15/03/01 10:38:47.54 CQbZyxiT.net
>>212
(>>239の続き)
Case1)③が成り立つとき。③から、e^{i((((m/n)-1)s－k/n)π)}＝1。
任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s－k/n)は、T(t)＝{e^{i(m_1(s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i((s－k/n)π)} または、e^{i(sπ)}＝e^{-i((s－k/n)π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、e^{i(－k/n)π)}＝1 または、e^{i(2s－k/n)π)}＝1
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。然るに、任意の有理数aと任意の無理数bについて、
{a,b}は体Q上線型独立だから、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、
e^{i(2s－k/n)π)}≠1であって、e^{i(－k/n)π)}＝1となる。よって、kに対し或るj∈Zが存在して
k＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、j＝0からk＝0。よって、
②からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。
Case2)④が成り立つとき。④から、e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}＝1。
然るに、任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、
e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。
Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。