15/04/15 15:42:55.57 O8x0ePuw.net
>>84
>「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
>までは、なんとか解決したい気がする
答えは、下記 超越次数：Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
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超越次数(抜粋)
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
例
? 拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
? n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
? より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。
? Q(√2, π) の Q 上の超越次数は 1 である、なぜならば √2 は代数的であり π は超越的であるからだ。
? Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
? Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。