像を考える余地がある。そう理解するのが正しいように思えてきた・・
213:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/26 06:48:01.75 veASCBy2.net
つづき
>>16はいろいろと考えさせられる良い問題だったね
では
214:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:00:51.12 gRN1Z7RF.net
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
>(cf. Exercise A-8 and solution)
これ見落としていた
A-8
(a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective.
(b) Prove that C is isomorphic to infinitely many different subfields of itself.
A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
Hence, for each real number a,
{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
which implies that α(a)＝ a.
(b) Choose a transcendence basis A for C over Q. Because it is infinite, there is a bijection
α：A→A' from A onto a proper subset.
Extend α to an isomorphism Q(A)→Q(A'), and
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
215:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:16:32.85 gRN1Z7RF.net
>>200
bijectiveは恒等写像とは違うと思う。が、解答は恒等写像・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、
写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
216:In mathematics, a bijection (or bijective function or one-to-one correspondence) is a function between the elements of two sets, where every element of one set is paired with exactly one element of the other set, and every element of the other set is paired with exactly one element of the first set. There are no unpaired elements. In mathematical terms, a bijective function f: X → Y is a one-to-one (injective) and onto (surjective) mapping of a set X to a set Y.
217:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:45:20.05 gRN1Z7RF.net
>>200
homomorphism, isomorphic
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。
構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。
しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。
単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
218:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:59:52.87 gRN1Z7RF.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、
その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。
集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relationである。
219:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:01:44.19 gRN1Z7RF.net
bijective→identity mapping の方が適切だろう・・
220:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:05:06.38 gRN1Z7RF.net
>>200
(b)の方
>then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
これ、Cの中に代数閉包が無数にあると
そんな話を見た記憶があるが・・
はて、どこだっけ？
221:１３２人目の素数さん
15/04/28 23:08:23.52 wepXvwiM.net
(a)と(b)の対比例が問題なんだからみるねの通りで別にいいんじゃないの
222:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:16:41.80 gRN1Z7RF.net
これ参考になるかな？
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
marble_sagaさん 2008/10/2916:30:30
体Ｌの代数拡大が実数ＲになるようなＬはありますか？
ベストアンサーに選ばれた回答 langping08さん 2008/10/31
略
223:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:24:04.13 gRN1Z7RF.net
>>204
ども
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
More mathematical examples and some non-examples
で、”The function f: R → R, f(x) = 2x + 1 is bijective,”だと
一方解答>>200は、”which implies that α(a)＝ a”だ
なので、ちょっと違和感ありなんだ
224:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:12:27.30 6XYDeD+q.net
>>208 つづき
そうそう、体の準同型は実は同型というのがあったね。えーと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定義と概要 抜粋
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。
また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。
225:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:24:22.18 6XYDeD+q.net
>>209 つづき
「体の準同型は実は同型」は、エム・ポストニコフ（下記）で読んだ
P40に有限次元の空間の一次変換と見なす（有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合には）ことで
P42にガロア拡大体の場合に一次変換の知識を使わずにきれに証明している
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアの理論 (1964年) (数学選書) エム・ポストニコフ (著),
226:１３２人目の素数さん
15/04/29 06:29:02.13 YdoQFkzO.net
早起き爺か
227:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:29:34.66 6XYDeD+q.net
>>210 つづき
エム・ポストニコフのように、「有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合」するのが正しいか、
wikipediaのように制限を付けずに「体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる」と言い切っていいか
にわかには判断できないが
「体の準同型は実は同型」が結構普通だとすると
やっぱ、「bijective→identity mapping の方が適切だろう・・」>>204と
228:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:59:57.13 6XYDeD+q.net
>>212 似たような話が
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
P36 The Fundamental Theorem of Galois Theory PROPOSITION 3.2に
Because E has finite degree over F , they are automatically isomorphisms.
とあって、関連の Proposition 2.7 がP29で
(b) If E and Ω
are both splitting fields for f , then each F -homomorphism E →
Ω is an
isomorphism. In particular, any two splitting fields for f are F -isomorphic.
とあったね
なんとなく、エム・ポストニコフのように制限を付けるのが正しいそうだね
ともかく、>>200に戻ると
Proposition 2.7の表現と、A-8 (a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective. とを比較すろと
bijectiveをF -isomorphicより強く恒等写像の意味で使っているかも・・
しかし、Milne P27 Maps from simple extensions.で
An F -isomorphism is a bijective F -homomorphism.
An F -homomorphism E → E' of fields is, in particular, an injective F -linear map
of F -vector spaces, and so, if E and E' have the same finite degree over F , then every
F -homomorphism is an F -isomorphism.
だから、やっぱり違和感ありだね
229:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 07:05:36.86 6XYDeD+q.net
>>211 早起きは三文の得だよ
230:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:22:46.96 6XYDeD+q.net
>>205 関連
前にも引用した気がするが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。
ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつ[1][2][3]ことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。
この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。
体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。
このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。
K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。
なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。
体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である[3]。
例
・代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。
・有理数体の代数的閉包は代数的数体である。
・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
・元の個数が素数のベキ q である有限体の代数的閉包は可算無限の濃度をもつ体であって、各正整数 n に対して位数 qn の体のコピーを含む（実はこれらのコピーの和集合である）[4]。
231:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:26:55.30 6XYDeD+q.net
>>215
>・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
「可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。」はいいんかい？
非加算じゃないのか？
232:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:32:38.71 6XYDeD+q.net
英文
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Examples
There are many countable algebraically closed fields within the complex numbers,
and strictly containing the field of algebraic numbers; these are the algebraic closures of transcendental extensions of the rational numbers, e.g. the algebraic closure of Q(π).
233:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:37:08.66 6XYDeD+q.net
英文の訳か
超越数が非加算無限存在するから、
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.>>205
で、超越拡大Q(A')は非加算？
こんな話はさんざんして来た気がする・・
234:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:50:15.73 6XYDeD+q.net
>>141だったね
・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる
が正しいとすれば、Qの代数拡大の全てから成る拡大体Q~（代数閉包）からC（複素数体）への拡大（超越拡大）は、非加算無限次元ベクトル拡大
とすれば、基底となる超越数（超越基底）は、非加算なるべし
それら超越基底を使えば、超越拡大Q(A')は非加算なるべし？
だよね
235:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 10:01:37.18 6XYDeD+q.net
>>119
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C?
There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an automorphism of C.
Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2
1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
(see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.
ようやくこれが読めてきた・・
236:１３２人目の素数さん
15/04/29 10:36:46.26 gFNPRser.net
スレ主さんガロア理論以外の勉強しようよ
237:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 11:55:22.10 6XYDeD+q.net
例えばどんな？
238:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 12:02:53.75 6XYDeD+q.net
>>220
>What are the automorphisms of C?
>There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
>If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
下記だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。
（引用おわり）
only two＝自明と、非自明な自己同型 複素共役の二つ
Zorn’s lemmaと選択公理は、同等（同じ結果を導ける）だから、「無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する」と
239:１３２人目の素数さん
15/04/29 14:01:31.76 gFNPRser.net
>>222
多様体
240:１３２人目の素数さん
15/04/29 14:12:03.56 0XhIb4uQ.net
>>222
え～っと、スレ主の目的に適うようなカリキュラムだと、大体次の順序。
(1)、線型代数、微分積分、集合・位相、簡単な物理、
(2)、群論(必ずしも有限群論とかまで深入りする必要はない)、
1変数複素解析、簡単な常
241:微分方程式を解くこと、 (3)、環と体、実解析、 (4)、ガロア理論。 こんな感じの順序。並行してやってもいいから、しっかり(基本の(1)はハマる位までに)学習すること。 物理は学習した方がいいと思うが、必ずしもしなくていい。
242:１３２人目の素数さん
15/04/29 14:22:16.30 0XhIb4uQ.net
>>222
ホモがする代数も(3)に入るか。
243:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:32:23.84 6XYDeD+q.net
>>220
>Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2
> 1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
> (see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
> 2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.
１）there are only two：ここは上記の自明と、非自明な自己同型 複素共役の二つ
because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1：”measurable homomorphisms of Lie groups are continuous”の対偶だね。Lie groupsなんだ・・
２）it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2：
“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...”
the Zorn’s lemmaとthe axiom of choiceとの同等性は既知としている。
３）Non-measurable set
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
つづく
244:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:37:44.79 6XYDeD+q.net
>>227
つづき
In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.
The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.
The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets.
These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
つづく
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:39:28.71 6XYDeD+q.net
>>228
Historical constructions
The first indication that there might be a problem in defining length for an arbitrary set came from Vitali's theorem.[1]
When you form the union of two disjoint sets, one would expect the measure of the result to be the sum of the measure of the two sets.
A measure with this natural property is called finitely additive.
While a finitely additive measure is sufficient for most intuition of area, and is analogous to Riemann integration,
it is considered insufficient for probability, because conventional modern treatments of sequences of events or random variables demand countable additivity.
In this respect, the plane is similar to the line; there is a finitely additive measure, extending Lebesgue measure, which is invariant under all isometries.
When you increase in dimension the picture gets worse. The Hausdorff paradox and Banach?Tarski paradox show that you can take a three-dimensional ball of radius 1, dissect it into 5 parts, move and rotate the parts and get two balls of radius 1.
Obviously this construction has no meaning in the physical world.
In 1989, A. K. Dewdney published a letter from his friend Arlo Lipof in the Computer Recreations column of the Scientific American
where he describes an underground operation "in a South American country" of doubling gold balls using the Banach?Tarski paradox.[2]
Naturally, this was in the April issue, and "Arlo Lipof" is an anagram of "April Fool".
つづく
246:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:45:46.33 6XYDeD+q.net
>>229
Example
Consider the unit circle S, and the action on S by a group G consisting of all rational rotations.
Namely, these are rotations by angles which are rational multiples of π.
Here G is countable (more specifically, G is isomorphic to Q/Z) while S is uncountable.
Hence S breaks up into uncountably many orbits under G.
Using the axiom of choice, we could pick a single point from each orbit, obtaining an uncountable subset X ⊂ S with the property that all of its translates by G are disjoint from X and from each other.
The set of those translates partitions the circle into a countable collection of disjoint sets, which are all pairwise congruent (by rational rotations).
The set X will be non-measurable for any rotation-invariant countably additive probability measure on S: if X has zero measure, countable additivity would imply that the whole circle has zero measure.
If X has positive measure, countable additivity would show that the circle has infinite measure.
引用おわり
247:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:52:06.33 6XYDeD+q.net
>>230
en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set 日本語があるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a ? b) は長さ b ? a を持つと思われる。このような区間を一様な密度の金属棒と見ると、同じように重さも定義可能である。
ルベーグ測度が定められる集合をルベーグ可測集合と呼ぶ。
しかし、ルベーグ測度の構成（カラテオドリの拡張定理を使う）自体からは不可測集合の存在は明らかに分かることではない。
その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
（引用おわり）
248:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:09:26.81 6XYDeD+q.net
>>200
>A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
>Hence, for each real number a,
>{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
>which implies that α(a)＝ a.
ここに戻る。
>>190-191で私、スレ主の証明を書いた。そこで
１）第1段”A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.”
２）「いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした」>>191と書いたが
３）やはり「実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある」>>190を示唆しているように思う
４）第2段"{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r}; which implies that α(a)＝ a." は、>>190の４～５に類似だろう。
249:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:19:16.81 6XYDeD+q.net
R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56 >>220
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, >>228
Robert M. Solovay
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Robert Martin Solovay (born December 15, 1938) is an American mathematician specializing in set theory.
Solovay earned his Ph.D. from the University of Chicago in 1964 under the direction of Saunders Mac Lane, with a dissertation on A Functorial Form of the Differentiable Riemann?Roch theorem.
Solovay has spent his career at the University of California at Berkeley, where his Ph.D. students include W. Hugh Woodin and Matthew Foreman.
以下略
250:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:25:44.56 6XYDeD+q.net
>>224-226
どうも。スレ主です。
見たけど、まあ良いと思うけど
それぞれ、別にスレがありそうだね
このスレの主目的は、原ガロア理論（第一論文）の布教にあるんだ
私の勉強は、副次的な目的として
スレの脱線で、いろんな関連・無関連のテーマは取り上げるよ
また、脱線の範囲は未定義で、なんでもあり。まあ、それが２ちゃんねるらしいと
そういう線で行きましょう
251:１３２人目の素数さん
15/04/29 15:27:37.90 0XhIb4uQ.net
>>192
不思議に思うんだが、単純に考えて、環同型写像f：R→Rが満たす式
f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Rは任意 (f(0)＝0)
と、fが逆関数を持つことと、f(x)＝x x∈Qは任意 なることから、
fの式はf(x)＝xになると予想出来なかったのかい？
これは証明する前に少し弄れば難なく予想出来ることだと思うんだけど。
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 15:58:17.06 6XYDeD+q.net
>>232
ちょっと戻る
>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。
「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。
完備化
先の完備化の構成法をノルム線型空間に施せばもとの空間を稠密部分空間として含むバナハ空間が得られ、内積空間に施せば元の空間を稠密部分空間として含むヒルベルト空間が得られる。
位相的完備空間
距離空間の完備性は、完備な距離空間が完備でない距離空間に同相となり得るという意味で、距離的性質だが位相的性質ではないことに注意すべきである。
変形版と一般化
一般の位相群に対してもコーシー列は定義で
253:きるから、距離構造や完備性の定義および空間の完備化の構成法も、群構造を使ったもので置き換えた変形版を考えることができる。
254:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 16:15:32.90 6XYDeD+q.net
>>235
どうも。スレ主です。
いやー、全くそういう発想は無かったね
fの式はf(x)＝xなら自明な同型で、当然環同型写像の性質は満たす
けど、
環同型写像f：R→R
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数
環同型写像f：C→C
の４つの場合を考えると、どうよ？
f(x+y)＝f(x)+f(y)、f(xy)＝f(x)f(y) x、y∈Fxは任意 （Fxは上記４つ体のいずれか）
fが逆関数を持つことと、f(x)＝x x∈Qは任意
これらは、４つの場合に共通だろ？
上記から直ちにf(x)＝xは出ない。というか、f(x)＝xに限られる実数の場合が例外だと
255:１３２人目の素数さん
15/04/29 16:39:35.47 0XhIb4uQ.net
>>237
例えば、関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考えるとかさ。
グラフを描くことは、環同型写像f：R→Rのときしか出来ないじゃん。
他の場合はグラフを描くことは難しいだろう。
順序構造は、実数に特有の性質で、それを生かして証明の前に予想するんだよ。
複素数だと順序構造はなくなるだろう。
256:１３２人目の素数さん
15/04/29 16:57:20.07 0XhIb4uQ.net
>>237
関数f(x)のグラフを座標平面上に描けることも、実数体Rが持つの順序構造のおかげ。
他の場合だと、本来4次元空間に描くグラフを2次元のユークリッド平面R^2上に描かなければいけなくなる。
257:１３２人目の素数さん
15/04/29 17:09:57.11 0XhIb4uQ.net
>>237
>>239の「実数体Rが持つの順序構造」は「実数体Rが持つ順序構造」と訂正。
「4次元空間」は4次元のユークリッド空間R^4のこと。
258:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 17:32:55.67 6XYDeD+q.net
>>238-240
なるほど、それは、考えとしてはすばらしいね
絶対大事なことだよ
が、一つ問題は、「関数f(x)のグラフを座標平面上で描いて考える」が、環同型写像f：R→Rのとき常に成り立つと言えるかどうかだね
もっと言えば、>>220
"If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;"とあるだろ？
こういう例を、環同型写像f：R→Rの場合にどうやって排除するか
259:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 17:36:37.82 6XYDeD+q.net
補足
もっと言えば、「ワイルド」な自己同型>>223 が、実数体Rで排除されるのはなぜか？だ
260:１３２人目の素数さん
15/04/30 14:47:55.29 PyBj3q1M.net
>>241
大体こんな感じ。
環同型写像f：R→Rを一価の実関数として扱う。fのQへの制限をgとする。
と、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであり、g(x)＝xである。
点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
g(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|g(x)－g(a)|＜εとなる。
ε＞0は任意だから、gは点a∈Qで連続である。点a∈Qは任意だから、g：Q→Qは連続である。
よって、f：R→RはQにおいて連続である。ここに、fは環同型写像だから、
任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
261:１３２人目の素数さん
15/04/30 14:51:50.12 PyBj3q1M.net
>>241
(>>243の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。
yを実変数とする。点x∈(0,∞)を任意に取る。点ε∈(0,+∞)を任意に取る。
{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。自然数k＝1,2,…を任意に取る。
と、0＜b_k＜εであり、任意のy∈Qに対してf(y)＝yだから、有理数の稠密性から
b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
自然数j＝1,2,…を任意に取る。すると、y_j＝x＋b'_jとすれば、y_j∈Rであり、b_k＞|f(y_j)|である。
点a∈Qを任意に取って、b_kに対して定まる実数δ(b_k)＞0がδ(b_k)＞max(b_k,|y_j|)を満たすとする。
すると、|y_j|＜δ(b_k)であり、|f(x＋a)－f(a－b'_j)|＝|f(x＋b'_j)|＝|f(y_j)|＜b_k。
よって、y_jをy－y_jで置き換えれば、|y－y_j|＜δ(b_k)のとき、|f(y－y_j)|＝|f(y)－f(y_j)|＜b_kとなる。
自然数j＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、y_j＝x＋b'_j→x＋0
262:であり、 よって、|y－x|＜δ(b_k)のとき、|f(y)－f(x)|＜b_kとなる。 自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε－0。 よって、或る自然数N(ε)が存在して、k＞N(ε)なる自然数kを任意に1つ選んで、ε＞b_kに対して 定まる実数δ(ε)＞0を＝δ(b_k)とすれば、|y－x|＜δ(ε)のとき、|f(y)－f(x)|＜εとなる。 点ε∈(0,+∞)は任意だから、εを(0,+∞)上で走らせれば、任意のε＞0に対してfは点xで連続である。 点x∈(0,+∞)は任意だから、xを(0,+∞)上で走らせれば、f(x)は任意の点x∈(0,+∞)で連続である。
263:１３２人目の素数さん
15/04/30 14:53:34.96 PyBj3q1M.net
>>241
(>>244の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
と、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、
f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。
点x∈(0,∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。
つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、f：R→Rは環同型写像だから、1＝1・1から、f(1)＝(f(1))^2。また、f(1)＝c。
従って、c＝c^2から、c＝0またはc＝1。c＝0とすると、f(x)＝0であり、
定値関数fは逆関数を持たないから、f：R→Rは環同型写像ではないことになって矛盾。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
264:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:02:44.04 PyBj3q1M.net
>>241
>>244の
>自然数k＝1,2,…は任意だから、j→+∞として考えれば、b_k→ε－0。
の「j→+∞」は「k→+∞」と訂正。
265:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:09:22.99 OHLZd5cd.net
そこかよ
266:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:45:42.68 PyBj3q1M.net
>>241
>>244の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
の「単調増加な正の有理数列」は「実数列」と訂正。あと、
>b_k＞0に対して或る(b_k)(h)∈Qが存在して。b_k＞|f(x＋(b_k)(h))|、x＋(b_k)(h)∈Rとなる。
>{b'_j}を各j＝1,2,…に対してb_k＞|f(x＋b'_j)|、x＋b'_j∈Rを両方共に満たし
>かつ0に収束するような任意の単調減少な正の有理数列とする。
の部分の「或る(b_k)(h)∈Q」は「或る(b_k)(h)∈R」、「有理数列」は「実数列」と訂正。
267:１３２人目の素数さん
15/04/30 15:52:48.84 PyBj3q1M.net
>>241
いや、>>248(>>244)の上の部分の
>{b_k}をεに収束する任意の単調増加な正の有理数列とする。
では、「有理数列」を「実数列」と訂正。
268:１３２人目の素数さん
15/04/30 20:21:30.66 xdS4uoPQ.net
>>243-249
大間違い。
269:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 20:40:34.27 fBm6S7GL.net
>>243-249
なんだ、>>238-240はおっちゃんだったのか？
声が若いから、学生さんと思っていたよ
225なんか見ると、えらく勉強熱心だと思ったが、おっちゃんなら納得だ・・
で、本題だが、また沢山書いてくれたね～（>>243-249）
だが、「そもそも実数とは、有理数体Qを完備化したもの」という視点に立ったらどうよ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列を用いた構成
詳細は「コーシー列#実数の構成」を参照
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。
URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp)
実数の構成に関するノート 原隆（九州大学数理学研究院）Last updated: Juy 10, 2007
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．
具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．
そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．
270:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 20:45:44.40 fBm6S7GL.net
>>251 つづき
「そもそも実数とは、有理数体Qを完備化したもの」という視点に立てば、
>>236にあるように
”>(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
思うに、実数Rの定義として、収束する有理点列{An}を考えて、A homomorphism α：R→R が、preserves the order だということだろう
だから、明示的に使っているのは、「実数Rの定義として、収束する有理点列{An}」と「順序の保存」。実数の連続性は、表には出ないが、実数Rの定義から従うのだろう”
で終わっているんじゃない？
271:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 21:08:00.60 fBm6S7GL.net
>>252 つづき
要は、「実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。」>>251
有理コーシー列は、環同型写像f：R→Rで動かないから
有理コーシー列で定まる実数も動かないと
むしろ、有理数体Qを完備化したRを、さらに虚数ｉ で拡大したら、なぜワイルドに？ Ｃってなんだ？と
272:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/30 21:42:16.46 fBm6S7GL.net
>>253 つづき
だから
環同型写像f：R→R・・・有理数体Qを完備化したものだからf(x)=x
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは代数的数・・・完備化されていないから有理コーシー列に影響されない
環同型写像f：Q(α)→Q(α) αは超越数・・・同上
環同型写像f：C→C・・・？？？（あんただれ？）
このC（あんただれ？）にどう答えるかで、数学のレベルとセンスが分かる・・
273:１３２人目の素数さん
15/05/01 03:03:18.23 NPJj25Yb.net
あ、>>245の
>[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
って完全な間違いだったのか。(f(1))^n＝c^n＝c＝f(1) n∈N/{0}は任意
だからc＝1って一意に求めること出来ないのか。
>>241
じゃ、>>243-246、>>248-249は取り下げ。
274:１３２人目の素数さん
15/05/01 03:32:34.17 NPJj25Yb.net
>>251
いや、紙に丁寧に書いていないからよく分からんが、大きな間違いがあるのは>>243-245の第1段終了までのどこかだな。
実数体R上で考えているんだから、>>255のようなことは半ばど～でもいい。
ところでさ、そもそも、「ワイルド」な自己同型って何? 「ワイルド」って一体どういう意味で使っているのだ？
よく分からないが、広く普及しているいい方である「病的な」という表現を使わずに「ワイルド」と区別して使っている以上、
「ワイルド」の意味のニュアンスと「病的な」の意味のニュアンスとは違うのだろう？
そこらへんをはっきりさせくれ。そうしない以上、証明も論理もヘッタクレもない。
275:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 04:02:49.15 kLen/OPb.net
>>256
おっちゃんどうも。スレ主です。
>ところでさ、そもそも、「ワイルド」な自己同型って何? 「ワイルド」って一体どういう意味で使っているのだ？
元は>>152に書いたが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3]
（引用おわり）
これは英文の翻訳だね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In the case of the complex numbers, C, there is a unique nontrivial automorphism that sends R into R: complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms (assuming the axiom of choice).[2][3]
2.Yale, Paul B. (May 1966). "Automorphisms of the Complex Numbers" (PDF). Mathematics Magazine 39 (3): 135?141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
3.Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22?23, ISBN 0-521-00551-5
276:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 04:22:46.33 kLen/OPb.net
>>257 つづき
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
One of the best known bits of mathematical folklore is that there are many automorphisms of the field of complex numbers，
i.e .，that the complex numbers can be permuted in many ways (besides the familiar complex conjugation) that preserve addition and multiplication.
As evidence that it is folklore we point out that it appears without proof in a popular projective geometry text [6] as well as an undergraduate algebra text [5].
This expository paper is devoted to a proof of this bit of folklore.
The average mathematician is vaguely aware that
the “wild" automorphisms of the complex number system probably require for their construction the axiom of choice or some equivalent assumption about sets.
In our existence proof for wild automorphisms we illustrate a typical application of Zorn's lemma;
moreover，we present evidence (Theorem 4) that wild automorphisms are so wild that an assumption such as Zorn's lemma or the axiom of choice seems to be essential.
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:03:25.52 kLen/OPb.net
>>258 つづき
THEOREM 4. If φ is a wild automorphism of C then φ is a discontinuous mapping of the complex plane onto itself;
in fact，φ leaves a dense subset of the real line pointwise fixed but maps the real line onto a dense subset of the plane.
Proof. By Theorem 2，φ leaves Q (a dense subset of the real line!) pointwise fixed.
By Theorem 3 we can choose b∈R such that φ(b) not∈R.
Every neighborhood of b contains a rational number (which is left fixed by φ) and the number b (which is moved by φ); hence φ is discontinuous.
For every pair of rational numbers， q and r，φ(rb+q) =φ(r)φ(b)+φ(q)=rφ(b) +q.
Thus for a fixed r，{φ (rb+q) | q∈ Q} is a set of images of real numbers which is a dense subset of the horizontal line through rφ(b).
As r varies this horizontalline moves up and down; moreover the various rφ(b) form a dense subset of the(nonhorizontal)line through 0 and φ(b).
Thus the set {φ(rb+q) | r,q∈Q} is a dense subset of the plane.
This set is contained in φ(R); hence φ(R) is also a dense subset of C.
（引用おわり）
278:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:07:43.40 kLen/OPb.net
まあ、ＰＤＦを直に読んだ方が分かり易いが、このスレの議論のために引用した
“wild"を、PAUL B. YALE，が使った意味は、上記の通り
279:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:27:41.88 kLen/OPb.net
参考
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pomona College is a private liberal arts college located in Claremont, California, United States.
Pomona is an exclusively undergraduate four-year institution and enrolled approximately 1,600 students in fall 2012.
The founding member of the Claremont Colleges, Pomona is a non-sectarian, coeducational school.
Since 1925, the Claremont Colleges, which have grown to include five undergraduate and two graduate institutions,
have provided Pomona's student body with the resources of a larger university while maintaining the benefits of a small college.
280:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:37:53.45 kLen/OPb.net
検索でヒットしたから貼っておくよ
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1515-1.pdf
数理解析研究所講究録
1515 巻2006 年1-24
281:体のモデル理論とその応用 東海大学理学部情報数理学科板井昌典(Masanori ITAI) Department of Mathematical Sciences Tokai University, Hiratsuka, Japan RIMS 共同研究(2006 年3 月13 日\sim 3 月17 日) において, 体のモデル理論に関して行った講 義ノートである. 代数的構造のモデル理論は大きな成果をあげてきた. とくに体や群については詳細な結果が得 られている. また, これらの成果を用いて代数幾何や数論幾何の未解決問題も解決された.
282:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/01 05:45:18.67 kLen/OPb.net
これも
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録
第1658 巻2009 年228-256
論理・集合・実数・物理・測定: 量子集合論と量子力学の観測問題*
名古屋大学・大学院情報科学研究科小澤正直
283:１３２人目の素数さん
15/05/01 06:01:47.76 NPJj25Yb.net
>>260
We shall call any automorphism of C which is not I_C nor complex conjugation a wild automorphism of C.
を訳すと、「ワイルドな」複素数体Cの自己同型写像の定義は、恒等関数I_Cでも複素共役でもないような
任意のCの自己同型写像をCの「ワイルド」な自己同型写像というということか。
Cの他の部分体Fのときも同様な「ワイルドな」自己同型写像の定義が出来ると。参考になった。資料サンクス。
まあ、証明はいつになるか分からんが、もし証明出来たら書く。来週水曜まではチョットムリなんで。行方不明になりま～す。
284:１３２人目の素数さん
15/05/01 06:25:31.70 NPJj25Yb.net
>>260
環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることを導けば、
fは恒等関数I_Rに等しくなって、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0なんだから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドでなく、Rのワイルドな
自己同型写像は存在しないことになって終了していると思うんだよね。
その環同型写像(実関数)f：R→Rがf(x)＝xになることの証明をすればいいと。
証明の方針は>>243-246、>>248-249でいい筈なんだよね。
まあ、来週水曜までは行方不明になってチョットここに書くことはムリなんで。
285:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:09:46.63 NPJj25Yb.net
>>260
紙に丁寧に書いてはいないが、一応何とか出来たから下に書いておく。確認するけど>>16についての話だよな。
まあ、何れにしろ今日の夜から来週水曜あたりまではチョット暇がなく応対は出来ない。
環同型写像f：R→Rは一価の実関数である。任意のx∈Qに対してf(x)＝xである。
xを有理数変数とする。点a∈Qを任意に取る。ε＞0を任意に取る。εに対して定まる実数δ(ε)＞0をδ(ε)＝εとすれば、
f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。ε＞0は任意だから、fは点a∈Qで連続である。
点a∈Qは任意だから、f：R→Rは有理直線Q上で連続である。つまり、f：R→RはQにおいて連続である。
ここに、fは環同型写像だから、任意のx、y∈Rに対してf(x＋y)＝f(x)＋f(y)であり、f(0)＝0なることに注意する。
286:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:17:14.18 NPJj25Yb.net
>>260
(>>266の続き)
[第1段]：任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)なることを示す。
(1)、x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
[小1段]：f(x)、x＞0が連続であることを示す。xをx＞0なる実変数とする。点ε＞0を任意に取る。
すると、有理数の稠密性から0＜b＜εなる有理数bが存在する。a＞0なる有理直線Q上の点aを任意に取る。
hをa＞h＞0なる実変数とする。すると、x＋h＝x＋a－(a－h)であり、f(x＋h)＝f(x＋a)－f(a－h)である。
X＝x＋a、Y＝a－hとおく。すると、X－Y＝x＋hであり、XはX＞aなる実変数であって、
Yはa、hに対して定まるようなa＞Y＞0なる実変数である。実関数f(x)、x＞0が点aで連続なることに着目すると、
実関数f(X)、X＞aについてX→a+0のときf(X)→f(a)であり、実関数f(Y)、a＞Y＞0についてY→a-0のときf(Y)→f(a)であって、
2つの実関数f(X)、X＞a、f(Y)、a＞Y＞0は両方共に点aで連続であるから、bに対して或る正の実数δ(b)が定まって、
|X－a|＜δ(b)/2のとき|f(X)－f(a)|＜b/2であり、|Y－a|＜δ(b)/2のとき|f(Y)－f(a)|＜b/2である。
ここで、|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yを両方共に任意に取る。
すると、X－a、a－Y＜δ(b)/2から0＜X－Y＜δ(b)となる。また、|f(X)－f(a)|＜b/2、|f(Y)－f(a)|＜b/2が両方共に成り立ち、
Y＝|f(X)－f(a)|＋|f(Y)－f(a)|とおくと、Y＜bであり、3角不等式からY≧|f(X)－f(Y)|だから、|f(X)－f(Y)|＜b。
よって、|X－Y|＜δ(b)、|f(X)－f(Y)|＜bが両方共に成り立つ。|X－a|＜δ(b)/2なる点X、|Y－a|＜δ(b)/2なる点Yは両方共に任意だから、
Xを条件|X－a|＜δ(b)/2の下で、Yを条件|Y－a|＜δ(b)/2の下で、両方共に同時に走らせれば、|X－Y|＜δ(b)のとき|f(X)－f(Y)|＜bとなる。
εに対して定まる正の実数δ(ε)を＝δ(b)とすれば、
287:ε＞bから、|X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εとなる。 よって、実関数f(X)、X＞aの(0,+∞)への拡大f(X)、X＞0、実関数f(Y)、a＞Y＞0の各(0,+∞)への拡大f(Y)、Y＞0について、 |X－Y|＜δ(ε)のとき|f(X)－f(Y)|＜εである。点ε＞0は任意であるから、εを条件ε＞0の下で走らせれば、実関数f(x)、x＞0は連続である。
288:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:22:21.58 NPJj25Yb.net
>>260
(>>267の続き)
[小2段]：x＞0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。点x∈(0,+∞)を任意に取る。
{a_k}をxに収束する正の有理数列とする。2つの自然数m、n＞0を任意に取る。
すると、f(n)＝f(1＋…＋1)(1はn個)＝n・f(1)。また、1＝m・(1/m)から同様に、f(1)＝m・f(1/m)であり、f(1/m)＝f(1)/m。
よって、f(n/m)＝n・f(1/m)＝n・(f(1)/m)＝(n/m)・f(1)。
自然数m、n＞0は任意だから、m、n＞0を同時に走らせれば、各k＝1,2,…に対してf(a_k)＝a_k・f(1)。
よって、k→+∞とすれば、a_k→xであって、f(x)＝x・f(1)を得る。点x∈(0,+∞)は任意だから、x＞0のときf(x)＝x・f(1)である。 ((1)終)
(2)、x＜0のときf(x)＝x・f(1)なることを示す。
任意のx∈Rに対してf(x＋(－x))＝f(x)＋f(－x)＝0であり、f(－x)＝－f(x)だから、(1)と同様に考えればよい。
(1)、(2)から、確かに任意のx∈Rに対してf(x)＝x・f(1)である。つまり、c＝f(1)とおけば、任意のx∈Rに対してf(x)＝cx。
289:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:26:44.26 NPJj25Yb.net
>>260
(>>268の続き)
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^nであり、c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
290:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:28:45.88 NPJj25Yb.net
>>260
(>>269の続き)
[第3段]：実関数f(x)＝xがワイルドな自己同型写像でないことを示す。
実関数f(x)＝xについて、fは恒等関数I_Rに等しく、任意のx∈Rに対してx＝x±i・0だから、
fの複素共役はf自身になって、fはワイルドな自己同型ではない。
[第4段]；Rのワイルドな自己同型写像は存在しないことを示す。
任意のx∈Qに対してf(x)＝xなる環同型写像f：R→Rは一意にf(x)＝xと定まる
から、Rのワイルドな自己同型写像は存在しない。
291:１３２人目の素数さん
15/05/01 15:35:42.94 NPJj25Yb.net
>>260
まあ、これから少なくとも来週水曜までは行方不明ということで。
明日、明後日の土日は書かないんで。
292:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:15:23.26 8v2ZcSyv.net
ゴールデンウイーク中にガロア理論をマスターする俺に一言
293:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:20:55.85 PsYBpom2.net
マンガでも読んでた方が実りある連休になると思うよ
294:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:25:48.28 8v2ZcSyv.net
宇宙の真理に俺が近づくと何か不都合でも？
295:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:27:48.98 NPJj25Yb.net
>>272
能力は分かりかねますが、頑張ってマスターして下さい。
私は今夜から来週水曜あたりまで2チャンに書き込めない状態になりますんで。
296:１３２人目の素数さん
15/05/01 16:35:49.82 blYfwzXF.net
＞c＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
-1=(-1)^3
297:１３２人目の素数さん
15/05/01 17:03:28.68 NPJj25Yb.net
>>260
見落としがあった。>>269の[第2段]は次のように訂正。正確には
nが奇数のときとnが偶数のときとで場合分けをする必要がある。
[第2段]：cを求めて、任意のx∈Rに対してf(x)＝xなることを示す。
ここで、n≧2なる自然数nを任意に取る。f：R→Rは環同型写像だから、1＝1^nから、f(1)＝(f(1))^n。また、f(1)＝c∈R。
従って、c＝c^n。nが奇数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝1であって、これら2つに限る。
nが偶数のときc＝c^nの実根はc＝0またはc＝±1であって、これら3つに限る。
n≧2なる自然数nは任意だから、自然数変数nを条件n≧2の下で走らせて考えれば、c＝0またはc＝±1である。
ここで、c＝0とすると、f(x)＝0であり、f：R→Rは環同型写像だから実関数f(x)＝0は逆関数を持つ。
これは、定値関数fは逆関数を持たないことに反し矛盾する。よって、c≠0。
次にc＝－1とすると、f(x)＝－xである。よって、f(1)＝－1。
f：R→Rは環同型写像だから、nをn≧2なる任意の偶数とすると、(f(1))^n＝f(1)が成り立ち、
よって(f(1))^n＝1から、1＝－1が成り立つことになるが、これは1≠－1に反し矛盾する。よって、c≠－1。
一方、c＝1とすると、f(x)＝xであり、fは逆関数を持ち、f：R→Rは確かに環同型写像となり、
満たすべき条件をすべて満たす。故に、c＝1であり、fはf(x)＝xと一意に定まる。
298:１３２人目の素数さん
15/05/01 17:06:21.06 NPJj25Yb.net
まあ、もう書けないんで、あとの応対は来週水曜以降。
299:１３２人目の素数さん
15/05/01 20:20:31.96 MMtIcg7t.net
>>266-270、>>277
あってない
300:１３２人目の素数さん
15/05/02 03:29:16.24 Pww9JTYC.net
>>266
＞f(a)＝aから、確かに|x－a|＜δ(ε)のとき|f(x)－f(a)|＜εとなる。
ここが問題かな。
ちなみに f(1)=1 は(単位的)環の準同型の定義に含まれている。
301:１３２人目の素数さん
15/05/02 12:38:47.81 G/fDOEPQ.net
>>272
線形代数くらい知ってるとして、アルティンのガロア理論なら、全部で82ページ(英語)。
1章の線形が20ページ、メインの2章だけなら50ページ。
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のない
誰かさんより、アルティンがんばって連休中に読めば、よほど理解が進むよ。
ガロア理論じたいは、それだけならそんなに難しくはない。今ならちくま文庫版
あるしね。
アルティンの本は理論の概略しか書いてないので、本当は群環体を普通に
勉強したほうがいいけどね。
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 17:41:57.95 jADohwWI.net
>>281
どうも。スレ主です。
ID:G/fDOEPQさんに全面同意だね
ググっただけで、自分では意味もわからん内容を数年コピペするだけで進歩のないが、スレ主を意味することも含めてね
アルティンより、Ｃｏｘ
303:をお薦めするよ 本格的な勉強（院を目指す）を考えるなら 和と英（原書）との併読を http://www.amazon.co.jp/Galois-Theory-Pure-Applied-Mathematics/dp/1118072057 Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts) (英語) ハードカバー ? 2012/3/27 David A. Cox (著)
304:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 19:47:04.31 jADohwWI.net
>>282 補足
そういえば、私スレ主が、おっちゃんの主題のおかけで少しレベルアップしたんだ
それが、>>33だ
まず前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:517番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう
305:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 19:52:19.22 jADohwWI.net
>>283 つづき
どうかこの問題にコメントして、ID:G/fDOEPQさまのレベルの高さを示してくださいまし・・（笑い） ＨａＨａＨａ！
306:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:19:14.57 jADohwWI.net
>>283 訂正
おっちゃんの主題のおかけで
↓
おっちゃんの出題のおかけで
（本題）
そういえば、>>258 URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
が面白かった。
連休道中ずっと読んでいた・・
" 6. Concluding remarks の
3. As the final comment I mention an additional bit of mathematical folklore.
In [1] it is claimed，without proof or reference to the proof，that the
cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). I have heard this from other
sources and am convinced that it is true although 1 do not know where the proof may be found.
References
1. R. Baer，Li nearAlgebra and Projective Geometry，Ac ademic Press，Ne w York，19 52，p. 63.
*)ALFo:アレフ・ゼロ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) （アレフが文字化けするので書き換えた） "
307:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:33:02.82 jADohwWI.net
>>285 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で
超越次数については、>>111-112にあって、「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。」（日、英）、”of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).”（独）が参考になるだろう
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:37:24.65 jADohwWI.net
>>286 つづき
”the cardinality of the set of automorphisms of C is 2^(2^ALFo*). ”関連で、1966年当時 PAUL B. YALE，Pomona Collegeは、
”I have heard this from other sources and am convinced that it is true although I do not know where the proof may be found.” だった
いま、2015年。いまでも証明不明だろうか？
309:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 21:45:28.05 jADohwWI.net
>>278 つづき
関連で、私スレ主も>>283に示したように、おっちゃんの出題をひねって、”連続濃度の”べきの濃度”"とした
”連続濃度の”べきの濃度”"は、普通の数学本では扱われることが少ない
だから結構難問になるのかも・・・
>>283も、”I mention an additional bit of mathematical folklore.”と言ってみたい気もする今日この頃
310:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 22:12:58.60 jADohwWI.net
PAUL B. YALE，Pomona Collegeさま、もしお元気なら、次もmathematical folkloreに追加願います （＾＾
”Let G is a multiplicative group formed by some complex number without zero,
the cardinality of the set of G is 2^(2^ALFo*).”
*)ALFo: aleph-zero URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
311:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 23:19:30.74 jADohwWI.net
>>285 つづき
URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
MATHEMATICS MAGAZINE 1966
AUTOMORPHISMS OF THE COMPLEX NUMBERS
PAUL B. YALE，Pomona College
P138 "A special case of Theorem 5A comprises part of the proof of Theorem 3.
In that proof we showed that the only extensions of IR to R(i) =C send i to ±i.
If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."
に対して
" 6. Concluding remarks の
2. It is not true that any isomorphism between subfields of C can be extended to an automorphism of C.
In particular there are isomorphisms with domain C whose range is properly contained in C.
For example, choose αI,α2,α3,... , a countable set of complex numbers that are algebraically independent over Q.
There is an isomorphism, φ, of Q(α1, α2, ... ) into itself such that φ(αi) =αi+1.
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ, and α1 transcendental over range θ}
leads to a maximal isomorphism, ψ^-1, whose domain is all of C but such that α1 is not in the range.
Note that ψ^-1 is an example of an isomorphism defined on a subfield, F, of C which cannot be extended to F(α1)."
が解答だろう
312:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/04 23:27:42.18 jADohwWI.net
>>290 つづき
6. Concluding remarks の2. は、証明を書いているが、これは例外的な記述法
普通は、6. Concluding remarks では証明は書かない、証明を書くならその前だ
”If we combine Theorems 5A and B we find that any isomorphism with domain
F and range F' can be extended to F(α) unless α is transcendental over F
and there are no complex numbers transcendental over F'.
We shall show at the end of the paper that this "unless" clause is an essential qualification."が分かり難い
「αがF上の超越拡大であり、そして、F'上に複素数の超越数が存在しなければ」の否定（unless）?
これと、 6. Concluding remarks の2.の証明との繋がりが、いまいち理解できなかった・・
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 05:55:08.95 8svvg2D/.net
>>290 訂正
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊂ domain θ・・
↓
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ,range θ ⊆ domain θ・・
（注：⊂→⊆ まあ分かるだろうけど（∵⊂に等号成立を含む場合も多いから）正確なコピペはこれ）
314:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:18:32.89 8svvg2D/.net
>>292 つづき
もう一つ訂正があった
Applying Zorn's lemma to F= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
↓
Applying Zorn's lemma to F（ヒゲ）= {θ|θ is an isomorphism extending φ・・・
（注：F（ヒゲ）は、ヒゲ文字。これのフォントが無いんだよね。まあ、原文PDFを読んでもらえば良いのだが・・）
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:24:45.61 8svvg2D/.net
>>293 つづき
ヒゲ文字参考
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
（抜粋）
ドイツ文字
中世ヨーロッパ的な雰囲気の漂う書体です．別名ヒゲ文字とも呼ばれています．
現在はドイツ語を著す書体としては装飾目的以外にはあまり使われてないようです．
ただし，高度な数学の数式中の文字としてはよく使用されています．
ドイツ文字の典型的な注意点ではありますが…
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
フラクトゥール（独：De-Fraktur.ogg Fraktur[ヘルプ/ファイル]、フラクトゥーア）は、ドイツ文字、亀の子文字、亀甲文字、ひげ文字などとも呼ばれる書体である。ドイツでは、第二次世界大戦頃までこの書体を印刷に常用していた。
フラクトゥールは、中世のヨーロッパで広く使われた、写本や
316:カリグラフィーの書体を基にした活字体・ブラックレターの一種であり、最も有名なものである。 時には、ブラックレターを全部指して「フラクトゥール」と呼ぶこともある。 フラクトゥールの語源は、古いラテン語の分詞、frangere（壊す）、fractus（壊れた）であり、他のブラックレターや現在よく使われるローマ字体であるアンティカ体に比べて線が崩れているところに特徴がある。
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:35:37.37 8svvg2D/.net
>>284 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋）
ブラックレター（Blackletter）はアルファベットの書体の一つ。
西ヨーロッパで12世紀から15世紀にかけて使われていたが、ドイツにおいてはフラクトゥール（ドイツ文字）と呼ばれるものが20世紀まで用いられていた。
このため、ブラックレター全体を指してフラクトゥールと呼ぶこともある。
また、日本語においてゴシック体と呼ばれる書体はアルファベットの書体としてはサンセリフであり、英語においてゴシック体（Gothic Script）と言うと通常はブラックレターを指すので注意を要する。
ゴシックという呼称
ルネサンス期のヒューマニスト達はローマ帝国から使われていたローマン書体を敬愛しており、ブラックレターを洗練されていないものとして嫌っていたため、蔑称として「ゴシック」という呼称が15世紀イタリアにおいて使われ始めた。
「ゴシック」という語は、ローマ帝国に侵入しその滅亡の一因となったゴート族に由来しており、この場合は「洗練されていない」「野蛮」といった意味で用いられている。
なお、ブラックレターだけが「ゴシック」と呼ばれた訳ではなく、
前述のカロリング小文字体やアンティーク文字、ヒューマニストが古代ローマで用いられていたと考え古代文字と呼んだ書体（実際はカール大帝の時代に作られたもの）なども
洗練されていない粗野な書体として「ゴシック」というレッテルを貼られていた。
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/05/05 06:47:26.48 8svvg2D/.net
>>295 つづき
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
質問者：strinasacchi 質問日時：2009/07/09 13:38
ドイツ語の旧字体(ひげ文字)のフォントを提供しているサイトを教えて下さい.
No.2ベストアンサー
回答者：elttac 回答日時：2009/07/09
参考 URL のサイトの，「Gothic」→「Medieval」のカテゴリをご覧ください。ここから，ご所望のひげ文字（フラクトゥール）をはじめとして，ブラックレター体のフォントが数多く無料で入手できます。
気に入ったものをお探しになって，ご利用になるとよいでしょう。
参考URL：URLﾘﾝｸ(www.dafont.com)
No.1ベストアンサー
回答者：trgovec 回答日時：2009/07/09
URLﾘﾝｸ(www.morscher.com)
その他 fraktur font で検索すれば見つかります。A が U のような形をしているのが見分けるポイントです。