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1010:１３２人目の素数さん
 16/02/11 21:33:50.56 hVpjOeGV.net
本戦問４の解説 
問題:関数f:R→Rと任意の実数x,yに対し 
f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x 
となるfをすべて求めよ。 
x,yに0を代入してf(0)=(f(0))^2 
よりf(0)=0or1 
f(0)=0のときy=0を代入するとf(-x)=2xとなるので 
f(x)=-2x 
f(0)=1のとき 
y=0を代入すると 
よって 
f(yf(x)+x)=f(x)(f(y)+2y)+2x-2(yf(x)+x)=f(x)f(y) 
これと元の式より 
f(yf(x)+x)-f(yf(x)-x)=-2x 
f(-x)=f(x)+2x　・・・☆ 
yに-yを代入すると 
f(-yf(x)-x)=f(x)f(-y)+2x 
=f(x)(f(y)+2y)+2x 
ここで☆よりk>0に対しf(k)またはf(-k)の一方は０ではない。 
そこで(x,y)=(k,k/f(x)),(-k,-k/f(-k))の一方を代入して、整理することで 
f(2k)-f(0)=-2kかf(-2k)-f(0)=2kが言える。 
よってx=2k,-2kの一方でf(x)=1-xがいえるので、もう一方も☆より言える。 
f(0)=1とkを動かしていくことにより、全ての実数xについてf(x)=1-xが言える。 
以上より答えはf(x)=-2xとf(x)=1-x。

1011:１３２人目の素数さん
 16/02/11 21:36:44.26 hVpjOeGV.net
すまん順番が逆 
本戦問４の解説 
問題:関数f:R→Rと任意の実数x,yに対し 
f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x 
となるfをすべて求めよ。 
x,yに0を代入してf(0)=(f(0))^2 
よりf(0)=0or1 
f(0)=0のときy=0を代入するとf(-x)=2xとなるので 
f(x)=-2x 
f(0)=1のとき 
y=0を代入すると 
f(-x)=f(x)+2x　・・・☆ 
yに-yを代入すると 
f(-yf(x)-x)=f(x)f(-y)+2x 
=f(x)(f(y)+2y)+2x 
よって 
f(yf(x)+x)=f(x)(f(y)+2y)+2x-2(yf(x)+x)=f(x)f(y) 
これと元の式より 
f(yf(x)+x)-f(yf(x)-x)=-2x 
ここで☆よりk>0に対しf(k)またはf(-k)の一方は０ではない。 
そこで(x,y)=(k,k/f(x)),(-k,-k/f(-k))の一方を代入して、整理することで 
f(2k)-f(0)=-2kかf(-2k)-f(0)=2kが言える。 
よってx=2k,-2kの一方でf(x)=1-xがいえるので、もう一方も☆より言える。 
f(0)=1とkを動かしていくことにより、全ての実数xについてf(x)=1-xが言える。 
以上より答えはf(x)=-2xとf(x)=1-x。

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