15/03/12 16:26:22.60 KvT+3nBA.net
>>279
(>>507の続き)
各a≧2に対して同型写像f(a,m_1)：B(t/a)→A(s/a)はaにより定まる
から、m_1を有理数変数として、BからAへの写像gを
g：B∋e^{im_1・tπ}→e^{im_1・sπ}∈A で定義すると、
gはBからAへの準同型である。ここで、e^{i(msπ)}∈T(s)⊂Aであり、e^{i(ntπ)}∈T(t)⊂Bだから、
①から、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}∈A∩Bであり、よってg(e^{i(ntπ)})＝e^{i(nsπ)}
からg(e^{imsπ})＝e^{insπ}…②。一方、e^{i(-m)sπ}∈T(s)⊂Aであり、
e^{i(-m)tπ}∈T(t)⊂Bだから、同様に①に注意して考えると、
g(e^{i(-m)tπ})＝e^{i(-m)sπ}＝e^{i(-n)tπ}…③。
よって、g：B→Aは準同型であることに注意すると、②、③から、
g(e^{im(s-t)π})＝e^{in(s-t)π}が得られ、e^{im(s-t)π}∈B、e^{in(s-t)π}∈A。
故に、或るm_1、m_2∈Qが存在してm_1・s＝m(s-t)、m_2・t＝n(s-t)となる。
ここで、s＞t＞0からt、s-t≠0であり、m、n∈Z＼{0}だからm_1、m_2≠0。
従って、(m_1・s)/(m_2・t)＝m/nから、s＝((m・m_2)/(m_1・n))・tである。
x＝m・m_2、y＝m_1・nとおくと、x、y∈Z＼{0}であり、s＝(x/y)t
T(s)＝T(t)だったから、|x|≠|y|とはなり得ず、|x|＝|y|から、x＝±y。
Case1)：x＝yのとき。このとき、s＝tであり、s＞tに反し矛盾。
Case2)：x＝-yのとき。このとき、s＝-tからs+t＝0であるが、これはs+t＞0に反し矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。
[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。
[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。
[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。