現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 - 暇つぶし2ch239:b、c∈T(θ)を任意に取る。すると、|a|＝|b|＝|c|＝1＜2から、 a、b、cの各主値Log(a)、Log(b)、Log(c)が定義されるから、a、b、cに対して或るm_1、m_2、m_3∈Zが存在して、a＝e^{i(m_1θ)π}、b＝e^{i(m_2θ)π}、c＝e^{i(m_3θ)π} となる。よって、A＝{a、b、c}とおくと、A⊂C^{×}であり、加法定理から、任意のx、y∈Aには通常の乗法・：A×A∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の演算が定義され、任意のa、b、c∈Aに対して (1)：結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：e^0＝1∈T(θ)であり、a1＝1a＝aである。更に、偏角の不定性に注意してm_1θ∈[0,2π)とすれば、 a^{-1}＝(e^{i(m_1θ)π})^{-1}＝e^{-i(m_1θ)π}だから、同様に加法定理から、aa^{-1}＝a^{-1}a＝1　である。T(θ)の元a、b、cは任意だから、 a、b、cをT(θ)上で走らせると、確かにT(θ)には通常の乗法・：T(θ)×T(θ)∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の二項演算が定義され、 T(θ)は乗法・について実数1を単位元とするような群である。つまり、T(θ)は乗法群であり、満たすべき条件を満たす。任意のa、b∈T(θ)に対して、加法定理からab＝baだから、 T(θ)は可換乗法群である。今、C^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することを示す。

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