15/04/12 20:25:22.98 OFC1Xbv/.net
>>96
スレ主さんが正解なんだよ、ここでは
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 20:37:59.81 IFDb2ZM+.net
まあ、苦労して書いてくれた証明だからね・・
一方、苦労するんだよね、こちらも読むのが
アスキー文字ベース制限で数学記号を表現するのに適していない場所（板）なんだよね
p_k^m_kにしても、紙テキストかTeXなら、もっと見やすいはず
なので、この板でこまごました証明は不適だと思うんだよね
私としては・・
102:１３２人目の素数さん
15/04/12 20:42:00.64 k0jqYpwj.net
以上、歴史的初出塁を成し遂げたスレ主さんのコメントでした
103:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 22:53:21.22 IFDb2ZM+.net
>>46
どうも。スレ主です。
言いたいことが、いま分かったよ。有理数体Ｑの完備化としてＲまたはＣを構成する話ってことだね
URLﾘﾝｸ(center.edu.wakayama-u.ac.jp)
複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004
抜粋
3. 実数体の構成
実数体を有理数体から構成的に定義する方法は大
別して２通りある。一つは順序集合と�
104:ｵての完備化 （Dedekind の切断による方法）であり、もう一つはア ルキメデス的付値体としての完備化（Cantor-M´eray の方法）である。 Dedekind の切断によると、加法と乗法が質的にか なり異なったものに見える。数なる観念には少なくと も四則演算できることがあげられようから、これを 優先させるならば、Cantor-M´eray の方法が自然であ る。 コーシー列と零列の定義は省略するが、 次が成立する。 （引用おわり）
105:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:02:20.13 IFDb2ZM+.net
>>100
どうも。スレ主です。
いや、持論でね
むかし、このスレの初代のころ、有名なコテのKummerさんが居てね。熱心に証明を書いていた。そのとき下記やりとりがあったんだ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:535-539番)
535 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 19:59:52.44
>>528-532
おいらは、Kummerさんも歓迎だよ
但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
537 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [] 投稿日：2012/03/10(土) 20:28:25.80
>但し、定理の証明は自スレでやってもらえば
ここでやるわけないｗ
539 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/10(土) 20:31:26.35
>>537
Kummerさん、乙です
>ここでやるわけないｗ
だよね
ま、よろしくね
106:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:09:55.47 IFDb2ZM+.net
>>101 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルキメデス付値による完備体
アルキメデス付値に対する完備体 K は、実数体または複素数体に同型である（オストロフスキーの定理）[4]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数論において、1916年のアレクサンドル・オストロフスキー (数学者)（英語版）(Alexander Ostrowski)によるオストロフスキーの定理(Ostrowski's theorem)は、有理数 Q 上の全ての非自明な絶対値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進絶対値に同値であると述べている[1]。
別のオストロフスキーの定理
別の定理は、アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、代数的にもトポロジー的にも実数か複素数に同型である。これもオストロフスキーの定理と呼ばれる[2]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ostrowski's theorem 英語版 Proofがある
107:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:13:52.07 IFDb2ZM+.net
>>102 補足
だから、証明は書かずに、どこか信頼できる大学教員のサイトに落ちている証明を紹介してもらうのがベストと思う
その内容の概要あるいは説明を書いてもらえれば、さらにgood！だ
こてこてと見にくいアスキーベースの証明は、あまり好みじゃないね
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/12 23:27:24.34 IFDb2ZM+.net
>>103 補足
まあ、みなさん周知のコーシー列を使う実数Rの構成>>101
だが、コーシー列では、代数拡大も超越拡大も区別はつかないし
R/Qで[R：Q]が無限次元になるのは当然として、加算か非加算かも・・どうするのかねー？（笑い）
109:１３２人目の素数さん
15/04/13 02:01:42.61 ryWSPkro.net
集合の濃度というものは数学において非常に基本的な概念であり、また基本的な問題である
と思ってるでしょ？
実際には代数・幾何・解析のような伝統的な数学で濃度を用いる場面は非常に限られていて、
大抵は「次元の一意性」のように一つに定まることが確認できれば十分であって、
濃度を比較したり、ましてや濃度を具体的に求めたりする必要は全然と言っていいほどないんだよ
110:１３２人目の素数さん
15/04/13 02:49:42.02 IzkPZSwy.net
まだ続いているのか。
111:１３２人目の素数さん
15/04/13 03:17:49.76 IzkPZSwy.net
>>105
お～い、まだ気付いていないようだけど、>>46や>>50は、本当はおっちゃんね。
>>50での証明は、大体の基本方針を書いただけ。体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
連続体仮説の問題があるから、可算無限次元とか非可算無限次元という
無限を区別するようないい方をすると、日常言語で書く数学が出来なくなるんだよ。
そのようないい方を使う言語での数学をすると、排中律を認める限り、
可算無限次元か「非」可算無限次元に区別されてしまう。同じ無限+∞を日常言語で書いた場合、
可算無限次元でないとしたら非可算無限次元というより他ないだろう。
つまり、連続体仮説を偽とする前提で数学をすることになる。
112:１３２人目の素数さん
15/04/13 04:24:53.49 IzkPZSwy.net
>>105
いや、連続体仮説を真とする前提で、日常言語で無限+∞を区別する
数学をすることも出来るが、この場合は、ℵ_0＜card(A)＜ℵ_1なる
集合Aの濃度を用いて日常言語で同じ無限+∞を何というかが問題になる。
連続体仮説を真としても偽としても、何れにしろℵ_1＝card(R)で、
確実に実数の全体Rは非可算無限集合になって、「非可算無限次元」といういい方はすることになる。
ℵ_0＜card(A)＜ℵ_1なる集合Aは可算集合でないから非可算無限集合というより他ないが、
Aを「中間非可算無限集合」とか呼ぶことにすれば、連続体仮説を偽とするとき
と同様に「可算無限次元」、「非可算無限次元」といういい方を日常言語でする
他に非可算無限次元のいい方の1つとして「中間非可算無限次元」などといういい方
を日常言語でする数学をすることも出来る。ただ、こうするときは2つの理論体系が同時にある
ことになって、2つの理論の両立を認めると数学全体を考えたとき混乱が生じかねないから、
連続体仮説を真とする前提の理論だけがあることになるとは思う。
ここのあたりは、理論展開してみないとどうなるかは分からんな。
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 15:35:34.35 O8x0ePuw.net
どうも。スレ主です。今日はたまたま時間がある
>>107-109
おっちゃんか・・、ありがとう
>>50なんか、なかなか物知りやねと思う。ありがとう
>体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
この問題は、答えだけは分かった。後ほど
証明が分からないが
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 15:42:55.57 O8x0ePuw.net
>>84
>「Q~→Cは、超越拡大で可算無限次元拡大」？
>までは、なんとか解決したい気がする
答えは、下記 超越次数：Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数(抜粋)
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
例
? 拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
? n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
? より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。
? Q(√2, π) の Q 上の超越次数は 1 である、なぜならば √2 は代数的であり π は超越的であるからだ。
? Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
? Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。
115:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 15:48:39.26 O8x0ePuw.net
>>111 つづき
和文wikipediaは下記英文の訳だな
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Transcendence degree
The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (This follows since any element has only countably many algebraic elements over it in Q, since Q is itself countable.)
116:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 16:07:20.50 O8x0ePuw.net
>>112 つづき
独語が面白い
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Transzendenzbasis
I
117:n Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise trdeg(L:K) . Aus trdeg(L:K)>0 folgt, dass deg(L:K) unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines transzendenten Elements t sind linear unabhangig uber K , womit bereits eine Korpererweiterung um ein transzendentes Element, K(t):K , unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Grad einer Korpererweiterung uberein. Offenbar ist Trg(L:K)=0 aquivalent zur Aussage, dass L/K algebraisch ist. Leicht zeigt man Trg(K(t):K)=1 und aus Machtigkeitsgrunden ist Trg(C:Q)=beth 1 (lies "beth eins", siehe Beth-Funktion). Google英訳 Based on the English-language term transcendence degree one finds the notation trdeg(L:K). From trdeg(L:K)>0, it follows that deg(L:K) is infinite, because the integer powers of a transcendent element t are linearly independent over K, which already is a field extension to a transcendent element, K (t): K has, infinite degrees; the transcendence degree therefore does not correspond with the degree of a field extension. Apparently Trg (L: K) = 0 is equivalent to the statement that L / K is algebraic. Easy shows you Trg(K(t):K)=1 and of cardinality reasons, Trg(C:Q)= beth_1 (read "beth one", see Beth number).
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 16:17:30.45 O8x0ePuw.net
取りあえず、答えは非加算
証明は不明ということで
119:１３２人目の素数さん
15/04/15 20:12:15.32 RQ5JrCYh.net
>体の拡大R/Qの次数の問題は[R;Q]＝+∞で済んでるよ。
Rには超越数が属すから、R/Qは超越拡大、よって[R;Q]＝∞
120:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 21:51:00.55 O8x0ePuw.net
>>115
どうも。スレ主です。
そうそう。単に無限大だけなら、出題者に失礼でしょう
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 だから（有限であるはずがない）
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:05:47.15 O8x0ePuw.net
下記に超越拡大があるみたいだが・・、証明あるんかいね？
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
可換体論 (数学選書 (6)) 単行本 ? 1985/4 永田 雅宜 (著)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
体とガロア理論 (岩波基礎数学選書) 単行本 ? 1997/9 藤崎 源二郎 (著)
最も参考になったカスタマーレビュー
数論においてはGalois理論と付論値が、代数幾何においては超越拡大と付値
論が重要になってきます。この本は、それらに対して必要かつ十分な知識と
素養とを与えてくれると思われます。
したがって、特に数論幾何を志す学生は３年次あたりでこの本を精読・通読
すると非常に有用だと思われます。
記述が若干冗長な感じはしますが、独習には適切かも。
類書で永田さんの可換体論がありますが、追加的トピックスもないし、永田さ
ん本の他に漏れず記述が難解です。
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:08:53.35 O8x0ePuw.net
>>114
おーい、おっちゃん
>>50みたく、証明おもいつかんかね？
123:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:20:42.58 O8x0ePuw.net
>>111
なお、関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
参考文献
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C? There are only two continuous automorphisms
(cf. Exercise A-8 and solution). If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to
construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation
α of A; then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an
automorphism of C. Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous
automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to
construct nonmeasurable functions.*2
9 Transcendental Extensions 109
Algebraic independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Transcendence bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Luroth’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Separating transcendence bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Transcendental Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
124:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:22:17.85 O8x0ePuw.net
>>119 補足
このJ. S. Milne, Fields and Galois Theory は、以前にも紹介だけした記憶がある
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:26:20.03 O8x0ePuw.net
>>106
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16 を、「集合の濃度」という視点で捉えたら、そういう意見もありかも・・
だが、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたらどうよ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数(抜粋)
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
証明のために、まず L/K の超越基底 S をとる。K(S) の元は K に係数をもつ S の元の多項式の商である。したがって自己同型 f は S のすべての元をそれ自身に送ることによって K(S) の自己同型に拡張できる。
体 L は K(S) の代数的閉包であり、代数的閉包は同型を除いて一意的である。このことは自己同型がさらに K(S) から L に拡張できることを意味している。
別の応用として、複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。
任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
126:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:32:53.55 O8x0ePuw.net
>>121 補足
・ n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。>>111
・より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体（英語版） L の超越次数は n である。>111
・超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
などを見ると、問題>>16の(1)は、超越次数 あるいは 超越拡大という切り口でみたら、それは関数体や多様体を理解する上で、結構重要と思わないか？
127:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:45:35.58 O8x0ePuw.net
>>121-122
もう一つの視点は、数学的教養だと
「(1) card(AutQ(R)) を求めよ。但し、Q,R はそれぞれ有理数体、実数体とする。」>>16は
知識として正解を知っていること、およびどうやって導くかのあらすじは
この程度の知識は、２１世紀の数学では
これが数学基礎論だったのは１００年前の２０世紀初頭か１９世紀の終わりかだろう
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/15 22:54:50.99 O8x0ePuw.net
>>101 余談だが
「天才の直観に基づいた論理は、常人は容易に受け付けがたい。直観を正当化するために作業仮説として直観を排する。」という見解には反対だな
そんな教育では、数学が分からなく
129:なる もっともっと直感を磨くべし。天才の直観に頷けるように・・ http://center.edu.wakayama-u.ac.jp/centerkiyou/kiyou_no14_pdf/satou.pdf 複素数の世界（1） - 和歌山大学教育学部 附属教育実践総合 佐藤英雄 著 教育実践総合センター紀要 No.14 2004 10. 諸注意 本稿では、数体系としての複素数体を代数的手法 で構成して、解析的手段により複素数の極形式表示 を導き「有向角」を定義した。途中、幾何学的なこと ばが登場しているが、注意深く見れば、ここまでの議 論は初等幾何学的直観に基づいてはいないことに気 付かれよう。誤解を防ぐために、このことについて弁 明する必要があろう。 著者は直観的思考を無視ないし軽視するものではな い。正当な直観こそは論理のナヴィゲーターである。 天才は卓越した直観力をもつ。それゆえに天才たり えたのである。しかし天才の直観に基づいた論理は、 常人は容易に受け付けがたい。常人が受け付けられ るようにするためには天才の直観を論理化する必要 がある。逆説的だが、直観を正当化するために作業仮 説として直観を排する。それが本稿の立場である。 （引用おわり）
130:１３２人目の素数さん
15/04/16 04:59:11.74 iP4tAlo3.net
>>118
Qは有理数体、Rは実数体で、>>16では
AutQ(R)＝{f|f:R→R は環同型写像、k∈Q⇒f(k)＝k}
と書いてあったとする。
実数体Rは通常の加減乗の演算について環であり、関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
確かにfは体Qの体R上の自己同型であってf∈AutQ(R)であり、AutQ(R)≠φ。
今、f∈AutQ(R)を任意に取る。fは体Rの部分環Rの同型写像だから、
点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
よって、x≦yなる2点x、y∈Rを任意に取ってy＝x+z、z∈Rとすれば、f(y)≧f(y)－f(z)＝f(y－z)＝f(x)。
ここで点x∈Rを再度任意に取る。ε＞0を任意に取る。すると、有理数の稠密性から、
両方共に或るr、s∈Qが存在して、r＜x＜s、0＜s－r＜ε。ここで、任意のx∈Qに対してf(x)＝xであって、
r＝f(r)≦f(x)≦f(s)＝sであり、－ε＜－s＋r≦f(x)－s≦f(x)－x≦s－x≦s－r＜ε、
よって、0≦|f(x)－x|＜ε。ε＞0は任意だから、ε＞0を走らせてε→+0とすれば、
f(x)＝xを得る。点x∈Rは任意だから、任意のx∈Rに対してf(x)＝x。f∈AutQ(R)は任意だったから、
体Qの体R上の自己同型fは一意的に存在して、card(AutQ(R))＝1。
基本方針
1、AutQ(R)≠φを示す。
2、f∈AutQ(R)を任意に取って、任意のx∈Rに対してf(x)≧0であり、fが単調非減少なることをいう。
3、任意のx∈Rに対してf(x)＝xをいう。
131:>>16出題者
15/04/16 21:56:24.36 ZSBDHkRC.net
>>125
小さなミスを除けば正解
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
f:R→R なので、u∈R でなければならないが、x<0 のとき、x＝u^2
を満たす u∈R は存在しない。
実際、f(x)>0⇒x>0 が言えるので、x<0 なら f(x)<0
「0≦x∈Rを任意に取り」とすれば良かった。
132:１３２人目の素数さん
15/04/17 12:39:07.29 /r2wdnDh.net
>>118
一応、>>125を訂正しておく。
>関数f(x)＝xはf:R→Rは環同型写像で、
の部分は「関数f(x)＝xについてf:R→Rは環同型写像で、」と訂正し、
>点x∈Rを任意に取り
の部分は「点x∈[0,+∞)を任意に取り」と訂正。あと、基本方針の2の
>任意のx∈Rに対して
の部分は「任意のx∈[0,+∞)に対して」と訂正。
133:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:09:31.54 N+SZ0AF4.net
>>125-127
どうも。スレ主です。
おっちゃん、証明ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
出題者さんも、ありがとう（ちょっと納得できないところもあるが）
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:17:07.07 N+SZ0AF4.net
英文だが
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Why does C have transcendence degree c over Q? Jan 28 '12 Mathematics Stack Exchange
7
(Of course I assume the Axiom of Choice...) Choose a transcendence basis X={xi}i∈I for C over Q. Then C is an algebraic extension of Q(X). Now here are two rather straightforward facts:
1: If F is any infinite field and K/F is an algebraic extension, then #K=#F.
2: For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X).
Putting these together we find
c=#C=#Q(X)=max(?0,#X).
Since c>?0, we conclude c=#X.
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:21:08.40 N+SZ0AF4.net
>>129
文字化けしたか。修正下記
c=#C=#Q(X)=max(?0,#X).→c=#C=#Q(X)=max(アレフ0,#X).
Since c>?0, we conclude c=#X.→Since c>アレフ0, we conclude c=#X.
136:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:26:09.71 N+SZ0AF4.net
似た話で下記がある
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
What is the transcendence degree of Q_p and C over Q? Feb 16 '10 MathOverflow
7
In both cases the transcendence degree is the cardinality of the continuum. CH is not needed.
This is a corollary of the following result: let K be any infinite field, and let L/K be any extension. Then
#L=max(#K,trdegKL).
To prove this, in turn it suffices to establish the following two results (each of which is straightforward):
1) If K is infinite and L/K is algebraic, then #L=#K.
2) If K is any infinite field, T={ti}i∈I is an arbitrary set of indeterminates and K(T) is a purely transcendental function field in the indeterminates T, then #K(T)?#T+#K.
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
What is the cardinality of a transcendence basis of C over Q? Oct 28 '12 Mathematics Stack Exchange
137:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/17 23:50:04.48 N+SZ0AF4.net
>>129
" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
purely transcendental extensionの場合はそうなる？
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 05:41:25.02 LskGPWAB.net
>>129 補足
余談だが、日本語ではほとんど情報がない
これからは、英語の情報を取らないとだめだ
139:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 06:06:29.72 LskGPWAB.net
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp)
ガロア理論:未知数の体の拡大 2013/03/03
ベストアンサー抜粋
ここでは話をややこしくしないよう、体といえば有理数体を含む体(標数0と同義)に限ることにします。
また、有理数体をQと表記することにします。
以下、長文ですがご参考までに。
体の拡大には、代数拡大と超越拡大というかなり性質の違う拡大があり、多くの場合これらは分けて論じないといけません。
不定元は基礎体(拡大前の体)を係数に持ついかなる代数方程式もみたしません。
よって、不定元を添加した体は基礎体上のベクトル空間として無限次元になります。
(しかし、逆：「基礎体上無限次元の体なら超越拡大」は成り立ちません。例えば1のあらゆるベキ根を有理数体に添加して出来る体Kは超越拡大体ではありません。なぜなら、Kのあらゆる元はQ係数の多項式の根になるからです。)
しかし、最初から不定元を持つ体を拡大するなら話は別です。
例えば、Q上の一変数有理関数体Q(x)に√(x+2)を付け加えて出来る体Q(x, √(x+2))=Q(√(x+2))は、Q上は超越拡大ですが、Q(x)上では
√(x+2)が T^2 -(x+2) というQ(x)係数の多項式の根になるので、2次の代数拡大になります。
超越拡大については、「本質的に不定元を何個付け加えたか」
140:を表す超越次元という概念があります。 例えばQ上、Q(x)やQ(x, √(x+2))は超越次元が1であり、Q(x)上Q(x, √(x+2))は超越次元が0です。 またQ(x, √(x+y))はQ(x)上やQ(y)上では超越次元が1であり、Q上では超越次元が2となります。 つづく
141:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 06:08:27.82 LskGPWAB.net
>>134 つづき
一般にベキ根を入れ子にして、Qに有理数のベキ根を付け加えた体、にさらにその体の数のベキ根を付け加えた体、にさらに・・、、ということを有限回繰り返して作られる体Fをベキ根拡大体といいます。
拡大がベキ根拡大であるという性質は、体F(の共役元を全て含むガロア閉包F')の自己同型の様子に現れていて、Gal(F'/Q)が可解群(可換群による拡大を繰り返して出来る比較的簡単な群)であるということに同値になります。
n次方程式の根をn個とも全て含むような体(共役元を全て含むのでガロア拡大体になります)は、最も複雑な場合、拡大のガロア群がn次の対称群(位数n!の大きな群)になりますが、
4次以下の対称群は可解群になることが分かっているので、4次までの方程式にはベキ根を入れ子にした解の表示があるのです。
一方、5次以上の対称群は可解でないことも分かっているので、ベキ根を組み合わせた解の表示は一般にはできません。
（引用おわり）
余談だが、日本語ではほとんど情報がないと書いた直後に日本語情報だが
日本語情報では初等的な話しか
142:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 06:12:49.23 LskGPWAB.net
>>135 つづき
日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
東大京大クラスは別として
どうもそんな気がしてきた・・
とすると、このスレのレベルも超えている・・
このスレは学部３年くらいと考えているんだ・・
が、まあ超越拡大も>>123くらいまではやりましょう！
143:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 07:15:09.68 LskGPWAB.net
>>122 補足
MITのページがあった
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
MIT 18.782 - Arithmetic Geometry Instructor: Andrew Sutherland, Grader: John Binder, Term: Fall 2013
COURSE DESCRIPTION
Arithmetic geometry lies at the intersection of algebraic geometry and number theory.
Its primary focus is the analysis of diophantine equations (x^n + y^n = z^n, for example), both from an algebraic and a geometric perspective.
See the course outline for a list of planned topics. URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu) 12.1 Field extensions
URLﾘﾝｸ(math.mit.edu)
(補足 上記URL中のLectureNotes12.pdfなどで番号を変えると、別のPDFが出るが、なぜかLectureNotes1.pdfだけ出ない
それはともかく、LectureNotes12.pdf 12.1 Field extensionsに超越拡大がある)
（Definition 12.3. The transcendence degree of a eld extension L=K is the cardinality of any (hence every) transcendence basis for L=k.で L=K→L=kだな。すぐ分かるけど ）
144:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 07:50:14.70 LskGPWAB.net
>>132
>" For any infinite field F and purely transcendental extension F(X), we have #F(X)=max(#F,#X)."がstraightforward？
>purely transcendental extensionの場合はそうなる？
#F(X)=max(#F,#X)は、これだけ見るとそうかなと思うが
一方、>>84に書いた
村上順 早稲田 「可算個の可算集合の直積集合 可算集合とはならない」>>82
名大落合啓之先生 「23. 可算無限個の可算集合の直積集合は可算集合である. 」 N>>75
があるので、なんだかなーと
やっぱり直和の話？ >>76-77
145:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 08:03:48.33 LskGPWAB.net
>>138 つづき
”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”下記かな？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 文字化けは修正しません
線型空間の直和
詳細は「線型空間の直和」を参照
ベクトル空間の直和（英: direct sum）とは、共通部分の自明なベクトル空間の和である。
ベクトル空間 W1, …, Wn の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W1, …, Wn の（外部）直和という。これを W = W1 ? … ? Wn と表す。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抽象代数学において、直和 (direct sum) はいくつかの加群を新しい大きな加群に合併する構成である。
加群の直和は与えられた加群を部分加群として「不必要な」制約なしに含む最小の加群であり、余積の例である。双対（英語版）概念である直積（英語版）と対照をなす。
この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。
性質
・体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。
・テンソル積は次の意味で直和上分配する： N が右 R-加群であれば、N の Mi とのテンソル積（これはアーベル群）の直和は自然に N の Mi の直和とのテンソル積と同型である。
・直和はまた（同型を除いて）可換であり結合的である、つまりどんな順番で直和を作ろうが関係ない。
146:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 08:21:02.61 LskGPWAB.net
>>123
余談だが、”The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality”は、Factで[Cohn91, Exercise 5.1(4)]だと。まあ、教養ですよ
URLﾘﾝｸ(www2.cs.uni-paderborn.de)
Real Computability and Hypercomputation Martin Ziegler December 20, 2007
P18
Fact 2.5.
b) The transcendence degree of R over Q is of continuum cardinality [Cohn91, Exercise 5.1(4)].
[Cohn91] P.M. Cohn: “Algebra” 2nd Edition vol.3 (1991).
147:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:10:58.32 LskGPWAB.net
>>140
まあ、教養ですよと良いながら、いまいち理解できていないが
>>40-41に戻ると
・超越数の集合は当然非加算ではあるけれども、β,β1,・・・βn,・・・を考えたときにこれらが互いに代数的に独立でないものが含まれる（だから、こちらからアプローチするのは難しい）
・で、加算集合の加算無限次元ベクトル空間が常に加算なら、対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならないと言える（が、一般のベクトル空間では言えないみたい>>138）
・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる
かな
148:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:28:36.56 LskGPWAB.net
ケーニヒの定理 (集合論)。使えるかどうか不明だが、取りあえずコピペ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ケーニヒの定理 (集合論)
積の濃度は和の濃度より真に大きい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
149:１３２人目の素数さん
15/04/18 09:30:01.63 nav1Dr38.net
>>136
超越拡大なら、微分体の理論。まあ、それ知らなくても、
1変数代数関数体が超越拡大の例になっていて、1変数代数関数の理論しとけばいいんじゃない。
>日本では、超越拡大は学部の範囲を超えているのだろうか
日本では、ハーツホーン病という病気が流行っていて、これ読むには超越拡大は必要でしょうな。
なので、別に超えてはいないんじゃない。例え知らなくても、ハーツホーン病にかかった人はすぐ覚える。
日本には、数論幾何、代数幾何、だ～い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
150:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:44:32.6
151:9 ID:LskGPWAB.net
152:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 09:49:26.59 LskGPWAB.net
>>143
どうも。スレ主です。
レスありがとう
ハーツホーンが定番（バイブル）という話はどっかに
>日本には、数論幾何、代数幾何、だ～い好きという人が不思議な位にワンサカいる。
まあ、日本のお家芸的では？
高木－広中－森の系譜か・・
そこからちょっと外れる岡とか佐藤とか
最近のヒットは望月か？ （ファールかフェアかだが）
153:１３２人目の素数さん
15/04/18 10:46:43.86 nav1Dr38.net
>>145
「高木－広中－森の系譜」ではなく「岡－広中－森」或いは「小平－広中－森」じゃないか。
高木の類体論は代数的整数論で、数論幾何、代数幾何とは少し違うだろう。
岡や佐藤は、2人とも独創的かつ苦しい状況で研究をしていた人で、
岡は、ヘンリ・カルタンがよき理解者で、カルタンが岡の業績から層を編み出したんです。
佐藤は、お師匠がよい理解者で、シュワルツの超関数の理論を最初から定式化し直して
代数解析という解析を完成させたんです。そして線形偏微分方程式を解くのに使ったりしていたんです。
何か、その一部は今でも発展し続けているみたいです。昔は佐藤超関数の研究
をしていた人達が沢山いて、そのグループがあったみたいなんです。
154:１３２人目の素数さん
15/04/18 10:55:49.60 YVNcus3n.net
>>16の(1)は、スレ主は拡大次数に注目したけど実は特に関係ありませんでした、というオチだね。
確かにガロア理論では、一般に体拡大 L/K について拡大次数 [L:K] と K 上の自己同型群の位数 card(AutK(L)) の関係は重要だけど。
結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
155:>>16出題者
15/04/18 11:48:43.62 xIwU7Wpr.net
出題者の独断で採点しました。
>>125
90点
＞点x∈Rを任意に取りx＝u^2とすれば、f(x)＝f(u^2)＝(f(u))^2≧0。
惜しいミスではあるが、致命的誤りでもあるので10点減点。
＞1、AutQ(R)≠φを示す。
これを最初に示すことは必ずしも必要でないと思う。
証明後半は、「fはどんな形でないとならないか」を論じているのだけれど、その際fの
存在は仮定でも構わないからだ。つまりfの存在を仮定しておいて、「fはどんな形でも
駄目」となれば、「fは存在しない」という結論になるだけ。
もちろん誤りではないので減点は無し。
スレ主さん
0点
R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
[R:Q]探求の森に踏み入り最後まで迷子のままだった。card(AutQ(R))について何も論じていない
に等しいので0点とせざるを得ない。
156:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 12:58:02.77 LskGPWAB.net
>>146
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>「高木－広中－森の系譜」ではなく「岡－広中－森」或いは「小平－広中－森」じゃないか。
ああ、そうですね
そういう線もありですね
157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 13:40:28.04 LskGPWAB.net
>>145-146
どうも。スレ主です。
主題者さんありがとう
おっちゃん、９０点かすごいね
スレ主さん0点は結構だ。体の無限次元拡大が分かってないんだろうね
>結局スレ主は>>125-127のどこに納得いかないんだ。
いや、単に分かってないんだろうと思うけど
>R/Qはガロア拡大でないから、card(AutQ(R))と[R:Q]の間には何の繋がりも無いにもかかわらず
じゃ、問題を変えて、C/Qはガロア拡大か否か？ C/Rの拡大次数は２で良いのか？ とすれば、card(AutQ(C))＝２で良いのかい？
おっと、これ（下記）か？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア群
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型�
158:ﾍ順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。 ・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。 （引用おわり） 「Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる」か Aut(C/Q) は無限群で、card(AutQ(C))＞アレフ0だな
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 13:52:13.10 LskGPWAB.net
>>141
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
>>82 より「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
村上順 早稲田
URLﾘﾝｸ(www.f.waseda.jp)
「jugyou/2002/suugakuGairon2002/slide606」
可算集合の和集合
可算集合となる
可算個の可算集合の和集合
可算集合となる
（引用おわり）
160:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 16:56:50.41 LskGPWAB.net
>>150 関連
"体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。"(下記)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型写像のことを言う。
つまり構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、ある意味ではその対象の対称性を表わしていると言える。
対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。
恒等写像は自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれることもある。
他の（恒等射ではない）自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。
R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[2][3] 体自己同型は体の拡大、特にガロア拡大の理論で重要である。
ガロア拡大 L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の部分群を拡大のガロア群と呼ぶ。
p-進数の体 Qp は非自明な自己同型を持たない。
161:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 17:35:23.20 LskGPWAB.net
>>125-128
分かり易い証明が下記にあった
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)<)サクラ.ne.jp/pascal/node21.html URLが通らないので検索頼む
射影幾何
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.)サクラ.ne.jp/PDF/pascal.pdf URLが通らないので検索頼む
幾何学の精神 青空学園数学科 2014 年1 月13 日 より
＜3.1.3 射影幾何の存在＞
命題29 実数体R の同型写像群A(K) は恒等写像のみの群である．
証明
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ R
が存在する．φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < s
とできる．有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに
（φ(s) + s）/2 < a < s
となる有理数a が存在する．c = s － a とおく．
φ(1) = 1 なので，a =q/p と整数p とq で表す．正整数p に関しては，φ が体の同型であること
からφ(p) = φ(1 +・・・ + 1) = φ(1) + ・・・ + φ(1) = p
となり，φ(－p) = －φ(p) より負の整数もφ で動かない．これから
φ(a) = φ(p^－1*q) = φ(p)^－1*φ(q) = p^－1*q = a
となり，φ はQ の要素を動かさない．よって
φ(c) = φ(s) － a < 0
一方，c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よって
φ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0
これは矛盾である．
体の超越拡大に関する準備を必要とするので，次の命題の証明は略する．
命題30 複素数体C の同型群A(K) は無限群である．そのうち複素数体の実数から導かれる位
相に関して連続となるものは複素共役写像z → z~ のみである．
162:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 17:50
163::48.06 ID:LskGPWAB.net
164:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 17:54:02.38 LskGPWAB.net
>>150 補足
まあ、数学的教養だね、これは
>>16(1)が解けなかったのは、教養が無かっただけ
早くギブアップして良かった。自力では無理だった
165:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 18:14:34.04 LskGPWAB.net
>>151
>・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
直和の説明はこんな程度で委員会？
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2009/10/31
ベクトル空間について質問です。
Ｆ上のベクトル空間Kがあるとして、このKを有限体（元が有限個の体）でＦをＫの素体とする
とすると次元は有限の値となり，ｒとすると
KはFのｒ個の直和でかけるということを知りました。 しかしなぜこのときなぜKがこのFの直和でかけるのでしょうか？
これは線形代数でもやりますよね？
「（素体とは限らない）体Ｆ上のｒ次元ベクトル空間Ｖは、Ｆのｒ個の直和で書ける。」
方針としては、Ｖの基底を {v_1, v_2, ..., v_r} とすると、Ｖの任意の元はこれらのＦ上の線形和で書ける。
従って、
Ｖ ＝ v_1 F + v_2 F + ... + v_r F
（直和）となります。
質問者さんの設定ですと、Ｋ／Ｆ はｒ次の体の拡大です。
つまり、ＫはＦ上のベクトル空間としてｒ次元。（これが拡大体の次数の定義ですね！）
このベクトル空間の基底を固定すれば、上述の通り、ＫはＦのｒ個の直和で表せます。
参考：
Ｋ／Ｆが分離拡大であるなら、単拡大ですのでＫ＝Ｆ（α）という形で表せ、
基底として {1, α, α^2, ..., α^(r-1)} を取ることができます。
166:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 18:23:08.76 LskGPWAB.net
>>151
>「可算個の可算集合の和集合 可算集合となる」だね証明はどこかにあるんだろう
下記で委員会？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
選択公理
応用
選択公理もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
・ハーン・バナッハの定理
・極大イデアルの存在
・ベクトル空間の基底の存在
・ハウスドルフのパラドックス
・バナッハ＝タルスキーの定理
・可算集合の可算個の和は可算である
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2012/6/4 可算集合の可算個の和集合も可算集合になることを示せ
A_m = {a_mn}，A=∪A_mとする．a_mnをm+nが小さい順に，m+nが等しいものはmが小さいほうを先に並べると(同一のものが重複して出てきたときは飛ばす），
この順番ですべてのa_mnの番号付ができるから，Aは可算．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。
可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。
これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。
しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。
167:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 18:30:24.68 LskGPWAB.net
>>156 補足
思うに、「直和」はちょっと深いものがありそう（調べた範囲では）
一般のガロア本では、体の拡大はベクトル空間になるまでは述べているが、「直和」までは言わない
「直和」を突っ込みだすと、圏論まで行くんですかね？
で教科書では、「まあ、それはまた後で」となるのかも・・
168:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 20:22:23.77 LskGPWAB.net
>>154 補足
１．>>16(1)は面白い問題やったね。
２．おっちゃん、前スレやったか「有理数の稠密性
169:」とか叫んでいたから、勉強が役に立ったね ３．「証明を読む限り、証明には自己同型は順序を保つことと、Q,Rの稠密性が使われている」と書いたが ４．実数の構成でコーシー列（有理数よりなる）を考えて、Rの自己同型はコーシー列（有理数）を動かさないという証明もありかも・・、という気がしてきた・・ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97 実数の構成 実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。 有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。 また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。 （略） R の任意のコーシー列は収束する、すなわち R が完備であることがわかる。
170:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/18 20:34:23.65 LskGPWAB.net
>>159 つづき
５．>>153の証明にあるように、Rの自己同型は、０と１を動かさず、従って整数を動かさず、従って有理数も動かさない（これについては私も>>87に書いたが）
６．だから、コーシー列（有理数）を動かさない
７．だから、全てのRの元を動かさず、恒等写像（自明な同型）のみだと
８．>>153の証明は背理法だ。しかし、上記証明は背理法ではない。だから、「順序を保つことと、Q,Rの稠密性」は表には出てこない。コーシー列の性質には暗に含まれているが
お陰で、超越数、実数、複素数を深く理解できました
出題者さん、おっちゃんありがとう
では
171:１３２人目の素数さん
15/04/18 21:15:09.40 xIwU7Wpr.net
>>160
6→7に論理の飛躍あり。
x∈R が 有利数列(q_n∈Q)によって x=lim[n→∞]q_n と表せたとする。
f∈AutQ(R) が f(q_n)=q_n を満たしたとしても、
f(x)=f(lim[n→∞]q_n)=lim[n→∞]f(q_n)=lim[n→∞]q_n=x
は直ちには言えない。二つ目の等号が成り立つにはfがRで連続であることが必要。
172:１３２人目の素数さん
15/04/18 21:36:52.36 YVNcus3n.net
「実数はコーシー列の同値類」という見方をするなら、
f∈AutQ(R) と実数 r=[{q_n}] (有理数列{q_n}の同値類) に対し
f([{q_n}])=[{f(q_n)}]
が成り立つか、ってことだね。
５．では [{q_n}] が有理数を表す場合は正しいということを言っている。
どんなコーシー列でも成り立つってのが６．なので、飛躍は５．→６．かも。
173:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/19 09:24:45.56 Fta5hZD3.net
>>161-162
どうも。スレ主です。
みなさんレベルが高いですね
・確かに、Rの体自己同型はZやQを動かしてはならないという禁止要請がある
・しかし、それ以外の元を動かすことは、禁止事項ではない
・なお、>>153の証明は、φ(s) > s として、（φ(s) + s）/2 < a < sなる有理数aを取ったときに、矛盾が出ると
・QとRの順序構造とQの稠密性から （ φ(c) = φ(s) － a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > a だから、c = b^2 は不要だったね。他の証明法もありそうだが・・）
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/19 09:31:17.48 Fta5hZD3.net
なお、>>150で
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
また、体の拡大次数や代数拡大、超越拡大と合わせて理解することも良いと思うんだよね
体の拡大次数で、R/QとC/Qとは非可算無限なのに、Aut(R/Q)とAut(C/Q) の違いが生まれるのはなぜか？（上記と同じ疑問だが）
そういうことを考えさせられる良い問題だった
ありがとう
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/19 19:41:12.29 Fta5hZD3.net
>>163 訂正
φ(s) > sは、違うね
φ(s) < sだった（読み飛ばしていた）
だから、「φ(c) = φ(s) － a < 0 が導かれた段階で、φ(s) > s > aだから、c = b^2 は不要」は言えないね
ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
では
176:１３２人目の素数さん
15/04/23 16:24:28.74 Z7PgLnzO.net
スレ主さんはガロア理論の他にどんな数学が好き？
177:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/24 22:22:02.20 rDEyqA0E.net
>>166
どうも。スレ主です。
どんな数学が好きだって？ そうだな、微分方程式かな
178:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/24 22:26:00.50 rDEyqA0E.net
微分方程式って、不思議だよね
いろんなことが微分方程式で表される・・んだ
179:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:27:44.51 1rI4QMvS.net
>>165
どうも。スレ主です。
>ただ、「他の証明法もありそう」は、取り下げない。もう少し考えてみるよ
難しかった。自分だけでは証明は思いつかなかった
検索すると、下記があった
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2007/11/8 実数体Ｒの自己同型写像は恒等写像のみであることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答 median_modeさん 編集あり2007/11/9
自己同型写像ならば恒等写像であることは簡単に言えると思います
恒等写像ならば自己同系写像であることは、Rが実数体なので演算ができることを使って
線形写像であることを言えばいいと思います。
fが実数体Rの自己同型写像ならば
写像じたいも加法乗法でとじているので
f(ab)=f(a)f(b)
fはRの線形写像でもあるので
f(ab)=af(b)
⇒f(a)=a 恒等写像である
ｆが実数体Rの恒等写像ならば
f(a)=aなので
R→Rの全単射であり
f(a+b)=a+b=f(a)+f(b)
f(ab)=ab=ｆ(a)f(b)
なので自己同型写像である
というかんじじゃないでしょうか
(続く)
180:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:30:11.86 1rI4QMvS.net
（続き）
ベストアンサー以外の回答 drtetsuyaandoさん 2007/11/12
たぶん「代数学」か何かのレポート問題だと思いますが, mable_saga さんのヒントで, 解答への95％くらいまで教えてもらっているので, 後の5％は自分で考えましょう。でも, 特別に, あと3％くらいヒントを追加すると,
(1) mable_saga さんの①の方法で, f(1)=1 を証明する。
(2) 数学的帰納法で, 自然数 n に対して f(n) = n を証明する。
(3) n が負の整数や 0 でも f(n) = n であることを証明する。
(4) 有理数 p/q (p は整数, q は自然数) に対し, f(p/q) = p/q であることを証明する。
(5) mable_saga さんの②, ③の方法で, f は単調増加であることを証明する。
(6) あとは, (5)から f が連続であることを証明してもよいし, 直接(4)と(5)を用いて背理法で f が恒等写像でないと矛盾することを示してもよい。
ところで, 複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。
（引用終わり）
181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:41:12.31 1rI4QMvS.net
つづき
>>153
１．この証明で、「（φ(s) + s）/2 < a < s となる有理数a が存在する．」としているが、（φ(s) + s）/2 は証明に使っていないね
２．あと、「c > 0 なのでc はある0 でない実数b を用いてc = b^2 と表される．よってφ(c) = φ(b^2) = φ(b)^2 > 0」の部分
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
という証明の筋も、教養として覚えておく方が良いと思うよ
182:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 04:47:53.70 1rI4QMvS.net
つづき
「複素数体 C の自己同型写像は, 恒等写像と複素共役以外にも, 無数に自己同型写像が存在するところが面白いですね。
ただし, こちらの証明は, 有理数体 Q 上の C の無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけないので, もう少し難しくなります。」>>170
同じことだが
「複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。」>>152
も、数学の教養だよね
私は、教養が不足していることがよく分かりました
お陰で少し教養が増えました。ありがとう
183:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 05:00:30.39 1rI4QMvS.net
>>170
おっと、大事な続きがあったね
（引用開始）
marble_sagaさん 2007/11/13
上の方のは間違いです。同型と線形は違います。
証明の概略です。不明な点はまた質問して下さい。
まず、恒等写像なら有理数は固定されます。そして正の数は正の数に移ることを示し、それを用いて、写像が順序を保つことを示します。順序を保つので写像は単調増加ということになります。そして有理数を固定する単調増加写像は恒等写像しかないことがいえます。
ヒント
①１は１の二乗であり、任意の自然数は１の和に書ける。
②正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。
③ａ＝ｂ＋（ａーｂ）
（引用おわり）
「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。」は省略できない？
使えば簡単というのと、必須とは違う・・
はて
184:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 05:24:53.56 1rI4QMvS.net
ともかく訂正
合わせて、>>169-170にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って線形写像であることを言えばいい」
↓
合わせて、>>169-170>>173
185:にあるように「Rが実数体なので演算ができることを使って順序を保つ線形写像であることを言えばいい」 かな？ 「連続」は使わなくても良いか
186:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 05:30:02.12 1rI4QMvS.net
>>172 補足
URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)
教養 goo辞書
1.学問、幅広い知識、精神の修養などを通して得られる創造的活力や心の豊かさ、物事に対する理解力。また、その手段としての学問・芸術・宗教などの精神活動。
2.社会生活を営む上で必要な文化に関する広い知識。「高い―のある人」「―が深い」「―を積む」「一般―」
187:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 06:29:08.93 1rI4QMvS.net
>>172 補足
>>172 補足
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1137-1.pdf
Ring homomorphisms on commutative Banach algebras I 新潟大学大学院自然科学研究科羽鳥理(Osamu Hatori)数理解析研究所講究録 2000年
（抜粋）
1 複素数叩上の自己同型写像
その後, Steinitz [8] の結果を用いれば, 非自明な自己同型写像が存
在することの証明ができることが知られるようになったし, Kestelman [3] は代数学の定理
を用いないがZorn の補題, 整列可能性定理, 超限帰納法等を用いた存在証明を与えた.
実際その方法から非自明なものはたくさんある事が分かる.
例えばρ(a+b√2)=a-b√2 なる{a+b√2:a, b∈Q+iQ} 上の自己同型写像ρ 等は, C 上の非自明な自己同型写像に拡張できることがわかる.
非自明な自己同型写像の振る舞いは大変複雑である.
たとえば, 実数全体R に対してρ(R) は複素平面で稠密である. (cf.[3])
(引用終わり)
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。>>152
で、上記”ρ(a+b√2)=a-b√2 なる{a+b√2:a, b∈Q+iQ} 上の自己同型写像ρ 等は, C 上の非自明な自己同型写像に拡張できることがわかる.”
が、その例？ 無限超越基底の存在を Zorn の補題を使って証明しないといけない>>170わけでもない？
”実数全体R に対してρ(R) は複素平面で稠密である. (cf.[3])”の意味がとれないけど・・、まあ良いか（＾＾
188:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 08:20:48.57 1rI4QMvS.net
>>176 訂正：補足がダブり。一つ消去ください
脱線
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
代数多様体の幾何と代数－ガロワ点とは？－
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
研究紹介(吉原久夫)代数多様体のガロワ埋め込みの研究
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
名誉教授 平成25年3月退職 吉原 久夫 新潟大
189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 08:35:44.82 1rI4QMvS.net
>>177
脱線補足
文書に日付がない。これはよくない
研究紹介が2011年10月（下記）、「代数多様体の幾何と代数－ガロワ点とは？－」はその少し前だろう
URLﾘﾝｸ(mathweb.sc.niigata-u.ac.jp)
2011年10月12日 秋山茂樹准教授, 山田修司准教授, 吉原久夫教授の学生向け研究紹介を掲載しました。
190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:07:42.15 1rI4QMvS.net
脱線ついで
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
9. 保型表現とGalois表現 (吉田輝義) 保型表現とGalois 表現 |初学者のために|
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」報告集の原稿ページ
URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
website of teruyoshi yoshida （よしだ・てるよし／ケンブリッジ大学数学科）
URLﾘﾝｸ(www.dpmms.cam.ac.uk)
上記 ss2009と同じだが、なぜか2010_SummerSchool？
191:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:13:55.77 1rI4QMvS.net
>>179
（脱線ついで補足）「(吉田輝義) 保型表現とGalois 表現 |初学者のために|」より
”現在の代数的整数論のもっとも中心的な問題の一つである非可換類体論（Langlands 対応）は，保型表現とGalois 表現の間の対応として定式化されている．
表現論の言葉で書かれるようになった理由は，整数論が非可換な対象を本格的に扱う時代に入ったということである．
代数的整数論を志す学生にとっては，可換環論，代数幾何，ホモロジー代数，位相群上の積分などが学習事項とされてきたが，表現論の重要性は十分に強調されてこなかったように思われる．
筆者自身も，表現論の勉強が足りず自転車操業で勉強している次第だが，初学者の読者を念頭において「なぜ表現論が代数的整数論にとって不可欠なのか」を解説しながら，Langlands 対応の世界への案内を試みたいと思う．
定式化や研究対象の移行ということについて一言書いておく．
Galois 理論以前は，代数学といえば方程式論であり，与えられた一変数あるいは多変数の多項式を四則演算で操作し，未知数を求めるという意味でそれらを「解く」，あるいはさまざまな多項式の間の関係を発見し記述する，という学問であった．
しかし，5 次以上の方程式が根号では解けないことが証明され，根の間の有理的な関係の構造が「方程式の根の生成する拡大体のGalois群」にすべて書き込まれていることがわかると，方程式論は「拡大体とそのGalois 群を理解する」という新しい定式化を獲得した．
とくに，方程式論が基礎体に決定的に依存することが明白になったことは，基礎体に依存する代数学（整数論との自然な統合，および任意のスキーム上の代数幾何）としての数論幾何の夜明けであったとも言える．
この19 世紀の「方程式論→拡大体・Galois 群」という変化と同じ規模のパラダイム・シフトが，20世紀の数論幾何の発展を経て起こった．
それが，「拡大体・Galois 群→ Galois 表現」という定式化・研究対象の移行であり，現在の代数的整数論の中心的な研究対象はGalois 表現である，と言ってしまっても過言ではないと
思われる．この移行について解説するのが本稿の目的の一つである．”
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:22:10.21 1rI4QMvS.net
>>180
似たような話(パラダイム・シフト)は、ちらっと見た下記にもあったように思う
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発 黒川 信重 著
ISBNコード978-4-535-78589-2 発刊日：2014.11（中旬刊）
現代数学の基盤をなす《ガロア理論》と《表現論》のコンパクトな入門書。2つの理論を土台に、読者を《ゼータ関数論》へと促す。
■『ガロア理論と表現論』正誤情報のページ
第2章 表現論
2.0 はじめに：なぜ、表現論と双対性か
2.1 群の表現論と双対性の起源
2.2 有限アーベル群の表現論と双対性
2.3 ポアソン和公式とフーリエ展開
2.4 有限群の表現論と双対性
2.5 補足
第3章 ガロア表現論
3.0 はじめに：ガロア表現
3.1 ゼータとは何か？
3.2 ゼータの統一
3.3 類体論
3.4 楕円曲線と保型形式
3.5 通常のラングランズ予想
3.6 正標数のラングランズ予想
3.7 幾何学的ラングランズ予想
3.8 ラングランズ予想を超えて？
3.9 おわりに
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 09:44:04.87 1rI4QMvS.net
>>164 補足
いま（その３）2015年04月16日まで来ています。結構新しい
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
�
194:ｴ孫江の数学日誌 あらためてしっかり「数学書を読む」ブログです. 現在はぼやいたりため息をついたりしながら 永田雅宜先生の名著『可換体論』を読んでいます. 抜粋 §3.1 超越基 (その１) 2015年04月01日 第３章以降は, 有限次とは限らない体拡大にガロアの理論を拡張することを目標としています. とはいえ, 有限という仮定をひとたび外したならばそれは未開の荒野を行くようなものでありまして, 体拡大にも, 群にも, それぞれに有限の場合とは段違いの知見を必要とします. 一口に無限次拡大といっても, 有限次拡大の延長に過ぎない場合と, そもそも本質的に有限にはなりえない場合とがあります. すべての体は整域の商体として表されます. L/K が代数拡大の場合には, L を商体とする K 代数は L 自身しかありません. これに対して, 超越拡大の場合には L を商体とする K 代数で整域でないものが存在します [例えば, 純超越拡大 L=K(S) は多項式環 K[S] の商体]. 代数拡大を扱っているうちは体しか出てこなかったので, 体のカテゴリーの中だけで話が進みましたが, 第３章以降で体以外の環を考察する理由はここにあります. 整域自身を調べればその商体のことは自ずからわかりますから, 超越拡大体の考察には積極的に環論の技法が用いられます. 体は環なのに今さらなぜ環論を, と思われるかもしれません. 体は確かに環の一種なのですが, その特殊性故に一般的な環の理論が適用しにくいところがあります. 良し悪しではなく, 環論と体論の志向性と踏み込みの違いです.
195:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 15:51:59.72 1rI4QMvS.net
>>182
超越拡大の場合に環になるのは下記にもある
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
ガロア理論 松本 眞 平成18 年11 月22 日
（抜粋）
定理1.11. α ∈ L ⊂ K に対し、環同型
K[t]/Φα(t) ≡ K[α] ⊂ L
が存在する。もし、α がK 上代数的なら、K[α] は体である。
K 上超越的なら、K[α] は多項式環K[t] と同型である。
証明. 前半はすでに示されている。「代数的なら体」というのは、次の二つの
補題の帰結である。超越的なら、'Φα(t) = 0 より、左辺が多項式環と同型になる。
196:１３２人目の素数さん
15/04/25 16:55:54.29 NUHAx/1J.net
>>171
（φ(s) + s）/2 < a という事実は
＞φ(c) = φ(s) － a < 0
で暗に使っている。
でもわざわざ a をこんな風に取らなくても
φ(s) < a < s
で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
>>16の(1)は、R を C とか Q(√2) とか Q(X) とかに変えると成り立たない。
なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。
いわゆる本質ってやつなのかも。
別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。
197:１３２人目の素数さん
15/04/25 17:12:13.96 U90x2yR7.net
| ヽ i､ !, |
ヽ ｀!, |i､ ヽ、 |
｀'i､ | .,/ﾋ │ ヽ
ヽ | .,r" │ ,lﾞ │
ﾞl ,,,i´ `=,_ '″ |
| ,,r" ｀"''￢‐-i､,,,、 ］
,,i´ ,,!″ ﾟ'┐ ,/′
,i´ ｝ｰｖ
198:,,、 _,､l′ ,,lﾞ `'r y'" =,_ _,,,,,,rｰ''ﾟ′ ,|_ ,,i´ ﾞ"￢――――‐''''ﾟ゜ ,| ‘=,_ | ,,i´ ｀ｯ | _,,,｡-″ .| ,,rﾘ,、 _,,,,,r‐冖＾ | ,,r'’ ‘ﾍｖ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,r--・"ﾟ゛ | / ,! |, ,ｒ'" ﾞl, _,,,,r・″ '!ｉ,_ __,,,―''''"゛ ‘''ｰ-,,,,,,,,＿＿＿＿,,,,,,,,,,---ｰ''''"ﾞﾞ゛
199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:06:53.41 1rI4QMvS.net
どうも。スレ主です。２ちゃんねるらしくなってきたねー
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:12:29.50 1rI4QMvS.net
>>184
どうも。スレ主です。
アラシだけじゃなく、お客様も居たんだ・・
>φ(s) < a < s
>で取ればよさそうに見える。これだと何か問題あるのかな？
問題ないと思う。（φ(s) + s）/2 は使うなら、別の使い方がありそう
>なので証明には、例えば C 無くて R にあるような特徴を使わなければならない。
>それが>>153等では「正の数ならばそれは平方根の二乗で書ける。そして任意の数の二乗は正の数。 」 ということなんだろう。
>いわゆる本質ってやつなのかも。
>別の証明を探すなら、これとは違う R の特徴を探す必要がある。
そうなんだ
完全に同意。で、別の証明を探してようやく見つかった気がする
それを今から書くよ
201:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:15:50.55 1rI4QMvS.net
>>169 関連
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
Yahoo!知恵袋
jmt_maj_aさん 2010/4/26
実数体Rの自己同型は恒等写像に限られる事を示せ。
(ヒント:σを自己同型とする、x＞0ならばx^σ＞0が成り立つ。 それと有理数のちょうみつ性を用いよ）
ベストアンサー以外の回答 dezaike999さん 2010/4/26
1=1*1より、σ(1)=σ(1)*σ(1)
σ(1)≠0だから、σ(1)=1
これより、σは体同型なので、有理数体Ｑ上ではid.である
x>0とする。
x=y^2となるｙがあるから、σ(x)=σ(y)^2>0
従って、x>y→x-y>0→σ(x-y)>0→σ(x)>σ(ｙ)→σは順序を変えない
実数αに対して、αに収束する有理点列{An}をとる
∀ε>0,∃N>0,∀n>Nで -ε<(An-α)<ε
有理数の稠密性より、-ε<r<(An-α)<r'<εなる有理数r,r'がある
σは順序を変えず、Ｑ上ではid.だから、
r<σ(An-α)=An-σ(α）<r'
∴-ε<An-σ(α）<ε
これより、σ(α）=limAn=α
ゆえに、Ｒの自己同型はid.のみである
202:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 19:21:25.33 1rI4QMvS.net
>>188 つづき
ベストアンサーに選ばれた回答 puit578さん 2010/4/26
まず、x^σという書きかたよりσ(x)という書きかたの方が見やすいので、以降、この書きかたで行くことにする。
任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることの証明…※
σ(0)=σ(0+0)=σ(0)+σ(0)より、σ(0)=0となる。
σ(1)=σ(1^2)=σ(1)*σ(1)={σ(1)}^2
σ(1)≠0よりσ(1)=1
任意の正の整数nに対してσ(n)=σ(1)+…+σ(1)=n
また、σ(-n)+σ(n)=σ(-n+n)=0だからσ(-n)=-σ(n)=-nとなる。
よって任意の整数mに対して、σ(m)=mとなることがわかる。
よって任意の有理数s/tに対して (s,tは整数であること、そしてt≠0に注意！)
t*σ(s/t)=σ(t)*σ(s/t)=σ(t(s/t) )=σ(s)=sだから
σ(s/t)=s/tとなることがわかる。
よって任意の有理数s/tに対して、σ(s/t)=s/tとなることが示された （※の証明ここまで）
x＞yのとき、σ(x)-σ(y)={σ(√(x-y) )}^2＞0となるから
σ(x)＞σ(y)となること…○ がいえる。
ある実数zに対してσ(z)＞zとなると仮定する。
有理数の稠密性よりσ(z)＞w＞zをみたす有理数wが存在する。
w＞zだから○よりσ(w)＞σ(z)となる。
ところが※よりσ(w)=wだからw＞σ(z)となるがこれはσ(z)＞wに反し不合理
ある実数zに対してσ(z)＜zとなると仮定する。
有理数の稠密性よりσ(z)＜w’＜zをみたす有理数w’が存在する。
w’＜zだから○よりσ(w’)＜σ(z)となる。
ところが※よりσ(w’)=w’だからw’＜σ(z)となるがこれはσ(z)＜w’に反し不合理
以上より任意の実数zに対してσ(z)=zとなることが示された。
203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:13:59.28 1rI4QMvS.net
>>189 つづき
私、スレ主の証明
１．（記号説明：基本は>>153を踏襲する。）
恒等写像でない同型φ が存在すると仮定する．
204:恒等写像ではないのでφ(s) ≠ s となるs ∈ Rが存在する． φ(s) > s ならφ(－s) = －φ(s) < －s なので，必要なら－s をとることによってφ(s) < sとできる． 有理数体Q は実数体R の中で稠密である．ゆえに φ(s) < a < sとなる有理数a が存在する． ２．同型φは、有理数を動かさないこと、また、線形性>>169（即ち環同型写像（>>16）の性質）は、既知とする ３．同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※ ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある) ４．φ(s) < a < sで、各辺に－aを加えて、φ(s)－a < 0 < s－a となる ５．φ(s－a) ＝φ(s)－a に注意すると、４の後半の不等式は３に反する。（φが(s－a) の符合を変えている！） ６．従って、同型φは恒等写像で無ければならない。 （証明おわり）
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:25:06.22 1rI4QMvS.net
>>190 補足
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
206:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:36:18.95 1rI4QMvS.net
>>125
おっちゃんの証明、正直なにをしようとしているのか、分からなかった
ようやく分かった
ジグソーパズル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジグソーパズルは、1枚の絵を、いくつかのピースと呼ばれる小片に分け、ばらばらにしたものを再び組み立てるというタイプのパズル。
（引用おわり）
ピース一つ一つは、隙間無く綺麗に繋がっている
しかし、それが繋がってどんな絵になっているのか？ それが理解できないと面白くないだろう
証明も同じだ。証明の各ステップは隙間無く綺麗に繋がっている
しかし、それが全体として、どんな絵になっているのか？ その理解なくして、証明が分かったとは言えない
207:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 20:52:14.96 1rI4QMvS.net
>>164より
・Gal(C/R)は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群[1]。
・Aut(R/Q)は自明な群であることが知られている。実際、Rの自己同型は順序を保つことが示せるので、必然的に恒等写像となる。
・Aut(C/Q) は無限群になることが知られている。
の３つセットで理解するのが良いと思うんだ
１つだけでは見えないことが３つセットで見える
なぜ、Aut(R/Q)とAut(C/Q) は違うのか？
（引用おわり）
この３つがセットのジグソーパズル
そう見る方が、美しい絵だろう
208:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 21:30:48.29 1rI4QMvS.net
>>124 ここに戻る
（引用開始）
”天才は卓越した直観力をもつ。それゆえに天才たり
えたのである。しかし天才の直観に基づいた論理は、
常人は容易に受け付けがたい。常人が受け付けられ
るようにするためには天才の直観を論理化する必要
がある。逆説的だが、直観を正当化するために作業仮
説として直観を排する。それが本稿の立場である。”
（引用おわり）
これには反対だ
論理は大事だ。ジグソーパズルに隙間があったり、うまくはまらないピースがあるのはまずい
だが、論理だけでジグソーパズルの各ピースをいくら眺めたところで、全体の絵は理解できない
全体の絵がどうなっているか理解しようとする努力、天才の直観を自分のものにしようとする努力こそ必要不可欠だろう
209:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 21:58:24.12 1rI4QMvS.net
>>193 補足
・Aut(R/Q)とAut(C/Q) との差：結局それは、Rが１次元（数直線）で、Cが２次元（複素平面）であることの差じゃないかな
・一方は２次元の広い自由度が無限群につながる。一方は１次元（数直線）の狭さと順序＆稠密性＆連続性の両立で自由度が無くなり恒等写像のみに
・それに加えて、代数拡大と超越拡大が
・さらに代数拡大全体Q~（代数的数全体の集合で代数閉体）や、不可算無限の超越基底の存在（Zornの補題より） （ここらは本質的にCの世界）
・ここらが、大きなジグソーパズルとして繋がってくる・・
210:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 23:09:28.99 1rI4QMvS.net
>>191 補足
(引用開始)
>同型φは、任意の正の数x∈Rに対し、符合を変えない。即ち0<x→0<φ(x) ※
> ∵√x＝y で、x＝y^2→φ(x)＝φ(y)・φ(y)>0 ※(※の部分で、別の実数の性質、例えば>>188の収束する有理点列{An}を使う手もある)
この部分を、ずいぶん考えた
が、>>188の収束する有理点列{An}を使うような方法しか思いつかなかった
いや、いろいろ思いついたが、結局うまく「符合を変えない」が言えなかったので、ボツにした
(引用おわり)
・そもそも、直感的に、同型φが符合を変えちゃおかしいだろ？
・φはQを動かさないし、RはQによる収束する有理点列{An}で定義されるんだから
・もっと簡単に、「符合を変えない」が言えると思ったけど
・√x＝yなるyが存在してφ(x)＝φ(y)・φ(y)>0をいうのは一番安直だけど、もっとRの本質で「順序を保つ」だけを純粋に使う証明がないかと。
・それは、>>125のおっちゃんの証明をもう少し簡単にした形でと
・が、良い筋が思いつかなかった・・
211:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/25 23:24:54.91 1rI4QMvS.net
>>196 つづき
・Qの代数拡大、例えばQ(√2)。√2と、共役な-√2の入れ替え。２次の拡大で、ガロア群の位数は２。Q(√2)⊂R
・これをどんどん進める・・。拡大次数は上がって、ガロア群の位数も大きくなって、いずれ無限大になる
・しかし、Rに到達したら、まわりががちがちに固まって、恒等写像しか存在しない世界に・・。不思議だろ？
・が、Cと比較することで、その不思議さが少し理解できる気がする。Cは２次元なので、自由度が大きいが、Rは１次元で、自由度が小さいからだと
212:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/26 06:43:04.26 veASCBy2.net
>>197 つづき
・いま、ふと、「Rに到達したら、まわりががちがちに固まって、恒等写像しか存在しない世界に・・」ってことだと、順序＆稠密性＆連続性の３点セットと１次元（数直線）の狭さの両立が、自己同型写像を不自由にしているのかもと
・そうすると、順序だけじゃ証明には不足で、連続が必須か？ あるいは連続までいかない稠密までで証明できるのか？・・・
・連続で１次元（数直線）から、必然的に順序＆稠密性は従う。だから、QからRに向けてどんどん体の拡大を進めて、Rの連続に到達したら、恒等写像しか存在しなくなる。そう理解するのが正しいように思えてきた
・一方、Cの場合は連続に到達しても２次元だから順序は入らない。だから、もっと自由に同型写像を考える余地がある。そう理解するのが正しいように思えてきた・・
213:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/26 06:48:01.75 veASCBy2.net
つづき
>>16はいろいろと考えさせられる良い問題だったね
では
214:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:00:51.12 gRN1Z7RF.net
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
>(cf. Exercise A-8 and solution)
これ見落としていた
A-8
(a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective.
(b) Prove that C is isomorphic to infinitely many different subfields of itself.
A-8. (SOLUTIONS TO THE EXERCISES)P132
(a) A homomorphism α：R→R acts as the identity map on Z, hence on Q, and it maps positive real numbers to positive real numbers, and therefore preserves the order.
Hence, for each real number a,
{ r ∈ Q | a < r} ＝｛ r ∈ Q | α(a) < r};
which implies that α(a)＝ a.
(b) Choose a transcendence basis A for C over Q. Because it is infinite, there is a bijection
α：A→A' from A onto a proper subset.
Extend α to an isomorphism Q(A)→Q(A'), and
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
215:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:16:32.85 gRN1Z7RF.net
>>200
bijectiveは恒等写像とは違うと思う。が、解答は恒等写像・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、
写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
216:In mathematics, a bijection (or bijective function or one-to-one correspondence) is a function between the elements of two sets, where every element of one set is paired with exactly one element of the other set, and every element of the other set is paired with exactly one element of the first set. There are no unpaired elements. In mathematical terms, a bijective function f: X → Y is a one-to-one (injective) and onto (surjective) mapping of a set X to a set Y.
217:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:45:20.05 gRN1Z7RF.net
>>200
homomorphism, isomorphic
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。
構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。
しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。
単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
218:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 22:59:52.87 gRN1Z7RF.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、英: identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、英: identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、英: identity transformation）は、
その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。
集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、英: identity relationである。
219:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:01:44.19 gRN1Z7RF.net
bijective→identity mapping の方が適切だろう・・
220:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:05:06.38 gRN1Z7RF.net
>>200
(b)の方
>then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.
これ、Cの中に代数閉包が無数にあると
そんな話を見た記憶があるが・・
はて、どこだっけ？
221:１３２人目の素数さん
15/04/28 23:08:23.52 wepXvwiM.net
(a)と(b)の対比例が問題なんだからみるねの通りで別にいいんじゃないの
222:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:16:41.80 gRN1Z7RF.net
これ参考になるかな？
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
marble_sagaさん 2008/10/2916:30:30
体Ｌの代数拡大が実数ＲになるようなＬはありますか？
ベストアンサーに選ばれた回答 langping08さん 2008/10/31
略
223:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/28 23:24:04.13 gRN1Z7RF.net
>>204
ども
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
More mathematical examples and some non-examples
で、”The function f: R → R, f(x) = 2x + 1 is bijective,”だと
一方解答>>200は、”which implies that α(a)＝ a”だ
なので、ちょっと違和感ありなんだ
224:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:12:27.30 6XYDeD+q.net
>>208 つづき
そうそう、体の準同型は実は同型というのがあったね。えーと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定義と概要 抜粋
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。
また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。
225:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:24:22.18 6XYDeD+q.net
>>209 つづき
「体の準同型は実は同型」は、エム・ポストニコフ（下記）で読んだ
P40に有限次元の空間の一次変換と見なす（有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合には）ことで
P42にガロア拡大体の場合に一次変換の知識を使わずにきれに証明している
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロアの理論 (1964年) (数学選書) エム・ポストニコフ (著),
226:１３２人目の素数さん
15/04/29 06:29:02.13 YdoQFkzO.net
早起き爺か
227:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:29:34.66 6XYDeD+q.net
>>210 つづき
エム・ポストニコフのように、「有限（そして特別にはガロア）拡大体の場合」するのが正しいか、
wikipediaのように制限を付けずに「体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる」と言い切っていいか
にわかには判断できないが
「体の準同型は実は同型」が結構普通だとすると
やっぱ、「bijective→identity mapping の方が適切だろう・・」>>204と
228:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 06:59:57.13 6XYDeD+q.net
>>212 似たような話が
>>119 の1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory
P36 The Fundamental Theorem of Galois Theory PROPOSITION 3.2に
Because E has finite degree over F , they are automatically isomorphisms.
とあって、関連の Proposition 2.7 がP29で
(b) If E and Ω
are both splitting fields for f , then each F -homomorphism E →
Ω is an
isomorphism. In particular, any two splitting fields for f are F -isomorphic.
とあったね
なんとなく、エム・ポストニコフのように制限を付けるのが正しいそうだね
ともかく、>>200に戻ると
Proposition 2.7の表現と、A-8 (a) Show that every field homomorphism from R to R is bijective. とを比較すろと
bijectiveをF -isomorphicより強く恒等写像の意味で使っているかも・・
しかし、Milne P27 Maps from simple extensions.で
An F -isomorphism is a bijective F -homomorphism.
An F -homomorphism E → E' of fields is, in particular, an injective F -linear map
of F -vector spaces, and so, if E and E' have the same finite degree over F , then every
F -homomorphism is an F -isomorphism.
だから、やっぱり違和感ありだね
229:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 07:05:36.86 6XYDeD+q.net
>>211 早起きは三文の得だよ
230:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:22:46.96 6XYDeD+q.net
>>205 関連
前にも引用した気がするが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。
ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつ[1][2][3]ことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。
この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。
体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。
このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。
K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。
なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。
体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である[3]。
例
・代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。
・有理数体の代数的閉包は代数的数体である。
・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
・元の個数が素数のベキ q である有限体の代数的閉包は可算無限の濃度をもつ体であって、各正整数 n に対して位数 qn の体のコピーを含む（実はこれらのコピーの和集合である）[4]。
231:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:26:55.30 6XYDeD+q.net
>>215
>・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
「可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。」はいいんかい？
非加算じゃないのか？
232:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:32:38.71 6XYDeD+q.net
英文
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Examples
There are many countable algebraically closed fields within the complex numbers,
and strictly containing the field of algebraic numbers; these are the algebraic closures of transcendental extensions of the rational numbers, e.g. the algebraic closure of Q(π).
233:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:37:08.66 6XYDeD+q.net
英文の訳か
超越数が非加算無限存在するから、
then extend it to an isomorphism C→C' where C' is the algebraic closure of Q(A') in C.>>205
で、超越拡大Q(A')は非加算？
こんな話はさんざんして来た気がする・・
234:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 09:50:15.73 6XYDeD+q.net
>>141だったね
・”体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。”から
・「拡大体の場合、直和で考えて、加算集合の加算無限次元ベクトル空間は常に加算」？
・で、拡大体の場合、「対偶で、非加算なら加算集合に対しては非加算無限次元ベクトル拡大でなければならない」となる
が正しいとすれば、Qの代数拡大の全てから成る拡大体Q~（代数閉包）からC（複素数体）への拡大（超越拡大）は、非加算無限次元ベクトル拡大
とすれば、基底となる超越数（超越基底）は、非加算なるべし
それら超越基底を使えば、超越拡大Q(A')は非加算なるべし？
だよね
235:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 10:01:37.18 6XYDeD+q.net
>>119
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
1.^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.（上記に同じ）
P113
REMARK 9.18 What are the automorphisms of C?
There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
then α defines an isomorphism Q(A)→Q(A) that can be extended to an automorphism of C.
Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2
1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
(see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.
ようやくこれが読めてきた・・
236:１３２人目の素数さん
15/04/29 10:36:46.26 gFNPRser.net
スレ主さんガロア理論以外の勉強しようよ
237:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 11:55:22.10 6XYDeD+q.net
例えばどんな？
238:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 12:02:53.75 6XYDeD+q.net
>>220
>What are the automorphisms of C?
>There are only two continuous automorphisms (cf. Exercise A-8 and solution).
>If we assume Zorn’s lemma, then it is easy to construct many: choose any transcendence basis A for C over Q, and choose any permutation α of A;
下記だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。
しかし、（選択公理を前提とすると、）無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。
（引用おわり）
only two＝自明と、非自明な自己同型 複素共役の二つ
Zorn’s lemmaと選択公理は、同等（同じ結果を導ける）だから、「無限個（非可算個の）「ワイルド」な自己同型が存在する」と
239:１３２人目の素数さん
15/04/29 14:01:31.76 gFNPRser.net
>>222
多様体
240:１３２人目の素数さん
15/04/29 14:12:03.56 0XhIb4uQ.net
>>222
え～っと、スレ主の目的に適うようなカリキュラムだと、大体次の順序。
(1)、線型代数、微分積分、集合・位相、簡単な物理、
(2)、群論(必ずしも有限群論とかまで深入りする必要はない)、
1変数複素解析、簡単な常
241:微分方程式を解くこと、 (3)、環と体、実解析、 (4)、ガロア理論。 こんな感じの順序。並行してやってもいいから、しっかり(基本の(1)はハマる位までに)学習すること。 物理は学習した方がいいと思うが、必ずしもしなくていい。
242:１３２人目の素数さん
15/04/29 14:22:16.30 0XhIb4uQ.net
>>222
ホモがする代数も(3)に入るか。
243:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:32:23.84 6XYDeD+q.net
>>220
>Without Zorn’s lemma, there are only two, because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1 and it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2
> 1) A fairly elementary theorem of G. Mackey says that measurable homomorphisms of Lie groups are continuous
> (see Theorem B.3, p. 198 of Zimmer, Robert J., Ergodic theory and semisimple groups. Birkh¨auser,1984.)
> 2)“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...” R. Solovay, Ann. of Math., 92 (1970), 1?56.
１）there are only two：ここは上記の自明と、非自明な自己同型 複素共役の二つ
because the noncontinuous automorphisms are nonmeasurable,*1：”measurable homomorphisms of Lie groups are continuous”の対偶だね。Lie groupsなんだ・・
２）it is known that the Zorn’s lemma is required to construct nonmeasurable functions.*2：
“We show that the existence of a non-Lebesgue measurable set cannot be proved in Zermelo-Frankel set theory (ZF) if use of the axiom of choice is disallowed...”
the Zorn’s lemmaとthe axiom of choiceとの同等性は既知としている。
３）Non-measurable set
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
つづく
244:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/04/29 14:37:44.79 6XYDeD+q.net
>>227
つづき
In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.
The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable.
The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets.
These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.
In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
つづく