15/03/21 20:35:04.29 ooXUMShZ.net
>>621
”群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る”ですか。なるほど
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) （抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
定義
環 R の部分集合 I が、加法群としての部分群であり、R のどの元を左からかけても、また I に含まれるとき、I を左イデアル (left ideal) という。
同様に任意の R の元を右からかけたものが I に含まれるとき、I を右イデアル (right ideal) という。
言い換えると、R の部分集合 I が左（右）イデアルであるとは、I が R の左（右）加群としての部分加群であることをいう。
左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two?sided ideal) または単にイデアルという。
R が可換環である場合はこれらの概念は全て一致するため、単にイデアルと呼ばれる。
以下に述べるように、群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る。
I を環 R の両側イデアルとする。
a \sim b \iff a - b \in I
によって二項関係 ～ を定義すると、これは同値関係になる。この同値類には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。
新しく作られたこの環を R のイデアル I による剰余環と呼び、R/I と書く。商環と呼ばれる場合もある。
環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。すなわち、
f : R 1 → R 2 が準同型ならば、R 1 の核による剰余環 R 1/Ker f は準同型の像 Im f と同型である。