現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 - 暇つぶし2ch286:gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T} と表わされる集合であることに注意して、hをTの中で動かせば、gTg^{-1}⊂T。再度h∈Tを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、 gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}と表わされる集合である。よって、ghg^{-1}＝h∈gTg^{-1}。Tの元hは任意だったから、hをTの中で動かせば、T⊂gTg^{-1}。 gTg^{-1}⊂T、T⊂gTg^{-1}だから、gTg^{-1}＝T。故に、TはGの正規部分群である。これでT(θ)はC^{×}の正規部分群であることが示された。 Hの基底ベクトルθは任意だから、θをHの上で走らせればよい。

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