現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 - 暇つぶし2ch548:を取ると、或るk∈Zが存在して、s＝t+2k。よって、s＞tから、t+2k＞tであり、k≧1。t＞0だから、 1＜t+2kを得るが、一方1＞s＝t+2kであり、1＜t+2kに反し矛盾。 Case3-2)：m＝n＝-1のとき。このとき、①(②)から、e^{i(s+t)π}＝1を得る。故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s+t＝2k。然るに1＞s＞0、1＞t＞0から2＞s+t＞0であり、2＞2k＞0から、 1＞k＞0なる整数kが存在することになって矛盾。 Case3-1、Case3-2から、mn＝1のとき矛盾。　　　(Case3終) Case4)：mn＝-1のとき。このとき、m＝1、n＝-1　または　m＝-1、n＝1。 Case4-1)：m＝1、n＝-1のとき。このとき、n＝-1、①から、 e^{isπ}＝e^{i(-t)π}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2と同様に考えると矛盾。 Case4-2)：m＝-1、n＝1のとき。このとき、m＝-1、②から、 e^{i(-s)π}＝e^{itπ}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2(Case4-1)と同様に矛盾。 Case4-1、Case4-2から、mn＝-1のとき矛盾。　　　(Case4終) Case1～Case4から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。 [第6段]：乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

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