15/03/07 15:59:06.20 Pt6N2tUG.net
正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。
まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって [1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。
さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G
0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G
以上から G=R+ □