現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 - 暇つぶし2ch378:数も出来てないじゃないか。あと、仮に n≡0(mod m) だったとしても、その後が間違ってて話にならない↓ ＞つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。＞よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、＞つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、ここが間違い。偏角の範囲を限定したところで、cn－jm＝0 は出てこない。結局は cn－jm≡0(mod 2) までしか言えない。整数a,bがe^{iaπ}＝e^{ibπ}を満たすとき、偏角の範囲を(-π,π]として両辺の主値を取ろうとしても、偏角の範囲を限定したがゆえに、まずaπ, bπが(-π,π]の範囲に収まっていなければならない。ただ1つの整数kに対して (a＋2k)π∈(-π,π] が成り立つようにできて、ただ1つの整数Lに対して (b＋2L)π∈(-π,π] が成り立つようにできる。これと e^{iaπ}＝e^{i(a＋2k)π}, e^{ibπ}＝e^{i(b＋2L)π} から、 e^{i(a＋2k)π}＝e^{i(b＋2L)π} となる。ここまで来れば、偏角の範囲が(-π,π]に収まっているから、i(a＋2k)π＝i(b＋2L)πとなり、よってa－b＝2(L－k) となる。従って、a－b＝0 なんて式は導出できなくて、結局は a－b≡0(mod 2) までしか言えない。

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