16/06/01 21:57:22.99 vM4jWjoT.net
「順序集合 A の任意の鎖に対しその上界が存在するならば、 A の極大元が存在する。」
この定理のイメージが全くわかないのですが、一体何がいいたいのでしょうか？
953:１３２人目の素数さん
16/06/01 22:36:27.30 bqLK9gid.net
レス乞食
954:１３２人目の素数さん
16/06/01 23:00:18.31 xzh7LKo5.net
日本人は全員生きる価値のないクズ
955:１３２人目の素数さん
16/06/02 01:13:03.65 iHCl5Ev7.net
ゴミ
956:１３２人目の素数さん
16/06/02 07:04:19.02 LJU8ymXA.net
以下の画像で、Zornの補題「順序集合 A の任意の鎖に対しその上界が存在するならば、 A の極大元が存在する。」
を使って、任意の集合に対し、その上の全順序が存在することが証明されています。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
1枚目の画像の赤いラインを引いたところがよく分かりません。
K の任意の鎖を { <V_i, ≦_i> | i ∈ I } と書いていますが、なぜこのように
書けるのでしょうか？
そもそも添え字の集合 I が何かが書かれていません。
この I とは何なんでしょうか？
957:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:31:13.48 SPWiTkRI.net
￥
>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
958:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:31:33.08 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
959:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:31:52.10 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
960:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:32:13.04 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
961:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:32:32.59 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
962:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:32:52.02 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
963:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:33:08.77 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
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16/06/02 07:33:32.63 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
965:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:33:51.98 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
966:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 07:34:11.75 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
967:１３２人目の素数さん
16/06/02 08:31:11.61 cXAmm21x.net
>>904
すいません、どうしたらよくわかんなくて…
968:１３２人目の素数さん
16/06/02 11:06:31.16 LJU8ymXA.net
>>927
K の任意の鎖（K の任意の全順序部分集合）を I を使って、
{ <V_i, ≦_i> | i ∈ I } とあらわせるのはなぜでしょうか？
I について書いてありませんが、これは何ですか？
969:１３２人目の素数さん
16/06/02 12:28:47.83 LJU8ymXA.net
>>927
≦_1 と ≦_2 の両方が U_1 ⊂ B の全順序の場合、
<U_1, ≦_1> ∈ K
<U_1, ≦_2> ∈ K
となるのでしょうか？
970:１３２人目の素数さん
16/06/02 12:35:45.74 LJU8ymXA.net
>>927
は集合論特有の怪しげな証明に見えますが、何かに役立ったりするのですか？
971:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:36:20.39 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
972:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:37:02.79 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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973:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:37:21.50 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
974:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:37:37.21 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
975:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:37:54.26 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
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>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
976:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:38:10.08 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
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977:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:38:24.20 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
978:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:38:47.66 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
979:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:39:04.86 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
980:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 12:39:24.64 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
981:１３２人目の素数さん
16/06/02 13:13:27.10 iHCl5Ev7.net
>>938
どういう定義を使ってるかで答は変わる
>>939
濃度が同じ集合があればインデックスに出来る
一番簡単な例はその集合自身、その場合はインデックスを使う必要は無いが
その書き方が分かり易いと思って使ったのか、後で理解度を試すための仕込みなのか
あるいは最初に書いた人の仕込みが孫引きで無意味になったか？
982:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 13:22:40.77 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
983:１３２人目の素数さん
16/06/02 13:53:31.80 LJU8ymXA.net
>>952
ありがとうございました。
結局、証明の前半部分では、 V が { <V_i, ≦_i> | i ∈ I } の上界だということが
言いたいんですよね？
明示的に V が { <V_i, ≦_i> | i ∈ I } の上界だとは書いていないのが不親切だと思います。
984:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/02 14:06:27.87 SPWiTkRI.net
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>性犯罪者の増田哲也（50歳・東京都足立区千住寿町）が
>8月4日にＪＲ牟岐線の列車内で、午後4時20分ごろから約50分にわたり、
>徳島県内の女性（21歳・専門学校生）の胸や太ももなどを触った疑いで、
>8月5日未明、県迷惑行為防止条例違反（痴漢行為）容疑で徳島県警阿南署に
>逮捕されました。
>
>性犯罪者 増田哲也の供述
>「夏休み期間に、講演活動を兼ねて旅行していた。好みの女性だったのでムラムラした」
>
985:１３２人目の素数さん
16/06/02 18:21:32.38 iHCl5Ev7.net
>>927
この定理は順序の定義を全て集合で構成すれば簡単になる
というわけで練習問題：
集合による順序の定義を使って定理を証明せよ
集合による順序の定義とは
x≦y の定義を順序対＜x,y＞が適当な順序対の集合Rに含まれる事とする
x≦y ↔ ＜x,y＞∈R
986:１３２人目の素数さん
16/06/02 20:23:12.32 Ft6ApOvA.net
日本人は全員ゴミ
987:１３２人目の素数さん
16/06/03 12:47:38.33 Ttv7XYjH.net
>>906 ありがとうございます
988:１３２人目の素数さん
16/06/04 14:48:19.78 mGRwFwUD.net
<A, ≦_A>, <B, ≦_B> を整礎順序集合とする。
辞書式順序集合 A×B も整礎順序集合であることを証明せよ。
この証明は以下であっていますか？
989:１３２人目の素数さん
16/06/04 15:24:33.27 mGRwFwUD.net
【証明】
以下の定理4.1を使い、背理法で証明する。
定理4.1：
集合 A 上の2項関係 R が整礎であるための必要十分条件は、 A の要素の列 <a_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対し、
a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるものは存在しないことである。
辞書式順序集合 A×B が整礎順序集合ではないと仮定する。
定理4.1よ
990:り、 A×B の要素の列 <(a_n, b_n) | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対し、 (a_(i+1), b_(i+1)) < (a_i, b_i) となるものが存在する。 明らかに、すべての i ∈ N に対して、 a_(i+1) ≦ a_i が成り立たねばならない。 そして、任意の自然数 k ≧ j に対して、 a_(k+1) = a_k となるような j ∈ N が存在しなけらばならない。 もしそのような j が存在しないと仮定すると、 任意の j ∈ N に対して、 k ≧ j かつ a_(k+1) < a_k となるような自然数 k が存在することになる。 k ≧ j だから、 a_(k+1) < a_k ≦ a_j である。 したがって、A の要素の列 <c_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対して、 c_(i+1) < c_i となるものが 存在してしまうことになり、定理4.1により、 A は整礎ではないことになってしまい矛盾が起きる。 よって、任意の自然数 k ≧ j に対して、 a_(k+1) = a_k となるような j ∈ N が存在しなけらばならない。 以上より、 任意の自然数 k ≧ j に対して、 a_(k+1) = a_k かつ、 (a_(k+1), b_(k+1)) < (a_k, b_k) となるような j ∈ N が存在する。 辞書式順序の定義より、任意の自然数 k ≧ j に対して、 b_(k+1) < b_k となるような j ∈ N が存在することになる。 すると、 B の要素の列 <d_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対して、 d_(i+1) < d_i となるものが 存在してしまうことになり、定理4.1により、 B は整礎ではないことになってしまい矛盾が起きる。 以上より、辞書式順序集合 A×B は整礎順序集合である。 【証明終わり】
991:１３２人目の素数さん
16/06/04 17:08:32.02 aCCZDxHA.net
あってる
992:１３２人目の素数さん
16/06/04 17:38:47.36 mGRwFwUD.net
>>961
ありがとうございました。
993:１３２人目の素数さん
16/06/04 20:17:51.94 mGRwFwUD.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
↑の一般化二項係数についての画像の一番下のところに、以下のように書いてあります。
---------------------------------------------------
n：正整数
1/(1-x)^n = (1-x)^(-n) = Σ_{k=0}^{∞} -nCk * (-x)^k = Σ_{k=0}^{∞} (n+k-1)C(n-1) * x^k
k = 0 のときに、一般化二項係数の定義にしたがって計算すると、
-nCk = 0
となります。
一方、
(n+k-1)C(n-1) = (n-1)C(n-1) = 1 ≠ 0
となります。
ですので、 x の係数が一致しません。
n = 1のときを考えると、
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + …
ですから、k = 0 のときに -nCk = 0 というのがおかしいのではないかと思います。
正しい、一般化二項係数の定義は何でしょうか？
ちなみに、この本の著者は数学者ではなくアルゴリズムの専門家です。
994:１３２人目の素数さん
16/06/04 20:20:41.74 +z4EBt+W.net
日本人は全員ゴミ
995:１３２人目の素数さん
16/06/04 20:22:22.09 mGRwFwUD.net
-nCk
は、
(-n)Ck
と書くべきでした。
996:１３２人目の素数さん
16/06/04 23:38:04.34 +z4EBt+W.net
日本人は全員生きる価値のないクズ
997:１３２人目の素数さん
16/06/05 00:35:38.56 y6zUh7sE.net
とクズが言う
998:１３２人目の素数さん
16/06/05 00:47:00.08 jQckS8Bu.net
杉浦解析を薦められるままに購入したのですが、Hesse行列が載っていなくて困っています
小平の解析入門には載ってますか？
もしくは別に良い教科書はありますか？
999:１３２人目の素数さん
16/06/05 01:46:00.77 xn70RuH0.net
重回帰モデルの係数が全て0であることをF検定するところで
帰無仮説H0(係数が全て0)のもとで、
回帰平方和/σ^2と残差平方和/σ^2は互いに独立にχ^2(p),χ^2(n-p-1)に従うとあるのですが(pは説明変数の数)
H0のもとでの残差平方和って((係数の予測値-真の係数の値)+誤差項)^2ですからσ^2で割ってもχ^2分布に従わないのではと思ってしまったのですがなぜχ^2分布に従うのでしょうか？
これがわかれば総平方和が自由度n-1のχ^2分布に従っているのはわかりますから、χ^2分布の再生性から回帰平方和が自由度pのχ^2分布に従っているのがわかるのですが…
1000:１３２人目の素数さん
16/06/05 14:14:38.20 3R0gafSZ.net
以下の構造帰納法について質問があります。
数学的帰納法のいわゆるBase Caseにあたる部分がないと思いますが、
それでも A のすべての要素 z に対し P(z) が成り立つことが言える
のでしょうか？
構造帰納法：
R を集合 A 上の整礎な関係とする。
P(x) を A の要素 x についての性質とする。いま x R y かつ x ≠ y となる
すべての x について P(x) が成り立つという仮定から、 p(y) が成り立つことが
導かれるとする。このときには、 A のすべての要素 z に対し P(z) が成り立つ。
1001:１３２人目の素数さん
16/06/05 15:57:27.18 y6zUh7sE.net
基礎でなかったら成り立たない例は簡単に作れる
基礎なら空集合がBase Caseにあたる
1002:１３２人目の素数さん
16/06/06 01:05:26.75 fk4i0h
1003:hd.net
1004:１３２人目の素数さん
16/06/06 12:18:15.32 7BpBxd+J.net
構造帰納法：
P(x) を A の要素 x についての性質とする。いま x R y かつ x ≠ y となる
すべての x について P(x) が成り立つという仮定から、 P(y) が成り立つことが
導かれるとする。このときには、 A のすべての要素 z に対し P(z) が成り立つ。
>>971-972
ありがとうございました。
x R y かつ x ≠ y となるすべての x について P(x) が成り立つ
⇒
P(y) が成り立つ
を証明しようとすると、結局、Base Caseを証明しなければならないんですね。
y を A の R 極小元とすると、
{x ∈ A| x R y かつ x ≠ y} = φ
だから、x R y かつ x ≠ y となるすべての x について P(x) は成り立つ。
したがって、
x R y かつ x ≠ y となるすべての x について P(x) が成り立つ
⇒
P(y) が成り立つ
を証明しようと思うと、すべての A の R 極小元 y について P(y) が成り立つことを証明しなければならない、
つまり、Base Caseを証明しなければならないわけですね。
1005:１３２人目の素数さん
16/06/06 12:55:16.41 7BpBxd+J.net
今、読んでいる本で分からない箇所にまた出くわしました。
まず、その本には、
------------------------------------------------------------------
集合 A 上の順序 ≦ が整列になるための必要十分条件は、
A の空でない任意の部分集合 B に必ず（ ≦ に関する）最小元が存在する
ことである。
------------------------------------------------------------------
と書いてあります。その後に、
------------------------------------------------------------------
定理4.2
<A, ≦> を整列順序集合とする。任意の要素 a ∈ A に対し、 a0 ≦ a となる
A の極小元 a0 が存在する。
------------------------------------------------------------------
と書いてあります。そして、その証明が以下の画像のように書かれています：
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
そこで、質問です。
なぜ、↑のようにわざわざ証明をしているのでしょうか？
「<A, ≦> は整列順序集合だから、最小限 m が存在する。
a0 := m とすればよい。」とだけ書けば済むと思うんです。
1006:１３２人目の素数さん
16/06/06 14:25:49.65 7BpBxd+J.net
すみませんが、またまた質問があります。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
↑の画像の(2) ⇒ (1)が今読んでいる本では証明が省略されているので、自分で証明を試みました。
ただ、すこし自信がありません。
証明は以下で、あっているでしょうか？
1007:１３２人目の素数さん
16/06/06 14:26:19.85 7BpBxd+J.net
R を集合 A 上の二項関係とする。このとき
2) R に関する構造帰納法が成立すると仮定する。
⇒
1) R は整礎である。
【証明】
以下の定理4.1を利用して証明する。
定理4.1：
集合 A 上の2項関係 R が整礎であるための必要十分条件は、 A の要素の列 <a_n | n ∈ N> ですべての i ∈ N に対し、
a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i となるものは存在しないことである。
A の任意の要素 x に対して、 a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i
となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在しないことを R に関する
構造帰納法により証明する。
x R y かつ x ≠ y となるすべての x について、
a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i
となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在しない
と仮定する。
このとき、
a_0 = y、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i
となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在すると仮定すると
矛盾が起きることを以下で示す。
x := a_1
b_i := a_(i+1) (i = 0, 1, …)
とおく。
仮定により、 x R y かつ x ≠ y であり、
b_0 = x、 b_(i+1) R b_i かつ b_(i+1) ≠ b_i
であるから、
「x R y かつ x ≠ y となるすべての x について、
a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i
となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が
存在しない」という仮定に反する。
よって、
a_0 = y、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i
となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> は存在しない。
以上より、構造帰納法により、 A の任意の要素 x に対して、
a_0 = x、a_(i+1) R a_i かつ a_(i+1) ≠ a_i
となるような A の要素の列 <a_n | n ∈ N> が存在しないことが
示された。
定理4.1により、 R は整礎である。
【証明終わり】
1008:１３２人目の素数さん
16/06/06 16:56:13.90 fk4i0hhd.net
>>976
合ってるけど、その定理4.1は従属選択公理を使わないと
導けないので、あまり好きではない。
基本的に、点列の議論に落とし込むときには、
そこで従属選択公理が必要になることが多い。
点列の議論をしなくても、 構造帰納法⇒整礎 は導ける。
1009:１３２人目の素数さん
16/06/06 17:32:30.55 cSauNd7/.net
選択公理のない整列集合って意味あるのか？
1010:１３２人目の素数さん
16/06/06 17:45:31.42 7BpBxd+J.net
>>977
ありがとうございました。
選択公理は何が言いたいのかよく分かっていません。
勉強してみようと思います。
1011:１３２人目の素数さん
16/06/06 21:32:07.78 fk4i0hhd.net
>>979
点列は帰納的な手順で構成するのが一般的。
しかし、a_1,…,a_i までの点列が構成できたときに、
a_{i＋1}をどうやって選び出すのかが問題になる。
a_{i＋1}の候補が保証されていても、その候補の中から
1つ選び出さなければならない。普通はそこで、
従属選択公理が必要になる。
1012:１３２人目の素数さん
16/06/07 18:10:03.50 y24GgR47.net
>>980
ありがとうございます。
選択公理がなぜ必要なのかが理解できません。
選択公理が本当に必要なことを理解するには、選択公理が他の公理から独立である
ということの証明を読まなければならないのでしょうか？
それと、他にも無意識的に使っているが公理としなければならないものがあるのでは
ないかと考えてしまいます。
1013:１３２人目の素数さん
16/06/07 19:06:53.44 EgoicPeA.net
>>981
定理4.1の証明に従属選択公理が「必須」であることの証明は、実は俺も知らない。
定理4.1のような、点列に関する議論を普通に行うと、
「どうしても従属選択公理を使ってしまう」という経験則は知っている。
なぜなら、点列の構成においてa_{i＋1}を作るときに、実際にそこで1つ
元を選び出さなければならず、その行為はまさに属選択公理だからだ。
一般に、可算無限回の手続きがあって、その中の各ステップで1つずつ
何かを選び出しているとき、その行為は従属選択公理そのものである。
1014:１３２人目の素数さん
16/06/07 19:07:31.61 BSGTwmRQ.net
証明じゃなくググって説明を読め
探せば納得できる説明も見つかるだろ
1015:１３２人目の素数さん
16/06/07 20:55:30.48 M0ITkbib.net
ある条件を満たすものが存在する（もしくは、ある集合が空でない）という仮定の下で
その条件を満たすもの（その集合の元）をaと表して、aに関して議論する
これは数学の証明で当たり前に行われている推論方法の一つ
ただし、証明はこのような推論の有限回の積み重ねでなければならない
無限に長い証明というものは認めない
件の点列の議論をそのまま読むと
「ある条件を満たすものをa_1と表す」 「別のある条件を満たすものをa_2と表す」 「そのまた別のある条件を満たすものをa_3と表す」 …
というように無限回の推論を行っていることになり、このままでは証明として正当化できない
そこで、この種の議論を正当化するために
「空でない集合からなる集合族(A_i)があるとき、各集合A_iから元を一斉に選び出す写像fの存在を保証する
つまりf(A_i) = a_i ∈ A_i」
という選択公理を認めることにより、件の点列の議論を疑似的に正当化する
1016:１３２人目の素数さん
16/06/07 21:31:45.89 BSGTwmRQ.net
ところで、無限推論を認めると矛盾する例ってあったかな？
1017:１３２人目の素数さん
16/06/07 22:16:22.12 J28iYUpe.net
おばかさんなんで、
従属選択公理と可算選択公理の違いがわかりません。
教えて、えらいひと。
選択公理と可算選択公理の違いは、わかります。
1018:１３２人目の素数さん
16/06/07 22:23:25.59 +hi5ZoTT.net
次スレだけど高校範囲はすでにあるから
大学学部レベル質問スレにしない？
1019:１３２人目の素数さん
16/06/07 22:32:56.71 Dv9Gubi0.net
埋め
1020:１３２人目の素数さん
16/06/07 22:48:29.40 +hi5ZoTT.net
次スレ
大学学部レベル質問スレ 2単位目 [無断転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1021:１３２人目の素数さん
16/06/08 13:13:27.58 4DqAgVj4.net
>>986
「必要なとき」と「一斉に」
1022:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:52:50.44 qOgoDwjT.net
￥
1023:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:53:09.66 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:53:28.74 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:53:47.50 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:54:06.46 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:54:24.15 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:54:42.29 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:55:12.07 qOgoDwjT.net
￥
1030:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:55:32.53 qOgoDwjT.net
￥
1031:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:55:52.80 qOgoDwjT.net
￥
1032:１３２人目の素数さん
16/06/08 23:02:07.52 rB7pydo1.net
猫埋め
1033:１３２人目の素数さん
16/06/09 00:19:58.73 QYPhPqLC.net
猫しぐさ
1034:1001
Over 1000 Thread.net
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