15/03/14 00:21:39.61 1ktc1FSG.net
>>503
well-difined ね
”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
>>423 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) の後があった・・「代入原理と呼ばれる条件」（下記だね）
例
例えば、写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件
a = b → f(a) = f(b)
を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。
鎖複体の射からホモロジー（これは鎖複体から定まるある商加群である）の間の準同型が誘導されるが、このときも well-defined 性が問題になる。
上述の一意性に加え、写像の行き先が実際に終域に入っていることを確かめなくてはならない。
（引用おわり）
余談だが、英文では、３つに分けて説明しているね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-defined functions
Operations
Well-defined notation
556:１３２人目の素数さん
15/03/14 00:23:05.43 EELCrdHf.net
数少ない支援者の後藤さんを応援してあげてよｗ
557:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 05:53:01.88 1ktc1FSG.net
>>520
どうも。スレ主です。
ID:EELCrdHfさんか
後藤さんとは、>>417を出題した人のことかな？
君は、>>488で「後藤さんよかったね、おめ☆ 」と書いていたね
が、>>356では「後藤さん張り切ってるね」で、後藤さん＝”おっちゃん”と読める
はて？ 両者は別人だろう？
まあ、ともかく、>>417の出題者と、”おっちゃん”とが、支援者というのは納得です
558:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 06:03:04.26 1ktc1FSG.net
>>519
well-difined は、はっきりさせておきたい
ここは初学者も来るからね
wikipedia にあるように
「写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)
を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。」と
つまりは、well-defined 性とは、代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)が成り立つかどうかと
英wikipedia では
Well-defined functions
All functions are well-defined binary relations: if there exist two ordered pairs in the function with the same first coordinate, then the two second coordinates must be equal.
More precisely, if (x,y) and (x,z) are elements the function f, then y=z.
Because the output assigned to x is unique in this sense, it is acceptable to use the notation f(x)=y (and/or f(x)=z) and to take advantage of the symmetric and transitive properties of equality.
Thus if f(x)=y and f(x)=z, then of course y=z.
An equivalent way of expressing the definition above is this: given two ordered pairs (a,b) and (c,d), the function f is well-defined iff whenever a=c it is the case that b=d.
The contrapositive of this statement, which is equivalent and sometimes easier to use, says that b≠d implies a≠c.
In other words, "different outputs must come from different inputs."
In group theory, the term well-defined is often used when dealing with cosets, where a function on a quotient group may be defined in terms of a coset representative.
Then
559: the output of the function must be independent of which coset representative is chosen.
560:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 06:39:39.82 1ktc1FSG.net
>>522 つづき
英wikipedia の記述が難しく、意味がとれないところがあるが（英文だしね）（＾＾
日wikipedia の”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”を正としよう
で、私がやったことは、まさにこれ（日wikipedia ）
>>461で、「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする と
そして、「Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる） 」を証明した
次に、>>462で、整列可能定理と剰余類別 G/Nも一意（正規部分群だから）を示した
この方針は、>>447に書いた、（部分群Hに対して）「一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。」によった
で、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
↓↑
”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”
（同値）が言えるのかね？
>>478で述べたように、私は（一意対応）を直接示したから、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている と（つまり一意対応から、「積も一意」はすぐ示せる）
が、問題は「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」→（一意対応）が言えるのか？
gNの定義をしっかりしていれば言える？ でも、gNの定義の過程で代入原理 a = b → f(a) = f(b) （一意対応）を先に示してしまえば、そこで終わってる話と思うのだが・・
561:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 07:02:02.51 1ktc1FSG.net
>>474 ハメル基つづき
ちょっと考えたことがあるので、書いておく
１．ハメル基の話は、代数拡大で、ベクトル空間の基底の概念の特別な場合であると。つまり、体の話
２．それを、今の問題の”複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}”に持ち込んで、どう使うのか？ さっぱり筋が浮かばない（筋違い？）
３．さらに言えば、代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論を参照）、可算集合であるという
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に代数学における代数的数とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~（本当はQの上にバーがついているが、書けないのでこれで）と表す。
Q~の性質
Q~は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。
また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、Q~ は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、Q~を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。
集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、Q~ が可算集合であることを証明した。
その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。
562:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 08:01:27.18 1ktc1FSG.net
>>524 つづき
１．繰り返すが、"代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論）、可算無限集合"だと
２．つまり、現代ガロア理論で言えば、Q~は無限次元のベクトル空間で、その次元は可算無限。だから、集合Q~の基底は可算無限
３．同様に、実数Rを有理数体Qの無限次元の拡大体と考えて、その基底がハメル基
４．が、その次元は連続無限。だから、その基底（ハメル基）も連続無限
５．当然、ハメル基を具体的に構成することは、２１世紀数学でもまだできない。
（∵（wikipedia 「代数的数」より）”代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、
オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。”という現状だから）
６．ハメル基の存在は、>>4
563:70 藤岡敦に証明がある。（整列定理と超限帰納法を用いて）（但し、ｎは有限だが、ハメル基は連続無限あることへの言及がないのは残念だ） ７．まあ、要は代数的数全体からなる集合Q~の可算無限拡大の延長に、実数Rのハメル基なるものの存在があると。但し、”ｎは有限”に重みがあるように思うのだが これが、私のハメル基の理解 下記mathoverflowを読むと、内容はあまり理解できないが、日本の（一般向け）掲示板とはちょっとレベルが違う気がする http://mathoverflow.net/questions/46063/explicit-hamel-basis-of-real-numbers Explicit Hamel basis of real numbers edited Nov 16 '10
564:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 08:53:55.68 1ktc1FSG.net
>>219-220 ここに戻る
対角線論法にはまっていた
むずかった
が「自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人」が面白かった
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
(抜粋)
良く知られているカントール（Cantor, G., 1845-1918）の対角線論法は，はじめに述べたラッセルのパラドックスと大変良く似た構造を持っている．
定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意
の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．
証明はラッセルのパラドックスに用いられたのとほとんど同じ論法による．X を
集合とし，m : 2X → X を単射としよう．ここで，X の部分集合R を，
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not∈ A}
と定義しよう．問題は，m(R) がR に属するかどうかである．
（引用おわり）
ここが分からんかった
余談だが、自己言及というより、自己否定言及だと思うんだよね
「私のいうことはうそです」と・・。１）「」内が正しいと、「」内はうそで「」内が否定される。２）一方「」内が否定されると、「」は正しく「」内が肯定される。
「私はうそは申しません」は、自己言及だが、数学の証明には使えない・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
池田勇人
1960年11月20日の第29回総選挙に先立っては自ら自民党のテレビCMに登場して、本音しか言えない池田というイメージを逆手に取って「私はウソは申しません」と言い切った。
565:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 09:04:47.23 1ktc1FSG.net
つづき
>>220の渡辺 治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW が良い
P4 2 進数αを使った説明が良い
”この対角線論法は，無限長2 進列の無限集合A （ただし，要素を並べることができるもの）に対し，それに入らない無限長2 進列を作る方法である．
その議論でのポイントは，
(i) A の要素（無限長2 進列）を並べた表を作り，
(ii) その対角線の値（0 または1）を反転させた無限長の2 進列としてαを定義する，
の2 点である．
このようにすると，A に入らない2 進列α の構成が可能になるのである．”
これ、べき集合の>>526”定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．”
の説明になっている
上で構成した、A に入らない2 進列αを使って、定理1の証明（自己否定言及）にもってゆくのかなーと
566:１３２人目の素数さん
15/03/14 09:14:27.21 1ktc1FSG.net
>>527 つづき
下記のような理由があり、2 進数による証明は、べき集合に容易に拡張できる・・かな
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
567:rikei-index01/syugou/syugou4.html 集合の基本４（べき集合、直積など） (抜粋) 定義 （ べき集合 ） Ｘ を集合とする。 Ｘ の部分集合全体を 『 Ｘ のべき集合 』 といい、２^Ｘ と表す。 すなわち、２^Ｘ＝｛ Ａ | Ａ⊂Ｘ ｝である。 べき集合の元の数は２のべき乗になる。 例えば、上の例では集合 Ｘ の元は３個で、２^Ｘ の元は ２^３＝８個 である。 なぜこのような関係が成り立つのだろうか？ いま、２^Ｘ に属する Ｘ の部分集合にどのようなものがあるかを考えてみよう。 これは Ｘ の各元が部分集合に 「 属する・属さない 」 の組み合わせを考えることと同じである。 だから、べき集合の元の数は２のべき乗になるのである。 べき集合を ２^Ｘ と表すのもこれが理由である。 Ｘ のべき集合を Ｐ（Ｘ） と表す流儀もある。 これは英語の power set （べき集合という意味）に由来する。
568:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 10:15:10.87 1ktc1FSG.net
>>526-528 まとめ
１．「自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人」 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座 （2002 年8 月5～8 日）の予稿を改訂か
２．最初の定理１で躓いた私としては、渡辺 治の「2 進数説明」と、「べき集合の元の数は２のべき乗になる」を抜きに、分かるのかなー？と
まあ、京都大学数理解析研のレベルなら、「常識」と仮定していいんだろうか？
３．面白いところ「対角線論法から不動点へ」、「不動点定理から具体例を見直す」（圏論）、「直観主義的抜け道について」、「停止性問題」、「計算可能性とラムダ計算」・・
４．具体的には
P3
「そして，このことから，自分自身を呼び出すようなプログラム（再帰プログラム）を，自己適用現象を用いて得られる不動点として構成することができるのである．
（似たことが直観主義論理の世界でも起こりうる：以下のコラムを参照．）」
「対角線論法というと，矛盾から否定的な結果を導くための道具，という印象を持っておられる方が少なくないであろうし，
また，（すでに見てきたように）実際そうなのであるが，少し広い視野に立って，一般化された対角線論法を考えると，
実は，有用な（肯定的な）結果を導く際にも対角線論法が現れていることがわかる．
ここで使われる数学は決して難解なものではないが，数学における具体例からの一般化，
また一般化された見方からの具体例の分析，さらに否定的な見方から肯定的な見方への変化などの面白さが，端的に現れているものだと思う．
そのあたりの楽しさを味わって頂ければ幸いである．」・・
P9
「ゲーデルの不完全性定理や停止性問題なども，この不動点定理の一例と考えることができる．」・・辺り
５．要は、計算科学の方が、２０世紀の素朴な数学基礎論を超えて、明確に進化したという感覚を持ちました。（細かい点はむずいので良く分からないところが多いが）
569:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 10:32:50.92 1ktc1FSG.net
>>529 補足
対角線論法をいろいろ調べたのは、べき集合の濃度やハメル基とかの関係
ハメル基って使えるの？ ハメル基って集合の濃度が示せるのか？ という素朴な疑問からだった
対角線論法が、いまこんなに広がりを持っているとは知らなかった・・
が、結論から言えば、べき集合の濃度、つまりは実数の連続濃度の証明は、対角線論法を使う以外にはないみたいってこと
「ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう 」>>474の裏付け
これで、べき集合の濃度の考え方がクリアーになったよ
570:１３２人目の素数さん
15/03/14 10:55:39.58 Z5dsHth2.net
対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単
有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？
571:１３２人目の素数さん
15/03/14 11:14:19.87 FaEZeIo7.net
>>522>>523
>>417の(3)は G/N に演算を定める問題だが、
前提として G/N が集合として定義されてなければならない。
集合としての定義は厳密にはこう：
g,g'∈G に対し、「g～g'⇔g∈g'N」として関係 ～ を定めれば、～ は同値関係。
この同値関係による商集合を G/N と書く。
>>461はこの段階の話でしかない。
例えば G=Z (整数全体のなす加法群)、N=3Z とすると、
>>461>>462では集合として
G/N={[0],[1],[2]} （[a]はaを含む同値類）
であると言っているにすぎず、
例えば [0]+[2] と [6]+[8] は等しいか？ということについては触れられていない。
572:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 11:24:05.22 1ktc1FSG.net
>>531
どうも。スレ主です。
>対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単
>有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？
いや、だから、それを一般の集合とべき集合に適用したときにどうなんだと
573:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 11:37:52.13 1ktc1FSG.net
>>532
どうも。スレ主です。
well-defined 性は、>>522-523に書いたように、個別問題を離れれば、
代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)だと
そして、おっしゃるように、>>461では商集合を G/N の類別の一意性（well-defined）を示した
積*の定義は、元の群の定義*を使う
で、>>417で誘導してもらったのかね？ f:G→G' の群準同型写像を考える
これは、>>436で書いたように、f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存される
だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
直感だが、そういう気がする
そして、”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、群環体その他対象に依存する部分だと
正直、well-definedはいろんなところで出てくるが、深く考えたことはない
が、いま考えるとそういうことではという気がする
574:１３２人目の素数さん
15/03/14 11:50:11.91 Z5dsHth2.net
>だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
>直感だが、そういう気がする
何故自分の直感を他人に証明してもらおうとするのか？
575:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 12:14:12.58 1ktc1FSG.net
いや、ここでは証明をする気はないんだ
原則としてね。このアスキー制限の掛かった板は、数学の証明には向かないから
だから、私は他のホームページやブログからの紹介とコピペをベースにするんだ
今回は出題だったから、むりむり証明を行った
が、「(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)」>>503とご指摘のようにそうかもしらん
mathoverflow流なら、もう少し表現を工夫するところだろう
well-definedの議論も、「べつにー」と
ただ、well-definedを自分なりに深く考える機会になったし、英wikiと日wikiで記載が異なるし、それぞれ読み比べてみれば面白かったと
576:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 13:42:35.98 1ktc1FSG.net
>>530
今後のために、またご参考まで、下記貼ります
URLﾘﾝｸ(ufcpp.net)
(集合論) "++C++; // 未確認飛行 C"
(抜粋)
無限濃度に関する性質
まず、可算濃度 ??0 よりも大きな無限濃度が存在することについて説明します。 （といっても、ところどころ証明は省き、概要説明だけになりますが。）
（有限・無限を問わず） ある集合 a に対して、 その冪集合 P (a) の濃度は 2^ |a| になります。
そして、証明は省きますが、 a と P (a) の間には全単写が存在しない （＝ 同値にはならない） ので、 |a| < 2^ |a| になります。
ここで、a の部分に
577:自然数全体の集合 ω を入れると、 ??0 < 2^ ??0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。 可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を 非可算集合（uncountable set）と呼びます。 また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。 証明は省略しますが、 無限濃度に関して、 α を無限濃度、 β を濃度として、 以下の定理が成り立ちます。 ・β ≦ α ⇒ α + β = α ・0 < β ≦ α ⇒ αβ = α ・n を非0の自然数として、 α^n = α ・α < 2α ・2 ≦ β ≦ α ⇒ 2^α = β^α まとめると、 2 ≦ β ≦ α であるような濃度 β に対し、 α + β = αβ = α < 2^α = 3^α = ? = β^α となり、 見ての通り、 有限濃度（＝ 自然数）の場合と大きく異なります。
578:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 13:51:01.32 1ktc1FSG.net
>>534-536
まあ、うまく言えないが
”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、体だったら、積に加えて”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g+hN=g'+h'N”みたく、和についても言及する必要があるんじゃないか？
でも、それって、最初のgNやhNの定義のwell-defined 性（一意）がキモなんじゃないか？ 代入原理 a = b → f(a) = f(b)（一意）みたいなことが言えれば、後は体の定義と演算から自然に導かれるみたいな・・（体の場合は代数拡大とか言うんだろうが・・）
579:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 13:53:13.15 1ktc1FSG.net
>>537 文字化けしている ??の部分がアレフ記号なんだ
580:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 14:08:25.17 1ktc1FSG.net
アレフ ? でるかな？
581:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 14:10:00.55 1ktc1FSG.net
アレフが書けないのか・・、困ったものだ
582:１３２人目の素数さん
15/03/14 14:18:51.17 FaEZeIo7.net
>>538
そう思うのは自由だが
それはそれとして、演算の well-defined 性の証明はやっぱり必要。
群環体の場合はある程度しっかりした構造を持っているからうまくいくのであって、
より一般の代数構造ではうまくいかないこともある。
ちなみに、環や体の場合正規部分群に相当する概念は(両側)イデアルというもので、
環の場合は確かに和、積両方について言及が必要。
体の場合、イデアルは自明なもの({0}と全体集合)しかないので、似たようなことは話題にならない。
代数拡大は全然違う話。
583:１３２人目の素数さん
15/03/14 14:37:27.10 FEJE1Jnz.net
well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。
複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。
だがしかし、複雑な対象を簡略化したからと言って、その対象は本質的には全く簡単になっていない。
なぜなら、複雑だった部分は、同値類によってその内部に隠蔽されてしまっただけだからだ。
その隠蔽された複雑性は、どこかで「再出現」するのであり、再出現した段階で
真正面から相手にせざるを得ない。
では、その複雑性は、具体的にはどこで「再出現」するのか。
たとえば、その同値類を定義域とする何らかの写像 f を定義したとしよう。
すると、定義域が「同値類」であるがゆえ、f が well-defined であるかどうかが
大きな問題となる。
もう分かるだろう。隠蔽された複雑性は、well-defined 性を示す場面において
「再出現」するのである。
したがって、「 well-defined に興味を持たない 」とは、「対象の複雑性から逃げている」
ことを意味する。それはすなわち、対象そのものについて真正面から向き合っていないことを意味する。
それでは数学を勉強している意味が無い。
種々の写像について、それが well-defined であることは自力で証明して然るべきである。
また、それが示せたならば、対象の複雑性を克服できたということである(…というのは言い過ぎではあるが)。
584:１３２人目の素数さん
15/03/14 14:51:29.31 gO6zAEmW.net
>>520
正確に(完全に)
>数少ない支援者
といえる訳ではない。机で数学をしていたのだが、ちょっとゴタゴタした面倒なことがあって、
少し時間を費やすことになり、スレ主とは暇潰しにじゃれあっているつもりである。
>>518
「メンターさん」と呼んでいる人は、高校数学の質問スレにもいるよ。
人物像は特定出来ないが、何らかのきっかけで高校数学に関係があるのだろう。
まあ、己が出した問題の解答を自力で出来なかったことは認める。情けない限りだ。
かつてのコテKummerは、確か代数的整数論スレで関数解析がらみの話をいていたんじゃなかったけ？
585:１３２人目の素数さん
15/03/14 15:03:47.14 gO6zAEmW.net
>>525
いや、オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
ただ、少し面倒な解析をすることにはなる。超越数かどうかまでは分からない。
あと、よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
詳細を書かなかったために生じたちょっとした勘違いだったな。
586:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 19:23:28.57 1ktc1FSG.net
>>544-545
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、ありがとう
>スレ主とは暇潰しにじゃれあっているつもりである。
それはありがとう。楽しんでいってくれ
>「メンターさん」と呼んでいる人は、高校数学の質問スレにもいるよ。
>人物像は特定出来ないが、何らかのきっかけで高校数学に関係があるのだろう。
それは正に「メンターさん」と呼ぶにふさわしいね
>かつてのコテKummerは、確か代数的整数論スレで関数解析がらみの話をいていたんじゃなかったけ？
そうそう、代数的整数論スレやってた人
>オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
オイラー数違いかも（後で）
>よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
おっちゃん、いろんなことに興味持っているんだね
587:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 19:32:05.21 1ktc1FSG.net
>>546 つづき
オイラーの定数とオイラー数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの定数 オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euler?Mascheroni constant
Properties
The number \gamma has not been proved algebraic or transcendental. In fact, it is not even known whether \gamma is irrational.
Continued fraction analysis reveals that if \gamma is rational, its denominator must be greater than 10242080.[7]
The ubiquity of \gamma revealed by the large number of equations below makes the irrationality of \gamma a major open question in mathematics. Also see Sondow (2003a).
Lagarias, Jeffrey C. (October 2013). "Euler's constant: Euler's work and modern developments" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4): 556. doi:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x.
URLﾘﾝｸ(www.ams.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In number theory, the Euler numbers are a sequence En of integers (sequence A122045 in OEIS) defined by the following Taylor series expansion:
588:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 19:43:08.69 1ktc1FSG.net
>>542-543
どうも。スレ主です。
ID:FEJE1Jnzさんか、興味深い話をありがとう。
”well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。
複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。”か
そういう視点は持っていなかったが、大事だね
ID:FaEZeIo7さんは、数学科で３年修了より上なんだろうね。レベル高いね
well-defined 性の話は単純なんだ。wikipedia（日および英）に書いてあることと違うと
で、思うに、wikipediaに書いてあることから、ID:FaEZeIo7さんの演算の確認は、できるんじゃないかと
そういう流れにならないと、自分の中でwikipediaとID:FaEZeIo7さんの話とが繋がってこない
まあ、この話はじっくりやりましょう
そもそも、well-defined は数学的定義じゃなく、哲学的定義だ
「うまく定義できました」と
でも、>>543の視点は重要だと思うよ
589:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 19:56:0
590:7.65 ID:1ktc1FSG.net
591:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 20:25:40.62 1ktc1FSG.net
>>549 つづき
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これもID:FaEZeIo7さんにずばりだね
大学では、そう教えているんだろうね。しかし、雪江明彦先生怒っているね
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
代数概論A レポート問題(演習)4 について （雪江明彦）
# 1. 代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.
また，論理に関しても必要条件と十分条件の区別がつかない人が大部分である.
授業で確かにn,m が非常に小さい場合に起こりうる不都合について述べたが，そのような不都合が起こらないからといって，定義がwell-defined であるという保証はない.
（略）
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆
群論９ 剰余群における演算のwell-defined性 2012-02-16 10:53:24
（抜粋）
※注意 今回の内容はwell-defined性といって、ちょっと難しいです。
かなり丁寧に書いたつもりですが、それでもわからないかもしれません。大学数学の難関の一つだと言われています。
それでも類書などに比べてかなり丁寧に解説したつもりではあるんですが、それでも上手く書けたかどうか・・・。
「私は意味にしか興味ない、厳密数学などに興味はない」という方はこの記事は飛ばして次の記事に飛んでいただくといいと思います。
[well-defined性とは？？]
前回、部分群Nによる商集合G/Nで、特にNが正規部分群という性質のいい部分群のときは、商集合G/NにGの演算に適合した演算(aN)(bN)=(ab)Nを定義することができて、
しかもこの演算で群になり、この群G/Nを剰余群というのでした。
[演算の定義がwell-definedであることの証明]
略
いつもは特に詰まる箇所もなくすらすら書けていたのですが、今回の証明は詰まるところが何箇所かあって、結構長考してしまいました。
592:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 20:52:49.90 1ktc1FSG.net
>>546 補足
"有理数の稠密性とディオファンタス近似"で検索したら、下記がヒットした
（以前に紹介したかも知れないが・・）
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
2006年度整数論サマースクール報告集
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
平田典子（日本大学）
「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
「最近の新結果の紹介」
「ディオファントス問題における未解決問題」
593:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 22:53:23.19 1ktc1FSG.net
>>548-550 補足
well-definedね
ID:FaEZeIo7さん、
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これID:FaEZeIo7さんにずばりなんだ
でもね、雪江明彦先生怒っているね
”代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった”と
”この場合、well-defined ということは、g ∈ G をg = x^i と表してg にy^i を対応させた場合，i の取りかたによらず定義が定まる.
ということである."と雪江明彦先生
どんな問題か分からないのだが、well-definedを雪江明彦先生レベルで捉えないと行けないと思うんだよね
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これで良いとして（当然ID:FaEZeIo7さんも良いが）
”「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。”
”初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰々しく述べるの？」という感じだったが、
その真意が分かるにつれ、重要性も理解され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。”
だから、well-defined は、ぎゅるたんで終わりじゃないと思うんだ
もう一つ上位があるんだろう。うまく言えてないけど、剰余群に限らないものが。だから、>>522-523を書いたつもりだ
ここは、うまく整理できていないが、また何かの機会に取り上げよう
594:１３２人目の素数さん
15/03/14 23:41:46.90 FaEZeIo7.net
そりゃ剰余群の演算の well-defined 性が話題だったんだから、剰余群に話を限定しただけだ。
>>438で「well-defined を知らないんだったら」と書いたのは、
「一度でも well-defined の概念をちゃんと理解したことがあるなら、>>417の表現で伝わるはず、
それすら分からないのは知らないのと同じ」という意味合い。
解釈のズレを解決するのが面倒で適当な言い方をしてしまった。
雪江先生の問題はおそらく、
位数 n の巡回群を C_n と書く。演算は乗法的に書く。
正整数 m,n に対し巡回群 C_m, C_n を考え、それぞれの生成元の一つを x,y とする。
写像 f:C_m → C_n を f(x^i)=y^i (∀i∈Z)によって定めたとき、f が well-defined になるための
必要十分条件を m,n を用いて表せ。
というところだろう。
雪江先生レベルに理解してるなんてとても言えないが、
剰余群以外に well-defined の例を挙げろと言われれば挙げられる程度には知ってるぞ。
595:１３２人目の素数さん
15/03/14 23:50:32.14 Z5dsHth2.net
結局スレ主さんは（１）、（３）不正解で、33点 ⇒群論入門落第ってことか
596:１３２人目の素数さん
15/03/15 00:28:17.99 q+GeWCat.net
解釈を正すのが面倒という判断は正解だったな。
結局ズルズルと話を広げさせてしまった。
あ、>>553の問題は当てずっぽうなんであしからず
597:１３２人目の素数さん
15/03/15 09:07:59.50 N5rH2DRm.net
>>546
＞>オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
＞オイラー数違いかも（後で）
あ～、確かにオイラーの定数の間違いだったね。
＞>よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
＞おっちゃん、いろんなことに興味持っているんだね
いや、注意深く分析してよく考えるとリウビルの定理(同じ名称の定理は他にもある)
っていう超越数論の基本的な定理が得られる内容とか�
598:ｪ書かれているような、 デデキント切断による実数論や有理数の稠密性に述べた 小平解析入門っていう微分積分の本はあるよ。今でも売られている。 いい微分積分の本だよ、うん。やっぱり基本は大事だよ。 幅広く関心を持つことは重要。この点では表現論が応用性があるな。
599:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/16 00:30:34.32 WV/RsgiY.net
>>553
どうも。スレ主です。
ああ、そりゃそうだろう
まあ、well-defined の話はまた次にやろう
あの雪江先生の解説で問題を推定できるのはさすがだね。レベルが高いね
>>554
ID:Z5dsHth2 くんか、君はレベル低そうだな？
出題者は、いちおう全問正解をくれたよ
33点 ⇒群論入門落第は、君自身だよ（笑い）
君にも、>>517の問題をぶつけておくよ
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）。来週も君たちの泣き顔が見られるとは楽しみだ
600:１３２人目の素数さん
15/03/16 00:35:05.89 WV/RsgiY.net
>>555
どうもどうも
勉強になりました
well-definedね
深い話があるみたいだね・・
>>553の問題は、当たっている気がする
>>556
おっちゃん、どうも
勉強がんばってなー
601:１３２人目の素数さん
15/03/16 01:33:22.12 e/FImr/y.net
勉強はもういいよ
602:１３２人目の素数さん
15/03/16 19:24:08.81 D2P349Cb.net
おまんこ頑張らな子供できへんで
603:１３２人目の素数さん
15/03/16 21:42:31.45 UUvM2zSj.net
>>557
これは群論の入門レベルの問題で、しかも君が大恥かいて必死に勉強し直した”正規部分群”に関する問題だ。
君の場合まず自分が馬鹿であると言う自覚を持つことから始めるようお勧めする。
>>429 >>430 >>447 >>449 ←この解答で自称満点とは、馬鹿にも程があるからね。
604:１３２人目の素数さん
15/03/16 22:08:14.93 fjQeHHyh.net
出来ることと、好きなことは一致しないものだ
605:１３２人目の素数さん
15/03/18 13:44:48.03 /eYL1Gmz.net
>>558
私が出した問題は、本当は単純に示せる問題だった。
過去スレ見たが、スレ主の方針と微妙に違うようなので、一応書いておく。
もしかしたらスレ主の方針と何ら変わらないのかも知れないが、判別不能。
開区間(1,+∞)は非可算集合である。乗法群C^{×}は可換群であるから、任意のs＞t＞1なるs、t∈Rに対して
G(s)＝{e^{ms}|m∈Z}、G(t)＝{e^{mt}|m∈Z}
と定義すると、G(s)(G(t))はC^{×}の部分群であり正規部分群である(ここまでの証略)。
実変数xの指数関数e^xは単調増加であるから、各s＞1に対して定まる
群G(s)の生成元e^sの全体からなるような集合{e^s∈G(s)|s＞1}は非可算である。
今、任意のs＞t＞1なるs、t∈Rに対してG(s)≠G(t)なることを示す。
矛盾に導くため、或るs＞t＞1なるs、t∈Rが存在してG(s)＝G(t)だったとすると、
或る(m,n)∈Z＼{0}に対してe^{ms}＝e^{nt}からms＝ntであり、s＝(n/m)t。
よって、s、tの大小関係及び1＞0からs＞t＞0であり、n＞m≧1またはn＜m≦-1。
即ち、n/mに対して或るa＞b≧1なる自然数a、bが存在してn/m＝a/bであり、s＝(a/b)t。
故に、G(s)＝G((a/b)t)＝G(t)となるが、a、bが互いに素であるか否かに関わらず、
G((a/b)t)、G(t)のどちらか片方、かつその一方にのみ属する点が必ず存在するから、
G((a/b)t)≠G(t)であることになって矛盾。
606:１３２人目の素数さん
15/03/18 15:58:59.98 /eYL1Gmz.net
>>558
あっ、>>563では最後に
>故に群の集合族{G(s)⊂C^{×}|s＞1}は非可算である。
と書く必要があるか。まあ、開区間(1,+∞)は非可算集合であることは、開区間(1,2)が非可算であることを
開区間(0,1)が非可算の証明に使ったカントールの対角線論法で同様に示し、それから(1,2)⊂(1,+∞)なることをいって示せる。
証明は殆ど同様の形になる。>>290を読む限りでは違う方法のようだ。
>６．(1＜)x1＜x2 なる実数からなる二つの最小の乗法群 G1とG2を考える。
>x1∉ G2 だから、G1≠G2となる。（細かい点は分かるだろうから省略）
だと、必ずしも(s＝)log(x_1)＝(a/b)・log(x_2)(＝(a/b)t)になるとは限らない。
607:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/20 23:16:03.13 YqNEqI5d.net
>>561-562
どうも。スレ主です。
ID:UUvM2zSjくんか、君たちもレベルが低そうだな。口先ばかりで
で、君たちにも、>>517の問題をぶつけよう
そうだな、君たちはレベルが低そうだから、問題を解けとはいわん
何でも良いから、>>517の問題を見て、思うところを書いてみな（笑い）
それで、君たちの数学レベルが透けて見えるから・・（笑い）
こう書けば、君たちには何もかけまい。書けるはずがないよね（クククッ）
608:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/20 23:39:07.95 YqNEqI5d.net
>>558
>well-definedね
ここに戻る、酒井克郎 筑波大学下記より
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
Homepage of Katsuro Sakai ; 酒井克郎のホームページ? > ?酒井克郎のホームページ? > ?
集合と位相の基礎知識
大学の 1, 2 年では、集合と写像について学ぶ。現代数学を学ぶ上で、集合と写像は数学の言語とも言える基礎概念である。
大学の 2, 3 年では位相空間と連続写像に関する基本的な事柄を学ぶ。
添付ファイルは何年か筑波大学で担当した講義の際にまとめた講義録であり、ご自由にダウンロードできます。
ご意見・ご感想など、gmail.com のアドレス k.sakai.top にお寄せ下さい。
URLﾘﾝｸ(docs.google.com)
2012 年改訂版 集合入門 集合と写像の基礎概念 酒井克郎 筑波大学・数学系
はじめに
集合や写像に関する命題の証明が書けるようになること, 商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切
な目標となっている.
P33「数学では, ある集合の上に様々な概念や事柄を定義して, それについて議論を進めていくが,
何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.
考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」
609:１３２人目の素数さん
15/03/20 23:54:14.57 WYbmvuv/.net
>>565
お前自分で解けないからってしつこく聞くなよみっともないｗ
群論の初歩問題でさえ赤っ恥解答のお前に解けるはずないもんなｗ
610:１３２人目の素数さん
15/03/20 23:59:15.48 WYbmvuv/.net
>>566
やっと
＞429 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:05:06.49 ID:CATUi/5b
＞２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する
611:。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい が大馬鹿発言って気付いたのか？遅いぞ馬鹿
612:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/20 23:59:43.35 YqNEqI5d.net
>>566
酒井克郎 筑波大
・商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになる
・考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
・この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.
さて
・「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。>>549
という
>>417の出題者 ID:Pt6N2tUG くんを、”well-defined”について、Ｘ級位者だとしてみよう
問題は、Ｘ級が初級なのか上級なのかだ
早めに言っておくが、明らかに出題者 ID:Pt6N2tUG くんは、私スレ主より上位者だ
だが、私が下位だから、愚直にwikipediaのwell-definedを調べた。>>423だ
そして、上記酒井克郎 筑波大とほぼ同じ結論に達した
「この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」と
そして、この方針に沿って証明を書いた
それが>>461だ（つまりは、商集合を使った積は群で定義された積を使っているので、“代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか”がポイントだと）
これに対して、出題者は>>476
「正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。」
「つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。」
だと
もう言いたいことはお分かりだろう
613:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 00:03:28.34 ooXUMShZ.net
>>567-568
面白いやつ
>>517の問題は解けたか（笑い）
もう一週間笑えそうだな（クククッ）
614:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 00:07:08.53 ooXUMShZ.net
>>517の問題を再録しておこうか？
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
「複素数の成す乗法群」なんて、高校生レベルだろうよ？ これが分からないようじゃ、大学数学は無理
615:１３２人目の素数さん
15/03/21 00:11:55.01 eCYLhHIT.net
（´･∀･`）ﾍｰ
616:１３２人目の素数さん
15/03/21 00:15:47.04 8RykR7UY.net
>>571
じゃあスレ主は大学数学無理だね
617:１３２人目の素数さん
15/03/21 00:17:06.27 le0Wvqws.net
>>571
それ、マスゴミがよくやる手口だよね
618:１３２人目の素数さん
15/03/21 02:57:24.82 o57Ps3qH.net
>>417です。
とりあえず>>417の問題について。
(1)は>>440での"逆の包含"が残ってるので未完。
そしてここの理解が不足してるなら、(2)の"正規であること"の証明も不十分と言わざるを得ないかな。
もし修正するなら、>>440のように正規部分群のどの条件を示すのかはっきり提示して、それを示すのがいい。
あんまりしつこく>>417を引っ張るのも申し訳ないんで、(1)(2)についてはスレ主の好きにしてくれ。
ちなみに誘導したつもりは特になかった
619:１３２人目の素数さん
15/03/21 03:02:09.74 8RykR7UY.net
>>557
>出題者は、いちおう全問正解をくれたよ
↑
嘘つきは朝鮮人の始まり
620:１３２人目の素数さん
15/03/21 03:26:59.06 o57Ps3qH.net
>>569
>>461は「類別がうまくいく」ことの証明になっている。
出題したのは「演算がうまくいく」こと、
つまり、代表元の取り方に依存せず「積が」定義できていることの証明。これは別の話。
現に、せっかく>>425で
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
と定義したのに、>>461では全くこの積が現れない。
で、代表元の取り方に依存せず積が定義できている、というのがまさに
「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
ということなんだが、伝わってなかったんかな・・・
621:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 06:26:50.79 ooXUMShZ.net
>>575
どうも。スレ主です。
>(1)は>>440での"逆の包含"が残ってるので未完。
いや、終わっているよ。
>>440で、”群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う”と書いた
"「N=gNg^-1」の形"とは、数学的に正確に
622:述べれば、「G の任意の元 g に対して gNg?1 = N が成り立つ。」by wikipedia （下記URL 因みに群論のテキストなら書いて有るとおり） http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4 そして、証明はもともとこの文脈で書いている >>454で、「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」と書いてある そして、文脈からgについても、∀g∈Gだよ だからそもそも、>>442の「うん、いいんじゃないかな」、「逆の包含を言ってないってことか？ それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。」 ってことだった つまり、出題者は、暫定OKを出した。そして、私は>>454の補足説明をしたし、∀g∈Gは「N=gNg^-1」の”形”の中に込めている つまり、∀g∈G & ∀n∈Ker(f) について述べたから、逆の包含も終わっている （なお、∀を省略しているのは、省略しても自明だからと∀を記号から呼び出すのが面倒>>458だからの二つの理由からだ）
623:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 07:01:07.84 ooXUMShZ.net
>>577
well-definednessについては、いまだ勉強中だけど、重要な概念だということは良く分かった。ありがとう
明らかに出題者 ID:Pt6N2tUG くんは、私スレ主より上位者だということは、再度強調しておく。で、
１．酒井克郎 筑波大”ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない. この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.”と
２．で、「>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが 俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも」>>503だったよね
３．そして、”つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。”>>476だった
４．さらに、”well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。知識を問いたいわけじゃないから。well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。 ”>>438だった
が、「>>423だけ見て正しい証明を書く」というのが上級者のような気がするんだよね
酒井克郎 筑波大”商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになる ”とか
雪江明彦”代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった. ”>>550
とかの先生がたの発言を読むと
確かに、”代表元の取り方に依存せず「積が」定義できていることの証明。これは別の話”だと。それは、正しい
が、私が考えたのは、まず”代表元の取り方に依存せず”を証明しようとしたんだ、well-definednessの初心者以前だから
そして、それさえ証明すれば、あと（「積が」定義できているこ）はほぼ自明だと
>>447に書いたように、”正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが ”とは思ったんだよね
まあ、それが、上記３（>>476）だったんだね、おそらく
624:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 07:53:40.79 ooXUMShZ.net
>>579 つづき
”つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。”というのは、商群についてならば、これが最短かつ必要十分なんだろう
>>461のような、剰余類別の一意性は、すでに教科書の前の部分に示されているか、あるいは正規部分群の性質を強く使えば、”g*hN=g'*h'N”は簡単なのかも
>>417 "(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。"
これ、まさに酒井克郎 筑波大「この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである」
そして、１）代表元の取り方に依存せず一意であることを示し、２）次に演算についても一意であることを示す
この二段階に分ける。これが、「well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書く」こと
つまりは、剰余類群という個別の定義を離れて、上位概念としてのwell-definednessの視点だと思うんだよね
で、さきに、１）は>>461-462で示した
２）は、ほぼ自明で、実質は１）で終わっていると思っていたが（>>479）
確かに問題として出題されれば、出題者のいうとおりだ
で、>>480を書いた。これは、出題者の
625:誘導があってのことだが、”はい、よくできましたっと ”OKを出して貰った>>503
626:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 08:12:32.01 ooXUMShZ.net
>>580 つづき
well-definednessの概念は、当然ガロアの時代にはない
が、正規部分群と商群の概念はガロアの発明と思う
彌永「ガロアの時代 ガロアの数学」第1部時代篇
P249 で、G=H+HS+HS'+・・・とG=H+TH+T'H+・・・とが、一致する場合として、固有分解（一意という意味だろう）の概念を示している
オーギュスト・シュバリエへの遺言の中で
彌永「ガロアの時代 ガロアの数学」第2部数学篇
P241で、商群の概念を示している。ガロア第一論文の命題IVだ。命題IVによって、群の縮小つまり正規部分群による商群を実質的に示している
命題Vで、群の縮小の概念を使って、方程式の群の可解性の概念を示している
なかなか見事なものです
627:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 09:30:41.53 ooXUMShZ.net
>>566
酒井克郎 筑波大学 2012 年改訂版 集合入門 集合と写像の基礎概念
P60 定理6.7 カントールの対角線論法で
”hi(i) が奇数ならxi = 2, hi(i) が偶数ならxi = 1 とする. ”ってところが、「おっ！」って感じ。良いね
>>527の渡辺 治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW P4 2 進数αを使った説明に繋がる感じだね
628:１３２人目の素数さん
15/03/21 10:33:55.60 8RykR7UY.net
>>578
スレ主はやっぱり正規部分群がわかってない
と言うより、数学の基礎がわかってないから正規部分群もわかってないと言う方がより正確か
とにかく馬鹿過ぎて群論どうこう以前のレベルだ
629:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 12:03:49.51 ooXUMShZ.net
>>583
どうも。スレ主です。
その声は、ぱーちくりん連呼くんか・・
だれが見ても、一番分かっていないのは君だろう
>>517の問題は解けたか？ また、来週も君の泣き顔が見られそうだな
”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
これさえ、君には無理だったが
>>406 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG さんがあっさり解いたね
君のレベルの低さは圧倒的だな（笑い）
630:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 12:07:04.92 ooXUMShZ.net
>>582
集合論の続き
次元の話
URLﾘﾝｸ(ncode.syosetu.com)
Ｐ１１ 【連続体仮説】の意外な結末
(抜粋)
カントールは数直線上の点と平面上の点が同じ個数だけある事を自（みずか）ら証明してしまいます。
果たしてカントールはいかにしてそれを証明したのか？
そこで数直線上の点に対応した１つの実数をａで表し，平面上の点を２つの実数の組（ｘ，ｙ）で表す事にします。
前回、どんな実数も無限小数で表せると言いました。実数ａを無限小数で表す事にします。例えば
ａ＝７２１．３８５９７１２７４６……
この時、平面上の点として
（７１．８９１７６…… ，２．３５７２４……）
を対応させます。対応のさせ方は
ａ＝【７】２【１】．３【８】５【９】７【１】２【７】４【６】……
このように実数ａに現れる数字を先頭から１つとびでとって（ｘ，ｙ）のｘ座標へ。そしてその間に現れる数字をとって（ｘ，ｙ）のｙ座標へ対応させるのです。
この対応の仕方だと、数直線上のどんな点も平面上の点へ１対１で対応出来ます。
ちなみに上記の対応で１つの実数に対し２つとびや３つとびを考えると、直線上の点は空間上の点や４次元空間上の点への全単射も作る事が出来ます。
つまり直線上の点と空間上の点も同じ個数ある（同じ濃度である）んですね。
直線上にある点が、平面や空間にある点と同じだけある……
カントールは自分の
631:証明を見て 【私にはそれが見える。だが、信じる事が出来ない】 という言葉を、友人のデデキントの手紙の中で語ったといいます。 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/18806.html Q 直線上の点の数と平面上の点の数は本当に等しいの？ 2000-12-14 質問者が選んだベストアンサー ペアノ曲線。１本の連続曲線で正方形を埋め尽くすことができます。 従って、この曲線の長さにそった１次元の座標と、正方形上の２次元座標とが対応づけられます。 👀
632:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 12:10:19.57 ooXUMShZ.net
>>583
次元の話補足（下記に分かり易い図がある）
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
次元の話題
ペアノ曲線の構成は、ヒルベルトにより、次のように説明されている。
このような曲線の出現により、次元の定義が見直され、現在、種々の定義が考案されてい
る。（フラクタル次元、相似性次元、ハウスドルフ次元、容量次元、情報量次元、・・・）
フラクタル（Ｆｒａｃｔａｌ）という言葉は、１９７５年、マンデルブロ（Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ）により作られた。
物が壊れて、小さな破片や大きな破片がたくさん集まったような状態を意味するらしい。
633:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 12:35:03.21 ooXUMShZ.net
>>586
補足（村田全先生2008年7月6日逝去か）
URLﾘﾝｸ(fomalhautp)<)サクラ.ne.jp/ サクラがNGがらしいので各自検索のこと
科学図書館 （2012/06/04 改 訂)
村田 全の部屋(2008年7月6日逝去)
―透徹した史観と幅広い視野を持つ数学 史家・村田全の著作を収めた部屋―
―ここに収録した著作は著作権者の許諾のもとに掲載したものです。私的利用は問題あ りませんが、商用目的に使用される場合は、ご連絡ください。
634:１３２人目の素数さん
15/03/21 12:38:04.50 8RykR7UY.net
>>584
君がわかってないことを証明できるよ
(1)だけでいいからもう一度証明を書いてごらん
「～は～に書いた」とかじゃなく、１レス内で完結するように整理して書いてごらん
君はわかってないから書ないだろうけど
635:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 13:06:07.01 ooXUMShZ.net
>>586
つづき（サクラがNGがらしいので各自検索のこと）
『ブルバキ 数学史』を斜め読みしたが、ちょっと内容が古いか・・。いまどき、『ブルバキ 数学史』を読む人も少ないかも
が、『ブルバキ 数学史』観が、世界に与えた影響は大きいかもしれない・・
URLﾘﾝｸ(fomalhautpsa.)<)
抜粋
村田 全（むらた たもつ、1924年3月11日 - 2008年7月6日）は、日本の数学史学者・数理哲学者、立教大学名誉教授。
来歴
兵庫県出身。北海道帝国大学理学部卒。
「Problems of the mathematical infinity : on some aspects of the concept of anti-set-theoretical totality（数学的無限についての諸問題）」で慶應義塾大学文学博士[1]。
1971年、立教大学教授。1989年、定年退任、名誉教授、桃山学院大学文学部教授。1994年、退職。
1972年から1974年まで、フランス国立科学研究センター研究員。国際科学史アカデミー会員。
翻訳
G・カントル『超限集合論』功力金二郎共訳 共立出版、1979 現代数学の系譜
636:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 13:07:24.03 ooXUMShZ.net
>>588
具体的に指摘してみな（笑い）
>>517の問題は解けたか？（笑い）
637:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 13:25:05.67 ooXUMShZ.net
>>533
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（文字化けご容赦、修正しません）
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字としてしばしば巾集合とも書かれる。
集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。
冪集合の濃度
の部分集合 A とその指示関数 \chi_A : S \to \{0,1\} すなわち
\chi_A(x) := \begin{cases} 1 & {\rm if}\ x \in A \\ 0 & {\rm if}\ x \notin A \end{cases}
を対応づけることにより、冪集合 2^S と {\rm MA
638:P}(S,\{0,1\})=\{0,1\}^S が一対一に対応する。 これは、S の元 a が部分集合 A に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 A が特定できるということに対応する。 したがって特に A の濃度 {\rm card}(A) が有限の値 n であるとき冪集合 2^A の濃度 {\rm card}(2^A) は 2^{{\rm card}(A)}=2^n に等しい。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0 数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数あるいは特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。 確率論においては、分布関数のフーリエ変換を「分布の特性関数」と呼ぶため、区別のために「集合の特性関数」を「指示関数」、「分布の特性関数」を単に「特性関数」と読んで区別する傾向が強い。 また一般には、「集合の定義関数」を単に「定義関数」と呼ぶことが多いが、これも文脈上の意味が明らかな場合のことである。
639:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 13:28:07.90 ooXUMShZ.net
>>590
補足
>具体的に指摘してみな（笑い）
具体的に指摘は、できんよ
君には
君は、自分の数学能力の低さがばれるのを極度に恐れて、数学的なカキコはずっと避けてきた
それは感じている
君にはできない
断言しておく
すれば、命取りだもんね（笑い）
640:１３２人目の素数さん
15/03/21 13:54:57.19 8RykR7UY.net
>>592
何を恐れている？たった一問証明を書くだけなのに何故逃げる？
＞君は、自分の数学能力の低さがばれるのを極度に恐れて、数学的なカキコはずっと避けてきた
誰と勘違いしてるんだ？
641:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:07:23.47 ooXUMShZ.net
>>593
その声は、ぱーちくりん連呼くんと思ったが・・？
ともかく、おれは、もう終わったんだ
文句があるなら、具体的に言ってくれ
642:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:10:38.49 ooXUMShZ.net
>>591
関連
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
（文字化けご容赦、修正しません）
Cantor's first uncountability proof
The proofs
To prove that the set of real algebraic numbers is countable,
Cantor starts by defining the height of a polynomial of degree n to be: n ? 1 + |a0| + |a1| + … + |an|, where a0, a1, …, an are the (integer) coefficients of the polynomial.
Then Cantor orders the polynomials by their height, and orders the real roots of polynomials of the same height by numeric order.
Since there are only a finite number of roots of polynomials of a given height, Cantor's orderings put the real algebraic numbers into a sequence.[11]
Next Cantor proves his second theorem: Given any sequence of real numbers x1, x2, x3, … and any interval [a, b], one can determine a number in [a, b] that is not contained in the given sequence.[12]
643:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:16:17.25 ooXUMShZ.net
>>595
関連
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
（文字化けご容赦、修正しません）
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument or the diagonal method,
was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers.[1][2][3]
Such sets are now known as uncountable sets, and the size of infinite sets is now treated by the theory of cardinal numbers which Cantor began.
The diagonal argument was not Cantor's first proof of the uncountability of the real numbers;
it was actually published much later than his first proof, which appeared in 1874.[4][5]
However, it demonstrates a powerful and general technique that has since been used in a wide range of proofs, also known as diagonal arguments by analogy with the argument used in this proof.
The most famous examples are perhaps Russell's paradox, the first of Godel's incompleteness theorems, and Turing's answer to the Entscheidungsproblem.
General sets
A generalized form of the diagonal argument was used by Cantor to prove Cantor's theorem: for every set S the power set of S, i.e., the set of all subsets of S (here written as P(S)), has a larger cardinality than S itself.
This proof proceeds as follows:
Let f be any function from S to P(S). It suffices to prove f cannot be surjective.
That means that some member T of P(S), i.e., some subset of S, is not in the image of f. As a candidate consider the set:
T = { s ∈ S: s ? f(s) }.
For every s in S, either s is in T or not.
If s is in T, then by definition of T, s is not in f(s), so T is not equal to f(s). On the other hand, if s is not in T, then by definition of T, s is in f(s), so again T is not equal to f(s); cf. picture.
644:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:19:29.78 ooXUMShZ.net
>>594
こうしようか？
>>517の問題について、先に何か書いてくれ
それで君のレベルが分かるから
そうすれば、こちらも書こう（もう終わっているんだがね）
645:１３２人目の素数さん
15/03/21 14:21:02.67 8RykR7UY.net
>>594
そうだね
１レスでまともに書けない時点で不正解で終わり
君は群論の初歩問題も解けないレベルってことでいいかな？
646:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:23:50.58 ooXUMShZ.net
>>596
関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。
対角線論法
集合による表現
対角線論法とは、陰に陽に以下の補題を使って定理を証明する背理法の事である。
Xを集合とし、2XをXのべき集合とする。さらにψをXから2Xへの写像とする。Xの部分集合YをY=\{x\in X: x\notin\psi(x)\}により定義すると、ψ(x)=Yとなるx∈Xは存在しない。
上の補題は以下のように示せる。ψ(x)=Yとなるx∈Xが存在すると仮定したうえでxがYの元であるか否かを考える。
もしxがYの元であればx∈Y=ψ(x)である。しかしYの定義より、Yはx\notin\psi(x)を満たすxの集合であるので、x\notin\psi(x)でなければならず、矛盾する。
反対にもしxがYの元でなければx\notin Y=\psi(x)であるが、Yの定義により、x\notin\psi(x)であるxはYの元でなければならず、やはり矛盾する。
647:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:25:25.78 ooXUMShZ.net
>>598
そうだね
やっぱ、逃げ回りは君だと>>597
その一言で
648:証明終わり（QED）
649:１３２人目の素数さん
15/03/21 14:34:18.47 8RykR7UY.net
>>600
意味不明、いつ俺が>>517とやらを解くと言った？
お前は(1)を解いたと言ったから、１レスで整理して書けと言ってるだけなんだが。
650:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 14:59:16.48 ooXUMShZ.net
>>601
意味不明。
言い訳だけは一人前
逃げ回り
651:１３２人目の素数さん
15/03/21 15:00:54.39 8RykR7UY.net
>>602
言い訳とは？何に対する？逃げ回りとは？何から？
前は(1)を解いたと言ったから、１レスで整理して書けと言ってるだけなんだが。
652:１３２人目の素数さん
15/03/21 15:10:24.09 wGjFnCi7.net
スレ主よ。それにしてもさ、ちょっと聞いておくれよ。
伝書鳩が野生化したドバトっていうヤツ何とかならないかね。
何かここ1ヶ月あたり、近所に巣を作ったみたいで、
机で数学していると、毎日午前中に糞をしに家のベランダに来て糞を落として行っているんです。
これを無視したら無視したで余計糞をして汚すことになって、
病原菌やウイルス撒き散らす位に医学的にもよくないからさ、毎日数学の途中で毎回掃除ですよ。
カラスはまだ頭が良くて学習能力があるから可愛げが合っていいんだけど、
ドバトはとにかくしつこくて、パカパカ繁殖しまくっている
だけのどうしようもないバカ鳥で、天敵も少なくて本当にどうしようもないんです。
ドバトは糞に医学的問題があるから共生しようもなく、天敵のオオタカは普段都市には来ないだろ。
よくもまあ、こんな生き物鳥獣保護法で保護しているなと思ってさ。
こんなヤツ等を法律で保護するなとを。
政治家や役人もとっとと容赦なく捕獲とか出来るように法律改正しろと。
ホントここ数週間、ドバトはストレスの種です。
653:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 17:55:21.71 ooXUMShZ.net
>>603
どうも。スレ主です。
逃げ回りとは？ 数学的に意味あるカキコをして、自分の数学レベルがばれることから
言い訳とは？ 上記に対してだよ
654:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 18:02:26.57 ooXUMShZ.net
>>603
(1)は解いた。>>440で終わっている。出題者は、>>442で「うん、いいんじゃないかな 逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」と
だから、本質的には終わっている
「が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。」ということだったから
>>454と、そして>>578で説明した
以上で終わりだ
655:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 18:05:37.23 ooXUMShZ.net
>>604
どうも。スレ主です。
はい、毎日数学と途中で毎回掃除、ご苦労さまです
頑張って下さい
656:１３２人目の素数さん
15/03/21 18:08:28.29 8RykR7UY.net
>>605
いつ俺が「数学的に意味あること書きます」って宣言した？
何故宣言してないことをやらないことが逃げになったり言い訳になったりするの？
お前は(1)を解いたと言ったから、１レスで整理して書けと言ってるだけなんだが。
657:１３２人目の素数さん
15/03/21 18:14:11.21 8RykR7UY.net
>>606
だから、ごく普通の証明として、１レス内で完結するように整理して書けと言ってるだけなんだが、それすらできないの？
分かってないことがバレるのが恐いから？
658:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 18:14:23.26 ooXUMShZ.net
>>608
だから、逃げ回っているんだろ
言い訳して
659:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 18:15:50.91 ooXUMShZ.net
文句があるなら、具体的に言ってくれ>>594と
だが、それをすると君の数学レベルがみえるからねー（笑い）
660:１３２人目の素数さん
15/03/21 18:21:52.48 8RykR7UY.net
>>610
じゃあ数学的に意味のあること書いてあげるから、(1)の証明をちゃんと１レスにまとめて
それに対する具体的な指摘は意味のあることだろ？
ちゃんとまとまってなきゃ指摘のしようも無い
>>611
じゃあ具体的に書こうか
お前は未だ証明を完成させていない
はい、書いたよ
661:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 18:32:29.81 ooXUMShZ.net
突然ですが、検索ヒットしたので貼る
URLﾘﾝｸ(opac.kanto-gakuin.ac.jp)
n次元リーマン多様体におけるテンソル解析の�
662:t明期 大町英理子 関東学院大学工学部教養学会 科学/人間 第38号 20091125 内容記述： 19世紀後半、リーマン幾何学におけるテンソル解析の手法が確立されていく過程で、主に1860年代にn次元での微分不変量を導入しようとする数学者達を取り巻いていた状況、および彼等の研究がテンソル解析の確立において果たした意義を考察する。
663:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 18:34:04.78 ooXUMShZ.net
>>612
どうも。スレ主です。
面白いね。これで、君の数学レベルが見えた（笑い）
だから、逃げ回っているんだろ
言い訳して
相手にする価値なしだな
664:１３２人目の素数さん
15/03/21 18:41:35.66 8RykR7UY.net
>>614
だから俺が逃げ回らないようにするために早く１レスにまとめてくれよ
つーかお前は俺が逃げ回ってくれなきゃ困るんだろｗ
だから１レスにまとめるという簡単なことさえやらないんだよなｗ
はい、君の数学レベルみえた（笑い）
665:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 19:51:02.88 ooXUMShZ.net
>>615
どうも。スレ主です。
面白いね。これで、君の国語レベルが見えた（笑い）
１レスの制限2048バイト。全角文字で1024文字
「先生！ ぼく長文苦手。1000文字超える長文はだめです！」か・・
中学へ行け！（笑い）
追伸
出題者は、>>442「うん、いいんじゃないかな」って、３つぐらいのレスなど平気だろうさ
おまえ、レベル低すぎ。家で泣いてろ！（笑い）
666:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 19:59:56.44 ooXUMShZ.net
突然ですが、検索ヒットしたので貼る
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における多重線型代数（英語: multilinear algebra）とは、線型空間における多重線型性 (multilinearity) を扱う代数学の分野。
多重線型性は典型的には線型環における積の構造に現れている。
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。
歴史
多重線型代数の起源は様々な形で19世紀における一次方程式（線型代数）の研究やテンソル解析などのいくつかの分野に辿ることができる。
20世紀前半の微分幾何学や一般相対性理論、あるいは応用数学の様々な分野におけるテンソルの使用によって多重線型代数の概念はさらに発展させられた。
20世紀の中頃になってテンソルの理論はより抽象的な形に再定式化された。
ブルバキによる『代数』[1]（の「多重線型代数」章）の執筆はこの過程に強い影響を与えており、実際のところ、多重線型代数 という用語自体も彼らによって作られたものだとされている。
この時代にはホモロジー代数が多重線型代数の新たな応用先として現れていた。
ブルバキによる多重線型代数の再構成において、それまでの多重線型代数の一流儀であった四元数（より一般にはリー群との関係から導かれるような）を通じてテンソルを考える方法は打ち捨てられることになった。
ブルバキが採用したのはより圏論的な方法論であり、普遍性をもとにした議論によって多重線型代数の理論は大きく整理された。
こうして、テンソル空間 を考えることによって多重線型性の問題が単なる線型性の問題へと言い換えられる、ともいうべき理解が得られた。
この過程で用いられる操作は純代数的なものであり、幾何学的な直感は見かけ上完全に排除されている。
多重線型代数の理論を代数的・圏論的に整理したことによって多重線型的な問題の「最適解」の概念がはっきりとしたものになる。
その場その場に応じた、座標系を用いたりして幾何学的な概念に訴える必要無しに、すべてのものが「自然に」構成できることになる。
667:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:06:01.90 8RykR7UY.net
>>616
文字数
668:制限で書けないなら、ker(f)がGの部分群であることは省いていいよ 正規部分群であることの証明だけちゃんと書いてごらん
669:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:18:48.61 829x2NjU.net
>>613>>617
接続って結構ナウくてホモロジー代数に載りにくい概念なんだよな。
正規部分群よりイデアルと準同型の関係の方をきちんと理解してる方が一般の代数っぽいと思う。
670:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:23:01.75 ooXUMShZ.net
>>618
1000文字超える長文がだめな中学頭の君に分かるようには書けんよ
家に帰りな（笑い）
671:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:25:36.01 ooXUMShZ.net
>>619
どうも。スレ主です。
すまん。内容は、理解できていないんだ。せっかくヒットしたから、天下のメモ帳に貼った
>接続って結構ナウくてホモロジー代数に載りにくい概念なんだよな。
そーなんか
>正規部分群よりイデアルと準同型の関係の方をきちんと理解してる方が一般の代数っぽいと思う。
ああ、そうなんかー
672:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:33:30.31 OiKiwLwN.net
行列は一重線形で、行列式は多重線形か
673:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:33:45.58 8RykR7UY.net
>>620
何で逃げるんだよｗ
(1)だけ、しかも正規部分群の証明だけに限定してるのにｗ
やっぱりわかってないのかｗ
まあでもわかってないことを自覚できるようになった分以前より進歩してるかな（笑）
674:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:35:04.29 ooXUMShZ.net
>>621
”群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る”ですか。なるほど
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) （抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
定義
環 R の部分集合 I が、加法群としての部分群であり、R のどの元を左からかけても、また I に含まれるとき、I を左イデアル (left ideal) という。
同様に任意の R の元を右からかけたものが I に含まれるとき、I を右イデアル (right ideal) という。
言い換えると、R の部分集合 I が左（右）イデアルであるとは、I が R の左（右）加群としての部分加群であることをいう。
左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two?sided ideal) または単にイデアルという。
R が可換環である場合はこれらの概念は全て一致するため、単にイデアルと呼ばれる。
以下に述べるように、群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る。
I を環 R の両側イデアルとする。
a \sim b \iff a - b \in I
によって二項関係 ～ を定義すると、これは同値関係になる。この同値類には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。
新しく作られたこの環を R のイデアル I による剰余環と呼び、R/I と書く。商環と呼ばれる場合もある。
環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。すなわち、
f : R 1 → R 2 が準同型ならば、R 1 の核による剰余環 R 1/Ker f は準同型の像 Im f と同型である。
675:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:38:32.31 ooXUMShZ.net
>>623
逃げてるのは、中学頭の君だよ>>605
"(1)の証明をちゃんと１レスにまとめて・・”、”ちゃんとまとまってなきゃ指摘のしようも無い・・”か
そんなバカ頭じゃ、どうしよもないよ。もともと理解能力ゼロだ
676:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:42:37.85 ooXUMShZ.net
「じゃあ具体的に書こうか
お前は未だ証明を完成させていない
はい、書いたよ」か
小学生レベルだな
677:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:48:06.58 8RykR7UY.net
>>625
そんな必死に誤魔化さんでもｗ
適当にごちゃごちゃ誤魔化し書いたものには指摘にも値しないってことだよ
指摘を受けたいなら、受ける側もそれなりの節度を持って臨まんとな
まあ、君の場合ガチで指摘を受けたくないんだろうけど（笑）
678:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:49:00.06 8RykR7UY.net
>>626
事実完成させてないだろｗ
679:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:50:06.70 ooXUMShZ.net
>>621
>接続って結構ナウくてホモロジー代数に載りにくい概念なんだよな。
そういや、思い出してきたが、接続の幾何が、物理への応用があるって話が、あったね
下記みたいな話で良いんかね・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学（きかがく、古代ギ�
680:潟Vア語: γηωμετρια , 英語: geometry[1] ）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である[2][3]。 イエズス会マテオ・リッチによるgeometriaの中国語訳であり、gi-hoというgeoに似た音と、ものの大きさを測るという意味を合わせた「幾何」を日本でも用いている。 20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ワイル、E･カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[6]。 リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[4]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。 これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
681:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 20:52:03.62 ooXUMShZ.net
>>627-628
だから
それを数学的に指摘したらどうよと
それを逃げ回る君
そりゃ、無理だよ
君の頭は、１０００文字でオーバーフローだもんな（笑い）
682:１３２人目の素数さん
15/03/21 20:56:02.21 8RykR7UY.net
>>630
だから数学的に指摘して欲しいならちゃんと証明を書いたらどうよと
それを逃げ回る君
そりゃ無理だよ
君の頭は、上から目線は大好きだけど指摘されるのは大嫌いだもんな（笑い）
683:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 21:03:14.12 ooXUMShZ.net
>>622 関連
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
多重線形性てなんですか 2012/5/28
ベストアンサー
f:A→B
に関して
a,b∈A,α∈K
f(αa)=αf(a)
f(a+b)=f(a)+f(b)
が成り立っているときfは線形
今x1,x2,..,xn∈Aがあって
f(x1,x2,..,αxi,..,xn)=αf(x1,x2,..,xi,..,xn)
f(x1,x2,..,xi+xi',...xn)=f(x1,x2,..,xi,...xn)+f(x1,x2,..,xi',..,xn)
が成り立っているとき多重線形
行列式がそのひとつ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
現代的な行列式の概念の確立
現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。
コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。
1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。
ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。
行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。
ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。
行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキアンなど数学の様々な分野にあらたに行列式を持ち込むことが追求されている。
684:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 21:09:50.11 ooXUMShZ.net
>>631
どうも。スレ主です。
君が逃げ回っているのは、数学的に意味あるカキコをして、自分の数学レベルがばれることからだね
君は立派だよ、言い訳だけは
私スレ主は、すでに書いた >>436-440だ
これで出題者には、十分伝わった。だからの>>442「うん、いいんじゃないかな」だ
だが、残念なことに、君の頭の容量が、１０００文字なんだ。容量オーバーだったんだ（笑い）
家に帰って泣いてな（笑い）
685:１３２人目の素数さん
15/03/21 21:14:53.26 8RykR7UY.net
>>632
n個のK^nの元からKの元への写像 f(x1,x2,..,xi,..,xn) が多重線型性と交代性を併せ持つなら、
f(x1,x2,..,xi,..,xn)=f(e1,e2,..,ei,..,en)det(x1,x2,..,xi,..,xn)（但しeiは単位ベク
686:トル） が成り立つ。つまり、多重線型性と交代性は行列式を特徴付ける。Think different? by 2ch.net/bbspink.com
687:１３２人目の素数さん
15/03/21 21:17:47.08 8RykR7UY.net
>>633
＞これで出題者には、十分伝わった。だからの>>442「うん、いいんじゃないかな」だ
>>450
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
688:１３２人目の素数さん
15/03/21 21:20:27.63 829x2NjU.net
あいかわらず平行線だな。
接続という概念をはじめ平行、平行線は幾何とかかわりが強い。
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
689:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/21 21:51:20.23 ooXUMShZ.net
>>634
へー、書けるじゃん
>>635 ＞＞５７８
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
690:１３２人目の素数さん
15/03/21 21:59:56.27 8RykR7UY.net
>>632
＞1812年には積と行列式の関係を発表している
|AB|=|A||B| は、>>634 を使えばいとも簡単に証明できる。
>>637
＞へー、書けるじゃん
線型代数の入門レベルに過ぎない
＞>>635 ＞＞５７８
だから>>578が何の修正にもなっていないと
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
691:１３２人目の素数さん
15/03/22 00:02:55.96 +4s3Sa6v.net
どっちも一緒に黙っちゃったね。
692:１３２人目の素数さん
15/03/22 00:17:03.99 zrXoqD+e.net
俺(>>417出題者)の見解も>>638に同じ。>>578では説明になっていない。
>>440では「n∈Ker(f) ならば gng^-1∈Ker(f)」を証明している。
これはすなわち g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示したことになる。
n や g は最初から任意。∀を付けても変わらない。
残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明。
>>578で示せたというのなら、>>578を使ってこれを証明してみてくれ。
693:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/22 08:06:39.49 bOyC9x7S.net
>>638-640
どうも。スレ主です。
”Think different? by 2ch.net/bbspink.com”なので、それを考えていたんだが・・、バグか
で、本題
いや、みなさんレベル高いね。さすが大学の数学
ID:8RykR7UYさんは、ぱーちくりん連呼くんと思ったが、違うみたい
おっちゃんの添削をしているメンターさんかね？
「残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明」か・・
それは、>>578とはちょっと違うかな？ ほとんど終わっている気がするが、ほとんどではいかんと・・
問題再録 Q(1)>>417
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
０．正規部分群の定義、「N=gNg^-1」の形を使う
１．gng^-1∈Ker(f)→g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) （∀g∈G）を、すでに>>440で示した
２．そこで、n1,n2∈Ker(f),g∈Gとして
gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える。
（∵gn1g^-1≠gn2g^-1の両辺に、左からg^-1を、右からgを作用させれば、n1≠n2だから）
３．よって、gng^-1とnとは、一対一対応がとれる
４．gng^-1∈Ker(f)であったから、「N=gNg^-1」が成り立つ。QED
では
694:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/22 09:26:14.84 bOyC9x7S.net
共役の性質から従うんよね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群論において、任意の群は共役類に分割できる
同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする。すべてのアーベル群において各共役類は1つの元からなる集合（単元集合）である
定義
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役であるとは、G の元 g が存在して gag?1 = b を満たすことである
共役性は同値関係でありしたがって G を同値類に分割することが直ちに示せる
（これが意味するのは群の各元はちょうど1つの共役類に属し、類 Cl(a) と Cl(b) が等しいことと a と b が共役であることは同値であり、そうでなければ互いに素である。）G の元 a を含む同値類は
Cl(a) = { g ∈ G : ある x ∈ G が存在して g=xax?1 }
であり a の共役類と呼ばれる。G の類数とは互いに素な（異なる）共役類の個数である。同じ共役類に属するすべての元は同じ位数をもつ
部分群と一般の部分集合の共役
より一般に、G の任意の部分集合 S （S は部分群である必要はない）が与えられると、G の部分集合 T が S に共役であるということを、ある g ∈ G が存在して T = gSg?1 ということで定義する
Cl(S) を T が S に共役であるような G のすべての部分集合 T からなる集合として定義できる
頻繁に使われる定理は、G の任意の部分集合 S が与えられると、G における N(S) （S の正規化群）の指数は Cl(S) の位数に等しい：
|Cl(S)| = [G : N(S)]
これは従う、なぜならば g と h が G の元であれば、gSg?1 = hSh?1 であることと g?1h が N(S) の元であることは同値である、言い換えれば、g と h が N(S) の同じ剰余類の元であることと同値であるからである
この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）
したがって部分群は2つの部分群が同じ類に属することとそれらが共役であることは同値であるとして共役類に分けられることができる
共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。例えば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない
695:１３２人目の素数さん
15/03/22 10:40:41.71 a/hNjCFp.net
運営乙
I know they have nothing to tell at the 2ch.net!
696:１３２人目の素数さん
15/03/22 10:53:20.88 ci45Olgb.net
>>641
２は、φ：g・ker(f)・g^-1→ker(f)、φ(n)=n の単射性を示したに過ぎない。
一方３はφが全単射であると言っているが、φの全射性が示されていないので駄目。
697:１３２人目の素数さん
15/03/22 11:39:09.60 ci45Olgb.net
>>644
訂正
２は、φ：g・ker(f)・g^-1→ker(f)、φ(gng^-1)=n の単射性を示したに過ぎない。
698:１３２人目の素数さん
15/03/22 14:14:13.20 FC94teXg.net
スレ主の自明なことの詳細な証明始まりました！
699:１３２人目の素数さん
15/03/22 14:16:26.67 QgMGPgaD.net
ここはぱーちくりん張った結界である
パーチクリンに従うが良い
700:１３２人目の素数さん
15/03/22 15:19:54.29 UPYEnrDT.net
>>641
>おっちゃんの添削をしている
本来、私は、高校数学の問題を解いている予備校講師らしき
研究者崩れの人間に添削される筋合いなどないのだ。
701:１３２人目の素数さん
15/03/22 15:21:42.52 W9voAIXs.net
>>641
「一対一」(単射の場合)と「一対一対応」(全単射の場合)をしっかり区別して使うことは
代数以前の入門レベルの話だよね
702:１３２人目の素数さん
15/03/22 17:48:38.76 1qc6c5xt.net
>>648
「わたしは、高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間に、
何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」
と言っているようにしか見えないのだが、新しい自虐ネタのつもりかね？
お前の証明モドキを添削してたのは俺だが、高校数学の問題を解いているとはどういうことか？
俺は高校数学関連のスレには顔を出していない。
添削される筋合いなど無いというが、今まで散々間違えまくったザコのお前が言えたセリフではない。
一発で正しい解答が提示できていれば、他人の添削が入る隙など生じないのであり、
全てはお前の力不足が原因である(>>544で自覚しているようだが)。
お前自身、「自己査読していないことは自覚している(>>360)」とコメントしているように、
そのような いい加減な態度に甘んじていること自体が既にお話にならない。
他人の添削が入るのも当�
703:Rの成り行きである。 数学で一番恐ろしいのは、自分の間違いにずっと気づかないことである。 俺が手取り足取りお前の証明モドキを添削しなければ、 お前は間違った証明をいつまでも正しい証明だと勘違いしたままだったことになる。 俺に感謝する必要は微塵も無いが、だからといって「添削される筋合いなど無い」なんて クズもいいところだろう。今まで散々間違えまくったお前が言えたセリフではない。 やっと正解まで漕ぎ着けた>>512-514でさえ、なぜ上手くいったのか、 その正確な理由をお前は把握しておらず、正確な理由は俺が>>516で指摘したのである。 お前のレベルの低さがよく分かるだろう。
704:１３２人目の素数さん
15/03/22 17:51:56.91 UuL3oCxD.net
お前は馬鹿くんと後藤おじさんってすごく仲良いよね
705:１３２人目の素数さん
15/03/22 18:04:35.04 1qc6c5xt.net
>>648
さて、お前は>>545で
＞いや、オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
と言っているが、そのオイラー数が
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)オイラーの定数
のことを指しているのなら、それはまだ未解決問題だったはず。
もし本当に無理数であることが証明できているなら、さっさと論文にして
どこかの雑誌に投稿すべきである(もちろん、このスレに証明を書く必要はない)。
ま、どうせ「証明を間違えている」のがオチだろうがね。
いい機会だから、本気でその証明を検証してみたまえ。
どうせ間違いが見つかるよ。
706:１３２人目の素数さん
15/03/23 02:57:08.62 B+4Lwrme.net
>>650
>お前の証明モドキを添削してたのは俺だが、高校数学の問題を解いているとはどういうことか？
>俺は高校数学関連のスレには顔を出していない。
おいおい、2015年3月12日に
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
で
＞924 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 13:16:42.03 ID:Mah1XYlY
＞>920(スレ利用者のため、ここはそう書く)
＞たとえば、ペアノの公理系はどのくらい「真理とはほど遠い」のかね。
とか(続き)
707:１３２人目の素数さん
15/03/23 03:10:14.67 B+4Lwrme.net
>>650
(続き)
＞931 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 15:49:35.35 ID:Mah1XYlY
＞>928(同様)
＞ユークリッド幾何学の何を証明するの？
＞「ユークリッド幾何学を証明する」では日本語になってないよ。
＞あと、それ以前の問題として、ペアノの公理系が
＞ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明可能でなければならない理由は何？
＞
＞お前は「真理とはほど遠い」とほざいたんだぞ。それはすなわち、
＞
＞「とても真理とは呼べないシロモノが紛れ込んでいる」
＞
＞ってことだろ？
＞で、ペアノの公理系の場合は何が該当するの？
＞何が真理からほど遠いの？
＞俺はそれを聞いているわけだが、どうしてそこで
＞
＞「ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明できなければならない」
＞
＞というトンチンカンな方向に行くわけ？
＞それとも、ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明できなければ
＞真理とは呼べないわけ？だったら、なんでそこでユークリッド幾何学が中心に来てるの？
＞
＞そもそも、お前の言う真理って何？お前バカなの？
って書いてあるだろw
このスレの>>510-511のID:Mah1XYlYと見事に一致しているじゃないかw
違う人物が書いた可能性は低く、高校数学関連のスレに顔を出した可能性が高いぞ。