15/03/01 09:05:35.60 CQbZyxiT.net
>>212
(>>230の続き)
[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或るs≠tなるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} …①であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ－ntπ)＝i(kπ)から、ms－nt-k＝0…②、よってn≠0から、(m/n)s－t－k/n＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s－k/n。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s－k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s－k/n)は、＝{e^{i(m_1((m/n)s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s－k/n)π)}から、e^{i((((m/n)-1)s－k/n)π)}＝1。
任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s－k/n)は、T(t)＝{e^{i(m_1(s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i((s－k/m)π)}から、e^{i(－k/m)π)}＝1、従って、k＝0。
②からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。
R＼Qは非可算無限集合だから、これでC^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することは示された。