15/04/18 18:14:34.04 LskGPWAB.net
>>151
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
直和の説明はこんな程度で委員会？
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2009/10/31
ベクトル空間について質問です。
Ｆ上のベクトル空間Kがあるとして、このKを有限体（元が有限個の体）でＦをＫの素体とする
とすると次元は有限の値となり，ｒとすると
KはFのｒ個の直和でかけるということを知りました。 しかしなぜこのときなぜKがこのFの直和でかけるのでしょうか？
これは線形代数でもやりますよね？
「（素体とは限らない）体Ｆ上のｒ次元ベクトル空間Ｖは、Ｆのｒ個の直和で書ける。」
方針としては、Ｖの基底を {v_1, v_2, ..., v_r} とすると、Ｖの任意の元はこれらのＦ上の線形和で書ける。
従って、
Ｖ ＝ v_1 F + v_2 F + ... + v_r F
（直和）となります。
質問者さんの設定ですと、Ｋ／Ｆ はｒ次の体の拡大です。
つまり、ＫはＦ上のベクトル空間としてｒ次元。（これが拡大体の次数の定義ですね！）
このベクトル空間の基底を固定すれば、上述の通り、ＫはＦのｒ個の直和で表せます。
参考：
Ｋ／Ｆが分離拡大であるなら、単拡大ですのでＫ＝Ｆ（α）という形で表せ、
基底として {1, α, α^2, ..., α^(r-1)} を取ることができます。