高校～大学学部レベル質問スレat MATH
高校～大学学部レベル質問スレ
- 暇つぶし2ch167:142" target="_blank">>>142 E_{n,k}、n≧1,k≧0は可算集合になって、特性関数χ_{n,k}、n≧1,k≧0が取る値は0に限るから、 g_n(x)≦f(x)≦h_n(x) for all n≧1,x∈X の部分が nχ_∞(x)≦f(x)≦∞χ_∞(x) for all n≧1,x∈X と書ける。 以下、可測関数f：X→[0,+∞]が上に有界として話を進める。Xの特性関数χ_∞について或るx∈Xに対してχ_∞(x)＝1とすると、 n→+∞のときnχ_∞(x)→+∞になり矛盾が生じるので、任意のx∈Xに対してχ_∞(x)＝0になる。 なので、fが可算な可測集合Xを考えていることになって、nχ_∞(x)≦f(x)≦∞χ_∞(x) for all n≧1,x∈X の部分はf(x)＝0 for all x∈Xになる。そんな訳で、少なくとも上に有界で非可算な可測集合X上で定義される 可測関数f：X→[0,+∞]のときを考えていないことになる。
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