15/03/07 14:16:22.41 CATUi/5b.net
なんか、規制に引っかかって、書けなくなりました
そこで、「2ちゃんねるプレミアム Ronin」を購入して、Jane Styleを復活させました
コテ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”も復活です。はい
405:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:21:18.78 /NeL5nxq.net
>>376
1つ聞きたいことがある。
私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
単純に反例を挙げるだけでは済まなくなると思うが、この真偽については如何？
>>359
>>378の最後の行の「必要にで、」は「必要で、」の間違い。
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:22:22.17 CATUi/5b.net
ID:/NeL5nxqさんは、”おっちゃん”だと思うけど
”おっちゃん”らしいね
まあ、頑張って下さい
ID:AVlvxq7Sさんは、いつもの方と思いますが
まあ、お呼びするとしたら、”導師”か”メンター”か
私より、だいぶレベルが上ですね
辛抱強く、”おっちゃん”のご指導で、頭が下がりますね
私ら、”おっちゃん”のカキコを読む気がしない・・
407:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:27:48.03 /NeL5nxq.net
スレ主よ。
私の証明に対し反例を挙げて間違いを指摘している人間をどう思う？
意見を聞きたい。
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:29:19.89 CATUi/5b.net
>>382
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
連投規制になるかなと思ったが、おかげでクリアーできそうだ
>私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
>という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
なるほど、私に聞いているのではないと思うが
y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
そういう関数fのことかな？
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:31:23.87 CATUi/5b.net
>>384
”おっちゃん”の方が正しいと
心情的には言いたいが
私の数学的直感は逆だね
証明を細かく読んでないが
410:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:34:17.52 /NeL5nxq.net
>>385
>なるほど、私に聞いているのではないと思うが
>y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
>そういう関数fのことかな？
数論の或る病的な現象になっているんだよ。
本当に数論は正しいのだろうか？ と思っているんだよ。
411:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:37:39.85 /NeL5nxq.net
>>386
まあ、そのあたりはどうでもいいけどね。
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:46:25.91 CATUi/5b.net
>>334-338
どうも。スレ主です。
まあ、口だけ達者だな
ID:/CImvwKh、D:d/R6BEmu、ID:W+oQWcvbくんたちか
１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません
２．圏論は、最初から徹底コピペです�
413:諱B分かってないだろうというのは、正しい ３．「どんな大学でも無理でしょｗ 」も、多分正しい。入試は通るかも。卒業だけならできるかも ４．が、君たちとは同じあなのむ・・ で、君たちにも出題しておく。>>194の２問だ 問題１ は易しい。すぐ出来るはずだ 問題２ むずい。いまだに悩んでいる。なんとなく解らしいところに辿り着いたが、>>280のような簡単な証明が出来ないで悩んでいるんだ 君たち、賢いんだろ？ 教えてくれよ（笑い）
414:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:52:59.22 Kj5to7DQ.net
q∈Q とする。
定義により、ある n,m∈Z が存在して、q=n/m を満たす。
qは (m/n)x-1∈Q[x] の根であるから、定義によりqは代数的数である。
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:59:52.32 CATUi/5b.net
>>389
訂正 >>280→>>290
で、>>290で一つ小さな間違いがある
だれも指摘しないが
>７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
>８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED
ここ、C^{×}は連続の濃度→C^{×}は連続の濃度以上とすべきだった
U'⊂乗法群C^{×}の包含関係から言えるのは、”連続の濃度以上”だ
実際、個人的には、連続濃度の”べきの濃度”を持つと思っているので、なおさらそう書くべきだった
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:05:21.46 CATUi/5b.net
どうも。スレ主です。
この問題は、>>22の”おっちゃん”が前スレで出題した問題から派生したもの（いま、これに拘っているんだ）
誰かが何か書くまで、私の答えは書かないことにする。その方が楽しそうだからね（＾＾
>>194から再録
どうも。スレ主です。
まあ、口先ではなんとでも言える典型だよ、君たちは
では、こうしよう。ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、一週間時間をおいた>>153
そろそろ解答を書こうと思ったが、君たちのために、あと２４時間置こうと思う
問題１
>>80
では、君に出題する
「閉区間（例えば[101～102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101～102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？ 分かる人、証明するか理由を述べよ >>69
これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君たちはスレ主より上と認めよう
問題２
>>34
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
もちろん私は答えを得ている
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:10:01.41 CATUi/5b.net
>>390
どうも。スレ主です。
定義によりqは代数的数である。
↓
”定義によるが”、qは代数的数である。
かな？ ちゃちゃ入れて悪いが
418:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:12:31.32 Kj5to7DQ.net
>>390 は間違いじゃないけど美しくなかったので修正
q∈Q は x-q∈Q[x] の根だから、定義により代数的数である。
419:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:17:24.37 8nSsMcKh.net
ぱーちくりんスレ主が書き込みまくるから良くスレ伸びとるね
わかりやすく説明してるのにまだ理解できとらんとは
さすがぱーちくりんの中のぱーちくりん
420:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:19:23.52 CATUi/5b.net
>>387
>数論の或る病的な現象になっているんだよ。
>本当に数論は正しいのだろうか？ と思っているんだよ。
いや、心情的にはよく理解できる
なぜなら、カントールやゲーデル、ノイマンなど、その時代の基礎論の天才たちが何人も、人生をかけて挑んだ難問だ
はっきり言って、�
421:Q１世紀の現代数学も分かっていない部分が多いという 細かい部分に入って行くと、霧の中というか富士の樹海の中というか・・ 例えば、超越数（下記）。”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない”！ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。 1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、πと、e^π（ゲルフォントの定数） の代数的独立性が証明された。
422:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:23:22.16 Pt6N2tUG.net
横からだけど、俺が>>194の問題１を解いたら
俺がスレ主に正規部分群の問題出してもいいかな
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:27:37.36 CATUi/5b.net
ID:8nSsMcKhくん登場か
君は微笑ましいね
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう
”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
あれから、２週間以上経つ。まあ、君には無理と思ったが、当たっていたね
君の知能レベルは、スレ主以下と認定してあげるよ（＾＾
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:28:34.96 CATUi/5b.net
>>397
良いよ
425:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:33:56.57 Pt6N2tUG.net
>>399
よし。しばしお待ちを
426:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:38:17.09 CATUi/5b.net
>>390-394の代数的数関連部分
ここは、初心者も来ると思うので、世間の代数的数の定義を確認しておこう（下記。文字化けは修正せず）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 抜粋
数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数学の標準的な記号 \ \mathbb{Q}[x]\ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って \ A\ と書けば、
A=\Big\{a \in \mathbb{C}\ \Big|\ \big(\exists p(x) \in \mathbb{Q}[x]\big)\big[p(x) \neq 0 \ \&\ p(a)=0\big]\Big\}
となる。
概要
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
α が有理数ならば
f(x) = x - α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
無理数ではたとえば \sqrt{2} は
f(x) = x2 - 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x2 + 1
の根である ±i は代数的数である。
しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
このような数のことを超越数と呼ぶ。
427:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:42:13.26 Kj5to7DQ.net
>>382
全く駄目。
当たり前だが、反例が一個でも存在すればその命題は偽である。
具体的内容が書かれていないので何とも言えないが、「任意の実数」がただ単に「任意の無理数」とかの間違いなのでは？
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:43:38.75 CATUi/5b.net
>>401 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 抜粋追加
代数的性質
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、\overline{\mathbb{Q}} と表す。
\overline{\mathbb{Q}} の性質
\overline{\mathbb{Q}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、\overline{\mathbb{Q}} は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、\overline{\mathbb{Q}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。
集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、\overline{\mathbb{Q}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。
しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:49:58.14 CATUi/5b.net
>>389 追加
ここは、初心者も来ると思うので、下記でもご参照（補足：これ読んでも整理されていないから、あまり時間を掛けないようにご注意）
URLﾘﾝｸ(eman.hobby-site.com)
可分でも何故ベクトルが非可算無限 作れるのか？
430:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:53:55.16 CATUi/5b.net
>>404 追加
これ、ハメル基底関連な
”１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません ”
431:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:59:06.20 Pt6N2tUG.net
正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。
まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって [1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。
さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G
0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G
以上から G=R+ □
432:１３２人目の素数さん
15/03/07 16:24:13.27 Kj5to7DQ.net
＞r を 1 より大きい任意の実数とする。
に対して
＞ r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
が真なのは、nが十分大きいときだけだね
433:１３２人目の素数さん
15/03/07 16:37:11.21 Pt6N2tUG.net
「十分大きなある n で」以降は n をその値に固定してると思って読んでくれ
434:１３２人目の素数さん
15/03/07 16:51:05.76 xymY1OtG.net
>>377
＞というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
＞とばかり思っていた。
なに言ってるんだコイツ。矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
その一方で、お前の議論は間違っていて矛盾が示せてない。それだけのこと。
俺が言っていることは
・証明 A が正しくて、なおかつ A の中で条件 P が実際には使われてないなら、
その証明文 A の文中から条件 P を削除した新しい証明文 A’もまた正しい証明となる
ということに過ぎない。これをお前の証明に適用すると、A’に相当する証明が
明らかに反例を持っているので、もともとの A (＝お前の証明) も間違っている、というわけ。
＞一体、何にそういうことが書いてあるんだ？
たぶんお前は、俺の言っていることが理解できていない。
でなければ、そんな質問が出てくるわけが無い。
435:１３２人目の素数さん
15/03/07 17:05:31.19 Kj5to7DQ.net
>>408
了解。問題無いようだ。
436:１３２人目の素数さん
15/03/07 17:06:04.47 xymY1OtG.net
>>382
ややや。どこかで同じ内容の文章を見たことがあるぞ。
＞私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
＞という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
＞本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
その場合、「仮定が偽である命題は常に真である」ことを用いて、その命題は「真」となる。
具体例を挙げる。
「 有理数 x が x^2－2＝0 という条件を満たすならば、x は超越数である 」
という命題を考えると、この命題は「真」である。なぜなら、x^2－2＝0 を満たす
有理数 x は存在しないので、これは「仮定が偽の命題」となるからだ。
仮定が偽の命題は常に真であるから、この命題は真なのだ。
437:１３２人目の素数さん
15/03/07 17:08:30.50 Db4+HkFH.net
ガロア以前に松坂の「数学読本」でも読んだ方が良さげ
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 17:56:59.94 CATUi/5b.net
>>406
どうも。スレ主です。
了解。細かい点は別にして、証明の筋は同じだ
r^(1/n)で、nを十分大きく取ると、１に近づく
一方、連続区間があれば、十分１に近い比が取れる
だから、任意の実数0<ｒがＧに含まれる
開区間でも同じことは成り立つ
439:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 18:01:20.22 CATUi/5b.net
>>413
だから、連続区間を含むと、部分群は正の実数を全て含むようになる
正の実数の部分集合で、連続区間を含む場合、Ｇは正の実数全体と一致し、同じになる
ここの処理が、>>392の問題２の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」を示すときに悩ましい
440:１３２人目の素数さん
15/03/07 18:02:16.82 3fIdtYxU.net
天体現象に隠されたイエス・キリストの正体
zeitgeist／(時代精神) 日本語字幕版
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 18:05:52.39 CATUi/5b.net
>>414 つづき
>>392の問題２で、複素数の場合も似た事情がある
但し、複素数場合は、連続区間でも面積的広がりを持つ場合は、ゼロを除く複素平面全体に群が広がる
偏角θが一定で、絶対値のみ連続の場合は、ちょっと違う挙動みたいだね
まあ、ここらをどう処理するかを考えている・・
442:１３２人目の素数さん
15/03/07 18:08:59.15 Pt6N2tUG.net
じゃあ問題
(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
(2)
G を群とする。
C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。
(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。
(1)(2)は「正規」だけでなく部分群であることの証明もあればうれしい。
(3)は定義を知らなければスルーで。知識でなく理解を問いたいので。
443:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:08:04.60 CATUi/5b.net
>>404-405 ハメル基底追加
１．ハメル基は、具体的な構成はできない （英語のサイトもあったような。Smithさん”we have little use”と）
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topology/topology10.pdf 北大 石川剛郎 ２０００年
問．プリントの質問ですが，ハメル基とは具体的にはどんなものなのでしょうか？R をQ 上のベクトル空間としたときの基とはいったい何ですか？何けた続くかわからない無限に続く数をそんな１次結合で表される基底があるのでしょうか？
答．存在はしているが，具体的にはわからないもの，と考えるとよいと思います．あれば安心，保険のようなものでしょうか．
URLﾘﾝｸ(www.math.lsa.umich.edu) Karen E. Smithさん女性で写真があった
URLﾘﾝｸ(www.math.lsa.umich.edu)
Math 513: Linear Algebra, University if Michigan, Winter 1999 Supplementary Write up: Bases for Infinite Dimens
444:ional Vector Spaces http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf BASES FOR INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES MATH 513 LINEAR ALGEBRA SUPPLEMENT Professor Karen E. Smith University of Michigan. "There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space." ２．線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（下記） http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1298332077 2012/12/7 線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの証明です。 ベストアンサーに選ばれた回答 これに関してはハメル基（Hammel basis）という有名な反例がよく挙がります。このハメル基というものを構成するときに選択公理を用いるので、選択公理から出る"病的な"の一例としてもよく挙げられます。 ３．Hamel基？ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1364772673 2011/6/18 Hamel基について質問があります！
445:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:08:56.13 CATUi/5b.net
>>418 追加
４．Hamel bases and measurability ？ 濃度の話にはあまり役に立たないかも知れないが・・
URLﾘﾝｸ(www.imsc.res.in) SUNDER'S HOME-PAGE The Institute of Mathematical Sciences (インド？)
URLﾘﾝｸ(www.imsc.res.in) Hamel bases and measurability, with M.G. Nadkarni, Mathematics Newsletter, vol. 14, No. 3, (2004).
446:１３２人目の素数さん
15/03/07 19:11:58.67 Kj5to7DQ.net
>>417
さすがにそこまで基本的な問題なら間違えようがないだろう
447:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:14:31.76 CATUi/5b.net
>>417
どうも。スレ主です。
あれ？ ３問か
(1)は、基本問題だね。秒殺と行きたいが、無理。念のため本見るよ
(2)も、同じ。基本問題だね。
(3)も同じか。well-definedね
本みないでも、wikipedia程度で済みそうだが・・
(3)が一番簡単かな？ well-definedだけ確認かな・・
448:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:15:05.73 CATUi/5b.net
>>420
同意ｗ
449:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:18:32.02 CATUi/5b.net
>>421
一応これを押さえて・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。
文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。
well-defined は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「well-defined である」といった形で用いる。
名詞形 well-definedness などもあり、これを well-defined 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。
概要
以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。
(1) 定義で
450:使われる方法が実際にうまくいく。 (2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。 一つの対象のある表示に対して定義が満たされるが、別のある表示については満たされない状況であるとか、 一つの対象の異なる表示を考えると定義の示す結果がそれぞれの表示に対して異なるといった状況であるならば、与えられた定義はその対象自体に対する定義として不適切 (ill-defined) である。
451:１３２人目の素数さん
15/03/07 19:32:27.58 I5d5jn+t.net
(1)ができないのに(3)が一番簡単って、さすが笑わせてくれる
452:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:44:05.45 CATUi/5b.net
>>417
Q(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。
Q(3)
g1,g2・・・∈G、積を*で表す。また、n1,n2・・∈Nとする
剰余群 G/Nの要素を、g1N,g2N・・・と表す。g1N＝{g1*n1,g1*n2,・・・}以下同様
但し、g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元とする
剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
（正規部分群であるから、gjN＝Ngjなどが成り立つ）
単位元は、N自身とする。あるいは、eNと解する。実際、eN＝Nであるから
あと、逆元の存在を言って、well-defined の話か・・
まあ、メシ食って考えるわ
453:１３２人目の素数さん
15/03/07 20:47:56.94 Pt6N2tUG.net
いや本とかwikipediaとか見るなって
454:１３２人目の素数さん
15/03/07 20:54:15.35 Pt6N2tUG.net
>>425
定義は
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
までで十分。
そのあとの
＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×
それから、単位元とか逆元とかは well-defined の証明の後にするべき。
そもそも演算になってるかどうかわからないのに単位元も何もない。
455:１３２人目の素数さん
15/03/07 21:02:21.74 Pt6N2tUG.net
あとそういえば
G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切
456:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 21:05:06.49 CATUi/5b.net
>>425 つづき
メシ食って考えた
逆元の存在：
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
∵逆元のgi^(-1)∈Nなら、Nは群なのでgi∈Nとなるので矛盾
よって、剰余群 G/Nの積の定義、単位元、逆元の存在は示した。あと、結合法則があるが、元の群の積を流用しているので成り立つ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群 定義
well-defined：
１．>>423の「(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。 」は、終わった
２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい
457:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 21:17:53.95 CATUi/5b.net
>>429 つづき
３．正規部分群の定義：「G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。」を認めることとする
４．そうすると、左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まることを言えば、剰余類は一意に定まる
５．そうすると、>>423のwell-definedの(2)がいえるので、well-definedのwikipediaによる定義を満たすことになる
「左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まる」が、ちょっとね
ラグランジュの定理の証明などを使うと思ったが、ちょっと考えてみるよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
剰余類・剰余群
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、
G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H
と直和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。
G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。
特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指数という。
458:１３２人目の素数さん
15/03/07 21:21:18.71 Kj5to7DQ.net
おいおいスレ主さん大丈夫か？
459:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 21:30:12.21 CATUi/5b.net
>>417 つづき (>>429は残して（その内なんか思いつくかも）)
これ行ってみようか？
Q(2)
G を群とする。
C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。
A(2)
よく見ると、簡単かな？
えーと、Q(3)みたく、単位元と逆元がC(G)が含まれることを言えれば、結合則は自明で良いでしょ
460:１３２人目の素数さん
15/03/07 21:41:09.42 Pt6N2tUG.net
>>417は
・群の定義
・準同型写像の定義
・正規部分群の定義
（・剰余群の定義）
のみを知っていれば、あとは考えればわかるように選んだ。
なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。
>>432
部分群であるためには、あとは積について閉じている、すなわち
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G)
も必要。
461:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 21:59:51.28 CATUi/5b.net
>>432 つづき
単位元：
eh=he ∀h∈Gだから、e∈C(G)
逆元:
gh=hg ∀h∈Gから、g^(-1)∈C(G)を導く
gh=hgに、
g^(-1)を掛けて、g^(-1)gh=g^(-1)hg→h=g^(-1)hg
g^(-1)を逆から掛けて、同様に、h=ghg^(-1)が成り立つ
gh=hgに、g^(-2)=g^(-1)g^(-1)を掛けて
g^(-1)h=g^(-2)hg=g^(-2)(ghg^(-1))g=g^(-1)h=g^(-1)ghg^(-1)=hg^(-1)
つまり
g^(-1)h=hg^(-1)。よって、g^(-1)∈C(G)
ここで、結合則は群Gでの演算則を使った
C(G)でも、結合則は群Gと同様とする
よって、C(G)は群を成す
定義より、gh=hg ∀h∈Gであるから、C(G)は正規部分群
462:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 22:04:49.73 CATUi/5b.net
>>433
どうも。スレ主です。
>なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。
ああ、いまのところ、参照しているのは、群の定義の確認くらいだ
オリジナルで間に合っているよ
ところで、準同型写像の定義か・・、ああ、あれね。積とか保存される写像だったけね・・
463:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 22:50:57.76 CATUi/5b.net
>>417
では、これ
Q(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
A(1)
１．準同型も、群環体といろいろだが、要は代数構造が保存されると
２．群準同型：f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存されると
３．それで、証明の方針としては、
保存則は自明として
１） Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在
２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう
464:１３２人目の素数さん
15/03/07 22:53:35.88 Fg5OOJTO.net
絶賛迷走中
465:１３２人目の素数さん
15/03/07 23:01:12.04 Pt6N2tUG.net
>>434
正規であることの証明が本当に理解できているのか怪しい感じだが、まあ間違ってはないか。
積について閉じていることの証明がまだだ。
well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。
知識を問いたいわけじゃないから。
well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。
466:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 23:21:09.78 CATUi/5b.net
>>436 つづき
Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。
次に、g∈Ker(f) からg^(-1)∈Ker(f) を導く
g∈Ker(f) からf(g)=e'。このときf(g^(-1))=bとする。f(e)=e' より
e'＝f(e)=f(gg^(-1))=f(g)f(g^(-1))=e'b=b。即ちb＝e'から、g^(-1)∈Ker(f) が言える
g1,g2∈Ker(f) ならば g1g2∈Ker(f) も必要？ まあ、大学の試験なら書いてないと減点だろうね
g1,g2∈Ker(f) から、f(g1)=e' ＆ f(g2)=e'で、f(g1g2)=f(g1)f(g2)=e'e'=e'。よって、g1g2∈Ker(f) が言える
467:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 23:40:21.42 CATUi/5b.net
>>439 つづき
群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う
n∈Ker(f) とする
f(g)=g' (g∈G、g'∈G')とする。このとき、f(g^-1)=g'^-1である
（∵e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1)=g'f(g^-1)であるから、g'^-1を左から掛けて、f(g^-1)=g'^-1を得る）
f(gng^-1)＝f(g)f(n)f(g^-1)=g'e'g'^-1=g'g'^-1=e'
つまり、gng^-1∈Ker(f) であるから、正規部分群の定義を満たす
468:１３２人目の素数さん
15/03/07 23:41:36.77 Kj5to7DQ.net
>>440
これは酷い
469:１３２人目の素数さん
15/03/07 23:53:10.04 Pt6N2tUG.net
>>439>>440
うん、いいんじゃないかな
>>441
逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かって�
470:ﾄやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。
471:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 23:58:31.12 CATUi/5b.net
>>438
>積について閉じていることの証明がまだだ。
そうだね。大学の定期試験なら減点だろう
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G) >>433だね
g1,g2∈C(G) ならば 定義より、g1h=hg1 ＆ g2h=hg2
よって、g1g2h=g1(g2h)=g1(hg2)=(g1h)g2=(hg1)g2=hg1g2 が成り立つから、 g1g2∈C(G)が言える
472:１３２人目の素数さん
15/03/07 23:59:22.77 Kj5to7DQ.net
わかっていようがいまいが、それをきちんと示さなければ、定義を満たしていることを示したことにならない。
473:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:03:00.51 AXAfK1QO.net
>>428
>G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切
お言葉なれど、そうでもないと思う
ヒントは、選択公理
つまり、非可算無限集合から適当に選んだと解釈できる
474:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:03:54.50 AXAfK1QO.net
>>444
いやいや、お説ごもっともだ
おっしゃる通りだね
475:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:15:28.80 AXAfK1QO.net
>>438
>well-defined を知らないんだったら
全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね
で、共通認識として、>>423を出した。この線でやってみようと
>>417(3)で、一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。
それで、>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」に合うだろうと
正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが
右剰余類が１通り・・辺りが、うまく言えない・・
476:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:21:30.38 AXAfK1QO.net
>>429
文字化けしとるね
（訂正）
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
↓
任意のgi（gi not∈N）に対して、逆元のgi^(-1) not∈Nが言える
477:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:24:35.14 AXAfK1QO.net
>>441-442
逆の包含？ ちょっと意味が取れない
478:１３２人目の素数さん
15/03/08 00:27:24.55 P7UvCxav.net
やっぱわかってないんかーい
スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
逆はどうなのよ？って話。
479:１３２人目の素数さん
15/03/08 00:28:04.57 VjCS44NK.net
>>449
二つの集合が等しいとは？
480:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:33:28.88 AXAfK1QO.net
>>427
>＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
>これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
>剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×
まあ、定義と表現の関係だから、>>425程度で良いと思うよ
N→∀n∈Nとして
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
↓
∵gi∀n*gj∀n＝gi*(∀n*gj)*∀n＝gi*(gj*∀n)*∀n＝gi*gj∀n
だと。２ちゃんねるで、TEXなみの表現を求められてもね
上付き下付の文字も使えないし
481:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:35:46.46 AXAfK1QO.net
>>450
なるほど
ご指摘ありがとう
考えてみるよ
482:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 00:43:37.16 AXAfK1QO.net
>>450
>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。
>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」
でどう？
483:１３２人目の素数さん
15/03/08 01:00:52.80 VjCS44NK.net
>>454
「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ
逆に、ある特定の n∈Ker(f) でだけ gng^-1∈Ker(f) だとしたら、g・Ker(f)・g^-1⊂Ker(f) さえ言えていないことになる。
484:１３２人目の素数さん
15/03/08 01:09:56.12 P7UvCxav.net
>>452
>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。
あと N*N=N は一般には成り立たないと書いたが間違いだった。すまない。
(環のイデアルについて似たようなことがあったので混同してた)
485:１３２人目の素数さん
15/03/08 01:11:12.44 P7UvCxav.net
>>450の包含も逆じゃん・・・
今日はもう寝よう
486:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 07:20:07.61 AXAfK1QO.net
>>450>>454-457
どうも。スレ主です。
起きてきました
しかし、みなさんレベルが高いね
びっくりしました
”>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」”
ここね、実はちょっと気になっていたんだ。どう書くべきか。∀を付けるか、別の記号か。あるいは日本語で、”任意の”とするか
が、面倒なので１秒でスルーした
そこをすかさず突っ込みが入る
>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。
そう�
487:ｻう。数学科だったら、そういうべきだよね さすがです
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 07:34:21.81 AXAfK1QO.net
>>455
どうも。スレ主です。
>「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ
もともと、そうですよ
当然ながら
が、>>458で書いたように、丁寧に書けば、３通りくらいの表現は浮かんだけど、「めんどう」と思ったのでスルーした
実際、∀なんて、いま記号一覧開いて入力しているし、他の文からコピペできるけど、手が止まるからね
が、そこに敏感に反応するのは、お二人ともレベルが高いです
「N=gNg^-1」→N⊂gNg^(-1) ＆ N⊃gNg^(-1) が瞬時に浮かんでいるわけね。さすが
こっちは、無意識に、頭に浮かんだKer(f) のイメージで流して書いているから、＝なら集合の包含を二つ（不等式なら＞と＜と）が浮かんでない。まだ甘いね
間違ってはいないが、＝使うならそう見られているという意識は、なかったね、正直
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 07:44:57.17 AXAfK1QO.net
>>456
>>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
>giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。
そうそう。さすがです
定期試験とか、院試とか
ここらは見られるよね（余談だが、だいたいああいう試験は、「基本ができているか？」はしっかり見られるんだ）
専門の論文なら、省略の決まった流儀があるはず
適当に流した。”giN*gjN＝gi*gjN ”をきちんと集合の要素から、丁寧に説明する。群論入門なんかに普通に書いてあるように
が、つい丁寧にが、面倒になってね。手抜きしたら、結局おかしいよね。後から見ると。手抜きしちゃいかんね
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 09:28:20.82 AXAfK1QO.net
>>447
well-definedに戻る
>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする
”複数定まる対象を経由して行われる場合”は無視して、”結果がもともとの対象にのみ依存する”、つまり一意になることを示そう
１．剰余類別 G/Nが一意になることを示す。
>>438"well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。"と許可があったので、エムポストニコフを参照する
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp) ガロアの理論 (1964年) エム・ポストニコフ (著), 日野 寛三 (著)
（P25より）(ここでは、本に合わせて、群Gを部分群Hで類別することとする)
１）g∈Hgで、かってなg'∈Hgを取る
２）定義より、g'=h'g ここに、h'は部分群Hのある元
３）元g'の剰余類Hg'を考える
４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
６）即ちHg'⊂Hg
７）一方、任意の元 hg∈Hgは、h(h')^-1h'g=h(h')^-1g'と書ける（(h')^-1は、h'の逆元を示す）
８）h(h')^-1∈Hであるから、hg∈Hg'
９）このようにして、Hg'⊃Hg
以上より、Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる）
491:１３２人目の素数さん
15/03/08 09:46:21.19 AXAfK1QO.net
>>461 つづき
前スレで、群Gを部分群Hで類別することの一意性はほぼ示されているが、だめ押し
整列可能定理（下記）を認めるとする
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
（引用おわり）
群Gの要素を、整列可能定理により、g1,g2,g3,・・・と並べる
部分群Hによる類別を頭から行う
類別した要素は、取り除く
これを繰り返して、全ての群の要素を類別する
この類別は一意である（∵手順が一意であるから。なお、一意の証明（例えば一意でないとして�
492:ｵ盾を導く）は思いついていないが、考えればできるでしょう・・（＾＾ ） ２．群Gを部分群Hで類別することが証明されたので、剰余類別 G/Nも一意になる（右剰余類別、左剰余類別とも一意であり、正規部分群だから両者は一致する） （証明おわり） よって、”結果がもともとの対象にのみ依存する”が言えたので、>>423の意味でwell-definedである
493:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 09:56:15.17 AXAfK1QO.net
>>447 補足
>正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが
先に群Gを部分群Hで類別することの一意性から、１通りを言ったが
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
例えば、群を成すから、逆元も異なるし、積も異なるしと、全体が異なってしまう・・
そういう筋で証明できると思うんだが・・
実際に実行するとなると、大変そうなのでやめた
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 09:58:01.61 AXAfK1QO.net
>>463 訂正
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
↓
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばNg'≠Ng（g'≠g）のような要素が出てくると
495:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 10:01:08.53 AXAfK1QO.net
>>461 補足
群Gを部分群Hで類別することについては、ラグランジュの定理の証明で、どの本にでも書いてあるが
エム・ポストニコフ は、きわめて簡素かつ簡明に記載しているので、個人的には気に入っているんだ
496:１３２人目の素数さん
15/03/08 10:03:00.93 J8kzGD0a.net
スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。
497:１３２人目の素数さん
15/03/08 10:25:38.63 ndRfUVoG.net
>>411
>矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
そうでないと証明出来ない命題があるから、そうだよな。
今まで、議論の中で条件を背理法の枠組みで使っていなかった訳か。
知らぬ間に、マヌケな幻惑をした。
>だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。
そういう訳で、ディオファンタス近似の反例になるのではないかと思って、
いまいち気になっていた。有理数の稠密性は無理数の構成の前提になっているから、
数論のディオファンタス近似の理論は、本当に正しいだろうか？ と思ってさ。
ディオファンタス近似の理論は有理数の稠密性に矛盾していない訳か。
498:１３２人目の素数さん
15/03/08 10:27:38.94 ndRfUVoG.net
スレ主よ、おはよう。
499:１３２人目の素数さん
15/03/08 10:32:17.59 ndRfUVoG.net
>>411
>>467の「任意の有理数a＞0」は「或る条件を満たす任意の有理数a＞0」の間違い。
500:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 10:32:32.83 AXAfK1QO.net
>>419 ハメル基底追加
５．ハメル基底の説明が詳しい（が、Hの濃度が非加算無限まで言っていない。画竜点睛を欠くの感かな？ でも良いす）
URLﾘﾝｸ(www2.itc.kansai-u.ac.jp)
藤岡敦のホームページ
URLﾘﾝｸ(www2.itc.kansai-u.ac.jp)
２０１４年度春学期「集合と位相１」
URLﾘﾝｸ(www2.itc.kansai-u.ac.jp)
§１１．選択公理 ６月２６日分資料（６月２０日版）
(余談：googleではなぜか下記の古い方がヒットした)
URLﾘﾝｸ(www2.itc.kansai-u.ac.jp)
２０１３年度 春学期 集合と位相１
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§１１．選択公理 ６月２４日分資料（６月１８日版）
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 10:33:27.84 AXAfK1QO.net
>>468
どうも。スレ主です。
その声は、”おっちゃん”だね
おはようさん
502:１３２人目の素数さん
15/03/08 10:35:14.03 w9eWIo7o.net
休むに似たりの思考
503:１３２人目の素数さん
15/03/08 10:38:07.83 ndRfUVoG.net
>>411
いや、有理直線Qは体でQ^{×}は群だから、>>467は大きな間違いではないな。
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 11:03:25.42 AXAfK1QO.net
>>404-405>>418-419>>470
ここは初学者も来るので、ハメル基についてまとめておく
１．>>404の「可分でも何故ベクトルが非可算無限 作れるのか？ 」辺りを読むと、おまえら分かってないと。世の中分かってないやつが多い。それが、ハメル基
（もちろん、おれも分かってないけどｗ）
２．Karen E. Smithさん女性（でも大学教授）下記（要は、あまり実用にならないよ？）
"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."
３．もともとは、ハメルさんが、線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（正確には”関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y)がf(x)=axに限ること”らしい）
４．藤岡敦（関大）などを見れば分かるが、
”H をRに対するHamel の基底という. Hamel の基底はベクトル空間に対する基底の概念の特別な場合である.”と
５．結局、Hの濃度が非加算無限は、実数Rが非加算無限であることから導かれると見た
６．つまりは、ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう
７．ならば、おっちゃんの出題>>26「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。」に、ハメル基を持ち込むことは本末転倒だろう
８．これは>>334-335への答えであり、>>332への補足だ
だれかが、”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”というから
ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないと（まあ上記１です）
Karen E. Smithさんが正しいと思うぞ
追伸
個人的所感だが、
１．ハメル基のおもしろさは、RがQ係数の有限個のハメル基のベクトル空間と見ることができるというところ
２．しかし、残念ながら、H自身は有限どころか、非加算無限
３．かつ、その具体的構成法は与えられていない・・
（以前書いた超越数の記事などを見ると、もし具体的でなくとももう少し使える構成法を与えたら、なにかの賞でも貰えそうかな・・）
505:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 11:22:57.05 AXAfK1QO.net
>>466
どうも。スレ主です。
ID:J8kzGD0aくんか。君にはまだ残っている下記を出題しておく
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
まあ、君には無理だろうがね（笑い）
>スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。
お褒めを頂き光栄です。私も、若い頃は複雑なことを考えていた
だが、会社でね、偉くなる人はシンプルな考えをしていると気付いたんだ
「複雑なことを整理してシンプルに考える」。それが出来る人が本当に賢い人だと
君の頭は複雑なままのようだね。下記KISSの原則（法則とも）を、アドバイスしておくよ（笑い）
KISSの原則 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（KISS の原則 (KISS principle) とは、"Keep it simple, stupid" （シンプルにしておけ！この間抜け）、もしくは、"Keep it short and simple" （簡潔に単純にしておけ）という経験的な原則[1]の略語。
その意味するところは、設計の単純性（簡潔性）は成功への鍵だということと、不必要な複雑性は避けるべきだということである。）
（参考）
URLﾘﾝｸ(oshiete.go)
506:o.ne.jp/qa/237888.html simple is best は和製英語ですか？ 2002/03/19
507:１３２人目の素数さん
15/03/08 13:59:35.95 P7UvCxav.net
>>461-465
正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、
>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。
g,h∈G に対して、gN * hN = g*hN と定義したが、
別の g',h'∈G が gN=g'N, hN=h'N を満たすとき、
g'N と h'N の積 g'*h'N が元の g*hN と同じでなければならない。
こういうのが成り立つとき、演算が well-defined であるという。
つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
という命題。
508:１３２人目の素数さん
15/03/08 19:49:52.16 QjV3TEti.net
>>467
＞いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
＞pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
＞あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
＞不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。
いやいや、同じことだろ。
有理数や代数的無理数は、「実際にはその不等式を満たさない」。
もしくは、その評価自体が間違ってる。
どちらにせよ、詳細がぼかしてある以上は、これ以上は話しても無駄だな。
509:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 20:15:14.02 AXAfK1QO.net
>>476
どうも。スレ主です。
>>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。
こっちも、何が言いたいのかよくわからない
出題で意図された"well-defined"を、はっきりさせてくれるかい・・？
と・・、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”か・・？
いや、そもそも、"well-defined"については、>>423と>>447で２回言及している
後のレスでは、「全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね 」だと
そのときに、話を出して貰えれば早かったんだ
まあ、はっきり言わせて貰えば、あなたのいう"well-defined"は、特殊ケースであって（この問題限り）
一般の"well-defined"の概念自身は、個別の問題を離れた概念だと思っている。それが上で述べたことだよ
そして、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている
エム・ポストニコフでね
それを今から示そう
510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 20:21:51.87 AXAfK1QO.net
>>478 つづき
”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
（証明のあらすじ）
１．実質は、>>461のエム・ポストニコフで終わっている
２．それに、Nが正規部分群であることを組み合わせる
この場合、下記の中の「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」が使い易いだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 正規部分群
511:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 20:54:00.09 AXAfK1QO.net
>>479 つづき
”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
（証明）
１．まず、>>461のエム・ポストニコフより、必要な事項を引用する
２．gN=g'Nより、g'∈Ngで、g'=ng ここに、nは部分群Nのある元とすることができる
３．同様に、hN=h'Nより、h'∈Nhで、h'=n'h ここに、n'は部分群Nのある元とすることができる
４．これと、前述の正規部分群の定義「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」を使う
５．正規部分群の定義より、ng＝gn”、n'h＝hn'”となる元n”、n'”がNに含まれている。n”*n'”=n”'”としておく（n”'”はNの元である）。
６．g'*h'N=ng*n'h N=gn”*n'h N＝g(n”*n')h N＝g（n”'”）h N
７．ここで再び、（n”'”）h＝hn”'””となるNの元n”'””を取ることができる（∵Nは正規部分群だから）
８．よって、g（n”'”）h N＝ghn”'”” N＝ghN＝g*hN (ここで、n”'”” N＝Nを使った。また、gh＝g*hは積*の定義より)
９．従って、g'*h'N=g*hN が成り立つ
証明おわり
512:１３２人目の素数さん
15/03/08 21:16:52.96 AJ6aUn3m.net
ていねい？とかしゅってん？とか間違い？とか訂正？とか言い訳はいいけど、
(1)-(3)の回答を1レスに納められないって、いろいろと能力を疑うな
513:１３２人目の素数さん
15/03/08 21:39:12.37 Hjn71QWc.net
何事も基礎を固めるのが重要だよ
急がばまわれ
何年もアタフタするより、しっかり本を読めばアホでも長くても半年である程度物にできると言うのに……
514:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 21:43:26.26 AXAfK1QO.net
>>461
余談だが、エム・ポストニコフ の
”Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する”
で、これを書いていて思ったのは、
> ３）元g'の剰余類Hg'を考える
> ４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
> ５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
> ６）即ちHg'⊂Hg
あたりのからくりが、>>413のからくりに似ていると
つまり、GやHが群を成すから、一つの元g'からつぎつぎに、群の演算で関連事項が紡ぎ出されて、Hg'⊂Hgに到達するんだと
それと、>>413の「連続区間があれば、群演算で結局任意の実数0<ｒがＧに含まれる」という流れに類似性を感じた・・
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 21:48:19.33 AXAfK1QO.net
>>481-482
はいはい、口達者なものたちよ
君たちには、まだ残っている下記を出題しておく
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い）
516:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 21:51:37.95 AXAfK1QO.net
それと、スレを分けているのは、テクニックだ
どうせ、いままで１０００には到達していないんだし
スレの番号が上がる方が、勢いがあると思われるｗ
それに詰めて書くと、君たち短文しか読めない人にはつらいだろうと（笑い）
517:１３２人目の素数さん
15/03/08 21:52:46.78 6EmqTtpH.net
>>484
はいはい、口すらまともに使えない人
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
君には、まだ残っている下記を出題しておく
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）
518:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 22:24:11.39 AXAfK1QO.net
どうも。スレ主です。
>>417の出題者は、はっきりスレ主よりレベル上ですな
>>486のID:6EmqTtpHくんは、はっきり下（笑い）
答えを教えて欲しいと懇願しているのか？ 教えてはやらんよ（笑い）
519:１３２人目の素数さん
15/03/08 22:29:22.42 Qm87LPZ3.net
後藤さんよかったね、おめ☆
520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 22:31:50.47 AXAfK1QO.net
>>417の出題は、一見基本問題だが、普通のテキストでは、おそらく自明ないし簡単に流している部分なんだろう
大学の授業でも先を急ぐから、さらっと流す
おそらく、出題者は、自分で少し考え込んだところを出題したと見た
あまり書物に書いていないが、数学的思考を必要する部分を
それが、さらっと問題として書けるところが、レベルが高いよね
面白い問題だった
ありがとう
521:１３２人目の素数さん
15/03/08 22:33:18.52 8lu3Wqbx.net
はじめの一歩も進めないのに、急ぐとか？
522:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 22:50:08.45 AXAfK1QO.net
>>441の人もレベル高そうだね
例の”おっちゃん”の証明を添削している人かな
523:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 22:55:08.52 AXAfK1QO.net
>>481と>>482とは、レベル低そうだな
口だけ達者
どうせ、>>484には答えられないと見た
うかつに答えられないよねー
赤っ恥かく可能性があるからねー、君たちレベルなら（笑い）
524:１３２人目の素数さん
15/03/08 22:57:43.45 khTNl2lG.net
>>489
あの問題、どの辺が面白かったの？
525:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 23:02:04.58 AXAfK1QO.net
>>490
レスする必要もないのかも知れないが
>>417の問題で書いた証明は、何年も前にどこかで見たことを自分なりにアウトプットしただけよ（つまりは、勉強は一通り終わっていると）
スレ主はガロアではない。自分で群論を考え出す力は無いよ。それは、あなたたちも同じはずだ。テキストを読んで、授業で学んで、宿題をして、試験勉強をして、問題が解ける
526:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 23:06:10.97 AXAfK1QO.net
>>493
どうも。スレ主です。
そうだね、やはり問題（３）で、well-defined（結果の一意性）を示すために、エムポストニコフを読み直したことかな、久しぶりに
エムポストニコフの証明は、なんど読んでも鮮やかで、感心するね
527:１３２人目の素数さん
15/03/08 23:08:35.88 il0Z6Fow.net
>>495
(1)がヒントってのはわざとオミットしてたの？
528:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 23:09:26.38 AXAfK1QO.net
>>495 補足
(1)(2)は、落ち着いて問題を読んだら、解答はすぐ浮かんだけどね
まあ、この板では証明は書きにくい。逆元なんて手で書けば－１を肩に書けばしまいだが、アスキーで書くとなると一工夫必要だし・・
529:１３２人目の素数さん
15/03/08 23:11:49.27 il0Z6Fow.net
そうなんだ、いろいろとたいへんだね
530:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/08 23:12:24.83 AXAfK1QO.net
>>496
? 誘導問？ 気付かなかったね （大学入試の大問の中の(1)(2)(3)みたいな配列かい？）
個人的には（３）が一番題意が取りやすかった
531:１３２人目の素数さん
15/03/08 23:15:25.67 il0Z6Fow.net
そんなこと言うと、出題者さん泣いちゃうよ＞＜
せっかく親切にしてくれたのに
532:１３２人目の素数さん
15/03/08 23:17:20.31 VjCS44NK.net
(1)の証明って終ったの？
でいろいろ指摘されてたけど
533:１３２人目の素数さん
15/03/08 23:38:34.38 Hjn71QWc.net
キモい
せっかく親切心でレスしてやったのに再び見に来たら罵倒されてるし
数学なんてやめたら？
continueじゃなくて、restartするべきだよ
534:１３２人目の素数さん
15/03/08 23:39:49.64 P7UvCxav.net
以前、「正規部分群の問題」とか言って出てきたのがちょっとアレだったので
もうちょっとマトモなものをと思って>>417を出した。
>>480
はい、よくできましたっと
(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)
>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが
俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも
>>499
題意取れてなかったじゃないですかー
535:１３２人目の素数さん
15/03/09 18:29:00.33 xxNMxkkG.net
くだらん
あほか？
536:１３２人目の素数さん
15/03/09 20:50:34.73 ar9H3cST.net
URLﾘﾝｸ(jbbs.shitaraba.net)
537:１３２人目の素数さん
15/03/10 10:26:58.77 +DhpSksz.net
>>504
スレ主はぱーちくりん
538:１３２人目の素数さん
15/03/12 16:22:42.92 KvT+3nBA.net
>>279
>>239-240は次のように訂正。
[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}…①。
ここで、自然数a≧2を任意に取る。すると、2＞s＞1＞t＞0から、1＞s/a＞1/a＞t/a＞0
である。また、N∪{0}、Zは両方共に可算無限集合である。よって、
A(s/a)＝{e^{im_1・(s/a)π}|m_1∈Z}、B(t/a)＝{e^{im_1・(t/a)π}|a∈Z}
とおくと、A(s/a)、B(t/a)は両方共に可算無限群である。そして、m_1を整数変数とすると、
f(a,m_1)：B(t/a)∋e^{im_1・(t/a)π}→e^{im_1・(s/a)π}∈A(s/a)
はB(t/a)からA(s/a)への同型写像である。自然数a≧2は任意だから、
aを走らせて考えて、A(s/a)、B(t/a)、f(a,m_1)のa≧2についての各和集合
∪A(s/a)＝{e^{im_1・sπ}|m_1∈Q}、 ∪B(t/a)＝{e^{im_1・tπ}|m_1∈Q}、
∪f(a,m_1)＝{f(a,m_1)：B(t/a)∋e^{im_1・(t/a)π}
→e^{im_1・(s/a)π}∈A(s/a)|a∈N＼{0,1}、m_1∈Zは変数}
を、それぞれ、A＝∪A(s/a)、B＝∪B(t/a)、F＝∪f(a,m_1)
とおけば、A、Bは両方共にC’上における可算無限巡回群であり、
Fは自然数a≧2により定まるB(t/a)からA(s/a)への同型写像の可算無限集合である。
539:１３２人目の素数さん
15/03/12 16:26:22.60 KvT+3nBA.net
>>279
(>>507の続き)
各a≧2に対して同型写像f(a,m_1)：B(t/a)→A(s/a)はaにより定まる
から、m_1を有理数変数として、BからAへの写像gを
g：B∋e^{im_1・tπ}→e^{im_1・sπ}∈A で定義すると、
gはBからAへの準同型である。ここで、e^{i(msπ)}∈T(s)⊂Aであり、e^{i(ntπ)}∈T(t)⊂Bだから、
①から、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}∈A∩Bであり、よってg(e^{i(ntπ)})＝e^{i(nsπ)}
からg(e^{imsπ})＝e^{insπ}…②。一方、e^{i(-m)sπ}∈T(s)⊂Aであり、
e^{i(-m)tπ}∈T(t)⊂Bだから、同様に①に注意して考えると、
g(e^{i(-m)tπ}
540:)＝e^{i(-m)sπ}＝e^{i(-n)tπ}…③。 よって、g：B→Aは準同型であることに注意すると、②、③から、 g(e^{im(s-t)π})＝e^{in(s-t)π}が得られ、e^{im(s-t)π}∈B、e^{in(s-t)π}∈A。 故に、或るm_1、m_2∈Qが存在してm_1・s＝m(s-t)、m_2・t＝n(s-t)となる。 ここで、s＞t＞0からt、s-t≠0であり、m、n∈Z＼{0}だからm_1、m_2≠0。 従って、(m_1・s)/(m_2・t)＝m/nから、s＝((m・m_2)/(m_1・n))・tである。 x＝m・m_2、y＝m_1・nとおくと、x、y∈Z＼{0}であり、s＝(x/y)t T(s)＝T(t)だったから、|x|≠|y|とはなり得ず、|x|＝|y|から、x＝±y。 Case1)：x＝yのとき。このとき、s＝tであり、s＞tに反し矛盾。 Case2)：x＝-yのとき。このとき、s＝-tからs+t＝0であるが、これはs+t＞0に反し矛盾。 Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。 [第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。 θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。 [第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。 複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。 [第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。 開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
541:１３２人目の素数さん
15/03/12 16:28:46.82 KvT+3nBA.net
まあ、細かいことは後で。ちょっと寝る。
542:１３２人目の素数さん
15/03/12 17:06:26.57 Mah1XYlY.net
>>507-508
今までと全く同じミスを繰り返している。その議論では
「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 」という条件しか使っていないので、
「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 ならば 矛盾」が証明できたことになり、
従って「 s,t∈R－Q, s＞t＞0 ならば T(s)≠T(t)」が証明できたことになるが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
よって、今回の議論も自動的に間違っていることになる。
＞ここで、自然数a≧2を任意に取る。すると、2＞s＞1＞t＞0から、1＞s/a＞1/a＞t/a＞0
この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
そこから得られる「 1＞s/a＞1/a＞t/a＞0 」という不等式は その後の議論で
全く使われてないので、実際には「2＞s＞1＞t＞0」という条件は使われてないことになる。
そして、証明をよく読むと、実際に使われている条件は
「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 」
のみである(よって、自動的に間違っている)。
543:１３２人目の素数さん
15/03/12 17:13:54.33 Mah1XYlY.net
あと、いま気づいたことだが、>>507の[第5段]は、
そもそも命題自体が間違っている。
以下で[第5段]の反例を挙げる。
0＜α＜1なる無理数αを1つ取り、t＝α, s＝2－αと置くと、
s,t∈R－Q かつ 2＞s＞1＞t＞0 が成り立つことが分かる。
さらに、T(s)＝T(t) が成り立つことが確かめられる。
よって、[第5段]はそもそも命題自体が間違っている。
一応補足しておくと、[第7段] の命題は正しくて、
これさえ示せれば目標は達成される。
(ただし、今回のお前の論法では [第7段] は示せてないってこと。)
544:１３２人目の素数さん
15/03/13 13:36:11.32 hKmg+Ort.net
>>279
示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。
[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
任意の有理数aに対し、{a,s}、{a,t}は有理数体Q上線型独立であることに注意して、
m、nを整数変数とすると、任意のe^{i(ms)π}∈T(s)(或いは任意のe^{i(nt)π}∈T(t))に対して
或るe^{i(nt)π}∈T(t)(同じく続けて或るe^{i(ms)π}∈T(s))が一意に定まって、
e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π}。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…①。
また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…②。
Case1)：mn≧2のとき。①、②から、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}。
よって、mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数mn-1の有限巡回群になって矛盾。
Case2)：mn≦-2のとき。①、②から、e^{isπ}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(-mn)tπ}。
よって、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数|mn|-1＝-(mn+1)の有限巡回群になって矛盾。
545:１３２人目の素数さん
15/03/13 13:40:55.88 hKmg+Ort.net
>>279
(>>512の続き)
Case3)：mn＝1のとき。このとき、m＝n＝1またはm＝n＝-1。
Case3-1)：m＝n＝1のとき。n＝1(m＝1)、①(②)から、e^{isπ}＝e^{itπ}。
故に、偏角の不定性から両辺に主値
546:を取ると、或るk∈Zが存在して、s＝t+2k。 よって、s＞tから、t+2k＞tであり、k≧1。t＞0だから、 1＜t+2kを得るが、一方1＞s＝t+2kであり、1＜t+2kに反し矛盾。 Case3-2)：m＝n＝-1のとき。このとき、①(②)から、e^{i(s+t)π}＝1を得る。 故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s+t＝2k。 然るに1＞s＞0、1＞t＞0から2＞s+t＞0であり、2＞2k＞0から、 1＞k＞0なる整数kが存在することになって矛盾。 Case3-1、Case3-2から、mn＝1のとき矛盾。 (Case3終) Case4)：mn＝-1のとき。このとき、m＝1、n＝-1 または m＝-1、n＝1。 Case4-1)：m＝1、n＝-1のとき。このとき、n＝-1、①から、 e^{isπ}＝e^{i(-t)π}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2と同様に考えると矛盾。 Case4-2)：m＝-1、n＝1のとき。このとき、m＝-1、②から、 e^{i(-s)π}＝e^{itπ}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2(Case4-1)と同様に矛盾。 Case4-1、Case4-2から、mn＝-1のとき矛盾。 (Case4終) Case1～Case4から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。 [第6段]：乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。 開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
547:１３２人目の素数さん
15/03/13 16:40:30.18 hKmg+Ort.net
>>279
>>512のCase2は次のように訂正：
>Case2)：mn≦-2のとき。①、②から、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}
>であり、e^{i(-s)π}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{i(-t)π}＝e^{i(-mn)tπ}。また、点1はT(s)、T(t)の単位元である。
>T(s)の点e^{i(-s)π}はe^{isπ}∈T(s)の逆元であり、T(t)の点e^{i(-t)π}はe^{itπ}∈T(t)の逆元である。
>T(s)、T(t)は単位円周C’上の群だから、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に
>位数(|mn|+2)-1＝|mn|+1＝-mn+1の有限巡回群になって矛盾。
548:１３２人目の素数さん
15/03/13 16:44:20.68 xRYOqgaS.net
>>512-513
正解。すばらしい。1＞s＞t＞0 という条件も本質的に全て使われている。
大切なのは、T(t)＝T(s)から導かれる
＞よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…①。
＞また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…②。
この2行である。今までは、T(t)＝T(s)から
「 ある n,m∈Z－{0} が存在して e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π} 」… (*)
しか導いていなかったから上手く行かなかったのであり、
ここからさらに踏み込んで、より便利な ①,② を導いたのが成功の鍵なのだ。
実際、T(t)＝T(s)が成り立つことと①＆② が成り立つことは同値となるので、
①＆② を使うことは「 T(t)＝T(s) 」を完全に使っていることを意味する。
一方で、T(t)＝T(s)と(*)は同値にならないので、(*)ばかり使っていた今までの議論では、
「 T(t)＝T(s) 」を完全には使っていなかったことになる。
549:１３２人目の素数さん
15/03/13 16:48:30.85 xRYOqgaS.net
ちなみに、
＞示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
＞道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。
盲点もクソもなくて、俺は>>347の時点で最初から「これは正しくて、証明も簡単に済む」と
指摘していたのであり、実際お前は>>347以降の しばらくの間、今回と全く同じ命題について
直接的な証明を試みていたのだ。それが上手く行かなかったからといって、途中で勝手に
「2＞s＞1＞t＞0」という条件に差し替えて悪戦苦闘していたのが今までの流れである。
そして、今回は>>347の方針に逆戻りしたに過ぎないのだ。
で、今回と>>347の違いは上のレスで既に説明した。
単にお前が、(*)よりも強い①＆②に気づいただけの話である。
550:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/13 22:32:55.89 09ioS4MW.net
>>506
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう>>398
”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
>>406 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG さんがあっさり解いたね
>>502 ID:Hjn71QWc くんか・・口達者なものよ、君には宿題を出しておいたが、できたか？ >>484だ
お二人には、再度問題を書いておく
>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い） ふふ、”何事も基礎を固めるのが重要だよ 急がばまわれ”、”数学なんてやめたら？ continueじゃなくて、restartするべきだよ”か、上手いことを言うね、口先くん。君の数学の実力を見せてくれ
ハメル基でも何でも使えよ・・、使えるものならね（笑い）
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう（笑い） おそら次の週も同じことが書けそうだな・・
551:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 00:10:44.17 1ktc1FSG.net
>>515-516
ID:xRYOqgaSは、メンターさんか・・
>>5
552:12-514 ID:hKmg+Ort は、”おっちゃん”か・・ ”おっちゃん”の証明を見ると、かつてのコテKummerさんを思い出すよ・・ メンターさんが、”おっちゃん”の証明を追う忍耐は驚異的です 頭が下がります
553:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 00:21:39.61 1ktc1FSG.net
>>503
well-difined ね
”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
>>423 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) の後があった・・「代入原理と呼ばれる条件」（下記だね）
例
例えば、写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件
a = b → f(a) = f(b)
を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。
鎖複体の射からホモロジー（これは鎖複体から定まるある商加群である）の間の準同型が誘導されるが、このときも well-defined 性が問題になる。
上述の一意性に加え、写像の行き先が実際に終域に入っていることを確かめなくてはならない。
（引用おわり）
余談だが、英文では、３つに分けて説明しているね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-defined functions
Operations
Well-defined notation
554:１３２人目の素数さん
15/03/14 00:23:05.43 EELCrdHf.net
数少ない支援者の後藤さんを応援してあげてよｗ
555:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 05:53:01.88 1ktc1FSG.net
>>520
どうも。スレ主です。
ID:EELCrdHfさんか
後藤さんとは、>>417を出題した人のことかな？
君は、>>488で「後藤さんよかったね、おめ☆ 」と書いていたね
が、>>356では「後藤さん張り切ってるね」で、後藤さん＝”おっちゃん”と読める
はて？ 両者は別人だろう？
まあ、ともかく、>>417の出題者と、”おっちゃん”とが、支援者というのは納得です
556:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 06:03:04.26 1ktc1FSG.net
>>519
well-difined は、はっきりさせておきたい
ここは初学者も来るからね
wikipedia にあるように
「写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)
を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。」と
つまりは、well-defined 性とは、代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)が成り立つかどうかと
英wikipedia では
Well-defined functions
All functions are well-defined binary relations: if there exist two ordered pairs in the function with the same first coordinate, then the two second coordinates must be equal.
More precisely, if (x,y) and (x,z) are elements the function f, then y=z.
Because the output assigned to x is unique in this sense, it is acceptable to use the notation f(x)=y (and/or f(x)=z) and to take advantage of the symmetric and transitive properties of equality.
Thus if f(x)=y and f(x)=z, then of course y=z.
An equivalent way of expressing the definition above is this: given two ordered pairs (a,b) and (c,d), the function f is well-defined iff whenever a=c it is the case that b=d.
The contrapositive of this statement, which is equivalent and sometimes easier to use, says that b≠d implies a≠c.
In other words, "different outputs must come from different inputs."
In group theory, the term well-defined is often used when dealing with cosets, where a function on a quotient group may be defined in terms of a coset representative.
Then
557: the output of the function must be independent of which coset representative is chosen.
558:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 06:39:39.82 1ktc1FSG.net
>>522 つづき
英wikipedia の記述が難しく、意味がとれないところがあるが（英文だしね）（＾＾
日wikipedia の”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”を正としよう
で、私がやったことは、まさにこれ（日wikipedia ）
>>461で、「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする と
そして、「Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる） 」を証明した
次に、>>462で、整列可能定理と剰余類別 G/Nも一意（正規部分群だから）を示した
この方針は、>>447に書いた、（部分群Hに対して）「一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。」によった
で、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
↓↑
”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”
（同値）が言えるのかね？
>>478で述べたように、私は（一意対応）を直接示したから、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている と（つまり一意対応から、「積も一意」はすぐ示せる）
が、問題は「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」→（一意対応）が言えるのか？
gNの定義をしっかりしていれば言える？ でも、gNの定義の過程で代入原理 a = b → f(a) = f(b) （一意対応）を先に示してしまえば、そこで終わってる話と思うのだが・・
559:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 07:02:02.51 1ktc1FSG.net
>>474 ハメル基つづき
ちょっと考えたことがあるので、書いておく
１．ハメル基の話は、代数拡大で、ベクトル空間の基底の概念の特別な場合であると。つまり、体の話
２．それを、今の問題の”複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}”に持ち込んで、どう使うのか？ さっぱり筋が浮かばない（筋違い？）
３．さらに言えば、代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論を参照）、可算集合であるという
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に代数学における代数的数とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~（本当はQの上にバーがついているが、書けないのでこれで）と表す。
Q~の性質
Q~は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。
また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、Q~ は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、Q~を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。
集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、Q~ が可算集合であることを証明した。
その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。
560:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 08:01:27.18 1ktc1FSG.net
>>524 つづき
１．繰り返すが、"代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論）、可算無限集合"だと
２．つまり、現代ガロア理論で言えば、Q~は無限次元のベクトル空間で、その次元は可算無限。だから、集合Q~の基底は可算無限
３．同様に、実数Rを有理数体Qの無限次元の拡大体と考えて、その基底がハメル基
４．が、その次元は連続無限。だから、その基底（ハメル基）も連続無限
５．当然、ハメル基を具体的に構成することは、２１世紀数学でもまだできない。
（∵（wikipedia 「代数的数」より）”代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、
オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。”という現状だから）
６．ハメル基の存在は、>>4
561:70 藤岡敦に証明がある。（整列定理と超限帰納法を用いて）（但し、ｎは有限だが、ハメル基は連続無限あることへの言及がないのは残念だ） ７．まあ、要は代数的数全体からなる集合Q~の可算無限拡大の延長に、実数Rのハメル基なるものの存在があると。但し、”ｎは有限”に重みがあるように思うのだが これが、私のハメル基の理解 下記mathoverflowを読むと、内容はあまり理解できないが、日本の（一般向け）掲示板とはちょっとレベルが違う気がする http://mathoverflow.net/questions/46063/explicit-hamel-basis-of-real-numbers Explicit Hamel basis of real numbers edited Nov 16 '10
562:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 08:53:55.68 1ktc1FSG.net
>>219-220 ここに戻る
対角線論法にはまっていた
むずかった
が「自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人」が面白かった
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
(抜粋)
良く知られているカントール（Cantor, G., 1845-1918）の対角線論法は，はじめに述べたラッセルのパラドックスと大変良く似た構造を持っている．
定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意
の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．
証明はラッセルのパラドックスに用いられたのとほとんど同じ論法による．X を
集合とし，m : 2X → X を単射としよう．ここで，X の部分集合R を，
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not∈ A}
と定義しよう．問題は，m(R) がR に属するかどうかである．
（引用おわり）
ここが分からんかった
余談だが、自己言及というより、自己否定言及だと思うんだよね
「私のいうことはうそです」と・・。１）「」内が正しいと、「」内はうそで「」内が否定される。２）一方「」内が否定されると、「」は正しく「」内が肯定される。
「私はうそは申しません」は、自己言及だが、数学の証明には使えない・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
池田勇人
1960年11月20日の第29回総選挙に先立っては自ら自民党のテレビCMに登場して、本音しか言えない池田というイメージを逆手に取って「私はウソは申しません」と言い切った。
563:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 09:04:47.23 1ktc1FSG.net
つづき
>>220の渡辺 治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW が良い
P4 2 進数αを使った説明が良い
”この対角線論法は，無限長2 進列の無限集合A （ただし，要素を並べることができるもの）に対し，それに入らない無限長2 進列を作る方法である．
その議論でのポイントは，
(i) A の要素（無限長2 進列）を並べた表を作り，
(ii) その対角線の値（0 または1）を反転させた無限長の2 進列としてαを定義する，
の2 点である．
このようにすると，A に入らない2 進列α の構成が可能になるのである．”
これ、べき集合の>>526”定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．”
の説明になっている
上で構成した、A に入らない2 進列αを使って、定理1の証明（自己否定言及）にもってゆくのかなーと
564:１３２人目の素数さん
15/03/14 09:14:27.21 1ktc1FSG.net
>>527 つづき
下記のような理由があり、2 進数による証明は、べき集合に容易に拡張できる・・かな
URLﾘﾝｸ(homepage3.nifty.com)
565:rikei-index01/syugou/syugou4.html 集合の基本４（べき集合、直積など） (抜粋) 定義 （ べき集合 ） Ｘ を集合とする。 Ｘ の部分集合全体を 『 Ｘ のべき集合 』 といい、２^Ｘ と表す。 すなわち、２^Ｘ＝｛ Ａ | Ａ⊂Ｘ ｝である。 べき集合の元の数は２のべき乗になる。 例えば、上の例では集合 Ｘ の元は３個で、２^Ｘ の元は ２^３＝８個 である。 なぜこのような関係が成り立つのだろうか？ いま、２^Ｘ に属する Ｘ の部分集合にどのようなものがあるかを考えてみよう。 これは Ｘ の各元が部分集合に 「 属する・属さない 」 の組み合わせを考えることと同じである。 だから、べき集合の元の数は２のべき乗になるのである。 べき集合を ２^Ｘ と表すのもこれが理由である。 Ｘ のべき集合を Ｐ（Ｘ） と表す流儀もある。 これは英語の power set （べき集合という意味）に由来する。
566:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 10:15:10.87 1ktc1FSG.net
>>526-528 まとめ
１．「自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人」 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座 （2002 年8 月5～8 日）の予稿を改訂か
２．最初の定理１で躓いた私としては、渡辺 治の「2 進数説明」と、「べき集合の元の数は２のべき乗になる」を抜きに、分かるのかなー？と
まあ、京都大学数理解析研のレベルなら、「常識」と仮定していいんだろうか？
３．面白いところ「対角線論法から不動点へ」、「不動点定理から具体例を見直す」（圏論）、「直観主義的抜け道について」、「停止性問題」、「計算可能性とラムダ計算」・・
４．具体的には
P3
「そして，このことから，自分自身を呼び出すようなプログラム（再帰プログラム）を，自己適用現象を用いて得られる不動点として構成することができるのである．
（似たことが直観主義論理の世界でも起こりうる：以下のコラムを参照．）」
「対角線論法というと，矛盾から否定的な結果を導くための道具，という印象を持っておられる方が少なくないであろうし，
また，（すでに見てきたように）実際そうなのであるが，少し広い視野に立って，一般化された対角線論法を考えると，
実は，有用な（肯定的な）結果を導く際にも対角線論法が現れていることがわかる．
ここで使われる数学は決して難解なものではないが，数学における具体例からの一般化，
また一般化された見方からの具体例の分析，さらに否定的な見方から肯定的な見方への変化などの面白さが，端的に現れているものだと思う．
そのあたりの楽しさを味わって頂ければ幸いである．」・・
P9
「ゲーデルの不完全性定理や停止性問題なども，この不動点定理の一例と考えることができる．」・・辺り
５．要は、計算科学の方が、２０世紀の素朴な数学基礎論を超えて、明確に進化したという感覚を持ちました。（細かい点はむずいので良く分からないところが多いが）
567:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 10:32:50.92 1ktc1FSG.net
>>529 補足
対角線論法をいろいろ調べたのは、べき集合の濃度やハメル基とかの関係
ハメル基って使えるの？ ハメル基って集合の濃度が示せるのか？ という素朴な疑問からだった
対角線論法が、いまこんなに広がりを持っているとは知らなかった・・
が、結論から言えば、べき集合の濃度、つまりは実数の連続濃度の証明は、対角線論法を使う以外にはないみたいってこと
「ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう 」>>474の裏付け
これで、べき集合の濃度の考え方がクリアーになったよ
568:１３２人目の素数さん
15/03/14 10:55:39.58 Z5dsHth2.net
対角線論法は
569:次の一点さえ理解できれば簡単 有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？
570:１３２人目の素数さん
15/03/14 11:14:19.87 FaEZeIo7.net
>>522>>523
>>417の(3)は G/N に演算を定める問題だが、
前提として G/N が集合として定義されてなければならない。
集合としての定義は厳密にはこう：
g,g'∈G に対し、「g～g'⇔g∈g'N」として関係 ～ を定めれば、～ は同値関係。
この同値関係による商集合を G/N と書く。
>>461はこの段階の話でしかない。
例えば G=Z (整数全体のなす加法群)、N=3Z とすると、
>>461>>462では集合として
G/N={[0],[1],[2]} （[a]はaを含む同値類）
であると言っているにすぎず、
例えば [0]+[2] と [6]+[8] は等しいか？ということについては触れられていない。
571:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 11:24:05.22 1ktc1FSG.net
>>531
どうも。スレ主です。
>対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単
>有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？
いや、だから、それを一般の集合とべき集合に適用したときにどうなんだと
572:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 11:37:52.13 1ktc1FSG.net
>>532
どうも。スレ主です。
well-defined 性は、>>522-523に書いたように、個別問題を離れれば、
代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)だと
そして、おっしゃるように、>>461では商集合を G/N の類別の一意性（well-defined）を示した
積*の定義は、元の群の定義*を使う
で、>>417で誘導してもらったのかね？ f:G→G' の群準同型写像を考える
これは、>>436で書いたように、f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存される
だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
直感だが、そういう気がする
そして、”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、群環体その他対象に依存する部分だと
正直、well-definedはいろんなところで出てくるが、深く考えたことはない
が、いま考えるとそういうことではという気がする
573:１３２人目の素数さん
15/03/14 11:50:11.91 Z5dsHth2.net
>だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
>直感だが、そういう気がする
何故自分の直感を他人に証明してもらおうとするのか？
574:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 12:14:12.58 1ktc1FSG.net
いや、ここでは証明をする気はないんだ
原則としてね。このアスキー制限の掛かった板は、数学の証明には向かないから
だから、私は他のホームページやブログからの紹介とコピペをベースにするんだ
今回は出題だったから、むりむり証明を行った
が、「(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)」>>503とご指摘のようにそうかもしらん
mathoverflow流なら、もう少し表現を工夫するところだろう
well-definedの議論も、「べつにー」と
ただ、well-definedを自分なりに深く考える機会になったし、英wikiと日wikiで記載が異なるし、それぞれ読み比べてみれば面白かったと
575:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 13:42:35.98 1ktc1FSG.net
>>530
今後のために、またご参考まで、下記貼ります
URLﾘﾝｸ(ufcpp.net)
(集合論) "++C++; // 未確認飛行 C"
(抜粋)
無限濃度に関する性質
まず、可算濃度 ??0 よりも大きな無限濃度が存在することについて説明します。 （といっても、ところどころ証明は省き、概要説明だけになりますが。）
（有限・無限を問わず） ある集合 a に対して、 その冪集合 P (a) の濃度は 2^ |a| になります。
そして、証明は省きますが、 a と P (a) の間には全単写が存在しない （＝ 同値にはならない） ので、 |a| < 2^ |a| になります。
ここで、a の部分に自然数全体の集合 ω を入れると、 ??0 < 2^ ??0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。
可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を 非可算集合（uncountable set）と呼びます。 また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。
証明は省略しますが、 無限濃度に関して、 α を無限濃度、 β を濃度として、 以下の定理が成り立ちます。
・β ≦ α ⇒ α + β = α
・0 < β ≦ α ⇒ αβ = α
・n を非0の自然数として、 α^n = α
・α < 2α
・2 ≦ β ≦ α ⇒ 2^α = β^α
まとめると、 2 ≦ β ≦ α であるような濃度 β に対し、
α + β = αβ = α < 2^α = 3^α = ? = β^α
となり、 見ての通り、 有限濃度（＝ 自然数）の場合と大きく異なります。
576:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 13:51:01.32 1ktc1FSG.net
>>534-536
まあ、うまく言えないが
”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、体だったら、積に加えて”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g+hN=g'+h'N”みたく、和についても言及する必要があるんじゃないか？
でも、それって、最初のgNやhNの定義のwell-defined 性（一意）がキモなんじゃないか？ 代入原理 a = b → f(a) = f(b)（一意）みたいなことが言えれば、後は体の定義と演算から自然に導かれるみたいな・・（体の場合は代数拡大とか言うんだろうが・・）
577:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 13:53:13.15 1ktc1FSG.net
>>537 文字化けしている ??の部分がアレフ記号なんだ
578:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 14:08:25.17 1ktc1FSG.net
アレフ ? でるかな？
579:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/14 14:10:00.55 1ktc1FSG.net
アレフが書けないのか・・、困ったものだ
580:１３２人目の素数さん
15/03/14 14:18:51.17 FaEZeIo7.net
>>538
そう思うのは自由だが
それはそれとして、演算の well-defined 性の証明はやっぱり必要。
群環体の場合はある程度しっかりした構造を持っているからうまくいくのであって、
より一般の代数構造ではうまくいかないこともある。
ちなみに、環や体の場合正規部分群に相当する概念は(両側)イデアルというもので、
環の場合は確かに和、積両方について言及が必要。
体の場合、イデアルは自明なもの({0}と全体集合)しかないので、似たようなことは話題にならない。
代数拡大は全然違う話。