15/02/28 19:49:28.49 qa89jASJ.net
>>194
つづき
そろそろ答えを書こうかと思ったが、>>203のバカを晒すために、もう少し伸ばす
220:１３２人目の素数さん
15/02/28 19:59:48.47 qa89jASJ.net
>>204
”おっちゃん”どうも
正20面体と5次方程式 F.クライン (著), 関口 次郎 (翻訳)の初版が手元にある
>クラインの本は図書館でザッと見たことがあり、
>この本では群論は必要だが、ガロア理論は前提になっていなかった筈。
いやいや、それがね、あるんだ
第４章だ
４．２が「代数方程式の群について」で、４．４が「ガロアの分解式特論」だ
クラインの本は、前書きに１８８４年５月とある
つまりは、アルティン流ではなく、原ガロア流のガロア理論なんだね
で、この本の値打ちは、抽象化された現代ガロア理論の対極として、原初のガロア理論が語られていることじゃないかな？
221:１３２人目の素数さん
15/02/28 20:05:37.61 qa89jASJ.net
>>205
ID:72qurfIyさん、どうも
ご指摘ありがとう。次に書くときにそうするよ
>実際>>41に勘違いされてる。
ああ、勘違いされてるのか。>>41は意味不明だった
「連続濃度の”べきの濃度”」とあるから、題意は間違いようがないと思ったけどね
222:１３２人目の素数さん
15/02/28 20:09:23.67 qa89jASJ.net
>>207
前から粘着している人かね？
おっさんと話してても面白くないからスルーするよ
このスレは、ガロア原論文を読むことを主眼としてるスレなんだ
ガロア原論文に即して説明することに意義がある
ガロア原論文を読む気がないなら帰ってくれ
223:１３２人目の素数さん
15/02/28 20:22:31.96 qa89jASJ.net
>>208
”おっちゃん”どうも
>>「ゼロを除く複素数の成す乗法群は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か。
>になるが、C^{×}の濃度が実数直線Rの濃度に等しいから、>>41で終わっているだろう。
面白い人や
224:ね 前スレで、”自明ことを証明しようとして間違い 肝心の単射性の証明が出来てない”と批判した人がいた >>41でやったことは、複素平面の濃度が「= |R| = 2^{ℵ_0} 」て・・、それは証明不要でしょうよ で、今回も問題は、ゼロを除く任意の複素数を選んで乗法群を作ったときに、選んだ複素数の部分集合が異なっていても、生成される乗法群が同一になる場合が生じる。つまり、 写像：ゼロを除く任意の複素数の部分集合→ゼロを除く任意の複素数の部分集合から生成される乗法群 これが単射ではない 問題の核心は、その評価をどうするかだよ
225:１３２人目の素数さん
15/02/28 20:42:23.52 CxGm5Glq.net
っぷｗ 何を当たり前のことを上から目線でｗ
√(-1)が生成する群と-√(-1)が生成する群
226:１３２人目の素数さん
15/02/28 20:57:32.60 f20xhAqq.net
偉そうに上から目線したがるおバカの集まるスレ。
227:１３２人目の素数さん
15/02/28 21:06:47.00 qa89jASJ.net
>>216
面白いやつだね
「ゼロを除く複素数全体の成す乗法群の部分群全体の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
↓
「ゼロを除く実数全体の成す乗法群の部分群全体の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
としても本質は同じだよ
なにを勘違いしているのか知らないが・・・
228:１３２人目の素数さん
15/03/01 06:09:22.66 NplpTsbd.net
どうも。スレ主です。
長谷川真人がなかなか良い
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座（2002 年8 月5～8 日）の予稿を改訂（2006 年5 月
／ 2007 年8 月／ 2011 年6 月）
目次
I 自己言及と対角線論法2
1 ラッセルの逆理2
2 カントールの対角線論法2
3 自己適用3
4 停止性問題5
5 対角線論法から不動点へ7
6 不動点定理から具体例を見直す8
II 矛盾したものを構成する11
1 完備半順序集合と連続関数11
2 最小不動点の発想12
3 最初の試み13
4 埋め込みと射影14
5 なぜ失敗したか15
6 正しい解の構成| 逆極限法16
229:１３２人目の素数さん
15/03/01 07:28:54.43 NplpTsbd.net
対角線論法２ P5「辞書式順序(lexicographic order)」の説明が良いね
URLﾘﾝｸ(www.ocw.titech.ac.jp)
東京工大 ホーム > 大学院情報理工学研究科 > 数理・計算科学専攻 > 計算量理論
計算量理論 Computational Complexity Theory （ 渡辺 治 ） 更新日：2013年7月5日
第. 5. 章|. 計算複雑さ解析法＃２ 対角線論法
[PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW
www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General...file...
時間では計算できないが，. O. ( l 5). 時間では計算で. きる問題を示す方法である．
こうした差を示すことで初めて計算量に本質的. な意味が与えられる．
差がなければ，. 計算量の大小を議論する意味がなくな. るからだ． これはまた，. 計算複雑さの理論の最も ...
230:１３２人目の素数さん
15/03/01 07:30:29.86 NplpTsbd.net
>>220 補足：PDFのURLが、コピペできないので、検索してくれ
231:１３２人目の素数さん
15/03/01 07:42:05.00 NplpTsbd.net
対角線論法3
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.sak)<)(強制改行)
ura.ne.jp/taiwa/taiwa.html 数学対話第5期
232:１３２人目の素数さん
15/03/01 07:44:04.32 NplpTsbd.net
sak(強制改行)
ura が(強制改行)を入れないと通らないようだ
検索してもらった方が早いかも
233:１３２人目の素数さん
15/03/01 07:51:16.97 NplpTsbd.net
対角線論法４ （文字化けは修正しません。URLを開いてください。）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。
カントールの定理
Xを任意の集合とするとき、XからXの冪集合2Xへの全射が存在しない（従って特に全単射が存在しない）。つまり、Xの濃度より2Xの濃度のほうが真に大きい。
これは以下のように対角線論法を用いて次のように示される。
Xから2Xへの全射ψが存在したとする。Y=\{x\in X: x\notin\psi(x)\}により定義すると、対角線論法より、ψ(x)=Yとなるx∈Xは存在しない。これはψの全射性に反する。
上の Y の構成はラッセルのパラドックスで用いられる「自分自身を含まないような集合」と酷似していることに注意されたい。
234:１３２人目の素数さん
15/03/01 07:56:35.86 NplpTsbd.net
対角線論法５
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントールの定理
証明
2 つの集合が等濃（英語版）である（同じ濃度を持つ）こととそれらの間に一対一対応が存在することは同値である。
カントールの定理を証明するには任意の与えられた集合 A に対して、A から A の冪集合へのどんな関数 f も全射になりえないことを示せば十分である。
すなわち f のもとでの A の像の元でない A の少なくとも 1 つの部分集合の存在を示せば十分である。
そのような部分集合は次の構成によって与えられる：B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}.
これが意味するのは定義によってすべての x ∈ A に対して x ∈ B ⇔ x ∉ f(x) ということである。
すべての x に対して集合 B と f(x) は同じにはなり得ない、なぜならば B は（f による）像が自信を含まないような A の元から構成されていたからである。
より具体的には、任意の x ∈ A を考えると、x ∈ f(x) かまたは x ∉ f(x) である。前者の場合には f(x) は B に等しくなれない、なぜなら仮定により x ∈ f(x) であり B の構成から x ∉ B だからである。
後者の場合には f(x) は B に等しくなれない、なぜなら仮定により x ∉ f(x) であり B の構成により x ∈ B だからである。
したがって f(x) = B なる x は存在しない； 言い換えると B は f の像に入っていない。
B は A の冪集合に入っているから、A の冪集合は A 自身よりも�
235:蛯ｫい濃度を持っている。 証明について考える別の方法は B は空でも空でなくてもつねに A の冪集合に入っていることである。 f が全射であるためには A のある元は B に写らなければならない。 しかしそれは矛盾を導く： B のどんな元も B に写れない、なぜならそれは B の元の判定法に矛盾するからで、したがって B に写る元は B の元であってはいけなくて、つまりそれは B の元の判定条件を満たし、別の矛盾。 なので A のある元が B に写るという仮定は誤りでなければならない； そして f は全射ではありえない。 式 "x ∉ f(x)" における x の二重の出現のためにこれは対角線論法である。
236:１３２人目の素数さん
15/03/01 08:05:37.37 NplpTsbd.net
>>219-225
対角線論法はむずい
が、結局キーワードは、最初の>>219「自己言及の論理と計算」てことなんだ。自己言及がキーワード
最初カントールは、実数の無限濃度が非加算を示すために、「自己言及の論理」ではなく、>>220の対角線論法２ P5「辞書式順序(lexicographic order)」みたいなテクニックを使った
計算量理論みたいに、具体的対象については、どんな証明のアプローチをするかは、複数考えられるんだろう
237:１３２人目の素数さん
15/03/01 08:57:36.54 CQbZyxiT.net
>>212
元々、問題解きは余り得意ではなく、モラルに反しフルボッコにされる
かも知れないので余り書きたくなかったが、一度恥を書いたこともあり、
私が用意していた解答をする。打ち間違いがあるかも知れないことは伝えておく。
[第1段]：有理直線Qが可算無限集合であることを示す。
各n∈N＼0に対して集合A_nをA_n＝{0、±n、±n/2、…}と定める。このとき、
Nは可算無限集合だから、任意のn∈N＼0に対してA_nは可算無限集合である。
また、可算無限集合の可算和は可算無限集合である。
よって、nをN＼0上で走らせて考えると、∪A_n＝Qは可算無限集合である。
238:１３２人目の素数さん
15/03/01 08:59:24.60 CQbZyxiT.net
>>212
(>>227の続き)
[第2段]：実数直線Rが非可算無限集合であることを示す。
開区間(0,1)をIで表す。Iが非可算無限集合であることを示す。矛盾に導くため、
Iが可算集合だったとすると、確かにIに属する実数は無限個存在するから、Iは可算無限集合である。
1以上の自然数全体の集合Nは可算無限集合であることに注意すると、
Iは{n_1,n_2,n_3,…}の形で表せる集合である。つまり、I＝{n_1,n_2,n_3,…}。
各(i,j)∈N×Nに対して、ijを添数とする項k_{ij}が10個の数字0、1、…、9の中の1つを表すとする。
各i∈Nに対して、n_i∈Iの10進法による小数表示を、n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}…
とする。0でない自然数iの値が小さい方から、可算無限個の10進法による小数表示
n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}…を縦に並べて書く。そして、任意の(i,j)∈N×Nに対して
行列の成分のようにして現れた数字k_{ij}のうち、対角線上に並んだ可算無限個の数字
k_{11}、k_{22}、…、k_{jj}、…に着目し、各j∈Nについて、k_j≠k_{jj}かつ1≦k_j≦8 なるような
数字 k_j∈{0,1,2,…,9}を任意に1つ選び、n＝0.k_1k_2k_3…k_j… とおく。
このとき、各j∈Nに対して1≦k_j≦8だから、実数nの10進法による小数表示は唯1通りに定まる。
Iの定義に注意すると、n∈Iだから、或るi∈Nが存在してn＝n_iとなる。
よって、n_i＝n_{ii}となるが、これは満たすべき条件n_i≠n_{ii}に反し矛盾。
よって、背理法により、Iは可算集合ではない。つまり、Iは非可算無限集合である。
故に、I⊂Rから、Rは非可算無限集合である。
239:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:01:53.99 CQbZyxiT.net
>>212
(>>228の続き)
[第3段]：無理数の全体R＼Qが非可算無限集合であることを示す。
R＼Qが可算無限集合であったとすると、2つの可算無限集合Q、R＼Qの和
Q∪(R＼Q)＝Rが可算無限集合であることになるが、これはRが非可算無限集合であることに反する。
各無理数θ∈R＼Qに対して、集合T(θ)をT(θ)＝{e^{i(mθπ)}∈C^{×}|m∈Z}と定義する
と、T(θ)≠φ。a、b、c∈T(θ)を任意に取る。すると、|a|＝|b|＝|c|＝1＜2から、
a、b、cの各主値Log(a)、Log(b)、Log(c)が定義されるから、a、b、cに対して
或るm_1、m_2、m_3∈Zが存在して、a＝e^{i(m_1θ)π}、b＝e^{i(m_2θ)π}、c＝e^{i(m_3θ)π}
となる。よって、A＝{a、b、c}とおくと、A⊂C^{×}であり、加法定理から、任意のx、y∈Aには
通常の乗法・：A×A∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の演算が定義され、任意のa、b、c∈Aに対して
(1)：結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：e^0＝1∈T(θ)であり、a1＝1a＝aである。
更に、偏角の不定性に注意してm_1θ∈[0,2π)とすれば、
a^{-1}＝(e^{i(m_1θ)π})^{-1}＝e^{-i(m_1θ)π}だから、
同様に加法定理から、aa^{-1}＝a^{-1}a＝1 である。T(θ)の元a、b、cは任意だから、
a、b、cをT(θ)上で走らせると、確かにT(θ)には通常の乗法
・：T(θ)×T(θ)∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の二項演算が定義され、
T(θ)は乗法・について実数1を単位元とするような群である。つまり、T(θ)は乗法群であり、
満たすべき条件を満たす。任意のa、b∈T(θ)に対して、加法定理からab＝baだから、
T(θ)は可換乗法群である。今、C^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することを示す。
240:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:03:58.74 CQbZyxiT.net
>>212
(>>229の続き)
任意のθ∈R＼Qに対して定まる群T(θ)について、T(θ)⊂C^{×}であり、C^{×}には
T(θ)と同じ通常の二項演算・が定義されていることに注意すると、
通常の乗法・の二項演算について、T(θ)は乗法群C^{×}の部分群である。
[第4段]：任意のθ∈R＼Qに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。
θ∈R＼Qを任意に取る。群T(θ)をT、乗法群C^{×}をGで略記する。g∈Gを任意に固定する。
gTg^{-1}＝Tを示す。h∈Tを任意に固定する。すると、T⊂Gから、h∈G。
また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。h∈Tだから、ghg^{-1}∈T。
Tの元hは任意だったから、gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}
と表わされる集合であることに注意して、hをTの中で動かせば、gTg^{-1}⊂T。
再度h∈Tを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が
定義され、h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、
gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}と表わされる集合である。
よって、ghg^{-1}＝h∈gTg^{-1}。Tの元hは任意だったから、hをTの中で動かせば、T⊂gTg^{-1}。
gTg^{-1}⊂T、T⊂gTg^{-1}だから、gTg^{-1}＝T。故に、TはGの正規部分群である。
これでT(θ)はC^{×}の正規部分群であることが示された。
無理数θは任意だから、θをR＼Qの上で走らせればよい。
241:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:05:35.60 CQbZyxiT.net
>>212
(>>230の続き)
[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或るs≠tなるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} …①であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ－ntπ)＝i(kπ)から、ms－nt-k＝0…②、よってn≠0から、(m/n)s－t－k/n＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s－k/n。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s－k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s－k/n)は、＝{e^{i(m_1((m/n)s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s－k/n)π)}から、e^{i((((m/n)-1)s－k/n)π)}＝1。
任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s－k/n)は、T(t)＝{e^{i(m_1(s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i((s－k/m)π)}から、e^{i(－k/m)π)}＝1、従って、k＝0。
②からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。
R＼Qは非可算無限集合だから、これでC^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することは示された。
242:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:10:04.52 CQbZyxiT.net
>>212
>>227の第1段の「N＼0」は「N＼{0}」と訂正。
243:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:37:58.99 CQbZyxiT.net
>>212
>>231の第
244:5段の途中から >e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点 >であるから、…… は次のように訂正。 >e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点 >であるから、e^{i(sπ)＝e^{±i(((m/n)s－k/n)π)}から、(以下、複合同順) >e^{±i((((m/n)-1)s－k/n)π)}＝1。 任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、 >(m/n)-1＝0から、m＝n。 従って、群T(t)つまりT((m/n)s－k/n)は、 >T(t)＝{e^{i(m_1(s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。 >e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元 >だから、e^{i(sπ)}＝e^{±i((s－k/m)π)}から、e^{i(－k/m)π)}＝1、または、e^{i(2s+k/m)π)}＝1。 >然るに2s+k/mは無理数だから、e^{i(2s+k/m)π)}≠1であって、e^{i(－k/m)π)}＝1であり、よってk＝0。 >②からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。
245:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:39:51.98 NplpTsbd.net
位相が頭に入らない・・、で本を読んだ・・、かなり入った・・
URLﾘﾝｸ(www.ab.auone-net.jp)
イメージでつかむイプシロンデルタ・位相空間論
村上 仙瑞（せんずい） プレアデス出版 2014年11月発行
本の内容
大学数学でまず最初に躓くとされるイプシロンデルタ論法。
しかも、これを理解しようとして、高校の勉強のやり方で行うがなかなか理解できないものである。
そこで、高校の数学の勉強のやり方に慣れた学生の視点から、イプシロンデルタ論法を解説した。
イプシロンデルタ論法は一言アドバイスを付け加えるだけで、まったく難しい内容でなくなる。
位相空間論もそうである。大学で難しいとされるこの大きな2つの分野を、現中学教師が高校生の視点から解説した。
特に気をつけて解説したことは、突拍子もない定義をいきなりするのではなくて、なぜその考えが必要になってくるのか、大きな流れを大事にして解説した。
著者である私自身、高校生の視点からイプシロンデルタ論法と位相空間論を解説して本を出版するということは夢であった。
今までの数学所まったく違う視点からかいたこの本をぜひ堪能していただきたいと思っている。
246:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:44:38.85 NplpTsbd.net
>>227-233
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”答え書いたのか？
いや、そろそろ答えを書こうかと思ったが、>>203のバカを晒すために、もう少し伸ばすことにしたんだが>>211
まあ、どうせあのバカには読めないだろうし、読んでも理解できないだろうが・・
247:１３２人目の素数さん
15/03/01 09:49:34.43 WbtuUWlv.net
>>233
まだやってたのか。
>227-230までは基本事項であり、「自明」で済ませてよく、わざわざ書くまでもない。
肝心の>>231, >>233 は大間違い。というわけで、お前は実際には何も示せていない。
恥の上塗り。いい加減に消えろよザコが。
以下、>>231について具体的にコメント。
＞[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
このような主張はそもそも成り立たない。s＝√2, t＝－√2と置けば、
s,t∈R－Qかつs≠tであるが、しかしT(s)＝T(t)が成り立っている。
T(θ)が非可算無限個存在することを言うには、前スレのハメル基でも使えばよいのであって、
前スレで終わっている話である。あるいは、スレ主の { a^n｜n∈Z } (aは1より大きな実数)を
使えば良いのであり、どのみち前スレで話は終わっている。
248:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:08:05.79 NplpTsbd.net
>>227-233
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”らしい答えやね
前スレであった通り、下記が当てはまると思うよ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:524番)
524 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 15:00:29.48 ID:rAtp1PBP
おい、こら
延々自明で済むことを証明してるな
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:566番)
566 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 20:31:59.04 ID:KYB7IjhQ
でも>>558は幾らなんでもアホだろ。
そもそもの問題からしてくだらないのに、自明な部分は長文の証明で埋め尽くし、
肝心な部分(異なるH(*)が非可算無限個とれるところ)はいつまで経っても証明できてない上に、
スレ主の方が既に証明できちゃってるという本末転倒ぶり。出題者のくせに何やってんだよ。
249:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:16:32.61 NplpTsbd.net
>>236
どうも。スレ主です。
わざわざお手を煩わせて恐縮です。手間省こうと、>>237を引用したけど・・
”おっちゃん”に
１．まあ、そのー、ｗikipediaとかネット検索とか、あるいは教科書など数学本でも、既にどこかに書いてあって認められていることは既知で良いでしょ
２．あと、それ常識だと思うけど、２ちゃんねるという場所は、英語の数学専門掲示板と違って、記号など書けないんだよね（上で図を入れた人がいたけど、それは例外として）
３．それから、しょせん証明の細部を議論するところじゃない
250:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:37:22.49 CQbZyxiT.net
>>212
失礼、失礼。>>233は撤回。>>231の第5段は次のように訂正。
[第5段]：任意のs＞t＞1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} …①であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ－ntπ)＝i(kπ)から、ms－nt-k＝0…②、よってn≠0から、(m/n)s－t－k/n＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s－k/n。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s－k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s－k/n)は、＝{e^{i(m_1((m/n)s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s－k/n)π)}…③ または e^{i(sπ)＝e^{-i(((m/n)s－k/n)π)}…④
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
251:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:38:47.54 CQbZyxiT.net
>>212
(>>239の続き)
Case1)③が成り立つとき。③から、e^{i((((m/n)-1)s－k/n)π)}＝1。
任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s－k/n)は、T(t)＝{e^{i(m_1(s－k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i((s－k/n)π)} または、e^{i(sπ)}＝e^{-i((s－k/n)π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、e^{i(－k/n)π)}＝1 または、e^{i(2s－k/n)π)}＝1
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。然るに、任意の有理数aと任意の無理数bについて、
{a,b}は体Q上線型独立だから、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、
e^{i(2s－k/n)π)}≠1であって、e^{i(－k/n)π)}＝1となる。よって、kに対し或るj∈Zが存在して
k＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、j＝0からk＝0。よって、
②からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。
Case2)④が成り立つとき。④から、e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}＝1。
然るに、任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、
e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。
Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
252:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:43:50.73 CQbZyxiT.net
>>236
これは延長戦だ。単射性を示すには、本当はハメル基底もいらない。
253:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:51:23.06 NplpTsbd.net
>>238 つづき
１．だから、学会レベルの証明とか、新理論とか、新別証明なんか、２ちゃんねるという場所はふさわしくない
２．なので、カントールとかゲーデルとか、それ（下記）全部引用で済ますべき事項なんだわ
・[第1段]：有理直線Qが可算無限集合であることを示す。 >>227
・[第2段]：実数直線Rが非可算無限集合であることを示す。 >>228
・[第3段]：無理数の全体R＼Qが非可算無限集合であることを示す。 >>229
・[第4段]：任意のθ∈R＼Qに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。 >>230
３．第1段から第4段まで、引用も不要のレベル（既知で終わり）だろう。少なくとも、２ちゃんねるで素人の新証明読む時間があったら、専門書読めと
４．”[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。 ”って、証明に穴があるし
５．それに、部分群の理解が甘いから、証明がぐしゃぐしゃと思うよ
６．で、蛇足だが、部分群の集合をＵとして、「実数Ｒ or 複素数Ｚ（除くゼロ）→Ｕの単射の存在」を一言入れること。ほぼ自明だが
院試なら減点されるかもしらんよ。濃度の議論だからね
７．で、>>194出題の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」については、一歩も踏み込んでいないぞ
８．単に、非可算無限集合なら、>>236にあるように { a^n｜n∈Z } (aは1より大きな実数) （つまり、1より大きな実数a一つから生成される乗法群）に問題を落としてしまえば
９．この部分集合Ｕ'として、 { a｜a>1, a∈R } →Ｕ'の単射を示すのは簡単（前スレ>>508参照（複素数の絶対値で考えているがＲでも同じ） ）だから
１０．Ｕ'⊂Ｕとすれば、証明は終わり。（{ a｜a>1, a∈R }の非可算は既知とする。）
254:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:56:31.71 CQbZyxiT.net
>>212
>>240のCase2の「e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」は、
「e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」の間違い。
255:１３２人目の素数さん
15/03/01 10:56:42.30 NplpTsbd.net
>>241
では、お任せします（しばらく位相を書く）
256:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:00:38.03 z5wmYR0N.net
せやな、スレ主その他、頭悪いのがウリジナリティに拘って延々証明もどきを書きなぐってる所か。
ゴタゴタ書く前に、全体の要約スケッチぐらい書かんかいアンポン！
論理の森で迷子になってグルグル回る自分の姿が見えるでw
嵌める基が要らん？
ほざけ！
おまいのバカ論法で、簡潔なハメル基の議論を代替するなどまず不可能。
257:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:06:19.28 NplpTsbd.net
前スレ再録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:817番)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大
2 無限次ガロア理論16
2.1 無限次ガロア理論の基本定理: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
2.2 profinite 位相: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4 足立 恒雄 (著)
無限次Galois拡大についても触れられている点が良かった。和書では少ないと思う。
258:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:07:46.59 6jYFoyih.net
>>241
延長戦？
未だに正しい証明が書けないのか？
自分の無知、馬鹿、未熟を自覚しろ！
259:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:09:03.92 6jYFoyih.net
>>246
他人のコメント朴って知ったかするのがおまいの流儀かwww
260:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:10:58.43 NplpTsbd.net
>>246 つづき
ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4 足立 恒雄 (著)
の「無限次ガロア拡大の理論」が読めなかった
で、>>234 村上 仙瑞（せんずい） を読んだ
なかなか良い本です。分かり易い。お薦めです
本になる前のＰＤＦが落ちているみたいだが、絶対本の方が良いでしょう
261:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:11:22.42 CQbZyxiT.net
>>236
＞[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
＞>このような主張はそもそも成り立たない。s＝√2, t＝－√2と置けば、
＞>s,t∈R－Qかつs≠tであるが、しかしT(s)＝T(t)が成り立っている。
そうおくと、
T(√2)＝{e^{i(m√2)π)}∈C^{×}|m∈Z}、
T(-√2)＝{e^{i(-m√2)π)}∈C^{×}|m∈Z}
になるが。-e^{i(m√2)π)}とe^{i(-m√2)π)}とを混同しているのではないか？
262:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:17:16.08 NplpTsbd.net
>>249 つづき
位相は、村上 仙瑞（せんずい）に任せて、射影極限（文字化け放置）（lim← みたいに書くんやね）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における逆極限（ぎゃくきょくげん、英: inverse limit）あるいは射影極限（しゃえいきょくげん、英: projective limit）は、正確な言い方ではないが、
いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。
逆極限は任意の圏において考えることができる。
例
Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、fij (i≤j) を数列をi項に切り詰める写像とすると、その射影極限は、数列全体の集合となる。
p-進整数全体の成す環 Zp は、自然数全体に通常の順序を入れたものを添字集合とする整数環の剰余類環の族 Z/pnZ でそれらの間の射として、「剰余の取替え」で得られる準同型をとったものの成す射影系から射影極限として得られる。
p-進整数環における自然な位相は、射影極限としての位相に一致する。
可換環 R 上の形式冪級数環 R[[t]] は、自然数の全体に通常の順序を入れたもので添字付けられる、環の族 R[t]/tnR[t] が自然な射影
R[t]/t^{n+j}R[t] \to R[t]/t^nR[t]
を射として成す射影系の射影極限と見なすことができる。
副有限群は（離散）有限群の射影極限として定義される。
逆系 (Xi, fij) の添字集合 I が最大元 m を持つならば、射影極限 X からの自然な射影 πm: X → Xm は同型である。
位相空間の圏における逆極限は、逆系の各台集合に対して単に集合としての逆極限をとったものを台集合とし、それに始位相を入れて得られる位相空間である。これは極限位相としても知られる。
無限文字列全体の成す集合は有限文字列の集合の逆極限であり、�
263:ｵたがって極限位相を持ちうる。 もともとの空間が離散的ならば、得られる極限位相は完全不連結になる。これは、p-進数全体の成す集合やカントール集合を（無限文字列として）実現する一つのやり方である。 三つの元からなる添字集合 I = {i, j, k} で i ≤ j かつ i ≤ k とする（これも有向集合ではない）と、そのような任意の逆系の逆極限は引戻しである。
264:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:21:37.23 6jYFoyih.net
悲報！
・スレ主が圏論に興味をもったようです
265:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:22:29.38 NplpTsbd.net
>>251 つづき
射有限群 （副有限群から転送）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学において射有限群（しゃゆうげんぐん、英語: pro-finite group）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。
ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。
射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。
同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。
例
有限群は離散位相に関して射有限である。
p-進整数全体の成す加法群 Zp は射有限である（実際にはさらに射巡回的である）。この群は、n を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/pnZ とそれらの間の自然な射影 Z/pnZ → Z/pmZ (n ≥ m) が成す射影系の射影極限になっており、略
体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、L/K を（無限次元の）ガロア拡大とし、K の元を動かさない L 上の体自己同型全体の成す群 G = Gal(L/K) を考える。
この無限ガロア群は、F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。
この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。
得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。
ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。
事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。
このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。
代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。略
266:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:25:44.77 NplpTsbd.net
>>252
ども
圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも）
まあ、圏論もそのうち（いまどき、常識になっている部分が多い感じがするよね。普通に出てくる・・）
267:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:28:01.60 NplpTsbd.net
>>253
つづき
村上 仙瑞（せんずい）読む前は、１行ごとに分からんという感じだったけど
いまでは、多少読めるように
理解はまだまだだが
268:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:36:39.61 TS3FUA1w.net
普通に教科書買って地道に勉強するのが一番
スレ主流勉強法では三年かかってこのザマ
269:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:37:47.11 UU3cJ8On.net
>>256
マセマでガロア理論って無い？
270:１３２人目の素数さん
15/03/01 11:53:04.91 NplpTsbd.net
激励ありがとう
三年かかってこのザマだったら、早い方でしょ？ｗ
だれか「良い本ないか」とか言っていたね・・。前にも紹介した、下記Kojimaだが
hiroyukikojima先生、東大数学科卒で、四半世紀も過ぎて達した境地だという
私が、Kojimaの境地まで到達できたかどうか不明だが、草場公邦は手元にある
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
hiroyukikojimaの日記 2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。
それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。幾何的なイメージなしには進むことができない人もいれば、
むしろ逆に、非常に形式化されてがちがちに論理的な進み方をしないとわかったような気がしない、という人もいると思う。
だから、何か数学的な知識の必要があった場合、何冊にもチャレンジして自分に合った教科書を探すのがベストだと思う。
ただ、最大多数にわかりやすい数学書となると、数は限られてくる。
数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。
そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
271:１３２人目の素数さん
15/03/01 12:03:21.75 CQbZyxiT.net
>>239-240の
>矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
の「或る異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「或るs＞t＞1なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違いだった。
あと、>>250は間違いでとぼけて書いちゃったw 偏角の不定性を無視すれば、もっと単純に示せるんだが。
>>247
>>239-240の論法は間違いなのか？
272:１３２人目の素数さん
15/03/01 12:07:18.64 UU3cJ8On.net
ハメル基を使わない積極的理由が無い
使わないのは単なる自己満足
273:１３２人目の素数さん
15/03/01 12:08:06.24 NplpTsbd.net
>>256
ども
ID:TS3FUA1wくんね、君にも>>194の問題投げておくよ
まあ、口ではなんとでも言えるわ
「普通に教科書買って地道に勉強するのが一番
スレ主流勉強法では三年かかってこのザマ 」
はいはい、お説の通りです。なら、>>194は簡単やろね・・、っておまえには解けそうに思えないがね
274:１３２人目の素数さん
15/03/01 13:17:54.99 CQbZyxiT.net
>>212
じゃ、>>239-240の第5段は次のようにして読んで。
ハメル基底をHで表わす。
[第5段]：任意の異なるs、t∈Hに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
Hが可算無限集合集合だったとする。基底ベクトルの
有理数体Q上一次独立性についてのハメル基底の定義から、
任意のr∈Rに対して或るn∈N＼{0}が一意に存在して、更にrに対して或る
((a_1,…,a_n)、(r_1,…,r_n))∈Q^{n}×H^{n}が一意に定まって、
r＝a_1・r_1＋…＋a_n・r_n。また、Q、Hは可算無限だから、
任意のm∈N＼{0}に対して、Q^{m}、H^{m}は可算無限で、Q^{m}×H^{m}は可算無限。よって、
A＝{((a_1,…,a_m)、(r_1,…,r_m))∈Q^{m}×H^{m}|m∈N＼{0}、a_1・r_1＋…＋a_m・r_m∈R}
とおくと、Aは可算無限集合で、Hの基底ベクトルの有理数体Q上線型独立性
についてのハメル基底の定義から、RからAへの単射fが存在する。
しかし、Rは非可算、Aは可算無限だから、fは存在し得ず
275:矛盾。 故に、Hは非可算集合である。任意のs≠tなるs、t∈Hに対して 基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。
276:１３２人目の素数さん
15/03/01 13:28:37.06 CQbZyxiT.net
>>212
>>262の上の「Hが可算無限集合集合だったとする。」の「可算無限集合集合」は「可算無限」の間違い。
277:１３２人目の素数さん
15/03/01 13:56:33.54 WbtuUWlv.net
>>239, >>259
＞[第5段]：任意のs＞t＞1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
それでもダメ。s＝√2＋2, t＝√2と置くと、s＞t＞1かつs,t∈R－Qであるが、
T(s)＝T(t)が成り立っている。
恥の上塗り。消えろザコ。
>>262
論旨がメチャクチャ。
＞[第5段]：任意の異なるs、t∈Hに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
これを示すにあたって、Hが可算無限であるか否は全く不必要な情報であり、必要な情報は
＞任意のs≠tなるs、t∈Hに対して
＞基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。
この2行だけであり、[第5段]の証明はこの2行で終わっている。
>>262のその他の行は全て「Hが非可算無限であることの証明」に関する記述であり、
[第5段]の証明とは関係が無い。
C^x の正規部分群が非可算無限個あることを証明するときに初めて、
Hが可算無限かどうかという情報が必要になるのであり、そこで初めて
Hの濃度に関する議論を行うのが正しい順番である。>>262のように、
ぐちゃぐちゃの順番で情報が羅列してあるのは もはや国語の問題である。
さらに言うと、ハメル基を使うのなら、それは前スレで完全に終わっている話題なのであり、
わざわざ全く同じ話題を>>262で焼き直す必要は無い。
そもそも、話の発端は「私が用意していた解答をする(>>227)」というものであったはずだ。
それなのに、前スレの「ハメル基」まで話題が逆行してしまうのであれば、もはや本末転倒である。
恥の上塗り。消えろザコ。
278:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:02:17.83 CQbZyxiT.net
>>212
>>262の上の「任意の異なるs、t∈Hに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」の部分の「s、t∈H」と、
下の「故に…」の行の「任意のs≠tなるs、t∈Hに対して」の「s、t∈H」は、
両方「s、t∈H＼Q」の間違い。
279:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:05:47.54 DJAXK5NT.net
論証の森で遭難中
280:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:21:05.19 z5wmYR0N.net
>>264
演習がてらハメル使ってみたので、見てください
赤ペン先生だろw
281:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:36:31.17 CQbZyxiT.net
>>264
>そもそも、話の発端は「私が用意していた解答をする(>>227)」というものであったはずだ。
最初は>>239-240で正しいと思ったが、ケチを付けられてな。ハメル基底を用いるなら、話は別だ。
282:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:41:29.86 CQbZyxiT.net
>>212
ということで、書き直し。
ハメル基底をHで表わす。
各θ∈Hに対して、集合T(θ)をT(θ)＝{e^{i(mθπ)}∈C^{×}|m∈Z}と定義する
と、T(θ)≠φ。a、b、c∈T(θ)を任意に取る。すると、|a|＝|b|＝|c|＝1＜2から、
a、b、cの各主値Log(a)、Log(b)、Log(c)が定義されるから、a、b、cに対して
或るm_1、m_2、m_3∈Zが存在して、a＝e^{i(m_1θ)π}、b＝e^{i(m_2θ)π}、c＝e^{i(m_3θ)π}
となる。よって、A＝{a、b、c}とおくと、A⊂C^{×}であり、加法定理から、任意のx、y∈Aには
通常の乗法・：A×A∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の演算が定義され、任意のa、b、c∈Aに対して
(1)：結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：e^0＝1∈T(θ)であり、a1＝1a＝aである。
更に、偏角の不定性に注意してm_1θ∈[0,2π)とすれば、
a^{-1}＝(e^{i(m_1θ)π})^{-1}＝e^{-i(m_1θ)π}だから、
同様に加法定理から、aa^{-1}＝a^{-1}a＝1 である。T(θ)の元a、b、cは任意だから、
a、b、cをT(θ)上で走らせると、確かにT(θ)には通常の乗法
・：T(θ)×T(θ)∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の二項演算が定義され、
T(θ)は乗法・について実数1を単位元とするような群である。つまり、T(θ)は乗法群であり、
満たすべき条件を満たす。任意のa、b∈T(θ)に対して、加法定理からab＝baだから、
T(θ)は可換乗法群である。今、C^{×}の正規部分群が非可算個存在することを示す。
任意のθ∈Hに対して定まる群T(θ)について、T(θ)⊂C^{×}であり、C^{×}には
T(θ)と同じ通常の二項演算・が定義されていることに注意すると、
通常の乗法・の二項演算について、T(θ)は乗法群C^{×}の部分群である。
283:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:43:09.30 CQbZyxiT.net
>>212
(>>262の続き)
[第1段]：任意のθ∈Hに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。
θ∈Hを任意に取る。群T(θ)をT、乗法群C^{×}をGで略記する。g∈Gを任意に固定する。
gTg^{-1}＝Tを示す。h∈Tを任意に固定する。すると、T⊂Gから、h∈G。
また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。h∈Tだから、ghg^{-1}∈T。
Tの元hは任意だったから、gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}
と表わされる集合であることに注意して、hをTの中で動かせば、gTg^{-1}⊂T。
再度h∈Tを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が
定義され、h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、
gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}と表わされる集合である。
よって、ghg^{-1}＝h∈gTg^{-1}。Tの元hは任意だったから、hをTの中で動かせば、T⊂gTg^{-1}。
gTg^{-1}⊂T、T⊂gTg^{-1}だから、gTg^{-1}＝T。故に、TはGの正規部分群である。
これでT(θ)はC^{×}の正規部分群であることが示された。
Hの基底ベクトルθは任意だから、θをHの上で走らせればよい。
284:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:45:43.81 CQbZyxiT.net
>>212
(>>270は、>>262でなく>>269の続き)
(>>270の続き)
[第2段]：Hが非可算集合であることを示す。
Hが可算無限集合だったとする。基底ベクトルの
有理数体Q上一次独立性についてのハメル基底の定義から、
任意のr∈Rに対して或るn∈N＼{0}が一意に存在して、更にrに対して或る
((a_1,…,a_n)、(r_1,…,r_n))∈Q^{n}×H^{n}が一意に定まって、
r＝a_1・r_1＋…＋a_n・r_n。また、Q、Hは可算無限だから、
任意のm∈N＼{0}に対して、Q^{m}、H^{m}は可算無限で、Q^{m}×H^{m}は可算無限。よって、
A＝{((a_1,…,a_m)、(r_1,…,r_m))∈Q^{m}×H^{m}|m∈N＼{0}、a_1・r_1＋…＋a_m・r_m∈R}
とおくと、Aは可算無限集合で、Hの基底ベクトルの有理数体Q上線型独立性
についてのハメル基底の定義から、RからAへの単射fが存在する。
しかし、Rは非可算、Aは可算無限だから、fは存在し得ず矛盾。 故に、Hは非可算集合である。
[第3段]：任意の異なるs、t∈H＼{0}に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈H＼{0}に対して群T(θ)は定まる。
任意のs≠tなるs、t∈H＼{0}に対して、基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。
これでC^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することは示された。
285:１３２人目の素数さん
15/03/01 14:51:32.09 CQbZyxiT.net
>>264
そもそも、論文にしている訳ではあるまいし、
2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないだろw
ハメル基底を用いるなら、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合は前提だ。
286:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:09:29.11 CQbZyxiT.net
まあ、正確には「>>239-240の手法で示せると思った」だがな。
287:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:32:50.43 WbtuUWlv.net
>>272
＞そもそも、論文にしている訳ではあるまいし、
＞2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないだろw
バーーーーカ。お前のやってることはダブルスタンダードだよ。
2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないのであれば、
「>>262では いい加減な書き方をしたけど、そのまま書き直さないことにする」
として済ませるのが筋だろう。
にも関わらず、実際には>>269-271で「整理して書き直している」ではないか。
論旨を気にしまくっているではないか。
しかも、俺の指摘どおりに「[第5段]の証明」と「Hが非可算無限であることの証明」を
キレイに分割しているではないか。論旨を気にしまくっているではないか。
もっと言えば、>>227-230の「ご丁寧な証明」の時点で、論旨を気にしまくっているではないか。
こんなものは全て「自明」でいいんだよ。にも関わらず、ご丁寧に証明しているではないか。
いい加減にしろよザコが。
清書した>>269-271にしたって、結局は前スレの話題に過ぎず、
ここで蒸し返すようなことでは無いんだよ。
結局お前は、自分の方針では何1つとして証明できず、
前スレの話題に頼らざるを得なかったわけだ。
しかも、>>272のような負け惜しみと来たもんだ。実に笑えるｗ
288:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:48:00.74 TS3FUA1w.net
人に読んでもらってわかってもらうには、論旨（が筋道立っていて論理的であること）は大事
２ちゃんでも論文でも
289:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:48:51.22 CQbZyxiT.net
>>274
自明な議論は、スレ主宛てだ。スレ主でも分かるように書いた。
本当は、>>239-240の手法で示せると思うのだがな。
ハメル基底の議論では、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合が前提になるが。
290:１３２人目の素数さん
15/03/01 15:50:48.41 WbtuUWlv.net
>>273
＞まあ、正確には「>>239-240の手法で示せると思った」だがな。
>>239-240は間違ってるからダメだけど、ハメル基を使わない方針でもちゃんと示せるよ。
お前の低レベルな脳みそでは間違った証明しか出来なかっただけで。
「ハメル基でいいじゃん」という突っ込みは、お前の間違った証明だからこその
突っ込みなのであり、「私が用意していた解答をする(>>227)」の時点で
1発でスパッと正しい証明(ハメル基でないもの)が提示できていたら、
このような突っ込みが出る幕は無かったんだよ。情けない話だな。
自分流の証明をやってみた
→ 間違っていた
→ ハメル基でいいじゃんという突っ込みが入る
→ ハメル基を使った証明に乗り換える(この時点でお前の負け)
→ ハメル基だったら前スレで終わってるから、蒸し返す必要がないという別の突っ込みまで入る
お前のやってることは周回遅れなんだよ。まるで話しにならない。
291:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:07:13.95 CQbZyxiT.net
>>277
前スレは見てなく、話はうる覚えだが、あっそう。
あ～、「s＞t＞1」ではなく
「任意のs＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」
とすればよかったのか。そうすれば>>239-240の手法が通用したな。
292:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:09:51.99 NplpTsbd.net
>>274
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、呼んだか？
>自明な議論は、スレ主宛てだ。スレ主でも分かるように書いた。
自明な議論は不要だよ。２ちゃんねるで分かり易い証明はいらん（そもそも、アス�
293:Lーベースの板だから数学記号が読みにくい） 検索用キーワードを書いて貰えれば、検索して読む。あるいは、テキスト（本）を示して貰えれば、本を取り寄せるさ >ハメル基底の議論では、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合が前提になるが。 スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね しかも、「ハメル基底」について調べた範囲では、可算無限と非可算無限との区別までだろ？ >>194の”連続濃度の”べきの濃度””について、なにか言えるのかね？
294:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:14:49.19 CQbZyxiT.net
いや、>>278の「任意のs＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」では
なく「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。
295:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:21:05.56 CQbZyxiT.net
>>279
私も本当は自明なことは書く気がしなかった。普段、机に置いたパソコンに向かい、
床に座って左手だけでキーを打っててな、パソコンで書きにくいんだわ。
有理数全体Qは可算で、無理数全体R＼Qは非可算は、本当は前提にするべきだよ。
296:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:28:19.08 CQbZyxiT.net
>>279
>スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
いや、>>239-240は、
>[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
として読めば、少し訂正が必要だが大体は通用する議論になる。
297:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:41:21.24 NplpTsbd.net
>>279
つづき
>スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
これな、ミスリードされたと思うよ、”おっちゃん”が
「ハメル基を使わない積極的理由が無い 使わないのは単なる自己満足」>>260
だが、
「ハメル基を使う積極的理由が無い 使うのは単なる自己満足」という方が正しいと思うよ
>>260って、”マセマでガロア理論って無い？ ”>>257って言っている人でしょ？
298:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:48:51.05 WbtuUWlv.net
>>280, 282
＞「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。
それが言えた「だけ」では全く不十分であり、T(x) が非可算無限個あることは言えないよ。
このことは、次のように一般化して考えるとよく見えてくる。
問題：Y は集合とする。写像 F：(0,2)－Q → Y は、
2＞s＞1＞t＞0 なる s,t∈R－Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(0,2)－Q) は非可算無限個あると言えるか？
解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取り、
x∈(0,2)－Q に対して、 F(x)＝a (0＜x≦1), b (1＜x＜2) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(0,2)－Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■
というわけで、>>280のやり方「だけ」では不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、もし >>280 のやり方「だけ」で非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。
299:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:50:18.60 NplpTsbd.net
>>281
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、か
>私も本当は自明なことは書く気がしなかった。普段、机に置いたパソコンに向かい、
まあ、出題の前スレ498 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。 」って
”正規”って、おいおいという感じだったわ
それを、またご丁寧に証明して、さらにおいおいだった（この感覚分かりますか？）
まあ、群論初心者丸分かりですねって・・
>有理数全体Qは可算で、無理数全体R＼Qは非可算は、本当は前提にするべきだよ。
当然ですよ。カントールがやった対角線論法以外の証明法を知らない。そこらの無限集合論は、予備知識として前提にして良いんだ
（そうしないと泥沼だぜ。だから、ハメルも要らないんだ）
300:１３２人目の素数さん
15/03/01 16:51:43.25 TS3FUA1w.net
嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ
何言ってるの？
301:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:10:43.74 NplpTsbd.net
>>254 補足
>まあ、圏論もそのうち（いまどき、常識になっている部分が多い感じがするよね。普通に出てくる・・）
例えば、ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大 2.2 profinite 位相>>246 より
「F がK 上のガロア拡大であるときは、
1 → G(L/F) → G(L/K) → G(F/K) → 1 なる短完全列を得る。右の射の全射性は、G(F/K) ≒ HomK(F,Ω) と推移性から従う。」
なんてね、すらっと普通に
302:ね まあ、短完全列なんて、習うより慣れろ、本格的圏論の外だぞ、常識だよと そういう書き方なんだよね。「圏論でございます」という断り書きなしの時代なんだよね どこまでが常識か良く分からないが、結構普通に出てくるよね
303:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:12:41.23 NplpTsbd.net
>>286
どうも。スレ主です。
出来ないと思うんだけど
１～３行くらいで、簡単にあらすじ言ってみて
304:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:22:24.14 TS3FUA1w.net
>>288
誤魔化すな
お前が自分の間違いを認めたら書いてやるよ
305:１３２人目の素数さん
15/03/01 17:53:32.54 NplpTsbd.net
>>289
どうも。スレ主です。
>>出来ないと思うんだけど
>>１～３行くらいで、簡単にあらすじ言ってみて
>誤魔化すな
>お前が自分の間違いを認めたら書いてやるよ
はいはい、おそらく君には書けないと思うので、こちらから書いておく
（スレ主の証明）
１．出題は前スレ498 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。 」って>>285
２．それで、この問題の前提として、無限集合論は前提知識として既知と考えて良いとする>>295
３．そうすると、問題を簡単化して、複素Z→実数R→1より大の実数の集合{ x｜x>1, x∈R } と簡略化して考えれば良い
４．>>242でも書いたように、1より大の一つの実数xを考える。
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
６．x1＜x2 なる実数からなる二つの最小の乗法群 G1とG2を考える。x1∉ G2 だから、G1≠G2となる。（細かい点は分かるだろうから省略）
７．よって、1より大の実数一つから生成される最小の乗法群の集合U'と、1より大の実数とは、一対一対応（全単射）が成り立つ
７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED
はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
306:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:01:09.56 NplpTsbd.net
>>290 訂正
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
↓
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
まあ、そのままでも分かると思うが
307:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:15:53.51 TS3FUA1w.net
>>290
G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？
308:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:23:42.63 NplpTsbd.net
>>292
n=0
309:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:25:11.53 TS3FUA1w.net
正規部分群の定義すら知らないスレ主でも単位元の定義は知ってたかｗ
310:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:27:55.58 NplpTsbd.net
はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
311:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:27:56.55 08QQ84Zx.net
ぱーちくりんスレ主は
お前の解説も
使た本も
需要ないことにはやく気付けよ
ぱーちくりんの書き込みなぞ読まんのだから
312:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:28:59.95 08QQ84Zx.net
ぱーちくりんスレ主は
お前の解説も
使った本も
需要ないことにはやく気付けよ
ぱーちくりんの書き込みなぞ読まんのだから
と言う理由で
*スレたて
*次のスレ誘導
以外はしなくてよろしい
313:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:30:04.21 08QQ84Zx.net
と言うか
ぱーちくりんスレ主は
*スレたて
*次のスレ誘導
以外はするな
314:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:35:04.41 NplpTsbd.net
>>296
おお、君か！
宿題出来たか？ >>153 恥さらしくん
問題は>>80だよ
315:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:36:40.73 NplpTsbd.net
ID:08QQ84Zxくんは、一番レベル低いと認定して上げるよ
316:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:39:10.23 NplpTsbd.net
>>294
>正規部分群の定義すら知らないスレ主でも単位元の定義は知ってたかｗ
ごまかせたと思っているのだろうか？ 質問で君のレベルが分かったよ
317:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:45:59.46 NplpTsbd.net
>>301
「ハメル基底」ね・・、下記wikipediaみたいなことを考えているんだろうが・・
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・
”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の�
318:黷pいるものもあるが）。 通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。 例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。 さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。 ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。 即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。 f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。 この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。
319:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:49:29.65 TS3FUA1w.net
>>301
あの質問で私のレベルが分かったと言う君のレスで、君のレベルは分かったよ
まあ正規部分群すらわかってないことは元々分かってたがねｗ
320:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:50:17.31 NplpTsbd.net
はいはい
”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
321:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:51:46.22 NplpTsbd.net
>>302も読んでね
「君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・ 」
これ当たっているだろ？
322:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:54:24.94 NplpTsbd.net
>>302>>305
訂正
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・
↓
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつかなくなると思うのよ・・・
追伸
楽しみに待っているよ
予想は、君の逃亡だがね・・
323:１３２人目の素数さん
15/03/01 18:59:40.08 TS3FUA1w.net
>>304
∀σ∈G に対し σN～Nσ なら NはGの正規部分群
とか言って赤っ恥晒した自称ガロア原論文研究家の釣り針にはかからないよｗ
324:１３２人目の素数さん
15/03/01 19:40:41.18 NplpTsbd.net
>>307
はいはい、では君を「ハメル基底」くんと名付けよう
Q.G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292
A.n=0 (>>293), 「ごまかせたと思っているのだろうか？ 質問で君のレベルが分かったよ 」(>>301)
ここをちょっと附言しておく
１．君は、”一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）”>>290を、なんか勘違いしていたんだと思う
２．だから、「ハメル基底」が使えると思い込んでいたんだね・・？
３．だが、”一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）”で、それでさえ、群Gは加算無限個の元から成る
４．スレ主が思うに、「ハメル基底」の使い方は、加算無限濃度のQを使って、実数R及び複素数Zを構成するという流れだろう>>302
５．だが、そうしたところで、具体的な群G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）に適用しようとしたときに、非常な困難にぶち当たる
６．なぜなら、群Gの元は、加算無限個（全ての整数と同じだけ）あるから、一つ一つの元を処理し出したら大変になる
７．なので、「ハメル基底」を持ち込むことは、問題を複雑化しただけだ。それに、ようやく君は、>>294かあるいはその後に気付いた
スレ主的には、そう思っての「ごまかせたと思っているのだろうか？ 質問で君のレベルが分かったよ 」(>>301)なのだ
はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）
この推定を覆す素晴らしい証明を期待しています。スレ主より
325:１３２人目の素数さん
15/03/01 19:46:19.60 TS3FUA1w.net
では君には名誉称号 正規部分群君 を授けよう
これからも大いに住人を笑わせてくれ賜え
326:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:09:42.95 NplpTsbd.net
>>309
はいはい、「ハメル基底」くんの敗北宣言ですね
良く分かりました。逝ってよし！
追伸
笑いを取るのは、「ハメル基底」くんの方が上だね
スレ主も顔負けだよ
327:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:43:54.05 TS3FUA1w.net
ではいきますか
328:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:44:20.00 TS3FUA1w.net
259 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 09:35:59.87
>>258
どうも
スレ主です。
>>255と同一人物と見たので、コメントしておく（ここではIDが出ないので不便だ）
>Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
>念のため書いとくとＨからσ-1・Ｈ・σへの同型写像はh→σ-1・h・σで与えられる。
ここ、なんか勘違いしてないか？ σには、何の制約も付かないのか？
大本の群をG、Ｈ⊂G, σ∈G として
σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
自分で気付くまで放置しようと思ったが、うるさいので一言
★★★ 勘違い野郎はお前だよｗ 気付かなきゃいけないのもお前ｗ ★★★
329:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:44:47.75 TS3FUA1w.net
269 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:12:12.88
>>265
どうも
スレ主です。
>＞σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
何の制約も付かないを、∀σという意味で使っている>>259
だから、大本の群をG、Ｈ⊂G, ∀σ∈G として
σには、何の制約も付かない（∀σ∈G）としたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
★★★ 違うがｗ ★★★
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正規部分群（せいきぶぶんぐん、英: normal subgroup）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。
正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。
330:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:45:20.16 TS3FUA1w.net
283 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:55:59.33
>>269-272
どうも
スレ主です。
なんか、勘違いしてない？
★★★ だから勘違い野郎はお前だってｗ 腹いてええええｗ ★★★
１．「Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。」>>255 という陳述が、成り立つ条件を教えてくれ
（無条件で成り立つ場合が、正規部分群だと思うが）
２．ああ、辿ると>>247か
”さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
ここから正規部分群の概念に気づく方がおかしい。 ”？
これ>>244 "○Ｇの部分群ＨがＧの正規部分群であるとは、任意のＧの元σに対しσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。"
からの継続だったので、Ｈは正規部分群という前提で考えていた。違うのか？
あと、正規部分群は大本の群Gとの関係があることも注意しておく
>>260"群Ｇの異なる部分群ＨとＫが同型になることはあり得る。
というか、ＨがＧの正規部分群でなければ必ずそのようなＨとＫの組は存在する。
例えば、S5の、1→2→3→4→5→1という置換から生成される部分群と、1→3→2→4→5→1という置換から生成される部分群は、
同型ではあるが(どちらも5次巡回群)、S5の部分群としては異なる。"で
言いたいことが不明だが、群ＧがS5のとき、位数５の巡回群は正規部分群ではない
が、>>166-167の線形置換から成る位数２０の群Gでは、正規部分群になるよ
331:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:45:55.43 TS3FUA1w.net
284 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:58:15.71
>>283
どうも
スレ主です。
これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな
★★★ これだけ言ってもわかんないのはお前だよｗ オ・マ・エｗ ★★★
★★★ 馬鹿のくせに「以降無視（スルー）だな」ｗ 腹が攀じれるｗかんべんしてえええｗ ★★★
332:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:47:58.23 TS3FUA1w.net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼
| |r┬-| | これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな
＼ `ー'´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
＿＿＿_
／_ノ ヽ､_＼
ﾐ ﾐ ﾐ �
333:@oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ /⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒) | / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／ | :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/ | ノ | | | ＼ / ） / ヽ / `ー'´ ヽ / ／ | | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､ ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
334:１３２人目の素数さん
15/03/01 20:50:46.89 TS3FUA1w.net
正規部分群君には大いに笑わせてもらった。感謝感謝。
335:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:09:45.26 TS3FUA1w.net
引き続き「二項演算の定式化」の巻をお楽しみください
336:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:10:18.81 TS3FUA1w.net
668 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 14:21:33.41
ご苦労。スレ主である
>>665
特別のニュアンスまだ～？ ？
さすがに、ネコには理解できないよな
特別のニュアンスが理解できるようになるには、「入る」という言葉がよく使われている科目
例えば、位相（topology）>>632、微分トポロジー>>615、望月理論>>601、複素構造>>606 を勉強すれば自然に分かる
素養のない君には無理だよ。2ｃｈのネコAAがお似合いの君にはね
>>663
>要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を、A5の群表で定義すればよいだけ
>だね
その通りだ。が、圏論ではないけれども、アブストラクトナンセンスの典型だな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
★★★ おいおいｗオマエは ★★★
★★★ ＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも） ★★★
★★★ じゃねーのかよｗ ハッタリかましてたのバレバレだよ君ｗ これは恥ずかしいｗ ★★★
なお、単なる積に、”×”を使うな。初学者まるだしだぜ
★★★ は？単なる積？何それ？ 集合×集合 と書けば直積に決まってんだろ ★★★
★★★ 初学者まるだしはどう見てもお前だよｗ オ・マ・エｗ ★★★
大学から上では、”×”は直積あるいはクロス積(外積)用にとっておくんだよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 直積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) クロス積(外積)
337:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:11:06.11 TS3FUA1w.net
685 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 21:31:34.78
>>669-682
ご苦労。スレ主である
バカが、一人で何役も書き分けているんだろうな。こんなに何人もバカがいたら、日本も終わりだろう
★★★ バカはお前だよｗ オ・マ・エｗ ★★★
さすがに、普通の人は気付くよね、よほどでない限り・・
★★★ 可哀相に、あまりにフルボッコされ過ぎて被害妄想炸裂させてるｗ ★★★
で、本題は
>>673
>これは恥ずかしい。
>「f:A×A→A」のA×Aはまさに集合の直積なんだが
・へーえ、「要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を・・定義すれば」って書いてたでしょ？ その方が正解に近かったのにね
・言い訳で、さらに墓穴かよ、おい！
・A×Aを、集合の直積としましょうか。じゃ、直積A×Aの要素はいくつになるんだ、ぼうや？ 小学校のかけ算から勉強し直しだな
・で、直積A×Aの増えた要素の集合からAへの写像か？ 全射になるが、どうやってA5の群表で定義する？ 具体的に構成できるのか、おまえに？
・もともとの陳述は、”あなたが言ってることは「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」というトリビアルな話
338:である。 ”だった ・それと、直積A×Aの集合からAへの写像とどういう関係があるのか述べよ。趣旨が変わっているだろうよ。誤魔化すなよおい。墓穴だよ まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？ 言い訳を、書けば書くほど、墓穴かな。おまえ 一句できた！ ★★★ もう笑いが止まらねええｗ 勘弁してえええええｗ ★★★
339:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:11:43.42 TS3FUA1w.net
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼ まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／
ノ ＼
／´ ヽ
| ｌ ＼
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､.
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
＿＿＿_
／_ノ ヽ､_＼
ﾐ ﾐ ﾐ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ﾐ ﾐ ﾐ だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼ /⌒)⌒)⌒)
| / / / |r┬-| | (⌒)/ / / /／
| :::::::::::(⌒) | | | ／ ゝ :::::::::::/
| ノ | | | ＼ / ） /
ヽ / `ー'´ ヽ / ／
| | l||l 从人 l||l l||l 从人 l||l
ヽ -一''''''"~~｀`'ー--､ -一'''''''ー-､
ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒) ) (⌒＿(⌒)⌒)⌒))
340:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:13:20.21 TS3FUA1w.net
以上、正規部分群君の爆笑劇場でした
お楽しみいただけたでしょうか？
341:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:20:30.08 TS3FUA1w.net
正規部分群の特徴
・普通に数学勉強した人なら当たり前のことが全然わかってない
・間違いを指摘されると、まず自分ではなく相手を疑う
・わかりやすく説明しても聞く耳持たず、あくまで自分が正しいとの迷路から抜け出せない
・間違い指摘者を敵と看做し罵倒する、そして上から目線はぶれない
342:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:25:36.70 TS3FUA1w.net
このような人種は、例のコピペ癖と併せ、数学には最も不向きである
よって三年間も費やしても、上記のような爆笑劇場を繰り広げる始末
普通の人なら恥ずかしくて二度と戻ってこれないが、それでも彼の上から目線はぶれることは無い
何故なら上から目線こそが彼が数学をやる唯一絶対の目的だからだ
343:１３２人目の素数さん
15/03/01 21:32:26.97 TS3FUA1w.net
正規部分群君ごめんね
皆に笑いをと思って
これに懲りずにまた住人を楽しませてね
まあ懲りずに上から目線は変わらないだろうけどさｗｗｗ
344:１３２人目の素数さん
15/03/01 22:49:13.00 zCI/9+YQ.net
＞2014/10/19(日)
2年10ヶ月、自分より分かってそうなレスには「君の来るところではない」
と追い返し、分かってなそうなレスには、コピペの山でうんざりさせ、
ごまかしてきたスレ主の地位が崩壊した記念日だったなｗ
スレ主には才能がある、、、詐欺師のなｗｗ
345:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:03:31.72 NplpTsbd.net
>>312-325
どうも。スレ主です。
ID:TS3FUA1wくんか、連投ありがとう
よほど悔しかったんだね。君の悔しさが表れていて、微笑ましいよ
上から目線は君だったんだね。見下していたスレ主に完敗宣言ね。それしか言えないと。数学で完敗しましたと
はいはい、「ハメル基底」なんて、自分が理解していないことを持ち出したのが敗因ですね
実数の乗法群の構造も、分かっていなかったんだ。G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292ってね
346:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:26:36.08 TS3FUA1w.net
>>327
あの赤っ恥爆笑劇場をサラっと他人事のようにスルーする君は、>>326で指摘されてる通り、
詐欺師の才能があるね、普通の感覚を持った人なら決して立ち直れないと思うよ
347:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:34:08.70 qh9gVd7G.net
>>328
正規部分群の定義の分からないスレ主が、代数専攻で卒業出来た数学科のある大学ってww
どこだろ？
348:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:35:51.39 TS3FUA1w.net
ただ知らないとか間違えたとかなら普通だよ、人間は最初は何も知らないわけだし
間違いもよく犯す。
だけど君の場合は、正しく指摘してる人を罵倒し、ガンとして譲らない頑固さを持っている。
それでいて、間違いと気付いた後でも上から目線を貫くタフなメンタリティも併せ持っている。
これ以上滑稽は人物にはなかなかお目にかかれないからね。
349:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:39:52.77 qh9gVd7G.net
リアルのスレ主はザビエル禿のジジイなんだろうな
350:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:44:36.23 NplpTsbd.net
>>327
どうも。スレ主です。
もう少し、数学的解説をしておくと
１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。」（下記
351:URL）を認めたとして、しかし、”非可算無限の濃度を持つ”のところは、対角線論法を使っているはず http://fascinationworld.web.fc2.com/bekutorukukan.htm Ｆａｓｃｉｎａｔｉｏｎ Ｎ－Ｄ－Ｆｉｌｅ ベクトル空間 （抜粋） 様々なベクトル空間 一般に体の拡大 L/K が与えられたとき、拡大体 L はその加法と部分体 K の元の（L における）積をスカラー乗法として K 上のベクトル空間になる。 たとえば R は部分体として有理数体 Q を含むから、Q 上のベクトル空間である。 R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。 ２．だったら、そもそも対角線論法を認めて、「R が非可算無限の濃度を持つ」というカントールの定理を認めてもほとんど同じだろうよ ３．もし、違いがあるとすれば、解くべき問題の構造から、「R が非可算無限の濃度を持つ」より「Q 上のハメル基底は、非可算無限の濃度を持つ」の方が使い易いとき ４．ならば、今回の解くべき問題の構造がどうなっているのか？ 複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき ５．”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね ６．で、ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないし、乗法群も分かってないことがばれたと・・ 「ハメル基底」くんのおおぼけかましの芸は、一流だよ が、腹いせにアラシは、人間としてどうなんかね？ 正直こどもだね・・。早くおとなになりなさいよ
352:１３２人目の素数さん
15/03/01 23:48:31.10 NplpTsbd.net
>>332
訂正
複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき
↓
複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察して、どちらが使い易いということが決まるべき
（まあ、基本中の基本だろう）
353:１３２人目の素数さん
15/03/02 00:17:34.03 /CImvwKh.net
＞R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。
スレ主はその理由はわかってるの？
またいつものようにわかってないのにコピペだけしてるの？
354:１３２人目の素数さん
15/03/02 00:27:55.67 d/R6BEmu.net
>>334
スレ主に理由が分かるわけないだろw
知ったかの材料を仕入れただけ
理解できる、証明できるフリをして威張るね
355:１３２人目の素数さん
15/03/02 00:42:35.07 /CImvwKh.net
そうだね
圏論一つ取っても、さも分かってる風な言い方してたのに、レベルがバレそうになった途端慌てて
＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも）
と予防線張っちゃったし
356:１３２人目の素数さん
15/03/02 19:22:16.36 W+oQWcvb.net
>>329
代数専攻云々はコピペだよ
357:１３２人目の素数さん
15/03/02 22:28:21.38 /CImvwKh.net
さすがにあそこまで酷いとどんな大学でも無理でしょｗ
358:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:01:29.59 SDV97v2D.net
>>279
>>239-240の訂正のまとめ。
(1)、[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
(2)、>矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
の部分の「或る異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
(3)、Case2の「e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」は、
「e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」の間違い(>>243と同じ)。
(4)、>Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
の部分の「異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
以上、(1)～(4)のように訂正。
359:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:04:55.57 ecIpM61Y.net
この程度の問題解くのに、一体何回訂正してるんだ…
360:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:13:39.95 SDV97v2D.net
>>340
まあ、これで例の通り、ハメル基底を使わずに示せたろう。
361:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:26:12.00 SDV97v2D.net
昨日訂正内容を書こうとしても書けなかったんだが、一体何だったんだろ？
まあ、何か単純に考えてよかったみたい。変なこと考えてた。
362:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:37:25.23 SDV97v2D.net
>>340
>239-240の手法は、少し訂正すると本当は
(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
(2)、任意の「2＞s＞1
363:＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、 とかも同様に示せるようになっている。
364:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:45:32.78 SDV97v2D.net
コピペしたら付いちゃったwが、>343で「」はいらなかったな。
まあ、いいや。
365:１３２人目の素数さん
15/03/03 08:51:13.68 SDV97v2D.net
>>343ではT(s)∩T(t)＝{1}だった。
366:１３２人目の素数さん
15/03/03 09:13:19.41 SDV97v2D.net
>>340
間違えて悪い。>>239-240の手法は、>>343つまり、
>(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
>(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
とかまでは通用しなかった。少し他の条件が必要になって来る。
ということで、>343は取り下げ。
367:１３２人目の素数さん
15/03/03 09:46:55.17 igu3dVOk.net
>>346
＞[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)
は正しくて、証明も簡単に済むのだが、
お前の>>239-240のやり方では証明にならない(読み替えても)。
具体的には
＞e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
＞であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s－k/n)π)}…③ または e^{i(sπ)＝e^{-i(((m/n)s－k/n)π)}…④
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
この手の議論が完全に間違っている。T(s)における m_1＝1 のときの元と、
T(t)における m_1＝1 のときの元は対応している必要が無いので、③とか④とかに限定できない。
お前がこの議論で やっているのは、
「 2つの集合 A＝{ 2*m_1｜m_1∈Z ] と B＝{ 2*m_1＋20｜m_1∈Z } について、
m_1＝1のときの A の元は 2 であり、Bの元は 22 だから、一致しておらず、A≠B である」
といった感じの、支離滅裂な議論なのだ(実際には A＝B である)。これじゃ証明にならない。
368:１３２人目の素数さん
15/03/03 14:30:43.23 xqVFfdmW.net
頭が悪いってのはどうしようも無いなぁ
もう諦めろとしか
369:１３２人目の素数さん
15/03/03 22:00:10.90 iO539jnI.net
>>348
大学の講義って、聞いてほんと有り難いと思ったのは4年間で5つくらい
しかないんだが、このスレ見ると「大学に行って、ちゃんと勉強する」と
いうのは意味があるんだな、と実感するなｗ
ネットで検索して独学ってのは、たいてい無理なんだろう
370:１３２人目の素数さん
15/03/04 15:54:17.29 +ZGYKspj.net
>>279
>347の通り、よく見たら間違っていた(細かくは確認していなかったw)w
と、いう訳で、>>239-240は次のように訂正。
[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、
e^{i(ms－nt)π}＝1…①。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、ms－nt≡0(mod2)。
Case1)：ms-nt≠0のとき。このとき、或るk∈Z＼{0}が存在して、
ms－nt＝2k…②であって、n∈Z＼{0}からn≠0だから、t＝(m/n)s-2k/n。
よって、T(s)＝T(t)から、T(s)＝T((m/n)s-2k/n)。
ここで、s∈R＼Qから、任意のr∈Qについて、{r,s}は体Q上線型独立である。
また、群T(s)＝T((m/n)s-2k/n)は、＝{e^{im_1・((m/n)s-2k/n)π}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
371:１３２人目の素数さん
15/03/04 15:57:52.44 +ZGYKspj.net
>>279
(>>350のCase1の続き)
今、j∈Z＼{0}を任意に固定する。すると、j、n∈Z＼{0}からjn∈Z＼{0}だから、
jnに対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、e^{i(jnsπ)}＝e^{ia_j・((m/n)s-2k/n)π}
から、e^{i(jn^2・sπ)}＝e^{ia_j・(ms-2k)π}＝e^{i(a_j・msπ)}…③。
ここで、x_j＝e^{i(jn^2・sπ)}、y_j＝e^{i(a_j・msπ)}
とおくと、③から、x_j＝y_j。従って、偏角の不定性に注意して
x_jとy_jに主値を取れば、或るb∈Zが存在して、
i(jn^2・sπ)＝i(a_j・msπ)+i(2bπ)、両辺を整理してまとめれば、(jn^2-a_j・m)s＝2b。
m∈Z＼{0}に注意すると、jn^2-a_j・m、2b∈Z⊂Qから、jn^2-a_j・m、2b∈Qだから、
jn^2-a_j・m＝0から、a_j・m＝jn^2�
372:Bよって、m≠0からa_j＝jn^2/m。 Z＼{0}の点jは任意だから、jをZ＼{0}の上で走らせて考えると、 任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が定まって、a_j＝jn^2/m。
373:１３２人目の素数さん
15/03/04 15:59:37.56 +ZGYKspj.net
>>279
(>>350-351のCase1の続き)
従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
従って、nに対して或るc∈Z＼{0}が存在して、n＝cm。
ns-mt≠0だから、cms-mt≠0から、cs-t≠0。
故にc∈Qに注意すると、cs、t∈R＼Q。ここで、T(cs)⊂T(s)＝T(t)
だから、csに対して或るj∈Z＼{0}が存在してe^{i(csπ)}＝e^{i(jtπ)}、
よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取って考えれば、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jntπ)}。
一方偏角の不定性に注意して①の両辺に主値を取って考えれば、e^{i(jms－jnt)π}＝1、
つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、
つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、
c^2m^2＝jm^2だから、j＝c^2≧1。また、cmをnで置換すれば、n^2＝jm^2。
従って、n^2≧m^2。一方、1∈Z＼{0}だから、1に対して或るa_1∈Z＼{0}が定まって、
a_1＝n^2/m。故に、n^2＝a_1・m≧m^2、つまり|a_1|・|m|≧|m|^2だから、
|m|＞0から|a_1|≧|m|。n^2≧m^2から、|n|^2≧|m|^2だから、|m|、|n|＞0から
|n|≧|m|。a_1＝n^2/mから、|n|^2＝|a_1|・|m|…④だから、|n|、|a_1|≧|m|から
|a_1|≧|n|≧|m|。ここで、④から|n|^2/(|a_1|・|m|)＝1。故に、
|a_1|＞|n|＞|m| または |a_1|＝|n|＝|m|。
374:１３２人目の素数さん
15/03/04 16:01:58.16 +ZGYKspj.net
>>279
(>>350-352のCase1の続き)
Case1-1)：|a_1|＞|n|＞|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|だから、|n|＞|m|から|n|＜|c|。
また、n≡0(mod m)から、|n|≡0(mod |m|)。よって④つまり(|a_1|・|m|)/|n|^2＝1に注意すると、
|a_1|≡0(mod |n|)であって、|a_1|＝|c|・|m|となり、|a_1|＝|n|となって矛盾。
Case1-2)：|a_1|＝|n|＝|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|から|c|＝1。故にc＝±1。
Case1-2-1)：c＝1のとき。このときn＝mだから、②から、m(s－t)＝2kであって、
s－t＝2k/mからs＝t+2k/m。よって、群T(s)＝T(t+2k/m)について、T(t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
従って、T(t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、偏角の範囲を(-π,π]として①の両辺に主値を取れば、i(ms－nt)π＝0から、
ms－nt＝0。n＝mだから、s-t＝0からs＝tとなって、これはs＞tに反し矛盾。
Case1-2-2)：c＝-1のとき。このときn＝-mだから、②から、m(s+t)＝2kであって、
s+t＝2k/mからs＝-t+2k/m。よって、群T(s)＝T(-t+2k/m)について、T(-t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
従って、T(-t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、Case1-2-1と同様にして①の両辺に主値を取れば、i(ms-nt)π＝0から、
ms－nt＝0。n＝-mだから、s+t＝0であるが、これはs＞t＞0からs+t＞0であることに反し矛盾。
Case1-2-1、Case1-2-2から、|a_1|＝|n|＝|m|のとき矛盾。 (Case1-2 終)
Case1-1、Case1-2から、ms-nt≠0のとき矛盾が生じる。 (Case1 終)
375:１３２人目の素数さん
15/03/04 16:07:26.93 +ZGYKspj.net
>>279
(>>353の続きで、>>350参照)
Case2)：ms-nt＝0のとき。このとき、ms＝ntからs＝(n/m)tだから、T(s)＝T(t)からT(t)＝T((n/m)t)。
また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、或るb∈Z＼{0}が存在して、i(jπ)＝ia_j・(m/n)tπ＋i(2bπ)から、
j＝a_j・(m/n)t＋2b、つまり、a_j・(m/n)t＝－2b＋j。
ここで、a_j・(m/n)、－2b＋j∈Qであって、t∈R＼Q。
従って、a_j・(m/n)＝0から、a_j＝0またはm＝0。
然るに、これはa_j≠0、m≠0であることに反し矛盾。 (Case2終)
Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。
まあ、もう疲れて来たからちょっと寝る。
376:１３２人目の素数さん
15/03/04 16:39:24.97 +ZGYKspj.net
>>279
>>353のCase1-1)は間違っていたから、後で訂正する。
今は疲れて出来ん。
377:１３２人目の素数さん
15/03/04 18:38:01.58 Xbvtg9lr.net
後藤さん張り切ってるね
378:１３２人目の素数さん
15/03/04 20:12:02.00 YdJRWdwI.net
>>350-354
難しく考えすぎ。そこまでT(s),T(t)を弄っていて正解に辿り着かないのはセンスなさすぎ。
Case1-1どころか、Case1の途中で既に間違ってる。実はCase2も間違ってる。まずはCase1から。
＞従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
＞単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
n＝2, m＝4 と置くと、n^2≡0(mod m)は成り立つがn≡0(mod m)は成り立たない。
その他にも、成り立たない(n, m)の例はたくさんある。
なーにが単項イデアルだよ。算数も出来てないじゃないか。
あと、仮に n≡0(mod m) だったとしても、その後が間違ってて話にならない↓
＞つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
＞よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、
＞つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、
ここが間違い。偏角の範囲を限定したところで、cn－jm＝0 は出てこない。
結局は cn－jm≡0(mod 2) までしか言えない。
整数a,bがe^{iaπ}＝e^{ibπ}を満たすとき、偏角の範囲を(-π,π]として両辺の主値を取ろうとしても、
偏角の範囲を限定したがゆえに、まずaπ, bπが(-π,π]の範囲に収まっていなければならない。
ただ1つの整数kに対して (a＋2k)π∈(-π,π] が成り立つようにできて、
ただ1つの整数Lに対して (b＋2L)π∈(-π,π] が成り立つようにできる。
これと e^{iaπ}＝e^{i(a＋2k)π}, e^{ibπ}＝e^{i(b＋2L)π} から、
e^{i(a＋2k)π}＝e^{i(b＋2L)π} となる。
ここまで来れば、偏角の範囲が(-π,π]に収まっているから、i(a＋2k)π＝i(b＋2L)πとなり、
よってa－b＝2(L－k) となる。従って、a－b＝0 なんて式は導出できなくて、
結局は a－b≡0(mod 2) までしか言えない。
379:１３２人目の素数さん
15/03/04 20:32:29.14 YdJRWdwI.net
次はCase2について。
＞また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
＞よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
＞e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
e^{i(jπ)}って何だよ。s, t はどこに行ったんだよ。
文脈から察するに、e^{i(jtπ)} の間違いだろ。
で、e^{i(jtπ)}だとして計算を続けると、a_j＝0なんて出てこない。
最後にもう1つ。
＞Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。
Case1, Case2 の議論では、s, t が 1＞s＞t＞0 を満たすという性質を使っていない。
唯一、Case1-2-1, Case1-2-2 では s＞t＞0 という性質が使われている。
しかし、1＞s＞t という性質はどこにも使われていないのだ。
従って、もし Case1, Case2 の議論が正しいなら、
「 s＞t＞0 なる任意の s, t∈R－Q に対して T(s)≠T(t) が成り立つ 」
ことが言えてしまうことになる。
だが、これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
というわけで、この考察だけでも、
「 Case1, Case2 はどこかの議論が間違っている」
ということが分かってしまう。
息をするように間違えまくる大バカ野郎。
1回や2回の間違いではない。
ここまで来るのに延々と間違いを繰り返しているのだ。
話にならん。
380:１３２人目の素数さん
15/03/05 00:18:11.22 UP7LXXHW.net
もう少し自己査読してから出せばいいのに
381:１３２人目の素数さん
15/03/05 04:44:17.26 fgPXpUAC.net
>>359
私(>>239-240の訂正をしている者)自身、自己査読していないことは自覚している。
間違いまくっているのも当然。間違いをリサイクルすることも重要
(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
まあ、よく自己査読してから書き込むことにする
(ただ、打ち間違いがあるかも知れないことは、前提)。