15/03/01 14:05:47.54 DJAXK5NT.net
論証の森で遭難中
282:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:21:05.19 z5wmYR0N.net
>>264
演習がてらハメル使ってみたので、見てください
赤ペン先生だろw
283:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:36:31.17 CQbZyxiT.net
>>264
>そもそも、話の発端は「私が用意していた解答をする(>>227)」というものであったはずだ。
最初は>>239-240で正しいと思ったが、ケチを付けられてな。ハメル基底を用いるなら、話は別だ。
284:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:41:29.86 CQbZyxiT.net
>>212
ということで、書き直し。
ハメル基底をHで表わす。
各θ∈Hに対して、集合T(θ)をT(θ)＝{e^{i(mθπ)}∈C^{×}|m∈Z}と定義する
と、T(θ)≠φ。a、b、c∈T(θ)を任意に取る。すると、|a|＝|b|＝|c|＝1＜2から、
a、b、cの各主値Log(a)、Log(b)、Log(c)が定義されるから、a、b、cに対して
或るm_1、m_2、m_3∈Zが存在して、a＝e^{i(m_1θ)π}、b＝e^{i(m_2θ)π}、c＝e^{i(m_3θ)π}
となる。よって、A＝{a、b、c}とおくと、A⊂C^{×}であり、加法定理から、任意のx、y∈Aには
通常の乗法・：A×A∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の演算が定義され、任意のa、b、c∈Aに対して
(1)：結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：e^0＝1∈T(θ)であり、a1＝1a＝aである。
更に、偏角の不定性に注意してm_1θ∈[0,2π)とすれば、
a^{-1}＝(e^{i(m_1θ)π})^{-1}＝e^{-i(m_1θ)π}だから、
同様に加法定理から、aa^{-1}＝a^{-1}a＝1 である。T(θ)の元a、b、cは任意だから、
a、b、cをT(θ)上で走らせると、確かにT(θ)には通常の乗法
・：T(θ)×T(θ)∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の二項演算が定義され、
T(θ)は乗法・について実数1を単位元とするような群である。つまり、T(θ)は乗法群であり、
満たすべき条件を満たす。任意のa、b∈T(θ)に対して、加法定理からab＝baだから、
T(θ)は可換乗法群である。今、C^{×}の正規部分群が非可算個存在することを示す。
任意のθ∈Hに対して定まる群T(θ)について、T(θ)⊂C^{×}であり、C^{×}には
T(θ)と同じ通常の二項演算・が定義されていることに注意すると、
通常の乗法・の二項演算について、T(θ)は乗法群C^{×}の部分群である。
285:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:43:09.30 CQbZyxiT.net
>>212
(>>262の続き)
[第1段]：任意のθ∈Hに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。
θ∈Hを任意に取る。群T(θ)をT、乗法群C^{×}をGで略記する。g∈Gを任意に固定する。
gTg^{-1}＝Tを示す。h∈Tを任意に固定する。すると、T⊂Gから、h∈G。
また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。h∈Tだから、ghg^{-1}∈T。
Tの元hは任意だったから、gによるTの両側剰余類
286:gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T} と表わされる集合であることに注意して、hをTの中で動かせば、gTg^{-1}⊂T。 再度h∈Tを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が 定義され、h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、 gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}と表わされる集合である。 よって、ghg^{-1}＝h∈gTg^{-1}。Tの元hは任意だったから、hをTの中で動かせば、T⊂gTg^{-1}。 gTg^{-1}⊂T、T⊂gTg^{-1}だから、gTg^{-1}＝T。故に、TはGの正規部分群である。 これでT(θ)はC^{×}の正規部分群であることが示された。 Hの基底ベクトルθは任意だから、θをHの上で走らせればよい。
287:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:45:43.81 CQbZyxiT.net
>>212
(>>270は、>>262でなく>>269の続き)
(>>270の続き)
[第2段]：Hが非可算集合であることを示す。
Hが可算無限集合だったとする。基底ベクトルの
有理数体Q上一次独立性についてのハメル基底の定義から、
任意のr∈Rに対して或るn∈N＼{0}が一意に存在して、更にrに対して或る
((a_1,…,a_n)、(r_1,…,r_n))∈Q^{n}×H^{n}が一意に定まって、
r＝a_1・r_1＋…＋a_n・r_n。また、Q、Hは可算無限だから、
任意のm∈N＼{0}に対して、Q^{m}、H^{m}は可算無限で、Q^{m}×H^{m}は可算無限。よって、
A＝{((a_1,…,a_m)、(r_1,…,r_m))∈Q^{m}×H^{m}|m∈N＼{0}、a_1・r_1＋…＋a_m・r_m∈R}
とおくと、Aは可算無限集合で、Hの基底ベクトルの有理数体Q上線型独立性
についてのハメル基底の定義から、RからAへの単射fが存在する。
しかし、Rは非可算、Aは可算無限だから、fは存在し得ず矛盾。 故に、Hは非可算集合である。
[第3段]：任意の異なるs、t∈H＼{0}に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈H＼{0}に対して群T(θ)は定まる。
任意のs≠tなるs、t∈H＼{0}に対して、基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。
これでC^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することは示された。
288:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:51:32.09 CQbZyxiT.net
>>264
そもそも、論文にしている訳ではあるまいし、
2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないだろw
ハメル基底を用いるなら、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合は前提だ。
289:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:09:29.11 CQbZyxiT.net
まあ、正確には「>>239-240の手法で示せると思った」だがな。
290:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:32:50.43 WbtuUWlv.net
>>272
＞そもそも、論文にしている訳ではあるまいし、
＞2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないだろw
バーーーーカ。お前のやってることはダブルスタンダードだよ。
2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないのであれば、
「>>262では いい加減な書き方をしたけど、そのまま書き直さないことにする」
として済ませるのが筋だろう。
にも関わらず、実際には>>269-271で「整理して書き直している」ではないか。
論旨を気にしまくっているではないか。
しかも、俺の指摘どおりに「[第5段]の証明」と「Hが非可算無限であることの証明」を
キレイに分割しているではないか。論旨を気にしまくっているではないか。
もっと言えば、>>227-230の「ご丁寧な証明」の時点で、論旨を気にしまくっているではないか。
こんなものは全て「自明」でいいんだよ。にも関わらず、ご丁寧に証明しているではないか。
いい加減にしろよザコが。
清書した>>269-271にしたって、結局は前スレの話題に過ぎず、
ここで蒸し返すようなことでは無いんだよ。
結局お前は、自分の方針では何1つとして証明できず、
前スレの話題に頼らざるを得なかったわけだ。
しかも、>>272のような負け惜しみと来たもんだ。実に笑えるｗ
291:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:48:00.74 TS3FUA1w.net
人に読んでもらってわかってもらうには、論旨（が筋道立っていて論理的であること）は大事
２ちゃんでも論文でも
292:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:48:51.22 CQbZyxiT.net
>>274
自明な議論は、スレ主宛てだ。スレ主でも分かるように書いた。
本当は、>>239-240の手法で示せると思うのだがな。
ハメル基底の議論では、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合が前提になるが。
293:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:50:48.41 WbtuUWlv.net
>>273
＞まあ、正確には「>>239-240の手法で示せると思った」だがな。
>>239-240は間違ってるからダメだけど、ハメル基を使わない方針でもちゃんと示せるよ。
お前の低レベルな脳みそでは間違った証明しか出来なかっただけで。
「ハメル基でいいじゃん」という突っ込みは、お前の間違った証明だからこその
突っ込みなのであり、「私が用意していた解答をする(>>227)」の時点で
1発でスパッと正しい証明(ハメル基でないもの)が提示できていたら、
このような突っ込みが出る幕は無かったんだよ。情けない話だな。
自分流の証明をやってみた
→ 間違っていた
→ ハメル基でいいじゃんという突っ込みが入る
→ ハメル基を使った証明に乗り換える(この時点でお前の負け)
→ ハメル基だったら前スレで終わってるから、蒸し返す必要がないという別の突っ込みまで入る
お前のやってることは周回遅れなんだよ。まるで話しにならない。
294:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:07:13.95 CQbZyxiT.net
>>277
前スレは見てなく、話はうる覚えだが、あっそう。
あ～、「s＞t＞1」ではなく
「任意のs＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」
とすればよかったのか。そうすれば>>239-240の手法が通用したな。
295:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:09:51.99 NplpTsbd.net
>>274
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、呼んだか？
>自明な議論は、スレ主宛てだ。スレ主でも分かるように書いた。
自明な議論は不要だよ。２ちゃんねるで分かり易い証明はいらん（そもそも、アスキーベースの板だから数学記号が読みにくい）
検索用キーワードを書いて貰えれば、検索して読む。あるいは、テキスト（本）を示して貰えれば、本を取り寄せるさ
>ハメル基底の議論では、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合が前提になるが。
スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
しかも、「ハメル基底」について調べた範囲では、可算無限と非可算無限との区別までだろ？
>>194の”連続濃度の”べきの濃度””について、なにか言えるのかね？
296:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:14:49.19 CQbZyxiT.net
いや、>>278の「任意のs＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」では
なく「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。
297:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:21:05.56 CQbZyxiT.net
>>279
私も本当は自明なことは書く気がしなかった。普段、机に置いたパソコンに向かい、
床に座って左手だけでキーを打っててな、パソコンで書きにくいんだわ。
有理数全体Qは可算で、無理数全体R＼Qは非可算は、本当は前提にするべきだよ。
298:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:28:19.08 CQbZyxiT.net
>>279
>スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
いや、>>239-240は、
>[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
として読めば、少し訂正が必要だが大体は通用する議論になる。
299:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:41:21.24 NplpTsbd.net
>>279
つづき
>スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
これな、ミスリードされたと思うよ、”おっちゃん”が
「ハメル基を使わない積極的理由が無い 使わないのは単なる自己満足」>>260
だが、
「ハメル基を使う積極的理由が無い 使うのは単なる自己満足」という方が正しいと思うよ
>>260って、”マセマでガロア理論って無い？ ”>>257って言っている人でしょ？
300:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:48:51.05 WbtuUWlv.net
>>280, 282
＞「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。
それが言えた「だけ」では全く不十分であり、T(x) が非可算無限個あることは言えないよ。
このことは、次のように一般化して考えるとよく見えてくる。
問題：Y は集合とする。写像 F：(0,2)－Q → Y は、
2＞s＞1＞t＞0 なる s,t∈R－Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(0,2)－Q) は非可算無限個あると言えるか？
解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取り、
x∈(0,2)－Q に対して、 F(x)＝a (0＜x≦1), b (1＜x＜2) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(0,2)－Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■
というわけで、>>280のやり方「だけ」では不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、もし >>280 のやり方「だけ」で非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。
301:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:50:18.60 NplpTsbd.net
>>281
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、か
>私も本当は自明なことは書く気がしなかった。普段、机に置いたパソコンに向かい、
まあ、出題の前スレ498 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。 」って
”正規”って、おいおいという感じだったわ
それを、またご丁寧に証明して、さらにおいおいだった（この感覚分かりますか？）
まあ、群論初心者丸分かりですねって・・
>有理数全体Qは可算で、無理数全体R＼Qは非可算は、本当は前提にするべきだよ。
当然ですよ。カントールがやった対角線論法以外の証明法を知らない。そこらの無限集合論は、予備知識として前提にして良いんだ
（そうしないと泥沼だぜ。だから、ハメルも要らないんだ）
302:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:51:43.25 TS3FUA1w.net
嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ
何言ってるの？
303:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:10:43.74 NplpTsbd.net
>>254 補足
>まあ、圏論もそのうち（いまどき、常識になっている部分が多い感じがするよね。普通に出てくる・・）
例えば、ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大 2.2 profinite 位相>>246 より
「F がK 上のガロア拡大であるときは、
1 → G(L/F) → G(L/K) → G(F/K) → 1 なる短完全列を得る。右の射の全射性は、G(F/K) ≒ HomK(F,Ω) と推移性から従う。」
なんてね、すらっと普通にね
まあ、短完全列なんて、習うより慣れろ、本格的圏論の外だぞ、常識だよと
そういう書き方なんだよね。「圏論でございます」という断り書きなしの時代なんだよね
どこまでが常識か良く分からないが、結構普通に出てくるよね
304:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:12:41.23 NplpTsbd.net
>>286
どうも。スレ主です。
出来ないと思うんだけど
１～３行くらいで、簡単にあらすじ言ってみて
305:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:22:24.14 TS3FUA1w.net
>>288
誤魔化すな
お前が自分の間違いを認めたら書いてやるよ
306:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:53:32.54 NplpTsbd.net
>>289
どうも。スレ主です。
>>出来ないと思うんだけど
>>１～３行くらいで、簡単にあらすじ言ってみて
>誤魔化すな
>お前が自分の間違いを認めたら書いてやるよ
はいはい、おそらく君には書けないと思うので、こちらから書いておく
（スレ主の証明）
１．出題は前スレ498 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。 」って>>285
２．それで、この問題の前提として、無限集合論は前提知識として既知と考えて良いとする>>295
３．そうすると、問題を簡単化して、複素Z→実数R→1より大の実数の集合{ x｜x>1, x∈R } と簡略化して考えれば良い
４．>>242でも書いたように、1より大の一つの実数xを考える。
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
６．x1＜x2 なる実数からなる二つの最小の乗法群 G1とG2を考える。x1∉ G2 だから、G1≠G2となる。（細かい点は分かるだろうから省略）
７．よって、1より大の実数一つから生成される最小の乗法群の集合U'と、1より大の実数とは、一対一対応（全単射）が成り立つ
７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED
はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
307:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:01:09.56 NplpTsbd.net
>>290 訂正
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
↓
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
まあ、そのままでも分かると思うが
308:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:15:53.51 TS3FUA1w.net
>>290
G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？
309:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:23:42.63 NplpTsbd.net
>>292
n=0
310:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:25:11.53 TS3FUA1w.net
正規部分群の定義すら知らないスレ主でも単位元の定義は知ってたかｗ
311:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:27:55.58 NplpTsbd.net
はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
312:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:27:56.55 08QQ84Zx.net
ぱーちくりんスレ主は
お前の解説も
使た本も
需要ないことにはやく気付けよ
ぱーちくりんの書き込みなぞ読まんのだから
313:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:28:59.95 08QQ84Zx.net
ぱーちくりんスレ主は
お前の解説も
使った本も
需要ないことにはやく気付けよ
ぱーちくりんの書き込みなぞ読まんのだから
と言う理由で
*スレたて
*次のスレ誘導
以外はしなくてよろしい
314:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:30:04.21 08QQ84Zx.net
と言うか
ぱーちくりんスレ主は
*スレたて
*次のスレ誘導
以外はするな
315:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:35:04.41 NplpTsbd.net
>>296
おお、君か！
宿題出来たか？ >>153 恥さらしくん
問題は>>80だよ
316:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:36:40.73 NplpTsbd.net
ID:08QQ84Zxくんは、一番レベル低いと認定して上げるよ
317:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:39:10.23 NplpTsbd.net
>>294
>正規部分群の定義すら知らないスレ主でも単位元の定義は知ってたかｗ
ごまかせたと思っているのだろうか？ 質問で君のレベルが分かったよ
318:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:45:59.46 NplpTsbd.net
>>301
「ハメル基底」ね・・、下記wikipediaみたいなことを考えているんだろうが・・
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・
”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の�
319:黷pいるものもあるが）。 通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。 例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。 さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。 ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。 即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。 f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。 この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。
320:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:49:29.65 TS3FUA1w.net
>>301
あの質問で私のレベルが分かったと言う君のレスで、君のレベルは分かったよ
まあ正規部分群すらわかってないことは元々分かってたがねｗ
321:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:50:17.31 NplpTsbd.net
はいはい
”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
322:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:51:46.22 NplpTsbd.net
>>302も読んでね
「君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・ 」
これ当たっているだろ？
323:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:54:24.94 NplpTsbd.net
>>302>>305
訂正
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・
↓
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつかなくなると思うのよ・・・
追伸
楽しみに待っているよ
予想は、君の逃亡だがね・・
324:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:59:40.08 TS3FUA1w.net
>>304
∀σ∈G に対し σN～Nσ なら NはGの正規部分群
とか言って赤っ恥晒した自称ガロア原論文研究家の釣り針にはかからないよｗ
325:１３２人目の素数さん
15/03/01 19:40:41.18 NplpTsbd.net
>>307
はいはい、では君を「ハメル基底」くんと名付けよう
Q.G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292
A.n=0 (>>293), 「ごまかせたと思っているのだろうか？ 質問で君のレベルが分かったよ 」(>>301)
ここをちょっと附言しておく
１．君は、”一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）”>>290を、なんか勘違いしていたんだと思う
２．だから、「ハメル基底」が使えると思い込んでいたんだね・・？
３．だが、”一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）”で、それでさえ、群Gは加算無限個の元から成る
４．スレ主が思うに、「ハメル基底」の使い方は、加算無限濃度のQを使って、実数R及び複素数Zを構成するという流れだろう>>302
５．だが、そうしたところで、具体的な群G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）に適用しようとしたときに、非常な困難にぶち当たる
６．なぜなら、群Gの元は、加算無限個（全ての整数と同じだけ）あるから、一つ一つの元を処理し出したら大変になる
７．なので、「ハメル基底」を持ち込むことは、問題を複雑化しただけだ。それに、ようやく君は、>>294かあるいはその後に気付いた
スレ主的には、そう思っての「ごまかせたと思っているのだろうか？ 質問で君のレベルが分かったよ 」(>>301)なのだ
はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
この推定を覆す素晴らしい証明を期待しています。スレ主より
326:１３２人目の素数さん
15/03/01 19:46:19.60 TS3FUA1w.net
では君には名誉称号 正規部分群君 を授けよう
これからも大いに住人を笑わせてくれ賜え
327:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:09:42.95 NplpTsbd.net
>>309
はいはい、「ハメル基底」くんの敗北宣言ですね
良く分かりました。逝ってよし！
追伸
笑いを取るのは、「ハメル基底」くんの方が上だね
スレ主も顔負けだよ
328:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:43:54.05 TS3FUA1w.net
ではいきますか
329:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:44:20.00 TS3FUA1w.net
259 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 09:35:59.87
>>258
どうも
スレ主です。
>>255と同一人物と見たので、コメントしておく（ここではIDが出ないので不便だ）
>Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
>念のため書いとくとＨからσ-1・Ｈ・σへの同型写像はh→σ-1・h・σで与えられる。
ここ、なんか勘違いしてないか？ σには、何の制約も付かないのか？
大本の群をG、Ｈ⊂G, σ∈G として
σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
自分で気付くまで放置しようと思ったが、うるさいので一言
★★★ 勘違い野郎はお前だよｗ 気付かなきゃいけないのもお前ｗ ★★★
330:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:44:47.75 TS3FUA1w.net
269 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:12:12.88
>>265
どうも
スレ主です。
>＞σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
何の制約も付かないを、∀σという意味で使っている>>259
だから、大本の群をG、Ｈ⊂G, ∀σ∈G として
σには、何の制約も付かない（∀σ∈G）としたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
★★★ 違うがｗ ★★★
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正規部分群（せいきぶぶんぐん、英: normal subgroup）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。
正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。
331:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:45:20.16 TS3FUA1w.net
283 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:55:59.33
>>269-272
どうも
スレ主です。
なんか、勘違いしてない？
★★★ だから勘違い野郎はお前だってｗ 腹いてええええｗ ★★★
１．「Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。」>>255 という陳述が、成り立つ条件を教えてくれ
（無条件で成り立つ場合が、正規部分群だと思うが）
２．ああ、辿ると>>247か
”さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
ここから正規部分群の概念に気づく方がおかしい。 ”？
これ>>244 "○Ｇの部分群ＨがＧの正規部分群であるとは、任意のＧの元σに対しσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。"
からの継続だったので、Ｈは正規部分群という前提で考えていた。違うのか？
あと、正規部分群は大本の群Gとの関係があることも注意しておく
>>260"群Ｇの異なる部分群ＨとＫが同型になることはあり得る。
というか、ＨがＧの正規部分群でなければ必ずそのようなＨとＫの組は存在する。
例えば、S5の、1→2→3→4→5→1という置換から生成される部分群と、1→3→2→4→5→1という置換から生成される部分群は、
同型ではあるが(どちらも5次巡回群)、S5の部分群としては異なる。"で
言いたいことが不明だが、群ＧがS5のとき、位数５の巡回群は正規部分群ではない
が、>>166-167の線形置換から成る位数２０の群Gでは、正規部分群になるよ
332:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:45:55.43 TS3FUA1w.net
284 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:58:15.71
>>283
どうも
スレ主です。
これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな
★★★ これだけ言ってもわかんないのはお前だよｗ オ・マ・エｗ ★★★
★★★ 馬鹿のくせに「以降無視（スルー）だな」ｗ 腹が攀じれるｗかんべんしてえええｗ ★★★
333:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:47:58.23 TS3FUA1w.net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼
| |r┬-| | これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな
＼ `ー'´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
＿＿＿_
／_ノ ヽ､_＼
ﾐ ﾐ ﾐ �
334:@oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ /⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒) | / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／ | :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/ | ノ | | | ＼ / ） / ヽ / `ー'´ ヽ / ／ | | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､ ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
335:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:50:46.89 TS3FUA1w.net
正規部分群君には大いに笑わせてもらった。感謝感謝。
336:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:09:45.26 TS3FUA1w.net
引き続き「二項演算の定式化」の巻をお楽しみください
337:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:10:18.81 TS3FUA1w.net
668 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 14:21:33.41
ご苦労。スレ主である
>>665
特別のニュアンスまだ～？ ？
さすがに、ネコには理解できないよな
特別のニュアンスが理解できるようになるには、「入る」という言葉がよく使われている科目
例えば、位相（topology）>>632、微分トポロジー>>615、望月理論>>601、複素構造>>606 を勉強すれば自然に分かる
素養のない君には無理だよ。2ｃｈのネコAAがお似合いの君にはね
>>663
>要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を、A5の群表で定義すればよいだけ
>だね
その通りだ。が、圏論ではないけれども、アブストラクトナンセンスの典型だな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
★★★ おいおいｗオマエは ★★★
★★★ ＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも） ★★★
★★★ じゃねーのかよｗ ハッタリかましてたのバレバレだよ君ｗ これは恥ずかしいｗ ★★★
なお、単なる積に、”×”を使うな。初学者まるだしだぜ
★★★ は？単なる積？何それ？ 集合×集合 と書けば直積に決まってんだろ ★★★
★★★ 初学者まるだしはどう見てもお前だよｗ オ・マ・エｗ ★★★
大学から上では、”×”は直積あるいはクロス積(外積)用にとっておくんだよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 直積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) クロス積(外積)
338:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:11:06.11 TS3FUA1w.net
685 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 21:31:34.78
>>669-682
ご苦労。スレ主である
バカが、一人で何役も書き分けているんだろうな。こんなに何人もバカがいたら、日本も終わりだろう
★★★ バカはお前だよｗ オ・マ・エｗ ★★★
さすがに、普通の人は気付くよね、よほどでない限り・・
★★★ 可哀相に、あまりにフルボッコされ過ぎて被害妄想炸裂させてるｗ ★★★
で、本題は
>>673
>これは恥ずかしい。
>「f:A×A→A」のA×Aはまさに集合の直積なんだが
・へーえ、「要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を・・定義すれば」って書いてたでしょ？ その方が正解に近かったのにね
・言い訳で、さらに墓穴かよ、おい！
・A×Aを、集合の直積としましょうか。じゃ、直積A×Aの要素はいくつになるんだ、ぼうや？ 小学校のかけ算から勉強し直しだな
・で、直積A×Aの増えた要素の集合からAへの写像か？ 全射になるが、どうやってA5の群表で定義する？ 具体的に構成できるのか、おまえに？
・もともとの陳述は、”あなたが言ってることは「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」というトリビアルな話である。 ”だった
・それと、直積A×Aの集合からAへの写像とどういう関係があるのか述べよ。趣旨が変わっているだろうよ。誤魔化すなよおい。墓穴だよ
まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
言い訳を、書けば書くほど、墓穴かな。おまえ 一句できた！
★★★ もう笑いが止まらねええｗ 勘弁してえええええｗ ★★★
339:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:11:43.42 TS3FUA1w.net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼ まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
＿＿＿_
／_ノ ヽ､_＼
ﾐ ﾐ ﾐ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒)
| / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／
| :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/
| ノ | | | ＼ / ） /
ヽ / `ー'´ ヽ / ／
| | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
340:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:13:20.21 TS3FUA1w.net
以上、正規部分群君の爆笑劇場でした
お楽しみいただけたでしょうか？
341:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:20:30.08 TS3FUA1w.net
正規部分群の特徴
・普通に数学勉強した人なら当たり前のことが全然わかってない
・間違いを指摘されると、まず自分ではなく相手を疑う
・わかりやすく説明しても聞く耳持たず、あくまで自分が正しいとの迷路から抜け出せない
・間違い指摘者を敵と看做し罵倒する、そして上から目線はぶれない
342:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:25:36.70 TS3FUA1w.net
このような人種は、例のコピペ癖と併せ、数学には最も不向きである
よって三年間も費やしても、上記のような爆笑劇場を繰り広げる始末
普通の人なら恥ずかしくて二度と戻ってこれないが、それでも彼の上から目線はぶれることは無い
何故なら上から目線こそが彼が数学をやる唯一絶対の目的だからだ
343:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:32:26.97 TS3FUA1w.net
正規部分群君ごめんね
皆に笑いをと思って
これに懲りずにまた住人を楽しませてね
まあ懲りずに上から目線は変わらないだろうけどさｗｗｗ
344:１３２人目の素数さん
15/03/01 22:49:13.00 zCI/9+YQ.net
＞2014/10/19(日)
2年10ヶ月、自分より分かってそうなレスには「君の来るところではない」
と追い返し、分かってなそうなレスには、コピペの山でうんざりさせ、
ごまかしてきたスレ主の地位が崩壊した記念日だったなｗ
スレ主には才能がある、、、詐欺師のなｗｗ
345:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:03:31.72 NplpTsbd.net
>>312-325
どうも。スレ主です。
ID:TS3FUA1wくんか、連投ありがとう
よほど悔しかったんだね。君の悔しさが表れていて、微笑ましいよ
上から目線は君だったんだね。見下していたスレ主に完敗宣言ね。それしか言えないと。数学で完敗しましたと
はいはい、「ハメル基底」なんて、自分が理解していないことを持ち出したのが敗因ですね
実数の乗法群の構造も、分かっていなかったんだ。G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292ってね
346:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:26:36.08 TS3FUA1w.net
>>327
あの赤っ恥爆笑劇場をサラっと他人事のようにスルーする君は、>>326で指摘されてる通り、
詐欺師の才能があるね、普通の感覚を持った人なら決して立ち直れないと思うよ
347:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:34:08.70 qh9gVd7G.net
>>328
正規部分群の定義の分からないスレ主が、代数専攻で卒業出来た数学科のある大学ってww
どこだろ？
348:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:35:51.39 TS3FUA1w.net
ただ知らないとか間違えたとかなら普通だよ、人間は最初は何も知らないわけだし
間違いもよく犯す。
だけど君の場合は、正しく指摘してる人を罵倒し、ガンとして譲らない頑固さを持っている。
それでいて、間違いと気付いた後でも上から目線を貫くタフなメンタリティも併せ持っている。
これ以上滑稽は人物にはなかなかお目にかかれないからね。
349:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:39:52.77 qh9gVd7G.net
リアルのスレ主はザビエル禿のジジイなんだろうな
350:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:44:36.23 NplpTsbd.net
>>327
どうも。スレ主です。
もう少し、数学的解説をしておくと
１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。」（下記
351:URL）を認めたとして、しかし、”非可算無限の濃度を持つ”のところは、対角線論法を使っているはず http://fascinationworld.web.fc2.com/bekutorukukan.htm Ｆａｓｃｉｎａｔｉｏｎ Ｎ－Ｄ－Ｆｉｌｅ ベクトル空間 （抜粋） 様々なベクトル空間 一般に体の拡大 L/K が与えられたとき、拡大体 L はその加法と部分体 K の元の（L における）積をスカラー乗法として K 上のベクトル空間になる。 たとえば R は部分体として有理数体 Q を含むから、Q 上のベクトル空間である。 R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。 ２．だったら、そもそも対角線論法を認めて、「R が非可算無限の濃度を持つ」というカントールの定理を認めてもほとんど同じだろうよ ３．もし、違いがあるとすれば、解くべき問題の構造から、「R が非可算無限の濃度を持つ」より「Q 上のハメル基底は、非可算無限の濃度を持つ」の方が使い易いとき ４．ならば、今回の解くべき問題の構造がどうなっているのか？ 複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき ５．”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね ６．で、ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないし、乗法群も分かってないことがばれたと・・ 「ハメル基底」くんのおおぼけかましの芸は、一流だよ が、腹いせにアラシは、人間としてどうなんかね？ 正直こどもだね・・。早くおとなになりなさいよ
352:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:48:31.10 NplpTsbd.net
>>332
訂正
複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき
↓
複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察して、どちらが使い易いということが決まるべき
（まあ、基本中の基本だろう）
353:１３２人目の素数さん
15/03/02 00:17:34.03 /CImvwKh.net
＞R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。
スレ主はその理由はわかってるの？
またいつものようにわかってないのにコピペだけしてるの？
354:１３２人目の素数さん
15/03/02 00:27:55.67 d/R6BEmu.net
>>334
スレ主に理由が分かるわけないだろw
知ったかの材料を仕入れただけ
理解できる、証明できるフリをして威張るね
355:１３２人目の素数さん
15/03/02 00:42:35.07 /CImvwKh.net
そうだね
圏論一つ取っても、さも分かってる風な言い方してたのに、レベルがバレそうになった途端慌てて
＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも）
と予防線張っちゃったし
356:１３２人目の素数さん
15/03/02 19:22:16.36 W+oQWcvb.net
>>329
代数専攻云々はコピペだよ
357:１３２人目の素数さん
15/03/02 22:28:21.38 /CImvwKh.net
さすがにあそこまで酷いとどんな大学でも無理でしょｗ
358:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:01:29.59 SDV97v2D.net
>>279
>>239-240の訂正のまとめ。
(1)、[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
(2)、>矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
の部分の「或る異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
(3)、Case2の「e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」は、
「e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」の間違い(>>243と同じ)。
(4)、>Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
の部分の「異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
以上、(1)～(4)のように訂正。
359:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:04:55.57 ecIpM61Y.net
この程度の問題解くのに、一体何回訂正してるんだ…
360:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:13:39.95 SDV97v2D.net
>>340
まあ、これで例の通り、ハメル基底を使わずに示せたろう。
361:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:26:12.00 SDV97v2D.net
昨日訂正内容を書こうとしても書けなかったんだが、一体何だったんだろ？
まあ、何か単純に考えてよかったみたい。変なこと考えてた。
362:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:37:25.23 SDV97v2D.net
>>340
>239-240の手法は、少し訂正すると本当は
(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
とかも同様に示せるようになっている。
363:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:45:32.78 SDV97v2D.net
コピペしたら付いちゃったwが、>343で「」はいらなかったな。
まあ、いいや。
364:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:51:13.68 SDV97v2D.net
>>343ではT(s)∩T(t)＝{1}だった。
365:１３２人目の素数さん
15/03/03 09:13:19.41 SDV97v2D.net
>>340
間違えて悪い。>>239-240の手法は、>>343つまり、
>(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
>(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
とかまでは通用しなかった。少し他の条件が必要になって来る。
ということで、>343は取り下げ。
366:１３２人目の素数さん
15/03/03 09:46:55.17 igu3dVOk.net
>>346
＞[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)
は正しくて、証明も簡単に済むのだが、
お前の>>239-240のやり方では証明にならない(読み替えても)。
具体的には
＞e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
＞であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s－k/n)π)}…③ または e^{i(sπ)＝e^{-i(((m/n)s－k/n)π)}…④
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
この手の議論が完全に間違っている。T(s)における m_1＝1 のときの元と、
T(t)における m_1＝1 のときの元は対応している必要が無いので、③とか④とかに限定できない。
お前がこの議論で やっているのは、
「 2つの集合 A＝{ 2*m_1｜m_1∈Z ] と B＝{ 2*m_1＋20｜m_1∈Z } について、
m_1＝1のときの A の元は 2 であり、Bの元は 22 だから、一致しておらず、A≠B である」
といった感じの、支離滅裂な議論なのだ(実際には A＝B である)。これじゃ証明にならない。
367:１３２人目の素数さん
15/03/03 14:30:43.23 xqVFfdmW.net
頭が悪いってのはどうしようも無いなぁ
もう諦めろとしか
368:１３２人目の素数さん
15/03/03 22:00:10.90 iO539jnI.net
>>348
大学の講義って、聞いてほんと有り難いと思ったのは4年間で5つくらい
しかないんだが、このスレ見ると「大学に行って、ちゃんと勉強する」と
いうのは意味があるんだな、と実感するなｗ
ネットで検索して独学ってのは、たいてい無理なんだろう
369:１３２人目の素数さん
15/03/04 15:54:17.29 +ZGYKspj.net
>>279
>347の通り、よく見たら間違っていた(細かくは確認していなかったw)w
と、いう訳で、>>239-240は次のように訂正。
[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、
e^{i(ms－nt)π}＝1…①。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、ms－nt≡0(mod2)。
Case1)：ms-nt≠0のとき。このとき、或るk∈Z＼{0}が存在して、
ms－nt＝2k…②であって、n∈Z＼{0}からn≠0だから、t＝(m/n)s-2k/n。
よって、T(s)＝T(t)から、T(s)＝T((m/n)s-2k/n)。
ここで、s∈R＼Qから、任意のr∈Qについて、{r,s}は体Q上線型独立である。
また、群T(s)＝T((m/n)s-2k/n)は、＝{e^{im_1・((m/n)s-2k/n)π}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
370:１３２人目の素数さん
15/03/04 15:57:52.44 +ZGYKspj.net
>>279
(>>350のCase1の続き)
今、j∈Z＼{0}を任意に固定する。すると、j、n∈Z＼{0}からjn∈Z＼{0}だから、
jnに対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、e^{i(jnsπ)}＝e^{ia_j・((m/n)s-2k/n)π}
から、e^{i(jn^2・sπ)}＝e^{ia_j・(ms-2k)π}＝e^{i(a_j・msπ)}…③。
ここで、x_j＝e^{i(jn^2・sπ)}、y_j＝e^{i(a_j・msπ)}
とおくと、③から、x_j＝y_j。従って、偏角の不定性に注意して
x_jとy_jに主値を取れば、或るb∈Zが存在して、
i(jn^2・sπ)＝i(a_j・msπ)+i(2bπ)、両辺を整理してまとめれば、(jn^2-a_j・m)s＝2b。
m∈Z＼{0}に注意すると、jn^2-a_j・m、2b∈Z⊂Qから、jn^2-a_j・m、2b∈Qだから、
jn^2-a_j・m＝0から、a_j・m＝jn^2�
371:Bよって、m≠0からa_j＝jn^2/m。 Z＼{0}の点jは任意だから、jをZ＼{0}の上で走らせて考えると、 任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が定まって、a_j＝jn^2/m。
372:１３２人目の素数さん
15/03/04 15:59:37.56 +ZGYKspj.net
>>279
(>>350-351のCase1の続き)
従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
従って、nに対して或るc∈Z＼{0}が存在して、n＝cm。
ns-mt≠0だから、cms-mt≠0から、cs-t≠0。
故にc∈Qに注意すると、cs、t∈R＼Q。ここで、T(cs)⊂T(s)＝T(t)
だから、csに対して或るj∈Z＼{0}が存在してe^{i(csπ)}＝e^{i(jtπ)}、
よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取って考えれば、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jntπ)}。
一方偏角の不定性に注意して①の両辺に主値を取って考えれば、e^{i(jms－jnt)π}＝1、
つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、
つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、
c^2m^2＝jm^2だから、j＝c^2≧1。また、cmをnで置換すれば、n^2＝jm^2。
従って、n^2≧m^2。一方、1∈Z＼{0}だから、1に対して或るa_1∈Z＼{0}が定まって、
a_1＝n^2/m。故に、n^2＝a_1・m≧m^2、つまり|a_1|・|m|≧|m|^2だから、
|m|＞0から|a_1|≧|m|。n^2≧m^2から、|n|^2≧|m|^2だから、|m|、|n|＞0から
|n|≧|m|。a_1＝n^2/mから、|n|^2＝|a_1|・|m|…④だから、|n|、|a_1|≧|m|から
|a_1|≧|n|≧|m|。ここで、④から|n|^2/(|a_1|・|m|)＝1。故に、
|a_1|＞|n|＞|m| または |a_1|＝|n|＝|m|。
373:１３２人目の素数さん
15/03/04 16:01:58.16 +ZGYKspj.net
>>279
(>>350-352のCase1の続き)
Case1-1)：|a_1|＞|n|＞|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|だから、|n|＞|m|から|n|＜|c|。
また、n≡0(mod m)から、|n|≡0(mod |m|)。よって④つまり(|a_1|・|m|)/|n|^2＝1に注意すると、
|a_1|≡0(mod |n|)であって、|a_1|＝|c|・|m|となり、|a_1|＝|n|となって矛盾。
Case1-2)：|a_1|＝|n|＝|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|から|c|＝1。故にc＝±1。
Case1-2-1)：c＝1のとき。このときn＝mだから、②から、m(s－t)＝2kであって、
s－t＝2k/mからs＝t+2k/m。よって、群T(s)＝T(t+2k/m)について、T(t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
従って、T(t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、偏角の範囲を(-π,π]として①の両辺に主値を取れば、i(ms－nt)π＝0から、
ms－nt＝0。n＝mだから、s-t＝0からs＝tとなって、これはs＞tに反し矛盾。
Case1-2-2)：c＝-1のとき。このときn＝-mだから、②から、m(s+t)＝2kであって、
s+t＝2k/mからs＝-t+2k/m。よって、群T(s)＝T(-t+2k/m)について、T(-t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
従って、T(-t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、Case1-2-1と同様にして①の両辺に主値を取れば、i(ms-nt)π＝0から、
ms－nt＝0。n＝-mだから、s+t＝0であるが、これはs＞t＞0からs+t＞0であることに反し矛盾。
Case1-2-1、Case1-2-2から、|a_1|＝|n|＝|m|のとき矛盾。 (Case1-2 終)
Case1-1、Case1-2から、ms-nt≠0のとき矛盾が生じる。 (Case1 終)
374:１３２人目の素数さん
15/03/04 16:07:26.93 +ZGYKspj.net
>>279
(>>353の続きで、>>350参照)
Case2)：ms-nt＝0のとき。このとき、ms＝ntからs＝(n/m)tだから、T(s)＝T(t)からT(t)＝T((n/m)t)。
また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、或るb∈Z＼{0}が存在して、i(jπ)＝ia_j・(m/n)tπ＋i(2bπ)から、
j＝a_j・(m/n)t＋2b、つまり、a_j・(m/n)t＝－2b＋j。
ここで、a_j・(m/n)、－2b＋j∈Qであって、t∈R＼Q。
従って、a_j・(m/n)＝0から、a_j＝0またはm＝0。
然るに、これはa_j≠0、m≠0であることに反し矛盾。 (Case2終)
Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。
まあ、もう疲れて来たからちょっと寝る。
375:１３２人目の素数さん
15/03/04 16:39:24.97 +ZGYKspj.net
>>279
>>353のCase1-1)は間違っていたから、後で訂正する。
今は疲れて出来ん。
376:１３２人目の素数さん
15/03/04 18:38:01.58 Xbvtg9lr.net
後藤さん張り切ってるね
377:１３２人目の素数さん
15/03/04 20:12:02.00 YdJRWdwI.net
>>350-354
難しく考えすぎ。そこまでT(s),T(t)を弄っていて正解に辿り着かないのはセンスなさすぎ。
Case1-1どころか、Case1の途中で既に間違ってる。実はCase2も間違ってる。まずはCase1から。
＞従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
＞単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
n＝2, m＝4 と置くと、n^2≡0(mod m)は成り立つがn≡0(mod m)は成り立たない。
その他にも、成り立たない(n, m)の例はたくさんある。
なーにが単項イデアルだよ。算
378:数も出来てないじゃないか。 あと、仮に n≡0(mod m) だったとしても、その後が間違ってて話にならない↓ ＞つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。 ＞よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、 ＞つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、 ここが間違い。偏角の範囲を限定したところで、cn－jm＝0 は出てこない。 結局は cn－jm≡0(mod 2) までしか言えない。 整数a,bがe^{iaπ}＝e^{ibπ}を満たすとき、偏角の範囲を(-π,π]として両辺の主値を取ろうとしても、 偏角の範囲を限定したがゆえに、まずaπ, bπが(-π,π]の範囲に収まっていなければならない。 ただ1つの整数kに対して (a＋2k)π∈(-π,π] が成り立つようにできて、 ただ1つの整数Lに対して (b＋2L)π∈(-π,π] が成り立つようにできる。 これと e^{iaπ}＝e^{i(a＋2k)π}, e^{ibπ}＝e^{i(b＋2L)π} から、 e^{i(a＋2k)π}＝e^{i(b＋2L)π} となる。 ここまで来れば、偏角の範囲が(-π,π]に収まっているから、i(a＋2k)π＝i(b＋2L)πとなり、 よってa－b＝2(L－k) となる。従って、a－b＝0 なんて式は導出できなくて、 結局は a－b≡0(mod 2) までしか言えない。
379:１３２人目の素数さん
15/03/04 20:32:29.14 YdJRWdwI.net
次はCase2について。
＞また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
＞よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
＞e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
e^{i(jπ)}って何だよ。s, t はどこに行ったんだよ。
文脈から察するに、e^{i(jtπ)} の間違いだろ。
で、e^{i(jtπ)}だとして計算を続けると、a_j＝0なんて出てこない。
最後にもう1つ。
＞Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。
Case1, Case2 の議論では、s, t が 1＞s＞t＞0 を満たすという性質を使っていない。
唯一、Case1-2-1, Case1-2-2 では s＞t＞0 という性質が使われている。
しかし、1＞s＞t という性質はどこにも使われていないのだ。
従って、もし Case1, Case2 の議論が正しいなら、
「 s＞t＞0 なる任意の s, t∈R－Q に対して T(s)≠T(t) が成り立つ 」
ことが言えてしまうことになる。
だが、これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
というわけで、この考察だけでも、
「 Case1, Case2 はどこかの議論が間違っている」
ということが分かってしまう。
息をするように間違えまくる大バカ野郎。
1回や2回の間違いではない。
ここまで来るのに延々と間違いを繰り返しているのだ。
話にならん。
380:１３２人目の素数さん
15/03/05 00:18:11.22 UP7LXXHW.net
もう少し自己査読してから出せばいいのに
381:１３２人目の素数さん
15/03/05 04:44:17.26 fgPXpUAC.net
>>359
私(>>239-240の訂正をしている者)自身、自己査読していないことは自覚している。
間違いまくっているのも当然。間違いをリサイクルすることも重要
(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
まあ、よく自己査読してから書き込むことにする
(ただ、打ち間違いがあるかも知れないことは、前提)。
382:１３２人目の素数さん
15/03/06 07:57:19.72 AVlvxq7S.net
>>360
＞(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
＞nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
何を言ってるかよく分からないのだが、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たしていても、
n＝±k^2が成り立つとは必ずしも限らない。たとえば、nが素数の場合を考えればよい。
n＝3, m＝3 とか。このとき、m^2≡0 (mod n)が成り立つのに、n＝±k^2を満たすkは存在しない。
Case1-1の間違いはリサイクルすら不可能ってこと。
383:１３２人目の素数さん
15/03/06 10:49:46.23 T1FPcLyt.net
>>279
今まで、本当に恥ずかしい位に肝心なことを見落としていたわ。>>239-240は次のように訂正。
[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
R＼Qの部分集合A、Bを、A＝{a∈R＼Q|a∈(-1,0)}、B＝{b∈R＼Q|b∈(0,1)}
と定義する。すると確かにAとBの各R＼Qにおける包含関係について、φ≠A、B⊂R＼Q である。
ここで、任意の(a,b)∈A×Bに対して-1＜a＜0＜b＜1であるから、
任意のa∈Aに対してBの点b＝|a|は一意に定まる。また、同様に、
任意のb∈Bに対してAの点a＝-bは一意に定まる。よって、AからBへの全単射が存在する。
無理数s、tに対して2つの群T(s)、T(t)が定義される。T(s)のT(t)への左作用を
f：T(s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{isπ}とおく。すると、g
384:∈T(s)であるから、 mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t) が一意に定まる。 つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、 f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t) が一意に定まる。 ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、 偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t+s)π＝0となり、 i≠0＜πからt+s＝0であり、|s|＝|t|が得られるが、s、tが満たす条件|s|＞|t|に反する。
385:１３２人目の素数さん
15/03/06 10:56:55.10 T1FPcLyt.net
>>279
(>>362の続き)
[第6段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在してT(s)＝T(t)であったとする。
sについて、1＞s＞0から-1＜-s＜0であり、2つの群T(-s)、T(t)が定義される。
T(-s)のT(t)への左作用をf：T(-s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{i(-s)π}とおく。
すると、g∈T(-s)であるから、mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t) が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t) が一意に定まる。
ここで、1＞s＞t＞0から-1＜-s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{i(-s)π}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t-s)π}。従って、e^{i(t-s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t-s)π＝0となり、
i≠0＜πからt-s＝0が得られ、s＝tはs、tが満たす条件s＞tに反する。
[第7段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
集合Aは非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
386:１３２人目の素数さん
15/03/06 10:59:38.57 AVlvxq7S.net
>>362
＞[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
お話にならない。その[第5段]には何の価値も無い。
なぜなら、それが示せた「だけ」では、T(x) が非可算無限個あることは示せなからだ。
s＜0＜t のように、sとtの間に実数が挟まれていると価値が無くなってしまうのだ。
>>284にも書いたことだが、ここでもう一度書いておく。
次のように一般化して考えるとよく見えてくる。
問題：Y は集合とする。写像 F：(－1, 1)－Q → Y は、
|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1 なる s,t∈R－Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(-1,1)－Q) は非可算無限個あると言えるか？
解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取る。
x∈(-1, 1)－Q に対して、 F(x)＝a (－1＜x≦0), b (0＜x＜1) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(-1, 1)－Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■
というわけで、上記の[第5段]には何の価値もなく、[第5段]だけでは全く不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、それだけで非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。
387:１３２人目の素数さん
15/03/06 11:01:41.77 AVlvxq7S.net
>>363
おっと、[第6段]が増設されたのか。
これは早とちりをしてしまった。申し訳ない。
388:１３２人目の素数さん
15/03/06 11:02:51.45 T1FPcLyt.net
>>279
一体、私は何を考えてたんでしょ。
感じなことを忘れていたというか、見落としてた。
389:１３２人目の素数さん
15/03/06 11:08:40.99 T1FPcLyt.net
>>279
>>363の[第7段]の「集合A」は「集合B」の間違い。
390:１３２人目の素数さん
15/03/06 11:10:20.90 AVlvxq7S.net
>>362
＞f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t) が一意に定まる。
＞ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
＞g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
＞g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、
ここが意味不明。
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t) が一意に定まることと、
g・e^{itπ}＝1 が成り立つこととは何の関係も無い。
Cの実軸に関する対称性が根拠になっているようだが、Cが実軸に関して対称だったからといって、
写像 f とは何の関係もない。f には、対称性に関する性質が何も設定されてないからだ。
>>363でも同様の論法を使っているので、そこもアウト。
どのみちダメじゃねーか。
391:１３２人目の素数さん
15/03/06 11:31:19.63 Z69jlrDR.net
アイヤー
392:１３２人目の素数さん
15/03/06 11:40:13.46 rYC8zJJ9.net
哀号
また駄目ニダか…
393:１３２人目の素数さん
15/03/06 14:44:24.43 T1FPcLyt.net
>>279
単純に行く。>>239-240は次のように訂正。
[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ－ntπ)＝2kπiから、ms－nt-2k＝0。今2kをkで略記する。
すると、k∈Zであって、ms-nt-k＝0…①が成り立つ。
ここで、n≠0だから①から、(m/n)s－t－(k/n)＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}
394:は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s－(k/n)。 T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s－k/n)。 ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1・sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。 また、群T(t)＝T((m/n)s－(k/n))は、 ＝{e^{i(m_1・((m/n)s－(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。 e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、 e^{i((m/n)s－k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、 e^{isπ}＝e^{i((m/n)s－(k/n))π}…② または e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s－(k/n))π}…③ のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
395:１３２人目の素数さん
15/03/06 14:49:13.27 T1FPcLyt.net
>>279
(>>371の続き)
Case1)：②が成り立つとき。②から、e^{i(((m/n)-1)s－k/n)π}＝1…④。
ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
④の両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s－(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから
((m/n)-1)s－k/n＝0、故に(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s－(k/n))は、
T(t)＝{e^{i(m_1(s－(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s－(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s－(k/n))π} または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s－(k/n))π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、
e^{i(－k/n)π)}＝1 または、e^{i(2s－k/n)π)}＝1のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s－k/n)π)}≠1であって、
e^{i(－k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、
j＝0からk＝0。よって、①からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs＞tに反し矛盾。
Case2)：③が成り立つとき。③から、e^{i((1+(m/n))s+(k/n))π}＝1。
然るにsは無理数だから、任意の有理数aに対して{a,s}は体Q上線型独立である。
よって、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であり矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
396:１３２人目の素数さん
15/03/06 14:51:42.40 T1FPcLyt.net
>>279
(>>372の続き)
[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。
[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。
[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
397:１３２人目の素数さん
15/03/06 18:30:30.86 AVlvxq7S.net
>>371-373
大間違い。今までのミスと全く同じミスを繰り返している。
＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
＞e^{i((m/n)s－k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
＞e^{isπ}＝e^{i((m/n)s－(k/n))π}…② または e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s－(k/n))π}…③
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
大間違い。支離滅裂。m_1＝1としたときの両者の点は
対応している必要が無いので、②とか③とかに限定できない。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。
＞Case1)：②が成り立つとき。②から、e^{i(((m/n)-1)s－k/n)π}＝1…④。
＞ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
＞{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
＞④の両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s－(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから
大間違い。偏角の範囲を(-π,π]に限定するなら、④の主値を取る前に、
(((m/n)-1)s－k/n)π が(-π,π]の範囲内に収まっていなければならない。
しかし、(((m/n)-1)s－k/n)π のままでは必ずしも範囲内に収まらないので、
一般的には>>357の後半で指摘したことと全く同じ状態になり、
結局は「 ある k∈Zに対して (m/n)-1)s－k/n＝2k 」までしか言えない。
＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s－(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
＞だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s－(k/n))π} または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s－(k/n))π)}
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、
大間違い。支離滅裂。既に指摘したとおり、
m_1＝1としたときの両者の点は対応している必要が無い。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。
398:１３２人目の素数さん
15/03/06 18:47:06.11 AVlvxq7S.net
間違いはさらに続く。
＞然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
＞を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s－k/n)π)}≠1であって、
ここの記述は間違っているわけではないが、θは有理数どころか
「偶数(負の偶数でもよい)」に限られるので、内容が冗長。
＞e^{i(－k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
＞kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、
ここは完全に間違い。(－k/n) は「偶数(負の偶数でもよい)」となるので、
せいぜい (－k/n)＝2j という程度の等式までしか言えない。
そもそも、(－k/n)は「πの係数」なんだから、その係数に対して k＝2jπ などと
新しくπが出現するわけ無いだろ。おかしいと思わないのかよ。
いくら背理法を使っているからって、そんな支離滅裂な矛盾が出てきたら
自分の計算ミスを疑うのが普通だぞ。概念的に何も理解してない証拠じゃないか。
399:１３２人目の素数さん
15/03/06 19:14:54.25 AVlvxq7S.net
さらに言うと、[第5段]では「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t 」という条件しか使っていない。
＞すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
＞2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
＞e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。
この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
実際には「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t) 」さえ成り立っていれば十分であり、それだけで
「 ある(m,n)∈(Z＼{0})^2 に対して e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} 」が言えてしまう。
従って、この部分では せいぜい「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t) 」しか使っていない。
そして、その後の議論で新しく使っている性質は s＞t だけなので、結局、
[第5段]全体を通しては「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t 」しか使っていない。
となれば、「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t ならば矛盾 」が言えたことになってしまい、
すなわち「 s,t∈R－Q, s＞t ならば T(s)≠T(t) 」が言えたことになってしまうが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。というわけで、この考察だけでも、
「 [第5段]の証明はどこかが間違っている」ということが分かってしまう。
証明中に安易に「 2＞s＞1＞t＞0
400:」という呪文を書き込んだだけでは、 その条件を使ったことにはならないのだ。その後の議論が、その条件を 使わなくても成り立つものであるならば、実際には その条件は使われていないのだ。
401:１３２人目の素数さん
15/03/07 08:11:04.98 /NeL5nxq.net
>>376
>その後の議論が、その条件を
>使わなくても成り立つものであるならば、実際には その条件は使われていないのだ。
これははじめて知った。場合分けが生じる背理法の議論の真偽の見分け方について、参考になった。
というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
とばかり思っていた。一体、何にそういうことが書いてあるんだ？
402:１３２人目の素数さん
15/03/07 08:16:58.05 /NeL5nxq.net
>>359
>>360の
>(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
>nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
の部分は条件が必要にで、この部分は取り下げ。
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:08:42.74 CATUi/5b.net
age
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:11:50.75 CATUi/5b.net
どうも。スレ主です。
>>333から>>397まで、その間はご無沙汰です
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:16:22.41 CATUi/5b.net
なんか、規制に引っかかって、書けなくなりました
そこで、「2ちゃんねるプレミアム Ronin」を購入して、Jane Styleを復活させました
コテ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”も復活です。はい
406:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:21:18.78 /NeL5nxq.net
>>376
1つ聞きたいことがある。
私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
単純に反例を挙げるだけでは済まなくなると思うが、この真偽については如何？
>>359
>>378の最後の行の「必要にで、」は「必要で、」の間違い。
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:22:22.17 CATUi/5b.net
ID:/NeL5nxqさんは、”おっちゃん”だと思うけど
”おっちゃん”らしいね
まあ、頑張って下さい
ID:AVlvxq7Sさんは、いつもの方と思いますが
まあ、お呼びするとしたら、”導師”か”メンター”か
私より、だいぶレベルが上ですね
辛抱強く、”おっちゃん”のご指導で、頭が下がりますね
私ら、”おっちゃん”のカキコを読む気がしない・・
408:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:27:48.03 /NeL5nxq.net
スレ主よ。
私の証明に対し反例を挙げて間違いを指摘している人間をどう思う？
意見を聞きたい。
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:29:19.89 CATUi/5b.net
>>382
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
連投規制になるかなと思ったが、おかげでクリアーできそうだ
>私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
>という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
なるほど、私に聞いているのではないと思うが
y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
そういう関数fのことかな？
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:31:23.87 CATUi/5b.net
>>384
”おっちゃん”の方が正しいと
心情的には言いたいが
私の数学的直感は逆だね
証明を細かく読んでないが
411:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:34:17.52 /NeL5nxq.net
>>385
>なるほど、私に聞いているのではないと思うが
>y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
>そういう関数fのことかな？
数論の或る病的な現象になっているんだよ。
本当に数論は正しいのだろうか？ と思っているんだよ。
412:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:37:39.85 /NeL5nxq.net
>>386
まあ、そのあたりはどうでもいいけどね。
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:46:25.91 CATUi/5b.net
>>334-338
どうも。スレ主です。
まあ、口だけ達者だな
ID:/CImvwKh、D:d/R6BEmu、ID:W+oQWcvbくんたちか
１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません
２．圏論は、最初から徹底コピペです�
414:諱B分かってないだろうというのは、正しい ３．「どんな大学でも無理でしょｗ 」も、多分正しい。入試は通るかも。卒業だけならできるかも ４．が、君たちとは同じあなのむ・・ で、君たちにも出題しておく。>>194の２問だ 問題１ は易しい。すぐ出来るはずだ 問題２ むずい。いまだに悩んでいる。なんとなく解らしいところに辿り着いたが、>>280のような簡単な証明が出来ないで悩んでいるんだ 君たち、賢いんだろ？ 教えてくれよ（笑い）
415:１３２人目の素数さん
15/03/07 14:52:59.22 Kj5to7DQ.net
q∈Q とする。
定義により、ある n,m∈Z が存在して、q=n/m を満たす。
qは (m/n)x-1∈Q[x] の根であるから、定義によりqは代数的数である。
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 14:59:52.32 CATUi/5b.net
>>389
訂正 >>280→>>290
で、>>290で一つ小さな間違いがある
だれも指摘しないが
>７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
>８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED
ここ、C^{×}は連続の濃度→C^{×}は連続の濃度以上とすべきだった
U'⊂乗法群C^{×}の包含関係から言えるのは、”連続の濃度以上”だ
実際、個人的には、連続濃度の”べきの濃度”を持つと思っているので、なおさらそう書くべきだった
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:05:21.46 CATUi/5b.net
どうも。スレ主です。
この問題は、>>22の”おっちゃん”が前スレで出題した問題から派生したもの（いま、これに拘っているんだ）
誰かが何か書くまで、私の答えは書かないことにする。その方が楽しそうだからね（＾＾
>>194から再録
どうも。スレ主です。
まあ、口先ではなんとでも言える典型だよ、君たちは
では、こうしよう。ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、一週間時間をおいた>>153
そろそろ解答を書こうと思ったが、君たちのために、あと２４時間置こうと思う
問題１
>>80
では、君に出題する
「閉区間（例えば[101～102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101～102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？ 分かる人、証明するか理由を述べよ >>69
これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君たちはスレ主より上と認めよう
問題２
>>34
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
もちろん私は答えを得ている
418:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:10:01.41 CATUi/5b.net
>>390
どうも。スレ主です。
定義によりqは代数的数である。
↓
”定義によるが”、qは代数的数である。
かな？ ちゃちゃ入れて悪いが
419:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:12:31.32 Kj5to7DQ.net
>>390 は間違いじゃないけど美しくなかったので修正
q∈Q は x-q∈Q[x] の根だから、定義により代数的数である。
420:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:17:24.37 8nSsMcKh.net
ぱーちくりんスレ主が書き込みまくるから良くスレ伸びとるね
わかりやすく説明してるのにまだ理解できとらんとは
さすがぱーちくりんの中のぱーちくりん
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:19:23.52 CATUi/5b.net
>>387
>数論の或る病的な現象になっているんだよ。
>本当に数論は正しいのだろうか？ と思っているんだよ。
いや、心情的にはよく理解できる
なぜなら、カントールやゲーデル、ノイマンなど、その時代の基礎論の天才たちが何人も、人生をかけて挑んだ難問だ
はっきり言って、�
422:Q１世紀の現代数学も分かっていない部分が多いという 細かい部分に入って行くと、霧の中というか富士の樹海の中というか・・ 例えば、超越数（下記）。”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない”！ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。 1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、πと、e^π（ゲルフォントの定数） の代数的独立性が証明された。
423:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:23:22.16 Pt6N2tUG.net
横からだけど、俺が>>194の問題１を解いたら
俺がスレ主に正規部分群の問題出してもいいかな
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:27:37.36 CATUi/5b.net
ID:8nSsMcKhくん登場か
君は微笑ましいね
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう
”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
あれから、２週間以上経つ。まあ、君には無理と思ったが、当たっていたね
君の知能レベルは、スレ主以下と認定してあげるよ（＾＾
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:28:34.96 CATUi/5b.net
>>397
良いよ
426:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:33:56.57 Pt6N2tUG.net
>>399
よし。しばしお待ちを
427:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:38:17.09 CATUi/5b.net
>>390-394の代数的数関連部分
ここは、初心者も来ると思うので、世間の代数的数の定義を確認しておこう（下記。文字化けは修正せず）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 抜粋
数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数学の標準的な記号 \ \mathbb{Q}[x]\ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って \ A\ と書けば、
A=\Big\{a \in \mathbb{C}\ \Big|\ \big(\exists p(x) \in \mathbb{Q}[x]\big)\big[p(x) \neq 0 \ \&\ p(a)=0\big]\Big\}
となる。
概要
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
α が有理数ならば
f(x) = x - α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
無理数ではたとえば \sqrt{2} は
f(x) = x2 - 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x2 + 1
の根である ±i は代数的数である。
しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
このような数のことを超越数と呼ぶ。
428:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:42:13.26 Kj5to7DQ.net
>>382
全く駄目。
当たり前だが、反例が一個でも存在すればその命題は偽である。
具体的内容が書かれていないので何とも言えないが、「任意の実数」がただ単に「任意の無理数」とかの間違いなのでは？
429:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:43:38.75 CATUi/5b.net
>>401 追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 抜粋追加
代数的性質
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、\over
430:line{\mathbb{Q}} と表す。 \overline{\mathbb{Q}} の性質 \overline{\mathbb{Q}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、\overline{\mathbb{Q}} は、代数的閉体である。 さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、\overline{\mathbb{Q}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。 集合論的性質 カントール (G. Cantor) は、1874 年に、\overline{\mathbb{Q}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。 しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:49:58.14 CATUi/5b.net
>>389 追加
ここは、初心者も来ると思うので、下記でもご参照（補足：これ読んでも整理されていないから、あまり時間を掛けないようにご注意）
URLﾘﾝｸ(eman.hobby-site.com)
可分でも何故ベクトルが非可算無限 作れるのか？
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 15:53:55.16 CATUi/5b.net
>>404 追加
これ、ハメル基底関連な
”１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません ”
433:１３２人目の素数さん
15/03/07 15:59:06.20 Pt6N2tUG.net
正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。
まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって [1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。
さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G
0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G
以上から G=R+ □
434:１３２人目の素数さん
15/03/07 16:24:13.27 Kj5to7DQ.net
＞r を 1 より大きい任意の実数とする。
に対して
＞ r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
が真なのは、nが十分大きいときだけだね
435:１３２人目の素数さん
15/03/07 16:37:11.21 Pt6N2tUG.net
「十分大きなある n で」以降は n をその値に固定してると思って読んでくれ
436:１３２人目の素数さん
15/03/07 16:51:05.76 xymY1OtG.net
>>377
＞というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
＞とばかり思っていた。
なに言ってるんだコイツ。矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
その一方で、お前の議論は間違っていて矛盾が示せてない。それだけのこと。
俺が言っていることは
・証明 A が正しくて、なおかつ A の中で条件 P が実際には使われてないなら、
その証明文 A の文中から条件 P を削除した新しい証明文 A’もまた正しい証明となる
ということに過ぎない。これをお前の証明に適用すると、A’に相当する証明が
明らかに反例を持っているので、もともとの A (＝お前の証明) も間違っている、というわけ。
＞一体、何にそういうことが書いてあるんだ？
たぶんお前は、俺の言っていることが理解できていない。
でなければ、そんな質問が出てくるわけが無い。
437:１３２人目の素数さん
15/03/07 17:05:31.19 Kj5to7DQ.net
>>408
了解。問題無いようだ。
438:１３２人目の素数さん
15/03/07 17:06:04.47 xymY1OtG.net
>>382
ややや。どこかで同じ内容の文章を見たことがあるぞ。
＞私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
＞という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
＞本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
その場合、「仮定が偽である命題は常に真である」ことを用いて、その命題は「真」となる。
具体例を挙げる。
「 有理数 x が x^2－2＝0 という条件を満たすならば、x は超越数である 」
という命題を考えると、この命題は「真」である。なぜなら、
439:x^2－2＝0 を満たす 有理数 x は存在しないので、これは「仮定が偽の命題」となるからだ。 仮定が偽の命題は常に真であるから、この命題は真なのだ。
440:１３２人目の素数さん
15/03/07 17:08:30.50 Db4+HkFH.net
ガロア以前に松坂の「数学読本」でも読んだ方が良さげ
441:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 17:56:59.94 CATUi/5b.net
>>406
どうも。スレ主です。
了解。細かい点は別にして、証明の筋は同じだ
r^(1/n)で、nを十分大きく取ると、１に近づく
一方、連続区間があれば、十分１に近い比が取れる
だから、任意の実数0<ｒがＧに含まれる
開区間でも同じことは成り立つ
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 18:01:20.22 CATUi/5b.net
>>413
だから、連続区間を含むと、部分群は正の実数を全て含むようになる
正の実数の部分集合で、連続区間を含む場合、Ｇは正の実数全体と一致し、同じになる
ここの処理が、>>392の問題２の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」を示すときに悩ましい
443:１３２人目の素数さん
15/03/07 18:02:16.82 3fIdtYxU.net
天体現象に隠されたイエス・キリストの正体
zeitgeist／(時代精神) 日本語字幕版
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 18:05:52.39 CATUi/5b.net
>>414 つづき
>>392の問題２で、複素数の場合も似た事情がある
但し、複素数場合は、連続区間でも面積的広がりを持つ場合は、ゼロを除く複素平面全体に群が広がる
偏角θが一定で、絶対値のみ連続の場合は、ちょっと違う挙動みたいだね
まあ、ここらをどう処理するかを考えている・・
445:１３２人目の素数さん
15/03/07 18:08:59.15 Pt6N2tUG.net
じゃあ問題
(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
(2)
G を群とする。
C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。
(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。
(1)(2)は「正規」だけでなく部分群であることの証明もあればうれしい。
(3)は定義を知らなければスルーで。知識でなく理解を問いたいので。
446:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:08:04.60 CATUi/5b.net
>>404-405 ハメル基底追加
１．ハメル基は、具体的な構成はできない （英語のサイトもあったような。Smithさん”we have little use”と）
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topology/topology10.pdf 北大 石川剛郎 ２０００年
問．プリントの質問ですが，ハメル基とは具体的にはどんなものなのでしょうか？R をQ 上のベクトル空間としたときの基とはいったい何ですか？何けた続くかわからない無限に続く数をそんな１次結合で表される基底があるのでしょうか？
答．存在はしているが，具体的にはわからないもの，と考えるとよいと思います．あれば安心，保険のようなものでしょうか．
URLﾘﾝｸ(www.math.lsa.umich.edu) Karen E. Smithさん女性で写真があった
URLﾘﾝｸ(www.math.lsa.umich.edu)
Math 513: Linear Algebra, University if Michigan, Winter 1999 Supplementary Write up: Bases for Infinite Dimensional Vector Spaces
URLﾘﾝｸ(www.math.lsa.umich.edu)
BASES FOR INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES MATH 513 LINEAR ALGEBRA SUPPLEMENT Professor Karen E. Smith University of Michigan.
"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."
２．線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（下記）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
2012/12/7 線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの証明です。
ベストアンサーに選ばれた回答
これに関してはハメル基（Hammel basis）という有名な反例がよく挙がります。このハメル基というものを構成するときに選択公理を用いるので、選択公理から出る"病的な"の一例としてもよく挙げられます。
３．Hamel基？
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp) 2011/6/18 Hamel基について質問があります！
447:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:08:56.13 CATUi/5b.net
>>418 追加
４．Hamel bases and measurability ？ 濃度の話にはあまり役に立たないかも知れないが・・
URLﾘﾝｸ(www.imsc.res.in) SUNDER'S HOME-PAGE The Institute of Mathematical Sciences (インド？)
URLﾘﾝｸ(www.imsc.res.in) Hamel bases and measurability, with M.G. Nadkarni, Mathematics Newsletter, vol. 14, No. 3, (2004).
448:１３２人目の素数さん
15/03/07 19:11:58.67 Kj5to7DQ.net
>>417
さすがにそこまで基本的な問題なら間違えようがないだろう
449:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:14:31.76 CATUi/5b.net
>>417
どうも。スレ主です。
あれ？ ３問か
(1)は、基本問題だね。秒殺と行きたいが、無理。念のため本見るよ
(2)も、同じ。基本問題だね。
(3)も同じか。well-definedね
本みないでも、wikipedia程度で済みそうだが・・
(3)が一番簡単かな？ well-definedだけ確認かな・・
450:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:15:05.73 CATUi/5b.net
>>420
同意ｗ
451:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:18:32.02 CATUi/5b.net
>>421
一応これを押さえて・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。
文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。
well-defined は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「well-defined である」といった形で用いる。
名詞形 well-definedness などもあり、これを well-defined 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。
概要
以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。
(1) 定義で
452:使われる方法が実際にうまくいく。 (2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。 一つの対象のある表示に対して定義が満たされるが、別のある表示については満たされない状況であるとか、 一つの対象の異なる表示を考えると定義の示す結果がそれぞれの表示に対して異なるといった状況であるならば、与えられた定義はその対象自体に対する定義として不適切 (ill-defined) である。
453:１３２人目の素数さん
15/03/07 19:32:27.58 I5d5jn+t.net
(1)ができないのに(3)が一番簡単って、さすが笑わせてくれる
454:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 19:44:05.45 CATUi/5b.net
>>417
Q(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。
Q(3)
g1,g2・・・∈G、積を*で表す。また、n1,n2・・∈Nとする
剰余群 G/Nの要素を、g1N,g2N・・・と表す。g1N＝{g1*n1,g1*n2,・・・}以下同様
但し、g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元とする
剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
（正規部分群であるから、gjN＝Ngjなどが成り立つ）
単位元は、N自身とする。あるいは、eNと解する。実際、eN＝Nであるから
あと、逆元の存在を言って、well-defined の話か・・
まあ、メシ食って考えるわ
455:１３２人目の素数さん
15/03/07 20:47:56.94 Pt6N2tUG.net
いや本とかwikipediaとか見るなって
456:１３２人目の素数さん
15/03/07 20:54:15.35 Pt6N2tUG.net
>>425
定義は
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
までで十分。
そのあとの
＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×
それから、単位元とか逆元とかは well-defined の証明の後にするべき。
そもそも演算になってるかどうかわからないのに単位元も何もない。
457:１３２人目の素数さん
15/03/07 21:02:21.74 Pt6N2tUG.net
あとそういえば
G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切
458:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 21:05:06.49 CATUi/5b.net
>>425 つづき
メシ食って考えた
逆元の存在：
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
∵逆元のgi^(-1)∈Nなら、Nは群なのでgi∈Nとなるので矛盾
よって、剰余群 G/Nの積の定義、単位元、逆元の存在は示した。あと、結合法則があるが、元の群の積を流用しているので成り立つ。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群 定義
well-defined：
１．>>423の「(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。 」は、終わった
２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい
459:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/03/07 21:17:53.95 CATUi/5b.net
>>429 つづき
３．正規部分群の定義：「G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。」を認めることとする
４．そうすると、左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まることを言えば、剰余類は一意に定まる
５．そうすると、>>423のwell-definedの(2)がいえるので、well-definedのwikipediaによる定義を満たすことになる
「左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まる」が、ちょっとね
ラグランジュの定理の証明などを使うと思ったが、ちょっと考えてみるよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
剰余類・剰余群
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、
G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H
と直和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。
G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。
特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指