15/04/18 17:35:23.20 LskGPWAB.net
>>125-128
分かり易い証明が下記にあった
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)<)サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
幾何学の精神 青空学園数学科 2014 年1 月13 日 より
＜3.1.3 射影幾何の存在＞
命題29 実数体R の同型写像群A(K) は恒等写像のみの群である．
証明
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ R
が存在する．φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < s
とできる．有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに
（φ(s) + s）/2 < a < s
となる有理数a が存在する．c = s － a とおく．
φ(1) = 1 なので，a =q/p と整数p とq で表す．正整数p に関しては，φ が体の同型であること
からφ(p) = φ(1 +・・・ + 1) = φ(1) + ・・・ + φ(1) = p
となり，φ(－p) = －φ(p) より負の整数もφ で動かない．これから
φ(a) = φ(p^－1*q) = φ(p)^－1*φ(q) = p^－1*q = a
となり，φ はQ の要素を動かさない．よって
φ(c) = φ(s) － a < 0
一方，c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よって
φ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0
これは矛盾である．
体の超越拡大に関する準備を必要とするので，次の命題の証明は略する．
命題30 複素数体C の同型群A(K) は無限群である．そのうち複素数体の実数から導かれる位
相に関して連続となるものは複素共役写像z → z~ のみである．