15/03/14 14:37:27.10 FEJE1Jnz.net
well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。
複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。
だがしかし、複雑な対象を簡略化したからと言って、その対象は本質的には全く簡単になっていない。
なぜなら、複雑だった部分は、同値類によってその内部に隠蔽されてしまっただけだからだ。
その隠蔽された複雑性は、どこかで「再出現」するのであり、再出現した段階で
真正面から相手にせざるを得ない。
では、その複雑性は、具体的にはどこで「再出現」するのか。
たとえば、その同値類を定義域とする何らかの写像 f を定義したとしよう。
すると、定義域が「同値類」であるがゆえ、f が well-defined であるかどうかが
大きな問題となる。
もう分かるだろう。隠蔽された複雑性は、well-defined 性を示す場面において
「再出現」するのである。
したがって、「 well-defined に興味を持たない 」とは、「対象の複雑性から逃げている」
ことを意味する。それはすなわち、対象そのものについて真正面から向き合っていないことを意味する。
それでは数学を勉強している意味が無い。
種々の写像について、それが well-defined であることは自力で証明して然るべきである。
また、それが示せたならば、対象の複雑性を克服できたということである(…というのは言い過ぎではあるが)。