現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 - 暇つぶし2ch577:自然数全体の集合 ω を入れると、 ??0 < 2^ ??0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を非可算集合（uncountable set）と呼びます。また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。証明は省略しますが、無限濃度に関して、 α を無限濃度、 β を濃度として、以下の定理が成り立ちます。・β ≦ α ⇒ α + β = α ・0 < β ≦ α ⇒ αβ = α ・n を非0の自然数として、 α^n = α ・α < 2α ・2 ≦ β ≦ α ⇒ 2^α = β^α まとめると、 2 ≦ β ≦ α であるような濃度 β に対し、 α + β = αβ = α < 2^α = 3^α = ? = β^α となり、見ての通り、有限濃度（＝自然数）の場合と大きく異なります。

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